สมการใดมีรากมากมายนับไม่ถ้วน? รากของสมการ - ข้อมูลเบื้องต้น

หลังจากได้รับแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันและทำความคุ้นเคยกับประเภทใดประเภทหนึ่ง - ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข คุณสามารถเริ่มพูดถึงความเท่าเทียมกันประเภทอื่นที่สำคัญมากจากมุมมองเชิงปฏิบัติ - สมการ ในบทความนี้เราจะดูที่ สมการคืออะไรและสิ่งที่เรียกว่ารากของสมการ ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องพร้อมทั้งยกตัวอย่างสมการและรากของสมการต่างๆ

การนำทางหน้า

สมการคืออะไร?

การแนะนำสมการแบบกำหนดเป้าหมายมักจะเริ่มในบทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 ในเวลานี้ได้รับดังต่อไปนี้ นิยามสมการ:

คำนิยาม.

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีจำนวนไม่ทราบจำนวนที่ต้องค้นหา

ตัวเลขที่ไม่รู้จักในสมการมักจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก เช่น p, t, u เป็นต้น แต่ตัวอักษร x, y และ z มักใช้บ่อยที่สุด

ดังนั้นสมการจึงถูกกำหนดจากมุมมองของรูปแบบการเขียน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกันคือสมการเมื่อเป็นไปตามกฎการเขียนที่ระบุ - ประกอบด้วยตัวอักษรซึ่งจำเป็นต้องค้นหาค่า

ให้เรายกตัวอย่างสิ่งแรกและส่วนใหญ่ สมการง่ายๆ- เริ่มจากสมการในรูปแบบ x=8, y=3 เป็นต้น สมการที่มีเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์พร้อมกับตัวเลขและตัวอักษรจะดูซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เช่น x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2

สมการต่างๆ มีเพิ่มมากขึ้นหลังจากคุ้นเคย สมการที่มีวงเล็บเริ่มปรากฏให้เห็น เช่น 2·(x−1)=18 และ x+3·(x+2·(x−2))=3 ตัวอักษรที่ไม่รู้จักในสมการสามารถปรากฏได้หลายครั้ง เช่น x+3+3·x−2−x=9 นอกจากนี้ ตัวอักษรยังสามารถปรากฏทางด้านซ้ายของสมการ ทางด้านขวา หรือทั้งสองด้านของสมการได้ สมการเช่น x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 หรือ 3·x−4=2·(x+12)

ต่อไปหลังจากเรียนจบ ตัวเลขธรรมชาติความคุ้นเคยกับจำนวนเต็ม เหตุผล จำนวนจริงเกิดขึ้น มีการศึกษาวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ เช่น กำลัง ราก ลอการิทึม ฯลฯ ในขณะที่สมการประเภทใหม่ที่มีสิ่งเหล่านี้ปรากฏขึ้นมากขึ้นเรื่อยๆ สามารถดูตัวอย่างได้ในบทความ ประเภทของสมการพื้นฐานกำลังเรียนอยู่ที่โรงเรียน

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 พร้อมด้วยตัวอักษรซึ่งหมายถึงบางส่วน หมายเลขเฉพาะ,เริ่มพิจารณาตัวอักษรที่สามารถรับได้ ความหมายที่แตกต่างกันเรียกว่าตัวแปร (ดูบทความ) ในเวลาเดียวกัน คำว่า "ตัวแปร" ถูกนำมาใช้ในคำจำกัดความของสมการ และจะกลายเป็นดังนี้:

คำนิยาม.

สมการเรียกความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรซึ่งจำเป็นต้องค้นหาค่า

ตัวอย่างเช่น สมการ x+3=6·x+7 คือสมการที่มีตัวแปร x และ 3·z−1+z=0 คือสมการที่มีตัวแปร z

ในระหว่างบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เดียวกัน เราพบสมการที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักต่างกันสองตัวแปร เรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว ในอนาคต อนุญาตให้มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปในสมการได้

คำนิยาม.

สมการหนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตัวแปร– นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก 1, 2, 3, ... ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น สมการ 3.2 x+0.5=1 เป็นสมการที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว ในทางกลับกัน สมการในรูปแบบ x−y=3 จะเป็นสมการที่มีตัวแปร x และ y สองตัว และอีกตัวอย่างหนึ่ง: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวเป็นสมการที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักสามตัว ได้แก่ x, y และ z

รากของสมการคืออะไร?

คำจำกัดความของสมการเกี่ยวข้องโดยตรงกับคำจำกัดความของรากของสมการนี้ ลองใช้เหตุผลที่จะช่วยให้เราเข้าใจว่ารากของสมการคืออะไร

สมมติว่าเรามีสมการที่มีตัวอักษรตัวเดียว (ตัวแปร) หากแทนที่จะใช้ตัวอักษรรวมอยู่ในรายการสมการนี้ จะมีการแทนที่ตัวเลขจำนวนหนึ่ง สมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลข นอกจากนี้ ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันอาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณแทนที่ตัวเลข 2 แทนตัวอักษร a ในสมการ a+1=5 คุณจะได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง 2+1=5 หากเราแทนตัวเลข 4 แทน a ในสมการนี้ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 4+1=5

ในทางปฏิบัติในกรณีส่วนใหญ่ค่าของตัวแปรที่น่าสนใจคือค่าที่การแทนที่ในสมการให้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ค่าเหล่านี้เรียกว่ารากหรือวิธีแก้ปัญหา สมการที่กำหนด.

คำนิยาม.

รากของสมการ- นี่คือค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) เมื่อแทนที่สมการแล้วจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

โปรดทราบว่ารากของสมการในตัวแปรตัวหนึ่งเรียกอีกอย่างว่าการแก้สมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้สมการและรากของสมการเป็นสิ่งเดียวกัน

ให้เราอธิบายคำจำกัดความนี้ด้วยตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กลับไปที่สมการที่เขียนไว้ด้านบน a+1=5 ตามคำจำกัดความที่ระบุไว้ของรากของสมการ หมายเลข 4 คือรากของสมการนี้ เนื่องจากเมื่อแทนที่ตัวเลขนี้แทนตัวอักษร a เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 4+1=5 และหมายเลข 2 ไม่ใช่ รูต เนื่องจากมันสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องของรูปแบบ 2+1= 5

ณ จุดนี้ มีคำถามธรรมชาติมากมายเกิดขึ้น: “สมการใดมีรากและมีกี่ราก” สมการที่กำหนด- เราจะตอบพวกเขา

มีทั้งสมการที่มีรากและสมการที่ไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการ x+1=5 มีรากที่ 4 แต่สมการ 0 x=5 ไม่มีราก เนื่องจากไม่ว่าเราจะแทนตัวเลขใดในสมการนี้แทนที่จะเป็นตัวแปร x เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง 0=5 .

ส่วนจำนวนรากของสมการก็มีอยู่เป็นสมการที่มีอยู่บ้าง หมายเลขสุดท้ายราก (หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ) และสมการที่มีรากมากมายไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น สมการ x−2=4 มีรากเดียวคือ 6 รากของสมการ x 2 =9 คือตัวเลขสองตัว −3 และ 3 สมการ x·(x−1)·(x−2)=0 มีสามรากคือ 0, 1 และ 2 และการแก้สมการ x=x คือจำนวนใดๆ นั่นคือ ชุดอนันต์ราก.

ควรพูดสองสามคำเกี่ยวกับสัญกรณ์ที่ยอมรับสำหรับรากของสมการ หากสมการไม่มีราก ก็มักจะเขียนว่า "สมการไม่มีราก" หรือใช้เครื่องหมายเซตว่าง ∅ หากสมการมีราก จะถูกเขียนโดยคั่นด้วยลูกน้ำหรือเขียนเป็น องค์ประกอบของชุดในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่น หากรากของสมการคือตัวเลข −1, 2 และ 4 ให้เขียน −1, 2, 4 หรือ (−1, 2, 4) อนุญาตให้เขียนรากของสมการในรูปแบบของความเท่าเทียมกันอย่างง่ายได้ ตัวอย่างเช่น หากสมการมีตัวอักษร x และรากของสมการนี้คือตัวเลข 3 และ 5 คุณสามารถเขียน x=3, x=5 และตัวห้อย x 1 =3, x 2 =5 มักจะถูกบวกเข้าด้วยกัน ให้กับตัวแปรเสมือนเป็นการบอกรากของสมการ เซตรากที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสมการมักจะเขียนอยู่ในรูปแบบ ถ้าเป็นไปได้ สัญลักษณ์สำหรับเซตของจำนวนธรรมชาติ N, จำนวนเต็ม Z และจำนวนจริง R ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้ารากของสมการที่มีตัวแปร x เป็นจำนวนเต็มใดๆ ให้เขียน และถ้ารากของสมการที่มีตัวแปร y เป็นจำนวนเต็มใดๆ จำนวนจริงรวมตั้งแต่ 1 ถึง 9 แล้วเขียน .

สำหรับสมการที่มีสอง สาม และ จำนวนมากตามกฎแล้ว ตัวแปรจะไม่ใช้คำว่า "รากของสมการ" ในกรณีเหล่านี้ พวกเขาพูดว่า "การแก้สมการ" การแก้สมการด้วยตัวแปรหลายตัวเรียกว่าอะไร? ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

การแก้สมการด้วยสอง สาม ฯลฯ ตัวแปรเรียกว่าคู่, สาม, ฯลฯ. ค่าของตัวแปรทำให้สมการนี้กลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ให้เราแสดงตัวอย่างที่อธิบาย พิจารณาสมการที่มีตัวแปรสองตัว x+y=7 ลองแทนเลข 1 แทน x และแทนเลข 2 แทน y แล้วเราจะได้ค่าเท่ากัน 1+2=7 แน่นอนว่ามันไม่ถูกต้อง ดังนั้นคู่ของค่า x=1, y=2 จึงไม่ใช่วิธีแก้สมการที่เขียน หากเรารับค่าคู่หนึ่ง x=4, y=3 จากนั้นหลังจากการแทนที่ในสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 4+3=7 ดังนั้นตามคำจำกัดความแล้วค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นวิธีแก้ปัญหา สู่สมการ x+y=7

สมการที่มีตัวแปรหลายตัว เช่น สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว อาจไม่มีราก อาจมีจำนวนรากที่จำกัด หรืออาจมีจำนวนรากที่ไม่จำกัด

คู่ แฝดสาม สี่เท่า ฯลฯ ค่าของตัวแปรมักเขียนสั้น ๆ โดยแสดงรายการค่าโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในวงเล็บ ในกรณีนี้ ตัวเลขที่เขียนในวงเล็บจะสอดคล้องกับตัวแปรตามลำดับตัวอักษร มาชี้แจงประเด็นนี้โดยกลับไปที่สมการก่อนหน้า x+y=7 วิธีแก้สมการ x=4, y=3 สามารถเขียนสั้นๆ ได้เป็น (4, 3)

ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในหลักสูตรคณิตศาสตร์ พีชคณิต และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ของโรงเรียนคือการหารากของสมการด้วยตัวแปรตัวเดียว เราจะหารือเกี่ยวกับกฎของกระบวนการนี้โดยละเอียดในบทความ การแก้สมการ.

อ้างอิง.

• คณิตศาสตร์- 2 ชั้นเรียน หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันที่มีคำวิเศษณ์ ต่ออิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 / [ม. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova ฯลฯ] - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555. - 96 น.: ป่วย. - (โรงเรียนแห่งรัสเซีย) - ไอ 978-5-09-028297-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.

ในพีชคณิต มีแนวคิดเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันสองประเภท ได้แก่ อัตลักษณ์และสมการ ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น สมการก็มีความเท่าเทียมกันเช่นกัน แต่เป็นไปได้เฉพาะกับค่าบางค่าของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเท่านั้น

ตามเงื่อนไขของปัญหา ตัวอักษรมักจะไม่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าบางส่วนสามารถยอมรับได้ ค่าที่ถูกต้องเรียกว่าสัมประสิทธิ์ (หรือพารามิเตอร์) ในขณะที่อย่างอื่น - เรียกว่าไม่ทราบ - รับค่าที่จำเป็นต้องพบในกระบวนการแก้ปัญหา ตามกฎแล้ว ปริมาณที่ไม่รู้จักจะแสดงในสมการด้วยตัวอักษรตัวสุดท้ายใน (x.y.z ฯลฯ) หรือด้วยตัวอักษรเดียวกัน แต่มีดัชนี (x 1, x 2 เป็นต้น) และค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ - โดยตัวแรก ตัวอักษรของตัวอักษรเดียวกันนั้น

ขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ สมการที่มีหนึ่ง สอง และหลายสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกแยกแยะ ดังนั้นค่าทั้งหมดของสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งสมการที่แก้สมการกลายเป็นเอกลักษณ์จึงเรียกว่าการแก้สมการ สมการสามารถพิจารณาแก้ได้หากพบคำตอบทั้งหมดหรือได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีเลย งาน "แก้สมการ" เป็นเรื่องปกติในทางปฏิบัติและหมายความว่าคุณจำเป็นต้องค้นหารากของสมการ

คำนิยาม: รากของสมการคือค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักจากขอบเขตที่ยอมรับได้ซึ่งสมการที่แก้ไขจะกลายเป็นเอกลักษณ์

อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการทั้งหมดนั้นเหมือนกันและความหมายของมันคือการใช้ การแปลงทางคณิตศาสตร์สำนวนนี้นำไปสู่มากขึ้น มุมมองที่เรียบง่าย.
สมการที่มีรากเหมือนกันเรียกว่าเท่ากันในพีชคณิต

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: 7x-49=0, รากของสมการ x=7;
x-7=0 ในทำนองเดียวกัน ราก x=7 ดังนั้นสมการจึงเท่ากัน (ในกรณีพิเศษ สมการที่เทียบเท่าอาจไม่มีรากเลย)

หากรากของสมการหนึ่งเป็นรากของสมการอื่นที่ง่ายกว่าซึ่งได้รับจากสมการดั้งเดิมผ่านการแปลงพร้อมกัน สมการหลังจะเรียกว่า ผลที่ตามมาของสมการก่อนหน้า

หากสมการหนึ่งในสองสมการเป็นผลจากอีกสมการหนึ่ง จะถือว่าสมการเหล่านั้นเท่าเทียมกัน พวกเขาจะเรียกว่าเทียบเท่า ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นสิ่งนี้

การแก้สมการที่ง่ายที่สุดในทางปฏิบัติมักทำให้เกิดปัญหา จากผลลัพธ์ของการแก้โจทย์ คุณสามารถได้รากของสมการหนึ่งราก ตั้งแต่สองรากขึ้นไป หรือแม้แต่จำนวนอนันต์ ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ นอกจากนี้ยังมีพวกที่ไม่มีรากเรียกว่าแก้ไม่ได้

ตัวอย่าง:
1) 15x -20=10; x=2. นี่เป็นรากเดียวของสมการ
2) 7x - y=0 สมการนี้มีจำนวนรากไม่สิ้นสุด เนื่องจากตัวแปรแต่ละตัวสามารถมีได้ นับไม่ถ้วนค่านิยม
3) x 2 = - 16 จำนวนที่ยกกำลังสองจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกเสมอ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหารากของสมการ นี่เป็นหนึ่งในสมการที่แก้ไม่ได้ที่กล่าวถึงข้างต้น

ตรวจสอบความถูกต้องของสารละลายโดยการแทนที่รากที่พบแทนตัวอักษรแล้วแก้ไขตัวอย่างผลลัพธ์ ถ้าอัตลักษณ์เป็นที่พอใจ การแก้ปัญหาก็ถูกต้อง

หลังจากที่เราศึกษาแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันแล้วนั่นคือประเภทหนึ่ง - ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเราสามารถไปยังอีกประเภทหนึ่งได้ มุมมองที่สำคัญ– สมการ ภายใน ของวัสดุนี้เราจะอธิบายว่าสมการคืออะไรและรากของมัน กำหนดคำจำกัดความพื้นฐานและให้ ตัวอย่างต่างๆสมการและการค้นหารากของมัน

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องสมการ

โดยปกติแล้วแนวคิดของสมการจะได้รับการศึกษาตั้งแต่เริ่มต้น หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิต. จากนั้นจึงกำหนดไว้ดังนี้

คำจำกัดความ 1

สมการเรียกว่าเท่าเทียมกันด้วย หมายเลขที่ไม่รู้จักซึ่งจำเป็นต้องค้นหา

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้สิ่งแปลกปลอมมีขนาดเล็ก ในตัวอักษรละตินตัวอย่างเช่น t, r, m ฯลฯ แต่ส่วนใหญ่มักใช้ x, y, z กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการถูกกำหนดโดยรูปแบบของการบันทึกนั่นคือความเท่าเทียมกันจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อลดลงเป็น บางประเภท– จะต้องมีตัวอักษรความหมายที่ต้องการค้นหา

ให้เรายกตัวอย่างสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งเหล่านี้สามารถเป็นความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = 5, y = 6 ฯลฯ เช่นเดียวกับที่ประกอบด้วย การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่น x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3

หลังจากศึกษาแนวคิดเรื่องวงเล็บแล้ว แนวคิดเรื่องสมการที่มีวงเล็บก็จะปรากฏขึ้น ได้แก่ 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 เป็นต้น ตัวอักษรที่ต้องค้นหาอาจปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง แต่หลายครั้ง เช่น ตัวอย่างเช่น ในสมการ x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 นอกจากนี้ ค่าที่ไม่ทราบสามารถระบุได้ไม่เฉพาะทางด้านซ้ายเท่านั้น แต่ยังอยู่ทางขวาหรือทั้งสองส่วนในเวลาเดียวกันด้วย ตัวอย่างเช่น x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 หรือ 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

นอกจากนี้ หลังจากที่นักเรียนคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องจำนวนเต็ม จำนวนจริง ตรรกยะ จำนวนธรรมชาติ ตลอดจนลอการิทึม รากและกำลัง สมการใหม่ก็ปรากฏขึ้นซึ่งรวมถึงวัตถุเหล่านี้ทั้งหมด เราได้อุทิศบทความแยกต่างหากให้กับตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว

ในหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 แนวคิดเรื่องตัวแปรปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรก เหล่านี้เป็นตัวอักษรที่สามารถรับได้ ความหมายที่แตกต่างกัน(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในบทความเรื่องตัวเลข การแสดงออกตามตัวอักษรและนิพจน์ที่มีตัวแปร) จากแนวคิดนี้ เราสามารถกำหนดสมการใหม่ได้:

คำจำกัดความ 2

สมการคือความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่ต้องคำนวณค่า

ตัวอย่างเช่น นั่นคือ นิพจน์ x + 3 = 6 x + 7 เป็นสมการที่มีตัวแปร x และ 3 y − 1 + y = 0 เป็นสมการที่มีตัวแปร y

สมการหนึ่งสามารถมีตัวแปรได้มากกว่าหนึ่งตัว แต่มีสองตัวแปรขึ้นไป พวกมันถูกเรียกตามลำดับสมการที่มีตัวแปรสองสามตัว ฯลฯ ให้เราเขียนคำจำกัดความ:

คำจำกัดความ 3

สมการที่มีตัวแปรสองตัว (สาม, สี่ตัวขึ้นไป) คือสมการที่รวมค่าที่ไม่ทราบจำนวนที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 3, 7 x + 0, 6 = 1 เป็นสมการที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว และ x − z = 5 เป็นสมการที่มีตัวแปร x และ z สองตัว ตัวอย่างของสมการที่มีตัวแปร 3 ตัวคือ x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26

รากของสมการ

เมื่อเราพูดถึงสมการ ความต้องการเกิดขึ้นทันทีเพื่อกำหนดแนวคิดของรากเหง้าของมัน ลองอธิบายว่ามันหมายถึงอะไร

ตัวอย่างที่ 1

เราได้รับสมการหนึ่งที่มีตัวแปรตัวเดียว ถ้าเราทดแทน จดหมายที่ไม่รู้จัก number จากนั้นสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข - จริงหรือเท็จ ดังนั้น หากในสมการ a + 1 = 5 เราแทนที่ตัวอักษรด้วยตัวเลข 2 ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นเท็จ และถ้า 4 ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องจะเป็น 4 + 1 = 5

เรามีความสนใจมากขึ้นในค่าเหล่านั้นซึ่งตัวแปรจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เรียกว่ารากหรือสารละลาย มาเขียนคำจำกัดความกันดีกว่า

คำจำกัดความที่ 4

รากของสมการพวกเขาเรียกค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการที่กำหนดให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

รากยังสามารถเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาหรือในทางกลับกัน - แนวคิดทั้งสองนี้มีความหมายเหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 2

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อชี้แจงคำจำกัดความนี้ ด้านบนเราให้สมการ a + 1 = 5 ตามคำนิยามรากคือ ในกรณีนี้จะเป็น 4 เพราะเมื่อแทนที่ด้วยตัวอักษร มันจะให้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง และสองจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากมันสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง 2 + 1 = 5

สมการหนึ่งสามารถมีรากได้กี่ราก? ทุกสมการมีรากหรือไม่? มาตอบคำถามเหล่านี้กัน

สมการที่ไม่มีรากเดียวก็มีอยู่เช่นกัน ตัวอย่างจะเป็น 0 x = 5 เราสามารถทดแทนได้มากมายนับไม่ถ้วน ตัวเลขที่แตกต่างกันแต่ไม่มีสิ่งใดที่จะทำให้มันกลายเป็นความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เนื่องจากการคูณด้วย 0 จะให้ 0 เสมอ

นอกจากนี้ยังมีสมการที่มีหลายรากด้วย พวกเขาสามารถเป็นได้ทั้งแบบมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนมากราก.

ตัวอย่างที่ 3

ดังนั้น ในสมการ x − 2 = 4 มีเพียงรากเดียว - หก ใน x 2 = 9 สองราก - สามและลบสาม ใน x · (x − 1) · (x − 2) = 0 สามราก - ศูนย์ หนึ่ง และสอง มีรากมากมายนับไม่ถ้วนในสมการ x=x

ตอนนี้ให้เราอธิบายวิธีการเขียนรากของสมการอย่างถูกต้อง หากไม่มีก็เขียนว่า: "สมการไม่มีราก" ในกรณีนี้ คุณยังสามารถระบุเครื่องหมายของเซตว่าง ∅ ได้ด้วย หากมีรากเราจะเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรือระบุว่าเป็นองค์ประกอบของชุดโดยใส่ไว้ในเครื่องหมายปีกกา ดังนั้นหากสมการใดมีสามราก - 2, 1 และ 5 เราก็เขียน - 2, 1, 5 หรือ (- 2, 1, 5)

อนุญาตให้เขียนรากในรูปแบบของความเท่าเทียมกันอย่างง่าย ดังนั้นหากสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการแสดงด้วยตัวอักษร y และรากคือ 2 และ 7 เราก็เขียน y = 2 และ y = 7 บางครั้งตัวห้อยจะถูกเพิ่มเข้าไปในตัวอักษร เช่น x 1 = 3, x 2 = 5 ด้วยวิธีนี้เราชี้ไปที่จำนวนราก. ถ้าสมการนั้นมีคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด เราจะเขียนคำตอบเป็น ช่วงตัวเลขหรือเราใช้สัญกรณ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไป: ชุดของจำนวนธรรมชาติแสดงด้วย N, จำนวนเต็มแสดงด้วย Z และจำนวนจริงแสดงด้วย R สมมติว่า หากเราต้องเขียนว่าคำตอบของสมการจะเป็นจำนวนเต็มใดๆ เราก็จะเขียน x ∈ Z และถ้ามีจำนวนจริงตั้งแต่ 1 ถึง 9 แล้ว y ∈ 1, 9

เมื่อสมการมีสองหรือสามรากขึ้นไป ตามกฎแล้ว เราจะไม่พูดถึงราก แต่เกี่ยวกับการแก้สมการ ให้เรากำหนดคำจำกัดความของการแก้สมการที่มีตัวแปรหลายตัว

คำจำกัดความที่ 5

การแก้สมการที่มีตัวแปรสองสามตัวขึ้นไปคือค่าสองหรือสามค่าขึ้นไปของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการที่กำหนดให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

ให้เราอธิบายคำจำกัดความพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าเรามีนิพจน์ x + y = 7 ซึ่งเป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว เรามาแทนที่อันหนึ่งแทนอันแรก และอันที่สองแทนอันที่สอง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าค่าคู่นี้จะไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ หากเราหาคู่ที่ 3 และ 4 ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าเราพบวิธีแก้ไขแล้ว

สมการดังกล่าวอาจไม่มีรากหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ หากเราต้องเขียนค่าสอง สาม สี่ค่าขึ้นไป เราจะเขียนค่าเหล่านั้นโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในวงเล็บ นั่นคือในตัวอย่างข้างต้น คำตอบจะมีลักษณะดังนี้ (3, 4)

ในทางปฏิบัติ คุณมักจะต้องจัดการกับสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว เราจะพิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาโดยละเอียดในบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter