นิพจน์ที่กำหนดในข้อใดเหมือนกับนิพจน์ การแปลงนิพจน์เอกลักษณ์ประเภทของพวกเขา

เมื่อได้แนวคิดเกี่ยวกับอัตลักษณ์แล้ว ก็มีเหตุผลที่จะทำความรู้จักกับ ในบทความนี้ เราจะตอบคำถามว่านิพจน์ที่เท่ากันคืออะไร และเราจะใช้ตัวอย่างเพื่อหาว่านิพจน์ใดเท่ากันและไม่เท่ากัน

การนำทางหน้า

นิพจน์ที่เท่าเทียมกันคืออะไร?

คำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่าเทียมกันนั้นได้รับควบคู่ไปกับคำจำกัดความของตัวตน สิ่งนี้เกิดขึ้นในชั้นเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในตำราเกี่ยวกับพีชคณิตสำหรับ 7 ชั้นเรียนผู้เขียน Yu. N. Makarychev ให้ถ้อยคำต่อไปนี้:

คำนิยาม.

เป็นนิพจน์ที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น นิพจน์ตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าเดียวกันเรียกว่าเท่ากัน

คำจำกัดความนี้ใช้จนถึงคลาส 8 ซึ่งใช้ได้กับนิพจน์จำนวนเต็มเนื่องจากเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น และในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 มีการระบุคำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากัน มาอธิบายว่ามันเกี่ยวข้องกับอะไร

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 การศึกษานิพจน์ประเภทอื่น ๆ จะเริ่มขึ้น ซึ่งไม่เหมือนกับนิพจน์จำนวนเต็ม อาจไม่สมเหตุสมผลสำหรับบางค่าของตัวแปร สิ่งนี้ทำให้จำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความของค่าตัวแปรที่อนุญาตและไม่ถูกต้องรวมถึงช่วงของค่าที่อนุญาตของ ODV ของตัวแปรและเป็นผลให้คำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากันเท่ากันชัดเจนขึ้น

คำนิยาม.

เรียกนิพจน์สองค่าที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปร การแสดงออกที่เท่าเทียมกัน. นิพจน์ตัวเลขสองตัวที่มีค่าเท่ากันยังกล่าวได้ว่ามีค่าเท่ากันอีกด้วย

ในคำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่าเทียมกันนี้ มันคุ้มค่าที่จะอธิบายความหมายของวลี "สำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในค่าเหล่านั้น" มันหมายถึงค่าตัวแปรดังกล่าวทั้งหมดซึ่งทั้งสองนิพจน์ที่เท่ากันเท่ากันก็สมเหตุสมผล แนวคิดนี้จะอธิบายในหัวข้อถัดไปโดยพิจารณาจากตัวอย่าง

คำจำกัดความของนิพจน์ที่เท่ากันในตำราเรียนของ A. G. Mordkovich แตกต่างกันเล็กน้อย:

คำนิยาม.

การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเป็นการแสดงออกทางด้านซ้ายและด้านขวาของตัวตน

ในความหมายนี้และคำจำกัดความก่อนหน้านี้ตรงกัน

ตัวอย่างนิพจน์ที่เท่ากัน

คำจำกัดความที่แนะนำในหัวข้อย่อยก่อนหน้านี้ช่วยให้เราสามารถนำเสนอ ตัวอย่างของนิพจน์ที่เท่ากัน.

เริ่มจากนิพจน์ตัวเลขที่เท่ากัน นิพจน์ตัวเลข 1+2 และ 2+1 มีค่าเท่ากันเนื่องจากสอดคล้องกับค่าที่เท่ากัน 3 และ 3 นิพจน์ 5 และ 30:6 ก็มีค่าเท่ากันเช่นเดียวกับนิพจน์ (2 2) 3 และ 2 6 (ค่าของนิพจน์สุดท้ายเท่ากันเนื่องจาก ) แต่นิพจน์ตัวเลข 3+2 และ 3−2 ไม่เท่ากัน เนื่องจากสอดคล้องกับค่า 5 และ 1 ตามลำดับ แต่ไม่เท่ากัน

ตอนนี้เราให้ตัวอย่างนิพจน์ที่เท่ากันกับตัวแปร นี่คือนิพจน์ a+b และ b+a แน่นอนสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร a และ b นิพจน์ที่เขียนจะใช้ค่าเดียวกัน (ซึ่งตามมาจากตัวเลข) ตัวอย่างเช่น ด้วย a=1 และ b=2 เรามี a+b=1+2=3 และ b+a=2+1=3 สำหรับค่าอื่น ๆ ของตัวแปร a และ b เราจะได้ค่านิพจน์เหล่านี้เท่ากัน นิพจน์ 0·x·y·z และ 0 ยังมีค่าเท่ากันสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x , y และ z แต่นิพจน์ 2 x และ 3 x ไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ที่ x=1 ค่าของพวกมันไม่เท่ากัน อันที่จริง สำหรับ x=1 นิพจน์ 2 x คือ 2 1=2 และนิพจน์ 3 x คือ 3 1=3

เมื่อพื้นที่ของค่าที่อนุญาตของตัวแปรในนิพจน์ตรงกัน เช่น ในนิพจน์ a+1 และ 1+a หรือ a b 0 และ 0 หรือ และ และค่าของนิพจน์เหล่านี้เท่ากันสำหรับ ค่าตัวแปรทั้งหมดจากพื้นที่เหล่านี้จากนั้นทุกอย่างชัดเจน - นิพจน์เหล่านี้มีค่าเท่ากันสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ดังนั้น a+1≡1+a สำหรับ a ใดๆ นิพจน์ a b 0 และ 0 จะเท่ากันสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร a และ b และนิพจน์ และ เท่ากันสำหรับ x ทั้งหมดจาก ; เอ็ด S. A. Telyakovsky - แก้ไขครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - 16 เอ็ด - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9

มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษา / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 17 เพิ่ม - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-02432-3

พิจารณาความเท่าเทียมกันสองประการ:

1. ก 12 * ก 3 = ก 7 * ก 8

ความเท่าเทียมกันนี้จะคงไว้สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร a ช่วงของค่าที่ถูกต้องสำหรับความเท่าเทียมกันนั้นจะเป็นจำนวนจริงทั้งชุด

2. ก 12: ก 3 = ก 2 * ก 7 .

ความไม่เท่าเทียมกันนี้จะคงไว้สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร a ยกเว้นค่าเท่ากับศูนย์ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นจำนวนจริงทั้งชุด ยกเว้นศูนย์

เป็นที่ถกเถียงกันอยู่เกี่ยวกับแต่ละความเท่าเทียมกันเหล่านี้ว่ามันจะเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร a สมการดังกล่าวในวิชาคณิตศาสตร์เรียกว่า อัตลักษณ์.

แนวคิดของตัวตน

เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร หากมีการแทนที่ค่าที่ถูกต้องลงในความเท่าเทียมกันนี้แทนที่จะเป็นตัวแปร ควรได้รับความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่ถูกต้อง

เป็นที่น่าสังเกตว่าการเท่ากันของตัวเลขที่แท้จริงก็เป็นตัวตนเช่นกัน ตัวตน เช่น จะเป็นคุณสมบัติของการกระทำกับตัวเลข

3. ก + ข = ข + ก;

4. ก + (ข + ค) = (ก + ข) + ค;

6. ก*(ข*ค) = (ก*ข)*ค;

7. ก*(ข + ค) = ก*ข + ก*ค;

11. ก*(-1) = -ก.

ถ้านิพจน์สองนิพจน์สำหรับตัวแปรที่ยอมรับได้มีค่าเท่ากัน นิพจน์ดังกล่าวจะถูกเรียก เท่าเทียมกัน. ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของนิพจน์ที่เหมือนกันและเท่ากัน:

1. (ก 2) 4 และ ก 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) และ -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) และ x 10 .

เราสามารถแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยนิพจน์อื่นที่มีค่าเท่ากับนิพจน์แรกเสมอ การแทนที่ดังกล่าวจะเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน

ตัวอย่างเอกลักษณ์

ตัวอย่างที่ 1: อัตลักษณ์ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้มีหรือไม่:

1. ก + 5 = 5 + ก;

2. ก*(-b) = -a*b;

3. 3*ก*3*ข = 9*ก*ข;

นิพจน์ข้างต้นทั้งหมดจะไม่เป็นตัวตน ในบรรดาความเท่าเทียมกันเหล่านี้ มีเพียงความเท่าเทียม 1,2 และ 3 เท่านั้นที่เป็นตัวตน ไม่ว่าเราจะใส่ตัวเลขอะไรลงไป แทนที่จะเป็นตัวแปร a และ b เราก็ยังได้ค่าความเท่ากันของตัวเลขที่ถูกต้อง

แต่ปฏิภาค ๔ ไม่ใช่ตัวตนอีกต่อไป. เนื่องจากไม่ใช่สำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริง ตัวอย่างเช่น ด้วยค่า a = 5 และ b = 2 คุณจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้ไม่เป็นความจริง เนื่องจากเลข 3 ไม่เท่ากับเลข -3

บทความนี้ให้ข้อมูลเบื้องต้น แนวคิดเรื่องอัตลักษณ์. ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของตัวตน แนะนำสัญกรณ์ที่ใช้ และแน่นอน ยกตัวอย่างต่างๆ ของตัวตน

การนำทางหน้า

ตัวตนคืออะไร?

มีเหตุผลที่จะเริ่มต้นการนำเสนอเนื้อหาด้วย คำจำกัดความของตัวตน. ในหนังสือเรียนของ Yu. N. Makarychev พีชคณิตสำหรับ 7 ชั้นเรียน ให้คำจำกัดความของเอกลักษณ์ดังนี้:

คำนิยาม.

ตัวตนคือความเท่าเทียมกันจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร ความเท่ากันของตัวเลขที่แท้จริงใดๆ ก็เป็นตัวตนเช่นกัน

ในเวลาเดียวกันผู้เขียนระบุทันทีว่าคำจำกัดความนี้จะได้รับการชี้แจงในอนาคต การชี้แจงนี้เกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หลังจากทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของค่าตัวแปรและ ODZ ที่ยอมรับได้ คำจำกัดความจะกลายเป็น:

คำนิยาม.

อัตลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นตัวเลขจริงเช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

เหตุใดเมื่อกำหนดตัวตนในเกรด 7 เราพูดถึงค่าตัวแปรใด ๆ และในเกรด 8 เราเริ่มพูดถึงค่าของตัวแปรจาก DPV ของพวกเขา จนถึงเกรด 8 งานจะดำเนินการเฉพาะกับนิพจน์จำนวนเต็ม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ monomials และ polynomials) และเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น ดังนั้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เรากล่าวว่าตัวตนคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร และในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 นิพจน์ปรากฏว่าไม่สมเหตุสมผลสำหรับค่าตัวแปรทั้งหมด แต่สำหรับค่าจาก ODZ เท่านั้น ดังนั้นโดยอัตลักษณ์เราจึงเริ่มเรียกความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าตัวแปรที่ยอมรับได้ทั้งหมด

อัตลักษณ์จึงเป็นกรณีพิเศษของความเท่าเทียมกัน นั่นคือตัวตนใด ๆ คือความเท่าเทียมกัน แต่ไม่ใช่ทุกความเท่าเทียมกันที่เป็นตัวตน แต่เป็นเพียงความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าของตัวแปรใด ๆ จากช่วงของค่าที่ยอมรับได้

เครื่องหมายประจำตัว

เป็นที่ทราบกันดีว่าในการเขียนความเท่าเทียมกันจะใช้เครื่องหมายเท่ากับของรูปแบบ "=" ทางด้านซ้ายและด้านขวาซึ่งมีตัวเลขหรือนิพจน์อยู่ ถ้าเราเพิ่มเส้นแนวนอนอีกหนึ่งเส้นให้กับเครื่องหมายนี้ เราจะได้ เครื่องหมายประจำตัว"≡" หรือที่เรียกอีกอย่างว่า เครื่องหมายเท่ากับ.

เครื่องหมายแสดงตัวตนมักจะใช้เฉพาะเมื่อจำเป็นต้องเน้นว่าเรามีอยู่ข้างหน้า ไม่ใช่แค่ความเสมอภาค แต่เป็นตัวตนที่แม่นยำ ในกรณีอื่น ๆ การแสดงตัวตนไม่แตกต่างจากรูปแบบที่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างเอกลักษณ์

ถึงเวลาที่จะนำ ตัวอย่างของอัตลักษณ์. คำจำกัดความของตัวตนที่ระบุในย่อหน้าแรกจะช่วยเราในเรื่องนี้

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข 2=2 เป็นตัวอย่างของเอกลักษณ์ เนื่องจากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นจริง และความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริงใดๆ คือตามคำนิยามแล้ว เอกลักษณ์ สามารถเขียนเป็น 2≡2 และ .

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขในรูปแบบ 2+3=5 และ 7−1=2·3 ก็เป็นตัวตนเช่นกัน เนื่องจากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นจริง นั่นคือ 2+3≡5 และ 7−1≡2 3 .

มาดูตัวอย่างเอกลักษณ์ที่ไม่เพียงแต่มีตัวเลขเท่านั้น แต่ยังมีตัวแปรในสัญกรณ์ด้วย

พิจารณาความเท่าเทียมกัน 3·(x+1)=3·x+3 สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x ความเท่าเทียมกันที่เป็นลายลักษณ์อักษรจะเป็นจริงเนื่องจากคุณสมบัติการแจกแจงของการคูณที่เกี่ยวกับการบวก ดังนั้น ความเท่าเทียมกันดั้งเดิมจึงเป็นตัวอย่างของเอกลักษณ์ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของตัวตน: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:yนี่คือช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับตัวแปร x และ y คือคู่ทั้งหมด (x, y) โดยที่ x และ y เป็นตัวเลขใดๆ ยกเว้นศูนย์

แต่ความเท่าเทียมกัน x+1=x−1 และ a+2 b=b+2 a ไม่ใช่ตัวตน เนื่องจากมีค่าของตัวแปรที่ความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x=2 ความเท่าเทียมกัน x+1=x−1 จะกลายเป็นความเท่าเทียมที่ไม่ถูกต้อง 2+1=2−1 ยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกัน x+1=x−1 ไม่สามารถทำได้เลยสำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x . และความเท่าเทียมกัน a+2·b=b+2·a จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องหากเรานำค่าที่แตกต่างกันของตัวแปร a และ b . ตัวอย่างเช่น ด้วย a=0 และ b=1 เราจะเกิดความเท่าเทียมที่ไม่ถูกต้อง 0+2 1=1+2 0 . ความเท่าเทียมกัน |x|=x โดยที่ |x| - ตัวแปร x ยังไม่ใช่ตัวตนเนื่องจากไม่เป็นความจริงสำหรับค่าลบของ x .

ตัวอย่างของอัตลักษณ์ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ sin 2 α+cos 2 α=1 และ a log a b =b

โดยสรุปของบทความนี้ ฉันต้องการทราบว่าเมื่อเรียนคณิตศาสตร์ เรามักพบอัตลักษณ์อยู่เสมอ เร็กคอร์ดคุณสมบัติการดำเนินการกับตัวเลขคือเอกลักษณ์ ตัวอย่างเช่น a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 และ a+(−a)=0 นอกจากนี้ยังมีข้อมูลประจำตัว

หัวข้อ "พิสูจน์ตัวตน» ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 7 (กรอ.)

ตำรา Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เกี่ยวกับการศึกษา:

เพื่อทำความคุ้นเคยและเริ่มรวบรวมแนวคิดของ "นิพจน์ที่เท่าเทียมกัน", "เอกลักษณ์", "การแปลงที่เหมือนกัน";

พิจารณาแนวทางการพิสูจน์อัตลักษณ์เพื่อนำไปสู่การพัฒนาทักษะในการพิสูจน์อัตลักษณ์

เพื่อตรวจสอบการดูดซึมเนื้อหาที่ครอบคลุมของนักเรียนเพื่อสร้างทักษะในการนำสิ่งที่ศึกษาไปใช้เพื่อรับรู้สิ่งใหม่

กำลังพัฒนา:

พัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถของนักเรียน (เพิ่มคุณค่าและคำศัพท์ที่ซับซ้อนเมื่อใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์พิเศษ)

พัฒนาความคิด

ด้านการศึกษา : ปลูกฝังความอุตสาหะ ความแม่นยำ ความถูกต้องในการบันทึกเฉลยแบบฝึกหัด

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ระหว่างเรียน

1 . เวลาจัดงาน.

ตรวจการบ้าน.

คำถามเกี่ยวกับการบ้าน

การซักถามบนกระดาน

คณิตศาสตร์ที่จำเป็น
เป็นไปไม่ได้หากไม่มีเธอ
เราสอนเราสอนเพื่อน
เราจำอะไรได้บ้างในตอนเช้า?

2 . มาออกกำลังกายกันเถอะ

ผลบวก. (ผลรวม)

คุณรู้กี่ตัวเลข (สิบ)

จำนวนหลักร้อย. (ร้อยละ)

ผลหาร? (ส่วนตัว)

จำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด? (หนึ่ง)

เป็นไปได้ไหมที่จะได้ศูนย์เมื่อหารจำนวนธรรมชาติ? (ไม่)

จำนวนเต็มลบที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร (-หนึ่ง)

จำนวนใดหารด้วยไม่ได้? (0)

ผลคูณ? (ทำงาน)

ผลลัพธ์ของการลบ (ความแตกต่าง)

สมบัติการสลับที่ของการบวก (ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลงจากการจัดเรียงตำแหน่งของข้อกำหนดใหม่)

สมบัติการสลับที่ของการคูณ (สินค้าไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของเหตุปัจจัย)

ศึกษาหัวข้อใหม่ (นิยามด้วยโน้ตในสมุดบันทึก)

ค้นหาค่าของนิพจน์ที่ x=5 และ y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน จากคุณสมบัติการแจกแจงโดยทั่วไปสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรค่าของนิพจน์ 3(x + y) และ 3x + 3y จะเท่ากัน

พิจารณานิพจน์ 2x + y และ 2xy สำหรับ x=1 และ y=2 จะใช้ค่าที่เท่ากัน:

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถระบุค่า x และ y เพื่อให้ค่าของนิพจน์เหล่านี้ไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้า x=3, y=4 แล้ว

คำนิยาม: นิพจน์สองค่าที่มีค่าเท่ากันสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรจะถือว่าเท่ากัน

นิพจน์ 3(x+y) และ 3x+3y มีค่าเท่ากัน แต่นิพจน์ 2x+y และ 2xy ไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกัน 3(x + y) และ 3x + 3y เป็นจริงสำหรับค่า x และ y ใดๆ ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอัตลักษณ์

คำนิยาม:ความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปรเรียกว่าเอกลักษณ์

ความเท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงก็ถือเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน เราได้พบกับตัวตนแล้ว เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการกระทำกับตัวเลข (นักเรียนแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับคุณสมบัติแต่ละอย่างโดยออกเสียง)

ก + ข = ข + ก
ab = บา
(ก + ข) + ค = ก + (ข + ค)
(ab)ค = ก(bc)
ก(b + c) = ab + ไฟฟ้ากระแสสลับ

ยกตัวอย่างอัตลักษณ์อื่นๆ

คำนิยาม: การแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งที่มีค่าเท่ากันเรียกว่าการแปลงที่เหมือนกันหรือเรียกง่ายๆว่าการแปลงนิพจน์

การแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรเหมือนกันจะดำเนินการตามคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

การแปลงนิพจน์เอกลักษณ์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณค่าของนิพจน์และแก้ปัญหาอื่น ๆ คุณต้องดำเนินการแปลงที่เหมือนกันบางอย่างอยู่แล้ว เช่น การลดจำนวนคำที่คล้ายกัน การขยายวงเล็บ

5 . น. 691, น. 692 (พร้อมการออกเสียงกฎการเปิดวงเล็บ, การคูณจำนวนลบและจำนวนบวก)

ข้อมูลประจำตัวสำหรับการเลือกวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผล:(งานหน้า)

6 . สรุปบทเรียน

ครูถามคำถามและนักเรียนตอบตามที่พวกเขาต้องการ

นิพจน์สองคำใดที่เรียกว่าเท่ากัน? ยกตัวอย่าง.

ความเสมอภาคใดที่เรียกว่าเอกลักษณ์? ยกตัวอย่าง.

คุณรู้จักการแปลงที่เหมือนกันอะไรบ้าง

7. การบ้าน. เรียนรู้คำจำกัดความ ยกตัวอย่างนิพจน์ที่เหมือนกัน (อย่างน้อย 5) เขียนลงในสมุดบันทึก

ในหลักสูตรของการเรียนพีชคณิต เราได้พบกับแนวคิดของพหุนาม (เช่น ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ เป็นต้น) และพีชคณิตเศษส่วน (เช่น $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ เป็นต้น) ความคล้ายคลึงกันของแนวคิดเหล่านี้คือทั้งในพหุนามและในเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตจะมี ตัวแปรและค่าตัวเลข, การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: การบวก, การลบ, การคูณ, การยกกำลัง ความแตกต่างระหว่างแนวคิดเหล่านี้คือการหารพหุนามด้วยตัวแปรไม่ได้ดำเนินการ และการหารเศษส่วนเชิงพีชคณิตด้วยตัวแปรสามารถทำได้

ทั้งพหุนามและเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตเรียกว่านิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มีเหตุผลในวิชาคณิตศาสตร์ แต่พหุนามเป็นนิพจน์ตรรกยะจำนวนเต็ม และนิพจน์เศษส่วนเชิงพีชคณิตเป็นนิพจน์ตรรกยะที่เป็นเศษส่วน

เป็นไปได้ที่จะได้นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตทั้งหมดจากนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นคุณสมบัติหลักของเศษส่วน - การลดลงของเศษส่วน ลองดูในทางปฏิบัติ:

ตัวอย่างที่ 1

แปลงร่าง:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

วิธีการแก้:สมการเศษส่วน-ตรรกยะนี้สามารถแปลงได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของการยกเลิกเศษส่วน เช่น การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันที่ไม่ใช่ $0$

ไม่สามารถลดเศษส่วนนี้ได้ทันทีจำเป็นต้องแปลงตัวเศษ

เราแปลงนิพจน์ในตัวเศษของเศษส่วน สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลต่าง: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

เศษส่วนมีรูปแบบ

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

ตอนนี้เราเห็นว่ามีตัวประกอบร่วมกันในตัวเศษและตัวส่วน นี่คือนิพจน์ $x-2$ ซึ่งเราจะลดเศษส่วนลง

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

หลังจากการลดลง เราพบว่านิพจน์ที่เป็นเศษส่วนเหตุผล $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ได้กลายเป็นพหุนาม $x-2$ นั่นคือ มีเหตุผลทั้งหมด

ทีนี้มาให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่านิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2\ $ สามารถพิจารณาได้ว่าไม่เหมือนกันสำหรับทุกค่าของตัวแปร เพราะ เพื่อให้นิพจน์ที่เป็นเศษส่วนมีเหตุผลอยู่และสำหรับการลดลงของพหุนาม $x-2$ ให้เป็นไปได้ ตัวส่วนของเศษส่วนไม่ควรเท่ากับ $0$ (เช่นเดียวกับตัวประกอบที่เราลดใน ตัวอย่างนี้ ตัวส่วนและตัวประกอบเหมือนกัน แต่ไม่เสมอไป)

ค่าตัวแปรที่มีเศษส่วนเกี่ยวกับพีชคณิตจะเรียกว่าค่าตัวแปรที่ถูกต้อง

เราตั้งเงื่อนไขให้กับตัวส่วนของเศษส่วน: $x-2≠0$ แล้ว $x≠2$

ดังนั้นนิพจน์ $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ และ $x-2$ จะเหมือนกันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร ยกเว้น $2$

คำจำกัดความ 1

เท่าเทียมกันนิพจน์คือค่าที่เท่ากันสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร

การแปลงที่เหมือนกันคือการแทนที่นิพจน์เดิมด้วยตัวที่เท่ากัน การแปลงดังกล่าวรวมถึงการดำเนินการ: บวก ลบ คูณ ดึงตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ นำเศษส่วนพีชคณิตมาเป็นตัวส่วนร่วม ลดเศษส่วนพีชคณิต นำ เช่น เงื่อนไข ฯลฯ ต้องคำนึงว่าการเปลี่ยนแปลงจำนวนหนึ่ง เช่น การลดลง การลดลงของคำที่คล้ายกัน สามารถเปลี่ยนค่าที่อนุญาตของตัวแปรได้

เทคนิคที่ใช้ในการพิสูจน์ตัวตน

แปลงด้านซ้ายของเอกลักษณ์ให้เป็นด้านขวาหรือกลับกันโดยใช้การแปลงเอกลักษณ์

ลดทั้งสองส่วนให้เป็นนิพจน์เดียวกันโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน

โอนนิพจน์ในส่วนหนึ่งของนิพจน์ไปยังอีกนิพจน์หนึ่ง และพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่างเท่ากับ $0$

วิธีใดข้างต้นที่จะใช้เพื่อพิสูจน์ตัวตนที่กำหนดขึ้นอยู่กับตัวตนเดิม

ตัวอย่างที่ 2

พิสูจน์ตัวตน $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

วิธีการแก้:ในการพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ เราใช้วิธีแรกข้างต้น กล่าวคือ เราจะแปลงด้านซ้ายของเอกลักษณ์จนกว่าจะเท่ากับด้านขวา

พิจารณาด้านซ้ายของเอกลักษณ์: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- มันคือผลต่างของพหุนามสองตัว ในกรณีนี้ พหุนามตัวแรกคือกำลังสองของผลรวมของพจน์ 3 พจน์ ในการยกกำลังสองของผลรวมของพจน์หลายพจน์ เราใช้สูตร:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

ในการทำเช่นนี้เราต้องคูณจำนวนด้วยพหุนาม จำไว้ว่า ในการทำเช่นนี้เราต้องคูณตัวประกอบร่วมนอกวงเล็บด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามในวงเล็บ จากนั้นเราจะได้:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

ตอนนี้กลับไปที่พหุนามดั้งเดิม มันจะอยู่ในรูปแบบ:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

โปรดทราบว่ามีเครื่องหมาย "-" อยู่ด้านหน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าเมื่อเปิดวงเล็บ เครื่องหมายทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บจะกลับด้าน

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= ก ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

หากเรานำคำศัพท์ที่คล้ายกัน เราจะได้ว่า monomials $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ และ $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ หักล้างกัน เช่น ผลรวมของพวกเขาเท่ากับ $0$

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= ก ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

ดังนั้น จากการแปลงที่เหมือนกัน เราได้นิพจน์ที่เหมือนกันทางด้านซ้ายของเอกลักษณ์เดิม

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

โปรดทราบว่านิพจน์ผลลัพธ์แสดงว่าตัวตนดั้งเดิมเป็นจริง

โปรดทราบว่าในเอกลักษณ์เดิม อนุญาตให้ใช้ค่าทั้งหมดของตัวแปร ซึ่งหมายความว่าเราได้พิสูจน์เอกลักษณ์โดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน และค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรจะเป็นจริง