เศษส่วน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

เศษส่วนไม่ได้สร้างความรำคาญมากนักในโรงเรียนมัธยม ในขณะนี้. จนมาเจอปริญญาด้วย ตัวชี้วัดที่มีเหตุผลใช่ ลอการิทึม และนั่น... คุณกดและกดเครื่องคิดเลข แล้วมันจะแสดงตัวเลขบางส่วนแบบเต็มจอ คุณต้องคิดด้วยหัวเหมือนตอนเกรดสาม

ในที่สุดก็หาเศษส่วนได้แล้ว! แล้วคุณจะสับสนได้ขนาดไหน!? ยิ่งไปกว่านั้น ทั้งหมดนี้เรียบง่ายและสมเหตุสมผล ดังนั้น, เศษส่วนมีกี่ประเภท?

ประเภทของเศษส่วน การเปลี่ยนแปลง

มีเศษส่วน สามประเภท.

1. เศษส่วนสามัญ , ตัวอย่างเช่น:

บางครั้งแทนที่จะใช้เส้นแนวนอนก็ใส่เครื่องหมายทับ: 1/2, 3/4, 19/5 เป็นต้น ในที่นี้เราจะใช้การสะกดคำนี้บ่อยๆ เบอร์บนเรียกว่า เศษ, ต่ำกว่า - ตัวส่วนหากคุณสับสนชื่อเหล่านี้อยู่ตลอดเวลา (มันเกิดขึ้น...) ให้พูดกับตัวเองด้วยวลี: " Zzzzzจดจำ! Zzzzzตัวส่วน - ดูสิ zzzzzเอ่อ!" ดูสิ ทุกอย่างจะถูกจดจำ zzzz)

เส้นประไม่ว่าจะแนวนอนหรือเอียงหมายถึง แผนกตัวเลขบน (ตัวเศษ) ไปด้านล่าง (ตัวส่วน) นั่นคือทั้งหมด! แทนที่จะเป็นเส้นประ คุณสามารถใส่เครื่องหมายหาร - สองจุดได้

เมื่อสามารถแบ่งส่วนได้ครบถ้วนแล้ว จะต้องดำเนินการนี้ ดังนั้นแทนที่จะเป็นเศษส่วน "32/8" การเขียนตัวเลข "4" จะดีกว่ามาก เหล่านั้น. 32 หารง่ายๆ ด้วย 8.

32/8 = 32: 8 = 4

ฉันไม่ได้พูดถึงเศษส่วน "4/1" ด้วยซ้ำ ซึ่งก็คือ "4" เช่นกัน และถ้ามันหารไม่ลงตัว เราก็จะปล่อยให้มันเป็นเศษส่วน. บางครั้งคุณต้องดำเนินการตรงกันข้าม แปลงจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วน แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง

2. ทศนิยม , ตัวอย่างเช่น:

อยู่ในแบบฟอร์มนี้คุณจะต้องเขียนคำตอบของงาน "B"

3. ตัวเลขผสม , ตัวอย่างเช่น:

ตัวเลขคละนั้นแทบจะไม่ได้ใช้ในโรงเรียนมัธยมเลย เพื่อที่จะทำงานกับพวกมันได้ จะต้องแปลงพวกมันให้เป็นเศษส่วนธรรมดา แต่คุณต้องทำได้อย่างแน่นอน! มิฉะนั้นคุณจะพบปัญหาตัวเลขดังกล่าวและหยุด... ไม่มีที่ไหนเลย แต่เราจะจำขั้นตอนนี้ไว้! ต่ำกว่าเล็กน้อย

อเนกประสงค์ที่สุด เศษส่วนทั่วไป- เริ่มจากพวกเขากันก่อน อย่างไรก็ตาม หากเศษส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ไซน์ และตัวอักษรอื่นๆ ทุกประเภท สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย ในความหมายว่าทุกสิ่งทุกอย่าง การกระทำที่มีนิพจน์เศษส่วนไม่แตกต่างจากการกระทำด้วย เศษส่วนสามัญและ!

คุณสมบัติหลักของเศษส่วน

ไปกันเลย! ก่อนอื่นฉันจะทำให้คุณประหลาดใจ การแปลงเศษส่วนที่หลากหลายทั้งหมดมีให้ในคุณสมบัติเดียว! นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า คุณสมบัติหลักของเศษส่วน- จดจำ: ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน เศษส่วนนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงเหล่านั้น:

ชัดเจนว่าคุณสามารถเขียนต่อได้จนหน้าน้ำเงิน อย่าปล่อยให้ไซน์และลอการิทึมทำให้คุณสับสน เราจะจัดการกับพวกมันต่อไป สิ่งสำคัญคือการเข้าใจว่าสำนวนต่าง ๆ เหล่านี้คือ เศษส่วนเดียวกัน . 2/3.

เราต้องการมันไหม การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนี้? ใช่! ตอนนี้คุณจะเห็นเอง ขั้นแรก ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนสำหรับ การลดเศษส่วน- ดูเหมือนเป็นเรื่องเบื้องต้น หารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เท่านี้ก็เรียบร้อย! เป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาด! แต่... มนุษย์เป็นสิ่งมีชีวิตที่มีความคิดสร้างสรรค์ ผิดพลาดตรงไหนก็ได้! โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณต้องลดไม่ใช่เศษส่วนอย่าง 5/10 แต่เป็นนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวอักษรทุกประเภท

วิธีลดเศษส่วนอย่างถูกต้องและรวดเร็วโดยไม่ต้องทำงานพิเศษสามารถอ่านได้ในมาตราพิเศษ 555

นักเรียนปกติไม่สนใจที่จะหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวน (หรือสำนวน) ที่เท่ากัน! เขาเพียงแค่ขีดฆ่าทุกสิ่งที่เหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง! นี่คือที่ที่มันแฝงตัวอยู่ ข้อผิดพลาดทั่วไปเป็นคนปล่อยทิ้งถ้าคุณต้องการ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:

ไม่มีอะไรต้องคิดที่นี่ ขีดฆ่าตัวอักษร "a" ด้านบนและ "2" ที่ด้านล่าง! เราได้รับ:

ทุกอย่างถูกต้อง แต่จริงๆแล้วคุณแตกแยก ทั้งหมด ตัวเศษและ ทั้งหมด ตัวส่วนคือ "a" หากคุณคุ้นเคยกับการขีดฆ่าออก คุณสามารถขีดฆ่า "a" ในนิพจน์ได้ทันที

และรับมันอีกครั้ง

ซึ่งจะเป็นเท็จอย่างเด็ดขาด เพราะที่นี่ ทั้งหมดตัวเศษบน "a" อยู่แล้ว ไม่ได้แชร์- เศษส่วนนี้ไม่สามารถลดลงได้ อย่างไรก็ตาม การลดลงดังกล่าว อืม... ถือเป็นความท้าทายร้ายแรงสำหรับครู นี่ไม่ได้รับการอภัย! คุณจำได้ไหม? เมื่อลดแล้วก็ต้องแบ่ง ทั้งหมด ตัวเศษและ ทั้งหมด ตัวส่วน!

การลดเศษส่วนทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก คุณจะได้เศษส่วนที่ไหนสักแห่ง เช่น 375/1000 ตอนนี้ฉันจะทำงานร่วมกับเธอต่อไปได้อย่างไร? ไม่มีเครื่องคิดเลขเหรอ? คูณพูดบวกยกกำลังสอง!? และถ้าคุณไม่ขี้เกียจเกินไป และค่อยๆ ลดมันลงทีละห้า และอีกห้า และแม้กระทั่ง... ในขณะที่กำลังย่อให้สั้นลง จัดไป 3/8! ดีกว่ามากใช่มั้ย?

คุณสมบัติหลักของเศษส่วนทำให้คุณสามารถแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข- นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการสอบ Unified State ใช่ไหม?

วิธีแปลงเศษส่วนจากประเภทหนึ่งไปเป็นอีกประเภทหนึ่ง

ด้วยเศษส่วนทศนิยมทุกอย่างก็ง่าย ตามที่ได้ยินจึงเขียน! สมมุติว่า 0.25 นี่คือศูนย์จุดยี่สิบห้าในร้อย เราก็เขียน: 25/100. เราลด (เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 25) เราจะได้เศษส่วนปกติ: 1/4 ทั้งหมด. มันเกิดขึ้นและไม่มีอะไรลดลง เช่น 0.3 นี่คือสามในสิบนั่นคือ 3/10.

เกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์? ไม่เป็นไร. เราเขียนเศษส่วนทั้งหมดลงไป โดยไม่มีเครื่องหมายจุลภาคในตัวเศษและในตัวส่วน - สิ่งที่ได้ยิน ตัวอย่างเช่น: 3.17. นี่คือสามจุดสิบเจ็ดในร้อย เราเขียน 317 ในตัวเศษ และ 100 ในตัวส่วน เราได้ 317/100. ไม่มีอะไรลดลง นั่นหมายถึงทุกสิ่งทุกอย่าง นี่คือคำตอบ ชั้นประถม วัตสัน! จากที่กล่าวมาทั้งหมด มีข้อสรุปที่เป็นประโยชน์ดังนี้ เศษส่วนทศนิยมใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนร่วมได้ .

แต่ การแปลงผกผันธรรมดาถึงทศนิยม บางคนทำไม่ได้ถ้าไม่มีเครื่องคิดเลข และก็จำเป็น! คุณจะเขียนคำตอบในการสอบ Unified State อย่างไร!? อ่านอย่างละเอียดและเชี่ยวชาญกระบวนการนี้

เศษส่วนทศนิยมมีลักษณะอย่างไร? ตัวส่วนของเธอคือ เสมอราคา 10 หรือ 100 หรือ 1,000 หรือ 10,000 เป็นต้น หากเศษส่วนร่วมของคุณมีส่วนเช่นนี้ ก็ไม่มีปัญหา เช่น 4/10 = 0.4 หรือ 7/100 = 0.07 หรือ 12/10 = 1.2 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคำตอบของงานในส่วน “B” กลายเป็น 1/2? เราจะเขียนอะไรตอบ? ต้องใช้ทศนิยม...

มาจำกัน คุณสมบัติหลักของเศษส่วน - คณิตศาสตร์ช่วยให้คุณสามารถคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันได้ อะไรก็ได้ทั้งนั้น! ยกเว้นศูนย์แน่นอน ดังนั้นเรามาใช้คุณสมบัตินี้ให้เป็นประโยชน์กันเถอะ! ตัวส่วนสามารถคูณด้วยอะไรได้บ้าง เช่น 2 จนกลายเป็น 10 หรือ 100 หรือ 1,000 (เล็กกว่าย่อมดีกว่าแน่นอน...)? ตอนตี 5 แน่นอน อย่าลังเลที่จะคูณตัวส่วน (นี่คือ เราจำเป็น) ด้วย 5 แต่ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย 5 ด้วย เท่านี้ก็ได้แล้ว คณิตศาสตร์ความต้องการ! เราได้ 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 แค่นั้นแหละ.

อย่างไรก็ตาม ตัวส่วนทุกประเภทจะเจอ คุณจะเจอเศษส่วน 3/16 เป็นต้น ลองหาคำตอบว่าจะคูณ 16 ด้วยอะไรเพื่อให้ได้ 100 หรือ 1,000... ไม่ได้ผลเหรอ? จากนั้นคุณก็สามารถหาร 3 ด้วย 16 ได้ หากไม่มีเครื่องคิดเลข คุณจะต้องหารด้วยมุมบนกระดาษแผ่นหนึ่ง ดังเช่นใน ชั้นเรียนจูเนียร์สอน. เราได้ 0.1875

และยังมีตัวส่วนที่ไม่ดีมากด้วย. ตัวอย่างเช่น ไม่มีทางที่จะเปลี่ยนเศษส่วน 1/3 ให้เป็นทศนิยมที่ดีได้ ทั้งบนเครื่องคิดเลขและบนกระดาษ เราได้ 0.3333333... ซึ่งหมายความว่า 1/3 เป็นเศษส่วนทศนิยมที่แน่นอน ไม่ได้แปล- เช่นเดียวกับ 1/7, 5/6 และอื่นๆ มีหลายอย่างแปลไม่ได้ นี่นำเราไปสู่ข้อสรุปที่เป็นประโยชน์อีกอย่างหนึ่ง ไม่ใช่ทุกเศษส่วนที่สามารถแปลงเป็นทศนิยมได้ !

โดยวิธีการนี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพื่อทดสอบตัวเอง ในส่วน "B" คุณต้องเขียนเศษส่วนทศนิยมลงในคำตอบ และคุณได้ เช่น 4/3. เศษส่วนนี้จะไม่แปลงเป็นทศนิยม ซึ่งหมายความว่าคุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่งระหว่างทาง! กลับไปตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงหาเศษส่วนสามัญและทศนิยมได้ มันยังคงจัดการกับตัวเลขคละ หากต้องการทำงานกับพวกมัน พวกมันจะต้องถูกแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา วิธีการทำเช่นนี้? คุณสามารถจับเด็กชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 และถามเขาได้ แต่เด็กชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 อาจไม่อยู่ในมือเสมอไป... คุณจะต้องทำเอง มันไม่ใช่เรื่องยาก คุณต้องคูณตัวส่วนของส่วนที่เป็นเศษส่วนด้วยส่วนทั้งหมดแล้วบวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน นี่จะเป็นตัวเศษ เศษส่วนทั่วไป- แล้วตัวส่วนล่ะ? ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม ฟังดูซับซ้อน แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างเรียบง่าย ลองดูตัวอย่าง

สมมติว่าคุณตกใจเมื่อเห็นตัวเลขในปัญหา:

เราคิดอย่างสงบโดยไม่ต้องตื่นตระหนก ทั้งส่วนคือ 1.หน่วย. เศษส่วนคือ 3/7 ดังนั้นตัวส่วนของเศษส่วนคือ 7 ตัวส่วนนี้จะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนสามัญ เรานับตัวเศษ 7 คูณด้วย 1 ( ทั้งส่วน) และบวก 3 (ตัวเศษของเศษส่วน) เราได้ 10. นี่จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนร่วม. แค่นั้นแหละ. มันดูง่ายกว่าในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

ชัดเจนไหม? แล้วรักษาความสำเร็จของคุณไว้! แปลงเป็นเศษส่วนสามัญ. คุณควรได้รับ 10/7, 7/2, 23/10 และ 21/4

การดำเนินการย้อนกลับ - การแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นจำนวนคละ - เป็นสิ่งที่ไม่ค่อยจำเป็นในโรงเรียนมัธยมปลาย ถ้าเป็นเช่นนั้น... และถ้าคุณไม่ได้อยู่ชั้นมัธยมปลาย คุณสามารถดูมาตราพิเศษ 555 ได้ อีกอย่าง คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับเศษส่วนเกินตรงนั้นด้วย

นั่นคือทั้งหมดในทางปฏิบัติ คุณจำประเภทของเศษส่วนได้และเข้าใจ ยังไง ถ่ายโอนจากประเภทหนึ่งไปยังอีกประเภทหนึ่ง คำถามยังคงอยู่: เพื่ออะไร ทำเช่นนี้? จะใช้ความรู้เชิงลึกนี้ที่ไหนและเมื่อไหร่?

ฉันตอบ ตัวอย่างใด ๆ ก็ตามบ่งบอกถึงการดำเนินการที่จำเป็น หากในตัวอย่างเศษส่วนธรรมดา ทศนิยม และแม้แต่ตัวเลขคละผสมกัน เราจะแปลงทุกอย่างให้เป็นเศษส่วนสามัญ ก็สามารถทำได้เสมอ- ถ้ามันบอกอะไรประมาณ 0.8 + 0.3 เราก็นับแบบนั้นโดยไม่มีการแปล ทำไมเราต้องทำงานพิเศษ? เราเลือกโซลูชั่นที่สะดวก เรา !

หากงานนั้นเป็นเศษส่วนทศนิยมทั้งหมด แต่เอ่อ... เศษส่วนร้ายบางประเภท ให้ไปที่เศษส่วนธรรมดาแล้วลองดู! ดูสิทุกอย่างจะได้ผล เช่น คุณจะต้องยกกำลังสองจำนวน 0.125 มันไม่ง่ายเลยถ้าคุณไม่คุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลข! ไม่เพียงแต่คุณต้องคูณตัวเลขในคอลัมน์เดียวเท่านั้น คุณยังต้องคิดด้วยว่าจะใส่ลูกน้ำตรงไหนด้วย! มันจะไม่ทำงานในหัวของคุณอย่างแน่นอน! จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไปยังเศษส่วนธรรมดา?

0.125 = 125/1000 เราลดมันลง 5 (นี่สำหรับผู้เริ่มต้น) เราได้ 25/200. 5 อีกครั้ง เราได้ 5/40. โอ้ มันยังหดตัวอยู่เลย! กลับมาที่ 5! เราได้ 1/8. เราสามารถยกกำลังสองได้อย่างง่ายดาย (ในใจเรา!) แล้วได้ 1/64 ทั้งหมด!

มาสรุปบทเรียนนี้กัน

1. เศษส่วนมีสามประเภท เลขสามัญ เลขทศนิยม และเลขคละ

2. ทศนิยมและตัวเลขคละ เสมอสามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ โอนกลับ ไม่เสมอไปเป็นไปได้

3. การเลือกประเภทของเศษส่วนที่จะทำงานกับงานนั้นขึ้นอยู่กับงานนั้น ๆ หากมีเศษส่วนหลายประเภทในงานเดียว สิ่งที่น่าเชื่อถือที่สุดคือไปที่เศษส่วนธรรมดา

ตอนนี้คุณสามารถฝึกฝนได้แล้ว ขั้นแรก ให้แปลงเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้เป็นเศษส่วนสามัญ:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

คุณควรได้รับคำตอบเช่นนี้ (ยุ่งวุ่นวาย!):

มาจบที่นี่กัน ในบทเรียนนี้ เราได้ทบทวนความจำประเด็นสำคัญเกี่ยวกับเศษส่วน อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นว่าไม่มีอะไรพิเศษให้รีเฟรช...) หากมีใครลืมไปหมดแล้วหรือยังไม่เชี่ยวชาญ... จากนั้นคุณสามารถไปที่มาตราพิเศษ 555 ข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดจะกล่าวถึงโดยละเอียดที่นั่น มากมายอย่างกะทันหัน เข้าใจทุกอย่างกำลังเริ่มต้น และพวกมันแก้เศษส่วนได้ทันที)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

การกระทำที่มีเศษส่วน ในบทความนี้เราจะดูตัวอย่างทุกอย่างโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย เราจะพิจารณาเศษส่วนสามัญ เราจะดูทศนิยมในภายหลัง แนะนำให้ดูให้ครบและศึกษาตามลำดับครับ

1. ผลรวมของเศษส่วน ผลต่างของเศษส่วน

กฎ: เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วน - ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม และตัวเศษจะเป็น เท่ากับผลรวมตัวเศษของเศษส่วน

กฎ: เมื่อคำนวณผลต่างของเศษส่วนด้วย ตัวส่วนเดียวกันเราได้รับเศษส่วน - ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิมและตัวเศษของวินาทีจะถูกลบออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก

สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับผลรวมและผลต่างของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน:

ตัวอย่าง (1):

เห็นได้ชัดว่าเมื่อให้เศษส่วนธรรมดาทุกอย่างก็ง่าย แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเศษส่วนผสมกัน? ไม่มีอะไรซับซ้อน...

ตัวเลือกที่ 1– คุณสามารถแปลงให้เป็นค่าธรรมดาแล้วคำนวณได้

ตัวเลือกที่ 2– คุณสามารถ "ทำงาน" แยกกันด้วยส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน

ตัวอย่าง (2):

มากกว่า:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าให้ผลต่างของเศษส่วนคละสองตัวและตัวเศษของเศษส่วนแรกน้อยกว่าตัวเศษของวินาที? คุณสามารถดำเนินการได้สองวิธี

ตัวอย่าง (3):

*แปลงเป็นเศษส่วนสามัญ คำนวณผลต่าง แปลงผลลัพธ์ เศษส่วนเกินเป็นส่วนผสม

*เราแบ่งเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนได้สามแล้วนำเสนอ 3 เป็นผลรวมของ 2 กับ 1 โดยหนึ่งแทนเป็น 11/11 แล้วหาผลต่างระหว่าง 11/11 กับ 7/11 แล้วคำนวณผลลัพธ์ . ความหมายของการแปลงข้างต้นคือนำ (เลือก) หน่วยหนึ่งมานำเสนอในรูปเศษส่วนพร้อมตัวส่วนที่ต้องการ จากนั้นเราก็ลบอีกหน่วยออกจากเศษส่วนนี้

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สรุป: มีแนวทางที่เป็นสากล - ในการคำนวณผลรวม (ผลต่าง) ของเศษส่วนผสมที่มีตัวส่วนเท่ากัน พวกเขาสามารถแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้เสมอ จากนั้นจึงดำเนินการที่จำเป็น หลังจากนี้ หากผลลัพธ์เป็นเศษส่วนเกิน เราจะแปลงเป็นเศษส่วนคละ

ด้านบนนี้เราดูตัวอย่างที่มีเศษส่วนซึ่งมีตัวส่วนเท่ากัน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวส่วนต่างกัน? ในกรณีนี้ เศษส่วนจะลดลงเหลือตัวส่วนเท่ากันและดำเนินการตามที่ระบุ หากต้องการเปลี่ยน (แปลง) เศษส่วน จะใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

ในตัวอย่างนี้ เราจะเห็นได้ทันทีว่าเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งสามารถเปลี่ยนให้มีส่วนเท่ากันได้อย่างไร

หากเรากำหนดวิธีลดเศษส่วนให้ตัวส่วนเท่ากัน เราจะเรียกวิธีนี้ว่า วิธีที่หนึ่ง.

นั่นคือทันทีที่ "ประเมิน" เศษส่วน คุณต้องพิจารณาว่าวิธีนี้ใช้ได้ผลหรือไม่ - เราจะตรวจสอบว่าตัวส่วนที่มากกว่าหารด้วยตัวที่เล็กกว่าหรือไม่ และถ้ามันหารลงตัวได้ เราก็ทำการแปลง - เราคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อให้ตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนเท่ากัน

ตอนนี้ดูตัวอย่างเหล่านี้:

วิธีการนี้ใช้ไม่ได้กับพวกเขา มีวิธีอื่นในการลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วมลองพิจารณาพวกเขาดู

วิธีที่สอง.

เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองคูณด้วยตัวส่วนของตัวแรก:

*อันที่จริงแล้ว เราลดเศษส่วนลงเมื่อตัวส่วนเท่ากัน ต่อไป เราใช้กฎในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ตัวอย่าง:

*วิธีนี้เรียกได้ว่าเป็นสากลและได้ผลเสมอ ข้อเสียเพียงอย่างเดียวคือหลังจากการคำนวณแล้ว คุณอาจได้เศษส่วนที่จะต้องลดลงอีก

ลองดูตัวอย่าง:

จะเห็นได้ว่าตัวเศษและส่วนหารด้วย 5 ลงตัว:

วิธีที่สาม

คุณต้องค้นหาตัวส่วนร่วมน้อย (LCM) นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม. นี่มันเลขอะไรครับ? นี่คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขแต่ละตัว

ดูสิ นี่คือตัวเลขสองตัว: 3 และ 4 มีตัวเลขหลายตัวที่หารด้วย 30 ลงตัว ได้แก่ 12, 24, 36 ... ค่าที่น้อยที่สุดคือ 12 หรือ 6 และ 15 หารด้วย 30 ลงตัว 60, 90 .... ค่าน้อยที่สุดคือ 30 คำถามคือ จะระบุตัวคูณร่วมน้อยนี้ได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมที่ชัดเจน แต่บ่อยครั้งที่สามารถทำได้ทันทีโดยไม่ต้องคำนวณ ตัวอย่างเช่น ตามตัวอย่างข้างต้น (3 และ 4, 6 และ 15) ไม่จำเป็นต้องใช้อัลกอริธึม เราเอาตัวเลขจำนวนมาก (4 และ 15) เพิ่มเป็นสองเท่าและเห็นว่าพวกมันหารด้วยตัวเลขตัวที่สองลงตัว แต่ตัวเลขคู่สามารถ เป็นอย่างอื่น เช่น 51 และ 119

อัลกอริทึม เพื่อที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายๆ ตัว คุณต้อง:

- แยกแต่ละตัวเลขออกเป็น ปัจจัยง่ายๆ

— เขียนบันทึกการสลายตัวของพวกมันที่ใหญ่กว่า

- คูณด้วยตัวประกอบที่หายไปของตัวเลขอื่นๆ

ลองดูตัวอย่าง:

50 และ 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

ในการสลายตัว มากกว่าหนึ่งห้าหายไป

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 และ 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

ในการขยายจำนวนที่มากขึ้นจำนวนสองและสามหายไป

=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* ตัวคูณร่วมน้อยของทั้งสอง หมายเลขเฉพาะเท่ากับผลิตภัณฑ์ของตน

คำถาม! เหตุใดการหาตัวคูณร่วมน้อยจึงมีประโยชน์ เนื่องจากคุณสามารถใช้วิธีที่สองและลดเศษส่วนผลลัพธ์ได้ ใช่ เป็นไปได้ แต่ไม่สะดวกเสมอไป ดูตัวส่วนของตัวเลข 48 และ 72 หากคุณเพียงแค่คูณพวกมัน 48∙72 = 3456 คุณจะยอมรับว่าการใช้ตัวเลขที่น้อยกว่าจะดีกว่า

ลองดูตัวอย่าง:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

การขยายตัวของจำนวนที่มากขึ้นหายไปสามเท่า

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

ตอนนี้ลองใช้วิธีแรก:

*ดูความแตกต่างในการคำนวณในกรณีแรกมีขั้นต่ำ แต่ในส่วนที่สองคุณต้องแยกงานบนกระดาษและแม้แต่เศษส่วนที่คุณได้รับก็ต้องลดลง การค้นหา LOC ช่วยให้งานง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

*ในตัวอย่างที่ 2 ชัดเจนว่า จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 40 ลงตัว และ 60 เท่ากับ 120.

ผลลัพธ์! อัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ทั่วไป!

— เราลดเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนธรรมดาหากมีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม

- เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม (ขั้นแรกเราดูว่าตัวส่วนหนึ่งหารด้วยอีกตัวหนึ่งลงตัวหรือไม่ ถ้าหารลงตัวได้ เราก็คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนอีกส่วนนี้ ถ้าหารไม่ลงตัว เราก็ใช้วิธีอื่น ระบุไว้ข้างต้น)

- เมื่อได้รับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันแล้ว เราก็ดำเนินการ (บวก ลบ)

- หากจำเป็น เราจะลดผลลัพธ์ลง

- หากจำเป็น ให้เลือกทั้งส่วน

2. ผลคูณของเศษส่วน

กฎนั้นง่าย เมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษและส่วนจะถูกคูณ:

ตัวอย่าง:

งาน. นำผักจำนวน 13 ตันมาที่ฐาน มันฝรั่งประกอบด้วยผักนำเข้าประมาณ 3/4 ส่วน นำมันฝรั่งมาที่ฐานได้กี่กิโลกรัม?

มาปิดท้ายด้วยชิ้นนี้กัน

*ก่อนหน้านี้ฉันสัญญาว่าจะให้คำอธิบายอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับคุณสมบัติหลักของเศษส่วนผ่านทางผลคูณ โปรด:

3. การหารเศษส่วน

การหารเศษส่วนลงมาเพื่อคูณ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเศษส่วนที่เป็นตัวหาร (ตัวที่ถูกหารด้วย) จะถูกพลิกกลับ และการกระทำจะเปลี่ยนเป็นการคูณ:

การกระทำนี้สามารถเขียนในรูปแบบของสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนสี่ชั้นได้เนื่องจากการหาร ">:" เองก็สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้:

ตัวอย่าง:

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

การกระทำที่มีเศษส่วน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

เศษส่วนประเภทเศษส่วนการแปลงคืออะไรเราจำได้ มาดูประเด็นหลักกันดีกว่า

คุณสามารถทำอะไรกับเศษส่วน?ใช่ ทุกอย่างเหมือนกับตัวเลขธรรมดา บวก ลบ คูณ หาร

การกระทำทั้งหมดนี้ด้วย ทศนิยมการทำงานกับเศษส่วนก็ไม่ต่างจากการทำงานกับจำนวนเต็ม จริงๆ แล้ว นั่นคือสิ่งที่ดีสำหรับพวกเขา ที่เป็นทศนิยม สิ่งเดียวคือคุณต้องใส่ลูกน้ำให้ถูกต้อง

ตัวเลขผสมอย่างที่ฉันบอกไปแล้วว่าการกระทำส่วนใหญ่มีประโยชน์เพียงเล็กน้อย พวกเขายังต้องถูกแปลงเป็นเศษส่วนสามัญ

แต่การกระทำด้วย เศษส่วนสามัญพวกเขาจะฉลาดแกมโกงมากขึ้น และที่สำคัญกว่านั้นอีกมาก! ฉันขอเตือนคุณ: การกระทำทั้งหมดที่มีนิพจน์เศษส่วนด้วยตัวอักษร ไซน์ ไม่ทราบ ฯลฯ ฯลฯ ก็ไม่ต่างจากการกระทำที่มีเศษส่วนธรรมดา- การดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาเป็นพื้นฐานสำหรับพีชคณิตทั้งหมด ด้วยเหตุนี้เราจึงจะวิเคราะห์เลขคณิตทั้งหมดนี้อย่างละเอียดที่นี่

การบวกและการลบเศษส่วน

ทุกคนสามารถบวก (ลบ) เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันได้ (หวังเป็นอย่างยิ่ง!) ฉันขอเตือนคนที่ขี้ลืมโดยสิ้นเชิง: เมื่อบวก (ลบ) ตัวส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) เพื่อให้ตัวเศษของผลลัพธ์ พิมพ์:

กล่าวโดยย่อคือใน มุมมองทั่วไป:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวส่วนต่างกัน? จากนั้น เมื่อใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน (นี่มีประโยชน์อีกแล้ว!) เราทำให้ตัวส่วนเท่ากัน! ตัวอย่างเช่น:

ตรงนี้เราต้องสร้างเศษส่วน 4/10 จากเศษส่วน 2/5. จุดประสงค์เดียวคือทำให้ตัวส่วนเท่ากัน ขอผมสังเกตว่า เผื่อว่า 2/5 กับ 4/10 เป็นอย่างนั้น เศษส่วนเดียวกัน- มีแค่ 2/5 เท่านั้นที่ไม่สะดวกสำหรับเรา และ 4/10 ก็โอเคจริงๆ

อย่างไรก็ตาม นี่คือแก่นแท้ของการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เมื่อเราจาก อึดอัดเราทำการแสดงออก สิ่งเดียวกันแต่สะดวกกว่าในการแก้ปัญหา.

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สถานการณ์คล้ายกัน ที่นี่เราได้ 48 จาก 16 โดยการคูณอย่างง่ายโดย 3 ทั้งหมดนี้ชัดเจน แต่เราเจอบางอย่างเช่น:

เป็นยังไงบ้าง! มันยากที่จะได้เก้าเต็มเจ็ด! แต่เราฉลาด เรารู้กฎเกณฑ์! มาแปลงร่างกันเถอะ ทั้งหมดเศษส่วนเพื่อให้ตัวส่วนเท่ากัน สิ่งนี้เรียกว่า “ลดให้เป็นตัวส่วนร่วม”:

ว้าว! ฉันรู้ได้อย่างไรเกี่ยวกับปี 63? ง่ายมาก! 63 เป็นตัวเลขที่หารด้วย 7 และ 9 ในเวลาเดียวกัน สามารถรับจำนวนดังกล่าวได้เสมอโดยการคูณตัวส่วน ตัวอย่างเช่น ถ้าเราคูณตัวเลขด้วย 7 ผลลัพธ์จะต้องหารด้วย 7 ลงตัวแน่นอน!

หากคุณต้องการบวก (ลบ) เศษส่วนหลายตัว ไม่จำเป็นต้องบวกเป็นคู่ทีละขั้นตอน คุณเพียงแค่ต้องค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดและลดเศษส่วนแต่ละส่วนให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น:

แล้วตัวส่วนร่วมจะเป็นอย่างไร? แน่นอนคุณสามารถคูณ 2, 4, 8 และ 16 ได้ เราได้ 1,024 ฝันร้าย ง่ายกว่าที่จะประมาณว่าเลข 16 หารด้วย 2, 4 และ 8 ลงตัว ดังนั้น จากตัวเลขเหล่านี้จึงได้ 16 ได้ง่าย ตัวเลขนี้จะเป็นตัวส่วนร่วม ลองเปลี่ยน 1/2 เป็น 8/16, 3/4 เป็น 12/16 และอื่นๆ.

ยังไงก็ตาม ถ้าคุณเอา 1,024 เป็นตัวส่วนร่วม ทุกอย่างจะออกมาดี สุดท้ายทุกอย่างก็จะลดลง แต่ไม่ใช่ทุกคนที่จะบรรลุเป้าหมายนี้ได้ เนื่องจากการคำนวณ...

กรอกตัวอย่างด้วยตัวเอง ไม่ใช่ลอการิทึมอะไรสักอย่าง... มันควรจะเป็น 29/16

หวังว่าการบวก (ลบ) เศษส่วนจะชัดเจนใช่ไหม แน่นอนว่าการทำงานในเวอร์ชันย่อนั้นง่ายกว่าพร้อมตัวคูณเพิ่มเติม แต่ความสุขนี้มีให้สำหรับผู้ที่ทำงานอย่างซื่อสัตย์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ต่ำกว่า... และไม่ลืมสิ่งใดเลย

และตอนนี้เราจะทำแบบเดียวกัน แต่ไม่ใช่กับเศษส่วน แต่ด้วย นิพจน์เศษส่วน- คราดใหม่จะถูกเปิดเผยที่นี่ ใช่แล้ว...

ดังนั้นเราจึงต้องเพิ่มอีกสอง นิพจน์เศษส่วน:

เราต้องทำให้ตัวส่วนเท่ากัน. และด้วยความช่วยเหลือเท่านั้น การคูณ- นี่คือสิ่งที่คุณสมบัติหลักของเศษส่วนกำหนด ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถบวกหนึ่งเข้ากับ X ในเศษส่วนแรกของตัวส่วนได้ (นั่นคงจะดี!) แต่ถ้าคุณคูณตัวส่วน คุณจะเห็นว่า ทุกอย่างเติบโตไปพร้อมๆ กัน! ดังนั้นเราจึงเขียนเส้นเศษส่วน เว้นที่ว่างไว้ด้านบน จากนั้นบวกเข้าไป และเขียนผลคูณของตัวส่วนด้านล่าง เพื่อไม่ให้ลืม:

และแน่นอนว่า เราไม่ได้คูณอะไรทางด้านขวา เราไม่เปิดวงเล็บ! และตอนนี้ เมื่อดูที่ตัวส่วนร่วมทางด้านขวา เราพบว่า: เพื่อที่จะได้ตัวส่วน x(x+1) ในเศษส่วนแรก คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย (x+1) . และในเศษส่วนที่สอง - ถึง x นี่คือสิ่งที่คุณได้รับ:

ใส่ใจ! นี่คือวงเล็บ! นี่คือคราดที่หลายคนเหยียบย่ำ แน่นอนว่าไม่ใช่วงเล็บ แต่ไม่มีอยู่ วงเล็บปรากฏขึ้นเนื่องจากเรากำลังคูณ ทั้งหมดตัวเศษและ ทั้งหมดตัวส่วน! และไม่ใช่ชิ้นส่วนของแต่ละคน...

ในตัวเศษทางขวาเราเขียนผลรวมของตัวเศษ ทุกอย่างจะเป็นแบบนั้น เศษส่วนที่เป็นตัวเลขจากนั้นเปิดวงเล็บในตัวเศษทางด้านขวาเช่น เราคูณทุกอย่างและให้สิ่งที่คล้ายกัน ไม่จำเป็นต้องเปิดวงเล็บในตัวส่วนหรือคูณอะไรทั้งนั้น! โดยทั่วไปในตัวส่วน (ใดๆ) เสมอ ชิ้นที่ดีกว่า- เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ กระบวนการดูเหมือนยาวและยาก แต่ขึ้นอยู่กับการฝึกฝน เมื่อคุณแก้ตัวอย่างได้ ทำความคุ้นเคยกับมัน ทุกอย่างจะง่ายขึ้น ผู้ที่เชี่ยวชาญเรื่องเศษส่วนในเวลาที่กำหนดจะดำเนินการทั้งหมดนี้ด้วยมือซ้ายข้างเดียวโดยอัตโนมัติ!

และอีกหนึ่งหมายเหตุ หลายคนจัดการกับเศษส่วนอย่างชาญฉลาด แต่กลับติดอยู่กับตัวอย่าง ทั้งหมดตัวเลข ชอบ: 2 + 1/2 + 3/4= ? จะยึดสองชิ้นได้ที่ไหน? คุณไม่จำเป็นต้องผูกมันไว้ที่ไหน แต่คุณต้องหาเศษเสี้ยวของสอง มันไม่ง่าย แต่ง่ายมาก! 2=2/1. แบบนี้. จำนวนเต็มใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ตัวเศษคือตัวเลข ตัวส่วนคือหนึ่ง 7 คือ 7/1, 3 คือ 3/1 และอื่นๆ มันเหมือนกันกับตัวอักษร (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 เป็นต้น จากนั้นเราก็ทำงานกับเศษส่วนเหล่านี้ตามกฎทั้งหมด

ความรู้เกี่ยวกับการบวกและการลบเศษส่วนได้รับการฟื้นฟูแล้ว การแปลงเศษส่วนจากประเภทหนึ่งไปเป็นอีกประเภทหนึ่งซ้ำแล้วซ้ำอีก คุณยังสามารถตรวจสอบได้ เรามาเคลียร์กันหน่อยมั้ย?)

คำนวณ:

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

การคูณ/หารเศษส่วน - ในบทต่อไป นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับการดำเนินการทั้งหมดที่มีเศษส่วนอีกด้วย

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

คำแนะนำ

ลดให้เหลือตัวส่วนร่วม.

ให้เศษส่วน a/b และ c/d มาให้

ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกคูณด้วย LCM/b

ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองคูณด้วย LCM/d

ตัวอย่างแสดงในรูป

ในการเปรียบเทียบเศษส่วน คุณต้องบวกมันเข้ากับตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงเปรียบเทียบตัวเศษ เช่น 3/4< 4/5, см. .

การบวกและการลบเศษส่วน

หากต้องการหาผลรวมของเศษส่วนสามัญสองตัว จะต้องนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นจึงบวกตัวเศษ โดยปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างการบวกเศษส่วน 1/2 และ 1/3 แสดงในรูป

ผลต่างของเศษส่วนก็พบได้ในลักษณะเดียวกัน หลังจากหาตัวส่วนร่วมแล้ว ตัวเศษของเศษส่วนก็จะถูกลบออก ดูรูป

เมื่อคูณเศษส่วนสามัญ ตัวเศษและส่วนจะคูณกัน

ในการที่จะแบ่งเศษส่วนสองส่วนนั้น จำเป็นต้องมีเศษส่วนของเศษส่วนที่สอง กล่าวคือ เปลี่ยนทั้งเศษและส่วนแล้วคูณเศษส่วนที่ได้

วิดีโอในหัวข้อ

แหล่งที่มา:

• เศษส่วนเกรด 5 โดยใช้ตัวอย่าง
• โจทย์เศษส่วนเบื้องต้น

โมดูลแทนค่าสัมบูรณ์ของนิพจน์ วงเล็บตรงใช้เพื่อแสดงถึงโมดูล ค่าที่มีอยู่ในนั้นถือเป็นแบบโมดูโล การแก้ปัญหาโมดูลประกอบด้วยวงเล็บเปิดตามกฎบางอย่างและการค้นหาชุดของค่านิพจน์ ในกรณีส่วนใหญ่ โมดูลจะถูกขยายในลักษณะที่นิพจน์ submodular ได้รับชุดค่าบวกและ ค่าลบรวมทั้ง ค่าว่าง- จากคุณสมบัติเหล่านี้ของโมดูล สมการและอสมการเพิ่มเติมของนิพจน์ดั้งเดิมจะถูกรวบรวมและแก้ไข

คำแนะนำ

เขียนสมการเดิมด้วย . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปิดโมดูล พิจารณาแต่ละนิพจน์ย่อย พิจารณาว่าค่าใดของปริมาณที่ไม่รู้จักรวมอยู่ในนั้น นิพจน์ในวงเล็บแบบโมดูลาร์จะกลายเป็นศูนย์

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ถือเอานิพจน์ submodular ให้เป็นศูนย์และค้นหาสมการผลลัพธ์ เขียนค่าที่คุณพบ ในทำนองเดียวกันให้กำหนดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักสำหรับแต่ละโมดูลใน สมการที่กำหนด.

วาดเส้นจำนวนและพล็อตค่าผลลัพธ์ที่ได้ ค่าของตัวแปรในโมดูลศูนย์จะทำหน้าที่เป็นข้อจำกัดในการแก้สมการโมดูลาร์

ในสมการดั้งเดิมคุณจะต้องขยายโมดูลาร์โดยเปลี่ยนเครื่องหมายเพื่อให้ค่าของตัวแปรสอดคล้องกับค่าที่แสดงบนเส้นจำนวน แก้สมการผลลัพธ์ ตรวจสอบค่าที่พบของตัวแปรเทียบกับข้อจำกัดที่ระบุโดยโมดูล หากวิธีแก้ปัญหาเป็นไปตามเงื่อนไข แสดงว่าเป็นความจริง รากที่ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดจะต้องถูกทิ้ง

ในทำนองเดียวกัน ให้ขยายโมดูลของนิพจน์ดั้งเดิม โดยคำนึงถึงเครื่องหมาย และคำนวณรากของสมการที่ได้ เขียนรากผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปตามอสมการจำกัด

ตัวเลขเศษส่วนสามารถแสดงเป็น ในรูปแบบที่แตกต่างกันมูลค่าที่แน่นอนของปริมาณ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับเศษส่วนได้เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม เช่น การลบ การบวก การคูณ และการหาร เพื่อเรียนรู้ที่จะตัดสินใจ เศษส่วนเราต้องจำคุณสมบัติบางอย่างของมันไว้ ขึ้นอยู่กับประเภท เศษส่วนการมีอยู่ของส่วนจำนวนเต็มซึ่งเป็นส่วนร่วม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างต้องการให้เศษส่วนของผลลัพธ์ลดลงหลังจากดำเนินการ

คุณจะต้อง

• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ดูตัวเลขอย่างใกล้ชิด หากในบรรดาเศษส่วนนั้นมีทศนิยมและเศษส่วนที่ไม่ปกติบางครั้งจะสะดวกกว่าที่จะดำเนินการกับทศนิยมก่อนแล้วจึงแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่ปกติ คุณแปลได้ไหม เศษส่วนในรูปแบบนี้ เบื้องต้นเขียนค่าหลังจุดทศนิยมในตัวเศษแล้วใส่ 10 ในตัวส่วน หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนโดยหารตัวเลขด้านบนและด้านล่างด้วยตัวหารตัวเดียว เศษส่วนที่แยกส่วนจำนวนเต็มออกจะต้องแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้องโดยการคูณด้วยตัวส่วนแล้วบวกตัวเศษเข้ากับผลลัพธ์ ให้คุณค่าจะกลายเป็นตัวเศษใหม่ เศษส่วน- เพื่อเลือกชิ้นส่วนทั้งหมดจากชิ้นส่วนที่ไม่ถูกต้องในตอนแรก เศษส่วนคุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เขียนผลลัพธ์ทั้งหมดจาก เศษส่วน- และส่วนที่เหลือของการหารจะกลายเป็นตัวเศษ ตัวส่วนใหม่ เศษส่วนมันไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเศษส่วนด้วย ทั้งส่วนคุณสามารถดำเนินการแยกกันสำหรับจำนวนเต็มก่อนแล้วจึงดำเนินการสำหรับเศษส่วน ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณผลรวมของ 1 2/3 และ 2 ¾ ได้:
- การแปลงเศษส่วนให้อยู่ในรูปผิด:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- ผลรวมของจำนวนเต็มและเศษส่วนแยกกันของคำศัพท์:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

สำหรับค่าใต้เส้น ให้หาตัวส่วนร่วม ตัวอย่างเช่น สำหรับ 5/9 และ 7/12 ตัวส่วนร่วมจะเป็น 36 สำหรับสิ่งนี้ ตัวเศษและส่วนของตัวแรก เศษส่วนคุณต้องคูณด้วย 4 (คุณจะได้ 28/36) และอันที่สอง - ด้วย 3 (คุณจะได้ 15/36) ตอนนี้คุณสามารถทำการคำนวณได้

หากคุณกำลังจะคำนวณผลรวมหรือผลต่างของเศษส่วน ให้เขียนตัวส่วนร่วมที่พบไว้ใต้เส้นก่อน ดำเนินการที่จำเป็นระหว่างตัวเศษ และเขียนผลลัพธ์ไว้เหนือบรรทัดใหม่ เศษส่วน- ดังนั้นตัวเศษใหม่จะเป็นผลต่างหรือผลรวมของตัวเศษของเศษส่วนเดิม

ในการคำนวณผลคูณของเศษส่วน ให้คูณตัวเศษของเศษส่วนแล้วเขียนผลลัพธ์แทนตัวเศษของตัวสุดท้าย เศษส่วน- ทำเช่นเดียวกันกับตัวส่วน. เมื่อแบ่งอันหนึ่ง เศษส่วนเขียนเศษส่วนหนึ่งลงบนอีกอีกส่วนหนึ่ง แล้วคูณตัวเศษด้วยตัวส่วนของวินาที ในกรณีนี้คือตัวหารของตัวแรก เศษส่วนคูณด้วยตัวเศษที่สองตามนั้น ในกรณีนี้เกิดการปฏิวัติขึ้น เศษส่วน(ตัวหาร). เศษส่วนสุดท้ายจะเป็นผลมาจากการคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนทั้งสอง การเรียนรู้ไม่ใช่เรื่องยาก เศษส่วนเขียนในสภาพเป็นรูปสี่ชั้น เศษส่วน- ถ้ามันแยกสองคนออกจากกัน เศษส่วนให้เขียนใหม่โดยใช้ตัวคั่น “:” และดำเนินการต่อด้วยการหารแบบปกติ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย ให้ลดเศษส่วนผลลัพธ์โดยการหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน ซึ่งมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ใน ในกรณีนี้- ในกรณีนี้จะต้องมีจำนวนเต็มอยู่ด้านบนและด้านล่างเส้น

โปรดทราบ

อย่าคำนวณเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เลือกตัวเลขโดยให้เมื่อคุณคูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วน ผลลัพธ์ก็คือตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนจะเท่ากัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อทำการบันทึก ตัวเลขเศษส่วนเงินปันผลเขียนไว้เหนือเส้น ปริมาณนี้ถูกกำหนดให้เป็นตัวเศษของเศษส่วน ตัวหารหรือส่วนของเศษส่วนจะเขียนไว้ใต้เส้น เช่น ข้าว 1 กิโลกรัมครึ่งจะเขียนเป็นเศษส่วนได้ดังนี้ ข้าว 1 ครึ่งกิโลกรัม หากตัวส่วนของเศษส่วนคือ 10 เศษส่วนนั้นเรียกว่าทศนิยม ในกรณีนี้ให้เขียนตัวเศษ (เงินปันผล) ไว้ทางขวาของทั้งส่วนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค: ข้าว 1.5 กิโลกรัม เพื่อความสะดวกในการคำนวณ สามารถเขียนเศษส่วนดังกล่าวได้เสมอ ในรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง: มันฝรั่ง 1 2/10 กก. เพื่อให้ง่ายขึ้นคุณสามารถลดค่าตัวเศษและส่วนได้โดยการหารด้วยจำนวนเต็มหนึ่งตัว ใน ในตัวอย่างนี้อาจหารด้วย 2 ผลที่ได้จะเป็นมันฝรั่ง 1 1/5 กิโลกรัม ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณจะคำนวณนั้นอยู่ในรูปแบบเดียวกัน

คำแนะนำ

คลิกหนึ่งครั้งที่รายการเมนู "แทรก" จากนั้นเลือก "สัญลักษณ์" นี่คือหนึ่งในที่สุด วิธีง่ายๆเม็ดมีด เศษส่วนลงในข้อความ ประกอบด้วยดังต่อไปนี้ ชุดสัญลักษณ์สำเร็จรูปประกอบด้วย เศษส่วน- ตามกฎแล้วจำนวนของพวกเขามีขนาดเล็ก แต่ถ้าคุณต้องการเขียน 1/2 ในข้อความไม่ใช่ 1/2 ก็สำหรับคุณ ตัวเลือกที่คล้ายกันจะเหมาะสมที่สุด นอกจากนี้จำนวนอักขระเศษส่วนอาจขึ้นอยู่กับแบบอักษร ตัวอย่างเช่น สำหรับฟอนต์ Times New Roman จะมีเศษส่วนน้อยกว่า Arial เดียวกันเล็กน้อย ปรับเปลี่ยนแบบอักษรเพื่อค้นหาแบบอักษรที่เหมาะกับคุณที่สุด ตัวเลือกที่ดีที่สุดเมื่อมันมาถึง สำนวนง่ายๆ.

คลิกที่รายการเมนู "แทรก" และเลือกรายการย่อย "วัตถุ" หน้าต่างจะปรากฏขึ้นตรงหน้าคุณพร้อมรายการวัตถุที่เป็นไปได้ที่จะแทรก เลือก Microsoft Equation 3.0 แอพนี้จะช่วยคุณพิมพ์ เศษส่วน- และไม่เพียงเท่านั้น เศษส่วนแต่ยังซับซ้อนอีกด้วย นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยต่างๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและองค์ประกอบอื่นๆ ดับเบิลคลิกที่วัตถุนี้ด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์ หน้าต่างจะปรากฏขึ้นตรงหน้าคุณซึ่งมีสัญลักษณ์มากมาย

หากต้องการพิมพ์เศษส่วน ให้เลือกสัญลักษณ์แทนเศษส่วนที่มีทั้งเศษและส่วนว่าง คลิกหนึ่งครั้งด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์ เมนูเพิ่มเติมจะปรากฏขึ้นเพื่อชี้แจงโครงร่างของตัวเอง เศษส่วน- อาจมีหลายตัวเลือก เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดแล้วคลิกหนึ่งครั้งด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์

ใน ส่วนนี้พิจารณาการดำเนินการที่มีเศษส่วนสามัญ ในกรณีที่จำเป็นต้องดำเนินการ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยเลขคละก็แปลก็พอแล้ว เศษส่วนผสมให้เป็นจำนวนพิเศษ ดำเนินการที่จำเป็น และหากจำเป็น ให้นำเสนอผลลัพธ์สุดท้ายอีกครั้งในรูปของจำนวนคละ การดำเนินการนี้จะอธิบายไว้ด้านล่าง

การลดเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การลดเศษส่วน

หากต้องการลดเศษส่วน \frac(m)(n) คุณต้องหาค่าที่ใหญ่ที่สุด ตัวหารร่วมตัวเศษและส่วน: GCD(m,n) จากนั้นหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนนี้ ถ้า GCD(m,n)=1 แสดงว่าเศษส่วนไม่สามารถลดลงได้ ตัวอย่าง: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

โดยปกติแล้ว การหาตัวหารร่วมมากในทันทีเป็นเรื่องง่าย งานที่ท้าทายและในทางปฏิบัติ เศษส่วนจะลดลงในหลายขั้นตอน โดยทีละขั้นตอนเพื่อแยกตัวประกอบร่วมที่เห็นได้ชัดเจนออกจากตัวเศษและตัวส่วน \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

หากต้องการนำเศษส่วนสองตัว \frac(a)(b) และ \frac(c)(d) มาเป็นตัวส่วนร่วม คุณต้อง:

• ค้นหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด: M=LMK(b,d);
• คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วย M/b (จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนจะกลายเป็น เท่ากับจำนวนม);
• คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย M/d (หลังจากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับเลข M)

ดังนั้นเราจึงแปลงเศษส่วนดั้งเดิมเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน (ซึ่งจะเท่ากับเลข M)

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \frac(5)(6) และ \frac(4)(9) มี LCM(6,9) = 18 จากนั้น: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) ดังนั้นเศษส่วนที่ได้จึงมีตัวส่วนร่วม

ในทางปฏิบัติ การหาตัวส่วนร่วมน้อย (LCM) ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ดังนั้นจำนวนที่เลือกเป็นตัวส่วนร่วมคือ เท่ากับสินค้าตัวส่วนของเศษส่วนดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \frac(5)(6) และ \frac(4)(9) จะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วม N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

การเปรียบเทียบเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การเปรียบเทียบเศษส่วน

หากต้องการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญสองตัวที่คุณต้องการ:

• เปรียบเทียบตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์ เศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า

ตัวอย่างเช่น \frac(9)(14)

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วน มีหลายกรณีพิเศษ:

1. จากสองเศษส่วน ที่มีตัวส่วนเท่ากันเศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าจะมากกว่า ตัวอย่างเช่น \frac(3)(15)
2. จากสองเศษส่วน โดยมีตัวเศษเท่ากันยิ่งมากคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. เศษส่วนนั้นซึ่งพร้อมๆ กัน ตัวเศษที่มากกว่าและตัวส่วนน้อยกว่า, มากกว่า. ตัวอย่างเช่น \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

ความสนใจ!กฎข้อ 1 ใช้กับเศษส่วนใดๆ ถ้าตัวหารร่วมเป็น จำนวนบวก- กฎข้อ 2 และ 3 ใช้กับ เศษส่วนบวก(โดยที่ทั้งเศษและส่วนมากกว่าศูนย์)

การบวกและการลบเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกและการลบเศษส่วน

ในการบวกเศษส่วนสองส่วนคุณต้องมี:

• นำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วม
• เพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

หากต้องการลบอีกส่วนหนึ่งออกจากเศษส่วน คุณต้องมี:

• ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
• ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรกและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

ถ้าเศษส่วนเดิมมีตัวส่วนร่วมในตอนแรก ขั้นตอนที่ 1 (การลดให้เหลือตัวส่วนร่วม) จะถูกข้ามไป

การแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินและในทางกลับกัน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนเกินและในทางกลับกัน

หากต้องการแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนเกิน เพียงนำเศษส่วนคละทั้งหมดมาบวกกับเศษส่วนนั้น ผลรวมดังกล่าวจะเป็นเศษส่วนเกิน โดยตัวเศษจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของทั้งส่วนโดยตัวส่วนของเศษส่วนกับตัวเศษของเศษส่วนคละ และตัวส่วนจะยังคงเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

วิธีแปลงเศษส่วนเกินให้เป็นจำนวนคละ:

• หารตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวส่วน
• เขียนเศษที่เหลือของการหารลงในตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
• เขียนผลการหารเป็นส่วนจำนวนเต็ม

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน \frac(23)(4) เมื่อหาร 23:4=5.75 นั่นคือทั้งหมดคือ 5 ส่วนที่เหลือของการหารคือ 23-5*4=3 จากนั้นจะมีการเขียนจำนวนคละ: 5\frac(3)(4) \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

การแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วน

ในการแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนร่วม คุณต้อง:

1. ใช้กำลังที่ n ของ 10 เป็นตัวส่วน (ในที่นี้ n คือจำนวนตำแหน่งทศนิยม)
2. เป็นตัวเศษให้เอาเลขหลังจุดทศนิยม (ถ้าจำนวนเต็มของเลขเดิมไม่เท่ากับศูนย์ให้เอาเลขศูนย์นำหน้าทั้งหมดด้วย)
3. ส่วนจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์จะถูกเขียนในตัวเศษที่จุดเริ่มต้น ส่วนจำนวนเต็มศูนย์จะถูกละเว้น

ตัวอย่างที่ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (มีทศนิยม 4 ตำแหน่ง ดังนั้นตัวส่วนจึงมี 10 4 =10000 เนื่องจากส่วนจำนวนเต็มคือ 0 ตัวเศษจะมีตัวเลขหลังจุดทศนิยมโดยไม่มีศูนย์นำหน้า)

ตัวอย่างที่ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (ในตัวเศษเราเขียนตัวเลขหลังจุดทศนิยมด้วยศูนย์ทั้งหมด: “0109” จากนั้นก่อนหน้านั้นเราจะบวกส่วนทั้งหมดของหมายเลขเดิม “31”)

ถ้าส่วนของทศนิยมทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ ก็สามารถเปลี่ยนให้เป็นเศษส่วนคละได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงตัวเลขให้เป็นเศษส่วนธรรมดาราวกับว่าส่วนทั้งหมดเท่ากับศูนย์ (จุดที่ 1 และ 2) และเพียงเขียนส่วนทั้งหมดใหม่หน้าเศษส่วน - นี่จะเป็นส่วนทั้งหมดของจำนวนคละ . ตัวอย่าง:

3.014=3\frac(14)(100)

หากต้องการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม ให้หารตัวเศษด้วยตัวส่วน บางครั้งมันก็ไม่มีที่สิ้นสุด ทศนิยม- ในกรณีนี้จำเป็นต้องปัดเศษทศนิยมที่ต้องการ ตัวอย่าง:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

การคูณและหารเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การคูณและหารเศษส่วน

ในการคูณเศษส่วนสามัญสองตัว คุณต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วน

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

หากต้องการหารเศษส่วนร่วมหนึ่งตัวด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยส่วนกลับของเศษส่วนที่สอง ( เศษส่วนซึ่งกันและกัน- เศษส่วนที่มีการสลับตัวเศษและส่วน

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

ถ้าเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งเป็น จำนวนธรรมชาติจากนั้นกฎการคูณและการหารข้างต้นยังคงมีผลใช้บังคับ คุณเพียงแค่ต้องคำนึงว่าจำนวนเต็มนั้นเป็นเศษส่วนเท่ากัน โดยมีตัวส่วนเป็นจำนวนนั้น เท่ากับหนึ่ง- ตัวอย่าง: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7