ฟังก์ชันใดที่เรียกว่าคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบของปัญหา Cauchy

สมการเชิงอนุพันธ์มีการเรียกสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ x ฟังก์ชันที่ต้องการ y=f(x) และอนุพันธ์ของมัน y",y"",\ldots,y^((n))นั่นคือสมการของแบบฟอร์ม

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

หากฟังก์ชันที่ต้องการ y \u003d y (x) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x หนึ่งตัว สมการเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่าสามัญ เช่น,

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0

เมื่อฟังก์ชัน y ที่ต้องการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เช่น ถ้า y=y(x,t) ก็จะได้สมการในรูปแบบ

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ในที่นี้ k,l เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่ง k+l=m ; เช่น

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นลำดับของอนุพันธ์สูงสุดในสมการ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ y"+xy=e^x เป็นสมการอันดับหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์ y""+p(x)y=0 โดยที่ p(x) คือ ฟังก์ชันที่รู้จัก, - สมการลำดับที่สอง; สมการเชิงอนุพันธ์ y^((9))-xy""=x^2 - สมการลำดับที่ 9

โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ n ในช่วง (a,b) คือฟังก์ชัน y=\varphi(x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (a,b) พร้อมกับอนุพันธ์ของมันจนถึงลำดับที่ n รวมอยู่ด้วย และการแทนที่ของฟังก์ชัน y= \varphi (x) ในสมการเชิงอนุพันธ์จะเปลี่ยนสมการหลังเป็นตัวตนใน x บน (a,b) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=\sin(x)+\cos(x) เป็นคำตอบของสมการ y""+y=0 ในช่วง (-\infty,+\infty) เรามีความแตกต่างของฟังก์ชันสองครั้ง

Y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x)

แทนนิพจน์ y"" และ y ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะได้เอกลักษณ์

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

กราฟสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า เส้นโค้งอินทิกรัลสมการนี้

มุมมองทั่วไปของสมการอันดับหนึ่ง

F(x,y,y")=0.

ถ้าแก้สมการ (1) ได้ด้วยความเคารพ y" แล้วเราจะได้ สมการอันดับหนึ่งแก้ไขด้วยความเคารพอนุพันธ์

ย"=ฉ(x,ย).

ปัญหา Cauchy คือปัญหาของการหาคำตอบ y=y(x) ของสมการ y"=f(x,y) ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x_0)=y_0 (สัญลักษณ์อื่น y|_(x=x_0) =y_0 )

ในทางเรขาคณิต หมายความว่าเรากำลังมองหาเส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุดที่กำหนด
จุด M_0(x_0,y_0) ของระนาบ xOy (รูปที่ 1)

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหา Cauchy

ให้กำหนดสมการเชิงอนุพันธ์เป็น y"=f(x,y) โดยที่ฟังก์ชัน f(x,y) ถูกกำหนดในบางพื้นที่ D ของระนาบ xOy ที่มีจุด (x_0,y_0) ถ้าฟังก์ชัน f(x ,y) เป็นไปตามเงื่อนไข

a) f(x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปร x และ y สองตัวในโดเมน D ;

b) f(x,y) มีอนุพันธ์บางส่วนอยู่ในขอบเขต D จากนั้นมีช่วงเวลา (x_0-h,x_0+h) ซึ่งมีคำตอบเฉพาะ y=\varphi(x) ของสมการนี้ ตรงตามเงื่อนไข y(x_0 )=y_0

ทฤษฎีบทให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับปัญหา Cauchy สำหรับสมการ y"=f(x,y) แต่เงื่อนไขเหล่านี้ไม่ใช่ จำเป็น. กล่าวคือ อาจมีคำตอบเฉพาะของสมการ y"=f(x,y) ที่ตรงตามเงื่อนไข y(x_0)=y_0 แม้ว่าเงื่อนไข a) หรือ b) หรือทั้งสองไม่ตรงตามเงื่อนไข (x_0,y_0 ).

พิจารณาตัวอย่าง

1. y"=\frac(1)(y^2) . ที่นี่ f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). ที่จุด (x_0,0) ของแกน Ox เงื่อนไข a) และ b) ไม่เป็นไปตาม (ฟังก์ชัน f(x,y) และอนุพันธ์บางส่วน \frac(\partial(f))(\partial(y))ไม่ต่อเนื่องบนแกน Ox และไม่จำกัดที่ y\to0 ) แต่เส้นโค้งอินทิกรัลที่ไม่ซ้ำกัน y=\sqrt(3(x-x_0)) ผ่านแต่ละจุดของแกน Ox (รูปที่ 2)

2. y"=xy+e^(-y) . ทางด้านขวาของสมการ f(x,y)=xy+e^(-y) และอนุพันธ์ย่อย \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y)มีความต่อเนื่องใน x และ y ทุกจุดของระนาบ xOy โดยอาศัยทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ ขอบเขตที่สมการที่กำหนดมีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร
คือระนาบทั้งหมด xOy

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). ทางขวามือของสมการ f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2)ถูกกำหนดและต่อเนื่องในทุกจุดของระนาบ xOy อนุพันธ์บางส่วน \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y))ไปที่อินฟินิตี้ที่ y=0 เช่น บนแกน Ox ดังนั้นเงื่อนไข b) ของทฤษฎีบทการมีอยู่และเอกลักษณ์จึงถูกละเมิดสำหรับ y=0 ดังนั้นที่จุดของแกน Ox ความเป็นเอกลักษณ์สามารถถูกละเมิดได้ ตรวจสอบได้ง่ายว่าฟังก์ชันนั้นเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด นอกจากนี้ สมการยังมีคำตอบที่ชัดเจน y\equiv0 ดังนั้น มีเส้นอินทิกรัลอย่างน้อยสองเส้นผ่านแต่ละจุดของแกน Ox และด้วยเหตุนี้ ความเป็นเอกลักษณ์จึงถูกละเมิดที่จุดของแกนนี้ (รูปที่ 3)

เส้นอินทิกรัลของสมการนี้จะเป็นเส้นที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนของพาราโบลาลูกบาศก์ y=\frac((x+c)^3)(8)และส่วนของแกน Ox เช่น ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x เป็นต้น เพื่อให้ผ่านแต่ละจุดของแกน Ox ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดเส้นบูรณาการ

สภาพลิปชิตซ์

ความคิดเห็น เงื่อนไขขอบเขตอนุพันธ์ \partial(f)/\partial(y)ที่ปรากฏในทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหา Cauchy สามารถถูกทำให้อ่อนลงได้บ้างและถูกแทนที่ด้วยสิ่งที่เรียกว่า สภาพลิปชิตซ์.

ว่ากันว่าฟังก์ชัน f(x,y) ที่กำหนดไว้ในบางโดเมน D เป็นไปตามเงื่อนไขของ Lipschitz บน y ใน D ถ้ามีค่าคงที่ L ( ค่าคงตัวของลิปชิตซ์) ที่สำหรับ y_1,y_2 ใด ๆ จาก D และ x ใด ๆ จาก D ความไม่เท่าเทียมกัน

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

การมีอยู่จริงในโดเมน D ของอนุพันธ์ที่มีขอบเขต \frac(\partial(f))(\partial(y))เพียงพอสำหรับฟังก์ชัน f(x,y) เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขของลิปชิตซ์ใน D ในทางตรงกันข้าม เงื่อนไขของ Lipschitz ไม่ได้หมายความถึงเงื่อนไขของขอบเขต \frac(\partial(f))(\partial(y)); หลังอาจไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น สำหรับสมการ y"=2|y|\cos(x) ฟังก์ชัน f(x,y)=2|y|\cos(x)ไม่แตกต่างด้วยความเคารพ y ณ จุดหนึ่ง (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z)แต่สภาพของลิปสชิตซ์เป็นที่พอใจในบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ อย่างแท้จริง,

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

เพราะว่า |\cos(x)|\leqslant1,ก ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. ดังนั้น เงื่อนไขของลิปชิตซ์จึงเป็นไปตามค่าคงที่ L=2

ทฤษฎีบท. หากฟังก์ชัน f(x,y) ต่อเนื่องและเป็นไปตามเงื่อนไข Lipschitz บน y ในโดเมน D ดังนั้นปัญหา Cauchy

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D)

มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร

เงื่อนไข Lipschitz เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา Cauchy ยกตัวอย่าง พิจารณาสมการ

\frac(dy)(dx)=\begin(กรณี)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(กรณี)

สังเกตได้ง่ายว่าฟังก์ชัน f(x, y) เป็นแบบต่อเนื่อง ในทางกลับกัน,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

ถ้า y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2,แล้ว

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|ย-ย|,

และสภาวะลิปสชิตซ์ไม่เป็นที่พอใจในทุกภูมิภาคที่มีจุดกำเนิด O(0,0) เนื่องจากปัจจัยที่ |Y-y| กลายเป็นว่าไม่มีขอบเขตสำหรับ x\to0

สมการเชิงอนุพันธ์นี้ยอมรับวิธีแก้ปัญหา y=C^2-\sqrt(x^4+C^4),โดยที่ C เป็นค่าคงที่โดยพลการ นี่แสดงให้เห็นว่ามีชุดของโซลูชันที่ไม่สิ้นสุดที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(0)=0

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เรียกว่าฟังก์ชัน

Y=\varphi(x, C),

ขึ้นอยู่กับหนึ่งค่าคงที่โดยพลการ C และอื่น ๆ

1) เป็นไปตามสมการ (2) สำหรับค่าคงที่ C ที่ยอมรับได้

2) ไม่ว่าเงื่อนไขเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

เราสามารถเลือกค่า C_0 ของค่าคงที่ C ที่โซลูชัน y=\varphi(x,C_0) จะเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด (4) สันนิษฐานว่าจุด (x_0,y_0) เป็นของภูมิภาคที่เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของโซลูชัน

การตัดสินใจส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์ (2) คือคำตอบที่ได้จากคำตอบทั่วไป (3) สำหรับค่าใด ๆ ค่าบางอย่างค่าคงที่โดยพลการ C .

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน y=x+C เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ y"=1 และหาคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y|_(x=0)=0 ให้การตีความทางเรขาคณิตของ ผลลัพธ์.

การตัดสินใจ.ฟังก์ชัน y=x+C เป็นไปตามสมการนี้สำหรับค่าใดๆ ของค่าคงที่โดยพลการ C . แน่นอน y"=(x+C)"=1

มาตั้งเงื่อนไขเริ่มต้นตามอำเภอใจ y|_(x=x_0)=y_0 กัน เมื่อใส่ x=x_0 และ y=y_0 ในสมการ y=x+C เราพบว่า C=y_0-x_0 แทนค่านี้ของ C ลงใน ฟังก์ชั่นนี้เราจะได้ y=x+y_0-x_0 ฟังก์ชันนี้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด: ใส่ x=x_0 เราจะได้รับ y=x_0+y_0-x_0=y_0 ดังนั้น ฟังก์ชัน y=x+C จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การตั้งค่า x_0=0 และ y_0=0 เราได้รับโซลูชันเฉพาะ y=x

การตัดสินใจร่วมกันสมการที่กำหนดเช่น ฟังก์ชัน y=x+C กำหนดในระนาบ xOy ซึ่งเป็นตระกูลของเส้นขนานที่มี ปัจจัยความชัน k=1 . อินทิกรัลเส้นเดียว y=x+y_0-x_0 ผ่านแต่ละจุด M_0(x_0,y_0) ของระนาบ xOy คำตอบเฉพาะ y=x กำหนดหนึ่งในเส้นโค้งอินทิกรัล นั่นคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด (รูปที่ 4)

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน y=Ce^x เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ y"-y=0 และหาคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y|_(x=1)=-1 .

การตัดสินใจ.เรามี y=Ce^x,~y"=Ce^x แทนนิพจน์ y และ y" ในสมการนี้ เราจะได้ Ce^x-Ce^x\equiv0 นั่นคือ ฟังก์ชัน y=Ce^x เป็นไปตามสมการนี้ สำหรับค่าคงที่ C ใดๆ

มาตั้งเงื่อนไขเริ่มต้นตามอำเภอใจ y|_(x=x_0)=y_0 กัน แทน x_0 และ y_0 แทน x และ y ในฟังก์ชัน y=Ce^x เราจะได้ y_0=Ce^(x_0) ดังนั้น C=y_0e^(-x_0) ฟังก์ชัน y=y_0e^(x-x_0) เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น แน่นอนสมมติว่า x=x_0 เราได้รับ y=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. ฟังก์ชัน y=Ce^x เป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้

สำหรับ x_0=1 และ y_0=-1 เราได้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y=-e^(x-1)

กับ จุดเรขาคณิตดูวิธีแก้ปัญหาทั่วไปกำหนดกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลซึ่งเป็นกราฟ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง; วิธีแก้ปัญหาเฉพาะคือเส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุด M_0(1;-1) (รูปที่ 5)

ความสัมพันธ์ของรูปแบบ \Phi(x,y,C)=0 ซึ่งระบุวิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยปริยายเรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง

ความสัมพันธ์ที่ได้จากอินทิกรัลทั่วไปที่ค่าเฉพาะของค่าคงที่ C เรียกว่า อินทิกรัลส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์.

ปัญหาของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์หรือการอินทิกรัลคือการหาคำตอบทั่วไปหรืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด หากมีการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นเพิ่มเติม จำเป็นต้องเลือกโซลูชันเฉพาะหรือ อินทิกรัลส่วนตัวเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

เนื่องจากจากมุมมองทางเรขาคณิต พิกัด x และ y เท่ากันพร้อมกับสมการ \frac(dx)(dy)=f(x,y)เราจะพิจารณาสมการ \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3 ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ frac(\partial^m(y))(\partial(x^k)\partial(t^l))\right)=0

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (t))=\frac(\partial^2y)(\partial(x^2)).

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นลำดับของอนุพันธ์สูงสุดในสมการ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ y"+xy=e^x เป็นสมการอันดับหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์ y""+p(x)y=0 โดยที่ p(x) เป็นฟังก์ชันที่ทราบแล้ว เป็นฟังก์ชันที่สอง สมการลำดับที่ สมการเชิงอนุพันธ์ y^( (9))-xy""=x^2 - สมการลำดับที่ 9

โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ n ในช่วง (a,b) คือฟังก์ชัน y=\varphi(x) ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา (a,b) พร้อมกับอนุพันธ์ของมันจนถึงลำดับที่ n รวมอยู่ด้วย และการแทนที่ของฟังก์ชัน y= \varphi (x) ในสมการเชิงอนุพันธ์จะเปลี่ยนสมการหลังเป็นตัวตนใน x บน (a,b) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y=\sin(x)+\cos(x)เป็นคำตอบของสมการ y""+y=0 บนช่วงเวลา (-\infty,+\infty). เรามีความแตกต่างของฟังก์ชันสองครั้ง

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x)

แทนนิพจน์ y"" และ y ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ เราจะได้เอกลักษณ์

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

กราฟสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า เส้นโค้งอินทิกรัลสมการนี้

มุมมองทั่วไปของสมการอันดับหนึ่ง

F(x,y,y")=0.

y"=f(x,y).

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหา Cauchy

a) f(x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปร x และ y สองตัวในโดเมน D ;

พิจารณาตัวอย่าง

1. y"=\frac(1)(y^2) . ที่นี่ f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). ที่จุด (x_0,0) ของแกน Ox เงื่อนไข a) และ b) ไม่เป็นไปตาม (ฟังก์ชัน f(x,y) และอนุพันธ์บางส่วน \frac(\partial(f))(\partial(y))ไม่ต่อเนื่องบนแกน Ox และไม่มีขอบเขตสำหรับ y\to0 ) แต่มีเส้นโค้งอินทิกรัลเส้นเดียวผ่านแต่ละจุดของแกน Ox y=\sqrt(3(x-x_0))(รูปที่ 2)

เส้นอินทิกรัลของสมการนี้จะเป็นเส้นที่ประกอบด้วยชิ้นส่วนของพาราโบลาลูกบาศก์ y=\frac((x+c)^3)(8)และส่วนของแกน Ox เช่น ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x เป็นต้น เพื่อให้ชุดของเส้นอินทิกรัลจำนวนไม่สิ้นสุดผ่านแต่ละจุดของแกน Ox

สภาพลิปชิตซ์

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D)

มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร

\frac(dy)(dx)=\begin(กรณี)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(กรณี)

สังเกตได้ง่ายว่าฟังก์ชัน f(x, y) เป็นแบบต่อเนื่อง ในทางกลับกัน,

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

ถ้า y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2,แล้ว

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta ^2))|ย-ย|,

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เรียกว่าฟังก์ชัน

y=\varphi(x,C),

ขึ้นอยู่กับหนึ่งค่าคงที่โดยพลการ C และอื่น ๆ

1) เป็นไปตามสมการ (2) สำหรับค่าคงที่ C ที่ยอมรับได้

2) ไม่ว่าเงื่อนไขเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

การตัดสินใจส่วนตัวสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็นคำตอบที่ได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (3) สำหรับค่าเฉพาะค่าคงที่โดยพลการ C .

มาตั้งเงื่อนไขเริ่มต้นตามอำเภอใจ y|_(x=x_0)=y_0 กัน เมื่อใส่ x=x_0 และ y=y_0 ในสมการ y=x+C เราพบว่า C=y_0-x_0 แทนค่าของ C ในฟังก์ชันนี้ เราจะได้ y=x+y_0-x_0 ฟังก์ชันนี้เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด: ใส่ x=x_0 เราจะได้ y=x_0+y_0-x_0=y_0. ดังนั้น ฟังก์ชัน y=x+C จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การตั้งค่า x_0=0 และ y_0=0 เราได้รับโซลูชันเฉพาะ y=x

คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ ฟังก์ชัน y=x+C กำหนดกลุ่มของเส้นขนานที่มีความชัน k=1 ในระนาบ xOy อินทิกรัลเส้นเดียว y=x+y_0-x_0 ผ่านแต่ละจุด M_0(x_0,y_0) ของระนาบ xOy คำตอบเฉพาะ y=x กำหนดหนึ่งในเส้นโค้งอินทิกรัล นั่นคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด (รูปที่ 4)

สำหรับ x_0=1 และ y_0=-1 เราได้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y=-e^(x-1)

จากมุมมองทางเรขาคณิต วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะกำหนดกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัล ซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล วิธีแก้ปัญหาเฉพาะคือเส้นโค้งอินทิกรัลที่ผ่านจุด M_0(1;-1) (รูปที่ 5)

ปัญหาของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์หรือการอินทิกรัลคือการหาคำตอบทั่วไปหรืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด หากมีการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นเพิ่มเติม ก็จำเป็นต้องเลือกโซลูชันเฉพาะหรืออินทิกรัลเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส

สถาบันเกษตร"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง

สรุปการบรรยายสำหรับนักศึกษาบัญชี

แบบตอบรับการศึกษา (สช.)

กอร์กี, 2013

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

แนวคิดของสมการเชิงอนุพันธ์ โซลูชันทั่วไปและโซลูชันเฉพาะ

เมื่อศึกษาปรากฏการณ์ต่างๆ มักจะไม่สามารถหากฎที่เชื่อมโยงตัวแปรอิสระกับฟังก์ชันที่ต้องการได้โดยตรง แต่เป็นไปได้ที่จะสร้างความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมัน

เรียกความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ต้องการ และอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ :

ที่นี่ xเป็นตัวแปรอิสระ ยเป็นฟังก์ชันที่ต้องการ
เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการ ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ (1) จำเป็นต้องมีอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งรายการ

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นลำดับของอนุพันธ์สูงสุดในสมการ

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์

. (2)

เนื่องจากสมการนี้มีอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งเท่านั้น จึงเรียกว่า เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ถ้าแก้สมการ (2) ได้ด้วยความเคารพอนุพันธ์และเขียนเป็น

, (3)

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบปกติ

ในหลายกรณี ควรพิจารณาสมการของแบบฟอร์ม

ซึ่งเรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเขียนในรูปดิฟเฟอเรนเชียล

เพราะ
สมการ (3) สามารถเขียนได้เป็น
หรือ
ที่สามารถนับได้
และ
. ซึ่งหมายความว่าสมการ (3) ถูกแปลงเป็นสมการ (4)

เราเขียนสมการ (4) ในแบบฟอร์ม
. แล้ว
,
,
ที่สามารถนับได้
, เช่น. จะได้สมการของแบบฟอร์ม (3) ดังนั้นสมการ (3) และ (4) จึงเท่ากัน

โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) หรือ (3) เรียกฟังก์ชันใดๆ
ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการ (2) หรือ (3) จะกลายเป็นข้อมูลประจำตัว:

หรือ
.

กระบวนการค้นหาคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า การบูรณาการ และกราฟของการแก้ปัญหา
เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ เส้นโค้งอินทิกรัล สมการนี้

หากได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบโดยปริยาย
แล้วจะเรียกว่า อินทิกรัล กำหนดสมการเชิงอนุพันธ์

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งเป็นตระกูลของฟังก์ชันของแบบฟอร์ม
ขึ้นอยู่กับค่าคงที่โดยพลการ กับซึ่งแต่ละข้อเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง ค่าที่อนุญาตค่าคงที่โดยพลการ กับ. สมการเชิงอนุพันธ์จึงมี นับไม่ถ้วนโซลูชั่น

การตัดสินใจส่วนตัว สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่ได้จากสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับค่าเฉพาะของค่าคงที่โดยพลการ กับ, รวมทั้ง
.

ปัญหา Cauchy และการตีความทางเรขาคณิต

สมการ (2) มีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด ในการแยกโซลูชันหนึ่งออกจากชุดนี้ ซึ่งเรียกว่าโซลูชันเฉพาะ จะต้องระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอย่าง

ปัญหาในการหาคำตอบเฉพาะของสมการ (2) ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดเรียกว่า ปัญหาจุกจิก . ปัญหานี้เป็นหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

ปัญหา Cauchy มีรูปแบบดังนี้: ในบรรดาคำตอบของสมการ (2) จงหาคำตอบดังกล่าว
ซึ่งในฟังก์ชั่น
รับค่าตัวเลขที่กำหนด ถ้าตัวแปรอิสระ x รับค่าตัวเลขที่กำหนด , เช่น.

,
, (5)

ที่ไหน งเป็นโดเมนของฟังก์ชัน
.

ความหมาย เรียกว่า ค่าเริ่มต้นของฟังก์ชัน , ก – ค่าเริ่มต้นของตัวแปรอิสระ . เรียกเงื่อนไข (5) สภาพเริ่มต้น หรือ ภาวะโคม่า .

จากมุมมองทางเรขาคณิต ปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ (2) สามารถกำหนดได้ดังนี้: จากชุดเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการ (2) เลือกอันที่ผ่าน จุดที่กำหนด
.

สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกกันได้

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดประเภทหนึ่งคือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ไม่มีฟังก์ชันที่ต้องการ:

. (6)

กำหนดว่า
เราเขียนสมการในรูปแบบ
หรือ
. การอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการสุดท้าย เราได้รับ:
หรือ

. (7)

ดังนั้น (7) จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (6)

ตัวอย่างที่ 1 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

การตัดสินใจ . เราเขียนสมการในรูปแบบ
หรือ
. เรารวมทั้งสองส่วนของสมการที่ได้:
,
. เรามาเขียนลงท้ายกัน
.

ตัวอย่างที่ 2 . หาคำตอบของสมการ
กำหนดว่า
.

การตัดสินใจ . มาหาคำตอบทั่วไปของสมการกัน:
,
,
,
. ตามเงื่อนไข
,
. แทนที่ในโซลูชันทั่วไป:
หรือ
. เราแทนค่าที่พบของค่าคงที่โดยพลการลงในสูตรสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:
. นี่คือคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด

สมการ

(8)

เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่ไม่มีตัวแปรอิสระ . เราเขียนไว้ในแบบฟอร์ม
หรือ
. เรารวมทั้งสองส่วนของสมการสุดท้าย:
หรือ
- คำตอบทั่วไปของสมการ (8)

ตัวอย่าง . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ
.

การตัดสินใจ . เราเขียนสมการนี้ในรูปแบบ:
หรือ
. แล้ว
,
,
,
. ดังนั้น,
เป็นคำตอบทั่วไปของสมการนี้

พิมพ์สมการ

(9)

บูรณาการโดยใช้การแยกตัวแปร ในการทำเช่นนี้เราเขียนสมการในแบบฟอร์ม
จากนั้นใช้การดำเนินการของการคูณและการหาร เรานำมาสู่รูปแบบที่ส่วนหนึ่งรวมเฉพาะฟังก์ชันของ เอ็กซ์และความแตกต่าง ดีเอ็กซ์และในส่วนที่สอง - ฟังก์ชั่นของ ที่และความแตกต่าง ตาย. ในการทำเช่นนี้ ทั้งสองข้างของสมการจะต้องคูณด้วย ดีเอ็กซ์และหารด้วย
. เป็นผลให้เราได้สมการ

, (10)

ซึ่งตัวแปรต่างๆ เอ็กซ์และ ที่แยกออกจากกัน. เรารวมทั้งสองส่วนของสมการ (10):
. ความสัมพันธ์ที่ได้คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (9)

ตัวอย่างที่ 3 . รวมสมการ
.

การตัดสินใจ . แปลงสมการและแยกตัวแปร:
,
. มารวมเข้าด้วยกัน:
,
หรือเป็นอินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้
.

ให้สมการให้อยู่ในรูป

สมการดังกล่าวเรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งพร้อมตัวแปรที่แยกกันได้ ในรูปแบบสมมาตร

ในการแยกตัวแปร ต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วย
:

. (12)

เรียกสมการผลลัพธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกจากกัน . เรารวมสมการ (12):

.(13)

ความสัมพันธ์ (13) เป็นอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (11)

ตัวอย่างที่ 4 . รวมสมการเชิงอนุพันธ์

การตัดสินใจ . เราเขียนสมการในรูปแบบ

และแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น
,
. สมการผลลัพธ์:
เป็นสมการตัวแปรแยก มารวมเข้าด้วยกัน:

,
,

,
. ความเท่าเทียมกันสุดท้ายคืออินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5 . หาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์
, เป็นไปตามเงื่อนไข
.

การตัดสินใจ . กำหนดว่า
เราเขียนสมการในรูปแบบ
หรือ
. มาแยกตัวแปรกัน:
. มารวมสมการนี้เข้าด้วยกัน:
,
,
. ความสัมพันธ์ที่เป็นผลลัพธ์คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้ ตามเงื่อนไข
. แทนลงในอินทิกรัลทั่วไปแล้วหา กับ:
,กับ=1. แล้วการแสดงออก
เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด ซึ่งเขียนเป็นปริพันธ์เฉพาะ

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง

สมการ

(14)

เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง . ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก
และอนุพันธ์ของมันใส่สมการเชิงเส้นและฟังก์ชัน
และ
ต่อเนื่อง.

ถ้า
แล้วสมการ

(15)

เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น . ถ้า
จากนั้นจึงเรียกสมการ (14) เชิงเส้นไม่เป็นเนื้อเดียวกัน .

ในการหาคำตอบของสมการ (14) มักใช้ วิธีการเปลี่ยนตัว (แบร์นูลลี) โดยมีสาระสำคัญดังนี้

คำตอบของสมการ (14) จะถูกค้นหาในรูปของผลคูณของสองฟังก์ชัน

, (16)

ที่ไหน
และ
- บาง ฟังก์ชันต่อเนื่อง. ทดแทน
และอนุพันธ์
เป็นสมการ (14):

การทำงาน โวลต์จะถูกเลือกในลักษณะที่มีเงื่อนไข
. แล้ว
. ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ (14) จึงจำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

สมการแรกของระบบคือสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นและสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการแยกตัวแปร:
,
,
,
,
. เป็นหน้าที่
เราสามารถใช้หนึ่งในคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ได้ เช่น ที่ กับ=1:
. แทนลงในสมการที่สองของระบบ:
หรือ
.แล้ว
. ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งจึงมีรูปแบบ
.

ตัวอย่างที่ 6 . แก้สมการ
.

การตัดสินใจ . เราจะหาคำตอบของสมการในรูป
. แล้ว
. แทนลงในสมการ:

หรือ
. การทำงาน โวลต์เลือกในลักษณะที่เท่าเทียมกัน
. แล้ว
. เราแก้สมการแรกด้วยวิธีการแยกตัวแปร:
,
,
,
,. การทำงาน โวลต์แทนที่ในสมการที่สอง:
,
,
,
. คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
.

คำถามสำหรับการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

สมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเขียนในรูปอนุพันธ์ได้อย่างไร?

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

เส้นโค้งอินทิกรัลคืออะไร?

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งคืออะไร?

คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร?

ปัญหา Cauchy ถูกกำหนดขึ้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งอย่างไร

การตีความทางเรขาคณิตของปัญหา Cauchy คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์เขียนด้วยตัวแปรที่แยกจากกันในรูปแบบสมมาตรได้อย่างไร

สมการใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง

วิธีใดที่สามารถใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ 1 และสาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร

งานสำหรับงานอิสระ

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกกันได้:

ก)
; ข)
;

ใน)
; ช)
.

2. แก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง:

ก)
; ข)
; ใน)
;

ช)
; จ)
.

I. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

1.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ x, ฟังก์ชันที่ต้องการ ยและอนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียล

เชิงสัญลักษณ์ สมการเชิงอนุพันธ์เขียนได้ดังนี้

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าสามัญถ้าฟังก์ชันที่ต้องการขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระหนึ่งตัว

โดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันที่เปลี่ยนสมการนี้ให้เป็นตัวตน

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์คือลำดับของอนุพันธ์สูงสุดในสมการนี้

ตัวอย่าง.

1. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชัน y = 5 ln x แท้จริงโดยการแทนที่ วาย"ในสมการเราได้ - ตัวตน

และนั่นหมายความว่าฟังก์ชัน y = 5 ln x– เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์นี้

2. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง y" - 5y" + 6y = 0. ฟังก์ชันคือคำตอบของสมการนี้

จริงๆ, .

แทนนิพจน์เหล่านี้ในสมการ เราได้รับ: , - เอกลักษณ์

และนี่หมายความว่าฟังก์ชันคือคำตอบของสมการอนุพันธ์นี้

อินทิเกรตของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นกระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันของฟอร์ม ซึ่งรวมถึงค่าคงที่อิสระตามอำเภอใจได้มากเท่ากับลำดับของสมการ

คำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าโซลูชันที่ได้จากโซลูชันทั่วไปสำหรับค่าตัวเลขต่างๆ ของค่าคงที่โดยพลการ ค่าของค่าคงที่โดยพลการจะพบได้ที่ค่าเริ่มต้นบางอย่างของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน

กราฟของคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า เส้นโค้งอินทิกรัล.

ตัวอย่าง

1. ค้นหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

xdx + ydy = 0, ถ้า ย= 4 ที่ x = 3.

การตัดสินใจ. เราได้อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการ

ความคิดเห็น ค่าคงที่โดยพลการ C ที่ได้รับจากการรวมสามารถแสดงในรูปแบบใดก็ได้ที่สะดวกสำหรับการแปลงเพิ่มเติม ในกรณีนี้ เมื่อพิจารณาถึงสมการมาตรฐานของวงกลมแล้ว การแทนค่าคงที่โดยพลการ С ในรูปแบบนี้จะสะดวก

เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น ย = 4 ที่ x = 3 พบได้จากทั่วไปโดยการแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้นในการแก้ปัญหาทั่วไป: 3 2 + 4 2 = C 2 ; ค=5.

แทนที่ C=5 ลงในคำตอบทั่วไป เราจะได้ x2+y2 = 5 2 .

นี่คือคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จากคำตอบทั่วไปภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

2. ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันใดๆ ของรูปแบบ โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ อันที่จริง เมื่อแทนค่าในสมการแล้ว เราได้รับ: , .

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์นี้จึงมีคำตอบเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เนื่องจากสำหรับค่าต่างๆ ของค่าคงที่ C ความเท่าเทียมกันจะเป็นตัวกำหนด โซลูชั่นต่างๆสมการ

ตัวอย่างเช่น โดยการแทนที่โดยตรง เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชัน เป็นคำตอบของสมการ

โจทย์ที่ต้องหาคำตอบเฉพาะของสมการ y" = ฉ(x, y)เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x0) = y0เรียกว่าปัญหา Cauchy

วิธีแก้ปัญหาสมการ y" = ฉ(x, y), เป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้น, y(x0) = y0เรียกว่าเป็นวิธีแก้ปัญหา Cauchy

การแก้ปัญหา Cauchy มีความหมายทางเรขาคณิตง่ายๆ ตามคำจำกัดความเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหา Cauchy y" = ฉ(x, y)กำหนดว่า y(x0) = y0หมายถึงการหาเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการ y" = ฉ(x, y)ที่ผ่านจุดที่กำหนด M0 (x0,y 0).

ครั้งที่สอง สมการเชิงอนุพันธ์คำสั่งแรก

2.1. แนวคิดพื้นฐาน

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือสมการของรูปแบบ F(x,y,y") = 0

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งรวมอนุพันธ์อันดับหนึ่งและไม่รวมอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

สมการ y" = ฉ(x, y)เรียกว่าสมการอันดับหนึ่งที่แก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือฟังก์ชันของรูปแบบ ซึ่งมีค่าคงที่ตามอำเภอใจหนึ่งค่า

ตัวอย่าง.พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง

คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชัน

เราได้รับค่าของมันแทนสมการนี้

นั่นคือ 3x=3x

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการสำหรับค่าคงที่ C ใดๆ

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการนี้ที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(1)=1การแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้น x=1, y=1ในคำตอบทั่วไปของสมการ เราได้รับจากที่ใด ค=0.

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบเฉพาะจากวิธีทั่วไปโดยการแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการนี้ ค=0เป็นการตัดสินใจส่วนตัว

2.2. สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกกันได้

สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรแยกกันได้คือสมการในรูปแบบ: y"=f(x)g(y)หรือผ่านดิฟเฟอเรนเชียล ที่ไหน ฉ(x)และ ก(ย)ได้รับฟังก์ชั่น

สำหรับผู้ที่ ยซึ่งสำหรับสมการ y"=f(x)g(y)เทียบเท่ากับสมการ ซึ่งตัวแปร ยจะแสดงทางด้านซ้ายเท่านั้น และตัวแปร x จะแสดงทางด้านขวาเท่านั้น พวกเขาพูดว่า "ในสมการ y"=f(x)g(ยการแยกตัวแปร

พิมพ์สมการ เรียกว่าสมการตัวแปรแยก

หลังจากอินทิเกรตทั้งสองส่วนของสมการแล้ว บน x, เราได้รับ G(y) = F(x) + Cเป็นคำตอบทั่วไปของสมการ โดยที่ ช(ย)และ เอฟ(x)เป็น antiderivatives ตามลำดับของฟังก์ชันและ ฉ(x), คค่าคงที่โดยพลการ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยตัวแปรที่แยกกันได้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ y" = ไซ

การตัดสินใจ. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน วาย"แทนที่ด้วย

เราแยกตัวแปร

มารวมความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน:

ตัวอย่างที่ 2

2yy" = 1- 3x 2, ถ้า y 0 = 3ที่ x0 = 1

นี่คือสมการตัวแปรที่แยกจากกัน ลองแสดงมันในดิฟเฟอเรนเชียล ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ จากที่นี่

เราพบการรวมทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันสุดท้าย

การทดแทน ค่าเริ่มต้น x 0 = 1, y 0 = 3หา กับ 9=1-1+ค, เช่น. ค = 9.

ดังนั้นอินทิกรัลบางส่วนที่ต้องการจะเป็น หรือ

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการสำหรับเส้นโค้งที่ผ่านจุด ม.(2;-3)และมีเส้นสัมผัสที่มีความชัน

การตัดสินใจ. ตามสภาพ

นี่คือสมการตัวแปรที่แยกจากกัน หารตัวแปร เราได้รับ:

การอินทิเกรตทั้งสองส่วนของสมการ เราได้รับ:

โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น x=2และ y=-3หา ค:

ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

2.3. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งคือสมการรูปแบบหนึ่ง y" = ฉ(x)y + ก(x)

ที่ไหน ฉ(x)และ ก(x)- ฟังก์ชั่นที่กำหนดบางอย่าง

ถ้า ก(x)=0จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเรียกว่าเอกพันธ์และมีรูปแบบ: y" = ฉ(x)ย

ถ้าสมการแล้ว y" = ฉ(x)y + ก(x)เรียกว่าต่างชนิดกัน

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น y" = ฉ(x)ยกำหนดโดยสูตร: ที่ไหน กับเป็นค่าคงที่โดยพลการ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า ค \u003d 0,ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาคือ y=0ถ้าสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นมีรูปแบบ y" = กี้ที่ไหน เคเป็นค่าคงที่ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงมีรูปแบบ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้น y" = ฉ(x)y + ก(x)กำหนดโดยสูตร ,

เหล่านั้น. เท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะของสมการนี้

สำหรับเชิงเส้นไม่ สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันใจดี y" = kx + b,

ที่ไหน เคและ ข- ตัวเลขบางตัวและคำตอบเฉพาะจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงมีรูปแบบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ y" + 2y +3 = 0

การตัดสินใจ. เราแสดงสมการในรูปแบบ y" = -2y - 3ที่ไหน k=-2, b=-3วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะได้รับจากสูตร

ดังนั้น โดยที่ C เป็นค่าคงที่โดยพลการ

2.4. คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยวิธีเบอร์นูลลี

การหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง y" = ฉ(x)y + ก(x)ลดการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สองตัวแปรด้วยตัวแปรที่แยกจากกันโดยใช้การแทนที่ y=ยูวี, ที่ไหน ยูและ โวลต์- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักจาก x. วิธีการแก้ปัญหานี้เรียกว่าวิธีเบอร์นูลลี

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง

y" = ฉ(x)y + ก(x)

1. ป้อนการแทนที่ y=ยูวี.

2. แยกแยะความเท่าเทียมกันนี้ y"=u"v + ยูวี"

3. ทดแทน ยและ วาย"ลงในสมการนี้: ยู"วี + ยูวี" =f(x)ยูวี + ก(x)หรือ ยู"v + ยูวี" + f(x)uv = g(x).

4. จัดกลุ่มเงื่อนไขของสมการเพื่อให้ ยูนำออกจากวงเล็บ:

5. จากวงเล็บ เท่ากับศูนย์ ค้นหาฟังก์ชัน

นี่คือสมการที่แยกกันได้:

แบ่งตัวแปรและรับ:

ที่ไหน . .

6. แทนค่าที่ได้รับ โวลต์ลงในสมการ (จากข้อ 4):

และค้นหาฟังก์ชัน นี่คือสมการที่แยกกันได้:

7. เขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปในรูปแบบ: , เช่น. .

ตัวอย่างที่ 1

หาคำตอบเฉพาะของสมการ y" = -2y +3 = 0ถ้า y=1ที่ x=0

การตัดสินใจ. ลองแก้ด้วยการแทนที่กัน y=ยูวี,.y"=u"v + ยูวี"

การทดแทน ยและ วาย"ในสมการนี้ เราจะได้

การจัดกลุ่มคำที่สองและสามทางด้านซ้ายของสมการ เราจะนำปัจจัยร่วมออก ยู ออกจากวงเล็บ

เราจัดนิพจน์ในวงเล็บให้เป็นศูนย์และเมื่อแก้สมการผลลัพธ์แล้วเราจะพบฟังก์ชัน วี = วี(x)

เราได้สมการที่มีตัวแปรแยกกัน เรารวมทั้งสองส่วนของสมการนี้: มาหาฟังก์ชันกัน โวลต์:

แทนค่าผลลัพธ์ โวลต์ในสมการ เราได้รับ:

นี่คือสมการตัวแปรที่แยกจากกัน เรารวมทั้งสองส่วนของสมการ: มาหาฟังก์ชันกัน คุณ = คุณ(x,c) มาหาทางออกทั่วไปกัน: ให้เราหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น y=1ที่ x=0:

สาม. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่า

3.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือสมการที่มีอนุพันธ์ไม่สูงกว่าอันดับสอง ที่ กรณีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเขียนเป็น: F(x,y,y",y") = 0

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือฟังก์ชันของรูปแบบ ซึ่งรวมถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจสองตัว C1และ C2.

คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือคำตอบที่ได้จากสมการทั่วไปสำหรับค่าคงที่บางค่า C1และ C2.

3.2. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์เชิงเส้นของอันดับสองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่.

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เรียกว่าสมการของรูปแบบ y" + py" + qy = 0, ที่ไหน หน้าและ ถามเป็นค่าคงที่

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับสองด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่

1. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ: y" + py" + qy = 0.

2. เขียนสมการคุณลักษณะโดยแสดงถึง วาย"ข้าม r2, วาย"ข้าม ร, ยใน 1: r2 + pr +q = 0

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ในปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ฟังก์ชันคือ ปริมาณทางกายภาพอนุพันธ์จะสอดคล้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณเหล่านี้ และสมการจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพวกมัน

บทความนี้กล่าวถึงวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญบางประเภท ซึ่งวิธีแก้สามารถเขียนได้ในรูป ฟังก์ชันพื้นฐานนั่นคือ ฟังก์ชันพหุนาม เอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม และตรีโกณมิติ รวมถึงฟังก์ชันผกผัน สมการเหล่านี้หลายสมการเกิดขึ้นในชีวิตจริง แม้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์อื่น ๆ ส่วนใหญ่ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเหล่านี้ และคำตอบสำหรับสมการเหล่านี้จะถูกเขียนเป็นฟังก์ชันพิเศษหรือ ชุดไฟหรือตั้งอยู่ วิธีการเชิงตัวเลข.

เพื่อให้เข้าใจบทความนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ส่วนต่างและ อินทิกรัลแคลคูลัสและยังมีความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน นอกจากนี้ ยังแนะนำให้รู้พื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นเมื่อนำไปใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง แม้ว่าความรู้เรื่องแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลจะเพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้

ข้อมูลเบื้องต้น

สมการเชิงอนุพันธ์มีการจำแนกประเภทที่กว้างขวาง บทความนี้พูดถึง สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนั่นคือ เกี่ยวกับสมการที่มีฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวและอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนั้นง่ายต่อการเข้าใจและแก้ไขมากกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งรวมถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว บทความนี้ไม่ได้พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เนื่องจากวิธีการแก้สมการเหล่านี้มักถูกกำหนดโดยรูปแบบเฉพาะของมัน
- ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
- ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\partial y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
คำสั่งสมการเชิงอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการนี้ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญตัวแรกข้างต้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ส่วนสมการที่สองเป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ระดับของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากำลังสูงสุดซึ่งหนึ่งในเงื่อนไขของสมการนี้ถูกยกขึ้น
- ตัวอย่างเช่น สมการด้านล่างคืออันดับสามและกำลังสอง
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ ขวา)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
สมการเชิงอนุพันธ์คือ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นถ้าฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังหนึ่ง มิฉะนั้นสมการคือ สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้น. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นมีความน่าทึ่งที่ผลรวมเชิงเส้นสามารถสร้างขึ้นจากผลเฉลยของสมการ ซึ่งจะเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วย
- ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
- ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น สมการแรกไม่เป็นเชิงเส้นเนื่องจากเทอมไซน์
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
การตัดสินใจร่วมกันสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่ซ้ำกัน ได้แก่ ค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ. ในกรณีส่วนใหญ่ จำนวนของค่าคงที่ตามอำเภอใจจะเท่ากับลำดับของสมการ ในทางปฏิบัติค่าคงที่เหล่านี้ถูกกำหนดโดยการกำหนด เงื่อนไขเริ่มต้นนั่นคือโดยค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันที่ x = 0. (\displaystyle x=0.)จำนวนของเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นในการค้นหา การตัดสินใจส่วนตัวสมการอนุพันธ์ ในกรณีส่วนใหญ่จะเท่ากับลำดับของสมการนี้ด้วย
- ตัวอย่างเช่น บทความนี้จะดูที่การแก้สมการด้านล่าง นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง โซลูชันทั่วไปประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจสองค่า ในการค้นหาค่าคงที่เหล่านี้จำเป็นต้องทราบเงื่อนไขเริ่มต้นที่ x (0) (\displaystyle x(0))และ x' (0) . (\displaystyle x"(0))โดยปกติแล้วเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับที่จุด x = 0 , (\displaystyle x=0,)แม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม บทความนี้จะพิจารณาวิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1

สมการอันดับหนึ่ง

เมื่อใช้บริการนี้ ข้อมูลบางอย่างอาจถูกถ่ายโอนไปยัง YouTube

สมการเชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งที่ ส่วนนี้วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งโดยทั่วไปและกรณีพิเศษเมื่อคำศัพท์บางคำมีค่าเท่ากับศูนย์ ลองแกล้งทำเป็นว่า y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))และ q (x) (\displaystyle q(x))เป็นฟังก์ชัน x . (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
P (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0.)ตามทฤษฎีบทหลักข้อใดข้อหนึ่ง การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อินทิกรัลของอนุพันธ์ของฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะรวมสมการเพื่อหาคำตอบ อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าเมื่อคำนวณ อินทิกรัลไม่ จำกัดค่าคงที่โดยพลการจะปรากฏขึ้น
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0 (\displaystyle q(x)=0.)เราใช้วิธีการ การแยกตัวแปร. ในกรณีนี้ ตัวแปรต่างๆ จะถูกถ่ายโอนไปยัง ด้านที่แตกต่างกันสมการ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถถ่ายโอนสมาชิกทั้งหมดจาก y (\displaystyle y)เป็นหนึ่งเดียวและสมาชิกทุกคนด้วย x (\displaystyle x)ไปอีกด้านหนึ่งของสมการ ย้ายสมาชิกได้ด้วย d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)และ d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y)ซึ่งรวมอยู่ในนิพจน์ของอนุพันธ์ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่านี่เป็นเพียงแบบแผนซึ่งสะดวกเมื่อแยกความแตกต่าง ฟังก์ชันที่ซับซ้อน. การอภิปรายคำศัพท์เหล่านี้ซึ่งเรียกว่า ความแตกต่างอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้
- ก่อนอื่น คุณต้องย้ายตัวแปรไปฝั่งตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- เราอินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการ หลังจากการอินทิเกรต ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะปรากฏขึ้นทั้งสองด้าน ซึ่งสามารถถ่ายโอนไปทางด้านขวาของสมการได้
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- ตัวอย่าง 1.1.ในขั้นตอนที่แล้วเราใช้กฎ e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))และแทนที่ e C (\displaystyle e^(C))บน ซี (\displaystyle C)เพราะมันเป็นค่าคงที่ของการรวมโดยพลการ
  - d y d x − 2 y บาป ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = บาป ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(ชิด)))
P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)เพื่อหาทางออกทั่วไป เราได้แนะนำ ปัจจัยบูรณาการเป็นหน้าที่ของ x (\displaystyle x)เพื่อลดด้านซ้ายเป็นอนุพันธ์ร่วมและแก้สมการ
- คูณทั้งสองข้างด้วย μ (x) (\displaystyle \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
- ในการลดด้านซ้ายให้เป็นอนุพันธ์ร่วม ต้องทำการแปลงต่อไปนี้:
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายหมายความว่า d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). นี่เป็นปัจจัยการอินทิเกรตที่เพียงพอต่อการแก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง ตอนนี้เราสามารถหาสูตรสำหรับการแก้สมการนี้ด้วยความเคารพ µ , (\displaystyle \mu ,)แม้ว่าสำหรับการฝึกอบรมจะมีประโยชน์ในการคำนวณขั้นกลางทั้งหมด
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- ตัวอย่าง 1.2ในตัวอย่างนี้ เราจะพิจารณาวิธีหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย เงื่อนไขเริ่มต้น.
  - t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln เสื้อ)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(ชิด)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(ชิด)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
การแก้สมการเชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง (บันทึกโดย Intuit - National Open University)
สมการอันดับหนึ่งแบบไม่เชิงเส้น. ในส่วนนี้จะพิจารณาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง แม้ว่าจะไม่มีวิธีทั่วไปในการแก้สมการดังกล่าว แต่บางวิธีก็สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการด้านล่าง
D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y))ถ้าฟังก์ชั่น f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))สามารถแบ่งฟังก์ชันออกเป็นตัวแปรเดียวได้ เช่น สมการ สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกได้. ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้วิธีการข้างต้น:
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- ตัวอย่าง 1.3
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ เริ่มต้น(ชิด)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(ชิด)))
D y d x = g (x , y) ชั่วโมง (x , y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)ลองแกล้งทำเป็นว่า g (x , y) (\displaystyle g(x, y))และ ชั่วโมง (x , y) (\displaystyle h(x, y))เป็นฟังก์ชัน x (\displaystyle x)และ ย . (\displaystyle ย.)แล้ว สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เป็นสมการที่ g (\displaystyle g)และ ชั่วโมง (\displaystyle h)เป็น ฟังก์ชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกันระดับเดียวกัน นั่นคือฟังก์ชั่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไข g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)ที่ไหน k (\displaystyle k)เรียกว่าระดับความเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ใดๆ สามารถกำหนดได้โดยสมการ การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร (v = y / x (\displaystyle v=y/x)หรือ v = x / y (\displaystyle v=x/y)) เพื่อแปลงเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกัน
- ตัวอย่าง 1.4คำอธิบายความเป็นเนื้อเดียวกันข้างต้นอาจดูคลุมเครือ ลองดูแนวคิดนี้พร้อมตัวอย่าง
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(ย^(2)x)))
  - ในการเริ่มต้น ควรสังเกตว่าสมการนี้ไม่เป็นเชิงเส้นเมื่อเทียบกับ ย . (\displaystyle ย.)นอกจากนี้เรายังเห็นว่าในกรณีนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกตัวแปร อย่างไรก็ตาม สมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นเอกพันธ์ เนื่องจากทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นเนื้อเดียวกันที่มีกำลัง 3 ดังนั้น เราสามารถเปลี่ยนตัวแปรได้ วี=y/x (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (ง) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)เป็นผลให้เรามีสมการสำหรับ v (\displaystyle v)ด้วยตัวแปรร่วม
  - v (x) = − 3 บันทึก ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n))นี้ สมการเชิงอนุพันธ์ของแบร์นูลลี- สมการไม่เชิงเส้นชนิดพิเศษของระดับแรกซึ่งสามารถเขียนคำตอบได้โดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน
- คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- เราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชันเชิงซ้อนทางด้านซ้ายและแปลงสมการเป็นสมการเชิงเส้นด้วยความเคารพ y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการข้างต้น
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0 (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (ง) )x))=0.)นี้ สมการใน ความแตกต่างทั้งหมด . มีความจำเป็นต้องค้นหาสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันที่มีศักยภาพ φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข d φ d x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)
- เพื่อให้บรรลุเงื่อนไขนี้จำเป็นต้องมี อนุพันธ์ทั้งหมด. อนุพันธ์รวมคำนึงถึงการพึ่งพาตัวแปรอื่นๆ ในการคำนวณอนุพันธ์ทั้งหมด φ (\displaystyle \varphi )บน x , (\displaystyle x,)เราคิดว่า y (\displaystyle y)อาจขึ้นอยู่กับ x . (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- เงื่อนไขการเปรียบเทียบทำให้เรา M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))และ N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)นี่เป็นผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับสมการที่มีตัวแปรหลายตัว โดยที่อนุพันธ์แบบผสม ฟังก์ชั่นที่ราบรื่นมีค่าเท่ากัน บางครั้งก็เรียกกรณีนี้ว่า ทฤษฎีบทของ Clairaut. ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการของผลต่างทั้งหมด หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
- วิธีการแก้สมการในอนุพันธ์ทั้งหมดนั้นคล้ายกับการหาฟังก์ชันที่มีศักยภาพในการแสดงอนุพันธ์หลายตัว ซึ่งเราจะหารือกันสั้นๆ ก่อนอื่นเรารวมเข้าด้วยกัน เอ็ม (\displaystyle M)บน x . (\displaystyle x.)เพราะว่า เอ็ม (\displaystyle M)เป็นฟังก์ชันและ x (\displaystyle x), และ y , (\displaystyle y,)เมื่ออินทิเกรตเราจะได้ฟังก์ชันที่ไม่สมบูรณ์ φ , (\displaystyle \varphi ,)มีป้ายกำกับว่า φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). ผลลัพธ์ยังรวมถึงการขึ้นอยู่กับ y (\displaystyle y)ค่าคงที่ของการผสมผสาน
  - φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
- หลังจากนั้นจะได้รับ ค (y) (\displaystyle ค(y))คุณสามารถหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันที่เป็นผลลัพธ์ด้วยความเคารพ y , (\displaystyle y,)เทียบผลลัพธ์ N (x , y) (\displaystyle N(x, y))และบูรณาการ เราสามารถรวมเข้าด้วยกันก่อน N (\displaystyle N)แล้วหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x (\displaystyle x)ซึ่งจะช่วยให้คุณค้นหา ฟังก์ชั่นโดยพลการ ง(x). (\displaystyle d(x))ทั้งสองวิธีมีความเหมาะสม และโดยปกติแล้วจะเลือกฟังก์ชันที่ง่ายกว่าสำหรับการผสานรวม
  - N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ บางส่วน (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- ตัวอย่าง 1.5คุณสามารถหาอนุพันธ์ย่อยและตรวจสอบว่าสมการด้านล่างเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมด
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(ชิด)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(ชิด)))
  - d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
- ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์รวม ในบางกรณี คุณสามารถหาตัวประกอบการอินทิเกรตที่จะช่วยให้คุณแปลงมันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมได้ อย่างไรก็ตามสมการดังกล่าวไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติและแม้ว่าปัจจัยการรวม มีอยู่, พบว่ามันเกิดขึ้น ไม่ง่ายเลยจึงไม่พิจารณาสมการเหล่านี้ในบทความนี้

ส่วนที่ 2

สมการอันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สมการเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ดังนั้นคำตอบของสมการจึงมีความสำคัญยิ่ง ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงไม่เกี่ยวกับฟังก์ชันเอกพันธ์แต่เกี่ยวกับความจริงที่ว่ามี 0 ทางด้านขวาของสมการ ใน ส่วนถัดไปจะแสดงวิธีการที่เกี่ยวข้อง ต่างกันสมการเชิงอนุพันธ์. ด้านล่าง ก (\displaystyle ก)และ ข (\displaystyle ข)เป็นค่าคงที่
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
สมการลักษณะเฉพาะ. สมการเชิงอนุพันธ์นี้มีความโดดเด่นตรงที่สามารถแก้ไขได้ง่ายมากหากคุณให้ความสนใจกับคุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ จะเห็นได้จากสมการว่า y (\displaystyle y)และอนุพันธ์ของมันนั้นแปรผันตามสัดส่วนกัน จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ซึ่งพิจารณาในหัวข้อสมการอันดับหนึ่ง เรารู้ว่าเฉพาะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะหยิบยก แอนซาตซ์ (การเดาที่มีการศึกษา) เกี่ยวกับคำตอบของสมการนี้
- คำตอบจะอยู่ในรูปของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล e rx , (\displaystyle e^(rx),)ที่ไหน r (\displaystyle r)เป็นค่าคงตัวที่ต้องหาค่า เราแทนฟังก์ชันนี้ลงในสมการและรับ การแสดงออกต่อไปนี้
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- สมการนี้บ่งชี้ว่าผลคูณของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพหุนามต้องเป็นศูนย์ เป็นที่ทราบกันว่าเลขชี้กำลังไม่สามารถเท่ากับศูนย์สำหรับค่าระดับใดๆ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าพหุนามมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงลดปัญหาในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ให้เป็นปัญหาที่ง่ายกว่ามากในการแก้สมการพีชคณิต ซึ่งเรียกว่าสมการคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- เรามีสองราก เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นเชิงเส้น คำตอบทั่วไปจึงเป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบบางส่วน เนื่องจากนี่คือสมการอันดับสอง เราจึงรู้ว่านี่คือ จริงๆวิธีแก้ปัญหาทั่วไป และไม่มีอย่างอื่น เหตุผลที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับสิ่งนี้อยู่ในทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา ซึ่งสามารถพบได้ในตำราเรียน
- วิธีที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบว่าสองคำตอบเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่คือการคำนวณ วรอนสเคียน. วรอนสเคียน W (\displaystyle W)- นี่คือปัจจัยของเมทริกซ์ในคอลัมน์ที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่ต่อเนื่องกัน ทฤษฎีบทพีชคณิตเชิงเส้นระบุว่าฟังก์ชันใน Wronskian นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหาก Wronskian มีค่าเท่ากับศูนย์ ในส่วนนี้ เราสามารถทดสอบว่าคำตอบสองข้อเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ โดยตรวจสอบให้แน่ใจว่า Wronskian ไม่ใช่ศูนย์ Wronskian มีความสำคัญในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยวิธีการแปรผันของพารามิเตอร์
  - ว = | y 1 y 2 y 1 ′y 2′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- ในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้น เซตของคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด พื้นที่เวกเตอร์ซึ่งมีขนาดเท่ากับลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ ในพื้นที่นี้คุณสามารถเลือกพื้นฐานจาก อิสระเชิงเส้นการตัดสินใจของกันและกัน สิ่งนี้เป็นไปได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน y (x) (\displaystyle y(x))ถูกต้อง ตัวดำเนินการเชิงเส้น. อนุพันธ์ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น เนื่องจากมันแปลงพื้นที่ของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ให้เป็นช่องว่างของฟังก์ชันทั้งหมด สมการเรียกว่าเอกพันธ์ในกรณีที่สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบางตัว แอล (\displaystyle L)จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ L [ y ] = 0 (\displaystyle L[y]=0.)
ลองดูที่บางส่วน ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม. กรณีของสมการหลายรากของสมการคุณลักษณะจะได้รับการพิจารณาในภายหลังในส่วนการลดลำดับ
ถ้าราก r ± (\displaystyle r_(\pm ))แตกต่าง จำนวนจริงสมการเชิงอนุพันธ์มี วิธีแก้ปัญหาต่อไป
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
สองรากที่ซับซ้อนมันเป็นไปตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตว่าคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงมีรากที่เป็นจริงหรือสร้างคู่คอนจูเกต ดังนั้นหาก จำนวนเชิงซ้อน r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )เป็นรากของสมการคุณลักษณะแล้ว r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )เป็นรากของสมการนี้ด้วย ดังนั้น การแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ในรูป c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)อย่างไรก็ตาม นี่เป็นจำนวนเชิงซ้อนและไม่พึงปรารถนาในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ
- คุณสามารถใช้แทน สูตรออยเลอร์ ei x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)ซึ่งช่วยให้คุณเขียนคำตอบในรูปแบบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ เบต้า x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
- ตอนนี้คุณสามารถแทนค่าคงที่ ค 1 + ค 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))เขียนลงไป ค 1 (\displaystyle c_(1))และการแสดงออก ฉัน (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))แทนที่ด้วย ค 2 . (\displaystyle c_(2))หลังจากนั้นเราจะได้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้:
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \เบต้า x))
- มีอีกวิธีหนึ่งที่จะเขียนวิธีแก้ปัญหาในรูปของแอมพลิจูดและเฟส ซึ่งเหมาะกับปัญหาทางกายภาพมากกว่า
- ตัวอย่าง 2.1ให้เราหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้านล่างด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องใช้วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของมันและแทนที่ลงในเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งจะทำให้เราสามารถกำหนดค่าคงที่ตามอำเภอใจได้
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )ผม)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(ชิด)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ n ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ (บันทึกโดย Intuit - National Open University)
ลำดับการปรับลดการลดลำดับเป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เมื่อทราบวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้น วิธีนี้ประกอบด้วยการลดลำดับของสมการทีละหนึ่ง ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ไขสมการได้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า ให้ทราบวิธีแก้ปัญหา แนวคิดหลักของการลดลำดับคือการหาทางออกในรูปแบบด้านล่างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดฟังก์ชัน v (x) (\displaystyle v(x))แทนลงในสมการเชิงอนุพันธ์แล้วหา วี(x). (\displaystyle v(x))ลองพิจารณาว่าการลดลำดับสามารถใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และค่ารากหลายตัวได้อย่างไร

หลายรากสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ จำไว้ว่าสมการอันดับสองต้องมีคำตอบอิสระเชิงเส้นสองตัว ถ้า สมการคุณลักษณะมีหลายราก มีวิธีแก้ปัญหามากมาย ไม่สร้างช่องว่างเนื่องจากโซลูชันเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในกรณีนี้ ต้องใช้การลดลำดับเพื่อหาวิธีแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้นที่สอง
- ให้สมการคุณลักษณะมีหลายราก r (\displaystyle r). เราถือว่าโซลูชันที่สองสามารถเขียนเป็น y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))แล้วแทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์ ในกรณีนี้ คำศัพท์ส่วนใหญ่ ยกเว้นคำศัพท์ที่มีอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน v , (\displaystyle v,)จะลดลง
  - v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- ตัวอย่าง 2.2.กำหนดสมการต่อไปนี้ซึ่งมีรากหลายตัว r = − 4. (\displaystyle r=-4.)เมื่อแทนที่แล้วข้อกำหนดส่วนใหญ่จะถูกยกเลิก
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(ชิด)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(ชิด)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(ชิด )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(ชิด)))
- เช่นเดียวกับ ansatz ของเราสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ในกรณีนี้ อนุพันธ์อันดับสองเท่านั้นที่สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ รวมสองครั้ง และได้รับนิพจน์ที่ต้องการสำหรับ v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ถ้าสมการคุณลักษณะมีหลายราก สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้ เพื่อความสะดวกสามารถจดจำได้ว่าจะได้รับ ความเป็นอิสระเชิงเส้นแค่คูณพจน์ที่สองด้วย x (\displaystyle x). ชุดของคำตอบนี้เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นเราจึงพบคำตอบทั้งหมดของสมการนี้
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)การลดคำสั่งซื้อมีผลใช้บังคับหากทราบวิธีแก้ปัญหา y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x))ซึ่งสามารถพบได้หรือระบุในคำชี้แจงปัญหา
- เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))แล้วเสียบลงในสมการนี้:
  - v″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- เพราะว่า y 1 (\displaystyle y_(1))เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ทุกเงื่อนไขที่มี v (\displaystyle v)กำลังหดตัว เป็นผลให้มันยังคงอยู่ สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง. เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เราเปลี่ยนตัวแปร w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = ประสบการณ์ ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- หากสามารถคำนวณปริพันธ์ได้ เราจะได้คำตอบทั่วไปที่เป็นการรวมกันของฟังก์ชันพื้นฐาน มิฉะนั้นการแก้ปัญหาสามารถอยู่ในรูปแบบที่สมบูรณ์ได้
สมการคอชี-ออยเลอร์สมการ Cauchy-Euler เป็นตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มี ตัวแปรค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งมีคำตอบที่แน่นอน สมการนี้ใช้ในทางปฏิบัติ เช่น ในการแก้สมการลาปลาซในพิกัดทรงกลม
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
สมการลักษณะเฉพาะ.อย่างที่คุณเห็น ในสมการเชิงอนุพันธ์นี้ แต่ละพจน์ประกอบด้วยตัวประกอบกำลัง ซึ่งระดับของสมการเชิงอนุพันธ์จะเท่ากับลำดับของอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง
- ดังนั้นคุณสามารถลองค้นหาวิธีแก้ปัญหาในแบบฟอร์ม y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)จะกำหนดที่ไหน n (\displaystyle n)เช่นเดียวกับที่เรากำลังมองหาคำตอบในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ หลังจากสร้างความแตกต่างและการทดแทน เราได้รับ
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- ในการใช้สมการคุณลักษณะ เราต้องถือว่า x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). จุด x = 0 (\displaystyle x=0)เรียกว่า จุดเอกพจน์ปกติสมการเชิงอนุพันธ์. จุดดังกล่าวมีความสำคัญเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้อนุกรมกำลัง สมการนี้มีรากศัพท์สองราก ซึ่งอาจแตกต่างกันและเป็นของจริง หลายรูปหรือเชิงซ้อน
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))
สองรากที่แท้จริงที่แตกต่างกันถ้าราก n ± (\displaystyle n_(\pm ))เป็นจริงและแตกต่างกัน ดังนั้นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จะมีรูปแบบดังนี้
- y (x) = c 1 x n + + c 2 xn − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
สองรากที่ซับซ้อนถ้าสมการคุณลักษณะมีราก n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i)การแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน
- ในการแปลงคำตอบให้เป็นฟังก์ชันจริง เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร x = et , (\displaystyle x=e^(t),)นั่นคือ t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)และใช้สูตรออยเลอร์ การกระทำที่คล้ายกันได้ดำเนินการก่อนหน้านี้เมื่อกำหนดค่าคงที่โดยพลการ
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta)))
- จากนั้นสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้เป็น
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))
หลายรากเพื่อให้ได้โซลูชันอิสระเชิงเส้นที่สอง จำเป็นต้องลดลำดับอีกครั้ง
- ใช้การคำนวณค่อนข้างน้อย แต่หลักการเหมือนกัน: เราแทนที่ y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))ลงในสมการที่มีคำตอบแรก y 1 (\displaystyle y_(1)). หลังจากการลดลงจะได้สมการต่อไปนี้:
  - v″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- นี่คือสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งเทียบกับ วี' (x) . (\displaystyle v"(x))วิธีแก้ไขของเขาคือ v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)ดังนั้น สามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาได้ในรูปต่อไปนี้ มันค่อนข้างจำง่าย - เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่ขึ้นกับเชิงเส้นที่สอง คุณแค่ต้องการคำเพิ่มเติมด้วย ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นไม่เท่ากันที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมการที่ไม่เอกพันธ์ดูเหมือน L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)ที่ไหน f (x) (\displaystyle f(x))- เรียกว่า สมาชิกฟรี. ตามทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือการวางซ้อน การตัดสินใจส่วนตัว y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))และ วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติม y ค (x) . (\displaystyle y_(c)(x))อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ โซลูชันเฉพาะไม่ได้หมายถึงโซลูชันที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น แต่เป็นโซลูชันที่เกิดจากการมีอยู่ของความไม่สม่ำเสมอ (สมาชิกอิสระ) โซลูชันเสริมคือคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันซึ่ง f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0.)วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการซ้อนทับของโซลูชันทั้งสองนี้เนื่องจาก L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา L [ yc ] = 0 , (\displaystyle L=0,)การซ้อนทับดังกล่าวเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
วิธี ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน. วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนจะใช้ในกรณีที่เทอมอิสระเป็นการผสมระหว่างเอกซ์โปเนนเชียล ตรีโกณมิติ ไฮเปอร์โบลิก หรือ ฟังก์ชั่นพลังงาน. เฉพาะฟังก์ชันเหล่านี้เท่านั้นที่รับประกันได้ จำนวนจำกัดอนุพันธ์อิสระเชิงเส้น ในส่วนนี้ เราจะหาคำตอบของสมการโดยเฉพาะ
- เทียบเงื่อนไขใน f (x) (\displaystyle f(x))โดยมีเงื่อนไขในการละเว้นปัจจัยคงที่ เป็นไปได้สามกรณี
  - ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกันในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y p (\displaystyle y_(p))จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของพจน์จาก y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) ประกอบด้วยสมาชิก x n (\displaystyle x^(n)) และเป็นสมาชิกจาก y ค , (\displaystyle y_(c),) ที่ไหน n (\displaystyle n) เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก และเทอมนี้สอดคล้องกับรากเดียวของสมการคุณลักษณะในกรณีนี้ y p (\displaystyle y_(p))จะประกอบด้วยการรวมฟังก์ชัน x n + 1 ชั่วโมง (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)อนุพันธ์อิสระเชิงเส้นของมัน เช่นเดียวกับเงื่อนไขอื่นๆ f (x) (\displaystyle f(x))และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้น
  - f (x) (\displaystyle f(x)) ประกอบด้วยสมาชิก ชั่วโมง (x) , (\displaystyle h(x),) ซึ่งเป็นผลงาน x n (\displaystyle x^(n)) และเป็นสมาชิกจาก y ค , (\displaystyle y_(c),) ที่ไหน n (\displaystyle n) มีค่าเท่ากับ 0 หรือจำนวนเต็มบวก และพจน์นี้สอดคล้องกับ หลายรายการรากของสมการคุณลักษณะในกรณีนี้ y p (\displaystyle y_(p))เป็นการรวมฟังก์ชันเชิงเส้น x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(ที่ไหน s (\displaystyle s)- หลายหลากของราก) และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้น เช่นเดียวกับสมาชิกอื่น ๆ ของฟังก์ชัน f (x) (\displaystyle f(x))และอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นของมัน
- มาจดกันเถอะ y p (\displaystyle y_(p))เป็นผลรวมเชิงเส้นของเงื่อนไขข้างต้น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้อยู่ในชุดค่าผสมเชิงเส้น วิธีนี้จึงเรียกว่า "วิธีค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน" ต่อการปรากฏตัวของสิ่งที่มีอยู่ใน y c (\displaystyle y_(c))สมาชิกของพวกเขาสามารถถูกยกเลิกได้เนื่องจากมีค่าคงที่โดยพลการใน วาย ค. (\displaystyle y_(ค))หลังจากนั้นเราก็เปลี่ยน y p (\displaystyle y_(p))ลงในสมการและเทียบค่าพจน์ที่เหมือนกัน
- เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ บน ขั้นตอนนี้ปรากฎว่าระบบ สมการพีชคณิตซึ่งมักจะสามารถแก้ไขได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ การแก้ปัญหาของระบบนี้ทำให้สามารถรับ y p (\displaystyle y_(p))และแก้สมการ
- ตัวอย่าง 2.3พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เอกพันธ์ซึ่งเทอมอิสระประกอบด้วยอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นจำนวนจำกัด วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการดังกล่าวสามารถหาได้โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(ชิด)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(ชิด)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ สิ้นสุด(กรณี)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
วิธีลากรองจ์วิธี Lagrange หรือวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการนั้นมีมากกว่า วิธีการทั่วไปคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เอกพันธ์ โดยเฉพาะในกรณีที่พจน์อิสระไม่มีอนุพันธ์อิสระเชิงเส้นจำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่นกับสมาชิกฟรี ผิวสีแทน ⁡ x (\displaystyle \สีแทน x)หรือ x − n (\displaystyle x^(-n))เพื่อหาทางออกโดยเฉพาะจำเป็นต้องใช้วิธีลากรองจ์ วิธีลากรองจ์ยังสามารถใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรได้ แม้ว่าในกรณีนี้ ยกเว้นสมการคอชี-ออยเลอร์ แต่จะใช้น้อยกว่าปกติ เนื่องจากวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมมักจะไม่แสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน
- สมมติว่าโซลูชันมีรูปแบบต่อไปนี้ อนุพันธ์จะได้รับในบรรทัดที่สอง
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- เนื่องจากโซลูชันที่นำเสนอประกอบด้วย สองปริมาณที่ไม่ทราบจำเป็นต้องกำหนด เพิ่มเติมเงื่อนไข. เราเลือกเงื่อนไขเพิ่มเติมในรูปแบบต่อไปนี้:
  - v 1 ′y 1 + v 2 ′y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- ตอนนี้เราจะได้สมการที่สอง หลังจากเปลี่ยนและแจกจ่ายสมาชิกใหม่แล้ว คุณสามารถจัดกลุ่มสมาชิกด้วย v 1 (\displaystyle v_(1))และสมาชิกจาก v 2 (\displaystyle v_(2)). ข้อกำหนดเหล่านี้ถูกยกเลิกเนื่องจาก y 1 (\displaystyle y_(1))และ y 2 (\displaystyle y_(2))เป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน เป็นผลให้เราได้รับ ระบบต่อไปสมการ
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(ชิด)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(ชิด)))
- ระบบนี้สามารถแปลงเป็น สมการเมทริกซ์ใจดี A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ) )วิธีแก้ปัญหาคือ x = ก − 1 ข . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))สำหรับเมทริกซ์ 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)หาเมทริกซ์ผกผันได้โดยการหารด้วยดีเทอร์มีแนนต์ การเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบในแนวทแยง และการกลับเครื่องหมายขององค์ประกอบนอกแนวทแยง ในความเป็นจริงปัจจัยของเมทริกซ์นี้คือ Wronskian
  - (v 1 ′v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ สิ้นสุด(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
- สำนวนสำหรับ v 1 (\displaystyle v_(1))และ v 2 (\displaystyle v_(2))อยู่ด้านล่าง เช่นเดียวกับวิธีการลดลำดับ ในกรณีนี้ ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะปรากฏขึ้นระหว่างการรวม ซึ่งรวมถึงวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมในคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (ง) )x)
การบรรยายของ National Open University Intuit เรื่อง "สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ n พร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่"

ใช้งานได้จริง

สมการเชิงอนุพันธ์สร้างความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันกับอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งตัว เนื่องจากความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดามาก สมการเชิงอนุพันธ์จึงได้รับการนำไปใช้อย่างกว้างๆ ในหลายๆ ด้าน และเนื่องจากเราอยู่ในสี่มิติ สมการเหล่านี้จึงมักเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ใน ส่วนตัวอนุพันธ์ ส่วนนี้จะกล่าวถึงสมการที่สำคัญที่สุดของประเภทนี้

การเติบโตแบบทวีคูณและการสลายตัว การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี. ดอกเบี้ยทบต้น. ความเร็ว ปฏิกริยาเคมี. ความเข้มข้นของยาในเลือด การเติบโตของประชากรไม่จำกัด กฎของนิวตัน-ริชมันน์ ที่ โลกแห่งความจริงมีหลายระบบที่อัตราการเติบโตหรือการสลายตัว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเป็นสัดส่วนกับจำนวน ช่วงเวลานี้เวลาหรือสามารถประมาณได้ดีโดยแบบจำลอง นี่เป็นเพราะคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเป็นหนึ่งในคำตอบที่มากที่สุด หน้าที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ โดยทั่วไป ภายใต้การควบคุมการเติบโตของประชากร ระบบอาจรวมเงื่อนไขเพิ่มเติมที่จำกัดการเติบโต ในสมการด้านล่าง ค่าคงที่ k (\displaystyle k)สามารถมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ก็ได้
- d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกทั้งในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม ออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์มอนิกเป็นระบบทางกายภาพที่สำคัญที่สุดระบบหนึ่งเนื่องจากความเรียบง่ายและการใช้งานที่หลากหลายสำหรับการประมาณระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ลูกตุ้มธรรมดา ในกลศาสตร์คลาสสิก การสั่นสะเทือนแบบฮาร์มอนิกได้รับการอธิบายโดยสมการที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งของจุดวัสดุกับความเร่งผ่านกฎของฮุค ในกรณีนี้ ยังสามารถคำนึงถึงแรงหน่วงและแรงขับได้อีกด้วย ในนิพจน์ด้านล่าง x ˙ (\displaystyle (\จุด (x)))- อนุพันธ์ของเวลา x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta )เป็นพารามิเตอร์ที่อธิบายถึงแรงหน่วง ω 0 (\displaystyle \โอเมก้า _(0))- ความถี่เชิงมุมของระบบ F (t) (\displaystyle F(t))- ขึ้นอยู่กับเวลา แรงผลักดัน. ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกยังมีอยู่ในแม่เหล็กไฟฟ้า วงจรออสซิลเลเตอร์ซึ่งสามารถนำไปใช้งานได้อย่างแม่นยำมากกว่าระบบกลไก
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(เสื้อ))
สมการเบสเซิล.สมการเชิงอนุพันธ์ของ Bessel ถูกนำมาใช้ในหลายพื้นที่ของฟิสิกส์ รวมถึงการแก้ สมการคลื่น, สมการ Laplace และสมการชโรดิงเงอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลม สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันนี้ไม่ใช่สมการคอชี-ออยเลอร์ ดังนั้นคำตอบของสมการนี้จึงไม่สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันมูลฐานได้ คำตอบของสมการ Bessel คือฟังก์ชัน Bessel ซึ่งได้รับการศึกษาเป็นอย่างดีเนื่องจากมีการใช้งานในหลายพื้นที่ ในนิพจน์ด้านล่าง α (\displaystyle \alpha )เป็นค่าคงที่ที่ตรงกัน คำสั่งฟังก์ชั่นเบสเซิล
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) ย=0)
สมการของแม็กซ์เวลล์นอกจากแรง Lorentz แล้ว สมการของ Maxwell ยังสร้างพื้นฐานของอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบดั้งเดิมอีกด้วย นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสี่สมการสำหรับไฟฟ้า E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ) )t))และแม่เหล็ก B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))เขตข้อมูล ในนิพจน์ด้านล่าง ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ) )t))- ความหนาแน่นของประจุ J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) )t))คือความหนาแน่นกระแส และ ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))และ μ 0 (\displaystyle \mu _(0))คือค่าคงที่ทางไฟฟ้าและแม่เหล็กตามลำดับ
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(ชิด)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(ชิด)))
สมการชโรดิงเงอร์ในกลศาสตร์ควอนตัม สมการชโรดิงเงอร์เป็นสมการพื้นฐานของการเคลื่อนที่ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคตามการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันคลื่น Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))กับเวลา. สมการของการเคลื่อนที่อธิบายได้จากพฤติกรรม แฮมิลตัน H ^ (\displaystyle (\หมวก(H))) - ผู้ประกอบการซึ่งอธิบายพลังงานของระบบ หนึ่งในตัวอย่างที่รู้จักกันดีของสมการชเรอดิงเงอร์ในวิชาฟิสิกส์คือสมการของอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพหนึ่งอนุภาค ซึ่งอยู่ภายใต้ศักย์ไฟฟ้า V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) )t)). หลายระบบอธิบายด้วยสมการชโรดิงเงอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา โดยมีสมการอยู่ทางด้านซ้าย E Ψ , (\displaystyle E\Psi ,)ที่ไหน อี (\displaystyle E)เป็นพลังงานของอนุภาค ในนิพจน์ด้านล่าง ℏ (\displaystyle \hbar )คือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลง
- ฉัน ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
- ฉัน ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
สมการคลื่นเป็นไปไม่ได้ที่จะจินตนาการถึงฟิสิกส์และเทคโนโลยีที่ไม่มีคลื่น มันมีอยู่ในระบบทุกประเภท โดยทั่วไปแล้ว คลื่นจะถูกอธิบายด้วยสมการด้านล่าง ซึ่งใน u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ) )t))เป็นฟังก์ชันที่ต้องการ และ ค (\displaystyle ค)- ค่าคงที่ที่กำหนดโดยการทดลอง d'Alembert เป็นคนแรกที่ค้นพบว่าสำหรับกรณีมิติเดียว คำตอบของสมการคลื่นคือ ใดๆฟังก์ชันที่มีการโต้แย้ง x − c t (\displaystyle x-ct)ซึ่งอธิบายถึงคลื่น รูปแบบอิสระขยายไปทางขวา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับกรณีหนึ่งมิติคือการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันนี้กับฟังก์ชันที่สองที่มีอาร์กิวเมนต์ x + c t (\displaystyle x+ct)ซึ่งอธิบายคลื่นที่แพร่กระจายไปทางซ้าย วิธีแก้ปัญหานี้แสดงในบรรทัดที่สอง
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
สมการนาเวียร์-สโต๊คสมการ Navier-Stokes อธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล เนื่องจากของไหลมีอยู่ในแทบทุกสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สมการเหล่านี้จึงมีความสำคัญอย่างยิ่งในการทำนายสภาพอากาศ ออกแบบเครื่องบิน ศึกษากระแสน้ำในมหาสมุทร และแก้ปัญหาอื่นๆ อีกมากมาย งานที่ใช้. สมการ Navier-Stokes เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่ใช่เชิงเส้น และในกรณีส่วนใหญ่เป็นการยากที่จะแก้สมการเหล่านี้ เนื่องจากความไม่เป็นเชิงเส้นนำไปสู่ความปั่นป่วน และเพื่อให้ได้คำตอบที่เสถียรโดยวิธีเชิงตัวเลข การแบ่งพาร์ติชันออกเป็นขนาดเล็กมาก เซลล์เป็นสิ่งที่จำเป็น ซึ่งต้องการพลังในการคำนวณอย่างมาก สำหรับวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติในด้านอุทกพลศาสตร์ วิธีการต่างๆ เช่น การเฉลี่ยเวลาจะถูกนำมาใช้เพื่อจำลองการไหลแบบปั่นป่วน แม้แต่คำถามพื้นฐาน เช่น การมีอยู่และเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่ใช่เชิงเส้น ก็เป็นปัญหาที่ซับซ้อน และการพิสูจน์การมีอยู่และเอกลักษณ์ของคำตอบสำหรับสมการเนเวียร์-สโตกส์ในสามมิติก็เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์แห่งสหัสวรรษ . ด้านล่างนี้คือสมการการไหลของของไหลอัดตัวไม่ได้และสมการความต่อเนื่อง
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากไม่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีการข้างต้น โดยเฉพาะสมการที่กล่าวถึงใน ส่วนสุดท้าย. สิ่งนี้ใช้เมื่อสมการมีค่าสัมประสิทธิ์ผันแปรและไม่ใช่สมการคอชี-ออยเลอร์ หรือเมื่อสมการไม่เป็นเชิงเส้น ยกเว้นในกรณีที่พบได้ไม่บ่อยนัก อย่างไรก็ตาม วิธีการข้างต้นทำให้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่สำคัญจำนวนมากที่มักเกิดขึ้นใน เขตข้อมูลต่างๆศาสตร์.
ซึ่งแตกต่างจากการหาอนุพันธ์ซึ่งช่วยให้คุณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ได้ อินทิกรัลของนิพจน์จำนวนมากไม่สามารถแสดงได้ในฟังก์ชันมูลฐาน ดังนั้นอย่าเสียเวลาลองคำนวณอินทิกรัลในจุดที่เป็นไปไม่ได้ ดูที่ตารางปริพันธ์ หากคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันมูลฐานได้ บางครั้งอาจแสดงในรูปของอินทิกรัลได้ และในกรณีนี้ ไม่สำคัญว่าอินทิกรัลนี้สามารถคำนวณเชิงวิเคราะห์ได้หรือไม่

คำเตือน

รูปร่างสมการเชิงอนุพันธ์อาจทำให้เข้าใจผิดได้ ตัวอย่างเช่น ด้านล่างนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสองสมการ สมการแรกสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในบทความนี้ เมื่อมองแวบแรก การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย y (\displaystyle y)บน y 2 (\displaystyle y^(2))ในสมการที่สองทำให้ไม่เป็นเชิงเส้นและแก้ได้ยากมาก
- d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))