เส้นใดที่เรียกว่าศักย์เท่ากัน พื้นผิวที่เท่าเทียมกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างความตึงเครียดและศักยภาพ

สำหรับสนามศักย์ มีความเชื่อมโยงระหว่างแรงศักย์ (อนุรักษ์นิยม) และพลังงานศักย์

โดยที่ ("nabla") คือโอเปอเรเตอร์ของแฮมิลตัน

เพราะว่า แล้ว

เครื่องหมายลบแสดงว่าเวกเตอร์ E ถูกชี้นำในทิศทางของความต่างศักย์ที่ลดลง

สำหรับการแสดงกราฟิกของการกระจายที่เป็นไปได้ พื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันจะถูกใช้ - พื้นผิวทุกจุดที่ศักย์มีค่าเท่ากัน

พื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันมักจะดำเนินการเพื่อให้ความต่างศักย์ระหว่างพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันสองแห่งที่อยู่ติดกันเท่ากัน จากนั้นความหนาแน่นของพื้นผิวศักย์เท่ากันจะแสดงลักษณะความแรงของสนามที่จุดต่างๆ อย่างชัดเจน เมื่อพื้นผิวเหล่านี้หนาแน่นขึ้น ความแรงของสนามก็จะมากขึ้น เส้นประในภาพแสดงเส้นแรง เส้นทึบแสดงส่วนของพื้นผิวสมศักย์สำหรับ: ประจุบวก (a), ไดโพล (b), ประจุสองประจุที่มีชื่อเดียวกัน (c), โลหะที่มีประจุ ตัวนำของการกำหนดค่าที่ซับซ้อน (d)

สำหรับการชาร์จแบบจุด ศักยภาพ ดังนั้นพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันจึงเป็นทรงกลมที่มีศูนย์กลาง ในทางกลับกัน เส้นแรงตึงจะเป็นเส้นตรงในแนวรัศมี ดังนั้นเส้นแรงตึงจึงตั้งฉากกับพื้นผิวสมศักย์

สามารถแสดงได้ว่าในทุกกรณี เวกเตอร์ E ตั้งฉากกับพื้นผิวสมศักย์และมุ่งไปในทิศทางของศักย์ที่ลดลงเสมอ

ตัวอย่างการคำนวณสนามไฟฟ้าสถิตสมมาตรที่สำคัญที่สุดในสุญญากาศ

1. สนามไฟฟ้าสถิตของไดโพลไฟฟ้าในสุญญากาศ

ไดโพลไฟฟ้า (หรือเสาไฟฟ้าคู่) เป็นระบบที่มีประจุไฟฟ้าสองขั้วเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ตรงข้ามกัน (+q, -q) ซึ่งระยะห่างระหว่าง ล. ซึ่งน้อยกว่าระยะทางไปยังจุดที่พิจารณาของสนามมาก (ล.<< r).

แขนไดโพล l เป็นเวกเตอร์ที่กำกับไปตามแกนไดโพลจากประจุลบไปยังประจุบวกและเท่ากับระยะห่างระหว่างพวกมัน

โมเมนต์ไฟฟ้าของไดโพล re เป็นเวกเตอร์ที่อยู่ในทิศทางเดียวกับแขนของไดโพล และเท่ากับผลคูณของโมดูลัสประจุ |q| ไหล่ฉัน:

ให้ r เป็นระยะทางถึงจุด A จากจุดกึ่งกลางของแกนไดโพล จากนั้นกำหนดว่า

2) ความแรงของสนามที่จุด B ในแนวตั้งฉากกลับคืนสู่แกนของไดโพลจากตรงกลางที่

จุด B อยู่ห่างจากประจุ +q และ -q ของไดโพลเท่ากัน ดังนั้นศักย์ไฟฟ้าของสนามที่จุด B จึงเป็นศูนย์ เวกเตอร์ Yb อยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ l

3) ในสนามไฟฟ้าภายนอก แรงคู่หนึ่งกระทำที่ปลายไดโพล ซึ่งมีแนวโน้มที่จะหมุนไดโพลในลักษณะที่โมเมนต์ไฟฟ้าของไดโพลหมุนไปตามทิศทางของสนาม E (รูปที่ (a )).

ในสนามเครื่องแบบภายนอก โมเมนต์ของแรงคู่หนึ่งเท่ากับ M = qElsin a หรือ ในสนามเอกพันธ์ภายนอก (รูปที่ (c)) แรงที่กระทำต่อปลายไดโพลจะไม่เท่ากัน และผลลัพธ์ของพวกมันมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนไดโพลเข้าไปในพื้นที่ของสนามด้วยความเข้มที่มากขึ้น - ไดโพลจะถูกดึงเข้าไปในพื้นที่ของสนามที่แรงกว่า

2. สนามของระนาบอนันต์ที่มีประจุเท่ากัน

ระนาบอนันต์พุ่งด้วยความหนาแน่นพื้นผิวคงที่ เส้นแรงตึงตั้งฉากกับระนาบที่พิจารณาและกำกับจากทั้งสองทิศทาง

ในฐานะที่เป็นพื้นผิว Gaussian เราใช้พื้นผิวของทรงกระบอก เครื่องกำเนิดที่ตั้งฉากกับระนาบที่มีประจุ และฐานขนานกับระนาบที่มีประจุและอยู่คนละด้านของระนาบที่มีระยะห่างเท่ากัน

เนื่องจากกำเนิดของทรงกระบอกขนานกับเส้นแรงดึง การไหลของเวกเตอร์ความตึงผ่านพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกจึงมีค่าเท่ากับศูนย์ และการไหลทั้งหมดผ่านทรงกระบอกจะเท่ากับผลรวมของการไหลผ่านฐาน 2ES. ประจุไฟฟ้าภายในกระบอกสูบคือ ตามทฤษฎีบทเกาส์ ที่ไหน:

E ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของกระบอกสูบ เช่น ความแรงของสนามที่ระยะใด ๆ จะเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ เขตข้อมูลดังกล่าวเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน

ความต่างศักย์ระหว่างจุดที่อยู่ห่างจากระนาบ x1 และ x2 เท่ากับ

3. สนามของระนาบที่มีประจุตรงข้ามขนานกันไม่สิ้นสุดสองระนาบที่มีความหนาแน่นของประจุพื้นผิวเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ σ>0 และ - σ

จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ว่าเวกเตอร์ความเข้ม E 1 และ E 2 ของระนาบที่หนึ่งและสองมีค่าเท่ากันในค่าสัมบูรณ์และกำกับทุกที่ในแนวตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้นในช่องว่างนอกระนาบจึงชดเชยซึ่งกันและกันและในช่องว่างระหว่างระนาบคือความตึงเครียดทั้งหมด . ดังนั้นระหว่างระนาบ

(ในอิเล็กทริก.).

สนามระหว่างระนาบนั้นเหมือนกัน ความต่างศักย์ระหว่างระนาบ
(ในไดอิเล็กตริก ).

4. สนามของพื้นผิวทรงกลมที่มีประจุไฟฟ้าสม่ำเสมอ

พื้นผิวทรงกลมรัศมี R ที่มีประจุทั้งหมด q มีประจุเท่ากันโดยมีความหนาแน่นของพื้นผิว

เนื่องจากระบบของประจุและด้วยเหตุนี้ สนามเองจึงมีความสมมาตรจากส่วนกลางเมื่อเทียบกับศูนย์กลางของทรงกลม เส้นแรงตึงจึงถูกชี้นำในแนวรัศมี

ในฐานะพื้นผิวแบบเกาส์เซียน เราเลือกทรงกลมที่มีรัศมี r ซึ่งมีศูนย์กลางร่วมกับทรงกลมที่มีประจุ ถ้า r>R แสดงว่าประจุทั้งหมด q เข้าไปในพื้นผิว โดยทฤษฎีบทของ Gauss นั่นเอง

สำหรับ ร<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

ความต่างศักย์ระหว่างจุดสองจุดอยู่ที่ระยะ r 1 และ r 2 จากจุดศูนย์กลางทรงกลม

(r1 >R,r2 >R) เท่ากับ

นอกทรงกลมที่มีประจุ สนามจะเหมือนกับสนามของจุดประจุ q ซึ่งอยู่ที่ใจกลางทรงกลม ไม่มีสนามภายในทรงกลมที่มีประจุ ดังนั้นศักย์จึงเท่ากันทุกที่และเหมือนกันกับบนพื้นผิว

รากฐานทางทฤษฎีของงาน

มีความสัมพันธ์แบบอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียลระหว่างความแรงของเศษส่วนไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้า:

เจ 1 - เจ 2 = ∫ อี ดล (1)

E=-จบการศึกษา เจ (2)

สนามไฟฟ้าสามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้สองวิธี โดยเสริมซึ่งกันและกัน: โดยใช้พื้นผิวศักย์เท่ากันและเส้นแรงดึง (เส้นแรง)

พื้นผิวที่จุดทั้งหมดมีศักยภาพเท่ากันเรียกว่าพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากัน เส้นตัดกับระนาบของภาพวาดเรียกว่าศักย์เท่ากัน เส้นแรง - เส้นสัมผัสที่แต่ละจุดตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ อี . ในรูปที่ 1 เส้นประแสดงศักย์เท่ากัน เส้นทึบแสดงเส้นแรงของสนามไฟฟ้า

รูปที่ 1

ความต่างศักย์ระหว่างจุดที่ 1 และ 2 คือ 0 เนื่องจากมีความต่างศักย์เท่ากัน ในกรณีนี้ จาก (1):

∫จ ดล = 0 หรือ ∫จ dlc ( กศน ) = 0 (3)

เพราะว่า อี และ ดล ในนิพจน์ (3) ไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น เพราะ ( กศน ) = 0 . ดังนั้น มุมระหว่างศักย์เท่ากันกับเส้นสนามคือ p/2

ตามมาจากความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์ (2) ว่าเส้นแรงมักจะชี้ไปในทิศทางของศักยภาพที่ลดลง

ขนาดของสนามไฟฟ้าถูกกำหนดโดย "ความหนา" ของเส้นแรง ยิ่งเส้นแรงหนาเท่าไร ระยะห่างระหว่างศักย์เท่ากันก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น เพื่อให้เส้นแรงและศักย์เท่ากันก่อตัวเป็น ตามหลักการเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะสร้างภาพของเส้นแรง มีภาพของศักย์เท่ากัน และในทางกลับกัน

ภาพที่สมบูรณ์เพียงพอของสมศักย์ภาคสนามช่วยให้เราสามารถคำนวณค่าของการฉายภาพของเวกเตอร์ความเข้ม ณ จุดต่างๆ อี สู่แนวทางที่เลือก เอ็กซ์ ค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่งของพิกัด ∆x :

อี cf ∆x = - ∆ เจ /∆x,

ที่ไหน ∆x - พิกัดที่เพิ่มขึ้นเมื่อย้ายจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

∆ เจ - การเพิ่มศักยภาพที่สอดคล้องกัน

อี cf ∆x - ค่าเฉลี่ย อดีต ระหว่างสองศักยภาพ

คำอธิบายของการติดตั้งและเทคนิคการวัด

เพื่อสร้างแบบจำลองสนามไฟฟ้า สะดวกที่จะใช้การเปรียบเทียบระหว่างสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยวัตถุที่มีประจุและสนามไฟฟ้าของกระแสตรงที่ไหลผ่านฟิล์มนำไฟฟ้าที่มีค่าการนำไฟฟ้าสม่ำเสมอ ในกรณีนี้ตำแหน่งของเส้นแรงของสนามไฟฟ้าจะคล้ายกับตำแหน่งของเส้นของกระแสไฟฟ้า

ข้อความเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับศักยภาพ การกระจายศักย์ของสนามในฟิล์มนำไฟฟ้าจะเหมือนกับในสนามไฟฟ้าในสุญญากาศ

ในการทำงานเป็นฟิล์มนำไฟฟ้า กระดาษนำไฟฟ้าที่มีค่าการนำไฟฟ้าเท่ากันในทุกทิศทาง

วางอิเล็กโทรดไว้บนกระดาษเพื่อให้มีการสัมผัสที่ดีระหว่างอิเล็กโทรดแต่ละอันกับกระดาษนำไฟฟ้า

รูปแบบการทำงานของการติดตั้งแสดงในรูปที่ 2 การติดตั้งประกอบด้วยโมดูล II, องค์ประกอบภายนอก I, ไฟแสดงสถานะ III, แหล่งจ่ายไฟ IV โมดูลนี้ใช้เพื่อเชื่อมต่ออุปกรณ์ที่ใช้ทั้งหมด องค์ประกอบระยะไกลคือแผงอิเล็กทริก 1 ซึ่งวางกระดาษสีขาว 2 แผ่นไว้ด้านบนเป็นแผ่นกระดาษสำเนา 3 จากนั้นแผ่นกระดาษนำไฟฟ้า 4 ซึ่งติดขั้วไฟฟ้า 5 จ่ายแรงดันไฟฟ้า ไปยังขั้วไฟฟ้าจากโมดูล II โดยใช้สายเชื่อมต่อ ตัวบ่งชี้ III และหัววัด 6 ใช้เพื่อกำหนดศักยภาพของจุดบนพื้นผิวของกระดาษนำไฟฟ้า

ใช้สายที่มีปลั๊กที่ปลายเป็นโพรบ ศักยภาพ เจ หัววัดมีค่าเท่ากับศักยภาพของจุดบนพื้นผิวของกระดาษนำไฟฟ้าที่สัมผัส ชุดของจุดสนามที่มีศักยภาพเท่ากันคือภาพของสนามที่มีศักย์เท่ากัน หน่วยจ่ายไฟ IV ถูกใช้เป็นหน่วยจ่ายไฟ TES - 42 ซึ่งเชื่อมต่อกับโมดูลโดยใช้ขั้วต่อปลั๊กที่ผนังด้านหลังของโมดูล โวลต์มิเตอร์ V7 - 38 ใช้เป็นตัวบ่งชี้Ш

ลำดับการปฏิบัติงาน

1. วางกระดาษขาวแผ่นหนึ่งบนแผง 1 2. วางกระดาษคาร์บอน 3 และกระดาษนำไฟฟ้า 4 แผ่นหนึ่ง (รูปที่ 2)

2. ติดตั้งอิเล็กโทรด 5 บนกระดาษนำไฟฟ้าและยึดด้วยน็อต

3. เชื่อมต่อยูนิตจ่ายไฟ IV (TEC-42) เข้ากับโมดูลโดยใช้ขั้วต่อปลั๊กที่ผนังด้านหลังของโมดูล

4. ใช้สายไฟสองเส้นเชื่อมต่อไฟแสดงสถานะ III (โวลต์มิเตอร์ V7-38) เข้ากับช่องเสียบ "PV" ที่แผงด้านหน้าของโมดูล กดปุ่มที่เกี่ยวข้องบนโวลต์มิเตอร์เพื่อวัดแรงดันไฟฟ้ากระแสตรง (รูปที่ 2)

5. ใช้ตัวนำสองตัว เชื่อมต่ออิเล็กโทรด 5 กับโมดูล P

6. ต่อโพรบ (สายที่มีปลั๊กสองตัว) เข้ากับเต้ารับที่แผงด้านหน้าของโมดูล

7. เชื่อมต่อขาตั้งเข้ากับเครือข่าย 220 V เปิดแหล่งจ่ายไฟทั่วไปของขาตั้ง

มาหาความสัมพันธ์ระหว่างความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตซึ่งเป็นของมัน คุณสมบัติด้านพลังงาน,และศักยภาพ– ลักษณะพลังงานของสนามงานขนย้าย เดี่ยวชี้ประจุบวกจากจุดหนึ่งของสนามไปยังอีกจุดหนึ่งตามแนวแกน เอ็กซ์โดยมีเงื่อนไขว่าจุดต่างๆ นั้นอยู่ใกล้กันมาก และ x 1 – x 2 = ดีเอ็กซ์ , เท่ากับ E x dx . งานเดียวกันเท่ากับ j 1 -j 2 = dj . เราสามารถเขียนสมการทั้งสองนิพจน์ได้

โดยที่สัญลักษณ์อนุพันธ์บางส่วนเน้นว่าการสร้างความแตกต่างนั้นทำขึ้นโดยคำนึงถึงเท่านั้น เอ็กซ์การให้เหตุผลที่คล้ายกันซ้ำๆ สำหรับแกน y และ z , เราสามารถหาเวกเตอร์ E:

โดยที่ i, j, k - เวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด x, y, z

จากนิยามของการไล่ระดับสี (12.4) และ (12.6) ตามนั้น

นั่นคือ ความแรงของสนาม E เท่ากับการไล่ระดับสีที่เป็นไปได้ด้วยเครื่องหมายลบ เครื่องหมายลบถูกกำหนดโดยความจริงที่ว่าเวกเตอร์ความแรงของสนาม E ถูกส่งไปยัง ทิศทางลงศักยภาพ.

สำหรับการแสดงกราฟิกของการกระจายศักย์ของสนามไฟฟ้าสถิต เช่น ในกรณีของสนามโน้มถ่วง (ดู§ 25) จะใช้พื้นผิวศักย์เท่ากัน - พื้นผิวทุกจุดที่ศักย์ j มีค่าเท่ากัน

หากฟิลด์ถูกสร้างขึ้นโดยจุดชาร์จ แสดงว่ามีศักยภาพตาม (84.5)

ดังนั้นพื้นผิวที่มีศักยภาพเท่ากันในกรณีนี้คือทรงกลมที่มีศูนย์กลาง ในทางกลับกัน เส้นแรงดึงในกรณีของจุดประจุจะเป็นเส้นตรงในแนวรัศมี ดังนั้นเส้นของความตึงเครียดในกรณีของการชาร์จแบบจุด ตั้งฉากพื้นผิวที่เท่าเทียมกัน

เส้นตึง ปกติเสมอสู่พื้นผิวที่มีความเท่าเทียมกัน แท้จริงแล้ว ทุกจุดของพื้นผิวศักย์เท่ากันมีศักยภาพเท่ากัน ดังนั้นงานของการเคลื่อนย้ายประจุไปตามพื้นผิวนี้จึงเป็นศูนย์ กล่าวคือ แรงไฟฟ้าสถิตที่กระทำต่อประจุ เสมอกำกับตามแนวปกติไปยังพื้นผิวที่มีความเท่าเทียมกัน ดังนั้น เวกเตอร์ E เป็นเรื่องปกติเสมอสำหรับพื้นผิวที่มีความเท่าเทียมกันดังนั้นเส้นของเวกเตอร์ E จึงตั้งฉากกับพื้นผิวเหล่านี้

มีพื้นผิวศักย์เท่ากันจำนวนนับไม่ถ้วนรอบแต่ละประจุและแต่ละระบบของประจุ อย่างไรก็ตาม โดยปกติจะดำเนินการเพื่อให้ความต่างศักย์ระหว่างพื้นผิวสมศักย์ไฟฟ้าสองแห่งที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน จากนั้นความหนาแน่นของพื้นผิวศักย์เท่ากันจะแสดงลักษณะความแรงของสนามที่จุดต่างๆ อย่างชัดเจน เมื่อพื้นผิวเหล่านี้หนาแน่นขึ้น ความแรงของสนามก็จะมากขึ้น

ดังนั้น เมื่อทราบตำแหน่งของเส้นความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตแล้ว จึงสามารถสร้างพื้นผิวศักย์ไฟฟ้าสถิตได้ และในทางกลับกัน จากตำแหน่งที่ทราบของพื้นผิวสมศักย์ ทำให้สามารถกำหนดโมดูลัสและทิศทางของความแรงของสนามไฟฟ้าในแต่ละจุดได้ ของสนาม บนมะเดื่อ 133 ตัวอย่างเช่น แสดงมุมมองของเส้นแรงดึง (เส้นประ) และพื้นผิวศักย์เท่ากัน (เส้นทึบ) ของสนามของประจุบวก (a) และกระบอกโลหะที่มีประจุซึ่งมีส่วนที่ยื่นออกมาที่ปลายด้านหนึ่งและส่วนกดที่อีกด้านหนึ่ง (ข).

สำหรับการแสดงภาพของสนามเวกเตอร์ จะใช้รูปแบบของเส้นแรง เส้นแรงเป็นจินตคณิต เส้นโค้งในอวกาศ ทิศทางของเส้นสัมผัสในแต่ละจุด จุดที่ผ่านไปตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ เขตข้อมูลในจุดเดียวกัน(รูปที่ 1.17)
ข้าว. 1.17:
เงื่อนไขของการขนานของเวกเตอร์ E → และแทนเจนต์สามารถเขียนได้เท่ากับศูนย์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ E → และองค์ประกอบส่วนโค้ง d r → ของเส้นสนาม:

ศักย์เท่ากันคือพื้นผิว ซึ่งเป็นค่าคงที่ของศักย์ไฟฟ้าφ . ในช่องของจุดชาร์จ ดังแสดงในรูป , พื้นผิวทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งของประจุนั้นมีศักยภาพเท่ากัน สามารถดูได้จากสมการ ϕ = q ∕ r = const

การวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตของเส้นแรงไฟฟ้าและพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากัน เราสามารถระบุคุณสมบัติทั่วไปของรูปทรงเรขาคณิตของสนามไฟฟ้าสถิตได้จำนวนหนึ่ง

ประการแรก เส้นแรงเริ่มต้นที่ประจุ พวกมันไปที่อินฟินิตี้หรือจบลงด้วยค่าใช้จ่ายอื่นๆ ดังรูปที่ .

ข้าว. 1.19:

ประการที่สอง ในสนามที่มีศักยภาพ เส้นแรงไม่สามารถปิดได้ มิฉะนั้นอาจเป็นไปได้ที่จะระบุวงปิดว่าการทำงานของสนามไฟฟ้าเมื่อเคลื่อนประจุไปตามวงนี้ไม่เท่ากับศูนย์

ประการที่สาม เส้นแรงตัดกันศักย์เท่ากันใดๆ ตามแนวปกติของมัน อันที่จริง สนามไฟฟ้าถูกนำไปทุกที่ในทิศทางของการลดลงของศักย์ที่เร็วที่สุด และบนพื้นผิวศักย์เท่ากัน ศักย์จะคงที่ตามคำนิยาม (รูปที่ )
ข้าว. 1.20 :
และสุดท้าย เส้นแรงจะไม่ตัดกันที่ใดเลย ยกเว้นจุดที่ E → = 0 . จุดตัดของเส้นสนามหมายความว่าสนามที่จุดตัดเป็นฟังก์ชันพิกัดที่ไม่ชัดเจน และเวกเตอร์ E → ไม่มีทิศทางที่แน่นอน เวกเตอร์เดียวที่มีคุณสมบัตินี้คือเวกเตอร์ว่าง โครงสร้างของสนามไฟฟ้าใกล้จุดศูนย์จะถูกวิเคราะห์ในโจทย์เพื่อ ?? .

แน่นอนว่าวิธีการของเส้นแรงใช้ได้กับการแสดงกราฟิกของฟิลด์เวกเตอร์ใดๆ ดังนั้นในบท เราจะพบกับแนวคิดของเส้นแรงแม่เหล็ก อย่างไรก็ตาม รูปทรงเรขาคณิตของสนามแม่เหล็กแตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิตของสนามไฟฟ้าอย่างสิ้นเชิง

ข้าว. 1.21:
แนวคิดของเส้นแรงเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของท่อแรง ให้เรานำ L วงปิดใด ๆ ตามอำเภอใจและวาดเส้นแรงไฟฟ้าผ่านแต่ละจุดของมัน (รูปที่ ) เส้นเหล่านี้ก่อตัวเป็นท่อแรง พิจารณาส่วนโดยพลการของท่อโดยพื้นผิว S . เราวาดเส้นปกติเชิงบวกในทิศทางเดียวกับเส้นแรงที่กำหนด ให้ N เป็นการไหลของเวกเตอร์ E → ผ่านส่วน S สังเกตได้ง่ายว่าหากไม่มีประจุไฟฟ้าภายในท่อ ฟลักซ์ N จะยังคงเท่าเดิมตลอดความยาวของท่อ เพื่อพิสูจน์ เราจำเป็นต้องตัดขวาง S ′ อีกอัน ตามทฤษฎีบทเกาส์ การไหลของสนามไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดซึ่งจำกัดโดยพื้นผิวด้านข้างของท่อและส่วน S , S ′ มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากไม่มีประจุไฟฟ้าภายในท่อแรง การไหลผ่านพื้นผิวด้านข้างเป็นศูนย์ เนื่องจากเวกเตอร์ E → สัมผัสพื้นผิวนี้ ดังนั้นการไหลผ่านส่วน S ′ จึงมีค่าเท่ากับ N แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม เส้นปกติด้านนอกถึงพื้นผิวปิดในส่วนนี้อยู่ตรงข้ามกัน n → . หากเรากำหนดเส้นปกติในทิศทางเดียวกัน การไหลผ่านส่วน S และ S ′ จะตรงกันทั้งขนาดและเครื่องหมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าท่อมีความบางมาก และส่วน S และ S′ เป็นปกติสำหรับมัน

E S = E' S' .

มันกลายเป็นความคล้ายคลึงกันอย่างสมบูรณ์กับการไหลของของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้ เมื่อท่อบางลง สนาม E → จะแข็งแกร่งขึ้น ในสถานที่เหล่านั้นที่กว้างขึ้น สนาม E → แข็งแกร่งขึ้น ดังนั้นความแรงของสนามไฟฟ้าสามารถตัดสินได้จากความหนาแน่นของเส้นแรง

ก่อนการประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ สำหรับการทดลองสร้างเส้นภาคสนามนั้น ภาชนะแก้วที่มีก้นแบนถูกนำมาและของเหลวที่ไม่นำไฟฟ้า เช่น น้ำมันละหุ่งหรือกลีเซอรีนถูกเทลงไป ผลึกผงของยิปซั่ม แร่ใยหิน หรืออนุภาครูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอื่นๆ ถูกผสมอย่างเท่าๆ กันในของเหลว อิเล็กโทรดโลหะถูกแช่อยู่ในของเหลว เมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งกำเนิดไฟฟ้า อิเล็กโทรดจะกระตุ้นสนามไฟฟ้า ในสนามนี้ อนุภาคจะถูกทำให้เป็นไฟฟ้าและถูกดึงดูดซึ่งกันและกันโดยปลายที่ถูกกระตุ้นด้วยไฟฟ้าตรงข้ามกัน จะถูกจัดเรียงในรูปแบบของโซ่ตามแนวของแรง ภาพของเส้นสนามถูกบิดเบือนโดยการไหลของของไหลซึ่งเกิดจากแรงที่กระทำในสนามไฟฟ้าที่ไม่สม่ำเสมอ

ยังไม่เสร็จ
ข้าว. 1.22:
ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดได้มาจากวิธีการของ Robert W. Pohl (1884-1976) อิเล็กโทรดเหล็กติดกาวบนแผ่นกระจกซึ่งระหว่างนั้นจะสร้างแรงดันไฟฟ้า จากนั้นอนุภาคที่ยาว เช่น ผลึกยิปซั่ม จะถูกเทลงบนจาน แตะเบา ๆ บนจาน พวกเขาตั้งอยู่ตามแนวแรง บนมะเดื่อ ?? ภาพของเส้นแรงที่ได้รับในลักษณะนี้ระหว่างวงกลมที่มีประจุตรงข้ามกันสองวงของเฟรมจะแสดงขึ้น

▸ งาน 9.1

เขียนสมการของเส้นสนามในมุมฉากโดยพลการพิกัด.

▸ งาน 9.2

เขียนสมการเส้นแรงในพิกัดทรงกลม.

การแสดงกราฟิกของฟิลด์สามารถรวบรวมได้ไม่เฉพาะกับเส้นตึงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้นด้วย ถ้าเรารวมจุดที่มีศักย์เท่ากันในสนามไฟฟ้า เราก็จะได้พื้นผิวที่มีศักย์เท่ากัน หรือที่เรียกว่าพื้นผิวศักย์เท่ากัน ที่จุดตัดกับระนาบของภาพวาด พื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันจะให้เส้นศักย์เท่ากัน การวาดเส้นศักย์เท่ากันที่สอดคล้องกับค่าศักย์ไฟฟ้าต่างๆ ทำให้เราเห็นภาพที่ชัดเจนซึ่งสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้าในฟิลด์ใดฟิลด์หนึ่ง การเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากันของประจุไม่จำเป็นต้องทำงาน เนื่องจากจุดทั้งหมดของสนามตามพื้นผิวนั้นมีศักยภาพเท่ากัน และแรงที่กระทำกับประจุจะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่เสมอ

ดังนั้นเส้นแรงตึงจึงตั้งฉากกับพื้นผิวที่มีความต่างศักย์เท่ากันเสมอ

ภาพที่แสดงให้เห็นมากที่สุดของสนามจะถูกนำเสนอถ้าเส้นศักย์เท่ากันถูกอธิบายโดยมีการเปลี่ยนแปลงศักย์เท่ากัน ตัวอย่างเช่น 10 V, 20 V, 30 V เป็นต้น ในกรณีนี้ อัตราการเปลี่ยนแปลงที่อาจเกิดขึ้นจะแปรผกผันกับระยะห่างระหว่างเส้นศักย์เท่ากันที่อยู่ติดกัน นั่นคือ ความหนาแน่นของเส้นศักย์เท่ากันจะเป็นสัดส่วนกับความแรงของสนาม (ยิ่งความแรงของสนามสูงเท่าไร เมื่อทราบเส้นศักย์เท่ากัน จึงสามารถสร้างเส้นความเข้มของสนามที่กำลังพิจารณาและในทางกลับกันได้

ดังนั้นภาพของสนามโดยใช้เส้นศักย์เท่ากันและเส้นแรงดึงจึงเท่ากัน

จำนวนเส้นศักย์เท่ากันในรูปวาด

บ่อยครั้ง เส้นศักย์เท่ากันในรูปวาดจะมีหมายเลขกำกับไว้ เพื่อระบุความต่างศักย์ในภาพวาด เส้นที่กำหนดจะถูกระบุด้วยหมายเลข 0 หมายเลข 1,2,3 ฯลฯ จะถูกวางไว้ใกล้กับเส้นอื่นๆ ทั้งหมด ตัวเลขเหล่านี้ระบุความต่างศักย์เป็นโวลต์ระหว่างเส้นศักย์ไฟฟ้าที่เลือกและเส้นที่เลือกเป็นศูนย์ ในเวลาเดียวกัน เราทราบว่าการเลือกเส้นศูนย์นั้นไม่สำคัญ เนื่องจากความต่างศักย์ของพื้นผิวทั้งสองเท่านั้นที่มีความหมายทางกายภาพ และไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของศูนย์

สนามของจุดประจุที่มีประจุบวก

พิจารณาเป็นตัวอย่าง ฟิลด์ของจุดประจุซึ่งมีประจุบวก เส้นสนามของจุดประจุเป็นเส้นตรงในแนวรัศมี ดังนั้น พื้นผิวศักย์เท่ากันจึงเป็นระบบของทรงกลมที่มีศูนย์กลาง เส้นสนามจะตั้งฉากกับพื้นผิวของทรงกลมที่จุดต่างๆ ของสนาม เส้นสมศักย์คือวงกลมศูนย์กลาง สำหรับประจุบวก รูปที่ 1 แสดงถึงเส้นศักย์เท่ากัน สำหรับประจุลบ รูปที่ 2 แสดงเส้นศักย์เท่ากัน

ซึ่งเห็นได้ชัดจากสูตรที่กำหนดศักยภาพของสนามของจุดชาร์จเมื่อศักยภาพถูกทำให้เป็นมาตรฐานเป็นอนันต์ ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\right).\]

ระบบของระนาบคู่ขนานซึ่งมีระยะห่างเท่ากันคือพื้นผิวศักย์เท่ากันของสนามไฟฟ้าที่สม่ำเสมอ

ตัวอย่างที่ 1

งาน: ศักยภาพของฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยระบบการเรียกเก็บเงินมีรูปแบบ:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

โดยที่ $a,b$ เป็นค่าคงที่มากกว่าศูนย์ พื้นผิวสมศักย์มีรูปร่างอย่างไร?

อย่างที่เราทราบกันดีว่าพื้นผิวศักย์เท่ากันคือพื้นผิวที่มีศักยภาพเท่ากัน ณ จุดใดๆ เมื่อทราบข้างต้นเราจะศึกษาสมการที่เสนอในเงื่อนไขของปัญหา หารด้านขวาและซ้ายของสมการ $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ ด้วย $\varphi $ เราได้:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\ขวา).\]

เราเขียนสมการ (1.1) ในรูปแบบบัญญัติ:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) =1\ (1.2)\]

สมการ $(1.2)\ $ แสดงว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นรูปวงรีของการปฏิวัติ เพลาของมัน

\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

คำตอบ: พื้นผิวศักย์เท่ากันของสนามที่กำหนดเป็นวงรีของการปฏิวัติที่มีแกนกึ่งกลาง ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt (\frac( \varphi )(b))$).

ตัวอย่างที่ 2

งาน: ศักยภาพของฟิลด์มีรูปแบบ:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)-bz^2,\]

โดยที่ $a,b$ -- $const$ มากกว่าศูนย์ พื้นผิวที่มีศักยภาพเท่ากันคืออะไร?

พิจารณากรณีที่ $\varphi >0$ ให้เรานำสมการที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้เราจึงหารทั้งสองส่วนของสมการด้วย $\varphi ,$ เราได้:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ ขวา).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \left(2.2\right).\]

ใน (2.2) เราได้รับสมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลอยด์หนึ่งแผ่น กึ่งแกนของมันคือ ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\right),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\right ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(จินตภาพ\ กึ่งแกน)$).

พิจารณากรณีที่ $\varphi

แทนค่า $\varphi =-\left|\varphi \right|$ ลองนำสมการที่กำหนดในเงื่อนไขของโจทย์มาอยู่ในรูปบัญญัติ เพราะเราแบ่งทั้งสองส่วนของสมการโดยการลบโมดูลัส $\varphi ,$ เราได้รับ:

\[-\frac(a)(\left|\varphi \right|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \right|)y)^2+\frac(b)(\ ซ้าย|\varphi \right|)z^2=1\ \left(2.3\right).\]

ให้เราเขียนสมการ (1.1) ใหม่ในรูปแบบ:

\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2.4\right).\]

เราได้รับสมการบัญญัติของไฮเพอร์โบลอยด์สองแผ่นซึ่งเป็นเซมิแกนของมัน:

($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(จินตภาพ\ semiaxis\right),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a) )\left(จินตภาพ\ กึ่งแกน\ขวา),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\ จริง\ กึ่งแกน)$).

พิจารณากรณีที่ $\varphi =0.$ จากนั้นสมการของฟิลด์จะมีรูปแบบ:

ให้เราเขียนสมการ (2.5) ใหม่ในรูปแบบ:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1 )(\sqrt(a))\right))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ ซ้าย(2.6\ขวา).\]

เราได้รับสมการมาตรฐานของกรวยกลมด้านขวาโดยอิงจากวงรีที่มีแกนกึ่งกลาง $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\ sqrt(ก))$).

คำตอบ: ในฐานะพื้นผิวศักย์เท่ากันสำหรับสมการศักย์ที่กำหนด เราได้รับ: สำหรับ $\varphi >0$, ไฮเพอร์โบลอยด์แผ่นเดียว, สำหรับ $\varphi