มุมไหนก็คม.. เต็มมุม

เริ่มจากการกำหนดว่ามุมคืออะไร ประการแรก มันเกิดจากรังสีสองเส้นซึ่งเรียกว่าด้านของมุม ประการที่สาม จุดหลังออกมาจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดยอดของมุม จากเครื่องหมายเหล่านี้ เราสามารถให้คำนิยามได้: มุมเป็นรูปเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้น (ด้าน) โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอด)

พวกเขาจำแนกตามองศาตามตำแหน่งที่สัมพันธ์กันและสัมพันธ์กับวงกลม เริ่มจากประเภทของมุมตามขนาด

มีหลายพันธุ์ มาดูกันดีกว่าว่าแต่ละประเภท

มุมมีสี่ประเภทหลักเท่านั้น - มุมขวา มุมป้าน มุมแหลม และมุมที่พัฒนาแล้ว

ตรง

ดูเหมือนว่า:

องศาของมันคือ 90 o เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง มุมฉากคือมุม 90 องศา เฉพาะสี่เหลี่ยมเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้นที่มี

ทื่อ

ดูเหมือนว่า:

การวัดระดับจะมากกว่า 90 องศาเสมอ แต่น้อยกว่า 180 องศา มันสามารถเกิดขึ้นได้ในสี่เหลี่ยมเช่นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ, ในรูปหลายเหลี่ยม

เผ็ด

ดูเหมือนว่า:

การวัดองศาของมุมแหลมจะน้อยกว่า 90° เสมอ มันเกิดขึ้นในรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด ยกเว้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ

ปรับใช้

มุมที่ขยายมีลักษณะดังนี้:

มันไม่ได้เกิดขึ้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่ก็มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่ารูปอื่นๆ ทั้งหมด มุมตรงเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งการวัดระดับคือ180ºเสมอ คุณสามารถสร้างมันได้โดยการวาดหนึ่งหรือหลายรังสีจากจุดยอดของมันในทิศทางใดก็ได้

มีมุมทุติยภูมิประเภทอื่นๆ อีกหลายประเภท พวกเขาไม่ได้เรียนในโรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้อย่างน้อยเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขา มุมทุติยภูมิมีเพียง 5 ประเภทเท่านั้น:

1. ศูนย์

ดูเหมือนว่า:

ชื่อของมุมนั้นบ่งบอกถึงขนาดของมันอยู่แล้ว พื้นที่ภายในเป็น 0 o และด้านข้างวางทับกันดังรูป

2. เฉียง

เอียงสามารถตรงและมุมป้านและมุมแหลมและมุมที่พัฒนาแล้ว เงื่อนไขหลักคือไม่ควรเท่ากับ 0 o, 90 o, 180 o, 270 o

3. นูน

นูนเป็นศูนย์, มุมขวา, มุมป้าน, มุมแหลมและมุมที่พัฒนาแล้ว ตามที่คุณเข้าใจแล้ว องศาของมุมนูนมีค่าตั้งแต่ 0 o ถึง 180 o

4. ไม่นูน

มุมที่ไม่นูนคือมุมที่มีการวัดองศาตั้งแต่ 181 o ถึง 359 o

5. เต็ม

มุมที่สมบูรณ์คือ 360 องศา

นี่คือมุมทุกประเภทตามขนาด ตอนนี้พิจารณาประเภทของพวกเขาตามตำแหน่งบนเครื่องบินที่สัมพันธ์กัน

1. เพิ่มเติม

นี่คือมุมแหลมสองมุมที่ประกอบเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น นั่นคือ ผลรวมของพวกเขาคือ 90 o

2. ที่เกี่ยวข้อง

มุมที่อยู่ติดกันจะเกิดขึ้นหากลำแสงถูกวาดในทิศทางใดๆ ผ่านจุดบนสุด ผลรวมของพวกเขาคือ 180 o

3. แนวตั้ง

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน การวัดระดับของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้มาดูประเภทของมุมที่สัมพันธ์กับวงกลม มีเพียงสองคนเท่านั้น: ส่วนกลางและจารึกไว้

1. ส่วนกลาง

มุมศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลม การวัดระดับของมันเท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งที่เล็กกว่าซึ่งอยู่ด้านข้าง

2. จารึกไว้

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกัน การวัดระดับของมันเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่

มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับมุม ตอนนี้คุณรู้แล้วว่านอกเหนือจากรูปทรงเรขาคณิตที่มีชื่อเสียงที่สุด - แหลม, ป้าน, ตรงและใช้งาน - ในรูปทรงเรขาคณิตยังมีประเภทอื่นอีกมากมาย

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกัน 2 รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ รังสีเหล่านี้เรียกว่าด้านของมุม จุดที่เป็นจุดเริ่มต้นของรังสีเรียกว่าจุดยอดของมุม ในภาพ คุณสามารถเห็นมุมที่มีจุดยอดที่จุด เกี่ยวกับและฝ่าย เคและ ม.

จุด A และ C ถูกทำเครื่องหมายที่ด้านข้างของมุม มุมนี้สามารถกำหนดเป็นมุม AOC ตรงกลางจะต้องเป็นชื่อของจุดที่จุดยอดมุมตั้งอยู่ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดอื่น ๆ มุม O หรือมุม km ในรูปทรงเรขาคณิต แทนที่จะเป็นมุมของคำ มักจะเขียนไอคอนพิเศษ

มุมหมุนและไม่หมุน

ถ้าด้านทั้งสองของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะเรียกว่ามุมดังกล่าว ปรับใช้มุม. นั่นคือด้านหนึ่งของมุมคือความต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่งของมุม รูปด้านล่างแสดงมุม O

ควรสังเกตว่ามุมใด ๆ จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากมุมไม่ขยาย ส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนในของมุม ส่วนอีกส่วนคือส่วนนอกของมุมนี้ ภาพด้านล่างแสดงมุมที่ไม่เรียบและทำเครื่องหมายบริเวณด้านนอกและด้านในของมุมนี้

ในกรณีของมุมที่พัฒนาแล้ว ส่วนใดๆ ในสองส่วนที่ใช้แบ่งระนาบจะถือว่าเป็นพื้นที่รอบนอกของมุม เราสามารถพูดถึงตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับมุมได้ จุดอาจอยู่นอกมุม (ในบริเวณด้านนอก) อาจอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง หรืออาจอยู่ในมุม (ในบริเวณด้านใน)

ในรูปด้านล่าง จุด A อยู่นอกมุม O จุด B อยู่ด้านหนึ่งของมุม และจุด C อยู่ด้านในมุม

การวัดมุม

ในการวัดมุม มีอุปกรณ์ที่เรียกว่าไม้โปรแทรกเตอร์ หน่วยของมุมคือ ระดับ. ควรสังเกตว่าแต่ละมุมมีการวัดระดับหนึ่งซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์

มุมแบ่งออกเป็นหลายกลุ่มขึ้นอยู่กับการวัดระดับ

นักเรียนได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดเรื่องมุมในระดับประถมศึกษา แต่ด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติบางอย่าง พวกเขาเริ่มศึกษามันตั้งแต่เกรด 7 ในวิชาเรขาคณิต ดูเหมือนว่า รูปร่างค่อนข้างเรียบง่ายสิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับเธอ แต่เมื่อได้รับความรู้ใหม่ ๆ เด็กนักเรียนจะเข้าใจมากขึ้นเรื่อย ๆ ว่าคุณสามารถเรียนรู้ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับเธอได้

ติดต่อกับ

เรียนเมื่อไหร่

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนแบ่งออกเป็นสองส่วน: แผนภาพและเรขาคณิตทึบ ต่างก็ให้ความสนใจเป็นอย่างมาก มอบให้กับมุม:

• ในแผนภาพแนวคิดพื้นฐานของพวกเขาจะได้รับความคุ้นเคยกับขนาดของพวกเขา มีการศึกษาคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมแต่ละประเภทโดยละเอียด คำจำกัดความใหม่สำหรับนักเรียนปรากฏขึ้น - เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของสองบรรทัดซึ่งกันและกันและจุดตัดของเส้นแบ่งหลายเส้น
• ใน stereometry มีการศึกษามุมเชิงพื้นที่ - dihedral และ trihedral

ความสนใจ!บทความนี้กล่าวถึงทุกประเภทและคุณสมบัติของมุมในแผนผัง

ความหมายและการวัด

การเริ่มศึกษาให้กำหนดเสียก่อนว่า มุมคืออะไรในระนาบ

หากเราใช้จุดใดจุดหนึ่งบนระนาบแล้ววาดรังสีตามอำเภอใจสองเส้น เราจะได้รูปทรงเรขาคณิต - มุมซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบต่อไปนี้:

• จุดสุดยอด - จุดที่รังสีถูกดึงออกมาแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน
• ด้านข้างวาดครึ่งเส้นจากด้านบน

องค์ประกอบทั้งหมดที่ประกอบเป็นร่างที่เรากำลังพิจารณาจะแบ่งระนาบออกเป็น สองส่วน:

• ภายใน - ในระนาบไม่เกิน 180 องศา
• ภายนอก.

หลักการวัดมุมในระนาบอธิบายโดยสัญชาตญาณ ในการเริ่มต้น นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดของมุมที่พัฒนาแล้ว

สำคัญ!กล่าวว่ามุมจะได้รับการพัฒนาหากครึ่งเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดกลายเป็นเส้นตรง มุมที่กางออกคือกรณีอื่นๆ ทั้งหมด

หากแบ่งออกเป็น 180 ส่วนเท่าๆ กัน เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาการวัดส่วนหนึ่งเท่ากับ 10 ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่าการวัดจะทำเป็นองศา และการวัดระดับของตัวเลขดังกล่าวคือ 180 องศา

ประเภทหลัก

ประเภทของมุมแบ่งย่อยตามเกณฑ์เช่น การวัดระดับ ลักษณะของการก่อตัวของมุม และประเภทด้านล่าง

ตามขนาด

ตามขนาด มุมแบ่งออกเป็น:

• ปรับใช้;
• ตรง;
• ทื่อ;
• เผ็ด.

มุมมองใดที่เรียกว่าปรับใช้แสดงไว้ด้านบน กำหนดแนวคิดของเส้นตรง

สามารถรับได้โดยการแบ่งการปรับใช้ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ในกรณีนี้ มันง่ายที่จะตอบคำถาม: มุมฉากมีกี่องศา?

หาร 180 องศาด้วย 2 จะได้ มุมฉากคือ 90 องศา. นี่เป็นตัวเลขที่ยอดเยี่ยมเนื่องจากมีข้อเท็จจริงมากมายเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง

นอกจากนี้ยังมีลักษณะเฉพาะของตัวเองในการกำหนด ในการแสดงมุมฉากในรูป มันไม่ได้ระบุด้วยส่วนโค้ง แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มุมที่ได้จากการหารรังสีโดยพลการของเส้นตรงเรียกว่ามุมแหลมตามตรรกะของสิ่งต่าง ๆ มันตามมาว่ามุมแหลมน้อยกว่ามุมฉาก แต่การวัดนั้นแตกต่างจาก 0 องศา นั่นคือมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

มุมป้านมีค่ามากกว่ามุมฉาก แต่น้อยกว่ามุมตรง การวัดระดับของมันแตกต่างกันไปตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา

องค์ประกอบนี้สามารถแบ่งออกเป็นประเภทต่าง ๆ ของตัวเลขภายใต้การพิจารณา ไม่รวมส่วนที่ขยาย

ไม่ว่ามุมที่ไม่หมุนจะหักอย่างไร จะใช้สัจพจน์พื้นฐานของการวัดระนาบ - "คุณสมบัติหลักของการวัด" เสมอ

ที่ แบ่งมุมด้วยลำแสงเดียวหรือมากกว่านั้น การวัดระดับของตัวเลขที่กำหนดจะเท่ากับผลรวมของการวัดมุมที่แบ่งออก

ที่ระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ประเภทของมุมที่มีขนาดจะสิ้นสุดที่นั่น แต่เพื่อเพิ่มพูนความรู้สามารถเพิ่มเติมได้ว่ามีพันธุ์อื่นที่มีการวัดระดับมากกว่า 180 องศา พวกเขาเรียกว่านูน

ตัวเลขที่จุดตัดของเส้น

มุมประเภทต่อไปที่นักเรียนจะได้เรียนรู้คือองค์ประกอบที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน ตัวเลขที่วางตรงข้ามกันเรียกว่าแนวตั้ง ลักษณะเด่นของพวกเขาคือเท่าเทียมกัน

องค์ประกอบที่อยู่ติดกับบรรทัดเดียวกันเรียกว่า ติดกัน ทฤษฎีบทการทำแผนที่คุณสมบัติของพวกเขาบอกว่า มุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ 180 องศา.

องค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยม

หากเราถือว่าตัวเลขเป็นองค์ประกอบในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะถูกแบ่งออกเป็นภายในและภายนอก รูปสามเหลี่ยมล้อมรอบด้วยสามส่วนและประกอบด้วยจุดยอดสามจุด มุมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่จุดยอดแต่ละจุด เรียกว่ากำลังภายใน.

หากเรานำองค์ประกอบภายในใด ๆ ที่จุดสุดยอดและขยายด้านใด ๆ มุมที่เกิดขึ้นและอยู่ติดกับองค์ประกอบภายในจะเรียกว่าภายนอก องค์ประกอบคู่นี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ผลรวมของมันคือ 180 องศา

จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น

เส้นตัดกัน

เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมก็จะเกิดขึ้นเช่นกันซึ่งมักจะแจกเป็นคู่ องค์ประกอบแต่ละคู่มีชื่อของตัวเอง ดูเหมือนว่า:

• การพาดขวางภายใน: ∟4 และ ∟6, ∟3 และ ∟5;
• ภายในด้านเดียว: ∟4 และ ∟5, ∟3 และ ∟6;
• ที่ตรงกัน: ∟1 และ ∟5, ∟2 และ ∟6, ∟4 และ ∟8, ∟3 และ ∟7

เมื่อเศษตัดกันสอง

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตหลักซึ่งเราจะวิเคราะห์ในหัวข้อนี้ ความหมาย วิธีการตั้งค่า สัญกรณ์ และการวัดมุม ลองวิเคราะห์หลักการเลือกมุมในภาพวาด ทฤษฎีทั้งหมดมีภาพประกอบและมีภาพวาดจำนวนมาก

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุม- ตัวเลขที่สำคัญอย่างง่ายในเรขาคณิต มุมขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรังสีโดยตรง ซึ่งจะประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานของจุด เส้น และระนาบ สำหรับการศึกษาอย่างละเอียด คุณต้องเจาะลึกในหัวข้อต่างๆ เส้นตรงบนระนาบ - ข้อมูลที่จำเป็นและ เครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็น.

แนวคิดของมุมเริ่มต้นด้วยแนวคิดของจุด ระนาบ และเส้นตรงที่ปรากฎบนระนาบนี้

คำจำกัดความ 2

กำหนดเส้น a บนระนาบ แสดงจุด O บนนั้น เส้นแบ่งด้วยจุดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนจะมีชื่อ เรย์และจุด O คือ เริ่มลำแสง.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคานหรือ ครึ่งเส้น -เป็นส่วนหนึ่งของเส้น ประกอบด้วยจุดของเส้นที่กำหนด ซึ่งอยู่ด้านเดียวกันเมื่อเทียบกับจุดเริ่มต้น นั่นคือจุด O

การกำหนดลำแสงสามารถทำได้สองรูปแบบ: ตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวหรือตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวของอักษรละติน เมื่อแสดงด้วยตัวอักษรสองตัว ลำแสงจะมีชื่อประกอบด้วยตัวอักษรสองตัว มาดูภาพวาดกันดีกว่า

มาดูแนวคิดของการกำหนดมุมกัน

นิยาม 3

มุม- นี่คือตัวเลขที่อยู่ในระนาบที่กำหนดซึ่งเกิดจากรังสีที่ไม่ตรงกันสองอันที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน มุมด้านข้างเป็นลำแสง จุดสุดยอด- จุดเริ่มต้นร่วมกันของฝ่ายต่างๆ

มีกรณีที่ด้านข้างของมุมสามารถทำหน้าที่เป็นเส้นตรงได้

ความหมาย 4

เมื่อด้านทั้งสองของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือด้านข้างทำหน้าที่เป็นเส้นแบ่งครึ่งเพิ่มเติมของเส้นตรงหนึ่งเส้น มุมดังกล่าวเรียกว่า ปรับใช้.

รูปด้านล่างแสดงมุมที่แบนราบ

จุดบนเส้นตรงคือจุดยอดของมุม ส่วนใหญ่มักจะแสดงด้วยจุด O

มุมในวิชาคณิตศาสตร์แสดงด้วยเครื่องหมาย "∠" เมื่อด้านข้างของมุมแสดงด้วยภาษาละตินตัวเล็ก ๆ ดังนั้นสำหรับคำจำกัดความที่ถูกต้องของมุม ตัวอักษรจะถูกเขียนเป็นแถวตามลำดับตามด้านข้าง ถ้าด้านสองด้านแทนค่า k และ h มุมนั้นจะแสดงเป็น ∠ k h หรือ ∠ h k

เมื่อมีการกำหนดเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ตามลำดับด้านข้างของมุมจะมีชื่อ O A และ O B ในกรณีนี้มุมมีชื่อของตัวอักษรละตินสามตัวเขียนเป็นแถวตรงกลางมีจุดสุดยอด - ∠ A O B และ ∠ B O A . มีการกำหนดในรูปแบบของตัวเลขเมื่อมุมไม่มีชื่อหรือตัวอักษร ด้านล่างเป็นรูปที่แสดงมุมในรูปแบบต่างๆ

มุมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากมุมไม่ได้รับการพัฒนาส่วนหนึ่งของระนาบจะมีชื่อ พื้นที่มุมด้านใน, อื่น ๆ - พื้นที่มุมด้านนอก. ด้านล่างนี้เป็นภาพที่อธิบายว่าส่วนใดของเครื่องบินอยู่ภายนอกและส่วนใดอยู่ภายใน

เมื่อหารด้วยมุมตรงบนระนาบ ส่วนใดส่วนหนึ่งของมันจะถูกพิจารณาว่าเป็นส่วนภายในของมุมตรง

พื้นที่ด้านในของมุมเป็นองค์ประกอบที่ทำหน้าที่กำหนดมุมที่สอง

คำจำกัดความ 5

มุมเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีที่ไม่ประจวบเหมาะสองอันซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในมุมที่สอดคล้องกัน

คำนิยามนี้เข้มงวดกว่าคำนิยามก่อนหน้า เนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า ไม่แนะนำให้พิจารณาคำจำกัดความทั้งสองแยกกัน เนื่องจากมุมเป็นรูปเรขาคณิตที่แปลงโดยใช้รังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดหนึ่ง เมื่อจำเป็นต้องดำเนินการกับมุม คำจำกัดความหมายถึงการมีอยู่ของรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมกันและบริเวณภายใน

คำจำกัดความ 6

ทั้งสองมุมเรียกว่า ที่เกี่ยวข้องถ้ามีด้านร่วมกัน และอีกสองเส้นประกอบกันเป็นครึ่งเส้นหรือสร้างมุมตรง

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ามุมที่อยู่ติดกันเป็นส่วนเสริมซึ่งกันและกัน เนื่องจากเป็นมุมที่ต่อเนื่องกัน

คำจำกัดความ 7

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้ง, ถ้าด้านหนึ่งเป็นเส้นเสริมครึ่งเส้นของอีกด้านหรือเป็นส่วนเสริมของด้านของอีกด้าน ภาพด้านล่างแสดงภาพของมุมแนวตั้ง

เมื่อข้ามเส้นจะได้มุมที่อยู่ติดกัน 4 คู่และมุมแนวตั้ง 2 คู่ ด้านล่างแสดงในภาพ

บทความแสดงคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน เราจะวิเคราะห์ว่ามุมใดถือว่าใหญ่ มุมไหนเล็ก และคุณสมบัติอื่นๆ ของมุม ตัวเลขสองตัวถือว่าเท่ากันหากซ้อนทับกันอย่างสมบูรณ์ คุณสมบัติเดียวกันนี้ใช้กับการเปรียบเทียบมุม

ให้สองมุม จำเป็นต้องสรุปว่ามุมเหล่านี้เท่ากันหรือไม่

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดของมุมทั้งสองและด้านของมุมแรกซ้อนทับกับด้านอื่นๆ ของมุมที่สอง นั่นคือในกรณีของความบังเอิญโดยสมบูรณ์ เมื่อมุมต่างๆ มาซ้อนกัน ด้านของมุมที่กำหนดจะตรงกันทั้งหมด มุม เท่ากัน.

อาจเป็นไปได้ว่าเมื่อวางซ้อนด้านแล้วอาจไม่รวมกันแล้วมุม เล็กกว่าไม่เท่ากันซึ่งประกอบด้วยอีกและ มากกว่ารวมอีกมุมที่สมบูรณ์ ด้านล่างนี้คือมุมที่ไม่เท่ากันเมื่อวางซ้อนกัน

มุมที่พัฒนาแล้วมีค่าเท่ากัน

การวัดมุมเริ่มต้นด้วยการวัดด้านข้างของมุมที่วัดได้และพื้นที่ด้านในซึ่งเติมด้วยมุมของหน่วยซึ่งจะนำไปใช้ซึ่งกันและกัน จำเป็นต้องนับจำนวนมุมที่ซ้อนกันซึ่งจะกำหนดขนาดของมุมที่วัดได้ล่วงหน้า

หน่วยมุมสามารถแสดงเป็นมุมที่วัดได้ มีหน่วยวัดที่ใช้ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป พวกเขาเชี่ยวชาญในเรื่องอื่นๆ

แนวคิดที่ใช้บ่อยที่สุด ระดับ.

คำจำกัดความ 8

หนึ่งองศาเรียกว่ามุมที่มีหนึ่งในร้อยแปดสิบของมุมที่ยืดออก

สัญกรณ์มาตรฐานสำหรับองศาคือ "°" จากนั้นหนึ่งองศาคือ 1° ดังนั้นมุมตรงประกอบด้วยมุมดังกล่าว 180 มุมซึ่งประกอบด้วยหนึ่งองศา มุมที่มีอยู่ทั้งหมดเรียงซ้อนกันแน่นและด้านข้างของมุมก่อนหน้าจะชิดกับมุมถัดไป

เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนองศาในมุมหนึ่งๆ เท่ากับขนาดของมุม มุมที่พัฒนาแล้วมี 180 มุมซ้อนกันในองค์ประกอบ รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างการวางมุม 30 ครั้ง นั่นคือหนึ่งในหกของการขยาย และ 90 ครั้ง นั่นคือครึ่งหนึ่ง

นาทีและวินาทีใช้เพื่อกำหนดการวัดมุมอย่างแม่นยำ ใช้เมื่อค่ามุมไม่ใช่การกำหนดองศาจำนวนเต็ม ส่วนต่าง ๆ ของระดับดังกล่าวช่วยให้คุณสามารถคำนวณได้แม่นยำยิ่งขึ้น

คำจำกัดความ 9

นาทีเรียกว่าหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำจำกัดความ 10

ที่สองเรียกว่าหนึ่งในหกสิบนาที

องศาประกอบด้วย 3600 วินาที นาทีหมายถึง "" และวินาที """" การกำหนดเกิดขึ้น:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

และสัญลักษณ์สำหรับมุม 17 องศา 3 ลิปดา 59 วินาที คือ 17° 3 "59""

คำจำกัดความ 11

ลองยกตัวอย่างสัญกรณ์การวัดระดับของมุมเท่ากับ 17 ° 3 "59" " รายการมีรูปแบบอื่น 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600

ในการวัดมุมอย่างแม่นยำ จะใช้อุปกรณ์วัด เช่น ไม้โปรแทรกเตอร์ เมื่อกำหนดมุม ∠ A O B และการวัดระดับ 110 องศา จะใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกกว่า ∠ A O B \u003d 110 ° ซึ่งอ่านว่า "มุม A O B เท่ากับ 110 องศา"

ในเรขาคณิต ใช้การวัดมุมจากช่วงเวลา (0 , 180 ] และในวิชาตรีโกณมิติจะเรียกการวัดองศาตามอำเภอใจ มุมเลี้ยวค่าของมุมจะแสดงเป็นจำนวนจริงเสมอ มุมฉากเป็นมุมที่มี 90 องศา มุมแหลมเป็นมุมที่น้อยกว่า 90 องศา และ ทื่อ- มากกว่า.

วัดมุมแหลมในช่วงเวลา (0, 90) และมุมป้าน - (90, 180) . มุมสามประเภทแสดงไว้อย่างชัดเจนด้านล่าง

การวัดองศาของมุมใดๆ มีค่าเท่ากัน มุมที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับจะมีการวัดระดับที่ใหญ่กว่ามุมที่เล็กกว่า การวัดองศาของมุมหนึ่งคือผลรวมของการวัดองศาที่มีอยู่ทั้งหมดของมุมภายใน รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบด้วยมุม AOC, COD และ DOB มีลักษณะดังนี้: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °

จากนี้สรุปได้ว่า ผลรวมทั้งหมด มุมประชิดคือ 180 องศาเพราะมันประกอบกันเป็นมุมที่ขยายออก

มันเป็นไปตามนี้ว่าใดๆ มุมแนวตั้งเท่ากัน. หากเราพิจารณาสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง เราจะเห็นว่ามุม A O B และ C O D เป็นแนวตั้ง (ในรูปวาด) จากนั้นคู่ของมุม A O B และ B O C, C O D และ B O C จะถือว่าอยู่ติดกัน ในกรณีเช่นนี้ ความเท่าเทียมกัน ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° ร่วมกับ ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° จะถือว่าเป็นค่าจริงที่ไม่ซ้ำใคร ดังนั้นเราจึงได้ว่า ∠ A O B = ∠ C O D ด้านล่างนี้คือตัวอย่างรูปภาพและการกำหนดจุดจับแนวตั้ง

นอกจากองศา ลิปดา และวินาทีแล้ว ยังมีการใช้หน่วยวัดอื่นอีกด้วย มันถูกเรียกว่า เรเดียน. ส่วนใหญ่มักจะพบในตรีโกณมิติเมื่อกำหนดมุมของรูปหลายเหลี่ยม สิ่งที่เรียกว่าเรเดียน

คำจำกัดความ 12

หนึ่งมุมเรเดียนเรียกว่ามุมศูนย์กลางซึ่งมีรัศมีของวงกลมเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง

ในรูป เรเดียนแสดงเป็นวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางซึ่งระบุด้วยจุด โดยมีจุดสองจุดบนวงกลมเชื่อมต่อกันและแปลงเป็นรัศมี O A และ O B ตามคำนิยาม สามเหลี่ยม A O B นี้เป็นรูปด้านเท่า ซึ่งหมายความว่า ว่าความยาวของส่วนโค้ง AB เท่ากับความยาวของรัศมี O B และ Oh A

การกำหนดมุมถือเป็น "rad" นั่นคือ รายการใน 5 เรเดียนจะเรียกโดยย่อว่า 5 เรเดียน บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนดที่มีชื่อปี่ เรเดียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของวงกลมที่กำหนดเนื่องจากตัวเลขมีข้อ จำกัด บางอย่างโดยใช้มุมและส่วนโค้งของมันโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนด พวกเขาถือว่าคล้ายกัน

เรเดียนมีความหมายเหมือนกับองศา แต่ความแตกต่างอยู่ที่ขนาดเท่านั้น ในการพิจารณาสิ่งนี้จำเป็นต้องแบ่งความยาวของส่วนโค้งของมุมศูนย์กลางที่คำนวณได้ด้วยความยาวของรัศมี

ในทางปฏิบัติพวกเขาใช้ แปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศาเพื่อการแก้ปัญหาที่ง่ายขึ้น บทความที่ระบุมีข้อมูลเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างการวัดระดับและเรเดียน ซึ่งคุณสามารถศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับการแปลจากระดับเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

สำหรับการพรรณนาส่วนโค้งมุมและภาพวาดที่มองเห็นและสะดวก ไม่สามารถอธิบายและทำเครื่องหมายมุม ส่วนโค้ง หรือชื่อเฉพาะได้อย่างถูกต้องเสมอไป มุมที่เท่ากันมีการกำหนดในรูปแบบของส่วนโค้งจำนวนเท่ากันและไม่เท่ากันในรูปแบบของมุมที่แตกต่างกัน ภาพวาดแสดงการกำหนดมุมที่ถูกต้อง เท่ากัน และไม่เท่ากัน

เมื่อต้องการทำเครื่องหมายมากกว่า 3 มุม จะใช้การกำหนดส่วนโค้งพิเศษ เช่น หยักหรือหยัก มันไม่สำคัญขนาดนั้น รูปด้านล่างแสดงการกำหนดของพวกเขา

การกำหนดมุมควรเรียบง่ายเพื่อไม่ให้รบกวนค่าอื่น ๆ เมื่อแก้ปัญหาขอแนะนำให้เลือกเฉพาะมุมที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเพื่อไม่ให้ภาพวาดทั้งหมดยุ่งเหยิง สิ่งนี้จะไม่รบกวนการแก้ปัญหาและการพิสูจน์และยังทำให้รูปลักษณ์สวยงาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

บทความนี้จะพิจารณาหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตหลัก - มุม หลังจากแนะนำแนวคิดนี้โดยทั่วไปแล้ว เราจะมุ่งเน้นไปที่ประเภทเฉพาะของตัวเลขดังกล่าว มุมตรงเป็นแนวคิดที่สำคัญในเรขาคณิตและจะเป็นประเด็นสำคัญของบทความนี้

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดของมุมเรขาคณิต

ในเรขาคณิต มีวัตถุจำนวนมากที่เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด มุมอ้างอิงถึงพวกมันและถูกกำหนดโดยใช้แนวคิดของรังสี ดังนั้นมาเริ่มกัน

นอกจากนี้ ก่อนที่จะดำเนินการตามนิยามของมุม คุณต้องจำวัตถุหลายชิ้นในรูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญเท่าๆ กัน นั่นคือจุด เส้นตรงบนระนาบ และระนาบนั่นเอง เส้นตรงเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดซึ่งไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด ระนาบคือพื้นผิวที่มีสองมิติ รังสี (หรือครึ่งเส้น) ในเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดเริ่มต้น แต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

เมื่อใช้แนวคิดเหล่านี้ เราสามารถระบุได้ว่ามุมเป็นรูปเรขาคณิตที่อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่งอย่างสมบูรณ์ และประกอบด้วยรังสีที่ไม่ตรงกันสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน รังสีดังกล่าวเรียกว่าด้านของมุม และจุดเริ่มต้นทั่วไปของด้านคือจุดยอด

ประเภทของมุมและรูปทรงเรขาคณิต

เรารู้ว่ามุมอาจแตกต่างกันมาก ดังนั้นด้านล่างจะมีการจำแนกประเภทเล็กน้อยซึ่งจะช่วยให้เข้าใจประเภทของมุมและคุณสมบัติหลักได้ดีขึ้น ดังนั้นจึงมีมุมหลายประเภทในเรขาคณิต:

1. มุมฉาก. มันมีค่า 90 องศาซึ่งหมายความว่าด้านของมันตั้งฉากกันเสมอ
2. มุมแหลม. มุมเหล่านี้รวมถึงตัวแทนทั้งหมดที่มีขนาดน้อยกว่า 90 องศา
3. มุมป้าน. ทุกมุมที่มีค่าตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศาได้ที่นี่
4. มุมขยาย มีขนาด 180 องศาอย่างเคร่งครัดและภายนอกด้านข้างเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น

แนวคิดของมุมตรง

ทีนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมในมุมที่พัฒนาแล้ว นี่คือกรณีที่ทั้งสองฝ่ายอยู่บนเส้นตรงเดียวกันซึ่งสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนในรูปด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถพูดด้วยความมั่นใจว่าด้านใดด้านหนึ่งเป็นความต่อเนื่องของอีกด้าน

เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำความจริงที่ว่ามุมดังกล่าวสามารถแบ่งออกได้เสมอโดยใช้รังสีที่ออกมาจากจุดยอด เป็นผลให้เราได้สองมุมซึ่งในทางเรขาคณิตเรียกว่าประชิด

นอกจากนี้ มุมที่พัฒนาขึ้นยังมีคุณสมบัติหลายประการ ในการพูดคุยเกี่ยวกับสิ่งแรกคุณต้องจำแนวคิดของ "เส้นแบ่งครึ่งมุม" จำได้ว่านี่คือรังสีที่แบ่งครึ่งมุมอย่างเคร่งครัด สำหรับมุมตรงนั้น เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งออกในลักษณะที่มีมุมฉาก 90 องศา 2 มุม คำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายมาก: 180˚ (องศาของมุมที่ยืดออก): 2 = 90˚

หากเราแบ่งมุมที่พัฒนาแล้วด้วยลำแสงโดยพลการ ผลที่ได้คือเราได้สองมุมเสมอ มุมหนึ่งจะเป็นมุมแหลมและอีกมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้าน

คุณสมบัติมุมแบน

การพิจารณามุมนี้จะสะดวกโดยรวบรวมคุณสมบัติหลักทั้งหมดซึ่งเราได้ทำในรายการนี้:

1. ด้านข้างของมุมตรงขนานกันและเป็นเส้นตรง
2. ค่าของมุมที่พัฒนาขึ้นคือ 180˚ เสมอ
3. มุมประชิดสองมุมประกอบกันเป็นมุมตรงเสมอ
4. มุมเต็มซึ่งเท่ากับ 360˚ ประกอบด้วยสองมุมที่ปรับใช้และมีค่าเท่ากับผลรวม
5. มุมที่ยืดออกครึ่งหนึ่งเป็นมุมฉาก

ดังนั้น เมื่อทราบคุณลักษณะทั้งหมดของมุมประเภทนี้แล้ว เราจึงสามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่งได้

ปัญหาเกี่ยวกับมุมตรง

เพื่อให้เข้าใจว่าคุณเข้าใจแนวคิดของมุมตรงหรือไม่ ให้ลองตอบคำถามสองสามข้อต่อไปนี้

1. มุมตรงคืออะไรถ้าด้านข้างประกอบกันเป็นเส้นตั้ง?
2. มุมสองมุมจะอยู่ติดกันหรือไม่หากขนาดของมุมแรกเท่ากับ 72˚ และอีกมุมหนึ่งเท่ากับ 118˚
3. ถ้ามุมเต็มประกอบด้วยมุมตรงสองมุม มุมฉากจะมีกี่มุม
4. มุมตรงถูกแบ่งโดยลำแสงออกเป็นสองมุมซึ่งการวัดองศาสัมพันธ์กันเป็น 1:4 คำนวณมุมผลลัพธ์

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

1. ไม่ว่ามุมตรงจะตั้งอยู่อย่างไร ก็จะเท่ากับ 180˚ ตามนิยามเสมอ
2. มุมที่อยู่ติดกันมีด้านเดียว ดังนั้นในการคำนวณขนาดของมุมที่ประกอบเข้าด้วยกัน คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มค่าการวัดองศาของมัน ดังนั้น 72 +118 = 190 แต่ตามนิยามแล้ว มุมตรงคือ 180˚ ซึ่งหมายความว่ามุมที่กำหนดสองมุมไม่สามารถอยู่ติดกันได้
3. มุมตรงประกอบด้วยมุมฉากสองมุม และเนื่องจากมีการนำไปใช้งาน 2 รายการในฉบับเต็ม หมายความว่าจะมีเส้นตรง 4 เส้นอยู่ในนั้น
4. หากเราเรียกมุมที่ต้องการ a และ b ให้ x เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพวกมัน ซึ่งหมายความว่า a \u003d x และตามด้วย b \u003d 4x มุมตรงมีหน่วยเป็นองศาคือ 180˚ และตามคุณสมบัติของมัน การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมเหล่านั้นซึ่งหารด้วยรังสีตามอำเภอใจที่ผ่านระหว่างด้านเสมอ เราสามารถสรุปได้ว่า x + 4x = 180 ˚ ซึ่งหมายถึง 5x = 180˚ จากที่นี่เราจะพบ: x=a=36˚ และ b = 4x = 144˚ คำตอบ: 36˚ และ 144˚

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้ทั้งหมดโดยไม่ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าและไม่ได้ดูคำตอบ คุณก็พร้อมที่จะไปยังบทเรียนเรขาคณิตถัดไปแล้ว