การสั่นที่เรียกว่าแดมป์ ลดแรงสั่นสะเทือน

1.21. การสลายตัว, การบังคับ OSCILLATIONS

สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบแดมเปอร์และสารละลาย ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอน ลอการิทึม decวงแดมเปอร์ปัจจัย Qระบบร่างกาย.กระบวนการ aperiodic สมการเชิงอนุพันธ์ของการแกว่งแบบบังคับและคำตอบแอมพลิจูดและเฟสของการสั่นแบบบังคับ กระบวนการสร้างความผันผวน กรณีเรโซแนนซ์การสั่นในตัวเอง

การหน่วงของการแกว่งคือการลดลงทีละน้อยในแอมพลิจูดของการแกว่งเมื่อเวลาผ่านไป เนื่องจากการสูญเสียพลังงานโดยระบบออสซิลเลชัน

การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติโดยไม่มีการหน่วงคืออุดมคติ สาเหตุของการซีดจางอาจแตกต่างกัน ในระบบกลไก การสั่นสะท้านจะถูกลดทอนลงเมื่อมีการเสียดสี เมื่อพลังงานทั้งหมดที่เก็บอยู่ในระบบสั่นหมด การสั่นจะหยุด ดังนั้นแอมพลิจูด การสั่นสะเทือนที่ชื้น ลดลงจนกลายเป็นศูนย์

การสั่นแบบแดมป์เช่นเดียวกับการสั่นแบบธรรมชาติในระบบที่มีลักษณะแตกต่างกัน สามารถพิจารณาได้จากมุมมองเดียว - ลักษณะทั่วไป อย่างไรก็ตาม ลักษณะเช่นแอมพลิจูดและคาบจำเป็นต้องมีการกำหนดนิยามใหม่ ในขณะที่คุณสมบัติอื่นๆ ต้องการการเพิ่มเติมและการชี้แจงเมื่อเปรียบเทียบกับลักษณะเดียวกันสำหรับการสั่นตามธรรมชาติแบบไม่มีแอมพลิจูด สัญญาณทั่วไปและแนวคิดของการสั่นแบบแดมเปอร์มีดังนี้:

ต้องได้สมการอนุพันธ์โดยคำนึงถึงการลดลงของพลังงานสั่นสะเทือนในกระบวนการแกว่ง

สมการออสซิลเลชันคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์ขึ้นอยู่กับเวลา

ความถี่และคาบขึ้นอยู่กับระดับการหน่วงของการแกว่ง

เฟสและเฟสเริ่มต้นมีความหมายเดียวกับการสั่นแบบไม่แดมป์

การสั่นแบบลดแรงสั่นสะเทือนทางกล

ระบบเครื่องกล : ลูกตุ้มสปริงรับแรงเสียดทาน

แรงที่กระทำต่อลูกตุ้ม :

แรงยืดหยุ่นโดยที่ k คือสัมประสิทธิ์ความแข็งของสปริง х คือการกระจัดของลูกตุ้มจากตำแหน่งสมดุล

แรงต้าน. พิจารณาแรงต้านตามสัดส่วนกับความเร็ว v ของการเคลื่อนที่ (การพึ่งพาดังกล่าวเป็นเรื่องปกติสำหรับกองกำลังต้านทานขนาดใหญ่): . เครื่องหมายลบแสดงว่าทิศทางของแรงต้านทานอยู่ตรงข้ามกับทิศทางความเร็วของร่างกาย ค่าสัมประสิทธิ์การลาก r เป็นตัวเลขเท่ากับแรงลากที่เกิดขึ้นที่ความเร็วหน่วยของร่างกาย:

กฎการเคลื่อนที่ ลูกตุ้มสปริงเป็นกฎข้อที่สองของนิวตัน:

ม เอ = Fอดีต. + Fต้านทาน.

พิจารณาว่าและ เราเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบ:

. (21.1)

หารเทอมทั้งหมดของสมการด้วย m ย้ายพวกมันทั้งหมดไปทางด้านขวา จะได้ สมการเชิงอนุพันธ์ การสั่นสะเทือนแบบหน่วง:

มาแสดงว่า ที่ไหน β – ปัจจัยการทำให้หมาด ๆ , , ที่ไหน ω 0 คือ ความถี่ของการแกว่งอิสระแบบไม่แดมป์ในกรณีที่ไม่มีการสูญเสียพลังงานในระบบออสซิลเลชัน

ในสัญกรณ์ใหม่ สมการเชิงอนุพันธ์ของการสั่นแบบแดมเปอร์มีรูปแบบดังนี้

. (21.2)

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นนี้แก้ได้โดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เราแสดงฟังก์ชัน x ขึ้นอยู่กับเวลา t ในรูปแบบ:

.

ลองหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและสองของฟังก์ชันนี้กัน เนื่องจากฟังก์ชัน z เป็นฟังก์ชันของเวลาด้วย:

, .

แทนนิพจน์ในสมการเชิงอนุพันธ์:

เรานำพจน์ที่เหมือนกันมาในสมการและลดค่าแต่ละเทอมโดย เราจะได้สมการ:

.

ให้เราระบุปริมาณ .

แก้สมการ คือฟังก์ชัน , .

กลับไปที่ตัวแปร x เราได้รับสูตรสำหรับสมการของการสั่นแบบหน่วง:

ทางนี้ , สมการการสั่นแบบแดมเปอร์เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ (21.2):

ความถี่การสั่นแบบแดมป์ :

(เฉพาะรากที่แท้จริงเท่านั้นที่มีความหมายทางกายภาพ)

ระยะการสั่นสะท้าน :

(21.5)

ความหมายที่ใส่ไว้ในแนวคิดของคาบสำหรับการสั่นแบบไม่แดมป์ไม่เหมาะกับการสั่นแบบแดมเปอร์ เนื่องจากระบบออสซิลเลเตอร์จะไม่กลับสู่สถานะเดิมเนื่องจากการสูญเสียพลังงานจากการสั่น เมื่อมีแรงเสียดทาน การแกว่งจะช้าลง: .

ช่วงเวลาของการสั่นสะท้าน เรียกว่าช่วงเวลาต่ำสุดที่ระบบผ่านตำแหน่งสมดุลสองเท่าในทิศทางเดียวกัน

สำหรับระบบกลไกของลูกตุ้มสปริง เรามี:

, .

แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์ :

สำหรับลูกตุ้มสปริง

แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เปลี่ยนแปลงตามเวลายิ่งเร็ว ค่าสัมประสิทธิ์ β ยิ่งมากขึ้น ดังนั้น คำจำกัดความของแอมพลิจูดที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้สำหรับการสั่นอิสระแบบไม่มีแอมพลิจูดจะต้องเปลี่ยนสำหรับการสั่นแบบแดมเปอร์

สำหรับการลดทอนขนาดเล็ก แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์ เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนที่ใหญ่ที่สุดจากตำแหน่งสมดุลสำหรับช่วงเวลา

กราฟ ออฟเซ็ตเทียบกับเวลาและแอมพลิจูดเทียบกับกราฟเวลาแสดงในรูปที่ 21.1 และ 21.2

รูปที่ 21.1 - การพึ่งพาการกระจัดตรงเวลาสำหรับการสั่นแบบหน่วง

รูปที่ 21.2 - การพึ่งพาแอมพลิจูดตรงเวลาสำหรับการสั่นแบบหน่วง

ลักษณะของการสั่นแบบแดมเปอร์

1. ปัจจัยการลดทอน β .

การเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์เกิดขึ้นตามกฎเลขชี้กำลัง:

ให้แอมพลิจูดการสั่นลดลง "e" เมื่อเวลาผ่านไป τ (“e” คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e ≈ 2.718) จากนั้นในด้านหนึ่ง และในทางกลับกัน เมื่อวาดแอมพลิจูด A zat แล้ว (t) และ A ที่ (t+τ) เรามี . ความสัมพันธ์เหล่านี้บ่งบอกถึง βτ = 1 ดังนั้น

ช่วงเวลา τ ซึ่งแอมพลิจูดลดลงด้วย "e" ครั้งเรียกว่าเวลาพักผ่อน

ปัจจัยการลดทอน β เป็นค่าแปรผกผันกับเวลาพักผ่อน

2. การลดการสั่นสะเทือนแบบลอการิทึม δ - ปริมาณทางกายภาพที่เป็นตัวเลขเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของแอมพลิจูดสองแอมพลิจูดที่ต่อเนื่องกันโดยคั่นด้วยช่วงเวลาหนึ่ง

หากค่า Attenuation น้อย เช่น ค่าของ β มีค่าน้อย จากนั้นแอมพลิจูดจะเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในช่วงเวลานั้น และการลดลงแบบลอการิทึมสามารถกำหนดได้ดังนี้:

,

ที่ A ที่ (t) และ A ที่ (t + NT) - แอมพลิจูดการสั่น ณ เวลา e และหลัง N คาบเช่น ณ เวลา (t + NT)

3. ปัจจัยด้านคุณภาพ Q ระบบสั่น เป็นปริมาณทางกายภาพที่ไม่มีมิติเท่ากับผลคูณของค่า (2π) νa อัตราส่วนของพลังงาน W(t) ของระบบ ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งต่อการสูญเสียพลังงานในช่วงหนึ่งของการสั่นแบบหน่วง:

.

เนื่องจากพลังงานเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูด ดังนั้น

สำหรับค่าน้อยของการลดลงลอการิทึม δ ปัจจัยด้านคุณภาพของระบบการแกว่งจะเท่ากับ

,

โดยที่ N e คือจำนวนการแกว่ง ในระหว่างที่แอมพลิจูดลดลงด้วย "e" ครั้ง

ดังนั้น ปัจจัยด้านคุณภาพของลูกตุ้มสปริง คือ ยิ่งปัจจัยคุณภาพของระบบออสซิลเลเตอร์มากเท่าใด การลดทอนที่น้อยลง กระบวนการตามระยะเวลาในระบบดังกล่าวก็จะยิ่งนานขึ้นเท่านั้น ปัจจัยด้านคุณภาพของระบบออสซิลเลเตอร์ -ปริมาณไร้มิติที่กำหนดลักษณะการกระจายของพลังงานในเวลา

4. เมื่อค่าสัมประสิทธิ์เพิ่มขึ้น β ความถี่ของการสั่นของแดมเปอร์จะลดลงและระยะเวลาจะเพิ่มขึ้น ที่ ω 0 = β ความถี่ของการสั่นแบบแดมเปอร์จะเท่ากับศูนย์ ω zat = 0 และ T zat = ∞ ในกรณีนี้การสั่นสูญเสียคาบและเรียกว่า เป็นระยะ

ที่ ω 0 = β พารามิเตอร์ของระบบที่รับผิดชอบต่อการลดลงของพลังงานสั่นสะเทือนจะใช้ค่าที่เรียกว่า วิกฤต . สำหรับลูกตุ้มสปริง เงื่อนไข ω 0 = β จะถูกเขียนเป็น: จากตำแหน่งที่เราหาค่า ค่าสัมประสิทธิ์การลากที่สำคัญ:

.

ข้าว. 21.3. การพึ่งพาแอมพลิจูดของการแกว่งของ aperiodic ตรงเวลา

แรงสั่นสะเทือนที่บังคับ

การสั่นที่แท้จริงทั้งหมดถูกทำให้ชื้น เพื่อให้การแกว่งที่แท้จริงเกิดขึ้นเป็นเวลานานเพียงพอ จำเป็นต้องเติมพลังงานของระบบออสซิลเลชันเป็นระยะ ๆ โดยกระทำกับแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ

พิจารณาปรากฏการณ์การสั่นถ้าภายนอก (บังคับ) แรงแปรผันตามเวลาตามกฎฮาร์โมนิก ในกรณีนี้ การสั่นจะเกิดขึ้นในระบบ ซึ่งธรรมชาติของแรงขับเคลื่อนจะทำซ้ำในระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง ความผันผวนดังกล่าวเรียกว่า บังคับ .

สัญญาณทั่วไปของการสั่นสะเทือนทางกลบังคับ

1. ให้เราพิจารณาการสั่นแบบบังคับของลูกตุ้มสปริงซึ่งกระทำโดยปัจจัยภายนอก (น่าสนใจ ) แรงเป็นระยะ . แรงที่กระทำบนลูกตุ้ม เมื่อดึงออกจากสมดุล พัฒนาในระบบออสซิลเลเตอร์เอง เหล่านี้คือแรงยืดหยุ่นและแรงลาก

กฎการเคลื่อนที่ (กฎข้อที่สองของนิวตัน) เขียนได้ดังนี้

(21.6)

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย m พิจารณาว่า และรับ สมการเชิงอนุพันธ์ แรงสั่นสะเทือนบังคับ:

แสดงว่า ( β – ปัจจัยการทำให้หมาด ๆ ), (ω 0 คือความถี่ของการแกว่งอิสระแบบไม่แปลงสัญญาณ) แรงที่กระทำต่อหน่วยมวล ในสัญกรณ์เหล่านี้ สมการเชิงอนุพันธ์ การสั่นแบบบังคับจะอยู่ในรูปแบบ:

(21.7)

นี่คือสมการอนุพันธ์อันดับสองที่มีด้านขวาไม่เป็นศูนย์ คำตอบของสมการดังกล่าวเป็นผลรวมของสองคำตอบ

.

เป็นคำตอบทั่วไปของสมการอนุพันธ์เอกพันธ์ กล่าวคือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่มีด้านขวาเมื่อมีค่าเท่ากับศูนย์ เรารู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าว - นี่คือสมการของการสั่นแบบแดมเปอร์ ซึ่งเขียนขึ้นเป็นค่าคงที่ ค่าที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้นของระบบออสซิลเลเตอร์:

ที่ไหน .

เราได้พูดคุยกันก่อนหน้านี้ว่าสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาในรูปของฟังก์ชันไซน์ได้

หากเราพิจารณากระบวนการแกว่งของลูกตุ้มหลังจากเวลาผ่านไปนานเพียงพอ Δt หลังจากเปิดแรงขับเคลื่อน (รูปที่ 21.2) การสั่นแบบแดมเปอร์ในระบบจะหยุดลงในทางปฏิบัติ แล้วคำตอบของสมการอนุพันธ์ทางขวาจะเป็นคำตอบ

สารละลายเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากัน กล่าวคือ สมการทางขวา จากทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเมื่อด้านขวาเปลี่ยนแปลงตามกฎฮาร์โมนิก สารละลายจะเป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิก (sin หรือ cos) ที่มีความถี่การเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกับความถี่การเปลี่ยนแปลง Ω ของด้านขวา:

ที่ไหน แอมป์. – แอมพลิจูดของการแกว่งบังคับ, φ 0 – กะเฟส , เหล่านั้น. ความแตกต่างของเฟสระหว่างเฟสของแรงขับเคลื่อนและเฟสของการสั่นแบบบังคับ และแอมพลิจูด A แอมพลิจูด และการเปลี่ยนเฟส φ 0 ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของระบบ (β, ω 0) และความถี่ของแรงขับ Ω

ระยะเวลาการสั่นบังคับ เท่ากับ (21.9)

ตารางการแกว่งบังคับในรูปที่ 4.1

รูปที่ 21.3 กำหนดการของการแกว่งบังคับ

การสั่นแบบบังคับคงที่ยังเป็นฮาร์โมนิกอีกด้วย

การพึ่งพาแอมพลิจูดของการบังคับแกว่งและการเปลี่ยนเฟสกับความถี่ของการกระทำภายนอก เสียงก้อง.

1. กลับไปที่ระบบกลไกของลูกตุ้มสปริงซึ่งได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกที่เปลี่ยนแปลงตามกฎฮาร์มอนิก สำหรับระบบดังกล่าว สมการเชิงอนุพันธ์และคำตอบตามลำดับจะมีรูปแบบดังนี้

, .

ให้เราวิเคราะห์การพึ่งพาของแอมพลิจูดการสั่นและการเลื่อนเฟสบนความถี่ของแรงขับเคลื่อนภายนอก สำหรับสิ่งนี้ เราพบอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและที่สองของ x และแทนที่พวกมันลงในสมการเชิงอนุพันธ์

ลองใช้วิธีไดอะแกรมเวกเตอร์ จากสมการจะเห็นได้ว่าผลรวมของทั้งสามวงสวิงทางด้านซ้ายของสมการ (รูปที่ 4.1) ควรเท่ากับวงสวิงทางด้านขวา ไดอะแกรมเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นสำหรับเวลาที่กำหนด t สามารถกำหนดได้จากมัน

รูปที่ 21.4

, (21.10)

. (21.11)

เมื่อพิจารณาถึงค่า , , เราได้รับสูตรสำหรับ φ 0 และ A ampl ระบบเครื่องกล:

,

.

2. เราตรวจสอบการพึ่งพาแอมพลิจูดของการแกว่งบังคับในความถี่ของแรงขับเคลื่อนและขนาดของแรงต้านทานในระบบกลไกการสั่นโดยใช้ข้อมูลเหล่านี้เราสร้างกราฟ . ผลการศึกษาแสดงในรูปที่ 21.5 แสดงว่าความถี่ของแรงขับเคลื่อนที่กำหนด แอมพลิจูดของการแกว่งเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว และการเพิ่มขึ้นนี้ยิ่งมากขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนยิ่งต่ำลง β ที่ แอมพลิจูดการแกว่งจะมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุด

ปรากฏการณ์แอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว แรงสั่นสะเทือนที่ความถี่ของแรงขับเท่ากับ เรียกว่าเรโซแนนซ์

(21.12)

เส้นโค้งในรูปที่ 21.5 สะท้อนถึงความสัมพันธ์ และถูกเรียกว่า เส้นโค้งเรโซแนนซ์แอมพลิจูด .

รูปที่ 21.5 - กราฟของการพึ่งพาแอมพลิจูดของการสั่นแบบบังคับบนความถี่ของแรงขับเคลื่อน

แอมพลิจูดของการสั่นพ้องจะอยู่ในรูปแบบ:

แรงสั่นสะเทือนคือ ไม่ติดขัดความผันผวน การสูญเสียพลังงานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้อันเนื่องมาจากแรงเสียดทานจะได้รับการชดเชยด้วยการจ่ายพลังงานจากแหล่งภายนอกของแรงกระทำเป็นระยะ มีหลายระบบที่การสั่นแบบ undamped ไม่ได้เกิดขึ้นเนื่องจากอิทธิพลภายนอกเป็นระยะ แต่เป็นผลมาจากความสามารถของระบบดังกล่าวในการควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งคงที่ ระบบดังกล่าวเรียกว่า สั่นตัวเองและกระบวนการของการแกว่งตัวแบบไม่มีแดมป์ในระบบดังกล่าวคือ การสั่นไหวในตัวเอง.

ในระบบออสซิลเลเตอร์ในตัวเอง องค์ประกอบลักษณะเฉพาะสามอย่างสามารถแยกแยะได้ - ระบบออสซิลเลเตอร์ แหล่งพลังงาน และอุปกรณ์ป้อนกลับระหว่างระบบออสซิลเลเตอร์กับแหล่งกำเนิด ในฐานะระบบออสซิลเลเตอร์ สามารถใช้ระบบกลไกใดๆ ที่สามารถทำการสั่นสะเทือนแบบแดมเปอร์ของตัวเองได้ (เช่น ลูกตุ้มนาฬิกาแขวน)

แหล่งพลังงานอาจเป็นพลังงานการเปลี่ยนรูปของสปริงหรือพลังงานศักย์ของโหลดในสนามโน้มถ่วง อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นกลไกที่ระบบการสั่นในตัวเองควบคุมการไหลของพลังงานจากแหล่งกำเนิด ในรูป 21.6 แสดงไดอะแกรมของการทำงานร่วมกันขององค์ประกอบต่างๆ ของระบบการสั่นในตัวเอง

ตัวอย่างของระบบสั่นตัวเองทางกลคือเครื่องจักรกับ สมอย้าย (รูปที่ 21.7.) ล้อวิ่งที่มีฟันเฉียงถูกยึดอย่างแน่นหนากับดรัมฟันซึ่งจะมีการโยนโซ่ที่มีน้ำหนัก ที่ปลายด้านบนของลูกตุ้ม สมอ (สมอ) จะถูกตรึงด้วยแผ่นวัสดุแข็งสองแผ่นที่โค้งงอตามส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่แกนของลูกตุ้ม ในนาฬิกาข้อมือ น้ำหนักจะถูกแทนที่ด้วยสปริง และลูกตุ้มจะถูกแทนที่ด้วยบาลานเซอร์ - วงล้อจักรที่ติดกับสปริงเกลียว

รูปที่ 21.7 กลไกนาฬิกาพร้อมลูกตุ้ม

บาลานเซอร์ทำการสั่นสะเทือนแบบบิดรอบแกนของมัน ระบบออสซิลเลเตอร์ในนาฬิกาเป็นลูกตุ้มหรือบาลานเซอร์ แหล่งที่มาของพลังงานคือการยกน้ำหนักหรือสปริงแผล อุปกรณ์ป้อนกลับเป็นพุกที่ช่วยให้ล้อวิ่งหมุนฟันหนึ่งซี่ในครึ่งรอบ

ข้อเสนอแนะมาจากการทำงานร่วมกันของสมอกับวงล้อวิ่ง ด้วยการสั่นของลูกตุ้มแต่ละครั้ง ฟันของล้อเลื่อนจะดันส้อมสมอไปในทิศทางของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม โดยส่งพลังงานส่วนหนึ่งไปยังมัน ซึ่งจะชดเชยการสูญเสียพลังงานอันเนื่องมาจากแรงเสียดทาน ดังนั้นพลังงานศักย์ของน้ำหนัก (หรือสปริงบิด) จะถูกถ่ายโอนไปยังลูกตุ้มทีละส่วนทีละส่วน

ระบบการสั่นด้วยตนเองของกลไกนั้นแพร่หลายในชีวิตรอบตัวเราและในเทคโนโลยี การสั่นในตัวเองทำได้โดยเครื่องยนต์ไอน้ำ, เครื่องยนต์สันดาปภายใน, กระดิ่งไฟฟ้า, เครื่องสายเครื่องดนตรีที่โค้งคำนับ, เสาลมในท่อของเครื่องลม, สายเสียงเมื่อพูดหรือร้องเพลง ฯลฯ

ระบบการสั่นที่แท้จริงทั้งหมดนั้นกระจายตัว พลังงานของการสั่นทางกลของระบบถูกใช้ไปกับการทำงานกับแรงเสียดทานตลอดเวลา ดังนั้น การแกว่งตามธรรมชาติมักจะชื้น - แอมพลิจูดของมันจะค่อยๆ ลดลง การสูญเสียพลังงานยังเกิดขึ้นในระหว่างการเสียรูปของร่างกาย เนื่องจากไม่มีวัตถุที่ยืดหยุ่นได้อย่างสมบูรณ์ และการเสียรูปของวัตถุที่ไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์นั้นมาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงบางส่วนของพลังงานกลเป็นพลังงานของการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนที่วุ่นวายของอนุภาคของวัตถุเหล่านี้

ในหลายกรณี ในการประมาณครั้งแรก สันนิษฐานได้ว่าที่ความเร็วต่ำ แรงที่ทำให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลจะแปรผันตามความเร็ว เราจะเรียกแรงเหล่านี้โดยไม่คำนึงถึงแหล่งกำเนิด แรงเสียดทาน หรือความต้านทาน และคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้: โดยที่ r คือสัมประสิทธิ์การลากของตัวกลาง คือ ความเร็วของวัตถุ เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าแรงเสียดทานมักจะมุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของร่างกาย

ให้เราเขียนสมการกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการสั่นเป็นเส้นตรงของลูกตุ้มสปริง

ในที่นี้ m คือมวลของน้ำหนักบรรทุก k คือความฝืดของสปริง คือการฉายภาพความเร็วบนแกน OX คือการฉายภาพของการเร่งความเร็วบนแกน OX ให้เราหารสมการทั้งสองข้าง (13) ด้วยมวล m แล้วเขียนใหม่เป็น:

. (14)

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:

, (15)

. (16)

เรียกมันว่าค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง และก่อนหน้านี้เราเรียกมันว่าความถี่วัฏจักรธรรมชาติ โดยคำนึงถึงสัญกรณ์ที่แนะนำ (15 และ 16) สมการ (14) จะถูกเขียน

. (17)

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการสั่นแบบแดมเปอร์ไม่ว่าธรรมชาติใดๆ รูปแบบของการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองนี้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างค่า - ความถี่ธรรมชาติของการสั่นแบบไม่แดมป์และค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง

หากแรงเสียดทานสูงมาก (ในกรณีนี้คือ ) ระบบที่นำออกจากตำแหน่งสมดุลจะกลับสู่สภาพเดิมโดยไม่สั่น (“คืบคลาน”) การเคลื่อนไหวดังกล่าว (เส้นโค้ง 2 ในรูปที่ 3) เรียกว่า aperiodic

หากในช่วงเริ่มต้น ระบบที่มีแรงเสียดทานสูงอยู่ในตำแหน่งสมดุลและมีการรายงานความเร็วเริ่มต้นบางส่วน ระบบถึงค่าเบี่ยงเบนสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล หยุดและหลังจากนั้นการกระจัดจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (รูปที่ 4) ).

รูปที่ 3 รูปที่ 4

หากระบบถูกนำออกจากตำแหน่งสมดุลภายใต้สภาวะและปล่อยโดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น ระบบก็จะไม่ผ่านตำแหน่งสมดุลเช่นกัน แต่ในกรณีนี้ เวลาของการปฏิบัติจริงกลับกลายเป็นว่าน้อยกว่าในกรณีของแรงเสียดทานสูง (เส้นโค้ง 1 ในรูปที่ 3) โหมดนี้เรียกว่าวิกฤตและมีจุดมุ่งหมายเมื่อใช้เครื่องมือวัดต่างๆ (เพื่อการอ่านค่าที่เร็วที่สุด)

ที่แรงเสียดทานต่ำ (ในกรณีนี้ ) การเคลื่อนที่เป็นแบบแกว่ง (รูปที่ 5) และคำตอบของสมการ (17) มีรูปแบบดังนี้

(19)

อธิบายการเปลี่ยนแปลง แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์กับเวลา. แอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์จะลดลงตามเวลา (รูปที่ 5) และยิ่งเร็ว ค่าสัมประสิทธิ์การลากยิ่งมากขึ้นและมวลของตัวสั่นยิ่งน้อยลง นั่นคือ ความเฉื่อยของระบบยิ่งต่ำลง

รูปที่ 5

มูลค่า

เรียกว่าความถี่วัฏจักรของการสั่นแบบแดมเปอร์ การสั่นแบบแดมเปอร์เป็นการแกว่งแบบไม่เป็นระยะ เนื่องจากไม่มีการสั่นซ้ำ เช่น ค่าสูงสุดของการกระจัด ความเร็ว และความเร่ง ดังนั้นจึงสามารถเรียกได้ว่าความถี่ตามเงื่อนไขเท่านั้นในแง่ที่แสดงว่าระบบสั่นผ่านตำแหน่งสมดุลกี่ครั้งต่อวินาที ด้วยเหตุผลเดียวกัน ค่า

(21)

เรียกได้ว่า ระยะเวลาตามเงื่อนไขของการสั่นแบบหน่วง.

เพื่ออธิบายลักษณะการลดทอน เราแนะนำปริมาณต่อไปนี้:

การลดการสั่นสะเทือนแบบลอการิทึม

เวลาพักผ่อน

ปัจจัย Q

อัตราส่วนของออฟเซ็ตสองอันติดต่อกันที่คั่นด้วยช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่า ลดการสั่นสะเทือน.

การลดการสั่นสะเทือนแบบลอการิทึมเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติของอัตราส่วนของค่าแอมพลิจูดของการสั่นแบบแดมเปอร์ ณ เวลา t และ t + T (ลอการิทึมธรรมชาติคืออัตราส่วนของการกระจัดสองตัวที่ต่อเนื่องกันโดยคั่นด้วยเวลาหนึ่งช่วง):

ตั้งแต่ และ จากนั้น .

เราใช้สูตรสำหรับการพึ่งพาแอมพลิจูดตรงเวลา (19) และรับ

ให้เราหาความหมายทางกายภาพของปริมาณและ ให้เราแสดงช่วงเวลาที่แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงลดลงด้วยปัจจัยของ e และเรียกมันว่า เวลาพักผ่อน. แล้ว . ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น

ลดแรงสั่นสะเทือน

การสั่นของลูกตุ้มสปริง

ลดแรงสั่นสะเทือน- ความผันผวนพลังงานที่ลดลงตามเวลา กระบวนการต่อเนื่องอย่างไม่สิ้นสุดของสปีชีส์เป็นไปไม่ได้ในธรรมชาติ การสั่นอิสระของออสซิลเลเตอร์ใด ๆ ไม่ช้าก็เร็วจางและหยุด ดังนั้น ในทางปฏิบัติ มักเกี่ยวข้องกับการสั่นแบบแดมเปอร์ มีลักษณะโดยความจริงที่ว่าแอมพลิจูดของการแกว่ง อาเป็นฟังก์ชันที่ลดลง โดยทั่วไป การทำให้หมาด ๆ เกิดขึ้นภายใต้การกระทำของแรงต้านทานของตัวกลาง ซึ่งส่วนใหญ่มักแสดงเป็นเส้นตรงขึ้นอยู่กับความเร็วของการแกว่งหรือกำลังสองของมัน

ในเสียง: การลดทอน - ลดระดับสัญญาณเพื่อให้ไม่ได้ยินอย่างสมบูรณ์

การสั่นของลูกตุ้มสปริง

ให้มีระบบที่ประกอบด้วยสปริง (เชื่อฟังกฎของฮุค) ปลายด้านหนึ่งยึดไว้อย่างแน่นหนา และอีกด้านหนึ่งมีมวลสาร ม. การสั่นเกิดขึ้นในตัวกลางที่แรงต้านทานเป็นสัดส่วนกับความเร็วด้วยค่าสัมประสิทธิ์ ค(ดู แรงเสียดทานหนืด).

รากซึ่งคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้

โซลูชั่น

โซลูชันแบ่งออกเป็นสามตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์การลดทอน

• ความไม่สม่ำเสมอ

ถ้า มีรากจริงสองราก และคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์จะอยู่ในรูปแบบ:

ในกรณีนี้ การแกว่งจะสลายตัวแบบทวีคูณตั้งแต่เริ่มต้น

• ขอบเขตความแปรปรวน

ถ้า , รากจริงทั้งสองเท่ากัน และคำตอบของสมการคือ:

ในกรณีนี้ อาจมีการเพิ่มขึ้นชั่วคราว แต่หลังจากนั้นจะมีการลดลงแบบทวีคูณ

• การลดทอนที่อ่อนแอ

ถ้า ดังนั้นคำตอบของสมการคุณลักษณะคือรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก

แล้วคำตอบของสมการอนุพันธ์เดิมคือ

ความถี่ธรรมชาติของการสั่นแบบแดมเปอร์อยู่ที่ไหน

ค่าคงที่และในแต่ละกรณีถูกกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น:

ดูสิ่งนี้ด้วย

• การลดการสั่นสะเทือน

วรรณกรรม

Lit.: Saveliev I. V. , หลักสูตรฟิสิกส์ทั่วไป: กลศาสตร์, 2001

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "Damped Oscillations" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ลดแรงสั่นสะเทือน- การสั่นสะเทือนแบบแดมป์ DAMING OSCILLATIONS การสั่นสะเทือนที่มีแอมพลิจูด A ลดลงเมื่อเวลาผ่านไปเนื่องจากการสูญเสียพลังงาน: การแปลงพลังงานการสั่นสะเทือนเป็นความร้อนอันเป็นผลมาจากแรงเสียดทานในระบบกลไก (เช่นที่จุดระงับ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

การแกว่งตามธรรมชาติ แอมพลิจูด A ซึ่งลดลงตามเวลา t ตามกฎเลขชี้กำลัง А(t) = Аоexp (?t) (? ดัชนีการหน่วงเนื่องจากการกระจายพลังงานเนื่องจากแรงเสียดทานความหนืดสำหรับการสั่นแบบหน่วงทางกลและโอห์มมิก ... . .. พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

ความผันผวน แอมพลิจูดที่ค่อยๆ ลดลง เป็นต้น การสั่นของลูกตุ้มรับแรงต้านของอากาศและแรงเสียดทานในระบบกันสะเทือน การสั่นสะเทือนอิสระทั้งหมดที่เกิดขึ้นในธรรมชาตินั้น Z. K. Electric Z. K. ... ... Marine Dictionary ในระดับมากหรือน้อย

การสั่นสะเทือนที่ชื้น- ความผันผวนทางกลที่มีค่าของช่วงของพิกัดทั่วไปหรืออนุพันธ์ของเวลาลดลงตามเวลา [รวบรวมคำศัพท์ที่แนะนำ ปัญหา 106. การสั่นสะเทือนทางกล สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งสหภาพโซเวียต คณะกรรมการวิทยาศาสตร์และเทคนิค ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ลดแรงสั่นสะเทือน- (VIBRATION) ความผันผวน (การสั่นสะเทือน) โดยมีค่าพีคทูพีคลดลง… สารานุกรมคุ้มครองแรงงานรัสเซีย

การสั่นตามธรรมชาติของระบบ แอมพลิจูด A ซึ่งลดลงตามเวลา t ตามกฎเลขชี้กำลัง A(t) = A0exp(?α t) (ดัชนีการทำให้หมาด ๆ ของค่า α) อันเนื่องมาจากการกระจายพลังงานเนื่องจากแรงเสียดทานแบบหนืดสำหรับการสั่นแบบหน่วงทางกลและ โอมมิค ...... พจนานุกรมสารานุกรม

ลดแรงสั่นสะเทือน- 31. Damped oscillations การแกว่งด้วยค่าแอมพลิจูดที่ลดลง ที่มา ... หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของข้อกำหนดของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

การแกว่งตามธรรมชาติของระบบ แอมพลิจูด A k ryh ลดลงตามเวลา t ตามกฎเลขชี้กำลัง A (t) = Aoeexp (at) (ดัชนีการทำให้หมาด ๆ ) เนื่องจากการกระจายพลังงานเนื่องจากแรงเสียดทานหนืดสำหรับกลไก 3. ถึง. และความต้านทานโอห์มมิกสำหรับเอล ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

การสั่นสะเทือนที่ชื้น- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: แองเกิล vok การสั่นแบบแดมเปอร์ gedämpfte Schwingung, f rus. การสั่นแบบแดมเปอร์, n pranc ค่าเผื่อความผันผวน f; oscillations décroissantes, f … Automatikos ปลายทาง žodynas

การสั่นสะเทือนที่ชื้น- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: แองเกิล การสั่นสะเทือนแบบหน่วง; การสั่นสะเทือนแบบแดมเปอร์; การสั่นที่กำลังจะตาย vok abklingende Schwingungen, ฉ; gedämpfte Schwingungen, f rus. การสั่นแบบแดมเปอร์, n pranc ออสซิลเลชัน amorties, f … Fizikos terminų žodynas