บางคนถือว่าคำว่า "ก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากส่วนต่างๆ คณิตศาสตร์ชั้นสูง. ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ และรับส่วนสำคัญ (และไม่มีอะไรสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่า "การได้ส่วนสำคัญ") ลำดับเลขคณิตไม่ยากเมื่อคุณเข้าใจแนวคิดพื้นฐานบางประการ

ลำดับเลขคณิต

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกคนแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n คือสมาชิกที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจชุดตัวเลขและตัวเลขใดๆ โดยพลการ เราจะเพ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพากันซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

เอ - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข;

n - ของเขา หมายเลขซีเรียล;

f(n) เป็นฟังก์ชันที่ลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละเทอมต่อมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยตัวเลขเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

a n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

มันง่ายที่จะตัดสินว่าถ้าผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกที่ตามมาแต่ละชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเข้าใจได้ง่ายว่าทำไม ลำดับตัวเลขเรียกว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งก็จำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์บางคำโดยพลการ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องตั้งแต่แรกจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบดั้งเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้ากับผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง .

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกคนแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: จำเป็นต้องค้นหาค่าของ 214 เงื่อนไข

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

a(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนพจน์ที่กำหนด

บ่อยครั้งในอนุกรมเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของบางกลุ่ม นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วสรุป วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนเงื่อนไขที่ต้องพบผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นจะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกที่หนึ่งและ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วยสอง หากในสูตร ค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในปัญหาจะต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของชุดข้อมูลตั้งแต่ 56 ถึง 101

วิธีการแก้. ลองใช้สูตรในการพิจารณาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดผลรวมของค่า 101 สมาชิกของความคืบหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าจาก 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 จาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการใช้งานจริงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท๊กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อ ๆ มาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 p

จำนวนที่น่าสนใจสำหรับเรา - ค่าของสมาชิกที่ (27 + 1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของเทห์ฟากฟ้าถึงดวงสว่าง นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขต่างๆ ยังใช้สำเร็จในสถิติและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นำไปใช้ได้สำเร็จ

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีลักษณะเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่การเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้ง เพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาแบบทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าโดยคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกตามอำเภอใจ เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวหารของความก้าวหน้าต่อกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษเช่นกัน ผลรวมของสมาชิก n แรกของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกแรกของการก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

ถ้า b n ถูกแทนที่โดยใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกตั้งค่าเท่ากับ 3 มาหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

หรือเลขคณิต - นี่คือประเภทของลำดับตัวเลขที่เรียงลำดับซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ได้รับการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน บทความนี้กล่าวถึงรายละเอียดคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความคืบหน้านี้คืออะไร?

ก่อนดำเนินการพิจารณาคำถาม (วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) ควรทำความเข้าใจว่าจะพูดถึงอะไร

ลำดับของจำนวนจริงใดๆ ที่ได้มาจากการบวก (ลบ) ค่าบางค่าจากจำนวนก่อนหน้าแต่ละจำนวนนั้นเรียกว่า ความก้าวหน้าเชิงพีชคณิต (เลขคณิต) คำจำกัดความนี้แปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์มีรูปแบบดังนี้

ที่นี่ i คือเลขลำดับขององค์ประกอบของอนุกรม a ผม . ดังนั้น เมื่อทราบหมายเลขเริ่มต้นเพียงหมายเลขเดียว คุณจึงสามารถกู้คืนทั้งชุดข้อมูลได้อย่างง่ายดาย พารามิเตอร์ d ในสูตรเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นชุดของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1)

นั่นคือ ในการหาค่าขององค์ประกอบที่ n ตามลำดับ ให้เพิ่มผลต่าง d ไปยังองค์ประกอบแรก a 1 n-1 ครั้ง

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร: สูตร

ก่อนที่จะให้สูตรสำหรับจำนวนเงินที่ระบุควรพิจารณากรณีพิเศษง่ายๆ ด้วยความก้าวหน้าของจำนวนธรรมชาติจาก 1 ถึง 10 คุณต้องหาผลรวมของพวกมัน เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำในความคืบหน้า (10) จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาแบบตรงไปตรงมา นั่นคือ รวมองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55

ควรพิจารณาสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เนื่องจากแต่ละเทอมแตกต่างจากคำถัดไปด้วยค่าเดียวกัน d \u003d 1 จากนั้นผลรวมแบบคู่ของตัวแรกกับตัวที่สิบ ตัวที่สองกับตัวที่เก้า และอื่นๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน . จริงๆ:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

อย่างที่คุณเห็น มีเพียง 5 ผลรวมเหล่านี้ นั่นคือน้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบในซีรีส์ถึงสองเท่า จากนั้นคูณจำนวนรวม (5) ด้วยผลลัพธ์ของแต่ละผลรวม (11) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างแรก

ถ้าเราสรุปอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2

นิพจน์นี้แสดงว่าไม่จำเป็นเลยที่จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแถว แค่ทราบค่าของ 1 ตัวแรกและตัวสุดท้าย n รวมถึงจำนวนพจน์ทั้งหมด n ก็เพียงพอแล้ว

เป็นที่เชื่อกันว่า Gauss นึกถึงความเท่าเทียมกันนี้เป็นครั้งแรกเมื่อเขากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาที่กำหนดโดยครูในโรงเรียนของเขา นั่นคือการรวมจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก

ผลรวมขององค์ประกอบจาก m ถึง n: สูตร

สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าจะตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ขององค์ประกอบแรก) แต่บ่อยครั้งในงานจำเป็นต้องรวมชุดของตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของความคืบหน้า ทำอย่างไร?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือโดยพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้: ให้จำเป็นต้องหาผลรวมของเทอมตั้งแต่ ม. ถึง n. ในการแก้ปัญหา ควรแสดงส่วนที่กำหนดจาก m ถึง n เป็นชุดตัวเลขใหม่ ในการแทนนี้ สมาชิกที่ m-a m จะเป็นคนแรก และ n จะถูกนับเป็น n-(m-1) ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตรมาตรฐานสำหรับผลรวม จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2

ตัวอย่างการใช้สูตร

การรู้วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ควรพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้สูตรข้างต้น

ด้านล่างนี้คือลำดับตัวเลข คุณควรหาผลรวมของสมาชิก โดยเริ่มจากลำดับที่ 5 และลงท้ายด้วยลำดับที่ 12:

ตัวเลขที่ระบุระบุว่าความแตกต่าง d เท่ากับ 3 การใช้นิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ n คุณสามารถค้นหาค่าของสมาชิกที่ 5 และ 12 ของความคืบหน้าได้ ปรากฎว่า:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29

เมื่อทราบค่าของตัวเลขที่ส่วนท้ายของความก้าวหน้าทางพีชคณิตภายใต้การพิจารณาและรู้ว่าตัวเลขใดในชุดที่พวกเขาครอบครองคุณสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า รับ:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่านี้สามารถหาได้แตกต่างกัน: ขั้นแรก ให้หาผลรวมขององค์ประกอบ 12 ตัวแรกโดยใช้สูตรมาตรฐาน จากนั้นให้คำนวณผลรวมของ 4 องค์ประกอบแรกโดยใช้สูตรเดียวกัน จากนั้นจึงลบส่วนที่สองออกจากผลรวมแรก .

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมถัดมาต่างจากเทอมที่แล้วโดยเทอมเหล็กซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ขั้นตอนหรือความแตกต่างของความก้าวหน้า.

ดังนั้น โดยการกำหนดขั้นตอนของความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ โดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกคี่ (คู่) ที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่ยืนอยู่ระหว่างพวกเขา ลำดับของตัวเลขนี้คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การยืนยันนี้ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ โดยคุณสมบัติของการก้าวหน้าเลขคณิต สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

ง่ายต่อการตรวจสอบหากเราเขียนเงื่อนไขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี ซึ่งเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องปกติในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกที่ k -th สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) เป็นที่น่าสนใจในทางปฏิบัติที่จะหาผลรวมของสมาชิก n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มจากเลข kth เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

นี่คือจุดสิ้นสุดของเนื้อหาเชิงทฤษฎี และเราดำเนินการแก้ไขปัญหาที่พบได้ทั่วไปในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

วิธีการแก้:

ตามเงื่อนไขเรามี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง2. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสมาชิกที่สามและเจ็ด หาระยะแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

วิธีการแก้:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้นเราจึงพบขั้นตอนความก้าวหน้า

ค่าที่พบจะถูกแทนที่ในสมการใด ๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำนวณผลรวมของสิบเทอมแรกของความก้าวหน้า

โดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน เราพบค่าที่จำเป็นทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในสมาชิก หาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมเริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

วิธีการแก้:

ลองเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้า

และหาคนแรก

จากข้อแรก เราพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 . แรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250

ตัวอย่างที่ 4

หาจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

วิธีการแก้:

เราเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนของความก้าวหน้าและกำหนดมัน

เราแทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนสมาชิกในผลรวม

ทำให้เข้าใจง่าย

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับสภาพของปัญหา ดังนั้นผลรวมของแปดเทอมแรกของความก้าวหน้าคือ 111

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

วิธีแก้ไข: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราเขียนเทอมแรกและค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า

IV ยาโคฟเลฟ | สื่อการสอนคณิตศาสตร์ | MathUs.ru

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับชนิดพิเศษ ดังนั้น ก่อนกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (แล้วเรขาคณิต) เราจำเป็นต้องอภิปรายแนวคิดที่สำคัญของลำดับตัวเลขโดยสังเขป

ที่ตามมา

ลองนึกภาพอุปกรณ์บนหน้าจอที่แสดงตัวเลขทีละตัว สมมุติว่า 2; 7; 13; หนึ่ง; 6; 0; 3; : : : ชุดตัวเลขดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างของลำดับ

คำนิยาม. ลำดับตัวเลขคือชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละหมายเลขสามารถกำหนดหมายเลขที่ไม่ซ้ำกันได้ (กล่าวคือ ให้สอดคล้องกับตัวเลขธรรมชาติตัวเดียว)1 หมายเลขที่มีหมายเลข n เรียกว่าสมาชิกที่ n ของลำดับ

ในตัวอย่างข้างต้น หมายเลขแรกมีหมายเลข 2 ซึ่งเป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ ซึ่งสามารถแทนด้วย a1 ; หมายเลขห้ามีหมายเลข 6 ซึ่งเป็นสมาชิกที่ห้าของลำดับซึ่งสามารถแสดงเป็น a5 ได้ โดยทั่วไป, สมาชิกที่ nลำดับจะแสดงโดย (หรือ bn , cn ฯลฯ )

สถานการณ์ที่สะดวกมากคือเมื่อสมาชิกที่ n ของลำดับสามารถระบุได้ด้วยสูตรบางสูตร ตัวอย่างเช่น สูตร an = 2n 3 ระบุลำดับ: 1; หนึ่ง; 3; 5; 7; : : : สูตร an = (1)n กำหนดลำดับ: 1; หนึ่ง; หนึ่ง; หนึ่ง; : : :

ไม่ใช่ทุกชุดของตัวเลขที่เป็นลำดับ ดังนั้น เซ็กเมนต์ไม่ใช่ลำดับ มันมีตัวเลข ¾ มากเกินไปที่จะจัดลำดับใหม่ เซต R ของจำนวนจริงทั้งหมดไม่ใช่ลำดับเช่นกัน ข้อเท็จจริงเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: คำจำกัดความพื้นฐาน

ตอนนี้เราพร้อมที่จะกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับซึ่งแต่ละเทอม (เริ่มจากวินาที) เท่ากับผลรวมของเทอมก่อนหน้าและจำนวนคงที่บางส่วน (เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์)

ตัวอย่างเช่น ลำดับที่ 2; 5; แปด; สิบเอ็ด; : : : เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเทอมแรก 2 และผลต่าง 3. ลำดับ 7; 2; 3; แปด; : : : เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีเทอมแรก 7 และผลต่าง 5. ลำดับที่ 3; 3; 3; : : : เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่างเป็นศูนย์

คำจำกัดความที่เทียบเท่ากัน: ลำดับ an เรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้าความแตกต่าง an+1 an เป็นค่าคงที่ (ไม่ขึ้นกับ n)

กล่าวกันว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้นหากผลต่างเป็นบวก และลดลงหากผลต่างเป็นลบ

1 และนี่คือคำจำกัดความที่กระชับยิ่งขึ้น: ลำดับคือฟังก์ชันที่กำหนดในชุดของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนจริงคือฟังก์ชัน f: N! ร.

โดยค่าเริ่มต้น ลำดับจะถือว่าไม่มีที่สิ้นสุด กล่าวคือ มีจำนวนตัวเลขเป็นอนันต์ แต่ไม่มีใครมารบกวนการพิจารณาลำดับที่แน่นอนเช่นกัน อันที่จริง ชุดจำนวนจำกัดใดๆ สามารถเรียกได้ว่าเป็นลำดับจำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับสุดท้าย 1; 2; 3; สี่; 5 ประกอบด้วยตัวเลขห้าตัว

สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นถูกกำหนดโดยตัวเลขสองตัวอย่างสมบูรณ์: เทอมแรกและส่วนต่าง ดังนั้นคำถามจึงเกิดขึ้น: รู้คำศัพท์แรกและความแตกต่างได้อย่างไรค้นหาคำศัพท์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการได้อย่างไร

ไม่ยากเลยที่จะได้สูตรที่ต้องการสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ an

ภารกิจที่ 1 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 2; 5; แปด; สิบเอ็ด; : : : หาสูตรของเทอมที่ n และคำนวณเทอมที่ร้อย

วิธีการแก้. ตามสูตร (1) เรามี:

อัน = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

คุณสมบัติและเครื่องหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในการก้าวหน้าเลขคณิตสำหรับใดๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่งสมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (เริ่มจากวินาที) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกใกล้เคียง

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็น

โดยทั่วไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ตอบสนองความเท่าเทียมกัน

n = a n k+ n+k

สำหรับ n > 2 และ k . ตามธรรมชาติใดๆ< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

ปรากฎว่าสูตร (2) ไม่เพียงแต่จำเป็นแต่ยัง สภาพที่เพียงพอว่าลำดับนั้นเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สัญญาณของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากความเท่าเทียมกัน (2) ถือไว้สำหรับ n > 2 ทั้งหมด ลำดับ a คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์. ลองเขียนสูตร (2) ใหม่ดังนี้:

a na n 1= n+1a n:

นี่แสดงให้เห็นว่าความแตกต่าง an+1 an ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n และนี่หมายความว่าลำดับ an เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติและเครื่องหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นคำสั่งเดียวได้ เพื่อความสะดวกเราจะทำสิ่งนี้สำหรับตัวเลขสามตัว (นี่คือสถานการณ์ที่มักเกิดขึ้นในปัญหา)

การกำหนดลักษณะของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขสามตัว a, b, c รูปแบบ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้าหากว่า 2b = a + c

ปัญหาที่ 2 (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) ตัวเลขสามตัว 8x, 3 x2 และ 4 ในลำดับที่ระบุทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ลดลง ค้นหา x และเขียนความแตกต่างของความก้าวหน้านี้

วิธีการแก้. โดยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรามี:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

ถ้า x = 1 จะได้ความก้าวหน้าลดลง 8, 2, 4 โดยมีผลต่าง 6 ถ้า x = 5 จะได้ความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นเป็น 40, 22, 4 กรณีนี้ใช้ไม่ได้

คำตอบ: x = 1 ผลต่างคือ 6

ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตามตำนานเล่าว่าครั้งหนึ่งครูบอกให้เด็กๆ หาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 แล้วนั่งอ่านหนังสือพิมพ์เงียบๆ อย่างไรก็ตาม ภายในไม่กี่นาที เด็กคนหนึ่งบอกว่าเขาได้แก้ปัญหาแล้ว มันคือคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ วัย 9 ขวบ ต่อมาคือหนึ่งใน นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์.

ความคิดของเกาส์ตัวน้อยคือสิ่งนี้ อนุญาต

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

มาเขียนกันเถอะ จำนวนนี้ในลำดับที่กลับกัน:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

และเพิ่มสองสูตรนี้:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

แต่ละเทอมในวงเล็บมีค่าเท่ากับ 101 และมีทั้งหมด 100 เงื่อนไขดังกล่าว ดังนั้น

2S = 101 100 = 10100;

เราใช้แนวคิดนี้เพื่อหาสูตรผลรวม

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

การปรับเปลี่ยนสูตรที่เป็นประโยชน์ (3) ได้มาจากการแทนที่สูตรสำหรับเทอมที่ n an = a1 + (n 1)d ลงในนั้น:

ภารกิจที่ 3 ค้นหาผลรวมของตัวเลขสามหลักบวกทั้งหมดที่หารด้วย 13

วิธีการแก้. ตัวเลขสามหลักทวีคูณของ 13 สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรก 104 และผลต่าง 13 ระยะที่ n ของความก้าวหน้านี้คือ:

อัน = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

มาดูกันว่าความก้าวหน้าของเรามีสมาชิกกี่คน ในการทำเช่นนี้ เราแก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

6999; 91 + 13n 6999;

น 6 908 13 = 6911 13; น 6 69:

ดังนั้นมีสมาชิก 69 คนในความคืบหน้าของเรา ตามสูตร (4) เราพบจำนวนที่ต้องการ:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2