ค่าเฉลี่ยเลขคณิต x คือช่วงเวลาใด คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ในระหว่างการคำนวณ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการใช้ในการวิเคราะห์กระบวนการทางเศรษฐกิจและสังคม ความรู้หลายประการ คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ซึ่งเรานำเสนอโดยไม่มีหลักฐานโดยละเอียด

คุณสมบัติ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้: ที่

คุณสมบัติ 2 ผลรวมเชิงพีชคณิตของการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าเท่ากับศูนย์: สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและ เพื่อจำหน่ายซีรีย์

คุณสมบัตินี้หมายความว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนเชิงบวกเท่ากับผลรวม การเบี่ยงเบนเชิงลบ, เช่น. การเบี่ยงเบนทั้งหมดเนื่องจากเหตุผลแบบสุ่มจะยกเลิกซึ่งกันและกัน

คุณสมบัติ 3 ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือจำนวนขั้นต่ำ: สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มและ เพื่อจำหน่ายซีรีย์ คุณสมบัตินี้หมายความว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าของคุณลักษณะจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะน้อยกว่าผลรวมของการเบี่ยงเบนของตัวแปรของคุณลักษณะจากค่าอื่น ๆ เสมอแม้จะแตกต่างจากค่าเฉลี่ยเล็กน้อยก็ตาม

คุณสมบัติที่สองและสามของค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณค่าเฉลี่ย เมื่อศึกษารูปแบบของการเปลี่ยนแปลงในระดับของชุดพลวัต เพื่อหาค่าพารามิเตอร์ของสมการถดถอยเมื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะต่างๆ

คุณสมบัติแรกทั้งสามแสดงคุณลักษณะที่สำคัญของค่าเฉลี่ยเป็นหมวดหมู่ทางสถิติ

คุณสมบัติดังต่อไปนี้ค่าเฉลี่ยถือเป็นการคำนวณเนื่องจากมีคุณค่าทางปฏิบัติอยู่บ้าง

คุณสมบัติ 4. หากน้ำหนัก (ความถี่) ทั้งหมดหารด้วยจำนวนคงที่ d ใดๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากนี่คือการลดใน เท่าๆ กันจะส่งผลต่อทั้งตัวเศษและส่วนของสูตรในการคำนวณค่าเฉลี่ย

ผลที่ตามมาที่สำคัญสองประการตามมาจากคุณสมบัตินี้

ข้อพิสูจน์ 1. หากน้ำหนักทั้งหมดเท่ากัน การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนักสามารถแทนที่ได้ด้วยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

ข้อพิสูจน์ 2. ค่าสัมบูรณ์ความถี่ (น้ำหนัก) สามารถถูกแทนที่ด้วยน้ำหนักเฉพาะได้

คุณสมบัติ 5 ถ้าตัวเลือกทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยจำนวน d คงที่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะลดลงหรือเพิ่มขึ้น d เท่า

คุณสมบัติ 6. ถ้าตัวเลือกทั้งหมดลดลงหรือเพิ่มขึ้นด้วย จำนวนคงที่ A จากนั้นการเปลี่ยนแปลงที่คล้ายกันจะเกิดขึ้นกับค่าเฉลี่ย

คุณสมบัติการใช้งานค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถแสดงได้โดยใช้วิธีคำนวณค่าเฉลี่ยจากจุดเริ่มต้นแบบมีเงื่อนไข (วิธีโมเมนต์)

เฉลี่ย วิธีเลขคณิตช่วงเวลาคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ A อยู่ตรงกลางของช่วงเวลาใด ๆ (กำหนดการตั้งค่าให้กับช่วงกลาง)

d – ค่าของช่วงที่มีขนาดเท่ากัน หรือตัวหารที่มากที่สุดของช่วง

ม. 1 – ช่วงเวลาของลำดับแรก

ช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรกมีการกำหนดดังนี้:

.

เราแสดงเทคนิคการใช้วิธีคำนวณนี้โดยใช้ข้อมูลจากตัวอย่างก่อนหน้านี้

ตารางที่ 5.6

ประสบการณ์การทำงานปี	จำนวนคนงาน	จุดกึ่งกลาง x
มากถึง 5		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 ขึ้นไป		22,5	+10	+2	+22
ทั้งหมด		เอ็กซ์	เอ็กซ์	เอ็กซ์	-3

ดังที่เห็นได้จากการคำนวณในตาราง 5.6 หนึ่งในค่า 12.5 จะถูกลบออกจากตัวเลือกทั้งหมดซึ่งเท่ากับศูนย์และทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงแบบมีเงื่อนไข ผลจากการหารความแตกต่างด้วยค่าช่วงเวลา – 5 จะทำให้ได้ตัวเลือกใหม่

ตามผลการแข่งขันของตาราง 5.6 เรามี: .

ผลลัพธ์ของการคำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์จะคล้ายกับผลลัพธ์ที่ได้จากวิธีคำนวณหลักโดยใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์

M av - คำนวณโดยใช้วิธีโมเมนต์ = 61.6 กก

เฉลี่ย ปริมาณเลขคณิตมีคุณสมบัติสามประการ

1. ค่าเฉลี่ยครองตำแหน่งตรงกลางในชุดรูปแบบต่างๆ - ในแถวสมมาตรอย่างเคร่งครัด: ม = ม 0 =ม จ.

2. ค่าเฉลี่ยเป็นค่าทั่วไป และความผันผวนแบบสุ่มและความแตกต่างในแต่ละข้อมูลจะไม่สามารถมองเห็นได้หลังค่าเฉลี่ย โดยจะเผยให้เห็นค่าปกติของประชากรทั้งหมด . ค่าเฉลี่ยจะถูกเปลี่ยนเป็นเมื่อใดก็ตามที่จำเป็นต้องแยกอิทธิพลแบบสุ่มของแต่ละปัจจัย เพื่อระบุคุณลักษณะทั่วไป รูปแบบที่มีอยู่ เพื่อให้ได้ความเข้าใจที่สมบูรณ์และลึกซึ้งเกี่ยวกับปัจจัยทั่วไปและ คุณสมบัติลักษณะทั้งกลุ่ม

3. ผลรวมของการเบี่ยงเบนของตัวเลือกทั้งหมดจากค่าเฉลี่ยคือศูนย์ : S (VM)= 0 . สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะว่า ค่าเฉลี่ยเกินขนาดของบางรุ่นและมีขนาดเล็กกว่าขนาดของรุ่นอื่นๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเบี่ยงเบนที่แท้จริงคือตัวแปรที่แตกต่างจากค่าเฉลี่ยที่แท้จริง (ง=วี-เอ็ม)สามารถเป็นบวกหรือลบได้ ดังนั้นผลรวม ส "+"d และ "-"d ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

คุณสมบัตินี้ค่าเฉลี่ยใช้ในการตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณ ม.หากผลรวมของการเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ เราก็สามารถสรุปได้ว่าค่าเฉลี่ยนั้นคำนวณได้ถูกต้อง วิธีการช่วงเวลาในการพิจารณา ม.ท้ายที่สุดหากเป็นค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข กจะเท่ากับความจริง เอ็มจากนั้นผลรวมของการเบี่ยงเบนของตัวแปรจากค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขจะเท่ากับศูนย์

บทบาทของค่าเฉลี่ยในชีววิทยานั้นยอดเยี่ยมมาก ในด้านหนึ่ง ใช้เพื่ออธิบายลักษณะปรากฏการณ์โดยรวม ในทางกลับกัน จำเป็นสำหรับการประเมินปริมาณแต่ละส่วน โดยการเปรียบเทียบแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ยจะได้ลักษณะที่มีคุณค่าสำหรับค่าแต่ละค่า การใช้ค่าเฉลี่ยต้องปฏิบัติตามหลักการความสม่ำเสมอของประชากรอย่างเคร่งครัด การละเมิดหลักการนี้บิดเบือนความคิดของกระบวนการจริง

การคำนวณค่าเฉลี่ยจากประชากรที่แตกต่างกันทางเศรษฐกิจและสังคมทำให้ตัวเลขเหล่านี้เป็นเรื่องสมมติและบิดเบี้ยว ดังนั้น เพื่อที่จะใช้ค่าเฉลี่ยอย่างถูกต้อง เราต้องแน่ใจว่าค่าเฉลี่ยเหล่านี้แสดงลักษณะของประชากรทางสถิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ลักษณะของความหลากหลายทางลักษณะใน

สรุปทางสถิติ

ค่าของคุณลักษณะเฉพาะไม่เหมือนกันสำหรับสมาชิกทุกคน แม้ว่าจะมีความเป็นเนื้อเดียวกันโดยสัมพันธ์กันก็ตาม ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มเด็กที่มีอายุ เพศ และสถานที่อยู่อาศัยเป็นเนื้อเดียวกัน ความสูงของเด็กแต่ละคนจะแตกต่างจากการเติบโตของคนรอบข้าง เช่นเดียวกันกับจำนวนครั้งที่บุคคลมาคลินิก ระดับโปรตีนในเลือดของผู้ป่วยโรคไขข้ออักเสบแต่ละราย ระดับความดันโลหิตในผู้ที่เป็นโรคความดันโลหิตสูง เป็นต้น ซึ่งแสดงให้เห็นความหลากหลายและความแปรปรวนของ ลงชื่อเข้าใช้ประชากรที่กำลังศึกษา ความแปรปรวนสามารถแสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างการเติบโตในกลุ่มวัยรุ่น

สถิติทำให้สามารถระบุลักษณะนี้ได้ด้วยเกณฑ์พิเศษที่กำหนดระดับความหลากหลายของลักษณะแต่ละอย่างในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง หลักเกณฑ์ดังกล่าวได้แก่ ขีดจำกัด (lim) แอมพลิจูดของอนุกรม (เช้า),เฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(s) และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (C v)เนื่องจากแต่ละเกณฑ์เหล่านี้มีของตัวเอง ความหมายที่เป็นอิสระจากนั้นคุณควรอาศัยอยู่แยกกัน

ขีดจำกัด- ตัวเลือกในชุดรูปแบบจะถูกกำหนดโดยค่าสุดขั้ว

แอมพลิจูด (เช้า) - ความแตกต่างระหว่างตัวเลือกสุดขั้ว

ขีดจำกัดและแอมพลิจูด - ให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับระดับความหลากหลายของการเติบโตในแต่ละกลุ่ม อย่างไรก็ตาม ทั้งขีดจำกัดและแอมพลิจูดของอนุกรมมีข้อเสียเปรียบที่สำคัญประการหนึ่งพวกเขาคำนึงถึงเฉพาะความหลากหลายของตัวแปรที่รุนแรงและไม่อนุญาตให้ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับความหลากหลายของลักษณะโดยรวมโดยคำนึงถึงโครงสร้างภายในของมัน ความจริงก็คือความหลากหลายนั้นไม่ปรากฏให้เห็นมากนักในรูปแบบที่รุนแรง แต่ในการวิเคราะห์โครงสร้างภายในทั้งหมดของกลุ่ม ดังนั้น เกณฑ์เหล่านี้สามารถใช้เพื่อประมาณคุณลักษณะความหลากหลายได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการสังเกตจำนวนน้อย (n<30).

คำอธิบายที่สมบูรณ์ที่สุดของความหลากหลายของลักษณะโดยรวมนั้นมาจากสิ่งที่เรียกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแสดงด้วยอักษรกรีก "ซิกมา" -ส.

มีสองวิธีในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและวิธีการของโมเมนต์.

ด้วยวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้สูตรโดยที่ ด-ตัวเลือกส่วนเบี่ยงเบนที่แท้จริงจากค่าเฉลี่ยจริง (วี-เอ็ม).

สูตรนี้ใช้สำหรับการสังเกตจำนวนเล็กน้อย (n<30), когда в вариационном ряду все частоты พี= 1.

ที่ ร> 1 ใช้สูตรดังนี้:

หากมีเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ สูตรนี้ก็ใช้ในการสังเกตจำนวนมากเช่นกัน

สูตรนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อกำหนด "ซิกมา" โดยใช้วิธีโมเมนต์:

ที่ไหน:ก-ส่วนเบี่ยงเบนแบบมีเงื่อนไขจากค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ( วี-เอ); พี-ความถี่ของการเกิดตัวแปร ไม่มีตัวเลือกหมายเลข; ฉัน-ขนาดของช่วงเวลาระหว่างกลุ่ม

วิธีการนี้ใช้ในกรณีที่ไม่มีเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ และซีรี่ส์รูปแบบต่างๆ มีความยุ่งยากเนื่องจาก จำนวนมากการสังเกต และเนื่องจากตัวแปรที่แสดงเป็นตัวเลขหลายหลัก เมื่อจำนวนการสังเกตเท่ากับ 30 หรือน้อยกว่า ขณะถึงระดับที่สอง nแทนที่สำหรับ (หน้า-1).

ดังที่เห็นได้จากสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (4) ตัวส่วนประกอบด้วย ( n-1) กล่าวคือ เมื่อจำนวนการสังเกตเท่ากับหรือน้อยกว่า 30 (n £ 30) จำเป็นต้องดำเนินการ ( n-1) หากเมื่อพิจารณาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มคำนึงถึงองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมแล้วจึงคำนวณ เอ,มีความจำเป็นที่จะต้องไม่ดำเนินการทุกกรณี แต่น้อยกว่าหนึ่งกรณี (หน้า-1)

ด้วยการสังเกตจำนวนมาก (n>30) ระบบจึงนำตัวส่วนของสูตรไปใช้ พีดังนั้น เนื่องจากหน่วยไม่เปลี่ยนแปลงผลการคำนวณจึงละเว้นโดยอัตโนมัติ

ควรสังเกตว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าที่ระบุชื่อดังนั้นจึงต้องมีการกำหนดร่วมกับตัวแปรและค่าเฉลี่ยเลขคณิต (มิติ - กก. ดูกิโลเมตร ฯลฯ)

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้วิธีโมเมนต์จะดำเนินการหลังจากคำนวณค่าเฉลี่ยแล้ว

มีอีกเกณฑ์หนึ่งที่กำหนดลักษณะระดับความหลากหลายของค่าคุณลักษณะโดยรวม - ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน.

ค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลง (Cv)- เป็นการวัดสัมพัทธ์ของความหลากหลาย เนื่องจากคำนวณเป็นเปอร์เซ็นต์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ก) ถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ม).สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันคือ:

สำหรับการประเมินระดับความหลากหลายของลักษณะโดยประมาณ จะใช้การไล่ระดับของสัมประสิทธิ์การแปรผันต่อไปนี้ หากค่าสัมประสิทธิ์มากกว่า 20% แสดงว่ามีความหลากหลายมาก ที่ 20-10% - โดยเฉลี่ยและหากค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่า 10% ก็ถือว่าความหลากหลายนั้นอ่อนแอ

ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันจะใช้เมื่อเปรียบเทียบระดับความหลากหลายของคุณสมบัติที่มีขนาดแตกต่างกันหรือขนาดไม่เท่ากัน สมมติว่าเราต้องเปรียบเทียบระดับความหลากหลายของน้ำหนักตัวในทารกแรกเกิดและเด็กอายุ 5 ขวบ เป็นที่ชัดเจนว่าทารกแรกเกิดจะมีซิกม่าน้อยกว่าเด็กอายุเจ็ดขวบเสมอ เนื่องจากน้ำหนักของแต่ละคนต่ำกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะน้อยลงเมื่อค่าของแอตทริบิวต์นั้นน้อยกว่า ในกรณีนี้ เพื่อกำหนดความแตกต่างในระดับความหลากหลาย ไม่จำเป็นต้องมุ่งเน้นไปที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่อยู่ที่การวัดสัมพัทธ์ของความหลากหลาย - ค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลง Cv

คุ้มค่ามากค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันยังต้องประเมินและเปรียบเทียบระดับความหลากหลายของลักษณะต่างๆ ที่มีมิติต่างกัน ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ยังคงเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินความแตกต่างในระดับความหลากหลายของคุณลักษณะเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้สัมประสิทธิ์การแปรผัน - Cv

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพันธ์กับโครงสร้างของชุดการแจกแจงของคุณลักษณะ ซึ่งสามารถอธิบายได้เป็นแผนผังดังนี้

ทฤษฎีสถิติได้พิสูจน์แล้วว่าด้วยการแจกแจงแบบปกติ 68% ของกรณีทั้งหมดอยู่ภายใน M±s, 95.5% ของกรณีทั้งหมดอยู่ภายใน M±2s และ 99.7% ของกรณีทั้งหมดที่ประกอบเป็นประชากรอยู่ภายใน M±3s . ดังนั้น М±3s จึงครอบคลุมซีรีย์การเปลี่ยนแปลงเกือบทั้งหมด

นี้ ตำแหน่งทางทฤษฎีสถิติเกี่ยวกับความสม่ำเสมอของโครงสร้างของอนุกรมมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการประยุกต์ใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้กฎนี้เพื่อชี้แจงคำถามเกี่ยวกับลักษณะทั่วไปของค่าเฉลี่ย หาก 95% ของตัวแปรทั้งหมดอยู่ภายใน M±2 วินาที ค่าเฉลี่ยจะเป็นค่าปกติสำหรับอนุกรมที่กำหนด และไม่จำเป็นต้องเพิ่มจำนวนการสังเกตโดยรวมเพื่อกำหนดลักษณะทั่วไปของค่าเฉลี่ย การกระจายตามจริงจะถูกเปรียบเทียบกับการกระจายทางทฤษฎีโดยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนซิกมา

ความสำคัญในทางปฏิบัติของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือการรู้เช่นกัน มและ สคุณสามารถสร้างชุดรูปแบบที่จำเป็นสำหรับได้ การใช้งานจริง- ซิกมา ( ส) ยังใช้เพื่อเปรียบเทียบระดับความหลากหลายของลักษณะที่เป็นเนื้อเดียวกัน เช่น เมื่อเปรียบเทียบความผันผวน (ความแปรปรวน) ในการเจริญเติบโตของเด็กในเขตเมืองและชนบท รู้จักซิกมา ( ส) คุณสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (Cv) ซึ่งจำเป็นในการเปรียบเทียบระดับความหลากหลายของลักษณะที่แสดงในหน่วยการวัดต่างๆ (เซนติเมตร กิโลกรัม ฯลฯ) สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถระบุสัญญาณที่มีเสถียรภาพมากขึ้น (คงที่) และมีเสถียรภาพน้อยลงในการรวม

การเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (ประวัติย่อ)สามารถสรุปได้ว่าอะไรคือสิ่งที่มากที่สุด สัญญาณที่มั่นคงในชุดป้าย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s)ยังใช้เพื่อประเมินลักษณะเฉพาะของวัตถุหนึ่งชิ้นด้วย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานระบุจำนวนซิกม่า ( ส) จากค่าเฉลี่ย (ม)การวัดแต่ละครั้งจะถูกปฏิเสธ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ส)สามารถใช้ในด้านชีววิทยาและนิเวศวิทยาเมื่อพัฒนาปัญหาบรรทัดฐานและพยาธิวิทยา

สุดท้ายค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ องค์ประกอบที่สำคัญสูตร ที ม- ข้อผิดพลาดเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทน):

ที่ไหน ที ม- ค่าเฉลี่ยคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ข้อผิดพลาดของการเป็นตัวแทน) n- จำนวนการสังเกต

ความเป็นตัวแทน.รากฐานทางทฤษฎีที่สำคัญที่สุดของการเป็นตัวแทนได้กล่าวถึงไว้ข้างต้นในหัวข้อกลุ่มตัวอย่างและประชากร ตัวแทน หมายถึง ความเป็นตัวแทนใน ประชากรตัวอย่างทั้งหมดคำนึงถึงลักษณะเฉพาะ (เพศ อายุ อาชีพ ระยะเวลาการทำงาน ฯลฯ) ของหน่วยสังเกตการณ์ที่ประกอบเป็นประชากรทั่วไป ความเป็นตัวแทนของประชากรตัวอย่างที่สัมพันธ์กับประชากรทั่วไปนี้สามารถทำได้โดยใช้ วิธีการพิเศษการเลือกซึ่งมีการระบุไว้ด้านล่าง

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวิจัยจะขึ้นอยู่กับ รากฐานทางทฤษฎีความเป็นตัวแทน

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวิจัย

ควรเข้าใจความน่าเชื่อถือของตัวบ่งชี้ทางสถิติว่าเป็นระดับที่สอดคล้องกับความเป็นจริงที่เป็นตัวแทน ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้คือผลลัพธ์ที่ไม่บิดเบือนและสะท้อนความเป็นจริงตามวัตถุประสงค์อย่างถูกต้อง

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวิจัยหมายถึงการกำหนดความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ในการถ่ายโอนผลลัพธ์ที่ได้รับจากประชากรตัวอย่างไปยังประชากรทั้งหมด

ในการศึกษาส่วนใหญ่ ตามกฎแล้วผู้วิจัยจะต้องจัดการกับส่วนหนึ่งของปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาและถ่ายโอนข้อสรุปจากผลการศึกษาดังกล่าวไปยังปรากฏการณ์ทั้งหมดโดยรวม - ไปยังประชากรทั่วไป

ดังนั้นการประเมินความน่าเชื่อถือจึงมีความจำเป็นเพื่อที่จะตัดสินจากส่วนหนึ่งของปรากฏการณ์ถึงปรากฏการณ์โดยรวมหรือรูปแบบของปรากฏการณ์นั้น

การประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวิจัยเกี่ยวข้องกับการกำหนด:

1) ข้อผิดพลาดของการเป็นตัวแทน (ข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและ ค่าสัมพัทธ์) - ต;

2) ขีดจำกัดความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย (หรือค่าสัมพัทธ์)

3) ความน่าเชื่อถือของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ย (หรือค่าสัมพัทธ์)
(ตามเกณฑ์.ที );

4) ความน่าเชื่อถือของความแตกต่างระหว่างกลุ่มที่เปรียบเทียบตามเกณฑ์ค 2 .

1. การกำหนดข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของค่าเฉลี่ย (หรือค่าสัมพัทธ์) (ข้อผิดพลาดของการเป็นตัวแทน) - เช่น

ข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทน ( ม) เป็นปริมาณทางสถิติที่สำคัญที่สุดที่จำเป็นในการประเมินความน่าเชื่อถือของผลการวิจัย ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นในกรณีที่จำเป็นต้องระบุลักษณะปรากฏการณ์โดยรวมในบางส่วน ข้อผิดพลาดเหล่านี้หลีกเลี่ยงไม่ได้ มีต้นกำเนิดมาจากลักษณะของการวิจัยสุ่มตัวอย่าง ประชากรสามารถกำหนดลักษณะได้จากประชากรตัวอย่างเฉพาะกับข้อผิดพลาดบางอย่างเท่านั้น ซึ่งวัดโดยข้อผิดพลาดด้านความเป็นตัวแทน

ข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทนไม่สามารถสับสนกับแนวคิดทั่วไปของข้อผิดพลาด: วิธีการ, ความแม่นยำในการวัด, เลขคณิต ฯลฯ

ขนาดของข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทนจะกำหนดจำนวนผลลัพธ์ที่ได้รับ การสังเกตแบบเลือกสรรแตกต่างจากผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาองค์ประกอบทั้งหมดของประชากรทั่วไปอย่างต่อเนื่องโดยไม่มีข้อยกเว้น

นี่เป็นข้อผิดพลาดประเภทเดียวที่นำมาพิจารณา วิธีการทางสถิติซึ่งไม่สามารถกำจัดได้เว้นแต่จะมีการเปลี่ยนผ่านไปสู่การศึกษาต่อเนื่อง ข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทนสามารถลดลงเหลือค่าที่ค่อนข้างเล็ก เช่น ค่าความผิดพลาดที่อนุญาต ซึ่งทำได้โดยการให้การสังเกตในตัวอย่างมีจำนวนเพียงพอ (น)

ค่าเฉลี่ยแต่ละค่าคือ ม(ระยะเวลาการรักษาเฉลี่ย ส่วนสูงเฉลี่ย น้ำหนักเฉลี่ยร่างกาย, ระดับกลางโปรตีนในเลือด ฯลฯ) รวมถึงค่าสัมพัทธ์แต่ละค่า - ร(อัตราการตาย อัตราการเจ็บป่วย ฯลฯ) จะต้องแสดงพร้อมกับข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ย - ต.ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรกลุ่มตัวอย่าง (ม)มีข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทนซึ่งเรียกว่าข้อผิดพลาดเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิต (m · m) และถูกกำหนดโดยสูตร:

ดังที่เห็นได้จากสูตรนี้ ค่าของความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับระดับความหลากหลายของลักษณะและเป็นสัดส่วนผกผันกับรากที่สองของจำนวนการสังเกต ดังนั้น การลดขนาดของข้อผิดพลาดนี้เมื่อกำหนดระดับความหลากหลาย ( ส) สามารถทำได้โดยการเพิ่มจำนวนการสังเกต

วิธีการกำหนดจำนวนข้อสังเกตที่เพียงพอสำหรับการศึกษาตัวอย่างจะขึ้นอยู่กับหลักการนี้

ค่าสัมพัทธ์ (ป)ได้รับจาก การศึกษาตัวอย่างยังมีข้อผิดพลาดในการเป็นตัวแทนของตัวเอง ซึ่งเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์โดยเฉลี่ยและแสดงแทน ม

เพื่อกำหนดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์โดยเฉลี่ย (ป)ใช้สูตรต่อไปนี้:

ที่ไหน ร- ค่าสัมพัทธ์ หากตัวบ่งชี้แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์แล้ว คิว=100-P,ถ้า ร-เป็น ppm แล้ว คิว=1,000-P,ถ้า ร-ใน prodecimals แล้ว คิว= 10000-รฯลฯ.; n- จำนวนการสังเกต หากจำนวนการสังเกตน้อยกว่า 30 ตัวส่วนควรเป็น ( พี – 1 ).

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าสัมพัทธ์แต่ละรายการที่ได้รับจากตัวอย่างจะต้องแสดงค่าคลาดเคลื่อนของค่าเฉลี่ยในตัวมันเอง ทำให้สามารถคำนวณขีดจำกัดความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยและค่าสัมพัทธ์ได้ รวมถึงกำหนดความน่าเชื่อถือของความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้ที่เปรียบเทียบ (ผลการวิจัย)

สูตรสถิติ

หัวข้อที่ 1: สถิติการจัดกลุ่ม

การกำหนดจำนวนกลุ่ม(หากจัดกลุ่มต่อเนื่องหรือแยกหลายค่า)

การกำหนดค่าของช่วงเวลาที่เท่ากัน:

หัวข้อที่ 2: ปริมาณสัมบูรณ์และปริมาณสัมพัทธ์

ค่าสัมพัทธ์ :

1) เกี่ยวข้อง โครงสร้างเวลออน:

2) เกี่ยวข้อง นำไปสู่ภารกิจที่วางแผนไว้:

3) เกี่ยวข้อง คำแนะนำในการดำเนินการตามแผน:

4) เกี่ยวข้อง Vel-on Dynamics หรืออัตราการเติบโต:

5) เกี่ยวข้อง Vel-เพื่อเปรียบเทียบ

6) เกี่ยวข้อง ความเข้ม Vel-on(ตัวอย่าง: ผลผลิตทุน = ปริมาณ/ต้นทุน (หนึ่งปี))

หัวข้อที่ 3: ค่าเฉลี่ยและตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เรียบง่าย :

ถ่วงน้ำหนัก :

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

เรียบง่าย :

ถ่วงน้ำหนัก : , ผลรวมของค่าคุณลักษณะตามกลุ่ม

คุณสมบัติเฉลี่ย เลขคณิต:

ถ้าคุณทำอาหารทุกมื้อ เอ็กซ์ลดลงหรือเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนเดียวกัน แล้วจึง cf

ถ้าคุณทำอาหารทุกมื้อ เอ็กซ์เพิ่มขึ้นหรือลดลงเป็นจำนวนเท่ากัน

ทักษะหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวนเท่าเดิม แล้วจึง cf เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวนเท่าๆ กัน ถ้าทุกความถี่ฉ

ทักษะหรือเพิ่มขึ้นตามจำนวนเท่าเดิม แล้วจึง cf เวลนาจะไม่เปลี่ยนแปลง พ. เวล-นา พึ่งพาเอ็กซ์ จาก var-คุณและโครงสร้างตัก , แมว. โดดเด่นด้วยหุ้น.

ง มีชุดจำหน่าย:

1) 3 ศูนย์ ;

2) พ Arimet-บางสิ่งบางอย่าง แฟชั่น

3) – var-ta ที่พบบ่อยที่สุด; – วาตา ยืนตรงกลางแถวแจกแจง ขั้นแรก หาค่ามัธยฐาน N, แมว เท่ากับ n/2 ถ้า จำนวนหน่วย Scoop n – เลขคู่ หรือถ้าจำนวนหน่วย Scoop เป็นเลขคี่

ขั้นพื้นฐาน มีรูปแบบใดบ้าง?:

1) ช่วงของการเปลี่ยนแปลง:

2) พ ส่วนเบี่ยงเบนเชิงเส้น(เปรียบเทียบเลขคณิตจากการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของค่าที่แยกจากกัน)

สำหรับที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ข้อมูล:

สำหรับการจัดกลุ่ม ข้อมูล:

3) พ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(har-et avg. ส่วนเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ของ var-ty จาก avg. vel-ny)

สำหรับที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ข้อมูล:

สำหรับการจัดกลุ่ม ข้อมูล:

4) การกระจายตัว– กำลังสองของรากเฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง

สำหรับที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ข้อมูล:

สำหรับการจัดกลุ่ม ข้อมูล:

ผลต่างทั้งหมด: (สำหรับกลุ่ม) (สำหรับผู้ที่ไม่ใช่กลุ่ม)

– พ เวล-นา เรซุล. รางวัลมีความสม่ำเสมอ - ความถี่ (รวม!)

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม: - จำนวนตัวเลือกในกลุ่ม ฉัน

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม: - จำนวนตัวเลือกในกลุ่ม ฉัน

กฎสำหรับการบวกผลต่าง:

ไม่มีหน่วยวัด.

5) ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน har-et cf. เกี่ยวข้อง เบี่ยงเบนไปจากวันพุธ เวล-นิวยอร์ก

วิธีการของช่วงเวลา

เรามักจะเจอการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตด้วยวิธีที่เรียบง่าย

ในกรณีนี้จะใช้คุณสมบัติของค่าเฉลี่ย วิธีการคำนวณแบบง่ายเรียกว่าวิธีโมเมนต์หรือวิธีการนับจากศูนย์แบบมีเงื่อนไข

วิธีการของช่วงเวลาถือว่า ขั้นตอนต่อไป :

1) เลือกต้นกำเนิด ( จากเอ็กซ์ ) – ศูนย์ตามเงื่อนไข ( ก- มักจะใกล้กับกึ่งกลางของการแพร่กระจายมากที่สุด

2) พบการเบี่ยงเบนของตัวเลือกจากศูนย์ตามเงื่อนไข ()

4) หากการเบี่ยงเบนเหล่านี้มีปัจจัยร่วม ( เค) จากนั้นจึงคำนวณ

ส่วนเบี่ยงเบนจะถูกหารด้วยปัจจัยนี้

วิธีการของช่วงเวลา :

เฉลี่ย:

การกระจายตัว:

หัวข้อที่ 4: การสังเกตแบบเลือกสรร

สัญลักษณ์ในทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง:

เอ็น– หมายเลขเจน ตัวอย่าง	n– หมายเลขเจน ตัวอย่าง
พล.	เฉลี่ย (ประมาณ)
- ทางเลือก. เฉลี่ย (คำนวณ)พี	- ทั่วไป แบ่งปัน (ประมาณการ)ว
- ทางเลือก. แบ่งปัน (คำนวณ)(ที) ป

– ระดับความน่าจะเป็นที่ระบุ

พล. เฉลี่ย: จากที่กำหนด ระดับความน่าจะเป็น P(t)

, ที– ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับค่าเฉลี่ย เวล-นิวยอร์ก

– เกณฑ์ความน่าเชื่อถือจะขึ้นอยู่กับระดับที่กำหนด ความน่าจะเป็น P(t) 1) - ทางเลือก. แบ่งปัน (คำนวณ)(ทีถ้าที=1 ; 2) - ทางเลือก. แบ่งปัน (คำนวณ)(ที) = 0.683 แล้วที=2 ; 3) - ทางเลือก. แบ่งปัน (คำนวณ)(ที) = 0.954 แล้วที=3

) = 0.997 แล้ว

– RM ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง - จริงสำหรับการคัดเลือกใหม่

ในตัวอย่าง

- สำหรับการเลือกแบบไม่ซ้ำกัน

พิสูจน์แล้ว: ด้วยการให้ ระดับความน่าจะเป็น P(t)

– ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับการแบ่งปัน

, – RM. ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับการแบ่งปัน

ในตัวอย่าง

– เพื่อการคัดเลือกใหม่

หัวข้อที่ 5: ซีรี่ส์ไดนามิก

1) นักวิเคราะห์ สำหรับตอนนี้:แน่นอน เพิ่มขึ้น

(ความแตกต่างระดับ)

2) (โซ่) ; (พื้นฐาน)

(ความแตกต่างระดับ)

3) อัตราการเติบโต (อัตราส่วนระดับ)

อัตราการเพิ่มขึ้น (โซ่) ;

4) (พื้นฐาน)

มูลค่าสัมบูรณ์เพิ่มขึ้น 1% (โซ่) ;

(โซ่) ;

1) ค่าเฉลี่ย: ;

2) พ ระดับไดนามิก แถว .

พ วิเคราะห์ ได้แสดงให้วิทยากรดู แถว

การคำนวณเฉลี่ย ระดับผู้จัดการ ขึ้นอยู่กับประเภทของทางขับ: ก) – สำหรับการแทรกแซง RD เท่ากัน ระยะเวลา

พ เลขคณิต เรียบง่าย สำหรับการแทรกแซง แท็กซี่เวย์ที่มีความไม่เท่ากัน ระยะเวลา – พ เลขคณิต ถ่วงน้ำหนัก

วี) สำหรับทางขับชั่วขณะที่มีวันเวลาเท่ากัน – พ ตามลำดับเวลา

ช) สำหรับทางขับชั่วขณะที่มีระยะห่างไม่เท่ากัน – พ เลขคณิต ถ่วงน้ำหนัก

การคำนวณเฉลี่ย วิเคราะห์ แสดง:

การคำนวณเฉลี่ย ระดับผู้จัดการ ขึ้นอยู่กับประเภทของทางขับ: พ แน่นอน เพิ่มขึ้น

พ เลขคณิต เรียบง่าย พ อัตราการเติบโต

วี) พ อัตราการเพิ่มขึ้น

ปิดทางแท็กซี่

ในการดำเนินการปิด RD ในแถวปิด จะมีการค้นหาจุดเวลา (วันที่, ระยะเวลา) เมื่อมีข้อมูลเกี่ยวกับคุณลักษณะที่กำลังศึกษา ทั้งในเงื่อนไขก่อนหน้าและในเงื่อนไขใหม่ ค่าสัมประสิทธิ์จะถูกคำนวณเพิ่มเติม การคำนวณ - ปิด แถว.

ในระหว่างการประมวลผล RD มีความสำคัญ ภารกิจคือการระบุปัจจัยพื้นฐาน แนวโน้มการพัฒนาปรากฏการณ์ (แนวโน้ม) และความราบรื่นของเหตุการณ์สุ่ม ความลังเล เพื่อแก้ปัญหานี้มีวิธีการพิเศษนะแมว เรียกว่าวิธีการจัดตำแหน่ง

3 หลัก วิธีการประมวลผลอนุกรมเวลา:

ก) การขยายช่วงทางขับและการคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละช่วง ช่วงเวลาที่ขยาย;

(การเปลี่ยนจาก int ที่ต่อเนื่องน้อยลงไปเป็นค่าที่ต่อเนื่องมากขึ้น ค่าเฉลี่ยที่คำนวณโดยใช้ ints ที่ขยายใหญ่ขึ้น ทำให้สามารถระบุทิศทางและธรรมชาติ (การเร่งความเร็วหรือการชะลอตัว) ของแนวโน้มการพัฒนาหลักได้ ค่าเฉลี่ยคำนวณโดยใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย

b) วิธีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

(ระดับเฉลี่ยจะคำนวณจากจำนวนหนึ่งซึ่งมักจะเป็นคี่ของระดับแรกของซีรีส์ จากนั้น - จากจำนวนระดับเท่ากัน แต่เริ่มจากระดับที่สอง จากนั้น - เริ่มจากระดับที่สาม เป็นต้น T/o “สไลด์” โดยเฉลี่ยตามลำดับเวลาตั้งแต่ต้นจนจบ แต่ละครั้งจะละทิ้งหนึ่งระดับที่จุดเริ่มต้นและเพิ่มระดับถัดไป

c) การจัดตำแหน่งเชิงวิเคราะห์

การเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาลและคลื่น

ดัชนีฤดูกาลคืออัตราส่วนเปอร์เซ็นต์ของระดับที่เกิดขึ้นจริงระหว่างปีต่อค่าคงที่หรือค่าเฉลี่ยแปรผัน การรวมกันของตัวชี้วัดเหล่านี้สะท้อนถึงคลื่นตามฤดูกาล

เพื่อระบุฤดูกาล ความผันผวนมักจะใช้ข้อมูลเป็นเวลาหลายปีโดยแจกแจงตามเดือน ในแต่ละเดือนจะมีการคำนวณระดับเฉลี่ย เช่น 3 ปี ( ) จากนั้นจึงคำนวณระดับเฉลี่ยสำหรับทั้งซีรี่ส์ ( ) ถูกกำหนดเพิ่มเติม เปอร์เซ็นต์ค่าเฉลี่ยในแต่ละเดือนจนถึงระดับเฉลี่ยรายเดือนโดยรวมของซีรีส์:

ระดับเฉลี่ยในแต่ละเดือนอยู่ที่ไหน

ระดับรายเดือนเฉลี่ยสำหรับทั้งซีรี่ส์

เพื่อแสดงภาพคลื่นตามฤดูกาล ดัชนีฤดูกาลจะแสดงในรูปแบบของกราฟ

ดัชนีส่วนบุคคล:

		ต้นทุนการผลิต	ค่าใช้จ่าย	ค่าใช้จ่ายเงินสด	ค่าแรง
ฉัน ถาม	ฉัน - ทางเลือก. เฉลี่ย (คำนวณ)	ฉัน z	ฉัน หน้า	ฉัน คิวซ	ฉัน คิวที

ดัชนีทั่วไป:

ดัชนีปริมาณฟิสิคัลทั่วไป (เนื่องจากจำนวนสินค้าโดยเฉลี่ยในตลาดเปลี่ยนแปลง)
การเปลี่ยนแปลงต้นทุนโดยสมบูรณ์เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงจำนวนสินค้า
ดัชนีราคาทั่วไป (รวม) (ราคาในตลาดเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยอย่างไร)
การเปลี่ยนแปลงต้นทุนโดยสมบูรณ์เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของราคา
ดัชนีการหมุนเวียนทั่วไป (มูลค่า) ทั้งหมด เกี่ยวข้อง การเปลี่ยนแปลงของต้นทุนสินค้าในตลาด
ทั่วไป แน่นอน การเปลี่ยนแปลงของต้นทุนสินค้าในตลาด
ดัชนีความสัมพันธ์	ฉัน หน้า = ฉัน - ทางเลือก. เฉลี่ย (คำนวณ) ฉัน ถาม
ดัชนีต้นทุนทั่วไป
ดัชนีทางกายภาพทั่วไป ปริมาณ (ในราคาต้นทุน)
ความสัมพันธ์ระหว่างดัชนี
ดัชนีต้นทุนการผลิตทั่วไป

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อฝึกฝนพื้นฐาน สถิติการเปลี่ยนแปลงทักษะในการคำนวณและประเมินความน่าเชื่อถือของค่าเฉลี่ย

วิธีการจัดชั้นเรียน: นักเรียนเตรียมตัวอย่างอิสระ บทเรียนเชิงปฏิบัติตามวรรณกรรมที่แนะนำและทำการบ้านเป็นรายบุคคล ครูตรวจสอบความถูกต้องของการดำเนินการภายใน 10 นาที การบ้านและชี้ให้เห็นข้อผิดพลาด ตรวจสอบระดับการเตรียมตัวโดยใช้แบบทดสอบและการซักถามแบบปากเปล่า จากนั้นนักเรียนจะคำนวณค่าเฉลี่ยและประเมินความน่าเชื่อถืออย่างอิสระ เมื่อจบบทเรียนครูจะตรวจสอบ งานอิสระนักเรียน.

คำถามทดสอบ:

1. อนุกรมความผันแปรคืออะไร อนุกรมความแปรผันประเภทใดที่มีความโดดเด่นในสถิติ องค์ประกอบของอนุกรมความแปรผันคืออะไร

2. ค่าเฉลี่ยความเป็นไปได้ของการใช้ยาและ กิจกรรมภาคปฏิบัติหมอ.

3. ประเภทของค่าเฉลี่ย: โหมด, ค่ามัธยฐาน, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

4. ระเบียบวิธีในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและพารามิเตอร์ที่แสดงลักษณะของค่าเฉลี่ย

5. อะไร กฎทางคณิตศาสตร์ทำให้สามารถยืนยันความน่าเชื่อถือของข้อมูลทางสถิติได้ในทางทฤษฎี

6. วิธีการตรวจสอบ ข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยขนาดเฉลี่ย

7. ขีดจำกัดความเชื่อมั่นของปริมาณที่ได้รับหมายถึงอะไร

8. การประเมินความน่าเชื่อถือของความแตกต่างในค่าเฉลี่ยโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น t

9. การประเมินเกณฑ์ความน่าเชื่อถือสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่และขนาดเล็ก

ใน การวิจัยทางการแพทย์และสังคมนอกจากค่าสัมบูรณ์และค่าสัมพัทธ์แล้ว ค่าเฉลี่ยยังถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางอีกด้วย ค่าเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปสะสมของลักษณะเชิงปริมาณ โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร M หรือ X ค่าเฉลี่ยแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากสัมประสิทธิ์ทางสถิติ:

1. ค่าสัมประสิทธิ์แสดงคุณลักษณะที่เกิดขึ้นเฉพาะในบางส่วนของประชากรทางสถิติเท่านั้น หรือที่เรียกว่าคุณลักษณะทางเลือก ซึ่งอาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ (การเกิด การตาย การเจ็บป่วย ความพิการ)

ค่าเฉลี่ยครอบคลุมคุณลักษณะที่มีอยู่ในสมาชิกทุกคนในทีม แต่ใน องศาที่แตกต่างกัน(น้ำหนัก ส่วนสูง วันที่รักษาในโรงพยาบาล)

2. ใช้ค่าสัมประสิทธิ์ในการวัด สัญญาณเชิงคุณภาพ- ค่าเฉลี่ย - สำหรับลักษณะเชิงปริมาณที่แตกต่างกัน

การใช้ค่าเฉลี่ยในการวิจัยทางการแพทย์และสังคมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษานี้ การพัฒนาทางกายภาพ- นอกจากนี้ยังใช้ค่าเฉลี่ย:

1. เพื่อกำหนดลักษณะขององค์กรการทำงานของสถาบันการแพทย์และประเมินกิจกรรมของพวกเขา:

A) ในคลินิก: ตัวบ่งชี้ปริมาณงานของแพทย์, การมาคลินิก, จำนวนการมาเยี่ยมโดยเฉลี่ยในปีที่ 1 ของชีวิต, จำนวนเด็กโดยเฉลี่ยต่อไซต์, จำนวนการมาเยี่ยมโดยเฉลี่ยสำหรับโรคเฉพาะ ฯลฯ ;

B) ในโรงพยาบาล: จำนวนวันโดยเฉลี่ยที่เตียงเปิดต่อปี ระยะเวลาการรักษาโดยเฉลี่ยสำหรับ โรคบางชนิดฯลฯ.;

C) ในหน่วยงานด้านสุขอนามัยและระบาดวิทยา: พื้นที่เฉลี่ย (หรือความจุลูกบาศก์) ต่อคน มาตรฐานโภชนาการโดยเฉลี่ย (โปรตีน ไขมัน คาร์โบไฮเดรต วิตามิน เกลือแร่ แคลอรี่) ในอาหารประจำวัน กลุ่มอายุในเด็กและผู้ใหญ่ เป็นต้น

2. เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ทางการแพทย์และสรีรวิทยาของร่างกายในสภาวะปกติและพยาธิวิทยาในการศึกษาทางคลินิกและการทดลอง

3. ในการศึกษาด้านประชากรศาสตร์และการแพทย์-สังคมพิเศษ

ในการคำนวณค่าเฉลี่ย จำเป็นต้องสร้างอนุกรมรูปแบบ - นั่นคือชุดการวัดเชิงตัวเลขของคุณลักษณะบางอย่างที่แตกต่างกันในมูลค่า

ซีรี่ส์รูปแบบเป็นประเภทต่อไปนี้:

A) จัดอันดับ, ไม่ได้รับการจัดอันดับ;

B) จัดกลุ่ม, ไม่จัดกลุ่ม;

B) ไม่ต่อเนื่องต่อเนื่อง

ซีรีส์จัดอันดับ - ซีรีส์ที่สั่ง; ตัวเลือกจะถูกจัดเรียงตามลำดับในการเพิ่มหรือลดค่าตัวเลข

แถวที่ไม่จัดอันดับ - ตัวเลือกจะถูกจัดเรียงอย่างไม่ตั้งใจ

ซีรี่ส์ไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) - ตัวเลือกจะแสดงในรูปแบบของตัวเลขจำนวนเต็ม (ไม่ต่อเนื่อง) (หน้าต่างในกระท่อม)

อนุกรมต่อเนื่อง - ตัวเลือกสามารถแสดงเป็นเลขเศษส่วนได้

อนุกรมที่ไม่ได้จัดกลุ่ม - แต่ละค่าของตัวเลือกจะสอดคล้องกับจำนวนความถี่ที่กำหนด

ซีรี่ส์ที่จัดกลุ่ม (ช่วงเวลา) - ตัวเลือกจะเชื่อมต่อเป็นกลุ่มที่รวมเข้าด้วยกันตามขนาดภายในช่วงเวลาที่กำหนด

ในสถิติเป็นเรื่องปกติที่จะต้องเน้น ประเภทต่อไปนี้ค่าเฉลี่ย: โหมด (Mo), ค่ามัธยฐาน (Me) และค่าเฉลี่ยเลขคณิต (M) โหมดคือค่าของคุณลักษณะที่แตกต่างกันซึ่งมักพบบ่อยที่สุดในผลรวม ในชุดรูปแบบต่างๆ นี่คือรูปแบบที่มีความถี่สูงสุดในการเกิดขึ้น โดยทั่วไปแล้ว โหมดนี้จะเป็นค่าที่ค่อนข้างใกล้กับค่าเฉลี่ยเลขคณิตและจะเกิดขึ้นพร้อมกันเมื่อการแจกแจงมีความสมมาตรโดยสมบูรณ์ ค่ามัธยฐานคือตัวแปรที่แบ่งชุดของรูปแบบออกเป็นสองซีกเท่าๆ กัน ที่ เลขคี่ข้อสังเกต ค่ามัธยฐานคือตัวเลือกที่มีอยู่ในชุดรูปแบบต่างๆ หมายเลขซีเรียล(n + 1): 2. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (M) - ต่างจากโหมดและค่ามัธยฐาน ซึ่งขึ้นอยู่กับการสังเกตทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็น ลักษณะสำคัญเพื่อการจำหน่ายทั้งหมด

ขึ้นอยู่กับประเภทของชุดการแปรผันจะใช้วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยอย่างใดอย่างหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสำหรับ ซีรีส์ง่ายๆโดยที่แต่ละตัวเลือกเกิดขึ้นครั้งเดียว คำนวณโดยสูตร: M =

เครื่องหมายผลรวม V – ค่านิยมส่วนบุคคลตัวเลือก n คือจำนวนการสังเกต ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสูตร: M=

เครื่องหมายของผลรวม, V – ค่าแต่ละค่าของตัวแปร, n – จำนวนการสังเกต, p – ความถี่ของการเกิดตัวแปร วิธีคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ง่ายและแม่นยำที่สุดวิธีหนึ่งคือวิธีโมเมนต์โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า ผลรวมพีชคณิตค่าเบี่ยงเบนของแต่ละชุดรูปแบบจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือศูนย์ ม= ก + ผม

โดยที่ A คือค่าเฉลี่ยหรือโหมดที่ยอมรับตามอัตภาพ a คือความเบี่ยงเบนของแต่ละตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยที่ยอมรับตามอัตภาพ p คือความถี่ของการเกิดตัวเลือก n คือจำนวนการสังเกต i คือช่วงเวลาหรือระยะห่างระหว่างตัวเลือกที่อยู่ใกล้เคียง คุณสมบัติพื้นฐานค่าเฉลี่ย: 1) มีลักษณะนามธรรมเนื่องจากเป็นค่าทั่วไป: ความผันผวนแบบสุ่มจะถูกลบออกไป 2) ครองตำแหน่งตรงกลางในแถว (ในแถวสมมาตรอย่างเคร่งครัด) 3) ผลรวมของการเบี่ยงเบนของตัวเลือกทั้งหมดจากค่าเฉลี่ยคือศูนย์ คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยนี้ใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณค่าเฉลี่ย ประเมินโดยระดับความผันผวนของชุดรูปแบบต่างๆ เกณฑ์สำหรับการประเมินดังกล่าวอาจเป็น: แอมพลิจูด (ความแตกต่างระหว่างตัวเลือกสุดขั้ว); ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แสดงว่าตัวเลือกต่างจากค่าเฉลี่ยที่คำนวณไว้อย่างไร ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (

) ระบุระดับความหลากหลายของลักษณะที่แตกต่างกันได้อย่างแม่นยำที่สุด โดยที่ไม่สามารถอธิบายลักษณะปรากฏการณ์ได้ครบถ้วนเพียงพอ สำหรับอนุกรมรูปแบบอย่างง่าย (p = 1) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะคำนวณโดยใช้สูตร

สำหรับอนุกรมรูปแบบถ่วงน้ำหนักโดยใช้สูตร:

โดยที่ d = V – M คือค่าเบี่ยงเบนของแต่ละตัวเลือกจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อจำนวนการสังเกตน้อยกว่า 30 ตัวส่วนของสูตรเหล่านี้จะไม่ใช่ n แต่เป็น n – 1 (จำนวนที่เรียกว่าองศาอิสระในสถิติ) เมื่อจำนวนการสังเกตมากกว่า 30 การลดตัวส่วนลงหนึ่งจะไม่มีผลใดๆ ความสำคัญในทางปฏิบัติ, เพราะ ไม่ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อผลลัพธ์สุดท้าย การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้วิธีโมเมนต์ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก

ที่ไหนคุณค่า

เรียกว่าชั่วขณะหนึ่งและ

ชั่วขณะหนึ่งของระดับที่สอง

ระดับของความหลากหลาย (ความผันผวน) ของลักษณะในชุดความแปรผันสามารถประเมินได้โดยสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (อัตราส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่อค่าเฉลี่ย คูณด้วย 100%) ด้วยความแปรผันน้อยกว่า 10% ความหลากหลายที่อ่อนแอจะถูกบันทึกโดยความแปรผัน 10-20% - โดยเฉลี่ยและด้วยความแปรผันมากกว่า 20% - ความหลากหลายที่แข็งแกร่งของลักษณะ หากไม่สามารถเปรียบเทียบอนุกรมรูปแบบกับชุดอื่นๆ ได้ ให้ใช้กฎซิกมาสามข้อ หากคุณเพิ่มหนึ่งซิกม่าลงในค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้นี้จะสอดคล้องกับ 68.3% โดยมีสองซิกม่า - 95.4% และสามซิกม่า - 99.7% ของลักษณะทั้งหมด ในทางการแพทย์ที่มีค่า M ± 1? แนวคิดเรื่องบรรทัดฐานนั้นเกี่ยวข้องกัน การเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย (ในทิศทางใดก็ได้) มากกว่า 1? แต่น้อยกว่า 2? ถือว่าไม่ปกติ (สูงกว่าหรือต่ำกว่าบรรทัดฐาน) และหากค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยมากกว่า 2? ตัวเลือกจะถือว่ามีนัยสำคัญ แตกต่างจากบรรทัดฐาน (พยาธิวิทยา )

การวัดความถูกต้องและความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์ตัวอย่าง ปริมาณทางสถิติคือข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของการเป็นตัวแทน (การเป็นตัวแทน) ความคลาดเคลื่อนเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิต – ม. (อัตราส่วนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่อ รากที่สองจาก จำนวนทั้งหมดการสังเกต - วัตถุ) ม =

การวัดความน่าเชื่อถือของตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยพร้อมกับข้อผิดพลาดคือขีดจำกัดความเชื่อมั่นและความน่าเชื่อถือของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยสองค่า

งานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1 กำหนดโหมดและค่ามัธยฐานของอนุกรมรูปแบบต่างๆ จากข้อมูลที่ให้มา ให้คำนวณ: ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้วิธีของโมเมนต์, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน, ความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยของค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ภารกิจที่ 1

คำนวณระยะเวลาการเข้าพักเฉลี่ยของผู้ป่วยใน แผนกศัลยกรรมโรงพยาบาล

ภารกิจที่ 2

คำนวณระยะเวลาเฉลี่ยของทุพพลภาพชั่วคราวสำหรับ ความดันโลหิตสูงระยะที่ 2 (วิกฤตความดันโลหิตสูง)

คำนวณอัตราการเต้นของหัวใจเฉลี่ยของกลุ่ม ผู้ชายที่มีสุขภาพดีเมื่ออายุ 22 หลังจากออกกำลังกายปานกลาง

ภารกิจที่ 4

คำนวณค่าเฉลี่ย พื้นที่อยู่อาศัยต่อคนในครอบครัวด้วย ระดับต่ำความเจริญรุ่งเรือง

ภารกิจที่ 5

คำนวณน้ำหนักเฉลี่ยของเด็กผู้หญิงอายุ 12 ปีที่เติบโตในโรงเรียนประจำ

ภารกิจที่ 6

คำนวณความแข็งแรงของกล้ามเนื้อสูงสุดของมือขวาในเด็กชายอายุ 15 ปีที่เข้าสโมสรกีฬาเป็นประจำ

ภารกิจที่ 7

คำนวณส่วนสูงเฉลี่ยของเด็กหญิงอายุ 17 ปี กำลังศึกษาอยู่ในโรงเรียนที่ครอบคลุม

ภารกิจที่ 8

คำนวณจำนวนผู้ป่วยโดยเฉลี่ยที่นักบำบัดในพื้นที่เข้าพบในแต่ละวันทำงาน

ภารกิจที่ 9

คำนวณจำนวนเด็กโดยเฉลี่ยในครอบครัวดาเกสถาน

ปัญหาที่ 10.

คำนวณจำนวนฟันเฉลี่ยที่ได้รับผลกระทบจากโรคฟันผุในนักเรียนหญิงอายุ 18 ปี สถาบันการแพทย์(ดัชนีเคพียู)

ปัญหาที่ 11.

คำนวณจำนวนเด็กโดยเฉลี่ยในปีแรกของชีวิตที่อาศัยอยู่ในเขตกุมารแห่งเดียว

ปัญหาที่ 12.

คำนวณจำนวนเฉลี่ยที่ขาดเรียนในสาขาวิชา “สาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ” โดยนักศึกษาชั้นปีที่ 4 คณะแพทยศาสตร์ในภาคเรียนฤดูใบไม้ผลิ

ปัญหาที่ 13.

คำนวณความสูงเฉลี่ยของทหารเกณฑ์ในดินแดน Stavropol

ปัญหาที่ 14.

คำนวณจำนวนผู้ป่วยโดยเฉลี่ยที่ศัลยแพทย์เข้าพบในคลินิกในหนึ่งวันทำการ

ภารกิจที่ 2 สำหรับค่าเฉลี่ยที่คำนวณในงานก่อนหน้า ให้กำหนดขีดจำกัดความเชื่อมั่นโดยมีความน่าจะเป็นที่การคาดการณ์โดยปราศจากข้อผิดพลาดที่ 95%

ยุ.พี. ลิซิทซิน. สาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย ม., 2545.

ยุ.พี. ลิซิทซิน. สุขอนามัยทางสังคม (ยา) และองค์กรด้านการดูแลสุขภาพ คาซาน, 1999. – หน้า. 288-289.

วี.เค. ยูริเยฟ, G.I. คุตเซนโก. สาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ ส.-ป., 2000. – หน้า. 191-199.

เอเอฟ เซเรนโก, วี.วี. เออร์มาคอฟ. องค์กรสุขอนามัยทางสังคมและการดูแลสุขภาพ อ., 1984. – หน้า 124-146.

สาธารณสุขและการดูแลสุขภาพ เอ็ด วีเอ Minyaeva, N.I. วิษณยาโควา. อ. “MEDpress-inform”, 2545. – หน้า. 97-107.

คู่มือสุขอนามัยทางสังคมและองค์กรดูแลสุขภาพ เอ็ด ยุ.พี. ลิซิทซิน. ม., 1987.

Zaitsev V.M., Liflyandsky V.G., Marinkin V.I. สมัครแล้ว สถิติทางการแพทย์- ส.-พี. "ใบไม้", 2546

ลักษณะของหน่วยของผลรวมทางสถิติมีความหมายแตกต่างกัน เช่น ค่าจ้างคนงานในวิชาชีพเดียวกันของวิสาหกิจไม่เท่ากันในช่วงเวลาเดียวกัน ราคาตลาดของสินค้าชนิดเดียวกัน ผลผลิตพืชผลในเขตอำเภอ ฟาร์ม ฯลฯ ดังนั้นเพื่อกำหนดมูลค่าของคุณลักษณะที่เป็นลักษณะของประชากรทั้งหมดของหน่วยที่กำลังศึกษา จึงมีการคำนวณค่าเฉลี่ย
ค่าเฉลี่ย – นี่เป็นลักษณะทั่วไปของชุดค่าแต่ละค่าของลักษณะเชิงปริมาณบางอย่าง

ประชากรที่ทำการศึกษาโดย ลักษณะเชิงปริมาณประกอบด้วยค่าส่วนบุคคล พวกเขาได้รับอิทธิพลจาก เหตุผลทั่วไปและเงื่อนไขส่วนบุคคล ในค่าเฉลี่ย ลักษณะการเบี่ยงเบนของแต่ละค่าจะถูกยกเลิก ค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นฟังก์ชันของชุดค่าต่างๆ จะแสดงผลรวมทั้งหมดด้วยค่าเดียว และสะท้อนถึงค่าที่เหมือนกันในทุกหน่วย

ค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้สำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป- ตัวอย่างเช่น คุณสามารถคำนวณเงินเดือนเฉลี่ยของพนักงานในกลุ่มวิชาชีพเฉพาะกลุ่มได้ (นักขุด แพทย์ บรรณารักษ์) แน่นอนว่าระดับรายเดือน ค่าจ้างเนื่องจากความแตกต่างในด้านคุณสมบัติ ระยะเวลาการทำงาน เวลาทำงานต่อเดือน และปัจจัยอื่นๆ มากมาย ทำให้คนงานเหมืองแตกต่างกันและจากระดับค่าจ้างเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม ระดับเฉลี่ยสะท้อนถึงปัจจัยหลักที่มีอิทธิพลต่อระดับค่าจ้าง และตัดความแตกต่างที่เกิดขึ้นเนื่องจาก ลักษณะเฉพาะส่วนบุคคลพนักงาน. สะท้อนถึงเงินเดือนโดยเฉลี่ย ระดับปกติค่าจ้างสำหรับคนงานประเภทนี้ การได้รับค่าเฉลี่ยโดยทั่วไปควรนำหน้าด้วยการวิเคราะห์ว่าประชากรที่กำหนดมีความเป็นเนื้อเดียวกันในเชิงคุณภาพเพียงใด หากจำนวนทั้งสิ้นประกอบด้วยแต่ละส่วนก็ควรแบ่งออกเป็นกลุ่มทั่วไป ( อุณหภูมิเฉลี่ยทางโรงพยาบาล)

ค่าเฉลี่ยที่ใช้เป็นคุณลักษณะสำหรับประชากรต่างกันเรียกว่า ค่าเฉลี่ยของระบบ- ตัวอย่างเช่น ผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศเฉลี่ย (GDP) ต่อหัว การบริโภคเฉลี่ย กลุ่มต่างๆสินค้าต่อคนและมูลค่าอื่นที่คล้ายคลึงกันซึ่งแสดงถึงลักษณะทั่วไปของรัฐในฐานะระบบเศรษฐกิจแบบครบวงจร

ต้องคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับประชากรที่ประกอบด้วยหน่วยจำนวนมากเพียงพอ การปฏิบัติตามเงื่อนไขนี้เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้กฎหมายมีผลใช้บังคับ จำนวนมากอันเป็นผลมาจากการที่ การเบี่ยงเบนแบบสุ่มแต่ละค่าจากแนวโน้มทั่วไปจะหักล้างกัน

ประเภทของค่าเฉลี่ยและวิธีการคำนวณ

การเลือกประเภทค่าเฉลี่ยจะพิจารณาจากเนื้อหาทางเศรษฐกิจของตัวบ่งชี้และแหล่งข้อมูลที่แน่นอน อย่างไรก็ตาม จะต้องคำนวณค่าเฉลี่ยใดๆ เพื่อที่จะแทนที่แต่ละตัวแปรของคุณลักษณะโดยเฉลี่ย ค่าสุดท้าย การทำให้เป็นภาพรวม หรือที่เรียกกันทั่วไป จะไม่เปลี่ยนแปลง การกำหนดตัวบ่งชี้ซึ่งสัมพันธ์กับตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น เมื่อเปลี่ยนความเร็วจริงในแต่ละส่วนของเส้นทาง ความเร็วเฉลี่ยไม่ควรเปลี่ยน ระยะทางทั้งหมดผ่านไป ยานพาหนะในเวลาเดียวกัน; เมื่อแทนที่ค่าจ้างจริงของพนักงานแต่ละคนในองค์กรด้วยค่าจ้างเฉลี่ย กองทุนค่าจ้างไม่ควรเปลี่ยนแปลง ดังนั้นในแต่ละกรณีเฉพาะ ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูลที่มีอยู่ มีค่าเฉลี่ยที่แท้จริงเพียงค่าเดียวของตัวบ่งชี้ที่เพียงพอต่อคุณสมบัติและสาระสำคัญของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจและสังคมที่กำลังศึกษาอยู่
ที่นิยมใช้กันมากที่สุดคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยกำลังสอง และค่าเฉลี่ยลูกบาศก์
ค่าเฉลี่ยที่แสดงอยู่ในชั้นเรียน ใจเย็นเฉลี่ยและรวมกัน สูตรทั่วไป:
,
โดยที่ค่าเฉลี่ยของลักษณะที่กำลังศึกษาคือ
ม. – ดัชนีระดับเฉลี่ย;
– มูลค่าปัจจุบัน (ตัวแปร) ของคุณลักษณะที่กำลังหาค่าเฉลี่ย
n – จำนวนคุณสมบัติ
ขึ้นอยู่กับค่าของเลขชี้กำลัง m ประเภทของกำลังเฉลี่ยต่อไปนี้มีความโดดเด่น:
เมื่อ m = -1 – ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก;
ที่ m = 0 – ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต;
สำหรับ m = 1 – ค่าเฉลี่ยเลขคณิต;
สำหรับ m = 2 – รากกำลังสองเฉลี่ย;
ที่ m = 3 – ลูกบาศก์เฉลี่ย
เมื่อใช้ข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน ยิ่งเลขชี้กำลัง m ในสูตรข้างต้นมีขนาดใหญ่เท่าใด มีคุณค่ามากขึ้นขนาดเฉลี่ย:
.
คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยกำลังจะเพิ่มขึ้นตามเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันการกำหนดนี้เรียกว่า กฎของค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่.
ค่าเฉลี่ยที่ทำเครื่องหมายไว้แต่ละรายการอาจมีสองรูปแบบ: เรียบง่ายและ ถ่วงน้ำหนัก.
แบบฟอร์มกลางที่เรียบง่ายใช้เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจากข้อมูลหลัก (ไม่ได้จัดกลุ่ม) แบบฟอร์มถ่วงน้ำหนัก– เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยตามข้อมูลรอง (จัดกลุ่ม)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้เมื่อปริมาตรของประชากรคือผลรวมของค่าส่วนบุคคลทั้งหมดที่มีลักษณะแตกต่างกัน ควรสังเกตว่าหากไม่ได้ระบุประเภทของค่าเฉลี่ย ระบบจะถือว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต สูตรตรรกะของมันมีลักษณะดังนี้:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายคำนวณ ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ตามสูตร:
หรือ ,
ค่านิยมส่วนบุคคลของคุณลักษณะอยู่ที่ไหน
j คือหมายเลขซีเรียลของหน่วยการสังเกต ซึ่งแสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่า ;
N – จำนวนหน่วยการสังเกต (ปริมาตรของประชากร)
ตัวอย่าง.การบรรยายเรื่อง “สรุปและจัดกลุ่มข้อมูลทางสถิติ” เจาะลึกผลการสังเกตประสบการณ์การทำงานของทีมงานจำนวน 10 คน มาคำนวณประสบการณ์การทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานในทีมกัน 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

การใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย เราก็สามารถคำนวณได้เช่นกัน ค่าเฉลี่ยตามลำดับเวลาหากช่วงเวลาที่แสดงค่าคุณลักษณะเท่ากัน
ตัวอย่าง.ปริมาณผลิตภัณฑ์ที่จำหน่ายในไตรมาสแรกมีจำนวน 47 den หมู่ที่ 54 หมู่ที่ 2 หมู่ที่ 65 หมู่ที่ 3 และหมู่ที่ 4 หมู่ที่ 58 หน่วย มูลค่าการซื้อขายเฉลี่ยรายไตรมาสคือ (47+54+65+58)/4 = 56 den หน่วย
หากมีการระบุตัวบ่งชี้ชั่วขณะตามลำดับเวลาเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมครึ่งหนึ่งของค่าที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา
หากมีมากกว่าสองช่วงเวลาและช่วงเวลาระหว่างช่วงเวลาเท่ากัน ค่าเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตรตามลำดับเวลาเฉลี่ย

,
โดยที่ n คือจำนวนจุดเวลา
ในกรณีที่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามค่าลักษณะเฉพาะ (เช่น มีการสร้างซีรีย์การแจกแจงแบบแปรผันแบบไม่ต่อเนื่อง) ด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักคำนวณโดยใช้ความถี่หรือความถี่ในการสังเกตค่าเฉพาะของคุณลักษณะจำนวนที่ (k) มีความสำคัญ จำนวนน้อยลงการสังเกต (N) .
,
,
โดยที่ k คือจำนวนกลุ่มของอนุกรมรูปแบบ
i – หมายเลขกลุ่มของซีรี่ส์รูปแบบต่างๆ
เนื่องจาก , a เราได้รับสูตรที่ใช้สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ:
และ
ตัวอย่าง.ลองคำนวณระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยของทีมงานในแถวที่จัดกลุ่ม
ก) การใช้ความถี่:

b) การใช้ความถี่:

ในกรณีที่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มตามช่วงเวลา , เช่น. นำเสนอในรูปแบบ ซีรีย์ช่วงเวลาการแจกแจงเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่ากึ่งกลางของช่วงเวลาจะถูกใช้เป็นค่าของคุณลักษณะโดยยึดตามสมมติฐานของการกระจายหน่วยประชากรที่สม่ำเสมอในช่วงเวลาที่กำหนด การคำนวณดำเนินการโดยใช้สูตร:
และ
ตรงกลางของช่วงเวลาอยู่ที่ไหน: ,
ที่ไหน และ เป็นขอบเขตล่างและบนของช่วงเวลา (โดยมีเงื่อนไขว่าขอบเขตบนของช่วงเวลาที่กำหนดตรงกับขอบเขตล่างของช่วงถัดไป)

ตัวอย่าง.ลองคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดการแปรผันช่วงเวลาที่สร้างขึ้นจากผลการศึกษาค่าจ้างรายปีของคนงาน 30 คน (ดูการบรรยายเรื่อง "สรุปและการจัดกลุ่มข้อมูลทางสถิติ")
ตารางที่ 1 - การกระจายชุดความแปรผันของช่วง

ช่วงเวลา UAH	ความถี่ผู้คน	ความถี่,	ตรงกลางของช่วงเวลา
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH หรือ UAH
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คำนวณบนพื้นฐานของข้อมูลต้นฉบับและชุดการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาอาจไม่ตรงกันเนื่องจากการแจกแจงค่าแอตทริบิวต์ที่ไม่สม่ำเสมอภายในช่วงเวลา ในกรณีนี้ให้มากกว่านี้ การคำนวณที่แม่นยำค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักไม่ควรใช้จุดกึ่งกลางของช่วงเวลา แต่ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่ายที่คำนวณสำหรับแต่ละกลุ่ม ( ค่าเฉลี่ยกลุ่ม- ค่าเฉลี่ยที่คำนวณจากกลุ่มหมายถึงการใช้สูตรการคำนวณแบบถ่วงน้ำหนักเรียกว่า ค่าเฉลี่ยทั่วไป.
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีคุณสมบัติหลายประการ
1. ผลรวมของการเบี่ยงเบนจากออปชั่นเฉลี่ยคือศูนย์:
.
2. หากค่าทั้งหมดของตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวน A ค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวน A ที่เท่ากัน:

3. หากแต่ละตัวเลือกเพิ่มขึ้นหรือลดลง B เท่า ค่าเฉลี่ยก็จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามจำนวนเท่าเดิมเช่นกัน:
หรือ
4. ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลือกตามความถี่เท่ากับผลคูณของค่าเฉลี่ยด้วยผลรวมของความถี่:

5. ถ้าความถี่ทั้งหมดถูกหารหรือคูณด้วยจำนวนใดๆ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง:

6) หากความถี่เท่ากันในทุกช่วง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:
,
โดยที่ k คือจำนวนกลุ่มของอนุกรมรูปแบบต่างๆ

การใช้คุณสมบัติของค่าเฉลี่ยทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
สมมติว่าตัวเลือกทั้งหมด (x) ลดลงด้วยตัวเลข A ที่เท่ากันก่อน แล้วจึงลดลงด้วยตัวประกอบ B การทำให้เข้าใจง่ายที่สุดเกิดขึ้นได้เมื่อค่าของช่วงกึ่งกลางซึ่งมี ความถี่สูงสุดและ B คือค่าของช่วงเวลา (สำหรับชุดข้อมูลที่มีช่วงเวลาที่เท่ากัน) ปริมาณ A เรียกว่าแหล่งกำเนิด ดังนั้นวิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้จึงเรียกว่า ทางข การอ้างอิงโอห์มจากศูนย์แบบมีเงื่อนไขหรือ ช่วงเวลา.
หลังจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราจะได้อนุกรมการแจกแจงแบบแปรผันใหม่ ซึ่งตัวแปรจะเท่ากับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกเขาเรียกว่า ช่วงเวลาแห่งการสั่งซื้อครั้งแรกแสดงได้ด้วยสูตร และตามคุณสมบัติที่สองและสาม ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของ เวอร์ชันเริ่มต้นลดลงก่อน A แล้วตามด้วย B คูณ เช่น
เพื่อรับ ค่าเฉลี่ยที่แท้จริง(ค่าเฉลี่ยของซีรีส์ดั้งเดิม) คุณต้องคูณช่วงเวลาลำดับแรกด้วย B และเพิ่ม A:

การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยใช้วิธีโมเมนต์แสดงโดยข้อมูลในตาราง 2.
ตารางที่ 2 – การกระจายตัวของคนงานในโรงงานตามระยะเวลาการทำงาน

ระยะเวลาในการทำงานของพนักงานปี	จำนวนพนักงาน	ตรงกลางของช่วง
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

ค้นหาช่วงเวลาการสั่งซื้อครั้งแรก - จากนั้น เมื่อรู้ว่า A = 17.5 และ B = 5 เราจึงคำนวณระยะเวลาการทำงานโดยเฉลี่ยของพนักงานเวิร์คช็อป:
ปี

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของลักษณะเฉพาะในกรณีที่ทราบค่าแปรผัน x และความถี่ f
ถ้า ข้อมูลทางสถิติไม่มีความถี่ f สำหรับแต่ละตัวเลือก x ของประชากร แต่แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ ใช้สูตร เฉลี่ย ถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก - ในการคำนวณค่าเฉลี่ย เรามาแสดงกัน โดยที่ . เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักทางคณิตศาสตร์ เราจะได้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักฮาร์มอนิก:
,
โดยที่ปริมาตร (น้ำหนัก) ของค่าคุณลักษณะของตัวบ่งชี้คือในช่วงเวลาที่มีหมายเลข i (i=1,2, …, k)

ดังนั้นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจึงใช้ในกรณีที่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ต้องรวมเข้าด้วยกัน แต่กลับกัน: .
ในกรณีที่น้ำหนักของแต่ละทางเลือก เท่ากับหนึ่ง, เช่น. ค่านิยมส่วนบุคคล เครื่องหมายผกผันเกิดขึ้นครั้งเดียว, ใช้ หมายถึงฮาร์มอนิกอย่างง่าย:
,
โดยที่แต่ละตัวแปรของลักษณะผกผันเกิดขึ้นครั้งเดียว
N – ตัวเลือกตัวเลข
หากมีค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสำหรับประชากรสองส่วน ค่าเฉลี่ยโดยรวมสำหรับประชากรทั้งหมดจะคำนวณโดยใช้สูตร:

และถูกเรียกว่า ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยหมู่.

ตัวอย่าง.ในระหว่างการซื้อขายแลกเปลี่ยนสกุลเงิน ธุรกรรมสามรายการถูกสรุปในชั่วโมงแรกของการดำเนินการ ข้อมูลเกี่ยวกับปริมาณการขายฮรีฟเนียและอัตราแลกเปลี่ยนฮรีฟเนียเทียบกับดอลลาร์สหรัฐแสดงไว้ในตาราง 3 (คอลัมน์ 2 และ 3) กำหนดอัตราแลกเปลี่ยนเฉลี่ยของฮรีฟเนียต่อดอลลาร์สหรัฐในชั่วโมงแรกของการซื้อขาย
ตารางที่ 3 – ข้อมูลความคืบหน้าของการซื้อขายแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ

อัตราแลกเปลี่ยนเงินดอลลาร์โดยเฉลี่ยถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของจำนวน Hryvnia ที่ขายระหว่างการทำธุรกรรมทั้งหมดกับจำนวนเงินดอลลาร์ที่ได้มาอันเป็นผลมาจากการทำธุรกรรมเดียวกัน จำนวนเงินสุดท้ายของการขาย Hryvnia นั้นทราบจากคอลัมน์ 2 ของตาราง และจำนวนดอลลาร์ที่ซื้อในแต่ละธุรกรรมจะถูกกำหนดโดยการหารจำนวนการขาย Hryvnia ด้วยอัตราแลกเปลี่ยน (คอลัมน์ 4) มีการซื้อมูลค่ารวม 22 ล้านดอลลาร์ระหว่างการทำธุรกรรมสามครั้ง ซึ่งหมายความว่าอัตราแลกเปลี่ยนเฉลี่ยของ Hryvnia สำหรับหนึ่งดอลลาร์คือ
.
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าจริงเพราะว่า การแทนที่ด้วยอัตราแลกเปลี่ยน Hryvnia ที่เกิดขึ้นจริงในการทำธุรกรรมจะไม่เปลี่ยนแปลงจำนวนเงินสุดท้ายของการขาย Hryvnia ซึ่งทำหน้าที่เป็น การกำหนดตัวบ่งชี้: ล้าน UAH
หากใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในการคำนวณนั่นคือ Hryvnia จากนั้นที่อัตราแลกเปลี่ยนสำหรับการซื้อ 22 ล้านดอลลาร์ จำเป็นต้องใช้จ่าย 110.66 ล้าน UAH ซึ่งไม่เป็นความจริง

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตใช้ในการวิเคราะห์พลวัตของปรากฏการณ์และช่วยให้เราพิจารณาได้ ค่าสัมประสิทธิ์เฉลี่ยการเจริญเติบโต. เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตค่าแต่ละค่าของคุณลักษณะคือ ตัวชี้วัดที่เกี่ยวข้องพลวัตที่สร้างขึ้นในรูปแบบของปริมาณลูกโซ่ซึ่งเป็นอัตราส่วนของแต่ละระดับต่อระดับก่อนหน้า
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตอย่างง่ายคำนวณโดยใช้สูตร:
,
สัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์อยู่ที่ไหน
N – จำนวนค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง.จำนวนการก่ออาชญากรรมในรอบ 4 ปี เพิ่มขึ้น 1.57 เท่า โดยครั้งที่ 1 – 1.08 เท่า ครั้งที่ 2 – 1.1 เท่า ครั้งที่ 3 – 1.18 และครั้งที่ 4 – 1.12 เท่า แล้ว อัตราเฉลี่ยต่อปีการเติบโตของจำนวนอาชญากรรมคือ: เช่น จำนวนอาชญากรรมที่จดทะเบียนเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 12% ต่อปี

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

ในการคำนวณกำลังสองเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก เราจะกำหนดและป้อนลงในตารางและ จากนั้นค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของความยาวของผลิตภัณฑ์จากบรรทัดฐานที่กำหนดจะเท่ากับ:

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเข้า ในกรณีนี้คงจะไม่เหมาะสมเพราะว่า ผลก็คือเราจะได้ค่าเบี่ยงเบนเป็นศูนย์
การใช้กำลังสองเฉลี่ยจะกล่าวถึงต่อไปในแง่ของการแปรผัน