การฉายจุดบนระนาบสามระนาบของมุมพิกัดเริ่มต้นด้วยการได้รับภาพบนระนาบ H - ระนาบแนวนอนของการฉายภาพ ในการทำเช่นนี้ผ่านจุด A (รูปที่ 4.12, a) ลำแสงที่ฉายจะถูกวาดในแนวตั้งฉากกับระนาบ H

ในรูป ตั้งฉากกับระนาบ H ขนานกับแกนออนซ์ จุดตัดของลำแสงกับระนาบ H (จุด a) ถูกเลือกโดยพลการ ส่วน Aa กำหนดว่าจุด A อยู่ห่างจากระนาบ H มากน้อยเพียงใด ดังนั้น จึงระบุตำแหน่งของจุด A ในรูปอย่างชัดเจนเมื่อเทียบกับระนาบการฉายภาพ จุด a คือการฉายภาพสี่เหลี่ยมผืนผ้าของจุด A บนระนาบ H และเรียกว่าการฉายภาพแนวนอนของจุด A (รูปที่ 4.12, a)

เพื่อให้ได้ภาพของจุด A บนระนาบ V (รูปที่ 4.12, b) ลำแสงที่ฉายจะถูกวาดผ่านจุด A ที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพด้านหน้า V ในรูปนี้ เส้นตั้งฉากกับระนาบ V ขนานกับ Oy แกน. บนระนาบ H ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ V จะแสดงด้วยส่วน aa x ซึ่งขนานกับแกน Oy และตั้งฉากกับแกน Ox หากเราจินตนาการว่าลำแสงที่ฉายและภาพของมันถูกดำเนินการพร้อมกันในทิศทางของระนาบ V จากนั้นเมื่อภาพของลำแสงตัดกับแกน Ox ที่จุด a x ลำแสงจะตัดระนาบ V ที่จุด a การวาด จากจุด a x ในระนาบ V ที่ตั้งฉากกับแกน Ox ซึ่งเป็นภาพของลำแสงที่ฉาย Aa บนระนาบ V จะได้จุด a ที่จุดตัดกับลำแสงที่ฉาย จุด a "คือการฉายภาพด้านหน้าของจุด A นั่นคือภาพบนระนาบ V

ภาพของจุด A บนระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครง (รูปที่ 4.12, c) สร้างขึ้นโดยใช้ลำแสงฉายที่ตั้งฉากกับระนาบ W ในรูป ตั้งฉากกับระนาบ W ขนานกับแกนวัว ลำแสงที่ฉายจากจุด A ไปยังระนาบ W บนระนาบ H จะแสดงด้วยส่วน aa y ซึ่งขนานกับแกน Ox และตั้งฉากกับแกน Oy จากจุด Oy ขนานกับแกน Oz และตั้งฉากกับแกน Oy ภาพของลำแสงที่ฉาย aA จะถูกสร้างขึ้นและที่จุดตัดกับลำแสงที่ฉาย จะได้จุด a จุด a "คือเส้นโครงโปรไฟล์ของ จุด A คือภาพของจุด A บนระนาบ W

จุด a "สามารถสร้างได้โดยการวาดจากจุด a" ส่วน a "az (ภาพของลำแสงฉาย Aa" บนระนาบ V) ขนานกับแกน Ox และจากจุด a z - ส่วน a "a z ขนานกับแกน Oy จนตัดกับคานที่ยื่นออกมา

หลังจากได้รับการฉายภาพของจุด A สามครั้งบนระนาบการฉายภาพแล้ว มุมพิกัดจะถูกปรับใช้ในระนาบเดียว ดังแสดงในรูปที่ 4.11, b, ร่วมกับการฉายของจุด A และรังสีฉาย และจุด A และรังสีฉาย Aa, Aa "และ Aa" จะถูกลบออก ขอบของระนาบการฉายภาพรวมกันไม่ได้ดำเนินการ แต่จะทำเฉพาะแกนฉาย Oz, Oy และ Ox, Oy 1 (รูปที่ 4.13)

การวิเคราะห์การวาดภาพมุมฉากของจุดหนึ่งแสดงให้เห็นว่าระยะทางสามระยะ - Aa", Aa และ Aa" (รูปที่ 4.12, c) กำหนดลักษณะของตำแหน่งของจุด A ในอวกาศได้โดยการละทิ้งวัตถุฉายภาพ - จุด A บนมุมพิกัดที่ใช้ในระนาบเดียว (รูปที่ 4.13) ส่วน a "a z, aa y และ Oa x เท่ากับ Aa" เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (รูปที่ 4.12, c และ 4.13) พวกเขากำหนดระยะทางที่จุด A อยู่ห่างจากระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครง ส่วน a "a x, a" a y1 และ Oa y เท่ากับส่วน Aa, กำหนดระยะทางจากจุด A ถึงระนาบแนวนอนของเส้นโครง, ส่วน aa x, a "a z และ Oa y 1 เท่ากับส่วน Aa" ซึ่ง กำหนดระยะทางจากจุด A ถึงระนาบการฉายภาพด้านหน้า

ส่วน Oa x, Oa y และ Oa z ที่อยู่บนแกนการฉายเป็นภาพที่แสดงขนาดของพิกัด X, Y และ Z ของจุด A พิกัดของจุดจะแสดงด้วยดัชนีของตัวอักษรที่เกี่ยวข้อง ด้วยการวัดขนาดของส่วนเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศได้ เช่น ตั้งค่าพิกัดของจุด

ในแผนภาพ ส่วน a "a x และ aa x ถูกจัดเรียงเป็นเส้นเดียวที่ตั้งฉากกับแกน Ox และส่วน a" a z และ a "a z - ไปยังแกน Oz เส้นเหล่านี้เรียกว่าเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ พวกเขาตัดกัน แกนการฉายที่จุด a x และ และ z ตามลำดับเส้นของการเชื่อมต่อการฉายที่เชื่อมต่อการฉายภาพแนวนอนของจุด A กับโปรไฟล์หนึ่งกลายเป็น "ตัด" ที่จุด a

การฉายภาพสองภาพในจุดเดียวกันจะอยู่บนเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพเดียวกันเสมอในแนวตั้งฉากกับแกนการฉายภาพ

ในการแสดงตำแหน่งของจุดในอวกาศ เส้นโครงสองเส้นและจุดกำเนิดที่กำหนด (จุด O) ก็เพียงพอแล้ว 4.14, b, สองเส้นโครงของจุดกำหนดตำแหน่งของมันในอวกาศได้อย่างสมบูรณ์ การใช้เส้นโครงทั้งสองนี้ คุณสามารถสร้างเส้นโครงโปรไฟล์ของจุด A ได้ ดังนั้น ในอนาคต หากไม่จำเป็นต้องใช้โครงร่างโครงร่าง ไดอะแกรมจะเป็น สร้างขึ้นบนระนาบการฉายภาพสองระนาบ: V และ H.

ข้าว. 4.14. ข้าว. 4.15.

ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของการสร้างและอ่านภาพวาดของจุด

ตัวอย่างที่ 1การกำหนดพิกัดของจุด J ที่ระบุในแผนภาพโดยการฉายภาพสองครั้ง (รูปที่ 4.14) มีการวัดสามส่วน: ส่วน Ov X (พิกัด X), ส่วน b X b (พิกัด Y) และส่วน b X b "(พิกัด Z) พิกัดเขียนตามลำดับต่อไปนี้: X, Y และ Z หลังจากกำหนดตัวอักษร ของจุด เช่น B20; 30; 15.

ตัวอย่างที่ 2. สร้างจุดตามพิกัดที่กำหนด จุด C กำหนดโดยพิกัด C30; 10; 40. บนแกน Ox (รูปที่ 4.15) ค้นหาจุดที่มี x ซึ่งเส้นของการเชื่อมต่อการฉายตัดกับแกนการฉาย ในการทำเช่นนี้ พิกัด X (ขนาด 30) จะถูกลงจุดตามแกน Ox จากจุดกำเนิด (จุด O) และได้รับจุดที่มี x ผ่านจุดนี้ซึ่งตั้งฉากกับแกน Ox มีการวาดเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพและวางพิกัด Y จากจุด (ขนาด 10) จุด c ได้ - เส้นโครงแนวนอนของจุด C พิกัด Z (ขนาด 40) ถูกพล็อตขึ้นจากจุด c x ตามแนวเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ (ขนาด 40) จุดที่ได้รับ c" - การฉายภาพด้านหน้าของจุด C

ตัวอย่างที่ 3. การสร้างเส้นโครงของจุดตามเส้นโครงที่กำหนด มีการตั้งค่าเส้นโครงของจุด D - d และ d ผ่านจุด O แกนการฉายภาพ Oz, Oy และ Oy 1 จะถูกวาด (รูปที่ 4.16, a) ไปทางขวาหลังแกน Oz เส้นโครงของจุด D จะอยู่ในเส้นนี้ซึ่งจะอยู่ห่างจากแกน Oz เท่ากับเส้นโครงแนวนอนของจุด d: จากแกน Ox เช่น ที่ระยะ dd x ส่วน d z d "และ dd x เหมือนกันเนื่องจากกำหนดระยะทางเดียวกัน - ระยะทางจากจุด D ถึงระนาบการฉายภาพด้านหน้า ระยะนี้คือพิกัด Y ของจุด D

แบบกราฟิก ส่วน d z d "ถูกสร้างขึ้นโดยการถ่ายโอนส่วน dd x จากระนาบแนวนอนของการฉายภาพไปยังโปรไฟล์หนึ่ง ในการทำเช่นนี้ให้ลากเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพขนานกับแกน Ox รับจุด d y บนแกน Oy ( รูปที่ 4.16, b) จากนั้นย้ายขนาดของส่วน Od y ไปยังแกน Oy 1 วาดจากจุด O ส่วนโค้งที่มีรัศมีเท่ากับส่วน Od y จนกว่าจะตัดกับแกน Oy 1 (รูปที่ 4.16, b) รับจุด dy 1 จุดนี้สามารถสร้างได้เช่นกัน ดังแสดงในรูปที่ 4.16, c โดยวาดเส้นตรงทำมุม 45° กับแกน Oy จากจุด d y จากจุด d y1 วาดเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพขนานกับแกน Oz และวางส่วนที่เท่ากับส่วน d "d x รับจุด d"

การถ่ายโอนค่าของส่วน d x d ไปยังระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครงทำได้โดยใช้การวาดเส้นตรงคงที่ (รูปที่ 4.16, d) ในกรณีนี้ เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ dd y ถูกลากผ่านเส้นโครงแนวนอนของจุดที่ขนานกับแกน Oy 1 จนกระทั่งตัดกับเส้นตรงคงที่ แล้วขนานกับแกน Oy จนกระทั่งตัดกับความต่อเนื่องของการฉายภาพ สายเชื่อมต่อ d "d z.

กรณีเฉพาะของตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ

ตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายถูกกำหนดโดยพิกัดที่สอดคล้องกัน เช่น ค่าของส่วนของเส้นเชื่อมต่อการฉายจากแกน Ox ไปยังการฉายที่สอดคล้องกัน บนมะเดื่อ 4.17 พิกัด Y ของจุด A ถูกกำหนดโดยส่วน aa x - ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ V พิกัด Z ของจุด A ถูกกำหนดโดยส่วน a "a x - ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ H ถ้ามี ของพิกัดเป็นศูนย์ แล้วจุดนั้นอยู่บนระนาบการฉาย รูปที่ 4.17 แสดงตัวอย่างตำแหน่งต่างๆ ของจุดเทียบกับระนาบการฉาย พิกัด Z ของจุด B เป็นศูนย์ จุดนั้นอยู่ในระนาบ H การฉายภาพด้านหน้า อยู่บนแกน Ox และตรงกับจุด b x พิกัด Y ของจุด C เป็นศูนย์ จุดตั้งอยู่บนระนาบ V เส้นโครงแนวนอน c อยู่บนแกน x และตรงกับจุด c x

ดังนั้น หากจุดหนึ่งอยู่บนระนาบการฉาย การฉายภาพหนึ่งของจุดนี้จะอยู่บนแกนการฉายภาพ

บนมะเดื่อ 4.17 พิกัด Z และ Y ของจุด D เป็นศูนย์ ดังนั้น จุด D จึงอยู่บนแกนฉาย Ox และเส้นโครงทั้งสองตรงกัน

จุดในอวกาศถูกกำหนดโดยสองเส้นโครงของมัน หากจำเป็นต้องสร้างการฉายภาพที่สามตามสองภาพที่กำหนด จำเป็นต้องใช้ความสอดคล้องกันของส่วนของเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพที่ได้รับเมื่อกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบการฉายภาพ (ดูรูปที่ 2.27 และรูปที่ 2.28).

ตัวอย่างของการแก้ปัญหาใน I octant

ให้ A 1 ; เอ 2	สร้าง A 3
ให้ A 2 ; 3	สร้าง A 1
ให้ A 1 ; 3	สร้าง A 2

พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการสร้างจุด A (ตารางที่ 2.5)

ตารางที่ 2.5

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างจุด A
ตามพิกัดที่กำหนด A ( x = 5, ย = 20, ซี = -9)

ในบทต่อไปนี้เราจะพิจารณารูปภาพ: เส้นตรงและระนาบเฉพาะในไตรมาสแรก แม้ว่าวิธีการทั้งหมดที่กำลังพิจารณาจะสามารถนำมาใช้ในไตรมาสใดก็ได้

ผลการวิจัย

ดังนั้นตามทฤษฎีของ G. Monge จึงเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนภาพเชิงพื้นที่ของภาพ (จุด) เป็นภาพระนาบ

ทฤษฎีนี้ขึ้นอยู่กับประเด็นต่อไปนี้:

1. พื้นที่ทั้งหมดแบ่งออกเป็น 4 ส่วนโดยใช้ระนาบตั้งฉากกันสองระนาบ p 1 และ p 2 หรือเป็น 8 octant โดยการเพิ่มระนาบตั้งฉากที่สามร่วมกัน p 3 .

2. ภาพของภาพเชิงพื้นที่บนระนาบเหล่านี้ได้มาจากการฉายภาพสี่เหลี่ยม (มุมฉาก)

3. ในการแปลงภาพเชิงพื้นที่เป็นภาพระนาบ ให้ถือว่าระนาบ p 2 อยู่กับที่ และระนาบ p 1 หมุนรอบแกน xเพื่อให้ครึ่งระนาบบวก p 1 ตรงกับครึ่งระนาบลบ p 2 ส่วนลบของ p 1 ตรงกับส่วนบวก p 2 .

4. ระนาบ p 3 หมุนรอบแกน ซี(เส้นตัดกันของระนาบ) จนชิดระนาบ p 2 (ดูรูปที่ 2.31)

ภาพที่ได้บนระนาบ p 1 , p 2 และ p 3 ที่มีการฉายภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่าการฉายภาพ

ระนาบ p 1 , p 2 และ p 3 พร้อมกับเส้นโครงที่ปรากฎบนนั้นจะสร้างรูปวาดหรือไดอะแกรมที่ซับซ้อนระนาบ

เส้นที่เชื่อมต่อเส้นโครงของภาพ ^ กับแกน x, ย, ซีเรียกว่าเส้นฉาย

สำหรับคำจำกัดความของภาพในอวกาศที่แม่นยำยิ่งขึ้น สามารถใช้ระบบระนาบตั้งฉากร่วมกันสามระนาบ p 1 , p 2 , p 3 ได้

ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา คุณสามารถเลือกระบบสำหรับรูปภาพ p 1 , p 2 หรือ p 1 , p 2 , p 3

ระบบของระนาบ p 1 , p 2 , p 3 สามารถเชื่อมต่อกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งทำให้สามารถระบุวัตถุได้ไม่เพียง แต่เป็นภาพกราฟิกหรือ (ด้วยวาจา) แต่ยังรวมถึงการวิเคราะห์ (โดยใช้ตัวเลข)

วิธีการพรรณนาภาพเฉพาะจุดเช่นนี้ทำให้สามารถแก้ปัญหาตำแหน่งต่างๆ ได้ เช่น:

• ตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ (ตำแหน่งทั่วไป, เป็นของระนาบ, แกน);
• ตำแหน่งของจุดในไตรมาส (ไตรมาสที่จุดนั้นตั้งอยู่);
• ตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กัน (สูงกว่า ต่ำกว่า ใกล้กว่า ไกลกว่าเมื่อเทียบกับระนาบของเส้นโครงและตัวแสดง)
• ตำแหน่งของเส้นโครงจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉาย (ระยะเท่ากัน ใกล้กว่า ไกลกว่า)

งานเมตริก:

• ระยะเท่ากันของการฉายภาพจากระนาบการฉาย
• อัตราส่วนของการลบการฉายออกจากระนาบการฉาย (2–3 ครั้ง, มากกว่า, น้อยกว่า);
• การกำหนดระยะห่างของจุดหนึ่งจากระนาบการฉาย (เมื่อแนะนำระบบพิกัด)

คำถามสำหรับวิปัสสนา

1. เส้นตัดกันของระนาบที่เป็นแกน ซี?

2. เส้นตัดกันของระนาบที่เป็นแกน ย?

3. เส้นการฉายภาพของการฉายภาพด้านหน้าและการฉายภาพของจุดนั้นตั้งอยู่อย่างไร? แสดง.

4. พิกัดใดที่กำหนดตำแหน่งของเส้นโครงจุด: แนวนอน, หน้าผาก, โปรไฟล์?

5. จุด F (10; -40; -20) อยู่ในไตรมาสใด จุด F อยู่ไกลที่สุดจากระนาบการฉายภาพใด

6. ระยะทางจากการฉายภาพไปยังแกนใดกำหนดระยะห่างของจุดจากระนาบ p 1 ? ระยะทางนี้พิกัดของจุดคืออะไร?

พิจารณาการคาดคะเนของจุดบนระนาบสองระนาบซึ่งเราใช้ระนาบตั้งฉากสองระนาบ (รูปที่ 4) ซึ่งเราจะเรียกว่าแนวหน้าและระนาบแนวนอน เส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้เรียกว่าแกนฉาย เราฉายจุด A หนึ่งจุดบนระนาบที่พิจารณาโดยใช้เส้นโครงแบบแบน ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องลดเส้นตั้งฉาก Aa และ A จากจุดที่กำหนดลงบนระนาบที่พิจารณา

การฉายภาพบนระนาบแนวนอนเรียกว่า มุมมองแผนคะแนน และและการฉายภาพ เอ?บนระนาบด้านหน้าเรียกว่า การฉายภาพด้านหน้า.

จุดที่จะฉายในเรขาคณิตเชิงพรรณนามักจะแสดงโดยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ เอ บี ซี. ตัวอักษรขนาดเล็กใช้เพื่อกำหนดเส้นโครงของจุดในแนวนอน ก, ข, ค... การฉายภาพด้านหน้าจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็กโดยมีเส้นขีดด้านบน ก?, ข?, ค?…

นอกจากนี้ยังใช้การกำหนดจุดด้วยเลขโรมัน I, II, ... และสำหรับการคาดคะเน - ด้วยเลขอารบิก 1, 2 ... และ 1?, 2? ...

เมื่อระนาบแนวนอนหมุน 90° จะได้ภาพวาดที่ระนาบทั้งสองอยู่ในระนาบเดียวกัน (รูปที่ 5) ภาพนี้มีชื่อว่า พล็อตจุด.

ผ่านเส้นตั้งฉาก อาและ อา?วาดระนาบ (รูปที่ 4) ระนาบผลลัพธ์จะตั้งฉากกับระนาบด้านหน้าและแนวนอน เนื่องจากมีระนาบตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้ ดังนั้นระนาบนี้จึงตั้งฉากกับเส้นตัดกันของระนาบ เส้นตรงที่เกิดขึ้นจะตัดกับระนาบแนวนอนเป็นเส้นตรง อ่า x และระนาบด้านหน้า - เป็นเส้นตรง ฮะ?เอ็กซ์ ตรงอาและ ฮะ? x ตั้งฉากกับแกนตัดกันของระนาบ นั่นคือ อ๊าาา?เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อรวมระนาบการฉายภาพแนวนอนและด้านหน้าเข้าด้วยกัน กและ เอ?จะอยู่บนหนึ่งในแนวตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบ เนื่องจากเมื่อระนาบแนวนอนหมุน การตั้งฉากของส่วน อ่า x และ ฮะ? x ไม่หัก

เราได้สิ่งนั้นจากแผนภาพการฉายภาพ กและ เอ?บางจุด และเสมอในแนวตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบ

การฉายภาพสองแบบ a และ เอ?ของบางจุด A สามารถระบุตำแหน่งของมันในอวกาศได้โดยไม่ซ้ำกัน (รูปที่ 4) สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อสร้างเส้นตั้งฉากจากการฉายภาพ a ไปยังระนาบแนวนอน มันจะผ่านจุด A ในทำนองเดียวกัน เส้นตั้งฉากจากการฉายภาพ เอ?ไปยังระนาบด้านหน้าจะผ่านจุด และเช่น จุด และอยู่บนเส้นแน่นอนสองเส้นในเวลาเดียวกัน จุด A คือจุดตัดกัน นั่นคือ เป็นที่แน่นอน

พิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า อ้าเอ็กซ์ เอ?(รูปที่ 5) ซึ่งข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ระยะทางจุด และจากระนาบด้านหน้าเท่ากับระยะทางของการฉายภาพในแนวนอน a จากแกนตัดกันของระนาบนั่นคือ

อา? = อ่า X;

2) ระยะทางจุด และจากระนาบแนวนอนของการฉายภาพเท่ากับระยะทางของการฉายภาพด้านหน้า เอ?จากแกนตัดกันของระนาบ เช่น

อา = ฮะ?เอ็กซ์

กล่าวอีกนัยหนึ่งแม้ว่าจะไม่มีจุดบนโครงเรื่อง แต่ใช้เพียงสองเส้นโครงของมัน คุณก็สามารถทราบได้ว่าจุดนี้อยู่ห่างจากระนาบการฉายภาพแต่ละจุดเท่าใด

จุดตัดของระนาบการฉายภาพสองระนาบจะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่ส่วนซึ่งเรียกว่า ไตรมาส(รูปที่ 6)

แกนของจุดตัดของระนาบจะแบ่งระนาบแนวนอนออกเป็นสองส่วน - ด้านหน้าและด้านหลัง และระนาบด้านหน้า - ออกเป็นส่วนบนและส่วนล่าง ส่วนบนของระนาบหน้าและส่วนหน้าของระนาบแนวนอนถือเป็นขอบเขตของไตรมาสแรก

เมื่อได้รับไดอะแกรม ระนาบแนวนอนจะหมุนและตรงกับระนาบด้านหน้า (รูปที่ 7) ในกรณีนี้ ด้านหน้าของระนาบแนวนอนจะตรงกับด้านล่างของระนาบหน้าผาก และด้านหลังของระนาบแนวนอนตรงกับด้านบนของระนาบหน้าผาก

รูปที่ 8-11 แสดงจุด A, B, C, D ซึ่งอยู่ในส่วนต่างๆ ของพื้นที่ จุด A อยู่ในควอเตอร์แรก จุด B อยู่ในตำแหน่งที่สอง จุด C อยู่ในตำแหน่งที่สาม และจุด D อยู่ในตำแหน่งที่สี่

เมื่อแต้มอยู่ในควอเตอร์ที่หนึ่งหรือสี่ของพวกเขา การฉายภาพในแนวนอนอยู่ที่ด้านหน้าของระนาบแนวนอน และบนแผนภาพ พวกมันจะอยู่ด้านล่างแกนตัดกันของระนาบ เมื่อจุดตั้งอยู่ในไตรมาสที่สองหรือสาม เส้นโครงในแนวนอนจะอยู่ที่ด้านหลังของระนาบแนวนอน และบนแผนภาพ จุดนั้นจะอยู่เหนือแกนตัดกันของระนาบ

การฉายภาพด้านหน้าจุดที่ตั้งอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งหรือสองจะอยู่ที่ส่วนบนของระนาบส่วนหน้าและในแผนภาพจะอยู่เหนือแกนตัดกันของระนาบ เมื่อจุดตั้งอยู่ในไตรมาสที่สามหรือสี่ เส้นโครงด้านหน้าจะอยู่ต่ำกว่าแกนตัดกันของระนาบ

บ่อยครั้งในการก่อสร้างจริง ตัวเลขจะถูกวางไว้ในไตรมาสแรกของพื้นที่

ในบางกรณี จุด ( อี) อาจวางอยู่บนระนาบแนวนอน (รูปที่ 12) ในกรณีนี้ เส้นโครงแนวนอน e และจุดจะตรงกัน การฉายภาพด้านหน้าของจุดดังกล่าวจะอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบ

ในกรณีที่จุดที่ ถึงอยู่บนระนาบหน้าผาก (รูปที่ 13) การฉายภาพในแนวนอน เคอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบและส่วนหน้า เค?แสดงตำแหน่งจริงของจุดนั้น

สำหรับจุดดังกล่าว สัญญาณว่าอยู่บนระนาบการฉายภาพหนึ่งคือเส้นโครงหนึ่งอยู่บนแกนตัดกันของระนาบ

หากจุดอยู่บนแกนตัดกันของระนาบการฉายภาพ จุดนั้นและการฉายภาพทั้งสองจะตรงกัน

เมื่อจุดไม่ได้อยู่บนระนาบการฉาย จะเรียกว่า ตำแหน่งทั่วไป. ในสิ่งต่อไปนี้ หากไม่มีเครื่องหมายพิเศษ จุดที่กำลังพิจารณาคือจุดในตำแหน่งทั่วไป

2. ขาดแกนฉาย

เพื่ออธิบายวิธีการรับแบบจำลองการฉายจุดบนระนาบการฉายภาพตั้งฉาก (รูปที่ 4) จำเป็นต้องใช้กระดาษหนาแผ่นหนึ่งในรูปแบบของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว จะต้องโค้งงอระหว่างการฉายภาพ เส้นพับจะแสดงแกนของจุดตัดของระนาบ หากหลังจากนั้นกระดาษที่โค้งงอยืดออกอีกครั้ง เราจะได้ไดอะแกรมคล้ายกับที่แสดงในรูป

เมื่อรวมระนาบการฉายภาพสองระนาบเข้ากับระนาบการวาด คุณไม่สามารถแสดงเส้นพับได้ นั่นคือ อย่าวาดแกนของจุดตัดของระนาบบนแผนภาพ

เมื่อสร้างแผนภาพคุณควรวางเส้นโครงไว้เสมอ กและ เอ?จุด A บนเส้นแนวตั้งเส้นหนึ่ง (รูปที่ 14) ซึ่งตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบ ดังนั้นแม้ว่าตำแหน่งของแกนของจุดตัดของระนาบจะยังไม่ได้กำหนด แต่ทิศทางจะถูกกำหนด แกนของจุดตัดของระนาบจะต้องตั้งฉากกับเส้นตรงบนแผนภาพเท่านั้น อา?.

หากไม่มีแกนฉายบนไดอะแกรมจุด ดังในรูปแรก 14 a คุณสามารถจินตนาการถึงตำแหน่งของจุดนี้ในอวกาศได้ ในการทำเช่นนี้ให้วาดในตำแหน่งที่ตั้งฉากกับเส้น อา?แกนฉายดังในรูปที่สอง (รูปที่ 14) และงอรูปวาดตามแกนนี้ หากเราคืนค่าตั้งฉากที่จุด กและ เอ?ก่อนที่พวกเขาจะตัดกัน คุณจะได้คะแนน และ. เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งของแกนการฉาย จะได้ตำแหน่งที่แตกต่างกันของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ แต่ความไม่แน่นอนของตำแหน่งของแกนการฉายจะไม่ส่งผลต่อตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดหรือตัวเลขต่างๆ ในอวกาศ

3. การฉายภาพบนระนาบการฉายภาพสามระนาบ

พิจารณาระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครง การฉายภาพบนระนาบตั้งฉากสองระนาบมักจะกำหนดตำแหน่งของตัวเลขและทำให้สามารถหาขนาดและรูปร่างที่แท้จริงได้ แต่มีบางครั้งที่การฉายภาพสองครั้งไม่เพียงพอ จากนั้นใช้การก่อสร้างของการฉายภาพที่สาม

ระนาบการฉายที่สามดำเนินการเพื่อให้ตั้งฉากกับระนาบการฉายทั้งสองในเวลาเดียวกัน (รูปที่ 15) เครื่องบินลำที่สามเรียกว่า ข้อมูลส่วนตัว.

ในโครงสร้างดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นร่วมของระนาบแนวนอนและด้านหน้า แกน เอ็กซ์ , เส้นร่วมของระนาบแนวนอนและโปรไฟล์ - แกน ที่ , และเส้นตรงทั่วไปของระนาบส่วนหน้าและส่วนโครง - แกน ซี . จุด อซึ่งเป็นของระนาบทั้งสามเรียกว่าจุดกำเนิด

รูปที่ 15a แสดงจุด และและสามของประมาณการของมัน การฉายภาพบนระนาบโปรไฟล์ ( เอ??) เรียกว่า ฉายรายละเอียดและแสดงว่า เอ??.

เพื่อให้ได้ไดอะแกรมของจุด A ซึ่งประกอบด้วยสามเส้นโครง ก, กจำเป็นต้องตัดรูปสามเหลี่ยมสามหน้าที่เกิดจากระนาบทั้งหมดตามแกน y (รูปที่ 15b) และรวมระนาบเหล่านี้ทั้งหมดเข้ากับระนาบของการฉายภาพด้านหน้า ระนาบแนวนอนจะต้องหมุนรอบแกน เอ็กซ์และระนาบโปรไฟล์อยู่ใกล้แกน ซีตามทิศทางลูกศรในรูปที่ 15

รูปที่ 16 แสดงตำแหน่งของเส้นโครง อาฮะ?และ เอ??คะแนน และได้มาจากการรวมระนาบทั้งสามเข้ากับระนาบการวาด

ผลจากการตัด แกน y ปรากฏขึ้นบนไดอะแกรมในสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน บนระนาบแนวนอน (รูปที่ 16) จะใช้ตำแหน่งแนวตั้ง (ตั้งฉากกับแกน เอ็กซ์) และบนระนาบโปรไฟล์ - แนวนอน (ตั้งฉากกับแกน ซี).

รูปที่ 16 แสดงการฉายภาพสามภาพ อาฮะ?และ เอ??จุด A มีตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดบนแผนภาพและอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ชัดเจน:

กและ เอ?จะต้องอยู่บนเส้นตรงแนวตั้งหนึ่งเส้นที่ตั้งฉากกับแกนเสมอ เอ็กซ์;

เอ?และ เอ??จะต้องอยู่บนเส้นแนวนอนเดียวกันที่ตั้งฉากกับแกนเสมอ ซี;

3) เมื่อวาดผ่านการฉายภาพในแนวนอนและเส้นแนวนอน แต่ผ่านการฉายภาพ เอ??- เส้นตรงแนวตั้งเส้นที่สร้างขึ้นจะต้องตัดกันบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างแกนฉายเนื่องจากรูป โอที่ ก 0 ก n เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เมื่อสร้างการฉายภาพสามจุด จำเป็นต้องตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขทั้งสามสำหรับแต่ละจุด

4. พิกัดจุด

ตำแหน่งของจุดในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยใช้ตัวเลขสามตัวที่เรียกว่าจุดนั้น พิกัด. แต่ละพิกัดสอดคล้องกับระยะทางของจุดหนึ่งจากระนาบการฉายภาพ

ระยะทางจุด และไปยังระนาบโปรไฟล์คือพิกัด เอ็กซ์ที่ซึ่ง เอ็กซ์ = ฮะ?(รูปที่ 15) ระยะทางไปยังระนาบด้านหน้า - ตามพิกัด y และ y = ฮะ?และระยะทางไปยังระนาบแนวนอนคือพิกัด ซีที่ซึ่ง ซี = เอเอ.

ในรูปที่ 15 จุด A ใช้ความกว้างของกล่องสี่เหลี่ยม และการวัดของกล่องนี้สอดคล้องกับพิกัดของจุดนี้ กล่าวคือ แต่ละพิกัดจะแสดงในรูปที่ 15 สี่ครั้ง นั่นคือ:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = ก x ก? = เอ วาย เอ?.

บนแผนภาพ (รูปที่ 16) พิกัด x และ z เกิดขึ้นสามครั้ง:

x \u003d a za? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = ก x ก? = Oa z = a y a?.

ส่วนทั้งหมดที่สอดคล้องกับพิกัด เอ็กซ์(หรือ ซี) ขนานกัน ประสานงาน ที่แสดงสองครั้งโดยแกนตั้ง:

y \u003d Oa y \u003d ก x ก

และสองครั้ง - ตั้งอยู่ในแนวนอน:

y \u003d Oa y \u003d a za?.

ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากแกน y ปรากฏบนไดอะแกรมในสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน

ควรสังเกตว่าตำแหน่งของการฉายภาพแต่ละครั้งถูกกำหนดในแผนภาพด้วยพิกัดเพียงสองพิกัด ได้แก่ :

1) แนวนอน - พิกัด เอ็กซ์และ ที่,

2) หน้าผาก - พิกัด xและ ซี,

3) โปรไฟล์ - พิกัด ที่และ ซี.

การใช้พิกัด x, ยและ ซีคุณสามารถสร้างเส้นโครงของจุดบนแผนภาพได้

ถ้าจุด A กำหนดโดยพิกัด บันทึกจะถูกกำหนดดังนี้: A ( X; y; ซี).

เมื่อสร้างเส้นโครงจุด และต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) การฉายภาพแนวนอนและด้านหน้า กและ เอ? เอ็กซ์ เอ็กซ์;

2) การฉายภาพด้านหน้าและรายละเอียด เอ?และ เอ?ควรอยู่ในแนวตั้งฉากกับแกนเดียวกัน ซีเนื่องจากมีพิกัดร่วมกัน ซี;

3) การฉายภาพในแนวนอนและนำออกจากแกนด้วย เอ็กซ์เช่น การฉายภาพโปรไฟล์ กห่างจากแกน ซีตั้งแต่ฉายอา? และฮะ? มีพิกัดร่วมกัน ที่.

หากจุดอยู่ในระนาบการฉายใดๆ พิกัดใดพิกัดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์

เมื่อจุดหนึ่งอยู่บนแกนฉาย พิกัดทั้งสองจะเป็นศูนย์

ถ้าจุดอยู่ที่จุดกำเนิด พิกัดทั้งสามจะเป็นศูนย์

พื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นที่ทราบกันดีว่าจำกัดอยู่เพียงรูปทรงแบนๆ ดังนั้น จุดที่กำหนดให้บนพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งเส้นโครงคือ ในกรณีทั่วไป จุดแน่นอน เช่นเดียวกับพื้นผิวของรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ: ทรงกระบอก กรวย ลูกบอล และทอรัส ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวโค้ง

ให้เราตกลงที่จะอธิบายจุดที่มองเห็นได้ซึ่งอยู่บนพื้นผิวของร่างกายเป็นวงกลม จุดที่มองไม่เห็นเป็นวงกลมสีดำ (จุด) เส้นที่มองเห็นจะแสดงเป็นเส้นทึบ และเส้นที่มองไม่เห็นจะแสดงเป็นเส้นประ

ให้การฉายภาพแนวนอน A 1 ของจุด A ซึ่งวางอยู่บนพื้นผิวของปริซึมสามเหลี่ยมตรง (รูปที่ 162, a)

TBegin-->TEnd-->

ดังที่เห็นได้จากรูปวาด ฐานด้านหน้าและด้านหลังของปริซึมขนานกับระนาบการฉายภาพด้านหน้า P 2 และฉายไปยังปริซึมโดยไม่ผิดเพี้ยน ใบหน้าด้านล่างของปริซึมขนานกับระนาบการฉายภาพแนวนอน P 1 และ ยังถูกฉายโดยไม่ผิดเพี้ยนอีกด้วย ขอบด้านข้างของปริซึมเป็นแนวเส้นตรงจากด้านหน้า ดังนั้นพวกมันจึงถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพด้านหน้า P 2 ในรูปของจุด

ตั้งแต่การฉาย A 1 . แสดงเป็นวงกลมแสง จากนั้นจุด A จะมองเห็นได้ ดังนั้น จึงอยู่ทางด้านขวาของปริซึม ใบหน้านี้เป็นระนาบการฉายภาพด้านหน้า และการฉายภาพด้านหน้า A2 ของจุดต้องตรงกับการฉายภาพด้านหน้าของระนาบที่แสดงด้วยเส้นตรง

เมื่อวาดเส้นตรงคงที่ k 123 เราจะพบการฉายภาพที่สาม A 3 ของจุด A เมื่อฉายไปยังระนาบโปรไฟล์ของเส้นโครง จุด A จะมองไม่เห็น ดังนั้นจุด A 3 จึงแสดงเป็นวงกลมสีดำ การระบุจุดด้วยการฉายภาพด้านหน้า B 2 นั้นไม่ได้กำหนด เนื่องจากไม่ได้กำหนดระยะห่างของจุด B จากฐานด้านหน้าของปริซึม

มาสร้างภาพสามมิติของปริซึมและจุด A (รูปที่ 162, b) สะดวกในการเริ่มสร้างจากฐานด้านหน้าของปริซึม เราสร้างรูปสามเหลี่ยมของฐานตามขนาดที่นำมาจากการวาดภาพที่ซับซ้อน ตามแกน y "เรากำหนดขนาดของขอบของปริซึม เราสร้างภาพ axonometric A" ของจุด A โดยใช้เส้นพิกัดที่วงกลมในภาพวาดทั้งสองด้วยเส้นบาง ๆ สองเส้น

ปล่อยให้การฉายภาพด้านหน้า C 2 ของจุด C วางอยู่บนพื้นผิวของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติซึ่งกำหนดโดยการฉายภาพหลักสองภาพ (รูปที่ 163, a) จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพสามจุดของจุด C

จากเส้นโครงด้านหน้า จะเห็นว่า ยอดพีระมิดสูงกว่าฐานสี่เหลี่ยมของพีระมิด ภายใต้เงื่อนไขนี้ ใบหน้าด้านข้างทั้งสี่จะมองเห็นได้เมื่อฉายภาพบนระนาบการฉายภาพแนวนอน П 1 เมื่อฉายภาพบนระนาบการฉายภาพส่วนหน้า P 2 จะมองเห็นเฉพาะส่วนหน้าของพีระมิดเท่านั้น เนื่องจากการฉายภาพ C 2 แสดงในภาพวาดเป็นวงกลมแสง จุด C จึงมองเห็นได้และเป็นของส่วนหน้าของพีระมิด ในการสร้างเส้นโครงแนวนอน C 1 เราวาดเส้นเสริม D 2 E 2 ผ่านจุด C 2 ขนานกับเส้นฐานของปิรามิด เราพบการฉายภาพแนวนอน D 1 E 1 และจุด C 1 บนนั้น หากมีการฉายภาพที่สามของปิรามิดเราจะพบการฉายภาพแนวนอนของจุด C 1 ได้ง่ายขึ้น: เมื่อพบการฉายภาพโปรไฟล์ C 3 แล้วเราสร้างภาพที่สาม หนึ่งใช้การฉายภาพสองครั้งโดยใช้สายสื่อสารแนวนอนและแนวนอน ความคืบหน้าในการก่อสร้างจะแสดงในรูปวาดด้วยลูกศร

TBegin-->
มีแนวโน้ม-->

มาสร้างเส้นโครงไดเมตริกของพีระมิดและจุด C (รูปที่ 163, b) เราสร้างฐานของปิรามิด สำหรับสิ่งนี้ ผ่านจุด O "ที่อยู่บนแกน r" เราวาดแกน x" และ y" บนแกน x "เรากำหนดขนาดจริงของฐานและบนแกน y" - ลดลงครึ่งหนึ่ง เราวาดเส้นตรงขนานกับแกน x "และ y" ผ่านจุดที่ได้รับ บนแกน z เราวาดความสูงของปิรามิด เราเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์กับจุดฐานโดยคำนึงถึงการมองเห็นของขอบ ในการสร้างจุด C เราใช้เส้นพิกัดที่วงกลมในภาพวาดโดย เส้นบาง ๆ สองเส้น เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา เราวาดเส้นตรง D "E" ผ่านจุดที่พบ C แกน x ขนาน" ความยาวต้องเท่ากับความยาวของเส้นตรง D 2 E 2 (หรือ D 1 E 1)

ตำแหน่งของจุดในอวกาศสามารถระบุได้โดยการฉายภาพมุมฉากสองแบบ ตัวอย่างเช่น แนวนอนและด้านหน้า หน้าผากและโปรไฟล์ การรวมกันของเส้นโครงมุมฉากสองเส้นช่วยให้คุณทราบค่าของพิกัดทั้งหมดของจุด สร้างเส้นโครงที่สาม ระบุค่าแปดซึ่งอยู่ ลองพิจารณางานทั่วไปจากหลักสูตรเรขาคณิตเชิงพรรณนา

ตามการวาดจุด A และ B ที่ซับซ้อนนั้นจำเป็น:

ก่อนอื่นให้เรากำหนดพิกัดของจุด A ซึ่งสามารถเขียนในรูปแบบ A (x, y, z) เส้นโครงแนวนอนของจุด A คือจุด A " โดยมีพิกัด x, y วาดจากจุด A" ตั้งฉากกับแกน x, y แล้วหา A x, A y ตามลำดับ พิกัด x สำหรับจุด A เท่ากับความยาวของส่วน A x O ที่มีเครื่องหมายบวก เนื่องจาก A x อยู่ในขอบเขตของค่าแกน x ที่เป็นบวก โดยคำนึงถึงขนาดของรูปวาด เราพบว่า x \u003d 10 พิกัด y เท่ากับความยาวของส่วน A y O ที่มีเครื่องหมายลบ เนื่องจาก t A y อยู่ในขอบเขตของค่าแกน y ที่เป็นลบ . กำหนดขนาดของรูปวาด y = -30 เส้นโครงด้านหน้าของจุด A - จุด A"" มีพิกัด x และ z ปล่อยเส้นตั้งฉากจาก A"" ไปที่แกน z แล้วหา A z กัน พิกัด z ของจุด A เท่ากับความยาวของส่วน A z O ที่มีเครื่องหมายลบ เนื่องจาก A z อยู่ในขอบเขตของค่าลบของแกน z กำหนดขนาดของภาพวาด z = -10 ดังนั้น พิกัดของจุด A คือ (10, -30, -10)

พิกัดของจุด B สามารถเขียนเป็น B (x, y, z) พิจารณาการฉายภาพแนวนอนของจุด B - จุด B "เนื่องจากอยู่บนแกน x ดังนั้น B x \u003d B" และพิกัด B y \u003d 0 abscissa x ของจุด B เท่ากับความยาวของส่วน B x O พร้อมเครื่องหมายบวก โดยคำนึงถึงขนาดของการวาดภาพ x = 30 การฉายภาพด้านหน้าของจุด B - จุดB˝ มีพิกัด x, z วาดเส้นตั้งฉากจาก B"" ไปยังแกน z แล้วจึงหา B z แอปพลิเคชัน z ของจุด B เท่ากับความยาวของส่วน B z O ที่มีเครื่องหมายลบ เนื่องจาก B z อยู่ในขอบเขตของค่าลบของแกน z โดยคำนึงถึงขนาดของรูปวาดเรากำหนดค่า z = -20 ดังนั้นพิกัด B คือ (30, 0, -20) โครงสร้างที่จำเป็นทั้งหมดแสดงไว้ในรูปด้านล่าง

การสร้างเส้นโครงของจุด

จุด A และ B ในระนาบ P 3 มีพิกัดดังนี้: A""" (y, z); B""" (y, z) ในกรณีนี้ A"" และ A""" จะนอนในแนวตั้งฉากเดียวกันกับแกน z เนื่องจากมีพิกัด z ร่วมกัน ในทำนองเดียวกัน B"" และ B""" ก็นอนบนแกน z เหมือนกัน ไปยังแกน z ในการค้นหาเส้นโครงโปรไฟล์ของ t. A เราได้กันค่าของพิกัดที่เกี่ยวข้องซึ่งพบก่อนหน้านี้ไว้ตามแกน y ในรูปนี้ทำได้โดยใช้ส่วนโค้งของวงกลมรัศมี A y O หลังจากนั้นเราวาดเส้นตั้งฉากจาก A y ไปยังจุดตัดโดยตั้งฉากกลับคืนจากจุด A "" ถึงแกน z จุดตัดกันของเส้นตั้งฉากทั้งสองนี้กำหนดตำแหน่งของ A"""

จุด B""" อยู่บนแกน z เนื่องจากพิกัด y ของจุดนี้เท่ากับศูนย์ หากต้องการหาเส้นโครงของจุด B ในโจทย์นี้ จำเป็นต้องวาดเส้นตั้งฉากจาก B"" ถึง แกน z จุดตัดของเส้นตั้งฉากกับแกน z คือ B """

การกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศ

การแสดงเค้าโครงเชิงพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยระนาบการฉายภาพ P 1, P 2 และ P 3 ตำแหน่งของ octants รวมถึงลำดับของการเปลี่ยนแปลงของเค้าโครงเป็นไดอะแกรม คุณสามารถกำหนดได้โดยตรงว่า t A ตั้งอยู่ใน III octant และ t B อยู่ในระนาบ P 2

อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหานี้คือวิธีการยกเว้น ตัวอย่างเช่น พิกัดของจุด A คือ (10, -30, -10) abscissa x ที่เป็นบวกทำให้สามารถตัดสินได้ว่าจุดนั้นอยู่ในสี่ตัวแรก พิกัด y ที่เป็นค่าลบแสดงว่าจุดนั้นอยู่ในตำแหน่งแปดที่สองหรือที่สาม สุดท้าย การประยุกต์เชิงลบของ z ระบุว่าจุด A อยู่ในกลุ่มแปดที่สาม เหตุผลที่ให้ไว้มีภาพประกอบชัดเจนตามตารางต่อไปนี้

Octant	ป้ายพิกัด
	x	ย	ซี
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

พิกัดจุด B (30, 0, -20) เนื่องจากพิกัดของ t B เท่ากับศูนย์ จุดนี้จึงอยู่ในระนาบการฉาย П 2 . abscissa เชิงบวกและการประยุกต์เชิงลบของจุด B ระบุว่ามันอยู่ที่เส้นขอบของ octants ที่สามและสี่

การสร้างภาพที่มองเห็นของจุดในระบบระนาบ P 1, P 2, P 3

ด้วยการใช้การฉายภาพไอโซเมตริกที่หน้าผาก เราสร้างเลย์เอาต์เชิงพื้นที่ของออคแทนต์ที่สาม เป็นรูปสามเหลี่ยมสามหน้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีหน้าเป็นระนาบ P 1, P 2, P 3 และมุม (-y0x) คือ 45 º ในระบบนี้ ส่วนตามแกน x, y, z จะถูกลงจุดในขนาดเต็มโดยไม่มีการบิดเบือน

การสร้างภาพที่มองเห็นของจุด A (10, -30, -10) จะเริ่มต้นด้วยการฉายภาพในแนวนอน A " เมื่อแยกพิกัดที่สอดคล้องกันตามแนว abscissa และลำดับแล้วเราจะพบจุด A x และ A y จุดตัดของเส้นตั้งฉากที่คืนค่าจาก A x และ A y ตามลำดับไปยังแกน x และ y กำหนดตำแหน่งของจุด A" วางจาก A" ขนานกับแกน z ไปทางค่าลบ ส่วน AA" ซึ่งมีความยาวเท่ากับ 10 เราจะพบตำแหน่งของจุด A

ภาพที่มองเห็นของจุด B (30, 0, -20) ถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน - ในระนาบ P 2 จะต้องลงจุดพิกัดที่สอดคล้องกันตามแกน x และ z จุดตัดของเส้นตั้งฉากที่สร้างขึ้นใหม่จาก B x และ Bz จะกำหนดตำแหน่งของจุด B