วิธีสร้างเศษส่วนจากจำนวน จักรวรรดิโรมันอันศักดิ์สิทธิ์

1 เศษส่วนสามัญคืออะไร ประเภทของเศษส่วน
เศษส่วนหมายถึงบางส่วนของทั้งหมดเสมอ ความจริงก็คือไม่สามารถถ่ายทอดปริมาณเป็นจำนวนธรรมชาติได้เสมอไปนั่นคือการคำนวณใหม่: 1,2,3 เป็นต้น ตัวอย่างเช่น จะกำหนดแตงโมครึ่งลูกหรือหนึ่งในสี่ของชั่วโมงได้อย่างไร นี่คือสาเหตุที่จำนวนเศษส่วนหรือเศษส่วนปรากฏขึ้น

ก่อนอื่นต้องบอกว่าโดยทั่วไปมีเศษส่วนสองประเภท: เศษส่วนธรรมดาและเศษส่วนทศนิยม เศษส่วนธรรมดาเขียนได้ดังนี้
ทศนิยมเขียนต่างกัน:

เศษส่วนสามัญประกอบด้วยสองส่วน ด้านบนเป็นตัวเศษ ด้านล่างเป็นตัวส่วน ตัวเศษและตัวส่วนถูกคั่นด้วยแท่งเศษส่วน ดังนั้นจำไว้ว่า:

ทุกเศษส่วนเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมด. มักจะนำมาทั้งหมด 1 (หน่วย). ตัวส่วนของเศษส่วนแสดงว่าทั้งหมดแบ่งออกเป็นกี่ส่วน ( 1 ) และตัวเศษคือจำนวนส่วนที่ได้ หากเราตัดเค้กออกเป็น 6 ชิ้นเหมือนกัน (ในทางคณิตศาสตร์กล่าวว่า หุ้น ) จากนั้นแต่ละส่วนของเค้กจะเท่ากับ 1/6 ถ้า Vasya กิน 4 ชิ้น เขาก็กิน 4/6

ในทางกลับกัน แถบเศษส่วนเป็นเพียงเครื่องหมายหารเท่านั้น ดังนั้นเศษส่วนจึงเป็นผลหารของตัวเลขสองตัว - ตัวเศษและตัวส่วน ในข้อความของปัญหาหรือในสูตรอาหารเศษส่วนมักจะเขียนดังนี้: 2/3, 1/2 เป็นต้น ได้เศษส่วนมาบ้าง ชื่อของตัวเองตัวอย่างเช่น 1/2 - "ครึ่ง", 1/3 - "สาม", 1/4 - "ไตรมาส"
ทีนี้มาดูกันว่าเศษส่วนสามัญประเภทใด

2 ประเภทของเศษส่วนสามัญ

เศษส่วนทั่วไปมีสามประเภท: ปกติ ไม่เหมาะสม และผสม:

เศษส่วนที่เหมาะสม

ถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน จะเรียกว่าเศษส่วน ถูกต้อง,ตัวอย่างเช่น: เศษส่วนที่เหมาะสมจะน้อยกว่า 1 เสมอ

เศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง

ถ้าตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เรียกว่า เศษส่วน ผิด, ตัวอย่างเช่น:

เศษเกินมากกว่าหนึ่ง (ถ้าตัวเศษมากกว่าตัวส่วน) หรือเท่ากับหนึ่ง (ถ้าตัวเศษเท่ากับตัวส่วน)

เศษส่วนผสม

ถ้าเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม ( ทั้งส่วน) และเศษส่วนที่เหมาะสม (เศษส่วน) แล้วเศษส่วนดังกล่าวเรียกว่า ผสม, ตัวอย่างเช่น:

เศษส่วนคละมากกว่าหนึ่งเสมอ

3 การแปลงเศษส่วน

ในวิชาคณิตศาสตร์ เศษส่วนธรรมดามักจะต้องแปลง นั่นคือเศษส่วนคละต้องกลายเป็นเศษส่วนผิดและในทางกลับกัน สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการดำเนินการบางอย่าง เช่น การคูณและการหาร

ดังนั้น, เศษส่วนผสมใด ๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้. ในการทำเช่นนี้ นำส่วนจำนวนเต็มมาคูณด้วยตัวส่วนและบวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน จำนวนผลลัพธ์จะถือเป็นตัวเศษ และตัวส่วนจะคงเดิม เช่น:

เศษส่วนใด ๆ ที่ไม่ถูกต้องสามารถแปลงเป็นเศษส่วนคละได้ ในการทำเช่นนี้ ให้หารตัวเศษด้วยตัวส่วน (ด้วยเศษส่วน) จำนวนผลลัพธ์จะเป็นส่วนจำนวนเต็ม และส่วนที่เหลือจะเป็นตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น

ในเวลาเดียวกัน พวกเขากล่าวว่า: "เราแยกส่วนทั้งหมดออกจากเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม"

มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ต้องจำไว้: จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมกับตัวส่วน 1, ตัวอย่างเช่น:

เรามาพูดถึงวิธีการเปรียบเทียบเศษส่วนกัน

4 การเปรียบเทียบเศษส่วน

มีหลายตัวเลือกในการเปรียบเทียบเศษส่วน: เปรียบเทียบเศษส่วนได้ง่าย ตัวส่วนเดียวกันยากขึ้นมากหากตัวส่วนต่างกัน นอกจากนี้ยังมีการเปรียบเทียบ เศษส่วนผสม. แต่ไม่ต้องกังวล ตอนนี้เราจะพิจารณาแต่ละตัวเลือกให้ละเอียดยิ่งขึ้นและเรียนรู้วิธีเปรียบเทียบเศษส่วน

การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันแต่ตัวเศษต่างกัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า ตัวอย่างเช่น

การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน

ของเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวเศษเท่ากันแต่ ตัวส่วนที่แตกต่างกันส่วนที่ใหญ่กว่าคือเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่า เช่น

การเปรียบเทียบแบบผสมและ เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมด้วยเศษส่วนที่ถูกต้อง

เศษเกินหรือเศษส่วนผสมจะมากกว่าเศษส่วนที่เหมาะสมเสมอ ตัวอย่างเช่น

การเปรียบเทียบเศษส่วนสองส่วน

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนคละสองตัว เศษส่วนที่มีจำนวนเต็มมากกว่าจะมีค่ามากกว่า เช่น

ถ้าเศษส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนคละเท่ากัน เศษส่วนที่มีเศษส่วนมากกว่าจะมากกว่า ตัวอย่างเช่น

การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน

เป็นไปไม่ได้ที่จะเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนต่างกันโดยไม่ต้องแปลง ขั้นแรก ต้องนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน จากนั้นจึงนำเศษส่วนมาเปรียบเทียบกัน เศษส่วนที่มากกว่าคือเศษที่มีตัวเศษมากกว่า แต่วิธีนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกันเราจะพิจารณาในสองส่วนถัดไปของบทความ ขั้นแรก เราจะพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและการลดลงของเศษส่วน แล้วจึงลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเดียวกันโดยตรง

5 คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน การลดเศษส่วน แนวคิดของ GCD

จดจำ: คุณสามารถบวก ลบ และเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันเท่านั้น. หากตัวส่วนแตกต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน นั่นคือ แปลงหนึ่งในเศษส่วนในลักษณะที่ตัวส่วนกลายเป็นส่วนเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง

เศษส่วนมีหนึ่ง คุณสมบัติที่สำคัญเรียกอีกอย่างว่า คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ถ้าทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ด้วยคุณสมบัตินี้เราสามารถทำได้ ลดเศษส่วน:

การลดเศษส่วนหมายถึงการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน(ดูตัวอย่างด้านบน) เมื่อเราลดเศษส่วน เราสามารถอธิบายการกระทำของเราได้ดังนี้

บ่อยขึ้นในสมุดบันทึกเศษส่วนจะลดลงดังนี้:

แต่โปรดจำไว้ว่า: ตัวคูณเท่านั้นที่สามารถลดได้ หากตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นผลรวมหรือผลต่าง เทอมนั้นจะไม่สามารถลดทอนได้ ตัวอย่าง:

เราต้องแปลงผลรวมเป็นตัวคูณก่อน:

บางครั้งเมื่อทำงานกับ ตัวเลขขนาดใหญ่เพื่อลดเศษส่วนจะสะดวกในการค้นหา ตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วน (gcd)

ตัวหารร่วมมาก (GCD)ตัวเลขหลายตัว - นี่คือจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดซึ่งตัวเลขเหล่านี้หารได้โดยไม่มีเศษเหลือ

ในการหา GCD ของตัวเลขสองตัว (เช่น ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน) คุณต้องขยายตัวเลขทั้งสองเป็น ปัจจัยสำคัญให้จดปัจจัยเดียวกันในการขยายทั้งสองครั้ง แล้วคูณปัจจัยเหล่านี้ ผลิตภัณฑ์ที่ได้จะเป็น GCD ตัวอย่างเช่น เราต้องลดเศษส่วน:

ค้นหา GCD ของตัวเลข 96 และ 36:

GCD แสดงให้เราเห็นว่าทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบ 12 และเราสามารถลดเศษส่วนได้อย่างง่ายดาย

บางครั้งในการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกันก็เพียงพอที่จะลดหนึ่งในเศษส่วน แต่บ่อยครั้งจำเป็นต้องเลือกปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนทั้งสอง ตอนนี้ เราจะมาดูกันว่าจะทำอย่างไร ดังนั้น:

6 วิธีนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

เมื่อเราลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนเดียวกัน เราเลือกจำนวนที่จะหารด้วยทั้งตัวส่วนแรกและตัวที่สองสำหรับตัวส่วน (นั่นคือ มันจะเป็นผลคูณของตัวส่วนทั้งสอง ภาษาคณิตศาสตร์). และเป็นที่พึงปรารถนาว่าตัวเลขนี้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ดังนั้นจึงสะดวกกว่าในการนับ เราจึงต้องหา LCM ของตัวส่วนทั้งสอง

ตัวคูณร่วมน้อยของสองจำนวน (LCM)เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยจำนวนทั้งสองนี้โดยไม่มีเศษเหลือ บางครั้งสามารถพบ LCM ได้ทางปาก แต่บ่อยครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อทำงานกับคนจำนวนมาก คุณต้องค้นหา LCM เป็นลายลักษณ์อักษรโดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

ในการหา LCM ของตัวเลขหลายตัว คุณต้อง:

แยกย่อยตัวเลขเหล่านี้ให้เป็นปัจจัยเฉพาะ
ใช้ส่วนขยายที่ใหญ่ที่สุด และเขียนตัวเลขเหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์
เลือกตัวเลขที่ไม่ได้เกิดขึ้นในส่วนขยายที่ใหญ่ที่สุดในการขยายอื่นๆ (หรือเกิดขึ้น จำนวนน้อยกว่าครั้ง) และเพิ่มลงในงาน
คูณตัวเลขทั้งหมดในผลิตภัณฑ์ นี่จะเป็น LCM

ตัวอย่างเช่น ลองหา LCM ของตัวเลข 28 และ 21:

แต่กลับไปที่เศษส่วนของเรา หลังจากที่เราเลือกหรือคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษร LCM ของตัวส่วนทั้งสองแล้ว เราต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนเหล่านี้ด้วย ตัวคูณเพิ่มเติม. คุณสามารถค้นหาได้โดยการหาร LCM ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น

ดังนั้นเราจึงลดเศษส่วนให้เหลือหนึ่งส่วน - 15

7 การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ให้ลบตัวเศษของเศษส่วนที่สองออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก แล้วปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

การบวกและการลบเศษส่วนคละที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ในการบวกเศษส่วนคละ คุณต้องบวกเศษส่วนทั้งหมดแยกกัน จากนั้นบวกเศษส่วนแล้วเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนคละ:

หากเมื่อเพิ่มส่วนที่เป็นเศษส่วนแล้วได้เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม เราเลือกส่วนจำนวนเต็มจากนั้นเพิ่มไปยังส่วนจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น

การลบดำเนินการในลักษณะเดียวกัน: ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มจะถูกลบออกจากจำนวนเต็มและส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกลบออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน:

ถ้าเศษส่วนของตัวลบมากกว่าเศษส่วนของตัวลบ เราจะ "เอา" หนึ่งตัวจากส่วนจำนวนเต็ม เปลี่ยนตัวลบให้เป็นเศษเกิน จากนั้นดำเนินการตามปกติ:

ในทำนองเดียวกัน ลบเศษส่วนออกจากจำนวนเต็ม:

วิธีบวกจำนวนเต็มและเศษส่วน

ในการบวกจำนวนเต็มและเศษส่วน คุณต้องบวกเลขนี้ก่อนเศษส่วน แล้วคุณจะได้เศษส่วนคละ เช่น

ถ้าเรา บวกจำนวนเต็มและเศษส่วนคละเราเพิ่มตัวเลขนี้ในส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของเศษส่วน เช่น

การบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ในการบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนเหล่านั้นมารวมกันที่ตัวส่วนเดียวกัน แล้วจึงดำเนินการเช่นเดียวกับการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน (เพิ่มตัวเศษ):

เมื่อทำการลบ เราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน:

ถ้าเราทำงานกับเศษส่วนคละ เราจะลดส่วนที่เป็นเศษส่วนให้เหลือส่วนเดียวกัน แล้วลบตามปกติ: ส่วนทั้งหมดจากทั้งหมด และส่วนที่เป็นเศษส่วนจากส่วนที่เป็นเศษส่วน:

8 การคูณและการหารเศษส่วน.

การคูณและหารเศษส่วนนั้นง่ายกว่าการบวกและการลบเพราะคุณไม่ต้องนำเศษส่วนเหล่านั้นมาหารด้วยตัวส่วนเดียวกัน จดจำ กฎง่ายๆการคูณและการหารเศษส่วน:

ก่อนที่จะคูณตัวเลขในตัวเศษและตัวส่วน ขอแนะนำให้ลดเศษส่วน นั่นคือ กำจัด ตัวคูณเดียวกันในตัวเศษและตัวส่วน ดังตัวอย่างของเรา

ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติคุณต้องคูณตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้ และปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง:

ตัวอย่างเช่น:

การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน

คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร (ส่วนกลับ) ส่วนกลับนี้คืออะไร

ถ้าเราพลิกเศษส่วน นั่นคือสลับเศษและส่วน เราจะได้ส่วนกลับ ผลคูณของเศษส่วนและส่วนกลับให้หนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า

ตัวอย่างเช่นตัวเลข เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน เนื่องจาก

ดังนั้นเราจึงกลับไปที่การหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน:

ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร:

ตัวอย่างเช่น:

เมื่อหารเศษส่วนคละ เช่นเดียวกับเมื่อคูณ คุณต้องแปลงเศษส่วนเหล่านั้นเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อน:

เมื่อคูณและหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม คุณยังสามารถแสดงตัวเลขเหล่านี้เป็นเศษส่วนด้วยตัวส่วน 1 .

และที่ หารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนแทนจำนวนนี้เป็นเศษส่วนด้วยตัวส่วน 1 :

ตัวเศษและตัวหารที่เป็นตัวหาร

ในการเขียนเศษส่วน ให้เขียนตัวเศษก่อน จากนั้นลากเส้นแนวนอนใต้ตัวเลขนี้ และเขียนตัวส่วนไว้ใต้เส้น เส้นแนวนอนที่คั่นระหว่างเศษและส่วนเรียกว่าแถบเศษส่วน บางครั้งจะแสดงเป็น "/" หรือ "∕" แบบเอียง ในกรณีนี้ ตัวเศษจะถูกเขียนทางด้านซ้ายของบรรทัด และตัวส่วนจะถูกเขียนทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น เศษส่วน "สองในสาม" จะเขียนเป็น 2/3 เพื่อความชัดเจน ตัวเศษมักจะเขียนที่ด้านบนสุดของบรรทัด และตัวส่วนที่ด้านล่าง นั่นคือ แทนที่จะเป็น 2/3 คุณจะพบ: ⅔

ในการคำนวณผลคูณของเศษส่วน ขั้นแรกให้คูณตัวเศษของหนึ่ง เศษส่วนให้กับตัวเศษอื่น เขียนผลลัพธ์เป็นตัวเศษของใหม่ เศษส่วน. แล้วคูณตัวส่วนด้วย. ระบุค่าสุดท้ายในใหม่ เศษส่วน. ตัวอย่างเช่น 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)

ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วนอื่น ให้นำเศษของส่วนแรกไปคูณกับส่วนของส่วนที่สอง ทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วนที่สอง (ตัวหาร) หรือก่อนที่จะดำเนินการตามขั้นตอนทั้งหมด ก่อนอื่นให้ "พลิก" ตัวหาร หากสะดวกกว่าสำหรับคุณ: ตัวส่วนควรอยู่ในตำแหน่งตัวเศษ จากนั้นให้คูณส่วนของเงินปันผลด้วยตัวส่วนใหม่ของตัวหารแล้วคูณด้วยตัวเศษ ตัวอย่างเช่น 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3)

แหล่งที่มา:

งานพื้นฐานสำหรับเศษส่วน

ตัวเลขเศษส่วนช่วยให้คุณแสดงออกได้ รูปแบบที่แตกต่างกันมูลค่าที่แน่นอนของปริมาณ คุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับเศษส่วน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม: การลบ การบวก การคูณและการหาร เพื่อเรียนรู้วิธีการตัดสินใจ เศษส่วนจำเป็นต้องจดจำคุณสมบัติบางอย่างของพวกเขา ขึ้นอยู่กับประเภท เศษส่วน, การมีอยู่ของส่วนจำนวนเต็ม, ตัวส่วนร่วม. บาง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลังจากดำเนินการ พวกเขาต้องการลดส่วนที่เป็นเศษส่วนของผลลัพธ์

คุณจะต้องการ

- เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

ดูตัวเลขอย่างระมัดระวัง หากมีทศนิยมและไม่สม่ำเสมอในเศษส่วน บางครั้งอาจสะดวกกว่าในการดำเนินการกับทศนิยมก่อน แล้วจึงแปลงให้เป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง คุณสามารถแปล เศษส่วนในรูปแบบนี้ เริ่มแรกเขียนค่าหลังจุดทศนิยมในตัวเศษและใส่ 10 ในตัวส่วน หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนโดยการหารตัวเลขด้านบนและด้านล่างด้วยตัวหารหนึ่งตัว เศษส่วนที่ส่วนทั้งหมดเด่นออกมา ทำให้เกิดรูปแบบที่ไม่ถูกต้องโดยการคูณด้วยตัวส่วนและบวกตัวเศษเข้ากับผลลัพธ์ ค่านี้จะกลายเป็นตัวเศษใหม่ เศษส่วน. เพื่อแยกส่วนทั้งหมดออกจากจุดเริ่มต้นที่ไม่ถูกต้อง เศษส่วน, หารตัวเศษด้วยตัวส่วน. เขียนผลลัพธ์ทั้งหมดจาก เศษส่วน. และส่วนที่เหลือของการหารจะกลายเป็นเศษใหม่, ตัวส่วน เศษส่วนในขณะที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเศษส่วนที่มีส่วนของจำนวนเต็ม คุณสามารถดำเนินการแยกกันได้ ขั้นแรกสำหรับจำนวนเต็มและจากนั้นสำหรับส่วนที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณผลรวมของ 1 2/3 และ 2 ¾ ได้:
- การแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- ผลรวมแยกส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนของเงื่อนไข:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

เขียนใหม่ผ่านตัวคั่น ":" และดำเนินการต่อตามปกติ

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย ให้ลดเศษส่วนที่เกิดขึ้นโดยการหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน ซึ่งเป็นจำนวนที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ใน กรณีนี้. ในกรณีนี้ ต้องมีเลขจำนวนเต็มด้านบนและด้านล่างของบรรทัด

บันทึก

อย่าคิดเลขด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เลือกตัวเลขที่เมื่อนำเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมาคูณกัน ผลที่ได้คือตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองมีค่าเท่ากัน

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อทำการบันทึก ตัวเลขเศษส่วนเงินปันผลเขียนไว้เหนือบรรทัด ปริมาณนี้เรียกว่าตัวเศษของเศษส่วน ใต้บรรทัดจะเขียนตัวหารหรือตัวส่วนของเศษส่วน ตัวอย่างเช่น ข้าว 1 กิโลกรัมครึ่งในรูปเศษส่วนจะเขียนได้ดังนี้ ข้าว 1 ½ กิโลกรัม ถ้าตัวส่วนของเศษส่วนเป็น 10 เรียกว่า เศษส่วนทศนิยม ในกรณีนี้ ตัวเศษ (เงินปันผล) เขียนไว้ทางด้านขวาของส่วนทั้งหมดโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค: ข้าว 1.5 กก. เพื่อความสะดวกในการคำนวณสามารถเขียนเศษส่วนดังกล่าวได้เสมอ ทางที่ผิด: มันฝรั่ง 1 2/10 กก. เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณสามารถลดค่าตัวเศษและตัวส่วนโดยการหารด้วยจำนวนเต็มเดียว ที่ ตัวอย่างนี้สามารถหารด้วย 2 ได้ ผลลัพธ์จะเป็นมันฝรั่ง 1 1/5 กิโลกรัม ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณจะคำนวณด้วยนั้นอยู่ในรูปแบบเดียวกัน

คณิตศาสตร์ "เศษส่วน" สำหรับเด็ก

ตกลงทันทีว่าเศษส่วนเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมดน้อยกว่าหนึ่ง เราจะแบ่งทั้งหมดออกเป็นกี่ส่วน? และนี่คือวิธีที่เราเห็นด้วย อะไรจะถือว่าเป็นหน่วย? เหมือนกับที่เราเห็นด้วย นั่นเป็นวิธีที่รองรับเศษส่วนเหล่านี้ และคุณต้องจำสิ่งหนึ่งด้วย: จำนวนที่เราตัดสินใจแบ่งทั้งหมดออกเป็นกี่ส่วนคือตัวส่วน กี่ส่วนที่เราเอามาเป็นตัวเศษ

ตัวอย่างเช่นนี่คือเรื่องราว บนพื้นหญ้ามีแอปเปิ้ล 3 ลูกเม่นกินเพียง 2 ผลสำหรับทั้งหมด (หนึ่งผล) เราจะเอาแอปเปิ้ลทั้งหมด - พืชผลทั้งหมด แต่เรามี 3 ส่วน ซึ่งหมายความว่าพืชผลของเราแบ่งออกเป็น 3 ส่วน 3 เป็นตัวส่วน พืชผลทั้งหมด (หน่วย) คือ 3/3 และแอปเปิ้ลแต่ละผลคือ 1/3 ของการครอบตัด เนื่องจากเม่นกินแอปเปิ้ล 2 ผล หมายความว่ามันกินผล 2/3 ของผล!

และคุณสามารถใช้เลโก้ซึ่งเป็นนักออกแบบที่เด็ก ๆ หลายคนชื่นชอบ เราสังเกตเห็นมานานแล้วว่าองค์ประกอบทั้งหมดมีขนาดแตกต่างกันใช่ไหม และในทุกรายละเอียด จำนวนที่แตกต่างกันจุด - "สิว" มานับกัน - นี่คือหนึ่ง สอง สี่ หก และแม้แต่แปด

ลองพิจารณาเลโก้ "อิฐ" ที่มีแปดจุดโดยรวม (หนึ่ง) ก่อนอื่นลองเปรียบเทียบกับที่อื่น คุณต้องใช้เลโก้กี่ชิ้นที่มี 4 จุดเพื่อสร้าง "ตัวต่อ" ของเรา ถูกต้องสอง ดังนั้น หนึ่งรายละเอียดที่มี 4 คะแนนคือ 1/2 ของ "หนึ่ง" ของเรา และต้องใช้รายละเอียดกี่จุดจึงจะได้ทั้งหมด ถูกต้องสี่ ดังนั้น หนึ่งรายละเอียดดังกล่าวคือ 1/4 และรายละเอียดที่มีจุดเดียวคือ 1/8 เนื่องจากรายละเอียดดังกล่าวจะต้องใช้มากถึง 8 ชิ้นในการสร้างทั้งหมด ตอนนี้งานซับซ้อนขึ้น: เรามีองค์ประกอบที่มีหกจุด มันพอดีกับ 3 "ไตรมาส" และถ้าคุณเพิ่มเข้าไปอีก คุณจะได้ทั้งหมด (หนึ่ง) นี่คือตัวอย่างแรกพร้อมแล้ว: 3/4+1/4=4/4 หรือ 1 (หากตัวเศษและตัวส่วนเท่ากัน แสดงว่าเป็นหนึ่ง!)

นี่ไม่ใช่การทดลองเดียวที่สามารถทำได้กับเลโก้ ด้วยเศษส่วน คุณสามารถเห็นด้วยอย่างมาก แต่ถ้าเราเหมือนกันเราจะไม่พิจารณาไตรมาส แต่เป็นแปด? และตัวส่วนจะเป็น 8? เราดูรูป: หน่วยเป็น "อิฐ" ที่มีแปดจุด 1/2 คือ 4/8 และ 1/4=2/8 และนี่คือเรื่องราวเกี่ยวกับวิธีการลดเศษส่วน แต่หัวข้อนี้สามารถรอสักครู่!

ตัวอย่างที่มีเศษส่วนเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ มีมากมาย ประเภทต่างๆสมการที่มีเศษส่วน ด้านล่างนี้คือ คำแนะนำโดยละเอียดโดยการแก้ตัวอย่างประเภทนี้

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - กฎทั่วไป

ในการแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วนประเภทใดก็ตาม ไม่ว่าจะเป็นการบวก การลบ การคูณหรือการหาร คุณจำเป็นต้องรู้กฎพื้นฐาน:

ในการบวกนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน (ตัวส่วนคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน ตัวเศษอยู่ด้านบน) คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยตัวส่วนไว้เท่าเดิม
ในการลบเศษส่วนที่สองออกจากนิพจน์เศษส่วน (ที่มีตัวส่วนเท่ากัน) คุณต้องลบตัวเศษออกและปล่อยให้ตัวส่วนเท่ากัน
ในการบวกหรือลบนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องหาตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด
ในการหาผลคูณที่เป็นเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วน และถ้าเป็นไปได้ ให้ลดจำนวนลง
ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยวินาทีที่ย้อนกลับ

วิธีแก้ตัวอย่างเศษส่วน - แบบฝึกหัด

กฎข้อที่ 1 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ 3/4 +1/4

ตามกฎข้อที่ 1 ถ้าเศษของสอง (หรือมากกว่า) มีตัวส่วนเท่ากัน คุณก็แค่บวกตัวเศษเข้าไป เราได้: 3/4 + 1/4 = 4/4 ถ้าเศษส่วนมีตัวเศษและตัวส่วนเท่ากัน เศษส่วนจะเป็น 1

คำตอบ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

กฎข้อที่ 2 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 - 1/4

ใช้กฎข้อที่ 2 ในการแก้สมการนี้ คุณต้องลบ 1 ออกจาก 3 และปล่อยตัวส่วนไว้เท่าเดิม เราได้ 2/4 เนื่องจากสามารถลดได้สอง 2 และ 4 เราจึงลดและได้ 1/2

คำตอบ: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2

กฎข้อที่ 3 ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ: 3/4 + 1/6

วิธีแก้ไข: ใช้กฎข้อที่ 3 เราจะหาตัวส่วนร่วมน้อยที่สุด ตัวส่วนร่วมน้อยคือจำนวนที่หารด้วยตัวส่วนของทั้งหมด นิพจน์เศษส่วนตัวอย่าง. ดังนั้นเราต้องหาจำนวนขั้นต่ำที่จะหารด้วยทั้ง 4 และ 6 จำนวนนี้คือ 12 เราเขียน 12 เป็นตัวส่วน 12 หารด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก เราได้ 3 คูณด้วย 3 เราเขียน 3 ในตัวเศษ *3 และเครื่องหมาย + เราหาร 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง เราได้ 2 เราคูณ 2 ด้วย 1 เราเขียน 2 * 1 ในตัวเศษ ดังนั้นเราจึงได้เศษส่วนใหม่ที่มีตัวส่วนเท่ากับ 12 และตัวเศษเท่ากับ 3*3+2*1=11 11/12.

คำตอบ: 11/12

กฎข้อที่ 3 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 3/4 - 1/6 ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้ามาก เราทำสิ่งเดียวกันทั้งหมด แต่ในตัวเศษแทนที่จะเป็นเครื่องหมาย + เราเขียนเครื่องหมายลบ เราได้: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12

คำตอบ: 7/12

กฎข้อที่ 4 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 * 1/4

ใช้กฎข้อที่สี่ เราคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของส่วนที่สองและตัวเศษของเศษส่วนที่หนึ่งด้วยตัวเศษของส่วนที่สอง 3*1/4*4 = 3/16.

คำตอบ: 3/16

กฎข้อที่ 4 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 2/5 * 10/4

เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ ในกรณีของผลคูณ ตัวเศษของเศษส่วนแรกและส่วนที่สองและเศษของเศษส่วนที่สองและตัวส่วนของส่วนแรกจะลดลง

2 ลดลงจาก 4 10 ลดลงจาก 5 เราได้ 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1

คำตอบ: 2/5 * 10/4 = 1

กฎข้อที่ 5 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4: 5/6

เมื่อใช้กฎข้อที่ 5 เราได้: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5 เราลดเศษส่วนตามหลักการของตัวอย่างที่แล้วและได้ 9/10

คำตอบ: 9/10

วิธีแก้ตัวอย่างเศษส่วน - สมการเศษส่วน

สมการเศษส่วนเป็นตัวอย่างที่ตัวส่วนประกอบด้วยสิ่งที่ไม่รู้จัก ในการแก้สมการดังกล่าว คุณต้องใช้กฎบางอย่าง

พิจารณาตัวอย่าง:

แก้สมการ 15/3x+5 = 3

จำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ เช่น ค่าส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ ต้องระบุสิ่งนี้เมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว ในการทำเช่นนี้ มี ODZ (ช่วงของค่าที่ยอมรับได้)

ดังนั้น 3x+5 ≠ 0
ดังนั้น: 3x ≠ 5
x ≠ 5/3

สำหรับ x = 5/3 สมการนี้ไม่มีคำตอบ

โดยการระบุ ODZ ในทางที่ดีที่สุดตัดสินใจ สมการที่กำหนดจะกำจัดเศษส่วน สำหรับสิ่งนี้ก่อนอื่นเราจินตนาการทั้งหมด ค่าเศษส่วนเป็นเศษส่วน ในกรณีนี้คือเลข 3 เราได้: 15/(3x+5) = 3/1 ในการกำจัดเศษส่วน คุณต้องคูณแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด ในกรณีนี้ จะเป็น (3x+5)*1 ลำดับ:

คูณ 15/(3x+5) ด้วย (3x+5)*1 = 15*(3x+5)
ขยายวงเล็บ: 15*(3x+5) = 45x + 75
เราทำเช่นเดียวกันกับ ด้านขวาสมการ: 3*(3x+5) = 9x + 15
ชิดซ้ายและ ด้านขวา: 45x + 75 = 9x +15
เลื่อน x ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา: 36x = -50
ค้นหา x: x = -50/36
เราลด: -50/36 = -25/18

คำตอบ: ODZ x ≠ 5/3 x = -25/18.

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - อสมการเศษส่วน

อสมการเศษส่วนประเภท (3x-5)/(2-x)≥0 แก้ได้โดยใช้แกนตัวเลข พิจารณาตัวอย่างนี้

ลำดับ:

เปรียบตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
เราวาดแกนตัวเลขโดยวาดค่าผลลัพธ์
วาดวงกลมใต้ค่า วงกลมมีสองประเภท - เต็มและว่างเปล่า วงกลมที่เต็มไปด้วยหมายความว่า ค่าที่กำหนดรวมอยู่ในกลุ่มของโซลูชั่น วงกลมว่างแสดงว่าค่านี้ไม่รวมอยู่ในช่วงของโซลูชัน
เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ จะมีวงกลมว่างอยู่ใต้ส่วนที่ 2

ในการกำหนดสัญญาณ เราแทนจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสองลงในสมการ เช่น 3 (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4 ค่าเป็นลบ เราจึงเขียนลบทับพื้นที่หลังผีสาง จากนั้นเราแทนค่าใดๆ ของช่วงเวลาตั้งแต่ 5/3 ถึง 2 แทน x เช่น 1 ค่าที่ได้จะเป็นค่าลบอีกครั้ง เราเขียนลบ เราทำซ้ำเช่นเดียวกันกับพื้นที่มากถึง 5/3 เราแทนที่จำนวนใด ๆ ที่น้อยกว่า 5/3 เช่น 1 ลบอีกครั้ง

เนื่องจากเราสนใจค่า x ซึ่งนิพจน์จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และไม่มีค่าดังกล่าว (เสียทุกที่) ความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงไม่มีทางออก เช่น x = Ø (เซตว่าง)

คำตอบ: x = Ø

ส่วนหนึ่งของหน่วยหรือหลายส่วนเรียกว่าเศษส่วนธรรมดาหรือเศษส่วนธรรมดา ปริมาณ ส่วนเท่ากันซึ่งหน่วยที่แบ่งออกมาเรียกว่า ตัวส่วน และจำนวนส่วนที่รับได้เรียกว่า ตัวเศษ เศษส่วนเขียนเป็น:

ในกรณีนี้ a เป็นตัวเศษ b เป็นตัวส่วน

ถ้าตัวเศษ น้อยกว่าตัวส่วนแล้วเรียกเศษส่วนที่น้อยกว่า 1 เศษส่วนที่เหมาะสม. ถ้าตัวเศษมากกว่าตัวส่วน เศษส่วนนั้นมากกว่า 1 เศษส่วนนั้นเรียกว่าเศษเกิน

ถ้าตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน เศษส่วนนั้นก็จะเท่ากัน

1. ถ้าตัวเศษสามารถหารด้วยตัวส่วนได้ เศษส่วนนี้จะเท่ากับผลหารของการหาร:

ถ้าหารด้วยเศษเหลือ เศษเกินนี้อาจแทนด้วยจำนวนคละได้ เช่น

จากนั้น 9 เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (ส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละ)
1 - ส่วนที่เหลือ (ตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน)
5 เป็นตัวส่วน

ในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วน ให้นำส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละมาคูณกับตัวส่วนแล้วบวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน

ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนธรรมดา และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม

การกระทำที่มีเศษส่วน

การขยายตัวของเศษส่วนค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์
ตัวอย่างเช่น:

การลดเศษส่วนค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและตัวส่วนถูกหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน
ตัวอย่างเช่น:

การเปรียบเทียบเศษส่วนในเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวเศษเท่ากัน ตัวที่ใหญ่กว่าคือตัวส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่า:

ในเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าจะมากกว่า:

ในการเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน จำเป็นต้องขยายออกไป กล่าวคือ นำไปที่ ตัวส่วนร่วม. ตัวอย่างเช่น พิจารณาเศษส่วนต่อไปนี้:

การบวกและการลบเศษส่วน.หากตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากัน ดังนั้นในการบวกเศษส่วน จำเป็นต้องบวกตัวเศษ และเพื่อที่จะลบเศษส่วน จำเป็นต้องลบตัวเศษออก ผลรวมหรือผลต่างที่ได้จะเป็นตัวเศษของผลลัพธ์ ในขณะที่ตัวส่วนจะยังคงเท่าเดิม ถ้าตัวส่วนของเศษส่วนต่างกัน คุณต้องลดเศษส่วนให้เหลือส่วนร่วมก่อน เมื่อเพิ่ม ตัวเลขผสมจำนวนเต็มและเศษส่วนจะถูกเพิ่มแยกกัน เมื่อทำการลบจำนวนคละ ก่อนอื่นคุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นให้ลบออกจากกัน จากนั้นจึงนำผลลัพธ์กลับมาอยู่ในรูปของจำนวนคละอีกครั้ง หากจำเป็น

การคูณเศษส่วน. ในการคูณเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน แล้วหารผลคูณของเศษส่วนแรกด้วยเศษส่วนที่สอง

การหารเศษส่วน. ในการหารตัวเลขด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนนั้นด้วยส่วนกลับ

ทศนิยมเป็นผลของการหารหนึ่งต่อสิบ หนึ่งร้อย หนึ่งพัน เป็นต้น ชิ้นส่วน ขั้นแรก ให้เขียนส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข จากนั้นวางจุดทศนิยมทางด้านขวา หลักแรกหลังจุดทศนิยมหมายถึงจำนวนหนึ่งในสิบ, หลักที่สอง - จำนวนหนึ่งในร้อย, หลักที่สาม - จำนวนหนึ่งในพัน ฯลฯ ตัวเลขหลังจุดทศนิยมเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม

ตัวอย่างเช่น:

คุณสมบัติทศนิยม

คุณสมบัติ:

เศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเพิ่มศูนย์ทางด้านขวา: 4.5 = 4.5000
เศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนแปลงถ้าศูนย์ที่อยู่ท้ายเศษส่วนทศนิยมถูกลบออก: 0.0560000 = 0.056
ทศนิยมจะเพิ่มขึ้นที่ 10, 100, 1,000 และอื่น ๆ ครั้ง ถ้าคุณย้ายจุดทศนิยมไปที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตำแหน่งทางขวา: 4.5 45 (เศษส่วนเพิ่มขึ้น 10 เท่า)
ทศนิยมจะลดลง 10, 100, 1,000 เป็นต้น ครั้ง ถ้าคุณย้ายจุดทศนิยมไปที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตำแหน่งทางซ้าย: 4.5 0.45 (เศษส่วนลดลง 10 เท่า)

ทศนิยมตามคาบประกอบด้วยกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกันไม่รู้จบ เรียกว่า จุด: 0.321321321321…=0,(321)

การดำเนินการกับทศนิยม

การบวกและการลบทศนิยมทำได้ในลักษณะเดียวกับการบวกและการลบจำนวนเต็ม คุณจะต้องเขียนทศนิยมที่สอดคล้องกันไว้ใต้ตำแหน่งอื่นเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น:

การคูณเศษส่วนทศนิยมดำเนินการในหลายขั้นตอน:

เราคูณทศนิยมเป็นจำนวนเต็มโดยไม่ต้องคำนึงถึงจุดทศนิยม
กฎนี้มีผลบังคับใช้: จำนวนตำแหน่งทศนิยมในผลคูณเท่ากับผลรวมของตำแหน่งทศนิยมในทุกปัจจัย

ตัวอย่างเช่น:

ผลรวมของจำนวนตำแหน่งทศนิยมในตัวประกอบคือ: 2+1=3 ตอนนี้คุณต้องนับ 3 หลักจากจุดสิ้นสุดของจำนวนผลลัพธ์และใส่จุดทศนิยม: 0.675

การหารทศนิยม. การหารทศนิยมด้วยจำนวนเต็ม: ถ้าเงินปันผล ตัวหารน้อยลงจากนั้นคุณต้องเขียนศูนย์ในส่วนจำนวนเต็มของผลหารและใส่จุดทศนิยมตามหลัง จากนั้นโดยไม่ต้องคำนึงถึงจุดทศนิยมของเงินปันผล ให้เพิ่มหลักถัดไปของส่วนที่เป็นเศษส่วนลงในส่วนจำนวนเต็มและเปรียบเทียบส่วนที่เป็นจำนวนเต็มที่เป็นผลลัพธ์ของเงินปันผลกับตัวหารอีกครั้ง หากตัวเลขใหม่น้อยกว่าตัวหารอีกครั้ง การดำเนินการจะต้องทำซ้ำ กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าเงินปันผลที่ได้จะมากกว่าตัวหาร หลังจากนั้น การหารจะดำเนินการเช่นเดียวกับจำนวนเต็ม หากเงินปันผลมากกว่าหรือเท่ากับตัวหาร ขั้นแรกให้นำส่วนที่เป็นจำนวนเต็มมาหารแล้วเขียนผลลัพธ์ของการหารลงในผลหารและใส่จุดทศนิยม หลังจากนั้น การหารจะดำเนินต่อไป เช่นเดียวกับในกรณีของจำนวนเต็ม

การหารเศษส่วนทศนิยมหนึ่งส่วนให้เป็นอีกส่วน: ขั้นแรก จุดทศนิยมในตัวหารและตัวหารจะถูกถ่ายโอนด้วยจำนวนตำแหน่งทศนิยมในตัวหาร นั่นคือ เราทำให้ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม และดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

เพื่อที่จะเลี้ยว ทศนิยมในรูปแบบธรรมดาจำเป็นต้องใช้ตัวเลขหลังจุดทศนิยมเป็นตัวเศษและใช้กำลัง k ของสิบเป็นตัวส่วน (k คือจำนวนตำแหน่งทศนิยม) ส่วนจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์จะถูกรักษาไว้ในเศษส่วนร่วม ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มศูนย์จะถูกละไว้
ตัวอย่างเช่น:

เพื่อที่จะเลี้ยว เศษส่วนร่วมเป็นทศนิยมจำเป็นต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วนตามกฎการหาร

เปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของหน่วย เช่น 5% หมายถึง 0.05 อัตราส่วนคือผลหารของการหารจำนวนหนึ่งด้วยจำนวนอื่น สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน

ตัวอย่างเช่น:

คุณสมบัติหลักของสัดส่วน: ผลคูณของสมาชิกสุดโต่งของสัดส่วนเท่ากับผลคูณของสมาชิกตัวกลาง นั่นคือ 5x30 = 6x25 ปริมาณสองปริมาณที่ขึ้นต่อกันเรียกว่าสัดส่วนหากอัตราส่วนของปริมาณยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน)

ดังนั้นจึงมีการเปิดเผยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้
ตัวอย่างเช่น:

ชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนบวกและลบ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) และศูนย์ มากกว่า คำจำกัดความที่แม่นยำจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ ต่อไปนี้เป็นจำนวนตรรกยะ ถ้าสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาที่ลดทอนไม่ได้ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม

สำหรับ จำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์(โมดูลัส) เป็นจำนวนบวกที่ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" สำหรับ จำนวนบวกและศูนย์คือตัวเลขนั่นเอง ในการกำหนดโมดูลัสของตัวเลข จะใช้เส้นตรงสองเส้นซึ่งเขียนตัวเลขนี้ไว้ข้างใน ตัวอย่างเช่น |–5|=5

คุณสมบัติค่าสัมบูรณ์

ให้ค่าโมดูลัสของตัวเลข ซึ่งคุณสมบัติถูกต้อง:

monomial คือผลคูณของปัจจัยตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งแต่ละตัวจะเป็นตัวเลขหรือตัวอักษร หรือยกกำลังของตัวอักษร: 3 x a x b ค่าสัมประสิทธิ์มักถูกเรียกว่าเป็นตัวประกอบตัวเลขเท่านั้น Monomials จะคล้ายกันหากเหมือนกันหรือแตกต่างกันในค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ระดับของ monomial คือผลรวมของเลขยกกำลังของตัวอักษรทั้งหมด หากมีสิ่งที่คล้ายคลึงกันในผลรวมของ monomials ผลรวมจะลดลงเป็นมากขึ้น สายตาธรรมดา: 3 x ก x ข + 6 x ก \u003d 3 x ก x (ข + 2) การดำเนินการนี้เรียกว่าการบีบบังคับของคำหรือวงเล็บที่เหมือนกัน

พหุนามคือ ผลรวมเชิงพีชคณิตโมโนเมียล ดีกรีของพหุนามคือดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของโมโนเมียลที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด

มีสูตรต่อไปนี้สำหรับการคูณแบบย่อ:

วิธีการแยกตัวประกอบ:

เศษส่วนพีชคณิตเป็นนิพจน์ของรูปแบบ โดยที่ A และ B สามารถเป็นตัวเลข โมโนเมียล โพลิโนเมียล

หากสองนิพจน์ (ตัวเลขและตัวอักษร) เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย "=" แสดงว่ามีความเท่าเทียมกัน ความเท่าเทียมกันที่แท้จริงใด ๆ ที่ถูกต้องสำหรับทุกคนที่ยอมรับได้ ค่าตัวเลขตัวอักษรรวมอยู่ในนั้นเรียกว่าตัวตน

สมการคือความเท่าเทียมกันตามตัวอักษรที่ใช้ได้ ค่าบางอย่างตัวอักษรรวมอยู่ในนั้น ตัวอักษรเหล่านี้เรียกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) และค่าที่สมการที่กำหนดกลายเป็นเอกลักษณ์ เรียกว่ารากของสมการ

การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมด สมการสองสมการขึ้นไปจะสมมูลกันหากมีรากเดียวกัน

ศูนย์คือรากของสมการ
สมการมีเพียง จำนวนจำกัดราก.

สมการพีชคณิตประเภทหลัก:

สมการเชิงเส้นมี ax + b = 0:

ถ้า a x 0 แสดงว่ามีรากเดียว x = -b/a;
ถ้า a = 0, b ≠ 0, ไม่มีราก;
ถ้า a = 0, b = 0 แสดงว่ารากเป็นจำนวนจริงใดๆ

สมการ xn = a, n N:

ถ้า n - เลขคี่, มีรูทจริงเท่ากับ a/n สำหรับ a ใดๆ
ถ้า n เป็นเลขคู่ ดังนั้นสำหรับ 0 แสดงว่ามันมีสองราก

หลัก การแปลงที่เหมือนกัน: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่ง เท่ากัน; การถ่ายโอนเงื่อนไขของสมการจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม การคูณหรือหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยนิพจน์ (ตัวเลข) เดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์

สมการเชิงเส้นที่มีสมการที่ไม่รู้จักคือสมการในรูปแบบ: ax+b=0 โดยที่ a และ b คือ หมายเลขที่รู้จักและ x เป็นปริมาณที่ไม่รู้จัก

ระบบของสอง สมการเชิงเส้นมีสองรูปแบบที่ไม่รู้จัก:

โดยที่ a, b, c, d, e, f จะได้รับตัวเลข; x, y ไม่เป็นที่รู้จัก

ตัวเลข a, b, c, d - ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก e, f - สมาชิกฟรี คำตอบของระบบสมการนี้สามารถหาได้จากสองวิธีหลัก: วิธีแทน: จากสมการหนึ่ง เราแสดงสมการที่ไม่รู้จักผ่านค่าสัมประสิทธิ์และอีกสมการที่ไม่ทราบ จากนั้นเราแทนมันลงในสมการที่สองเพื่อแก้สมการสุดท้าย อันดับแรก เราจะหาค่าที่ไม่รู้จัก จากนั้นแทนค่าที่พบลงในสมการแรกและหาค่าที่ไม่ทราบค่าที่สอง วิธีการบวกหรือลบสมการหนึ่งจากอีกสมการหนึ่ง

การดำเนินการกับราก:

เลขคณิต รากของ nระดับจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ a เรียกว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบ ระดับที่ nซึ่งเท่ากับ a รากเกี่ยวกับพีชคณิต ระดับที่ nจาก หมายเลขที่กำหนดชุดของรากทั้งหมดจากหมายเลขนี้เรียกว่า

จำนวนอตรรกยะ ซึ่งแตกต่างจากจำนวนตรรกยะ ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนแบบลดทอนไม่ได้ทั่วไปในรูปแบบ m/n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม นี่คือตัวเลขประเภทใหม่ที่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ แต่ไม่สามารถแทนที่ได้ จำนวนตรรกยะ. อาจปรากฏเป็นผลจากการวัดทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อความยาวของด้านเท่ากัน

มีสมการกำลังสอง สมการพีชคณิตระดับที่สอง ax2+bx+c=0 โดยที่ a, b, c - กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขหรือตัวอักษร x - ไม่ทราบ ถ้าเราหารเงื่อนไขทั้งหมดของสมการนี้ด้วย a ผลลัพธ์ที่ได้คือ x2+px+q=0 - สมการที่ลดลง p=b/a, q=c/a รากของมันถูกค้นพบโดยสูตร:

ถ้า b2-4ac>0 แสดงว่ามีสองตัว รากที่แตกต่างกัน, b2- 4ac=0 แล้วมีสอง รากเท่ากัน; b2-4ac สมการที่มีโมดูล

ประเภทหลักของสมการที่มีโมดูล:
1) |ฉ(x)| = |g(x)|;
2) |ฉ(x)| = ก(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N โดยที่ f(x), g(x), fk(x), gk(x) ได้รับฟังก์ชัน