อยู่แล้วใน โรงเรียนประถมนักเรียนกำลังจัดการกับเศษส่วน แล้วปรากฏในทุกหัวข้อ เป็นไปไม่ได้ที่จะลืมการกระทำกับตัวเลขเหล่านี้ ดังนั้น คุณจำเป็นต้องรู้ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม แนวคิดเหล่านี้เรียบง่าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจทุกอย่างตามลำดับ

ทำไมจึงต้องมีเศษส่วน?

โลกรอบตัวเราประกอบด้วยวัตถุทั้งหมด จึงไม่จำเป็นต้องมีหุ้น แต่ ชีวิตประจำวันผลักดันให้คนทำงานกับส่วนต่าง ๆ ของวัตถุและสิ่งของอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น ช็อคโกแลตประกอบด้วยหลายชิ้น พิจารณาสถานการณ์ที่กระเบื้องประกอบด้วยสิบสองสี่เหลี่ยม ถ้าแบ่งเป็น 2 ส่วนจะได้ 6 ส่วน จะแบ่งเป็นสามส่วนอย่างดี แต่ทั้งห้าคนจะไม่สามารถให้ช็อกโกแลตได้เต็มจำนวน

อย่างไรก็ตาม ชิ้นเหล่านี้เป็นเศษส่วนอยู่แล้ว และการหารเพิ่มเติมนำไปสู่การปรากฏตัวของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น

"เศษส่วน" คืออะไร?

เป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ของหนึ่ง ภายนอกดูเหมือนตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแนวนอนหรือเครื่องหมายทับ คุณลักษณะนี้เรียกว่าเศษส่วน ตัวเลขที่เขียนไว้ด้านบน (ซ้าย) เรียกว่า ตัวเศษ อันที่อยู่ด้านล่าง (ขวา) เป็นตัวส่วน

อันที่จริง แถบเศษส่วนกลายเป็นเครื่องหมายหาร นั่นคือตัวเศษสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวหารและตัวส่วนสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวหาร

เศษส่วนคืออะไร?

ในวิชาคณิตศาสตร์มีเพียงสองประเภทเท่านั้น: เศษส่วนธรรมดาและเศษส่วนทศนิยม แนะนำให้รู้จักกับเด็กนักเรียนก่อน โรงเรียนประถมเรียกง่ายๆ ว่า "เศษส่วน" เรียนครั้งที่สองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นั่นคือเมื่อชื่อเหล่านี้ปรากฏขึ้น

เศษส่วนร่วมคือส่วนที่เขียนเป็นตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแถบ ตัวอย่างเช่น 4/7 ทศนิยมคือตัวเลขที่ส่วนที่เป็นเศษส่วนมีสัญกรณ์ตำแหน่งและแยกจากจำนวนเต็มด้วยเครื่องหมายจุลภาค ตัวอย่างเช่น 4.7 นักเรียนต้องมีความชัดเจนว่าตัวอย่างทั้งสองที่ให้มานั้นเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

ทั้งหมด เศษส่วนง่ายสามารถเขียนเป็นทศนิยมได้ ประโยคนี้มักจะเป็นจริงเสมอใน ทิศทางย้อนกลับ. มีกฎที่อนุญาตให้คุณเขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

เศษส่วนประเภทนี้มีชนิดย่อยอะไรบ้าง?

เริ่มต้นที่ดีกว่าที่ ลำดับเวลาขณะที่พวกเขากำลังศึกษาอยู่ ไปก่อน เศษส่วนทั่วไป. ในหมู่พวกเขามี 5 ชนิดย่อยสามารถแยกแยะได้

ถูกต้อง. ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ

ผิด. ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน

ลดไม่ได้/ลดไม่ได้. มันอาจจะถูกหรือผิดก็ได้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ ไม่ว่าตัวเศษและตัวส่วนจะมีตัวประกอบร่วมหรือไม่ หากมีก็ควรจะหารทั้งสองส่วนของเศษส่วนนั่นคือเพื่อลดมัน

ผสม จำนวนเต็มถูกกำหนดให้เป็นเศษส่วนที่ถูกต้อง (ไม่ถูกต้อง) ตามปกติ และมักจะยืนชิดซ้ายเสมอ

คอมโพสิต มันเกิดจากเศษส่วนสองส่วนหารกัน นั่นคือมีคุณสมบัติที่เป็นเศษส่วนสามส่วนพร้อมกัน

ทศนิยมมีเพียงสองชนิดย่อย:

สุดท้ายคือส่วนที่ จำกัด ส่วนที่เป็นเศษส่วน (มีจุดสิ้นสุด);

อนันต์ - ตัวเลขที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมไม่สิ้นสุด (สามารถเขียนได้ไม่สิ้นสุด)

วิธีการแปลงทศนิยมเป็นสามัญ?

ถ้านี้ จำนวนจำกัดจากนั้นจะใช้การเชื่อมโยงตามกฎ - ตามที่ฉันได้ยิน ดังนั้นฉันจึงเขียน นั่นคือคุณต้องอ่านอย่างถูกต้องและจดไว้ แต่ไม่มีเครื่องหมายจุลภาค แต่มีเศษส่วน

เพื่อเป็นการบอกใบ้เกี่ยวกับตัวส่วนที่จำเป็น จำไว้ว่ามันเป็นศูนย์หนึ่งและสองสามเสมอ ส่วนหลังจะต้องเขียนให้มากที่สุดเท่าที่ตัวเลขในส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขที่เป็นปัญหา

วิธีการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนสามัญหากพวกเขา ทั้งส่วนไม่อยู่นั่นคือ เท่ากับศูนย์? ตัวอย่างเช่น 0.9 หรือ 0.05 หลังจากใช้กฎที่ระบุ ปรากฎว่าคุณต้องเขียนจำนวนเต็มศูนย์ แต่มันไม่ได้ระบุไว้ มันยังคงเขียนเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วน สำหรับตัวเลขแรก ตัวส่วนจะเป็น 10 สำหรับตัวที่สอง - 100 นั่นคือ ตัวอย่างที่ระบุจะมีตัวเลขเป็นคำตอบ: 9/10, 5/100 ยิ่งกว่านั้นหลังกลับกลายเป็นเป็นไปได้ที่จะลดลง 5 ดังนั้นผลลัพธ์ของมันจะต้องเขียนเป็น 1/20

ชอบจาก เศษส่วนทศนิยมเพื่อสร้างสามัญถ้าส่วนจำนวนเต็มแตกต่างจากศูนย์? ตัวอย่างเช่น 5.23 หรือ 13.00108 ทั้งสองตัวอย่างอ่านส่วนจำนวนเต็มและเขียนค่าของมัน ในกรณีแรก นี่คือ 5 ส่วนที่สองคือ 13 จากนั้นคุณต้องไปยังส่วนที่เป็นเศษส่วน กับพวกเขาจำเป็นต้องดำเนินการแบบเดียวกัน ตัวเลขแรกมี 23/100 ตัวเลขที่สองมี 108/100000 ค่าที่สองจะต้องลดลงอีกครั้ง คำตอบคือเศษส่วนผสม: 5 23/100 และ 13 27/25000

วิธีการแปลงทศนิยมอนันต์เป็นเศษส่วนร่วม?

หากไม่เป็นระยะ ๆ การดำเนินการดังกล่าวจะไม่สามารถทำได้ ข้อเท็จจริงนี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเศษส่วนทศนิยมแต่ละส่วนจะถูกแปลงเป็นค่างวดหรืองวดสุดท้ายเสมอ

สิ่งเดียวที่ได้รับอนุญาตให้ทำกับเศษส่วนนั้นคือการปัดเศษ แต่ทศนิยมจะเท่ากับอนันต์นั้นโดยประมาณ สามารถเปลี่ยนเป็นแบบธรรมดาได้แล้ว แต่กระบวนการย้อนกลับ: การแปลงเป็นทศนิยม - จะไม่ให้ ค่าเริ่มต้น. นั่นคือไม่มีที่สิ้นสุด เศษส่วนไม่เป็นระยะไม่ได้แปลงเป็นแบบธรรมดา สิ่งนี้จะต้องจำไว้

จะเขียนเศษส่วนเป็นระยะอนันต์ในรูปของสามัญได้อย่างไร?

ในตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งหลักจะปรากฏหลังจุดทศนิยมซึ่งซ้ำกันเสมอ พวกเขาจะเรียกว่าช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น 0.3(3) ที่นี่ "3" ในช่วงเวลา จัดอยู่ในประเภทตรรกยะ เนื่องจากสามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

ผู้ที่พบเศษส่วนเป็นระยะรู้ว่าสามารถบริสุทธิ์หรือผสมได้ ในกรณีแรก ระยะเวลาเริ่มต้นทันทีจากเครื่องหมายจุลภาค ในวินาที ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะเริ่มต้นด้วยตัวเลขใดๆ จากนั้นการทำซ้ำจะเริ่มขึ้น

กฎที่คุณต้องเขียนทศนิยมอนันต์ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดาจะแตกต่างกันสำหรับตัวเลขทั้งสองประเภทนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะเขียนเศษส่วนที่มีระยะบริสุทธิ์เป็นเศษส่วนธรรมดา เช่นเดียวกับตัวสุดท้าย พวกเขาจำเป็นต้องแปลง: เขียนจุดเป็นตัวเศษ แล้วเลข 9 จะเป็นตัวส่วน ทำซ้ำหลายๆ ครั้งตามที่มีตัวเลขในช่วงเวลานั้น

ตัวอย่างเช่น 0,(5) ตัวเลขนี้ไม่มีส่วนจำนวนเต็ม ดังนั้นคุณต้องดำเนินการในส่วนที่เป็นเศษส่วนทันที เขียน 5 ในตัวเศษ และเขียน 9 ในตัวส่วน นั่นคือ คำตอบจะเป็นเศษส่วน 5/9

กฎการเขียนเศษส่วนทศนิยมทั่วไปที่เป็นเศษส่วนคละ

ดูความยาวของช่วงเวลา 9 มากจะมีตัวส่วน

เขียนตัวส่วนลงไป: เก้าตัวแรก แล้วตามด้วยศูนย์

ในการหาตัวเศษ คุณต้องเขียนผลต่างของตัวเลขสองตัว ตัวเลขทั้งหมดหลังจุดทศนิยมจะลดลงพร้อมกับจุด ลบได้ - ไม่มีจุด

ตัวอย่างเช่น 0.5(8) - เขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นระยะเป็นเศษส่วนร่วม ส่วนที่เป็นเศษส่วนก่อนช่วงเวลาเป็นตัวเลขหนึ่งหลัก ดังนั้นศูนย์จะเป็นหนึ่ง นอกจากนี้ยังมีตัวเลขเพียงตัวเดียวในช่วงเวลา - 8 นั่นคือมีเพียงเก้าตัวเท่านั้น นั่นคือคุณต้องเขียน 90 ในตัวส่วน

ในการหาตัวเศษจาก 58 คุณต้องลบ 5 ออก 53 ตัวอย่างเช่น คุณจะต้องเขียน 53/90 เป็นคำตอบ

เศษส่วนทั่วไปแปลงเป็นทศนิยมอย่างไร

โดยมากที่สุด ตัวเลือกง่ายๆปรากฎตัวเลขในตัวส่วนซึ่งเป็นตัวเลข 10, 100 เป็นต้น จากนั้นตัวส่วนจะถูกยกเลิกอย่างง่ายๆ และเครื่องหมายจุลภาคจะอยู่ระหว่างส่วนที่เป็นเศษส่วนและจำนวนเต็ม

มีบางสถานการณ์ที่ตัวส่วนเปลี่ยนเป็น 10, 100, ฯลฯ ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 5, 20, 25 คูณด้วย 2, 5 และ 4 ตามลำดับก็เพียงพอแล้ว จำเป็นต้องคูณไม่เพียง แต่ตัวส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวเศษด้วยจำนวนเดียวกัน

สำหรับกรณีอื่นๆ ทั้งหมด กฎง่ายๆ จะมีประโยชน์: หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ในกรณีนี้ คุณอาจได้คำตอบสองคำตอบ: เศษส่วนสุดท้ายหรือเศษส่วนเป็นงวด

การดำเนินการกับเศษส่วนร่วม

การบวกและการลบ

นักเรียนรู้จักพวกเขาเร็วกว่าคนอื่น อันดับแรกด้วยเศษส่วน ตัวส่วนเท่ากันแล้วก็แตกต่าง กฎทั่วไปสามารถลดลงในแผนดังกล่าวได้

หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วน

เขียนตัวประกอบเพิ่มเติมให้กับเศษส่วนสามัญทั้งหมด

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยปัจจัยที่กำหนดไว้สำหรับพวกเขา

บวก (ลบ) ตัวเศษของเศษส่วน และปล่อยให้ตัวส่วนร่วมไม่เปลี่ยนแปลง

หากตัวเศษของ minuend น้อยกว่า subtrahend คุณจำเป็นต้องค้นหาว่าเรามีจำนวนคละหรือเศษส่วนที่เหมาะสม

ในกรณีแรก ส่วนจำนวนเต็มต้องใช้หนึ่งส่วน บวกตัวส่วนเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน แล้วทำการลบ

ในวินาที - จำเป็นต้องใช้กฎการลบออกจาก น้อยลงมากกว่า. นั่นคือลบโมดูลัสของ minuend ออกจากโมดูลัสของ subtrahend แล้วใส่เครื่องหมาย "-" แทน

ดูผลการบวก (การลบ) อย่างระมัดระวัง ถ้ามันกลายเป็น เศษส่วนที่ไม่เหมาะสมจากนั้นจึงจำเป็นต้องเลือกทั้งส่วน นั่นคือ หารตัวเศษด้วยตัวส่วน

การคูณและการหาร

สำหรับการนำไปปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องลดเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วม. ทำให้ง่ายต่อการดำเนินการ แต่พวกเขายังต้องปฏิบัติตามกฎ

เมื่อคูณเศษส่วนธรรมดา จำเป็นต้องพิจารณาตัวเลขในตัวเศษและตัวส่วน หากตัวเศษและตัวส่วนใดมีตัวประกอบร่วม ก็สามารถลดลงได้

คูณตัวเศษ.

คูณตัวส่วน

หากคุณได้เศษส่วนที่ลดลง ก็ควรจะลดรูปลงอีกครั้ง

เมื่อทำการหาร คุณต้องแทนที่การหารด้วยการคูณก่อน และตัวหาร (เศษส่วนที่สอง) ด้วยส่วนกลับ (สลับตัวเศษและตัวส่วน)

จากนั้นดำเนินการตามการคูณ (เริ่มจากขั้นตอนที่ 1)

ในงานที่คุณต้องคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเต็ม ตัวหลังควรเขียนเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม นั่นคือโดยมีตัวส่วนเป็น 1 แล้วดำเนินการตามที่อธิบายไว้ข้างต้น



การดำเนินการกับทศนิยม

การบวกและการลบ

แน่นอน คุณสามารถเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วมได้เสมอ และดำเนินการตามแผนที่กำหนดไว้แล้ว แต่บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะทำโดยไม่มีการแปลนี้ จากนั้นกฎสำหรับการบวกและการลบจะเหมือนกันทุกประการ

ทำให้จำนวนหลักเท่ากันในส่วนของเศษส่วนของตัวเลข นั่นคือ หลังจุดทศนิยม กำหนดจำนวนศูนย์ที่ขาดหายไปในนั้น

เขียนเศษส่วนเพื่อให้เครื่องหมายจุลภาคอยู่ใต้เครื่องหมายจุลภาค

บวก (ลบ) เหมือนจำนวนธรรมชาติ

นำเครื่องหมายจุลภาคออก

การคูณและการหาร

เป็นสิ่งสำคัญที่คุณไม่จำเป็นต้องต่อท้ายศูนย์ที่นี่ เศษส่วนควรจะเหลือตามที่แสดงในตัวอย่าง แล้วไปตามแผน

สำหรับการคูณ คุณต้องเขียนเศษส่วนไว้ใต้ตัวอื่น ไม่ต้องสนใจลูกน้ำ

คูณเหมือนจำนวนธรรมชาติ

ใส่เครื่องหมายจุลภาคในคำตอบ นับจากด้านขวาสุดของคำตอบเป็นตัวเลขให้มากที่สุดเท่าที่อยู่ในเศษส่วนของปัจจัยทั้งสอง

ในการหาร คุณต้องแปลงตัวหารก่อน: ทำให้เป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือคูณด้วย 10, 100 เป็นต้น ขึ้นอยู่กับจำนวนหลักที่อยู่ในเศษส่วนของตัวหาร

คูณเงินปันผลด้วยจำนวนเดียวกัน

หารทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ.

ใส่เครื่องหมายจุลภาคในคำตอบในขณะที่การแบ่งส่วนทั้งหมดสิ้นสุดลง



เกิดอะไรขึ้นถ้ามีเศษส่วนทั้งสองประเภทในตัวอย่างนี้

ใช่ ในวิชาคณิตศาสตร์มักจะมีตัวอย่างที่คุณต้องดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม มีสองวิธีที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาเหล่านี้ คุณต้องชั่งน้ำหนักตัวเลขอย่างเป็นกลางและเลือกตัวเลขที่ดีที่สุด

วิธีแรก: แทนทศนิยมธรรมดา

เหมาะถ้าเมื่อแบ่งหรือแปลจะได้ เศษส่วนจำกัด. หากอย่างน้อยหนึ่งหมายเลขให้ส่วนเป็นระยะห้ามใช้เทคนิคนี้ ดังนั้น แม้ว่าคุณจะไม่ชอบทำงานกับเศษส่วนธรรมดา คุณก็ต้องนับมันด้วย

วิธีที่สอง: เขียนเศษส่วนทศนิยมตามปกติ

เทคนิคนี้สะดวกหากมี 1-2 หลักในส่วนหลังจุดทศนิยม หากมีมากกว่านั้น เศษส่วนธรรมดาที่มีขนาดใหญ่มากสามารถเปิดออกได้ และรายการทศนิยมจะช่วยให้คุณคำนวณงานได้เร็วและง่ายขึ้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องประเมินงานอย่างรอบคอบและเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด

§ 102 การชี้แจงเบื้องต้น

ในส่วนที่แล้ว เราพิจารณาเศษส่วนที่มีตัวส่วนที่เป็นไปได้ทั้งหมด และเรียกมันว่าเศษส่วนธรรมดา เราสนใจทุกเศษส่วนที่เกิดขึ้นในกระบวนการวัดหรือหาร ไม่ว่าเราจะได้ตัวส่วนแบบใด

จากเศษส่วนทั้งชุด เราจะเลือกเศษส่วนที่มีตัวส่วน: 10, 100, 1,000, 10,000 เป็นต้น เช่น เศษส่วนดังกล่าว ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลขที่แสดงด้วยเอกภาพ (1) ตามด้วยศูนย์ (หนึ่งหรือ หลาย). เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่า ทศนิยม.

ต่อไปนี้คือตัวอย่างทศนิยม:

เราเคยเจอเศษส่วนทศนิยมมาก่อน แต่ไม่ได้ระบุคุณสมบัติพิเศษใด ๆ ที่มีอยู่ในตัว ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่ามีคุณสมบัติพิเศษบางอย่างซึ่งทำให้การคำนวณทั้งหมดง่ายขึ้นด้วยเศษส่วน

§ 103. รูปภาพของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีตัวส่วน

เศษส่วนทศนิยมมักจะเขียนไม่เหมือนกับเศษส่วนธรรมดา แต่ตามกฎที่ใช้เขียนตัวเลขทั้งหมด

เพื่อให้เข้าใจวิธีการเขียนทศนิยมโดยไม่มีตัวส่วน คุณต้องจำวิธีการเขียน ระบบทศนิยมจำนวนเต็มใดๆ ตัวอย่างเช่น หากเราเขียน ตัวเลขสามหลักโดยใช้เลข 2 เท่านั้น คือ เลข 222 แล้วสองตัวนี้จะมี ความหมายพิเศษขึ้นอยู่กับสถานที่ที่มันครอบครองในจำนวน สองตัวแรกจากขวาหมายถึงหน่วย ที่สองสำหรับหลักสิบ และหน่วยที่สามสำหรับหลายร้อย ดังนั้น หลักใด ๆ ทางด้านซ้ายของหลักอื่น ๆ หมายถึงหน่วยที่ใหญ่กว่าตัวเลขที่ระบุโดยหลักก่อนหน้าสิบเท่า หากตัวเลขใดขาดหายไป เลขศูนย์จะถูกเขียนขึ้นแทน

ดังนั้น ในจำนวนเต็ม หน่วยอยู่ในตำแหน่งแรกทางด้านขวา หลักสิบอยู่ในตำแหน่งที่สอง เป็นต้น

ทีนี้มาตั้งคำถามกันว่าจะได้หน่วยหมวดไหน เช่น เราอยู่ในเลข 222 ด้วย ขวาด้านข้างเราจะเพิ่มอีกหนึ่งหมายเลข ในการตอบคำถามนี้ คุณต้องคำนึงว่าสองอันสุดท้าย (อันแรกจากขวา) หมายถึงหน่วย

ดังนั้น ถ้าหลังผี หมายถึง หน่วย เราถอยเล็กน้อย เขียนตัวเลขอื่น เช่น 3 ก็จะหมายถึงหน่วย เล็กกว่าครั้งก่อนสิบเท่าอีกนัยหนึ่งก็จะหมายถึง สิบหน่วย; ผลลัพธ์คือตัวเลขที่มีทั้ง 222 หน่วยและ 3 ในสิบของหน่วย

เป็นเรื่องปกติที่จะใส่เครื่องหมายจุลภาคระหว่างส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลข เช่น เขียนดังนี้:

หากหลังเลขสามตัวในตัวเลขนี้ เราบวกอีกจำนวนหนึ่ง เช่น 4 ก็จะหมายถึง 4 ร้อยเศษส่วนของหน่วย ตัวเลขจะมีลักษณะดังนี้:

และออกเสียงว่า สองร้อยยี่สิบสองจุด สามสิบสี่ในร้อย

ตัวเลขใหม่ เช่น 5 ถูกกำหนดให้กับตัวเลขนี้ทำให้เรา พัน: 222.345 (สองร้อยยี่สิบสองจุด สามแสนสี่หมื่นห้าพัน)

เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น การจัดเรียงในจำนวนเต็มและเศษส่วนสามารถนำเสนอในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นเราจึงได้อธิบายวิธีการเขียนเศษส่วนทศนิยมโดยไม่มีตัวส่วน ลองเขียนเศษส่วนเหล่านี้กัน.

ในการเขียนเศษส่วนโดยไม่มีตัวส่วน 5/10 คุณต้องคำนึงว่าไม่มีจำนวนเต็ม ดังนั้นตำแหน่งของจำนวนเต็มจะต้องถูกครอบครองโดยศูนย์ นั่นคือ 5/10 = 0.5

เศษส่วน 2 9/100 ที่ไม่มีตัวส่วนจะถูกเขียนดังนี้: 2.09 นั่นคือศูนย์จะต้องแทนที่หนึ่งในสิบ ถ้าเราข้าม 0 นี้ไป เราจะได้เศษส่วนต่างจากเดิมอย่างสิ้นเชิง นั่นคือ 2.9 นั่นคือ แต้มเต็มสองจุดและเก้าส่วนสิบ

ดังนั้น เมื่อเขียนเศษส่วนทศนิยม คุณต้องระบุจำนวนเต็มและเศษส่วนด้วยศูนย์:

0.325 - ไม่มีจำนวนเต็ม
0.012 - ไม่มีจำนวนเต็มและไม่มีสิบ
1.208 - ไม่มีในร้อย
0.20406 - ไม่มีจำนวนเต็ม ไม่มีหนึ่งในร้อย และหนึ่งหมื่น

ตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยมเรียกว่าตำแหน่งทศนิยม

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการเขียนเศษส่วนทศนิยม คุณต้องจำไว้ว่าหลังจากจุดทศนิยมในภาพของเศษส่วนทศนิยม ควรมีตัวเลขมากที่สุดเท่าที่จะมีศูนย์ในตัวส่วนถ้าเราเขียนเศษส่วนนี้ด้วยตัวส่วน นั่นคือ

0.1 \u003d 1 / 10 (ตัวส่วนมีหนึ่งศูนย์และหนึ่งหลักหลังจุดทศนิยม);

§ 104. การกำหนดศูนย์ให้เป็นเศษส่วนทศนิยม

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ ได้อธิบายวิธีการแสดงเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีตัวส่วน สำคัญไฉนเมื่อเขียนเศษส่วนทศนิยมจะมีศูนย์ เศษส่วนทศนิยมปกติทุกส่วนมีศูนย์แทนจำนวนเต็มเพื่อระบุว่าเศษส่วนดังกล่าวไม่มีจำนวนเต็ม ตอนนี้เราจะเขียนทศนิยมหลาย ๆ ตัวโดยใช้ตัวเลข: 0, 3 และ 5

0.35 - 0 จำนวนเต็ม 35 ในร้อย
0.035 - 0 จำนวนเต็ม 35 ในพัน
0.305 - 0 จำนวนเต็ม 305 ในพัน
0.0035 - 0 จำนวนเต็ม 35 หมื่น

ตอนนี้ให้เราหาความหมายของค่าว่างที่วางอยู่ท้ายทศนิยมนั่นคือ ทางด้านขวา

หากเราใช้จำนวนเต็ม เช่น 5 ใส่เครื่องหมายจุลภาคต่อจากนั้นเขียนศูนย์หลังเครื่องหมายจุลภาค ดังนั้นศูนย์นี้จะหมายถึงศูนย์ในสิบ ดังนั้นศูนย์ที่กำหนดให้ทางด้านขวานี้จะไม่ส่งผลต่อค่าของตัวเลข กล่าวคือ

ทีนี้ลองเอาเลข 6.1 มาบวกศูนย์ทางขวา เราได้ 6.10 นั่นคือ เรามี 1/10 หลังจุดทศนิยม และมันกลายเป็น 10/100 แต่ 10/100 เท่ากับ 1/10 ซึ่งหมายความว่าค่าของตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง และจากการมอบหมายทางด้านขวาของศูนย์ เฉพาะรูปแบบของตัวเลขและการออกเสียงที่เปลี่ยนไป (6.1 - หกจุดหนึ่งในสิบ; 6.10 - หกจุดสิบในร้อย)

ด้วยเหตุผลที่คล้ายคลึงกัน เราจึงมั่นใจได้ว่าการกำหนดเลขศูนย์ให้กับสิทธิ์ของเศษส่วนทศนิยมจะไม่เปลี่ยนค่าของเศษทศนิยม ดังนั้น เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 เป็นต้น

หากเรากำหนดศูนย์ทางด้านซ้ายของเศษส่วนทศนิยม พวกมันจะไม่มีความหมายใดๆ แน่นอน ถ้าเราเขียนศูนย์ทางด้านซ้ายของตัวเลข 4.6 ตัวเลขนั้นก็จะอยู่ในรูปแบบ 04.6 ศูนย์อยู่ที่ไหน มันอยู่ในตำแหน่งหลักสิบ นั่นคือ แสดงว่าไม่มีหลักสิบในจำนวนนี้ แต่สิ่งนี้ชัดเจนแม้ไม่มีศูนย์

อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าบางครั้งเลขศูนย์ถูกกำหนดให้เป็นเศษส่วนทศนิยมทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น มีเศษส่วนสี่ส่วน: 0.32; 2.5; 13.1023; 5,238. เรากำหนดศูนย์ทางด้านขวาให้กับเศษส่วนที่มีตำแหน่งทศนิยมน้อยกว่าหลังจุดทศนิยม: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

มีไว้เพื่ออะไร? กำหนดศูนย์ทางขวา เราได้สี่หลักหลังจุดทศนิยมสำหรับแต่ละตัวเลข ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแต่ละส่วนจะมีตัวส่วนของ 10,000 และก่อนกำหนดศูนย์ ตัวส่วนของเศษส่วนแรกคือ 100 ตัวที่สอง 10 ตัวที่สาม 10,000 และ 1,000 ที่สี่ ดังนั้น โดยการกำหนดศูนย์ เราทำให้จำนวนตำแหน่งทศนิยมของเศษส่วนเท่ากัน นั่นคือ นำมาเป็นตัวส่วนร่วม ดังนั้นการลดเศษส่วนทศนิยมเป็นตัวส่วนร่วมจึงทำได้โดยการกำหนดเลขศูนย์ให้กับเศษส่วนเหล่านี้

ในทางกลับกัน ถ้าเศษทศนิยมบางตัวมีศูนย์อยู่ทางขวา เราก็ทิ้งมันได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าของมัน เช่น 2.60 = 2.6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4.2.

เราควรเข้าใจการทิ้งเลขศูนย์ไปทางขวาของเศษทศนิยมได้อย่างไร? มันเทียบเท่ากับการลดลงของมัน และสิ่งนี้สามารถเห็นได้ถ้าเราเขียนเศษส่วนทศนิยมด้วยตัวส่วน:

§ 105. การเปรียบเทียบขนาดเศษส่วนทศนิยม

เมื่อใช้เศษส่วนทศนิยม มันสำคัญมากที่จะต้องเปรียบเทียบเศษส่วนระหว่างกันและตอบคำถามว่าอันไหนเท่ากัน อันไหนมากกว่า อันไหนน้อยกว่า การเปรียบเทียบทศนิยมทำได้แตกต่างจากการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม เลขสองหลักมากกว่าหลักเดียวเสมอไม่ว่าจะมีกี่หน่วยในหลักเดียว ตัวเลขสามหลักมากกว่าตัวเลขสองหลัก และยิ่งกว่านั้นคือตัวเลขหนึ่งหลัก แต่เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยม จะเป็นความผิดพลาดที่จะนับเครื่องหมายทั้งหมดที่เขียนเศษส่วน

ลองหาเศษส่วนสองส่วน: 3.5 กับ 2.5 แล้วเปรียบเทียบขนาดกัน พวกเขามีตำแหน่งทศนิยมเหมือนกัน แต่เศษส่วนแรกมี 3 จำนวนเต็ม และส่วนที่สองมี 2 เศษส่วนแรกมากกว่าวินาที นั่นคือ

ลองหาเศษส่วนอื่น: 0.4 กับ 0.38 ในการเปรียบเทียบเศษส่วนเหล่านี้ จะเป็นประโยชน์ในการกำหนดศูนย์ทางด้านขวาของเศษส่วนแรก จากนั้นเราจะเปรียบเทียบเศษส่วน 0.40 กับ 0.38 แต่ละตัวมีตัวเลขสองหลักหลังจุดทศนิยม ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนเหล่านี้มีตัวส่วน 100 เท่ากัน

เราต้องเปรียบเทียบแค่ตัวเศษเท่านั้น แต่ตัวเศษ 40 มากกว่า 38 ดังนั้นเศษส่วนแรกจึงมากกว่าวินาที นั่นคือ

เศษส่วนแรกมีมากกว่าสิบส่วน อย่างไรก็ตาม เศษส่วนที่สองมีมากกว่า 8 ในร้อย แต่น้อยกว่าหนึ่งในสิบเพราะ 1/10 \u003d 10/100

ทีนี้ลองเปรียบเทียบเศษส่วนดังกล่าว: 1.347 กับ 1.35 เรากำหนดศูนย์ทางด้านขวาของเศษส่วนที่สองและเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยม: 1.347 และ 1.350 ส่วนจำนวนเต็มเหมือนกัน ดังนั้นคุณเพียงแค่เปรียบเทียบส่วนที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น: 0.347 และ 0.350 ตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้เป็นเรื่องปกติ แต่ตัวเศษของเศษส่วนที่สองมีค่ามากกว่าตัวเศษของตัวแรก ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนที่สองมากกว่าเศษแรก เช่น 1.35\u003e 1.347

สุดท้าย ลองเปรียบเทียบเศษส่วนอีกสองส่วน: 0.625 และ 0.62473 เราบวกเลขศูนย์สองตัวให้กับเศษส่วนแรกเพื่อให้ตัวเลขเท่ากัน และเปรียบเทียบเศษส่วนผลลัพธ์: 0.62500 และ 0.62473 ตัวส่วนเท่ากัน แต่ตัวเศษของเศษส่วนแรก 62500 มากกว่าตัวเศษของเศษส่วนที่สอง 62473 ดังนั้นเศษส่วนแรกจะมากกว่าวินาที นั่นคือ 0.625 > 0.62473

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถสรุปได้ดังนี้: เศษส่วนทศนิยมสองส่วน เศษส่วนที่มีจำนวนเต็มมากกว่าจะมากกว่า เมื่อจำนวนเต็มเท่ากัน เศษส่วนนั้นจะมากกว่า ซึ่งจำนวนหนึ่งในสิบจะมากกว่า เมื่อจำนวนเต็มและสิบเท่ากัน เศษส่วนนั้นจะมากกว่า ซึ่งจำนวนในร้อยจะมากกว่า เป็นต้น

§ 106 เพิ่มและลดเศษส่วนทศนิยม 10, 100, 1,000 ฯลฯ ครั้ง

เรารู้อยู่แล้วว่าการเพิ่มศูนย์ในทศนิยมไม่มีผลกับค่าของมัน เมื่อเราศึกษาจำนวนเต็ม เราเห็นว่าทุกศูนย์ที่กำหนดทางด้านขวาจะเพิ่มจำนวนขึ้น 10 เท่า ไม่ยากที่จะเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น หากเรานำจำนวนเต็ม เช่น 25 และกำหนดศูนย์ทางด้านขวาของจำนวนนั้น ตัวเลขจะเพิ่มขึ้น 10 เท่า ตัวเลข 250 จะมากกว่า 25 10 เท่า เมื่อศูนย์ปรากฏทางด้านขวา หมายเลข 5 ซึ่ง เคยใช้แทนหน่วย ตอนนี้เริ่มแทนหลักสิบ และหมายเลข 2 ซึ่งใช้แทนหลักสิบ ตอนนี้ย่อมาจากหลักร้อย ต้องขอบคุณการปรากฏตัวของศูนย์ ตัวเลขเก่าจึงถูกแทนที่ด้วยตัวเลขใหม่ พวกมันใหญ่ขึ้น พวกมันย้ายไปที่หนึ่งทางซ้าย เมื่อจำเป็นต้องเพิ่มเศษส่วนทศนิยม เช่น 10 เท่า เราก็จะต้องย้ายตัวเลขไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่งด้วย แต่การเคลื่อนไหวดังกล่าวไม่สามารถทำได้โดยมีค่าศูนย์ เศษส่วนทศนิยมประกอบด้วยส่วนจำนวนเต็มและส่วนเศษส่วน คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ด้านซ้ายของจุดทศนิยมเป็นเลขจำนวนเต็มต่ำสุด ด้านขวาเป็นเลขเศษส่วนสูงสุด พิจารณาเศษส่วน:

เราจะย้ายตัวเลขในนั้นได้อย่างไร อย่างน้อยหนึ่งที่ กล่าวคือ เราจะเพิ่มเป็น 10 เท่าได้อย่างไร หากเราย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาก่อนอื่นสิ่งนี้จะส่งผลต่อชะตากรรมของทั้งห้า: มันมาจากภูมิภาค เศษส่วนตกอยู่ในขอบเขตของจำนวนเต็ม ตัวเลขจะอยู่ในรูปแบบ: 12345.678 การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นกับตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด ไม่ใช่แค่กับห้าเท่านั้น ตัวเลขทั้งหมดที่รวมอยู่ในหมายเลขเริ่มเล่น บทบาทใหม่, สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น (ดูตาราง):

ทุกยศเปลี่ยนชื่อแล้ว และหน่วยยศทั้งหมดก็เพิ่มขึ้นที่เดียว จากนี้จำนวนเต็มเพิ่มขึ้น 10 เท่า ดังนั้น การย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาหนึ่งอักขระจะเพิ่มจำนวนขึ้น 10 เท่า

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน:

1) นำเศษส่วน 0.5 และเลื่อนเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง เราได้เลข 5 ซึ่งมากกว่า 0.5 ถึง 10 เท่า เพราะก่อนหน้าห้าหมายถึงหนึ่งในสิบของหน่วย และตอนนี้มันหมายถึงหน่วยทั้งหมด

2) ย้ายเครื่องหมายจุลภาคเป็นตัวเลข 1.234 สองหลักไปทางขวา จำนวนกลายเป็น 123.4 ตัวเลขนี้มากกว่าจำนวนก่อนหน้า 100 เท่าเพราะในนั้นหมายเลข 3 เริ่มแสดงถึงหน่วยหมายเลข 2 - สิบและหมายเลข 1 - ร้อย

ดังนั้น ในการเพิ่มเศษส่วนทศนิยมขึ้น 10 คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง หากต้องการเพิ่ม 100 เท่า คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาสองตำแหน่ง เพื่อเพิ่ม 1,000 ครั้ง - สามหลักทางขวา ฯลฯ

หากมีสัญญาณไม่เพียงพอสำหรับตัวเลขในเวลาเดียวกันจะมีการกำหนดศูนย์ทางด้านขวา ตัวอย่างเช่น ให้เพิ่มเศษส่วน 1.5 ขึ้น 100 เท่าโดยย้ายเครื่องหมายจุลภาคเป็นตัวเลขสองหลัก เราได้ 150 ลองเพิ่มเศษส่วน 0.6 ด้วย 1,000 ครั้ง; เราได้ 600

กลับถ้าจำเป็น ลดเศษส่วนทศนิยม 10, 100, 1,000 ฯลฯ จากนั้นคุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางซ้ายด้วยอักขระหนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ให้เศษ 20.5 ให้; ให้ลดลง 10 เท่า; เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราย้ายเครื่องหมายจุลภาคหนึ่งไปทางซ้าย เศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ 2.05 ลองลดเศษส่วน 0.015 ลง 100 เท่า เราได้ 0.00015 ลดจำนวน 334 ลง 10 เท่า เราได้ 33.4

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ว่า การแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยมและพิจารณากระบวนการย้อนกลับด้วย - การแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนสามัญ ที่นี่เราจะประกาศกฎสำหรับการกลับเศษส่วนและให้ การแก้ปัญหาโดยละเอียดตัวอย่างทั่วไป

การนำทางหน้า

การแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม

ให้เราแสดงลำดับที่เราจะจัดการกับ การแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม.

อันดับแรก เราจะมาดูวิธีการแทนเศษส่วนธรรมดาด้วยตัวส่วน 10, 100, 1000, ... เป็นเศษส่วนทศนิยม เนื่องจากเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วน 10, 100, ....

หลังจากนั้นเราจะไปต่อและแสดงให้เห็นว่าเศษส่วนธรรมดาใดๆ (ไม่เพียงแต่กับตัวส่วน 10, 100, ...) สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมได้อย่างไร ด้วยการแปลงเศษส่วนธรรมดานี้ จะได้ทั้งเศษส่วนทศนิยมจำกัดและเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาไม่จำกัด

ตอนนี้เกี่ยวกับทุกอย่างตามลำดับ

การแปลงเศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วน 10, 100, ... เป็นเศษส่วนทศนิยม

เศษส่วนปกติบางตัวต้องการ "การจัดเตรียมเบื้องต้น" ก่อนแปลงเป็นทศนิยม สิ่งนี้ใช้กับเศษส่วนธรรมดา จำนวนหลักในตัวเศษน้อยกว่าจำนวนศูนย์ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น ก่อนอื่นต้องเตรียมเศษส่วนร่วม 2/100 เพื่อแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม แต่ไม่จำเป็นต้องเตรียมเศษส่วน 9/10

“การเตรียมเบื้องต้น” ของเศษส่วนสามัญที่ถูกต้องสำหรับการแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมประกอบด้วยการเพิ่มศูนย์จำนวนมากทางด้านซ้ายในตัวเศษที่มี ทั้งหมดตัวเลขจะเท่ากับจำนวนศูนย์ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น เศษส่วนหลังจากบวกศูนย์จะมีลักษณะดังนี้

หลังจากเตรียมเศษส่วนธรรมดาที่ถูกต้องแล้ว คุณสามารถเริ่มแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้

ให้ กฎการแปลงเศษส่วนร่วมที่เหมาะสมด้วยตัวส่วน 10 หรือ 100 หรือ 1,000 ... เป็นเศษส่วนทศนิยม. ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

• เขียนลงไป 0 ;
• ใส่จุดทศนิยมหลังจากนั้น
• จดตัวเลขจากตัวเศษ (ถ้าเราบวกเลขศูนย์เข้าไปด้วย)

พิจารณาการประยุกต์ใช้กฎนี้ในการแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แปลงเศษส่วนที่เหมาะสม 37/100 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

ตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลข 100 ซึ่งมีศูนย์สองตัวในรายการ ตัวเศษมีเลข 37 ซึ่งในบันทึกมีตัวเลขสองหลัก ดังนั้น เศษส่วนนี้จึงไม่จำเป็นต้องเตรียมแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม

ตอนนี้เราเขียน 0 ใส่จุดทศนิยม และเขียนเลข 37 จากตัวเศษ ในขณะที่เราได้เศษทศนิยม 0.37

ตอบ:

0,37 .

เพื่อรวมทักษะการแปลเศษส่วนธรรมดาด้วยตัวเศษ 10, 100, ... เป็นเศษส่วนทศนิยม เราจะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

เขียนลงไป เศษส่วนที่เหมาะสม 107/10,000,000 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

จำนวนหลักในตัวเศษคือ 3 และจำนวนศูนย์ในตัวส่วนคือ 7 ดังนั้นเศษส่วนธรรมดานี้จึงต้องเตรียมสำหรับการแปลงเป็นทศนิยม เราจำเป็นต้องเพิ่มศูนย์ 7-3=4 ตัวทางด้านซ้ายในตัวเศษเพื่อให้จำนวนหลักทั้งหมดมีค่าเท่ากับจำนวนศูนย์ในตัวส่วน เราได้รับ .

มันยังคงอยู่ในรูปแบบเศษส่วนทศนิยมที่ต้องการ ในการทำเช่นนี้ ประการแรก เราเขียนลงไป 0, ประการที่สอง เราใส่เครื่องหมายจุลภาค ประการที่สาม เราเขียนตัวเลขจากตัวเศษพร้อมกับศูนย์ 0000107 ส่งผลให้เรามีเศษส่วนทศนิยม 0.0000107 .

ตอบ:

0,0000107 .

เศษส่วนร่วมที่ไม่เหมาะสมไม่จำเป็นต้องเตรียมการเมื่อแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม ต่อไปนี้ควรปฏิบัติตาม กฎการแปลงเศษส่วนร่วมที่ไม่เหมาะสมด้วยตัวส่วน 10, 100, ... เป็นเศษส่วนทศนิยม:

• จดตัวเลขจากตัวเศษ
• เราคั่นด้วยจุดทศนิยมเท่าตัวเลขทางด้านขวา เนื่องจากมีศูนย์ในตัวส่วนของเศษส่วนเดิม

มาวิเคราะห์การใช้กฎนี้เมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แปลงเศษส่วนร่วมที่ไม่เหมาะสม 56 888 038 009/100 000 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

ประการแรก เราเขียนตัวเลขจากตัวเศษ 56888038009 และประการที่สอง เราแยกตัวเลข 5 หลักทางด้านขวาด้วยจุดทศนิยม เนื่องจากมีศูนย์ 5 ตัวในตัวส่วนของเศษส่วนเดิม เป็นผลให้เรามีเศษส่วนทศนิยม 568 880.38009

ตอบ:

568 880,38009 .

ในการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นตัวเลข 10 หรือ 100 หรือ 1,000, ... คุณสามารถแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนธรรมดาที่ไม่เหมาะสม หลังจากนั้นเศษผลลัพธ์ที่ได้ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ แต่คุณยังสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ได้ กฎการแปลงจำนวนคละที่มีตัวส่วนของเศษส่วน 10 หรือ 100 หรือ 1,000 ... เป็นเศษส่วนทศนิยม:

• หากจำเป็น เราจะทำการ "เตรียมเบื้องต้น" ของเศษส่วนของจำนวนคละเดิมโดยการเติม จำนวนเงินที่ต้องการศูนย์ทางด้านซ้ายในตัวเศษ;
• จดส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละดั้งเดิม
• ใส่จุดทศนิยม
• เราเขียนตัวเลขจากตัวเศษพร้อมกับศูนย์ที่เพิ่มเข้ามา

ลองพิจารณาตัวอย่างในการแก้ซึ่งเราจะทำตามขั้นตอนที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อแสดงจำนวนคละเป็นเศษส่วนทศนิยม

ตัวอย่าง.

แปลงจำนวนคละให้เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

มีศูนย์ 4 ตัวในตัวส่วนของเศษส่วน และเลข 17 ในตัวเศษประกอบด้วย 2 หลัก ดังนั้น เราจำเป็นต้องเพิ่มศูนย์สองตัวทางด้านซ้ายในตัวเศษเพื่อให้จำนวนอักขระที่นั่นเท่ากับ จำนวนศูนย์ในตัวส่วน เมื่อทำเช่นนี้ ตัวเศษจะเป็น 0017

ตอนนี้เราเขียนส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขเดิมนั่นคือหมายเลข 23 ใส่จุดทศนิยมหลังจากนั้นเราเขียนตัวเลขจากตัวเศษพร้อมกับศูนย์ที่เพิ่มเข้ามานั่นคือ 0017 ในขณะที่เราได้ทศนิยมที่ต้องการ เศษส่วน 23.0017.

ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดโดยสังเขป: .

ไม่ต้องสงสัยเลย ตอนแรกมันเป็นไปได้ที่จะแสดงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม ด้วยวิธีการนี้ การแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

ตอบ:

23,0017 .

การแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีระยะเวลาจำกัดและไม่จำกัด

ไม่เพียงแต่เศษส่วนธรรมดาที่มีตัวส่วน 10, 100, ... เท่านั้นที่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ แต่เศษส่วนธรรมดากับตัวส่วนอื่นๆ ตอนนี้เราจะหาวิธีดำเนินการนี้

ในบางกรณี เศษส่วนธรรมดาเดิมจะลดลงเหลือหนึ่งในตัวส่วน 10 หรือ 100 หรือ 1,000, ... (ดูการลดเศษส่วนธรรมดาให้เป็นตัวส่วนใหม่) หลังจากนั้นก็ไม่ยากที่จะนำเสนอ เศษส่วนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าเศษ 2/5 สามารถลดลงเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 10 สำหรับสิ่งนี้คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 ซึ่งจะให้เศษส่วน 4/10 ซึ่งตาม กฎที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้านี้สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม 0, สี่ ได้อย่างง่ายดาย

ในกรณีอื่นๆ คุณต้องใช้วิธีอื่นในการแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นทศนิยม ซึ่งตอนนี้เราจะพิจารณา

ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นเศษส่วนทศนิยม ตัวเศษของเศษส่วนจะถูกหารด้วยตัวส่วน ตัวเศษจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนทศนิยมที่เท่ากันด้วยจำนวนศูนย์ใดๆ หลังจากจุดทศนิยม (เราพูดถึงเรื่องนี้ในส่วนที่เท่ากับและ เศษส่วนทศนิยมไม่เท่ากัน) ในกรณีนี้ การหารจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการหารด้วยคอลัมน์ของตัวเลขธรรมชาติ และวางจุดทศนิยมไว้ในผลหารเมื่อการหารส่วนจำนวนเต็มของเงินปันผลสิ้นสุดลง ทั้งหมดนี้จะชัดเจนจากวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ระบุด้านล่าง

ตัวอย่าง.

แปลงเศษส่วนร่วม 621/4 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

เราแสดงตัวเลขในตัวเศษ 621 เป็นเศษส่วนทศนิยมโดยการเพิ่มจุดทศนิยมและศูนย์สองสามตัวหลังจากนั้น ในการเริ่มต้น เราจะเพิ่มเลข 0 2 หลัก ในภายหลัง หากจำเป็น เราสามารถเพิ่มศูนย์เพิ่มเติมได้เสมอ เรามี 621.00 .

ทีนี้ลองหารจำนวน 621,000 ด้วย 4 ด้วยคอลัมน์ สามขั้นตอนแรกไม่ต่างจากการหารด้วยคอลัมน์ ตัวเลขธรรมชาติจากนั้นเราก็มาถึงภาพต่อไปนี้:

ดังนั้นเราจึงได้จุดทศนิยมในการปันผล และส่วนที่เหลือต่างจากศูนย์ ในกรณีนี้ เราใส่จุดทศนิยมในผลหาร และทำการหารต่อด้วยคอลัมน์ โดยไม่สนใจเครื่องหมายจุลภาค:

การหารนี้เสร็จสมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เศษส่วนทศนิยม 155.25 ซึ่งตรงกับเศษส่วนธรรมดาเดิม

ตอบ:

155,25 .

ในการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง.

แปลงเศษส่วนร่วม 21/800 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

ในการแปลงเศษส่วนร่วมนี้เป็นทศนิยม ให้แบ่งเศษทศนิยม 21,000 ... คูณ 800 ตามคอลัมน์ หลังจากขั้นตอนแรก เราจะต้องใส่จุดทศนิยมลงในผลหาร แล้วทำการหารต่อ:

ในที่สุด เราก็ได้เศษ 0 จากนี้ การแปลงเศษส่วนธรรมดา 21/400 เป็นเศษทศนิยมเสร็จสมบูรณ์ และเรามาถึงเศษส่วนทศนิยม 0.02625

ตอบ:

0,02625 .

อาจเกิดขึ้นได้ว่าเมื่อหารตัวเศษด้วยตัวส่วนของเศษส่วนธรรมดา เราจะไม่มีวันได้เศษ 0 เลย ในกรณีเหล่านี้ การแบ่งสามารถดำเนินต่อไปได้นานเท่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม เริ่มจากขั้นตอนหนึ่ง ส่วนที่เหลือจะเริ่มซ้ำเป็นระยะ ในขณะที่ตัวเลขในผลหารก็ทำซ้ำเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนร่วมดั้งเดิมแปลเป็นทศนิยมที่มีคาบอนันต์ ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนเศษส่วนร่วม 19/44 เป็นทศนิยม

วิธีการแก้.

ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นทศนิยม ให้ทำการหารด้วยคอลัมน์:

เป็นที่แน่ชัดแล้วว่าเมื่อทำการหาร เศษ 8 และ 36 เริ่มซ้ำ ในขณะที่ในผลหารตัวเลข 1 และ 8 จะถูกทำซ้ำ ดังนั้น เศษส่วนธรรมดาดั้งเดิม 19/44 จึงแปลเป็นเศษส่วนทศนิยมเป็นระยะ 0.43181818…=0.43(18) .

ตอบ:

0,43(18) .

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ เราจะหาว่าเศษส่วนธรรมดาใดสามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ และเศษส่วนใดแปลงเป็นเศษส่วนเป็นระยะได้เท่านั้น

ให้เรามีเศษส่วนธรรมดาที่ลดทอนไม่ได้อยู่ข้างหน้าเรา (ถ้าเศษส่วนนั้นลดได้ ขั้นแรกเราต้องลดเศษส่วน) และเราต้องหาว่าเศษส่วนทศนิยมใดที่สามารถแปลงเป็น - จำกัด หรือเป็นระยะได้

เป็นที่ชัดเจนว่าหากเศษส่วนธรรมดาสามารถลดลงเหลือหนึ่งในตัวส่วน 10, 100, 1000, ... จากนั้นเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้อย่างง่ายดายตามกฎที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า แต่สำหรับตัวส่วน 10, 100, 1,000 เป็นต้น ไม่ได้ให้เศษส่วนธรรมดาทั้งหมด เศษส่วนเท่านั้นที่สามารถลดลงเป็นตัวส่วนได้ซึ่งตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งในตัวเลข 10, 100, ... และตัวเลขใดที่สามารถเป็นตัวหารของ 10, 100, ...? ตัวเลข 10, 100, … จะช่วยให้เราตอบคำถามนี้ได้ดังนี้ 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . ตามด้วยตัวหารของ 10, 100, 1,000 เป็นต้น มีแต่ตัวเลขที่ขยายเป็น ปัจจัยสำคัญมีเฉพาะตัวเลข 2 และ (หรือ) 5

ตอนนี้ เราสามารถสรุปทั่วไปเกี่ยวกับการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นเศษส่วนทศนิยมได้:

• หากมีเพียงตัวเลข 2 และ (หรือ) 5 เท่านั้นที่มีอยู่ในการสลายตัวของตัวหารเป็นตัวประกอบเฉพาะ เศษส่วนนี้สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้
• ถ้านอกจากสองและห้าแล้ว ยังมีตัวส่วนอื่นๆ อีกในการขยายตัวส่วน จำนวนเฉพาะจากนั้นเศษส่วนนี้จะถูกแปลเป็นเศษส่วนคาบทศนิยมอนันต์

ตัวอย่าง.

โดยไม่ต้องแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม บอกฉันว่าเศษส่วนใดในเศษส่วน 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 ที่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ และส่วนใดที่แปลงเป็นเศษส่วนเป็นระยะได้เท่านั้น

วิธีการแก้.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วนของเศษส่วน 47/20 มีรูปแบบ 20=2 2 5 . การขยายนี้มีเพียงสองและห้าเท่านั้น ดังนั้นเศษส่วนนี้สามารถลดลงเป็นหนึ่งในตัวส่วน 10, 100, 1000, ... (ในตัวอย่างนี้ เป็นตัวส่วน 100) จึงสามารถแปลงเป็นทศนิยมสุดท้ายได้ เศษส่วน

การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวส่วนของเศษส่วน 7/12 มีรูปแบบ 12=2 2 3 . เนื่องจากประกอบด้วยตัวประกอบอย่างง่าย 3 ที่แตกต่างจาก 2 และ 5 เศษส่วนนี้จึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีจำกัด แต่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบคาบได้

เศษส่วน 21/56 - หดตัวหลังจากลดลงแล้วจะอยู่ในรูปแบบ 3/8 การสลายตัวของตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะประกอบด้วยตัวประกอบสามตัวเท่ากับ 2 ดังนั้นเศษส่วนธรรมดา 3/8 และเศษส่วนเท่ากับ 21/56 จึงสามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้

สุดท้าย การขยายตัวของตัวส่วนของเศษส่วน 31/17 เป็นตัวมันเอง 17 ดังนั้น เศษส่วนนี้จึงไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีจำกัดได้ แต่สามารถแปลงเป็นงวดที่ไม่สิ้นสุดได้

ตอบ:

47/20 และ 21/56 สามารถแปลงเป็นทศนิยมสุดท้ายได้ ในขณะที่ 7/12 และ 31/17 สามารถแปลงเป็นทศนิยมเป็นระยะเท่านั้น

เศษส่วนทั่วไปไม่แปลงเป็นทศนิยมที่ไม่ซ้ำกันเป็นอนันต์

ข้อมูลของย่อหน้าก่อนหน้านี้ทำให้เกิดคำถามว่า “สามารถหาเศษส่วนที่ไม่เป็นงวดได้เมื่อหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวส่วน” หรือไม่?

คำตอบ: ไม่ เมื่อแปลเศษส่วนธรรมดา สามารถหาเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมแบบไม่จำกัดระยะเวลาก็ได้ มาอธิบายว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น

จากทฤษฎีบทการหารด้วยเศษเหลือ จะเห็นได้ว่าเศษที่เหลือเสมอ ตัวหารน้อยนั่นคือถ้าเราหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม q แล้วเศษที่เหลือสามารถเป็นตัวเลขได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น 0, 1, 2, ..., q-1 ตามมาว่าหลังจากการหารส่วนจำนวนเต็มของเศษของเศษส่วนธรรมดาโดยตัวส่วน q เสร็จสิ้น หลังจากไม่เกิน q ขั้นตอน หนึ่งในสองสถานการณ์ต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

• ไม่ว่าเราจะได้เศษ 0 นี่จะเป็นการสิ้นสุดการหารและเราจะได้รับเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย
• หรือจะได้เศษที่โผล่มาแล้วหลังจากนั้นก็จะเริ่มวนซ้ำตามตัวอย่างที่แล้ว (นับแต่ตอนหาร จำนวนเท่ากันใน q จะได้รับเศษที่เท่ากันซึ่งตามมาจากทฤษฎีบทการหารที่กล่าวถึงแล้ว) ดังนั้นจะได้เศษทศนิยมแบบคาบอนันต์

ไม่สามารถมีทางเลือกอื่นได้ ดังนั้นเมื่อแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นเศษส่วนทศนิยม เศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดจะไม่สามารถหาได้

จากเหตุผลที่ให้ไว้ในย่อหน้านี้ด้วยว่าความยาวของช่วงเวลาของเศษส่วนทศนิยมนั้นน้อยกว่าค่าของตัวส่วนของเศษส่วนสามัญที่เกี่ยวข้องเสมอ

แปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

ทีนี้ มาดูวิธีการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นทศนิยมกัน เริ่มจากการแปลงทศนิยมสุดท้ายให้เป็นเศษส่วนร่วม หลังจากนั้น ให้พิจารณาวิธีการแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบเป็นอนันต์ โดยสรุป สมมติว่าเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ในการแปลงเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดเป็นเศษส่วนธรรมดา

การแปลงทศนิยมสิ้นสุดเป็นเศษส่วนร่วม

การหาเศษส่วนธรรมดาซึ่งเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายนั้นค่อนข้างง่าย กฎการแปลงเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายให้เป็นเศษส่วนธรรมดาประกอบด้วยสามขั้นตอน:

• ประการแรก ให้เขียนเศษส่วนทศนิยมที่กำหนดลงในตัวเศษ โดยก่อนหน้านี้ได้ทิ้งจุดทศนิยมและศูนย์ทั้งหมดทางด้านซ้าย หากมี
• ประการที่สอง เขียนหนึ่งในตัวส่วนและเพิ่มศูนย์มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขหลังจุดทศนิยมในเศษทศนิยมเดิม;
• ประการที่สามถ้าจำเป็นให้ลดเศษส่วนที่เกิดขึ้น

ลองพิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แปลงทศนิยม 3.025 เป็นเศษส่วนร่วม

วิธีการแก้.

หากเราลบจุดทศนิยมออกจากเศษทศนิยมเดิม เราจะได้ตัวเลข 3025 ไม่มีศูนย์ทางด้านซ้ายที่เราจะทิ้ง ดังนั้น ในตัวเศษของเศษส่วนที่ต้องการ เราเขียน 3025

เราเขียนเลข 1 ในตัวส่วนและเพิ่มศูนย์ 3 ตัวทางด้านขวาของมัน เนื่องจากมีตัวเลข 3 หลักในเศษส่วนทศนิยมเดิมหลังจุดทศนิยม

เราก็ได้เศษส่วนธรรมดา 3 025/1 000. เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ 25 เราได้ .

ตอบ:

.

ตัวอย่าง.

แปลงทศนิยม 0.0017 เป็นเศษส่วนร่วม

วิธีการแก้.

หากไม่มีจุดทศนิยม เศษส่วนทศนิยมดั้งเดิมจะดูเหมือน 00017 โดยทิ้งศูนย์ทางด้านซ้าย เราได้เลข 17 ซึ่งเป็นตัวเศษของเศษส่วนสามัญที่ต้องการ

ในตัวส่วน เราเขียนหน่วยที่มีเลขศูนย์สี่ตัว เนื่องจากในเศษส่วนทศนิยมเดิมมี 4 หลักหลังจุดทศนิยม

เป็นผลให้เรามีเศษส่วนธรรมดา 17/10,000 เศษส่วนนี้ลดไม่ได้ และการแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาจะเสร็จสิ้น

ตอบ:

.

เมื่อส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายเดิมแตกต่างจากศูนย์ ก็สามารถแปลงเป็นจำนวนคละได้ทันที โดยข้ามเศษส่วนธรรมดาไป ให้ กฎการแปลงทศนิยมสุดท้ายเป็นจำนวนคละ:

• ต้องเขียนตัวเลขก่อนจุดทศนิยมเป็นส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละที่ต้องการ
• ในตัวเศษของเศษส่วน คุณต้องเขียนตัวเลขที่ได้รับจากส่วนที่เป็นเศษส่วนของเศษส่วนทศนิยมเดิมหลังจากทิ้งศูนย์ทั้งหมดทางด้านซ้ายในนั้น
• ในตัวส่วนของเศษส่วนคุณต้องเขียนตัวเลข 1 ซึ่งทางด้านขวาให้เพิ่มศูนย์มากที่สุดเท่าที่มีตัวเลขในการป้อนเศษทศนิยมเดิมหลังจุดทศนิยม
• หากจำเป็น ให้ลดเศษส่วนของจำนวนคละที่เป็นผลลัพธ์

พิจารณาตัวอย่างการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นจำนวนคละ

ตัวอย่าง.

ทศนิยมด่วน 152.06005 เป็นจำนวนคละ

เศษส่วน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

เศษส่วนในโรงเรียนมัธยมไม่น่ารำคาญมาก ในขณะนี้. จนกว่าคุณจะวิ่งเป็นองศากับ ตัวชี้วัดที่มีเหตุผลใช่ ลอการิทึม และที่นั่น…. คุณกด คุณกดเครื่องคิดเลข และมันจะแสดงป้ายบอกคะแนนทั้งหมดของตัวเลขบางตัว คุณต้องคิดด้วยหัวเหมือนตอนเรียนป.3

มาจัดการกับเศษส่วนกันเถอะ! แล้วคุณจะสับสนกับมันได้มากแค่ไหนกัน!? ยิ่งไปกว่านั้น ทุกอย่างเรียบง่ายและสมเหตุสมผล ดังนั้น, เศษส่วนคืออะไร?

ประเภทของเศษส่วน การแปลงร่าง

เศษส่วนเกิดขึ้น สามประเภท.

1. เศษส่วนทั่วไป , ตัวอย่างเช่น:

บางครั้งแทนที่จะใช้เส้นแนวนอน พวกเขาใส่เครื่องหมายทับ: 1/2, 3/4, 19/5, อืม และอื่นๆ ที่นี่เรามักจะใช้การสะกดคำนี้ ตัวบนเรียกว่า เศษ, ต่ำกว่า - ตัวส่วนหากคุณสับสนชื่อเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง (เกิดขึ้น ... ) ให้บอกตัวเองด้วยวลีด้วยนิพจน์: " Zzzzzจดจำ! Zzzzzตัวส่วน - ออก zzzzยู!" ดูทุกอย่างจะถูกจดจำ)

เส้นประซึ่งเป็นแนวนอนซึ่งเอียงหมายถึง แผนกเลขบน (ตัวเศษ) ถึงเลขล่าง (ตัวส่วน) และนั่นแหล่ะ! แทนที่จะใส่เส้นประ มันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะใส่เครื่องหมายหาร - สองจุด

เมื่อแบ่งได้หมดก็ต้องทำ ดังนั้นแทนที่จะเขียนเศษส่วน "32/8" การเขียนตัวเลข "4" จะดีกว่ามาก เหล่านั้น. 32 หารด้วย 8 ง่ายๆ

32/8 = 32: 8 = 4

ฉันไม่ได้พูดถึงเศษส่วน "4/1" ซึ่งก็แค่ "4" เช่นกัน และถ้ามันหารไม่หมด เราก็ปล่อยให้มันเป็นเศษส่วน บางครั้งคุณต้องทำย้อนกลับ ทำเศษส่วนจากจำนวนเต็ม. แต่เพิ่มเติมในภายหลัง

2. ทศนิยม , ตัวอย่างเช่น:

อยู่ในรูปแบบนี้ที่จะต้องเขียนคำตอบของงาน "B"

3. ตัวเลขผสม , ตัวอย่างเช่น:

ตัวเลขผสมนั้นแทบจะไม่ได้ใช้ในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ในการทำงานกับพวกเขาจะต้องแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา แต่คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการทำอย่างแน่นอน! จากนั้นตัวเลขดังกล่าวจะเจอในปริศนาและแขวน ... ตั้งแต่เริ่มต้น แต่เราจำขั้นตอนนี้ได้! ต่ำกว่าเล็กน้อย

หลากหลายที่สุด เศษส่วนทั่วไป. เริ่มจากพวกเขากันก่อน อย่างไรก็ตาม ถ้ามีลอการิทึม ไซน์ และตัวอักษรอื่นๆ ทุกประเภทในเศษส่วน สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร ในแง่ที่ว่าทุกอย่าง การกระทำที่มีนิพจน์เศษส่วนไม่ต่างจากการกระทำที่มีเศษส่วนธรรมดา!

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

งั้นไปกัน! ก่อนอื่นฉันจะทำให้คุณประหลาดใจ การแปลงเศษส่วนที่หลากหลายมีให้โดยคุณสมบัติเดียว! นั่นแหละที่เรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน. จดจำ: หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน เศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงเหล่านั้น:

เป็นที่ชัดเจนว่าคุณสามารถเขียนต่อไปได้ จนกว่าคุณจะหน้าซีด อย่าปล่อยให้ไซน์และลอการิทึมทำให้คุณสับสน เราจะจัดการกับมันต่อไป สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือ สำนวนต่างๆ เหล่านี้คือ เศษส่วนเดียวกัน . 2/3.

และเราต้องการมัน การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนี้? แล้วยังไง! ตอนนี้คุณจะเห็นด้วยตัวคุณเอง อันดับแรก ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน for ตัวย่อเศษส่วน. ดูเหมือนว่าสิ่งนี้จะเป็นระดับประถมศึกษา เราหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน เท่านี้ก็เรียบร้อย! เป็นไปไม่ได้ที่จะผิดพลาด! แต่... มนุษย์เป็นสิ่งมีชีวิตที่สร้างสรรค์ คุณสามารถทำผิดพลาดได้ทุกที่! ยิ่งถ้าต้องลดไม่ใช่เศษส่วนเหมือน 5/10 แต่ นิพจน์เศษส่วนด้วยตัวอักษรทุกประเภท

วิธีการลดเศษส่วนอย่างถูกต้องและรวดเร็วโดยไม่ต้องทำงานที่ไม่จำเป็น ดูได้ในมาตรา 555 พิเศษ

นักเรียนปกติไม่ต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือนิพจน์)! เขาแค่ขีดฆ่าทุกอย่างเหมือนกันจากด้านบนและด้านล่าง! นี่คือที่ซ่อน ความผิดพลาดทั่วไป, blooper ถ้าคุณต้องการ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ไม่มีอะไรต้องคิด เราขีดตัวอักษร "a" จากด้านบนและตัวย่อจากด้านล่าง! เราได้รับ:

ทุกอย่างถูกต้อง แต่จริงๆแล้วเธอแบ่งปัน ทั้งหมดนี้ ตัวเศษและ ทั้งหมดนี้ ตัวส่วน "ก" หากคุณคุ้นเคยกับการขีดฆ่า คุณสามารถขีดฆ่าตัว "a" ในนิพจน์ได้

และรับอีกครั้ง

ซึ่งจะผิดเป็นหมวดหมู่ เพราะที่นี่ ทั้งหมดนี้ตัวเศษบน "a" แล้ว ไม่ได้แชร์! เศษส่วนนี้ไม่สามารถลดลงได้ อย่างไรก็ตาม ตัวย่อเช่นนี้ อืม ... เป็นการท้าทายอย่างมากสำหรับครู นี้ไม่ได้รับการอภัย! จดจำ? เมื่อลดก็ต้องแบ่ง ทั้งหมดนี้ ตัวเศษและ ทั้งหมดนี้ ตัวส่วน!

การลดเศษส่วนทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก คุณจะได้เศษส่วนที่ไหนสักแห่ง เช่น 375/1000 และตอนนี้จะทำงานกับเธออย่างไร? ไม่มีเครื่องคิดเลข? คูณ พูด บวก ยกกำลังสอง!? และถ้าคุณไม่ขี้เกียจเกินไป แต่ลดอย่างระมัดระวังห้าและห้าและแม้กระทั่ง ... ในขณะที่กำลังลดลงในระยะสั้น เราได้ 3/8! ดีกว่ามากใช่มั้ย?

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนช่วยให้คุณแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน ไม่มีเครื่องคิดเลข! นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการสอบใช่ไหม?

วิธีแปลงเศษส่วนจากรูปแบบหนึ่งเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง

มันง่ายกับทศนิยม ตามที่ได้ยินก็เขียนไว้! สมมุติว่า 0.25 มันคือศูนย์ ยี่สิบห้าในร้อย ดังนั้นเราจึงเขียน: 25/100 เราลด (หารตัวเศษและส่วนด้วย 25) เราได้เศษส่วนปกติ: 1/4 ทุกอย่าง. มันเกิดขึ้นและไม่มีอะไรลดลง ชอบ 0.3. นี่คือสามในสิบนั่นคือ 3/10.

เกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์? ไม่เป็นไร. เขียนเศษส่วนทั้งหมด ไม่มีเครื่องหมายจุลภาคในตัวเศษและในตัวส่วน - สิ่งที่ได้ยิน ตัวอย่างเช่น: 3.17. นี่คือสามทั้งหมด สิบเจ็ดในร้อย เราเขียน 317 ในตัวเศษ และ 100 ในตัวส่วน เราได้ 317/100 ไม่มีอะไรลดลง นั่นหมายถึงทุกอย่าง นี่คือคำตอบ วัตสันประถม! จากทั้งหมดข้างต้น ข้อสรุปที่เป็นประโยชน์: เศษทศนิยมใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนร่วมได้ .

แต่ การแปลงผกผันธรรมดาเป็นทศนิยมบางตัวไม่มีเครื่องคิดเลขไม่สามารถทำได้ แต่คุณต้อง! จะเขียนคำตอบในข้อสอบยังไงดี!? เราอ่านและฝึกฝนกระบวนการนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วน

เศษส่วนทศนิยมคืออะไร? เธอมีในตัวส่วน เสมอมีค่าเท่ากับ 10 หรือ 100 หรือ 1,000 หรือ 10,000 เป็นต้น หากเศษส่วนปกติของคุณมีตัวส่วนเช่นนั้น ก็ไม่มีปัญหา ตัวอย่างเช่น 4/10 = 0.4 หรือ 7/100 = 0.07 หรือ 12/10 = 1.2 และถ้าในคำตอบของงานในส่วน "B" มันกลับกลายเป็น 1/2? เราจะเขียนตอบอะไร? ต้องใช้ทศนิยม...

เราจำได้ คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน ! คณิตศาสตร์ช่วยให้คุณคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันได้ สำหรับใครก็ตาม! ยกเว้นศูนย์แน่นอน มาใช้คุณสมบัตินี้เพื่อประโยชน์ของเรากันเถอะ! ตัวส่วนสามารถคูณด้วยอะไรได้ นั่นคือ 2 เพื่อให้กลายเป็น 10 หรือ 100 หรือ 1,000 (เล็กกว่าย่อมดีกว่าแน่นอน...)? 5 แน่นอน อย่าลังเลที่จะคูณตัวส่วน (นี่คือ เราจำเป็น) ด้วย 5. แต่จากนั้นตัวเศษก็ต้องคูณด้วย 5. นี่อยู่แล้ว คณิตศาสตร์เรียกร้อง! เราได้ 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 นั่นคือทั้งหมดที่

อย่างไรก็ตาม ตัวหารทุกประเภทจะเจอ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 3/16 จะตก ลองคิดดูว่าจะคูณ 16 ด้วยอะไรเพื่อให้ได้ 100 หรือ 1,000... ไม่ได้ผล? จากนั้นคุณสามารถหาร 3 ด้วย 16 ในกรณีที่ไม่มีเครื่องคิดเลข คุณจะต้องหารด้วยมุมบนแผ่นกระดาษดังใน เกรดต่ำกว่าสอน. เราได้ 0.1875

และมีตัวหารที่แย่มากอยู่บ้าง ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 1/3 ไม่สามารถเปลี่ยนเป็นทศนิยมที่ดีได้ ทั้งบนเครื่องคิดเลขและบนกระดาษ เราได้ 0.3333333 ... ซึ่งหมายความว่า 1/3 เป็นเศษส่วนทศนิยมที่แน่นอน ไม่ได้แปล. เช่นเดียวกับ 1/7, 5/6 เป็นต้น หลายคนไม่สามารถแปลได้ จึงเป็นข้อสรุปที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง ไม่ใช่เศษส่วนทั่วไปทุกส่วนที่จะแปลงเป็นทศนิยม !

โดยวิธีการนี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์สำหรับการทดสอบตัวเอง ในส่วน "B" คุณต้องเขียนเศษส่วนทศนิยม และคุณได้ เช่น 4/3 เศษส่วนนี้จะไม่ถูกแปลงเป็นทศนิยม หมายความว่ามีที่ไหนสักแห่งระหว่างทางที่คุณทำผิดพลาด! กลับมาตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา

ดังนั้นด้วยเศษส่วนธรรมดาและทศนิยมแยกออก มันยังคงจัดการกับตัวเลขผสม ในการทำงานกับพวกมัน พวกมันทั้งหมดต้องแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา ทำอย่างไร? คุณสามารถจับนักเรียนเกรดหกและถามเขา แต่ไม่เสมอไปที่นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่หกจะอยู่ในมือ ... เราจะต้องทำด้วยตัวเอง นี่ไม่ใช่เรื่องยาก คูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยส่วนจำนวนเต็มแล้วบวกตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน นี่จะเป็นตัวเศษ เศษส่วนธรรมดา. แล้วตัวส่วนล่ะ? ตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม ฟังดูซับซ้อน แต่จริงๆ แล้วค่อนข้างง่าย มาดูตัวอย่างกัน

ให้ปัญหาที่คุณเห็นด้วยความสยดสยองจำนวน:

เราเข้าใจอย่างสงบโดยไม่ตื่นตระหนก ส่วนทั้งหมดคือ 1. หนึ่ง ส่วนที่เป็นเศษส่วนคือ 3/7 ดังนั้น ตัวส่วนของเศษส่วนคือ 7 ตัวส่วนนี้จะเป็นตัวส่วนของเศษส่วนสามัญ เรานับตัวเศษ เราคูณ 7 ด้วย 1 (ส่วนจำนวนเต็ม) และบวก 3 (ตัวเศษของส่วนที่เป็นเศษส่วน) เราได้ 10 นี่จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนธรรมดา นั่นคือทั้งหมดที่ มันดูง่ายกว่าในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

ชัดเจน? แล้วรับรองความสำเร็จของคุณ! แปลงเป็นเศษส่วนร่วม. คุณควรได้ 10/7, 7/2, 23/10 และ 21/4

การดำเนินการย้อนกลับ - การแปลงเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเป็นจำนวนคละ - ไม่ค่อยมีความจำเป็นในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลาย ถ้า... และถ้าคุณ - ไม่ได้อยู่ในโรงเรียนมัธยม - คุณสามารถดูส่วนพิเศษ 555 ได้ ในที่เดียวกัน คุณจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

ดีเกือบทุกอย่าง คุณจำประเภทของเศษส่วนและเข้าใจได้ อย่างไร แปลงจากประเภทหนึ่งเป็นอีกประเภทหนึ่ง คำถามยังคงอยู่: ทำไม ทำมัน? จะใช้ความรู้ลึกนี้ที่ไหนและเมื่อไหร่?

ฉันตอบ. ตัวอย่างใด ๆ ที่บ่งบอกถึงการกระทำที่จำเป็น ถ้าในตัวอย่าง เศษส่วน ทศนิยม และคู่ ตัวเลขผสมเราแปลงทุกอย่างเป็นเศษส่วนธรรมดา ทำได้ตลอด. ถ้าเขียนประมาณ 0.8 + 0.3 เราก็คิดอย่างนั้นโดยไม่มีการแปล ทำไมเราต้องทำงานพิเศษ? เราเลือกวิธีแก้ปัญหาที่สะดวก เรา !

ถ้างานนี้เต็มไปด้วยทศนิยม แต่เอ่อ ... ตัวร้ายบางตัวไปที่คนธรรมดาลองดู! ดูสิ ทุกอย่างจะเรียบร้อย ตัวอย่างเช่น คุณต้องยกกำลังสองตัวเลข 0.125 ไม่ง่ายนักหากคุณยังไม่เสียนิสัยในการใช้เครื่องคิดเลข! คุณไม่เพียงแค่ต้องคูณตัวเลขในคอลัมน์เท่านั้น แต่ยังต้องคิดด้วยว่าจะใส่ลูกน้ำตรงไหน! มันไม่ได้ผลในใจฉันอย่างแน่นอน! แล้วถ้าเป็นเศษส่วนธรรมดาล่ะ?

0.125 = 125/1000 เราลดลง 5 (สำหรับผู้เริ่มต้น) เราได้ 25/200 อีกครั้งในวันที่ 5. เราได้ 5/40 โอ้ย หด! กลับมาที่ 5! เราได้ 1/8 ยกกำลังสองอย่างง่ายดาย (ในใจของคุณ!) และรับ 1/64 ทุกอย่าง!

มาสรุปบทเรียนนี้กัน

1. เศษส่วนมีสามประเภท เลขธรรมดา ทศนิยม และผสม

2. ทศนิยมและจำนวนคละ เสมอสามารถแปลงเป็นเศษส่วนร่วมได้ แปลย้อนกลับ ไม่เสมอมีอยู่.

3. การเลือกประเภทของเศษส่วนสำหรับการทำงานกับงานนี้ขึ้นอยู่กับงานนี้ ต่อหน้า ประเภทต่างๆเศษส่วนในงานเดียว สิ่งที่น่าเชื่อถือที่สุดคือการเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนธรรมดา

ตอนนี้คุณสามารถฝึกฝน ขั้นแรก แปลงเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้เป็นทศนิยมธรรมดา:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

คุณควรได้รับคำตอบเช่นนี้ (ในระเบียบ!):

เกี่ยวกับเรื่องนี้เราจะเสร็จสิ้น ในบทเรียนนี้ เราได้สรุปประเด็นสำคัญเกี่ยวกับเศษส่วน อย่างไรก็ตามมันเกิดขึ้นว่าไม่มีอะไรพิเศษที่จะรีเฟรช ... ) หากมีคนลืมไปอย่างสมบูรณ์หรือยังไม่เชี่ยวชาญ ... เหล่านั้นสามารถไปที่ส่วนพิเศษ 555 ข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดมีรายละเอียดอยู่ที่นั่น หลายคนกะทันหัน เข้าใจทุกอย่างกำลังเริ่มต้น และพวกเขาแก้เศษส่วนได้ทันที)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาเหมือนกัน แต่ในรูปแบบทศนิยมที่เรียกว่า สัญกรณ์ทศนิยมใช้สำหรับเศษส่วนที่มีตัวส่วน 10, 100, 1000 เป็นต้น ในกรณีนี้ แทนที่จะเป็นเศษส่วน 1/10 1/100; 1/1000; ... เขียน 0.1; 0.01; 0.001;.... .

ตัวอย่างเช่น 0.7 ( ศูนย์จุดเจ็ด) เป็นเศษส่วน 7/10; 5.43 ( ห้าจุดสี่สิบสามร้อย) เป็นเศษส่วนผสม 5 43/100 (หรือเทียบเท่าเศษส่วน 543/100)

อาจเกิดขึ้นได้ว่ามีศูนย์หนึ่งตัวหรือมากกว่าทันทีหลังจากจุดทศนิยม: 1.03 คือเศษส่วน 1 3/100; 17.0087 คือเศษส่วน 1787/10000 กฎทั่วไปนี่คือ: ต้องมีเลขศูนย์เป็นตัวส่วนของเศษส่วนสามัญเท่ากับจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมในเศษทศนิยม.

ทศนิยมสามารถลงท้ายด้วยศูนย์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ปรากฎว่าเลขศูนย์เหล่านี้เป็น "พิเศษ" - สามารถลบออกได้ง่ายๆ: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3 คุณคิดออกไหมว่าทำไมถึงเป็นเช่นนี้

ทศนิยมเกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อหารด้วยตัวเลข "รอบ" - 10, 100, 1000, ... อย่าลืมเข้าใจตัวอย่างต่อไปนี้:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

คุณสังเกตเห็นรูปแบบที่นี่หรือไม่? พยายามกำหนดมัน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณคูณทศนิยมด้วย 10, 100, 1000?

ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นทศนิยม คุณต้องนำมาเป็นตัวส่วน "กลม" บางประเภท:

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5 เป็นต้น

การบวกเศษส่วนทศนิยมจะสะดวกกว่าเศษส่วนธรรมดามาก การบวกจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับตัวเลขธรรมดา - ตามตัวเลขที่เกี่ยวข้อง เมื่อเพิ่มลงในคอลัมน์ เงื่อนไขจะต้องเขียนเพื่อให้เครื่องหมายจุลภาคอยู่ในแนวดิ่งเดียวกัน เครื่องหมายจุลภาครวมจะปรากฏในประเภทธุรกิจเดียวกันด้วย การลบเศษส่วนทศนิยมทำได้ในลักษณะเดียวกันทุกประการ

หากเมื่อบวกหรือลบในเศษส่วนใด จำนวนหลักหลังจุดทศนิยมน้อยกว่าในอีกจำนวนหนึ่ง ให้เพิ่มจำนวนศูนย์ที่ต้องการที่ส่วนท้ายของเศษส่วนนี้ คุณไม่สามารถบวกเลขศูนย์เหล่านี้ได้ แต่ลองนึกภาพมันในใจ

เมื่อคูณเศษส่วนทศนิยม พวกเขาควรคูณด้วยตัวเลขธรรมดาอีกครั้ง (ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องเขียนเครื่องหมายจุลภาคด้วยเครื่องหมายจุลภาคอีกต่อไป) ในผลลัพธ์ที่ได้ คุณจะต้องคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคจำนวนอักขระเท่ากับจำนวนตำแหน่งทศนิยมทั้งหมดในปัจจัยทั้งสอง

เมื่อทำการหารเศษส่วนทศนิยม คุณสามารถย้ายเครื่องหมายจุลภาคไปทางขวาด้วยจำนวนหลักเดียวกันในตัวปันผลและตัวหาร: ผลหารจะไม่เปลี่ยนจากสิ่งนี้:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

อธิบายว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนี้

1. วาดสี่เหลี่ยมขนาด 10x10 ทาสีทับบางส่วนเท่ากับ: ก) 0.02; ข) 0.7; ค) 0.57; ง) 0.91; จ) 0.135 ของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด
2. 2.43 สี่เหลี่ยมคืออะไร? วาดในภาพ
3. หาร 37 ด้วย 10; 795; สี่; 2.3; 65.27; 0.48 แล้วเขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วนทศนิยม หารตัวเลขเหล่านี้ด้วย 100 และ 1,000
4. คูณด้วย 10 ตัวเลข 4.6; 6.52; 23.095; 0.01999. คูณตัวเลขเหล่านี้ด้วย 100 และ 1,000
5. แสดงทศนิยมเป็นเศษส่วนแล้วย่อลง:
   ก) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   ข) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   ค) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   ง) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. ลองนึกภาพในรูปแบบ เศษส่วนผสม: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. เขียนเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม:
   ก) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   ข) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   ค) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   ง) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 2542/2000.
8. หาผลรวม: ก) 7.3 + 12.8; ข) 65.14+49.76; ค) 3.762+12.85; ง) 85.4+129.756; จ) 1.44+2.56.
9. คิดว่าหน่วยเป็นผลรวมของทศนิยมสองตำแหน่ง ค้นหาอีกยี่สิบวิธีในการทำเช่นนี้
10. ค้นหาความแตกต่าง: ก) 13.4–8.7; ข) 74.52–27.04; ค) 49.736–43.45; ง) 127.24–93.883; จ) 67–52.07; ฉ) 35.24–34.9975.
11. ค้นหาผลิตภัณฑ์: ก) 7.6 3.8; ข) 4.8 12.5; ค) 2.39 7.4; ง) 3.74 9.65.