วิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

ระบบประเภทนี้เรียกว่า ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ปกติ (สนดียู). สำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ปกติ เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ได้ เช่นเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์

ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องกันบนเซตเปิด และอนุพันธ์ย่อยที่สอดคล้องกันยังต่อเนื่องกันอยู่ด้วย ดังนั้น ระบบ (1) จะมีคำตอบ (2)

และเมื่อมีเงื่อนไขเริ่มต้น (3)

โซลูชันนี้จะเป็นโซลูชันเดียวเท่านั้น

ระบบนี้สามารถแสดงเป็น:

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

คำนิยาม. เรียกว่าระบบสมการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ถ้ามันเป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักทั้งหมดและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

(5)

มุมมองทั่วไปของระบบสมการเชิงอนุพันธ์

หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น: , (7)

ดังนั้นคำตอบจะไม่ซ้ำกัน โดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันเวกเตอร์มีความต่อเนื่องและค่าสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย

ให้เราแนะนำตัวดำเนินการเชิงเส้น จากนั้น (6) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

ถ้าอย่างนั้นสมการตัวดำเนินการ (8) จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน และมีรูปแบบดังนี้

เนื่องจากตัวดำเนินการเป็นแบบเส้นตรง จึงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

การแก้สมการ (9)

ผลที่ตามมาผลรวมเชิงเส้น สารละลาย (9)

หากให้คำตอบ (9) และเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของรูปแบบ: (10) เท่านั้นภายใต้เงื่อนไขว่าทั้งหมด

ซึ่งหมายความว่าดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยโซลูชัน (10): - ดีเทอร์มิแนนต์นี้เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์ของวรอนสกี

สำหรับระบบเวกเตอร์

ทฤษฎีบท 1 หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับระบบเอกพันธ์เชิงเส้น (9) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับศูนย์อย่างน้อยที่จุดหนึ่ง ดังนั้นผลเฉลยจะขึ้นอยู่กับช่วงเวลานี้ในเชิงเส้นตรง ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จึงเท่ากับ เป็นศูนย์ตลอดช่วงเวลา การพิสูจน์: เนื่องจากมีความต่อเนื่อง ระบบ (9) จึงเป็นไปตามเงื่อนไขดังนั้น เงื่อนไขเริ่มต้นจะกำหนดวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบ (9) ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ที่จุดหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงมีระบบที่ไม่สำคัญซึ่งจะมีดังต่อไปนี้:

คำนิยาม. ผลรวมเชิงเส้นที่สอดคล้องกันสำหรับจุดอื่นจะมีรูปแบบ และเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้น จึงเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบเล็กๆ น้อยๆ นั่นคือ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski เท่ากับศูนย์ เรียกว่าชุดการแก้ปัญหาของระบบ (9) ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

คำนิยาม. ว่าปัจจัยกำหนดของ Wronski ไม่หายไป ณ จุดใดจุดหนึ่ง ถ้าสำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน (9) มีการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นดังนี้ - ระบบของการแก้ปัญหาจะถูกเรียก พื้นฐานปกติ .

ระบบการตัดสินใจความคิดเห็น

ถ้าเป็นระบบพื้นฐานหรือระบบพื้นฐานปกติ ผลรวมเชิงเส้นคือคำตอบทั่วไปของ (9)

ทฤษฎีบท 1 หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับระบบเอกพันธ์เชิงเส้น (9) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับศูนย์อย่างน้อยที่จุดหนึ่ง ดังนั้นผลเฉลยจะขึ้นอยู่กับช่วงเวลานี้ในเชิงเส้นตรง ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จึงเท่ากับ เป็นศูนย์ตลอดช่วงเวลา ทฤษฎีบท 2 ผลรวมเชิงเส้นของคำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบเนื้อเดียวกัน (9) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง จะเป็นคำตอบทั่วไป (9) ในช่วงเวลาเดียวกัน

เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์มีความต่อเนื่อง ระบบจึงเป็นไปตามเงื่อนไขของการดำรงอยู่และทฤษฎีบทเอกลักษณ์

ทฤษฎีบท 1 หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับระบบเอกพันธ์เชิงเส้น (9) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับศูนย์อย่างน้อยที่จุดหนึ่ง ดังนั้นผลเฉลยจะขึ้นอยู่กับช่วงเวลานี้ในเชิงเส้นตรง ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จึงเท่ากับ เป็นศูนย์ตลอดช่วงเวลา ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าโดยการเลือกค่าคงที่ จึงเป็นไปได้ที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่เลือกโดยพลการ (7) เหล่านั้น. สามารถพอใจได้ด้วยสมการเวกเตอร์:

เนื่องจากเป็นคำตอบทั่วไปของ (9) ระบบจึงค่อนข้างแก้ได้ เนื่องจาก และ ทั้งหมดมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 1 หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับระบบเอกพันธ์เชิงเส้น (9) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งเท่ากับศูนย์อย่างน้อยที่จุดหนึ่ง ดังนั้นผลเฉลยจะขึ้นอยู่กับช่วงเวลานี้ในเชิงเส้นตรง ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski จึงเท่ากับ เป็นศูนย์ตลอดช่วงเวลา เรากำหนดมันโดยไม่ซ้ำกัน และเนื่องจากเรามีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น . (11)

ทฤษฎีบท 3 ถ้านี่คือคำตอบของระบบ (8) คำตอบของระบบ (9) แล้ว + ก็จะมีคำตอบของ (8) ด้วย

ตามคุณสมบัติของตัวดำเนินการเชิงเส้น: 

ทฤษฎีบท 4 คำตอบทั่วไป (8) ในช่วงเวลาที่มีค่าสัมประสิทธิ์และด้านขวามือที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลานี้ เท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน (9) และคำตอบเฉพาะของระบบที่ไม่เหมือนกัน (8 ).เนื่องจากเงื่อนไขของทฤษฎีบทเรื่องการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์เป็นที่พอใจ ดังนั้นจึงยังคงต้องพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทนี้จะเป็นไปตามค่าเริ่มต้นที่กำหนดโดยพลการ (7) นั่นคือ

สำหรับระบบ (11) สามารถกำหนดค่าของ .

เรียกว่าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y(t) ซึ่งเมื่อแทนลงในสมการ (5.1) แล้วจะเปลี่ยนให้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว กราฟของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัล กระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์มักเรียกว่าการอินทิเกรตสมการนี้

จากความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ y" เราสังเกตว่าสมการ (5.1) ระบุที่แต่ละจุด (t, y) ในระนาบของตัวแปร t, y คือค่า f(t, y) ของแทนเจนต์ของมุมของ ความเอียง (ถึงแกน 0t) ของแทนเจนต์กับกราฟของสารละลายที่ผ่านจุดนี้ ปริมาณ k=tga=f(t,y) จะถูกเรียกว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (รูปที่ 5.1) (t,y) เราระบุทิศทางของเส้นสัมผัสกันซึ่งกำหนดโดยค่า f(t,y) โดยใช้เวกเตอร์บางตัว ) จากนั้นเราจะได้สิ่งที่เรียกว่าสนามทิศทาง (รูปที่ 5.2, a) ในทางเรขาคณิต งานของการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์คือการหาเส้นโค้งอินทิกรัลที่แต่ละจุดมีทิศทางแทนเจนต์ที่กำหนด (รูปที่ 5.2, b) เพื่อเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหนึ่งรายการจากตระกูลของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (5.1) ให้ตั้งค่า สภาพเริ่มต้น

y(t 0)=y 0 (5.2)

ที่นี่ t 0 คือค่าคงที่บางส่วนของอาร์กิวเมนต์ t และ 0 มีค่าที่เรียกว่าค่าเริ่มต้น

การตีความทางเรขาคณิตของการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นคือการเลือกเส้นโค้งที่ผ่านจุดคงที่จากกลุ่มเส้นโค้งอินทิกรัล (t 0, y 0)

ปัญหาในการค้นหา t>t 0 วิธีแก้ปัญหา y(t) ของสมการเชิงอนุพันธ์ (5.1) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น (5.2) เรียกว่าปัญหาคอชี ในบางกรณี ลักษณะการทำงานของคำตอบสำหรับทุก t>t 0 นั้นเป็นที่สนใจ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งมักถูกจำกัดอยู่เพียงการกำหนดวิธีแก้ปัญหาในส่วนที่มีขอบเขตจำกัด

บูรณาการระบบปกติ

หนึ่งในวิธีการหลักในการรวมระบบ DE ปกติคือวิธีการลดระบบให้เป็น DE ลำดับที่สูงกว่าหนึ่งระบบ (ปัญหาผกผัน - การเปลี่ยนจากรีโมทคอนโทรลเป็นระบบ - ได้รับการพิจารณาข้างต้นโดยใช้ตัวอย่าง) เทคนิคของวิธีนี้ขึ้นอยู่กับการพิจารณาต่อไปนี้

ให้ระบบปกติ (6.1) มาให้ ลองแยกสมการใดๆ ด้วยความเคารพกับ x กัน ตัวอย่างเช่นสมการแรก:

การแทนที่ค่าของอนุพันธ์ด้วยความเท่าเทียมกันนี้

จากระบบ (6.1) เราได้รับ หรือสั้นๆว่า

สร้างความแตกต่างให้กับความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นอีกครั้งและแทนที่ค่าของอนุพันธ์

จากระบบ (6.1) เราได้รับ

จากสมการแรก (n-1) ของระบบ (6.3) เราแสดงฟังก์ชัน y 2, y 3, ..., y n ในรูปของ x, ฟังก์ชัน y 1 และอนุพันธ์ของมัน y" 1, y" 1,. .., ปี 1 (n -1) .

เราได้รับ:

เราแทนที่ค่าที่พบของ y 2, y 3,..., y n ลงในสมการสุดท้ายของระบบ (6.3) ให้เราได้รับลำดับที่ n DE เทียบกับฟังก์ชันที่ต้องการ

แยกความแตกต่าง (n-1) คูณด้วยค่าของอนุพันธ์

ในสมการของระบบ (6.4) เราจะพบฟังก์ชัน y 2, y 3,..., y n

ตัวอย่างที่ 6.1 แก้ระบบสมการ

วิธีแก้: มาแยกสมการแรกกัน: y"=4y"-3z" แทนที่ z"=2y-3z ลงในผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9ซ.

มาสร้างระบบสมการกันดีกว่า:

จากสมการแรกของระบบ เราแสดง z ถึง y และ y":

เราแทนค่า z ลงในสมการที่สองของระบบสุดท้าย:

นั่นคือ y""-y"-6y=0 เราได้รับหนึ่ง LOD ของลำดับที่สอง แก้ไขมัน: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 และ - วิธีแก้ไขทั่วไป

สมการ

ค้นหาฟังก์ชัน z เราแทนที่ค่าของ y และในนิพจน์ z ถึง y และ y" (สูตร (6.5)) เราได้รับ:

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของระบบสมการจึงมีรูปแบบดังนี้

ความคิดเห็น ระบบสมการ (6.1) แก้ได้โดยวิธีผลรวมปริพันธ์ สาระสำคัญของวิธีการนี้คือ สมการของระบบที่กำหนดจะถูกนำมาใช้เพื่อสร้างสิ่งที่เรียกว่าชุดค่าผสมที่สามารถอินทิเกรตได้ กล่าวคือ สมการที่สามารถอินทิเกรตได้อย่างง่ายดายโดยคำนึงถึงฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก โดยผ่านการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายเทคนิคของวิธีนี้ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 6.2 แก้ระบบสมการ: วิธีแก้: ลองบวกสมการที่ให้มาทีละเทอม: x"+y"=x+y+2 หรือ (x+y)"=(x+y)+2 ลองแทน x+y=z แล้วเราจะได้ z"=z+2 . เราแก้สมการผลลัพธ์:

เราได้รับสิ่งที่เรียกว่า

ระบบการตัดสินใจอินทิกรัลแรกของระบบ จากนั้นคุณสามารถแสดงฟังก์ชันที่ต้องการผ่านฟังก์ชันอื่นได้ ซึ่งจะช่วยลดจำนวนฟังก์ชันที่ต้องการลงได้ทีละฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น, จากนั้นสมการแรกของระบบจะอยู่ในรูปแบบ

เมื่อพบ x จากนั้น (เช่น ใช้การแทนที่ x=uv) เราก็จะพบ y ด้วย

ระบบนี้ "อนุญาต" เพื่อสร้างชุดค่าผสมอื่นที่ลงตัวได้: เมื่อใส่ x - y = p เราได้: หรือการมีอินทิกรัลตัวแรกของระบบสองตัว ได้แก่ และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ตัวดำเนินการเชิงเส้น คุณสมบัติ การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ ดีเทอร์มิแนนต์ Wronski สำหรับระบบ LDE ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน เซตของฟังก์ชันที่มีช่วงเวลา ( ก ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (ข ) ไม่น้อย ข (n ) มีอนุพันธ์ กลายเป็นฟังก์ชันที่มี เค - ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน อนุพันธ์:

การใช้ตัวดำเนินการ ก ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (ข ) สมการไม่เอกพันธ์ (20) สามารถเขียนได้ดังนี้:

ก ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (ข ) = ฉ (n );

สมการเอกพันธ์ (21) อยู่ในรูปแบบ

ก ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (ข ) = 0);

ทฤษฎีบท 14.5.2- ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล ก ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (ข ) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น เอกสารดังต่อไปนี้โดยตรงจากคุณสมบัติของอนุพันธ์: 1. ถ้า ค = const แล้ว 2. การดำเนินการเพิ่มเติมของเรา: ขั้นแรกให้ศึกษาวิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (25) จากนั้นจึงศึกษาสมการเอกพันธ์ (24) จากนั้นเรียนรู้วิธีแก้สมการเหล่านี้ เริ่มต้นด้วยแนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง และกำหนดวัตถุที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีสมการเชิงเส้นและระบบ - ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski

ดีเทอร์มิแนนต์ของวรอนสกี การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบฟังก์ชันDef. 14.5.3.1. ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ระบบฟังก์ชั่น ) เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ในช่วงเวลา ( และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ) หากมีชุดของสัมประสิทธิ์คงที่ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์เหมือนกัน ( ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ระบบฟังก์ชั่น ): สำหรับ หากความเท่าเทียมกันเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ระบบของฟังก์ชันเป็นอิสระเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ในช่วงเวลา ( ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ) - กล่าวอีกนัยหนึ่งคือฟังก์ชันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ) ถ้ามีค่าเท่ากับศูนย์บน ( ข 1 (n ),ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ) ) ผลรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ฟังก์ชั่น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) เป็นอิสระเชิงเส้น n , n 2 , n ) หากเพียงผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยเท่านั้นที่เท่ากับศูนย์บน ( และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) - ตัวอย่าง: 1. ฟังก์ชัน 1, 3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้นในช่วงเวลาใดๆ ( และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) - ผลรวมเชิงเส้นของพวกเขา - พหุนามดีกรี - ไม่สามารถมีได้ ( n , n 2 , n 3 , …, n ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน )มากกว่าสามราก ดังนั้นความเท่าเทียมกัน และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) = 0 สำหรับ เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ ตัวอย่างที่ 1 สามารถสรุปได้ง่ายกับระบบฟังก์ชัน 1 ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน - ผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน - พหุนามของดีกรี - ไม่สามารถมีได้ ( และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ) มากกว่า ราก 3. ฟังก์ชันมีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงในช่วงเวลาใดๆ ( ), ถ้า . แท้จริงแล้วหากเป็นเช่นนั้นความเท่าเทียมกัน เกิดขึ้นในจุดเดียว เค .4. ระบบฟังก์ชั่น (.4. ระบบฟังก์ชั่น = 1, 2, …, ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน ยังเป็นอิสระเชิงเส้นหากเป็นตัวเลข ฉัน.

) มีความแตกต่างกันแบบคู่ แต่การพิสูจน์โดยตรงถึงข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างยุ่งยาก ดังตัวอย่างข้างต้น ในบางกรณี การพึ่งพาเชิงเส้นหรือความเป็นอิสระของฟังก์ชันได้รับการพิสูจน์อย่างเรียบง่าย ในกรณีอื่นๆ การพิสูจน์นี้ซับซ้อนกว่า ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีเครื่องมือสากลง่ายๆ ที่จะตอบคำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของฟังก์ชัน เครื่องมือดังกล่าว -ดีเทอร์มิแนนต์ของวรอนสกี ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน Def. ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n 14.5.3.2. ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronsky (Wronskian)

.

14.5.3.3 ทฤษฎีบทเรื่อง Wronskian ของระบบฟังก์ชันเชิงเส้นตรง- หากระบบการทำงาน ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ) ดังนั้น วอรอนเกียนของระบบนี้จะเท่ากับศูนย์เหมือนกันในช่วงเวลานี้ เอกสาร- ถ้าฟังก์ชั่น ข 1 (n ), ข 2 (n ), …, ข ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน (n ) จะขึ้นอยู่กับช่วงเชิงเส้นตรง ( และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ) จากนั้นจะมีตัวเลข อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่ใช่ศูนย์เช่นนั้น

มาแยกความแตกต่างกันด้วย n ความเท่าเทียมกัน (27) ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมัน - 1 ครั้ง และสร้างระบบสมการ เราจะถือว่าระบบนี้เป็นระบบเชิงเส้นเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตด้วยความเคารพ ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบนี้คือดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski (26) ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซับซ้อน ดังนั้น ณ แต่ละจุดดีเทอร์มีแนนต์จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น, (n ว และ , มันง่ายที่จะค้นหา (โดยการบวกและลบอินทิกรัลตัวแรก) ).

) = 0 ที่ เช่น ที่ (

ในส่วนแรก เราดูเนื้อหาทางทฤษฎีบางอย่าง วิธีการแทนที่ ตลอดจนวิธีการบวกสมการของระบบทีละเทอม ฉันแนะนำให้ทุกคนที่เข้าถึงไซต์ผ่านหน้านี้เพื่ออ่านส่วนแรก บางทีผู้เยี่ยมชมบางคนอาจพบว่าเนื้อหาง่ายเกินไป แต่ในกระบวนการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ฉันได้แสดงความคิดเห็นและข้อสรุปที่สำคัญมากหลายประการเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไป

ตอนนี้เราจะวิเคราะห์กฎของ Cramer รวมถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน (วิธีเมทริกซ์) เนื้อหาทั้งหมดนำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และชัดเจน ผู้อ่านเกือบทั้งหมดจะสามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการข้างต้น

อันดับแรก เราจะมาดูรายละเอียดกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว เพื่ออะไร? – ท้ายที่สุดแล้ว ระบบที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของโรงเรียน วิธีการบวกแบบทีละเทอม!

ความจริงก็คือแม้ว่าบางครั้งงานดังกล่าวจะเกิดขึ้น - เพื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้สูตรของแครมเมอร์ ประการที่สอง ตัวอย่างที่ง่ายกว่าจะช่วยให้คุณเข้าใจวิธีใช้กฎของแครมเมอร์สำหรับกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น นั่นคือระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า

นอกจากนี้ยังมีระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวซึ่งแนะนำให้แก้โดยใช้กฎของแครมเมอร์!

พิจารณาระบบสมการ ในขั้นตอนแรกเราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งเรียกว่า.

ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

วิธีเกาส์เซียน
ถ้า ดังนั้นระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสองตัว:

และ

ในทางปฏิบัติ ตัวระบุข้างต้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรละตินได้เช่นกัน
,

เราค้นหารากของสมการโดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 7

แก้ระบบสมการเชิงเส้น: เราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของสมการมีขนาดค่อนข้างใหญ่ โดยทางด้านขวาจะมีเศษส่วนทศนิยมพร้อมเครื่องหมายจุลภาค ลูกน้ำเป็นแขกที่ค่อนข้างหายากในงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ ฉันเอาระบบนี้มาจากปัญหาทางเศรษฐมิติ

จะแก้ไขระบบดังกล่าวได้อย่างไร? คุณสามารถลองแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่งได้ แต่ในกรณีนี้ คุณอาจจะจบลงด้วยเศษส่วนแฟนซีที่แย่มากซึ่งใช้งานไม่สะดวกอย่างยิ่ง และการออกแบบโซลูชันจะดูแย่มาก คุณสามารถคูณสมการที่สองด้วย 6 และลบเทอมต่อเทอม แต่เศษส่วนเดียวกันก็จะเกิดขึ้นที่นี่เช่นกัน

จะทำอย่างไร? ในกรณีเช่นนี้ สูตรของ Cramer เข้ามาช่วยเหลือ

;

;

คำตอบ: ,

รากทั้งสองมีหางที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพบได้โดยประมาณ ซึ่งค่อนข้างยอมรับได้ (และแม้แต่เรื่องธรรมดาด้วยซ้ำ) สำหรับปัญหาทางเศรษฐมิติ

ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นที่นี่เนื่องจากงานได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตรสำเร็จรูปอย่างไรก็ตามมีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง เมื่อใช้วิธีนี้ บังคับส่วนของการออกแบบงานคือส่วนต่อไปนี้: “นั่นหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร”- มิฉะนั้น ผู้ตรวจสอบอาจลงโทษคุณสำหรับการไม่เคารพทฤษฎีบทของแครเมอร์

การตรวจสอบซึ่งสามารถทำได้สะดวกบนเครื่องคิดเลขจะไม่ฟุ่มเฟือย: เราแทนที่ค่าโดยประมาณทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ ด้วยเหตุนี้ หากมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย คุณควรได้ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวา

ตัวอย่างที่ 8

แสดงคำตอบเป็นเศษส่วนเกินสามัญ ทำการตรวจสอบ

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

มาดูกฎของแครเมอร์สำหรับระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่ากัน:

เราค้นหาปัจจัยหลักของระบบ:

ถ้า แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ในกรณีนี้กฎของแครมเมอร์จะไม่ช่วยคุณต้องใช้ ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ.

ถ้า จากนั้นระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และเพื่อค้นหาราก เราจะต้องคำนวณปัจจัยอีกสามตัว:
, ,

และสุดท้าย คำตอบก็คำนวณโดยใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วกรณี "สามต่อสาม" นั้นไม่แตกต่างจากกรณี "สองต่อสอง" คอลัมน์ของคำศัพท์อิสระตามลำดับ "เดิน" จากซ้ายไปขวาตามคอลัมน์ของปัจจัยหลัก

ตัวอย่างที่ 9

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

แก้ระบบสมการเชิงเส้น: มาแก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์กันดีกว่า

ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรพิเศษที่จะแสดงความคิดเห็นที่นี่อีกครั้งเนื่องจากการแก้ปัญหาเป็นไปตามสูตรสำเร็จรูป แต่มีความคิดเห็นสองสามอย่าง

มันเกิดขึ้นว่าจากการคำนวณจะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้ "ไม่ดี" เช่น: .
ฉันขอแนะนำอัลกอริทึม "การรักษา" ต่อไปนี้ หากคุณไม่มีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ทำดังนี้:

1) อาจมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ ทันทีที่คุณเจอเศษส่วนที่ “แย่” คุณต้องตรวจสอบทันที เขียนเงื่อนไขใหม่ถูกต้องหรือไม่?- หากเงื่อนไขถูกเขียนใหม่โดยไม่มีข้อผิดพลาด คุณจะต้องคำนวณปัจจัยกำหนดใหม่โดยใช้การขยายในแถวอื่น (คอลัมน์)

2) หากไม่มีการระบุข้อผิดพลาดจากการตรวจสอบ เป็นไปได้มากว่ามีการพิมพ์ผิดในเงื่อนไขของงาน ในกรณีนี้ ทำงานอย่างใจเย็นและระมัดระวังจนจบงานและจากนั้น อย่าลืมตรวจสอบและเราเก็บคลีนชีตหลังการตัดสิน แน่นอนว่าการตรวจสอบคำตอบที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นงานที่ไม่น่าพอใจ แต่มันจะเป็นข้อโต้แย้งที่น่ากังวลสำหรับครูที่ชอบให้คะแนนลบสำหรับเรื่องไร้สาระเช่น วิธีจัดการกับเศษส่วนอธิบายไว้โดยละเอียดในคำตอบของตัวอย่างที่ 8

หากคุณมีคอมพิวเตอร์อยู่ในมือ ให้ใช้โปรแกรมอัตโนมัติเพื่อตรวจสอบ ซึ่งสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีตั้งแต่ต้นบทเรียน อย่างไรก็ตาม การใช้โปรแกรมทันทีจะทำกำไรได้มากที่สุด (ก่อนที่จะเริ่มวิธีแก้ปัญหา) คุณจะเห็นขั้นตอนกลางที่คุณทำผิดพลาดทันที! เครื่องคิดเลขเดียวกันจะคำนวณวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยอัตโนมัติโดยใช้วิธีเมทริกซ์

หมายเหตุที่สอง ในบางครั้งจะมีระบบในสมการที่ตัวแปรบางตัวหายไป เช่น

ในสมการแรกไม่มีตัวแปร สมการที่สองไม่มีตัวแปร ในกรณีเช่นนี้ การเขียนปัจจัยหลักอย่างถูกต้องและระมัดระวังเป็นสิ่งสำคัญมาก:
– เลขศูนย์จะถูกวางไว้แทนที่ตัวแปรที่หายไป
อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่จะเปิดปัจจัยที่มีศูนย์ตามแถว (คอลัมน์) ซึ่งมีศูนย์อยู่เนื่องจากมีการคำนวณน้อยลงอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 10

แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครเมอร์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ (ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายและคำตอบท้ายบทเรียน)

ในกรณีของระบบสมการ 4 สมการที่มี 4 ไม่ทราบ สูตรของแครเมอร์ก็เขียนตามหลักการที่คล้ายคลึงกัน คุณสามารถดูตัวอย่างสดได้ในบทเรียน คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ การลดลำดับของปัจจัยกำหนด– ปัจจัยกำหนดลำดับที่ 4 ห้าตัวค่อนข้างสามารถแก้ไขได้ แม้ว่างานจะชวนให้นึกถึงรองเท้าของศาสตราจารย์บนหน้าอกของนักเรียนที่โชคดีอยู่แล้ว

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

วิธีเมทริกซ์ผกผันถือเป็นกรณีพิเศษ สมการเมทริกซ์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียนที่ระบุ)

หากต้องการศึกษาส่วนนี้ คุณจะต้องสามารถขยายดีเทอร์มิแนนต์ ค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ และทำการคูณเมทริกซ์ได้ ลิงก์ที่เกี่ยวข้องจะมีให้ตามความคืบหน้าของคำอธิบาย

ตัวอย่างที่ 11

แก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์

แก้ระบบสมการเชิงเส้น: ลองเขียนระบบในรูปแบบเมทริกซ์:
, ที่ไหน

โปรดดูระบบสมการและเมทริกซ์ ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจหลักการที่เราเขียนองค์ประกอบลงในเมทริกซ์ ความคิดเห็นเดียว: หากตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการ จะต้องวางศูนย์ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์

เราค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:
โดยที่ คือเมทริกซ์ขนย้ายของการเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

ก่อนอื่น มาดูปัจจัยกำหนดกันก่อน:

ที่นี่ดีเทอร์มิแนนต์จะขยายอยู่ในบรรทัดแรก

ความสนใจ! ถ้า แสดงว่าเมทริกซ์ผกผันไม่มีอยู่ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ระบบโดยใช้วิธีเมทริกซ์ ในกรณีนี้ระบบจะได้รับการแก้ไข วิธีกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ (วิธีเกาส์).

ตอนนี้เราต้องคำนวณตัวรอง 9 ตัวแล้วเขียนลงในเมทริกซ์ตัวรอง

อ้างอิง:การทราบความหมายของตัวห้อยคู่ในพีชคณิตเชิงเส้นมีประโยชน์ ตัวเลขตัวแรกคือจำนวนบรรทัดที่องค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ หลักที่สองคือจำนวนคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบอยู่:

นั่นคือ ตัวห้อยคู่บ่งชี้ว่าองค์ประกอบอยู่ในแถวแรก คอลัมน์ที่สาม และตัวอย่าง องค์ประกอบอยู่ใน 3 แถว 2 คอลัมน์

หัวข้อที่ 2 ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

แนวคิดพื้นฐาน

คำจำกัดความ 1- ระบบ มสมการเชิงเส้นด้วย ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมันไม่ทราบ เป็นระบบของรูปแบบ:

ที่ไหนและ - ตัวเลข

คำจำกัดความ 2- คำตอบของระบบ (I) คือชุดของสิ่งที่ไม่ทราบ ซึ่งแต่ละสมการของระบบนี้จะกลายเป็นเอกลักษณ์

คำจำกัดความ 3- เรียกว่าระบบ (I) ข้อต่อถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งวิธีและ ไม่ใช่ข้อต่อหากไม่มีวิธีแก้ไข ระบบร่วมเรียกว่า แน่ใจถ้ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ และ ไม่แน่นอนมิฉะนั้น.

คำจำกัดความที่ 4- สมการของแบบฟอร์ม

เรียกว่า ศูนย์และสมการก็อยู่ในรูป

เรียกว่า เข้ากันไม่ได้- แน่นอนว่าระบบสมการที่มีสมการที่ไม่สอดคล้องกันนั้นไม่สอดคล้องกัน

คำจำกัดความที่ 5- สมการเชิงเส้นสองระบบเรียกว่า เทียบเท่าถ้าทุกคำตอบของระบบหนึ่งทำหน้าที่เป็นคำตอบให้กับอีกระบบหนึ่ง และในทางกลับกัน ทุกคำตอบของระบบที่สองคือคำตอบของระบบแรก

การแสดงเมทริกซ์ของระบบสมการเชิงเส้น

ให้เราพิจารณาระบบ (I) (ดู§1)

เรามาแสดงว่า:

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ

,

เมทริกซ์ - คอลัมน์คำศัพท์อิสระ

เมทริกซ์ – คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้

.

คำจำกัดความ 1.เมทริกซ์เรียกว่า เมทริกซ์หลักของระบบ(I) และเมทริกซ์คือเมทริกซ์ขยายของระบบ (I)

ตามคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบ (I) สอดคล้องกับความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์:

.

ด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ ( ดูคำจำกัดความ 3 § 5 บทที่ 1) สามารถแยกตัวประกอบได้:

, เช่น.

ความเท่าเทียมกัน (2) เรียกว่า สัญกรณ์เมทริกซ์ของระบบ (I).

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

ปล่อยให้อยู่ในระบบ (I) (ดู§1) ม.=น, เช่น. จำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบ และเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่เอกพจน์ เช่น - จากนั้นระบบ (I) จาก §1 ก็มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

ที่ไหน Δ = เดช กเรียกว่าหลัก ปัจจัยกำหนดของระบบ(ฉัน) ∆ ฉันได้มาจากดีเทอร์มิแนนต์ Δ โดยการแทนที่ .4. ระบบฟังก์ชั่นคอลัมน์ที่ 3 ถึงคอลัมน์สมาชิกอิสระของระบบ (I)

ตัวอย่าง: แก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์:

.

ตามสูตร (3) .

เราคำนวณปัจจัยกำหนดของระบบ:

,

,

,

.

เพื่อให้ได้ดีเทอร์มิแนนต์ เราได้แทนที่คอลัมน์แรกในดีเทอร์มิแนนต์ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ แทนที่คอลัมน์ที่ 2 ในดีเทอร์มิแนนต์ด้วยคอลัมน์เงื่อนไขอิสระ เราจะได้ ; ในทำนองเดียวกัน แทนที่คอลัมน์ที่ 3 ในดีเทอร์มิแนนต์ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ เราได้มา โซลูชันระบบ:

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ปล่อยให้อยู่ในระบบ (I) (ดู§1) ม.=นและเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่เอกพจน์ ให้เราเขียนระบบ (I) ในรูปแบบเมทริกซ์ ( ดูมาตรา 2):

เพราะ เมทริกซ์ กไม่ใช่เอกพจน์ ดังนั้นจะมีเมทริกซ์ผกผัน ( ดูทฤษฎีบท 1 §6 ของบทที่ 1- ลองคูณทั้งสองข้างของความเสมอภาคกัน (2) ถึงเมทริกซ์แล้ว

. (3)

โดยนิยามของเมทริกซ์ผกผัน จากความเท่าเทียมกัน (3) เรามี

แก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

.

มาแสดงกันเถอะ

; ; .

ในตัวอย่าง (§ 3) เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ดังนั้น เมทริกซ์ กมีเมทริกซ์ผกผัน แล้วจึงมีผล (4) , เช่น.

. (5)

ลองหาเมทริกซ์ ( ดู§6บทที่ 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

วิธีเกาส์

ให้ระบบสมการเชิงเส้นได้รับ:

- (ฉัน)

จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดของระบบ (I) หรือเพื่อตรวจสอบว่าระบบไม่สอดคล้องกัน

คำจำกัดความ 1.ให้เราเรียกมันว่าการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ(I) การกระทำใด ๆ ในสามประการ:

1) ขีดฆ่าสมการศูนย์

2) เพิ่มทั้งสองด้านของสมการส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นคูณด้วยตัวเลข l;

3) การสลับคำศัพท์ในสมการของระบบเพื่อให้สิ่งที่ไม่รู้จักที่มีตัวเลขเท่ากันในสมการทั้งหมดอยู่ในตำแหน่งเดียวกันนั่นคือ ตัวอย่างเช่น หากในสมการที่ 1 เราเปลี่ยนเทอมที่ 2 และ 3 ก็จะต้องทำเช่นเดียวกันในสมการทั้งหมดของระบบ

วิธีเกาส์ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าระบบ (I) ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาที่พบได้โดยตรงหรือสร้างความไม่สามารถแก้ไขได้

ตามที่อธิบายไว้ใน §2 ระบบ (I) ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเมทริกซ์แบบขยาย และการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นใดๆ ของระบบ (I) จะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์แบบขยาย:

.

การแปลง 1) สอดคล้องกับการลบแถวศูนย์ในเมทริกซ์ การแปลง 2) เทียบเท่ากับการบวกอีกแถวเข้ากับแถวที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ คูณด้วยตัวเลข l การแปลง 3) เทียบเท่ากับการจัดเรียงคอลัมน์ในเมทริกซ์ใหม่

จะเห็นได้ง่ายว่า ในทางกลับกัน การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์แต่ละครั้งจะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ (I) เนื่องจากข้างต้น แทนที่จะดำเนินการกับระบบ (I) เราจะทำงานกับเมทริกซ์แบบขยายของระบบนี้

ในเมทริกซ์ คอลัมน์ที่ 1 ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x1คอลัมน์ที่ 2 - จากค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x2ฯลฯ หากมีการจัดเรียงคอลัมน์ใหม่ ควรคำนึงว่ามีการละเมิดเงื่อนไขนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราสลับคอลัมน์ที่ 1 และ 2 ตอนนี้คอลัมน์ที่ 1 จะมีค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x2และในคอลัมน์ที่ 2 - ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x1.

เราจะแก้ระบบ (I) โดยใช้วิธีเกาส์เซียน

1. ขีดฆ่าแถวศูนย์ทั้งหมดในเมทริกซ์ ถ้ามี (เช่น ขีดฆ่าสมการศูนย์ทั้งหมดในระบบ (I)

2. ลองตรวจสอบว่าในแถวของเมทริกซ์มีแถวที่องค์ประกอบทั้งหมดยกเว้นอันสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่ (ลองเรียกแถวนั้นว่าไม่สอดคล้องกัน) แน่นอนว่า เส้นดังกล่าวสอดคล้องกับสมการที่ไม่สอดคล้องกันในระบบ (I) ดังนั้น ระบบ (I) จึงไม่มีคำตอบ และนี่คือจุดที่กระบวนการสิ้นสุดลง

3. ปล่อยให้เมทริกซ์ไม่มีแถวที่ไม่สอดคล้องกัน (ระบบ (I) ไม่มีสมการที่ไม่สอดคล้องกัน) ถ้า 11 = 0จากนั้นเราจะพบองค์ประกอบบางอย่างในแถวที่ 1 (ยกเว้นองค์ประกอบสุดท้าย) ที่ไม่ใช่ศูนย์ และจัดเรียงคอลัมน์ใหม่เพื่อให้ในแถวที่ 1 ไม่มีศูนย์ในอันดับที่ 1 ตอนนี้เราจะสมมติว่า (นั่นคือ เราจะสลับเงื่อนไขที่สอดคล้องกันในสมการของระบบ (I))

4. คูณบรรทัดที่ 1 แล้วบวกผลลัพธ์ด้วยบรรทัดที่ 2 จากนั้นคูณบรรทัดที่ 1 แล้วบวกผลลัพธ์ด้วยบรรทัดที่ 3 เป็นต้น แน่นอนว่ากระบวนการนี้เทียบเท่ากับการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป x1จากสมการของระบบ (I) ทั้งหมด ยกเว้นสมการที่ 1 ในเมทริกซ์ใหม่ เราจะได้ศูนย์ในคอลัมน์ที่ 1 ใต้องค์ประกอบ 11:

.

5. ลองขีดฆ่าแถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมดในเมทริกซ์ ถ้ามี และตรวจดูว่ามีแถวที่ไม่สอดคล้องกันหรือไม่ (ถ้ามี แสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกันและวิธีแก้ปัญหาจะจบลงตรงนั้น) มาดูกันว่าจะมีหรือไม่ ก 22 / =0ถ้าใช่ เราจะพบองค์ประกอบอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ในแถวที่ 2 และจัดเรียงคอลัมน์ใหม่เพื่อให้ จากนั้นคูณองค์ประกอบของแถวที่ 2 ด้วย และเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดที่ 3 จากนั้น - องค์ประกอบของบรรทัดที่ 2 และเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่ 4 ฯลฯ จนกระทั่งเราได้ศูนย์ด้านล่าง เอ 22/

.

การดำเนินการที่ดำเนินการจะเทียบเท่ากับการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x2จากสมการของระบบ (I) ทั้งหมด ยกเว้นสมการที่ 1 และ 2 เนื่องจากจำนวนแถวมีจำกัด ดังนั้นหลังจากจำนวนขั้นตอนที่จำกัด เราจึงพบว่าระบบไม่สอดคล้องกัน หรือเราลงเอยด้วยเมทริกซ์ขั้นตอน ( ดูคำจำกัดความ 2 §7 บทที่ 1) :

,

ลองเขียนระบบสมการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์กัน ระบบนี้เทียบเท่ากับระบบ (I)

.

จากสมการสุดท้ายที่เราแสดงออกมา แทนที่สมการก่อนหน้า ค้นหา ฯลฯ จนกระทั่งเราได้

หมายเหตุ 1.ดังนั้น เมื่อแก้ระบบ (I) โดยใช้วิธีเกาส์เซียน เราจะพบกรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้

1. ระบบ (I) ไม่สอดคล้องกัน

2. ระบบ (I) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากจำนวนแถวในเมทริกซ์เท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก ()

3. ระบบ (I) มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหากจำนวนแถวในเมทริกซ์น้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ ()

ดังนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้จึงยังคงอยู่

ทฤษฎีบท.ระบบสมการเชิงเส้นไม่สอดคล้องกัน มีวิธีแก้เฉพาะตัว หรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง. แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์หรือพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกัน:

ก) ;

ข) ;

วี) .

ก) ให้เราเขียนระบบที่กำหนดใหม่ในรูปแบบ:

.

เราได้สลับสมการที่ 1 และ 2 ของระบบเดิมเพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น (แทนที่จะเป็นเศษส่วน เราจะดำเนินการกับจำนวนเต็มโดยใช้การจัดเรียงใหม่นี้เท่านั้น)

มาสร้างเมทริกซ์แบบขยายกันดีกว่า:

.

ไม่มีบรรทัดว่าง ไม่มีบรรทัดที่เข้ากันไม่ได้ ; ลองแยกอันที่ 1 ที่ไม่รู้จักออกจากสมการทั้งหมดของระบบ ยกเว้นอันที่ 1 ในการดำเนินการนี้ ให้คูณองค์ประกอบของแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ด้วย "-2" แล้วบวกเข้ากับองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่ 2 ซึ่งเทียบเท่ากับการคูณสมการที่ 1 ด้วย "-2" แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 2 สมการ จากนั้นเราคูณองค์ประกอบของบรรทัดที่ 1 ด้วย "-3" แล้วบวกเข้ากับองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดที่สามนั่นคือ ลองคูณสมการที่ 2 ของระบบที่กำหนดด้วย "-3" แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 3 เราได้รับ

.

เมทริกซ์สอดคล้องกับระบบสมการ