วิธีบวกเมทริกซ์ การดำเนินการขั้นพื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์ (การบวก การคูณ การขนย้าย) และคุณสมบัติของเมทริกซ์

ชั้นปีที่ 1 สูงขึ้น คณิตศาสตร์ กำลังศึกษาอยู่ เมทริกซ์และการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับพวกเขา ที่นี่เราจัดระบบการดำเนินการพื้นฐานที่สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์ จะเริ่มทำความคุ้นเคยกับเมทริกซ์ได้ที่ไหน? แน่นอนว่าจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - คำจำกัดความ แนวคิดพื้นฐาน และการดำเนินการที่เรียบง่าย เรารับรองกับคุณว่าทุกคนที่อุทิศเวลาให้พวกเขาอย่างน้อยจะเข้าใจเมทริกซ์!

คำจำกัดความของเมทริกซ์

เมทริกซ์เป็นตารางธาตุรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พูดง่ายๆ ก็คือ ตารางตัวเลข

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ก , เมทริกซ์ บี และอื่น ๆ เมทริกซ์สามารถมีขนาดแตกต่างกัน: สี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมจัตุรัส และยังมีเมทริกซ์แบบแถวและคอลัมน์ที่เรียกว่าเวกเตอร์อีกด้วย ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนเมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ม บน n , ที่ไหน ม – จำนวนบรรทัด และ n – จำนวนคอลัมน์

รายการไหน ฉัน=เจ (a11, a22, .. ) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และเรียกว่าเส้นทแยงมุม

คุณสามารถทำอะไรกับเมทริกซ์? เพิ่ม/ลบ, คูณด้วยตัวเลข, ทวีคูณกันเอง, ย้าย- ทีนี้เกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับเมทริกซ์ตามลำดับ

การดำเนินการบวกและการลบเมทริกซ์

ให้เราเตือนคุณทันทีว่าคุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน การบวก (หรือการลบ) เมทริกซ์นั้นง่ายมาก - คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง - ลองยกตัวอย่าง ลองบวกเมทริกซ์ A และ B ขนาด 2 คูณ 2 กัน

การลบทำได้โดยการเปรียบเทียบ เฉพาะกับเครื่องหมายตรงกันข้ามเท่านั้น

เมทริกซ์ใดๆ สามารถคูณด้วยจำนวนใดก็ได้ การทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น ลองคูณเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรกด้วยเลข 5:

การดำเนินการคูณเมทริกซ์

ไม่สามารถคูณเมทริกซ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันได้ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์สองตัว - A และ B ซึ่งสามารถคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ที่อยู่ในแถวที่ i และคอลัมน์ที่ j จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องในแถวที่ i ของปัจจัยแรกและคอลัมน์ที่ j ของ ที่สอง- เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมนี้ ลองเขียนวิธีคูณเมทริกซ์กำลังสอง:

และตัวอย่างที่มีจำนวนจริง ลองคูณเมทริกซ์:

การดำเนินการย้ายเมทริกซ์

การขนย้ายเมทริกซ์เป็นการดำเนินการที่มีการสลับแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น ลองย้ายเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรก:

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์

ปัจจัยกำหนดหรือปัจจัยกำหนดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้น กาลครั้งหนึ่ง ผู้คนเกิดสมการเชิงเส้นขึ้นมา และหลังจากนั้นพวกเขาก็ต้องเกิดดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นมา ท้ายที่สุดแล้ว มันก็ขึ้นอยู่กับคุณแล้วว่าจะจัดการกับเรื่องทั้งหมดนี้ ดังนั้นการผลักดันครั้งสุดท้าย!

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของเมทริกซ์จตุรัส ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสที่ง่ายที่สุด คุณต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับแรกซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่งมีค่าเท่ากับองค์ประกอบนี้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เป็นสามคูณสาม? นี่เป็นเรื่องยากกว่า แต่คุณสามารถจัดการได้

สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักกับผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนรูปสามเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งผลคูณของ องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมที่มีหน้าของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิขนานกันจะถูกลบออก

โชคดีที่ในทางปฏิบัติ การคำนวณปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่นั้นแทบจะไม่จำเป็นเลย

ที่นี่เราดูการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์ แน่นอนว่าในชีวิตจริงคุณอาจไม่เคยพบเห็นระบบสมการเมทริกซ์เลยแม้แต่น้อย หรือในทางกลับกัน คุณอาจพบกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้มากเมื่อคุณต้องระดมสมองจริงๆ ในกรณีเช่นนี้มีบริการนักศึกษาระดับมืออาชีพ ขอความช่วยเหลือ รับโซลูชันคุณภาพสูงและละเอียด เพลิดเพลินไปกับความสำเร็จทางวิชาการและเวลาว่าง

ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาแนวคิดของเมทริกซ์ รวมถึงประเภทของเมทริกซ์ เนื่องจากมีคำศัพท์มากมายในหัวข้อนี้ ฉันจะเพิ่มบทสรุปสั้นๆ เพื่อให้ง่ายต่อการสำรวจเนื้อหา

ความหมายของเมทริกซ์และองค์ประกอบของเมทริกซ์ สัญกรณ์

เมทริกซ์เป็นตารางที่มีแถว $m$ และคอลัมน์ $n$ องค์ประกอบของเมทริกซ์อาจเป็นวัตถุที่มีลักษณะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เช่น ตัวเลข ตัวแปร หรือตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ มี 3 แถวและ 2 คอลัมน์; องค์ประกอบของมันคือจำนวนเต็ม เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ ประกอบด้วย 2 แถว 4 คอลัมน์

วิธีเขียนเมทริกซ์แบบต่างๆ: show\hide

เมทริกซ์สามารถเขียนได้ไม่เฉพาะในรูปแบบกลมเท่านั้น แต่ยังเขียนในวงเล็บเหลี่ยมหรือวงเล็บเหลี่ยมคู่ได้ด้วย นั่นคือ รายการด้านล่างหมายถึงเมทริกซ์เดียวกัน:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; - \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

ผลิตภัณฑ์ $m\times n$ ถูกเรียก ขนาดเมทริกซ์- ตัวอย่างเช่น หากเมทริกซ์มี 5 แถวและ 3 คอลัมน์ เราจะพูดถึงเมทริกซ์ขนาด $5\คูณ 3$ เมทริกซ์ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ มีขนาด $3 \times 2$

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน: $A$, $B$, $C$ และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ การเรียงลำดับบรรทัดจากบนลงล่าง คอลัมน์ - จากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น แถวแรกของเมทริกซ์ $B$ มีองค์ประกอบ 5 และ 3 และคอลัมน์ที่สองมีองค์ประกอบ 3, -87, 0

องค์ประกอบของเมทริกซ์มักแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ จะแสดงด้วย $a_(ij)$ ดัชนีคู่ $ij$ มีข้อมูลเกี่ยวกับตำแหน่งขององค์ประกอบในเมทริกซ์ ตัวเลข $i$ คือหมายเลขแถว และตัวเลข $j$ คือหมายเลขคอลัมน์ ที่จุดตัดคือองค์ประกอบ $a_(ij)$ ตัวอย่างเช่น ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่ห้าของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(อาร์เรย์) \right)$ องค์ประกอบ $a_(25)= $59:

ในทำนองเดียวกัน ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์แรก เรามีองค์ประกอบ $a_(11)=51$; ที่จุดตัดของแถวที่สามและคอลัมน์ที่สอง - องค์ประกอบ $a_(32)=-15$ และอื่นๆ โปรดทราบว่าข้อความ $a_(32)$ อ่านว่า “a three two” แต่ไม่ใช่ “a three two”

หากต้องการย่อเมทริกซ์ $A$ ซึ่งมีขนาด $m\times n$ จะใช้รูปแบบ $A_(m\times n)$ คุณสามารถเขียนรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

โดยที่สัญกรณ์ $(a_(ij))$ แสดงถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ ในรูปแบบที่ขยายเต็มที่ เมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

ขอแนะนำอีกคำหนึ่ง - เมทริกซ์ที่เท่ากัน.

เมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน $A_(m\times n)=(a_(ij))$ และ $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ถูกเรียก เท่ากันหากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากันนั่นคือ $a_(ij)=b_(ij)$ สำหรับ $i=\overline(1,m)$ และ $j=\overline(1,n)$ ทั้งหมด

คำอธิบายสำหรับรายการ $i=\overline(1,m)$: show\hide

สัญกรณ์ "$i=\overline(1,m)$" หมายความว่าพารามิเตอร์ $i$ แตกต่างกันไปตั้งแต่ 1 ถึง m ตัวอย่างเช่น รายการ $i=\overline(1,5)$ บ่งชี้ว่าพารามิเตอร์ $i$ รับค่า 1, 2, 3, 4, 5

ดังนั้น เพื่อให้เมทริกซ์เท่ากัน จะต้องตรงตามเงื่อนไขสองประการ: ความบังเอิญของขนาด และความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ไม่เท่ากับเมทริกซ์ $B=\left(\ start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ เพราะเมทริกซ์ $A$ มีขนาด $3\times 2$ และเมทริกซ์ $B$ มีขนาด $2\คูณ $2 นอกจากนี้ เมทริกซ์ $A$ ไม่เท่ากับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ เนื่องจาก $a_( 21)\neq c_(21)$ (เช่น $0\neq 98$) แต่สำหรับเมทริกซ์ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ เราสามารถเขียน $A= ได้อย่างปลอดภัย F$ เพราะทั้งขนาดและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ $A$ และ $F$ ตรงกัน

ตัวอย่างหมายเลข 1

กำหนดขนาดของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(อาร์เรย์) \right)$ ระบุว่าองค์ประกอบ $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ มีค่าเท่ากับองค์ประกอบใด

เมทริกซ์นี้มี 5 แถวและ 3 คอลัมน์ ดังนั้นขนาดของมันคือ $5\คูณ 3$ คุณยังสามารถใช้สัญลักษณ์ $A_(5\times 3)$ สำหรับเมทริกซ์นี้ได้

องค์ประกอบ $a_(12)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง ดังนั้น $a_(12)=-2$ องค์ประกอบ $a_(33)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สามและคอลัมน์ที่สาม ดังนั้น $a_(33)=23$ องค์ประกอบ $a_(43)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สี่และคอลัมน์ที่สาม ดังนั้น $a_(43)=-5$

คำตอบ: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

ประเภทของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับขนาด เส้นทแยงมุมหลักและรอง การติดตามเมทริกซ์

ให้เมทริกซ์ $A_(m\times n)$ กำหนดไว้ ถ้า $m=1$ (เมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว) เมทริกซ์ที่กำหนดจะถูกเรียก เมทริกซ์แถว- ถ้า $n=1$ (เมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์) เมทริกซ์ดังกล่าวจะถูกเรียก เมทริกซ์คอลัมน์- ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์แถว และ $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์คอลัมน์

ถ้าเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ ตรงตามเงื่อนไข $m\neq n$ (กล่าวคือ จำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์) ก็มักจะบอกว่า $A$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ มีขนาด $2\times 4 $ เหล่านั้น ประกอบด้วย 2 แถว 4 คอลัมน์ เนื่องจากจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นี้จึงเป็นสี่เหลี่ยม

หากเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ ตรงตามเงื่อนไข $m=n$ (กล่าวคือ จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์) ดังนั้น $A$ จะถูกเรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสของลำดับ $ n$ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สอง $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม โดยทั่วไปเมทริกซ์จัตุรัส $A_(n\times n)$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

องค์ประกอบ $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ถูกกล่าวว่าอยู่ในนั้น เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ $A_(n\คูณ n)$ องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่า องค์ประกอบหลักในแนวทแยง(หรือเพียงองค์ประกอบแนวทแยง) องค์ประกอบ $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ เปิดอยู่ ด้าน (เล็กน้อย) ในแนวทแยง- พวกเขาถูกเรียก องค์ประกอบเส้นทแยงมุมด้านข้าง- ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ เรามี:

องค์ประกอบ $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ เป็นองค์ประกอบหลักในแนวทแยง องค์ประกอบ $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ เป็นองค์ประกอบในแนวทแยงด้านข้าง

ผลรวมขององค์ประกอบหลักในแนวทแยงเรียกว่า ตามด้วยเมทริกซ์และเขียนแทนด้วย $\Tr A$ (หรือ $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ เรามี:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. -

แนวคิดเรื่ององค์ประกอบในแนวทแยงยังใช้กับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ องค์ประกอบหลักในแนวทแยงจะเป็น $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$

ประเภทของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับค่าขององค์ประกอบ

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์ดังกล่าวจะถูกเรียกว่า โมฆะและมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร $O$ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - เมทริกซ์ศูนย์

ให้เมทริกซ์ $A_(m\times n)$ มีรูปแบบดังนี้:

จากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์นี้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมู- อาจไม่มีแถวเป็นศูนย์ แต่ถ้ามีอยู่ แถวเหล่านั้นจะอยู่ที่ด้านล่างของเมทริกซ์ ในรูปแบบทั่วไป เมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนได้ดังนี้:

ขอย้ำอีกครั้งว่าไม่จำเป็นต้องมีบรรทัดว่างต่อท้าย เหล่านั้น. อย่างเป็นทางการ เราสามารถแยกแยะเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูได้:

1. องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักจะเป็นศูนย์
2. องค์ประกอบทั้งหมดตั้งแต่ $a_(11)$ ถึง $a_(rr)$ ที่วางอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักจะไม่เท่ากับศูนย์: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. องค์ประกอบทั้งหมดของแถว $m-r$ สุดท้ายเป็นศูนย์ หรือ $m=r$ (กล่าวคือ ไม่มีแถวเป็นศูนย์เลย)

ตัวอย่างของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมู:

เรามาดูคำจำกัดความถัดไปกันดีกว่า เมทริกซ์ $A_(m\times n)$ ถูกเรียก ก้าวหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ขั้นตอนจะเป็น:

สำหรับการเปรียบเทียบ เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ไม่ใช่ระดับตำแหน่ง เนื่องจากแถวที่สามมีส่วนที่เป็นศูนย์เหมือนกับแถวที่สอง นั่นคือหลักการ “ยิ่งเส้นล่าง ยิ่งส่วนที่เป็นศูนย์ใหญ่” จะถูกละเมิด ฉันจะเพิ่มว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นกรณีพิเศษของเมทริกซ์แบบก้าว

เรามาดูคำจำกัดความถัดไปกันดีกว่า หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จตุรัสที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวจะถูกเรียก เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน- ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน โปรดทราบว่าคำจำกัดความของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับค่าขององค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักหรือบนเส้นทแยงมุมหลัก อาจเป็นศูนย์หรือไม่ก็ได้ - มันไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ก็เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมมุมบนเช่นกัน

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จตุรัสที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวจะถูกเรียก เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง- ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - เมทริกซ์สามเหลี่ยมตอนล่าง โปรดทราบว่าคำจำกัดความของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่างไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับค่าขององค์ประกอบที่อยู่ใต้หรือบนเส้นทแยงมุมหลัก อาจเป็นศูนย์หรือไม่ก็ได้ - มันไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ และ $\left(\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ก็เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างเช่นกัน

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์นี้ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่าง: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ สิ้นสุด (อาร์เรย์) \ right) $ องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักอาจเป็นอะไรก็ได้ (เท่ากับศูนย์หรือไม่ก็ได้) ไม่สำคัญหรอก

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยง เดี่ยวถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์นี้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่สี่; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่สอง

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาด ม× nเรียกว่าชุด นาทีตัวเลขเรียงกันเป็นตารางสี่เหลี่ยม มเส้นและ nคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ตัวเดียวได้ เช่น กหรือ ใน.

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ขนาด ม× nเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์- สะดวกในการจัดเตรียมองค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีสองดัชนี ไอจ: อันแรกระบุหมายเลขแถว และอันที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากเมทริกซ์มีจำนวนแถวเท่ากันกับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียก สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ตามลำดับเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ตัวที่สองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - ลำดับคือ 3 และเมทริกซ์ตัวที่สี่คือลำดับ 1

เมทริกซ์ที่เรียกว่าจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ สี่เหลี่ยม- ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวแรกและเมทริกซ์ตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียวด้วย

เรียกเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียง 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัสเราเรียกว่าเส้นทแยงมุมที่เริ่มจากซ้ายบนไปมุมขวาล่าง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ สามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นหรือ.

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การดำเนินการกับเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์- เมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเท่ากันหากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและมีองค์ประกอบที่ตรงกันเท่ากัน ไอจ = บีจ- แล้วถ้า และ , ที่ ก=ข, ถ้า ก 11 = ข 11, 12 = ข 12, 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

ย้าย- พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ nคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ได้ บีจาก nเส้นและ มคอลัมน์ ซึ่งแต่ละแถวเป็นคอลัมน์เมทริกซ์ กด้วยจำนวนเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) แล้วถ้า , ที่ .

เมทริกซ์นี้ บีเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนผ่านจาก กถึง การขนย้ายบี.

ดังนั้นการขนย้ายจึงเป็นการกลับรายการบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ กมักจะแสดงแทน ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและทรานสโพสของมันสามารถเขียนได้ในรูป

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ปล่อยให้เมทริกซ์ กและ บีประกอบด้วยจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน กล่าวคือ มี ขนาดเดียวกัน- แล้วเพื่อที่จะบวกเมทริกซ์ กและ บีจำเป็นสำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ บียืนอยู่ในที่เดียวกัน ดังนั้นผลรวมของเมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ เช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสับเปลี่ยน ก+บี=บี+เอและการเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขเพื่อคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคจำเป็นต้องมีทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนี้ ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ บีมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของเมทริกซ์ตัวประกอบจะต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณได้เฉพาะเมทริกซ์ที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (นั่นคือ ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) การทำงานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ บีเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ ค=เอบีซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 จาก 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในเมทริกซ์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและเพิ่มผลคูณที่ได้ และองค์ประกอบอื่นๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้มาจากผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกและคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไปหากเราคูณเมทริกซ์ A = (อาจ)ขนาด ม× nถึงเมทริกซ์ B = (บีจ)ขนาด n× พีแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× พีซึ่งมีองค์ประกอบคำนวณดังนี้: องค์ประกอบ ซีจได้มาจากผลคูณของธาตุ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บีและการเพิ่มเติมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณจะสามารถนำเมทริกซ์จตุรัสสองตัวที่มีลำดับเดียวกันมาคูณกันได้ตลอดเวลา และผลที่ได้คือเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์จตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น กำลังสองมัน

อีกกรณีที่สำคัญคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์แรกจะต้องเท่ากับความสูงของเมทริกซ์ที่สอง ส่งผลให้ได้เมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง (เช่น หนึ่งองค์ประกอบ) จริงหรือ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้น ตัวอย่างง่ายๆ เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ·บี ≠ บี∙เอ - ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการแจกแจง เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=เอซี+บีซี.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบเมื่อคูณเมทริกซ์จตุรัส กไปจนถึงเมทริกซ์ประจำตัว อีในลำดับเดียวกันเราจะได้เมทริกซ์อีกครั้ง ก, และ AE=อีเอ=ก.

สามารถสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสนใจดังต่อไปนี้ ดังที่คุณทราบ ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น กล่าวคือ ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจกลายเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , ที่

.

แนวคิดของปัจจัยกำหนด

ให้เมทริกซ์ลำดับที่สองได้รับ - เมทริกซ์จัตุรัสประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์นี้ คือจำนวนที่ได้รับดังนี้ 11 ถึง 22 – 12 ถึง 21.

ดีเทอร์มิแนนต์จะระบุด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น เพื่อที่จะหาดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบในเส้นทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สามที่กำหนด คือตัวเลขที่แสดงและได้รับดังนี้

.

ดังนั้น สูตรนี้จึงให้ส่วนขยายของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11, 12, 13และลดการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดที่สี่ ห้า ฯลฯ ได้ คำสั่ง ลดลำดับลงโดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของแถวที่ 1 โดยมีเครื่องหมาย “+” และ “–” ของคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้น ไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางตัวเลข ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

คู่มือนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการปฏิบัติ การดำเนินการกับเมทริกซ์: การบวก (ลบ) เมทริกซ์ การขนย้ายเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ การค้นหาเมทริกซ์ผกผัน เนื้อหาทั้งหมดนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ โดยมีการยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นแม้แต่ผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ก็สามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการกับเมทริกซ์ได้

สำหรับการตรวจสอบตัวเองและการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้ฟรี >>> ฉันจะพยายามลดการคำนวณทางทฤษฎีให้เหลือน้อยที่สุด ในบางสถานที่คำอธิบาย "บนนิ้ว" และการใช้คำศัพท์ที่ไม่ใช่ทางวิทยาศาสตร์ก็เป็นไปได้ ผู้ชื่นชอบทฤษฎีที่มั่นคง โปรดอย่าวิจารณ์ หน้าที่ของเราคือ.

เรียนรู้ที่จะดำเนินการกับเมทริกซ์ สำหรับการเตรียมการแบบ SUPER FAST ในหัวข้อ (ใครที่กำลัง “ลุกเป็นไฟ”) มีหลักสูตร pdf เข้มข้น

เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ และทดสอบ! เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางอันองค์ประกอบ เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางอันเราจะพิจารณาตัวเลข ซึ่งก็คือเมทริกซ์เชิงตัวเลข องค์ประกอบเป็นคำศัพท์ ขอแนะนำให้จำคำนี้ไว้ซึ่งจะปรากฏบ่อยครั้งไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันใช้แบบอักษรตัวหนาเพื่อไฮไลต์

การกำหนด:เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่

ตัวอย่าง:พิจารณาเมทริกซ์สองคูณสาม:

เมทริกซ์นี้ประกอบด้วยหก เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางอัน:

ตัวเลข (องค์ประกอบ) ทั้งหมดภายในเมทริกซ์นั้นมีอยู่ในตัวมันเองนั่นคือไม่มีคำถามเกี่ยวกับการลบใด ๆ :

เป็นเพียงตาราง(ชุด)ตัวเลข!

เราก็จะเห็นด้วยเช่นกัน อย่าจัดเรียงใหม่ตัวเลข เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในคำอธิบาย แต่ละหมายเลขมีที่ตั้งของตัวเองและไม่สามารถสับเปลี่ยนได้!

เมทริกซ์ที่ต้องการมีสองแถว:

และสามคอลัมน์:

มาตรฐาน: เมื่อพูดถึงขนาดเมทริกซ์แล้ว ตอนแรกระบุจำนวนแถวและระบุเฉพาะจำนวนคอลัมน์เท่านั้น เราเพิ่งแจกแจงเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 3 ออกมา

หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากันแสดงว่าเมทริกซ์นั้นถูกเรียก สี่เหลี่ยม, ตัวอย่างเช่น: – เมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม

หากเมทริกซ์มีหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถว เมทริกซ์ดังกล่าวก็จะถูกเรียกเช่นกัน เวกเตอร์.

อันที่จริง เรารู้จักแนวคิดเรื่องเมทริกซ์มาตั้งแต่สมัยเรียน เช่น พิจารณาจุดที่มีพิกัด "x" และ "y": โดยพื้นฐานแล้ว พิกัดของจุดจะถูกเขียนลงในเมทริกซ์ขนาดหนึ่งต่อสอง อย่างไรก็ตาม นี่คือตัวอย่างว่าทำไมลำดับของตัวเลขจึงมีความสำคัญ และเป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงบนระนาบ

ตอนนี้เรามาศึกษาต่อกันดีกว่า การดำเนินการกับเมทริกซ์:

1) ทำหน้าที่อย่างใดอย่างหนึ่ง การลบเครื่องหมายลบออกจากเมทริกซ์ (การนำเครื่องหมายลบเข้าไปในเมทริกซ์).

ลองกลับไปที่เมทริกซ์ของเราอีกครั้ง - ดังที่คุณคงสังเกตเห็นว่า มีจำนวนลบมากเกินไปในเมทริกซ์นี้ สิ่งนี้ไม่สะดวกมากจากมุมมองของการดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์การเขียน minuses มากมายไม่สะดวกและการออกแบบก็ดูน่าเกลียด

ลองย้ายเครื่องหมายลบไปนอกเมทริกซ์ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์:

อย่างที่คุณเข้าใจ ที่ศูนย์ เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง ศูนย์ก็เท่ากับศูนย์ในแอฟริกาเช่นกัน

ตัวอย่างย้อนกลับ: - มันดูน่าเกลียด

เรามาแนะนำเครื่องหมายลบในเมทริกซ์โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์:

มันดูดีขึ้นมาก และที่สำคัญที่สุด มันจะง่ายกว่าที่จะดำเนินการใดๆ กับเมทริกซ์ เนื่องจากมีสัญญาณพื้นบ้านทางคณิตศาสตร์ดังนี้: ยิ่งมี minuses มากเท่าไร ความสับสนและข้อผิดพลาดก็จะมากขึ้นเท่านั้น.

2) พระราชบัญญัติที่สอง การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข.

ตัวอย่าง:

ง่ายมาก คุณต้องคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์คูณด้วยตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ - สาม

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์:

– การคูณเมทริกซ์ด้วยเศษส่วน

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าจะทำอย่างไร ไม่จำเป็น:

ไม่จำเป็นต้องใส่เศษส่วนลงในเมทริกซ์ ประการแรก เพียงแต่จะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมกับเมทริกซ์มีความซับซ้อนเท่านั้น และประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้ยาก (โดยเฉพาะถ้า – คำตอบสุดท้ายของงาน)

และยิ่งกว่านั้น ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยลบเจ็ด:

จากบทความ คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลองหรือจะเริ่มต้นอย่างไรเราจำได้ว่าในคณิตศาสตร์ชั้นสูงพวกเขาพยายามหลีกเลี่ยงเศษส่วนทศนิยมด้วยลูกน้ำในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้

สิ่งเดียวก็คือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่ต้องทำในตัวอย่างนี้คือการบวกลบเข้ากับเมทริกซ์:

แต่ถ้าเพียงเท่านั้น ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์ถูกหารด้วย 7 ไร้ร่องรอยดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ (และจำเป็น!) ที่จะแบ่ง

ตัวอย่าง:

ในกรณีนี้คุณสามารถทำได้ จำเป็นต้องคูณองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดด้วย เนื่องจากตัวเลขเมทริกซ์ทั้งหมดหารด้วย 2 ลงตัว ไร้ร่องรอย.

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การหาร" แทนที่จะพูดว่า “นี่หารด้วยสิ่งนั้น” คุณสามารถพูดว่า “นี่คูณด้วยเศษส่วน” ได้เสมอ นั่นคือการหารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ

3) พระราชบัญญัติที่สาม เมทริกซ์ทรานสโพส.

ในการทรานสโพสเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของเมทริกซ์ลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ทรานสโพส

ตัวอย่าง:

ย้ายเมทริกซ์

มีเพียงบรรทัดเดียวที่นี่และตามกฎแล้วจะต้องเขียนในคอลัมน์:

– เมทริกซ์ที่ถูกย้าย

เมทริกซ์ที่ถูกย้ายมักจะระบุด้วยตัวยกหรือจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบน

ตัวอย่างทีละขั้นตอน:

ย้ายเมทริกซ์

ขั้นแรกเราเขียนแถวแรกใหม่ในคอลัมน์แรก:

จากนั้นเราเขียนบรรทัดที่สองใหม่ในคอลัมน์ที่สอง:

และสุดท้าย เราเขียนแถวที่สามใหม่ในคอลัมน์ที่สาม:

พร้อม. หากพูดโดยคร่าวๆ การย้ายตำแหน่งหมายถึงการพลิกเมทริกซ์ไปด้านข้าง

4) พระราชบัญญัติที่สี่ ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์.

ผลรวมของเมทริกซ์เป็นการดำเนินการง่ายๆ
ไม่สามารถพับเมทริกซ์ทั้งหมดได้ ในการบวก (ลบ) เมทริกซ์ จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างเช่นหากได้รับเมทริกซ์แบบสองคูณสองก็จะสามารถเพิ่มได้เฉพาะกับเมทริกซ์แบบสองคูณสองเท่านั้นและไม่มีใครอื่นได้!

ตัวอย่าง:

เพิ่มเมทริกซ์ และ

ในการเพิ่มเมทริกซ์ คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกัน:

สำหรับผลต่างของเมทริกซ์ กฎจะคล้ายกัน จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง.

ตัวอย่าง:

ค้นหาผลต่างเมทริกซ์ ,

คุณจะแก้ตัวอย่างนี้ให้ง่ายขึ้นได้อย่างไรเพื่อไม่ให้สับสน? ขอแนะนำให้กำจัด minuses ที่ไม่จำเป็นออกไปโดยเพิ่มเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษา ไม่มีแนวคิดเรื่องการ "ลบ" แทนที่จะพูดว่า “ลบสิ่งนี้ออกจากสิ่งนี้” คุณสามารถพูดว่า “บวกจำนวนลบเข้ากับสิ่งนี้” ได้เสมอ นั่นคือการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก

5) พระราชบัญญัติที่ห้า การคูณเมทริกซ์.

เมทริกซ์ใดที่สามารถคูณได้?

เพื่อให้เมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ จำเป็น เพื่อให้จำนวนคอลัมน์เมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวเมทริกซ์.

ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?

ซึ่งหมายความว่าข้อมูลเมทริกซ์สามารถคูณได้

แต่ถ้าเมทริกซ์ถูกจัดเรียงใหม่ ในกรณีนี้ การคูณจะเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป!

ดังนั้นจึงไม่สามารถคูณได้:

ไม่ใช่เรื่องยากนักที่จะเผชิญกับงานที่มีกลอุบาย เมื่อนักเรียนถูกขอให้คูณเมทริกซ์ ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด

ควรสังเกตว่าในบางกรณี คุณสามารถคูณเมทริกซ์ได้ทั้งสองวิธี
ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และทั้งการคูณและการคูณก็เป็นไปได้

การบวกเมทริกซ์$ A $ และ $ B $ เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นผลมาจากเมทริกซ์ $ C $ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ที่ถูกเพิ่ม:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

รายละเอียดเพิ่มเติม สูตรการบวกเมทริกซ์สองตัวมีลักษณะดังนี้:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(พีเมทริกซ์) + \begin(พีเมทริกซ์) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(พีเมทริกซ์) = $$

$$ = \begin(พีเมทริกซ์) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ สิ้นสุด(พีเมทริกซ์) = C$$

โปรดทราบว่าคุณสามารถเพิ่มและลบเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันเท่านั้น ด้วยผลรวมหรือผลต่าง ผลลัพธ์จะเป็นเมทริกซ์ $ C $ ที่มีมิติเดียวกันกับเทอม (ลบออก) ของเมทริกซ์ $ A $ และ $ B $ หากเมทริกซ์ $ A $ และ $ B $ มีขนาดแตกต่างกัน การเพิ่ม (ลบ) เมทริกซ์ดังกล่าวจะเกิดข้อผิดพลาด!

สูตรบวกเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3

การลบเมทริกซ์คล้ายกับอัลกอริธึมการบวกโดยสิ้นเชิง แต่มีเครื่องหมายลบเท่านั้น แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่ต้องการ $C$ ได้มาโดยการลบองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ $A$ และ $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

มาเขียนรายละเอียดกัน สูตรการลบเมทริกซ์สองตัว:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(พีเมทริกซ์) = $$

$$ = \begin(พีเมทริกซ์) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ สิ้นสุด(พีเมทริกซ์) = C$$

นอกจากนี้ ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าคุณไม่สามารถบวกและลบเมทริกซ์ด้วยตัวเลขธรรมดา รวมถึงองค์ประกอบอื่นๆ บางอย่างได้

การทราบคุณสมบัติของการบวก (การลบ) จะเป็นประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์

คุณสมบัติ

1. หากเมทริกซ์ $ A,B,C $ มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น คุณสมบัติการเชื่อมโยงจะมีผลกับเมทริกซ์เหล่านี้: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. สำหรับแต่ละเมทริกซ์ จะมีเมทริกซ์เป็นศูนย์ ซึ่งหมายถึง $ O $ เมื่อบวก (ลบ) ซึ่งเมทริกซ์ดั้งเดิมไม่เปลี่ยนแปลง: $$ A \pm O = A $$
3. สำหรับแต่ละเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $ A $ จะมีเมทริกซ์ตรงข้าม $ (-A) $ ซึ่งผลรวมหายไป: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. เมื่อบวก (ลบ) เมทริกซ์ อนุญาตให้ใช้คุณสมบัติของการสับเปลี่ยนได้ นั่นคือเมทริกซ์ $ A $ และ $ B $ สามารถสลับได้: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้เมทริกซ์ $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ และ $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $ ทำการบวกเมทริกซ์แล้วลบออก

สารละลาย

ก่อนอื่น เราจะตรวจสอบมิติมิติของเมทริกซ์ เมทริกซ์ $ A $ มีมิติ $ 2 \คูณ 2 $, เมทริกซ์ที่สอง $ B $ มีมิติ $ 2 \คูณ 2 $ ซึ่งหมายความว่าด้วยเมทริกซ์เหล่านี้ คุณสามารถดำเนินการบวกและลบร่วมกันได้ โปรดจำไว้ว่าสำหรับผลรวมนั้นจำเป็นต้องทำการบวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ $ A \text( และ ) B $ ตามลำดับ $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( พีเมทริกซ์) $$ ในทำนองเดียวกันกับผลรวม เราค้นหาความแตกต่างของเมทริกซ์โดยการแทนที่เครื่องหมาย "บวก" ด้วย "ลบ": $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ สิ้นสุด (พีเมทริกซ์) $$ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$ A + B = \begin(พีเมทริกซ์) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(พีเมทริกซ์); A - B = \begin(พีเมทริกซ์) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(พีเมทริกซ์) $$

ในบทความ: ให้คำจำกัดความ กฎ ความคิดเห็น คุณสมบัติของการดำเนินการ และตัวอย่างการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติของ "การบวกและการลบเมทริกซ์"