เครื่องหมายที่สามที่สามเหลี่ยมเท่ากันคืออะไร? เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

>>เรขาคณิต: สัญลักษณ์ที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม บทเรียนที่สมบูรณ์

หัวข้อบทเรียน: เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทางการศึกษา - การทำซ้ำลักษณะทั่วไปและการทดสอบความรู้ในหัวข้อ: "สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม"; การพัฒนาทักษะพื้นฐาน
• พัฒนาการ – เพื่อพัฒนาความสนใจ ความอุตสาหะ ความอุตสาหะของนักเรียน การคิดเชิงตรรกะ,คำพูดทางคณิตศาสตร์
• การศึกษา - ผ่านบทเรียน ปลูกฝังทัศนคติที่เอาใจใส่ต่อกัน ปลูกฝังความสามารถในการฟังสหาย การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน และความเป็นอิสระ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• พัฒนาทักษะในการสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ไม้บรรทัดสเกล ไม้โปรแทรกเตอร์ และการวาดรูปสามเหลี่ยม
• ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน

แผนการสอน:

1. จากประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์
2. สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
3. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน
4. สามเหลี่ยมมุมฉาก.

จากประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์
สามเหลี่ยมมุมฉากครอบครองสถานที่อันทรงเกียรติในเรขาคณิตของชาวบาบิโลน และการกล่าวถึงสิ่งนี้มักพบในกระดาษปาปิรัสอาห์มส์

คำว่าด้านตรงข้ามมุมฉากมาจากภาษากรีกด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งหมายถึงการยืดตัวภายใต้บางสิ่งหรือการหดตัว คำนี้มีต้นกำเนิดมาจากภาพของพิณอียิปต์โบราณซึ่งมีสายขึงอยู่เหนือปลายขาตั้งทั้งสองตั้งฉากกัน

คำว่า ขา มาจาก คำภาษากรีก“Katetos” ซึ่งหมายถึงเส้นดิ่งตั้งฉาก ในยุคกลาง คำว่า cathet หมายถึงความสูง สามเหลี่ยมมุมฉากขณะที่ด้านอื่นๆ เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่าฐานตามลำดับ ในศตวรรษที่ 17 คำว่า cathet เริ่มถูกนำมาใช้ในความหมายสมัยใหม่ และแพร่หลายมากขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 18

Euclid ใช้สำนวน:

“ ด้านที่สรุปเป็นมุมฉาก” - สำหรับขา;

“ด้านที่ยื่นเป็นมุมฉาก” - สำหรับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขั้นแรก เราต้องรีเฟรชความทรงจำเกี่ยวกับสัญญาณก่อนหน้าของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม เรามาเริ่มกันที่อันแรกกันก่อน

เครื่องหมายที่ 1 ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

วิชา > คณิตศาสตร์ > คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7

ท่ามกลาง จำนวนมากรูปหลายเหลี่ยมซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นเส้นขาดแบบปิดและไม่ตัดกัน สามเหลี่ยมคือรูปที่มีมุมน้อยที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด แต่ถึงแม้จะเรียบง่าย แต่ร่างนี้ก็เต็มไปด้วยความลึกลับมากมายและ การค้นพบที่น่าสนใจซึ่งได้รับการส่องสว่าง ส่วนพิเศษคณิตศาสตร์-เรขาคณิต วินัยนี้เริ่มสอนในโรงเรียนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 และมีหัวข้อ "สามเหลี่ยม" ให้ที่นี่ ความสนใจเป็นพิเศษ- เด็ก ๆ ไม่เพียงเรียนรู้กฎเกี่ยวกับรูปร่างเท่านั้น แต่ยังเปรียบเทียบโดยศึกษาเครื่องหมายที่ 1, 2 และ 3 ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

รู้จักกันครั้งแรก

กฎข้อแรกที่เด็กนักเรียนเรียนรู้มีดังนี้: ผลรวมของค่าของทุกมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา เพื่อยืนยันสิ่งนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อวัดแต่ละจุดยอดและบวกค่าผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้ เมื่อทราบปริมาณสองปริมาณแล้ว จึงง่ายต่อการระบุปริมาณที่สาม ตัวอย่างเช่น: ในรูปสามเหลี่ยม มุมหนึ่งเป็น 70° และอีกมุมเป็น 85° แล้วมุมที่สามจะมีขนาดเท่าใด

180 - 85 - 70 = 25.

คำตอบ: 25°

ปัญหาอาจซับซ้อนมากยิ่งขึ้นหากระบุค่ามุมเพียงค่าเดียว และค่าที่สองจะบอกเฉพาะค่าที่มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนเท่าหรือกี่ครั้งเท่านั้น

ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อกำหนดคุณสมบัติบางอย่างสามารถวาดเส้นพิเศษได้ซึ่งแต่ละเส้นมีชื่อของตัวเอง:

• ความสูง - เส้นตรงตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดไปด้านตรงข้าม
• ความสูงทั้งสามวาดพร้อมกันตัดกันที่กึ่งกลางของรูปสร้างออร์โธเซนเตอร์ซึ่งสามารถวางได้ทั้งภายในและภายนอกขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยม
• ค่ามัธยฐาน - เส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตรงกลางของฝั่งตรงข้าม
• จุดตัดของค่ามัธยฐานคือจุดแรงโน้มถ่วงซึ่งอยู่ภายในร่าง
• เส้นแบ่งครึ่ง - เส้นที่วิ่งจากจุดยอดไปยังจุดตัดกับด้านตรงข้าม จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสามจุดคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ความจริงง่ายๆ เกี่ยวกับสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมก็เหมือนกับรูปร่างอื่นๆ ที่จะมีลักษณะและคุณสมบัติเป็นของตัวเอง ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวเลขนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด แต่มีคุณสมบัติเฉพาะของตัวเอง:

• มุมที่มีค่ามากกว่าจะอยู่ตรงข้ามกับด้านที่ยาวที่สุดเสมอ และในทางกลับกัน
• ขัดต่อ ด้านที่เท่ากันมุมที่เท่ากันทุกประการอยู่ ตัวอย่างนี้คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• ผลรวม มุมภายในเท่ากับ 180° เสมอ ซึ่งได้แสดงตัวอย่างไว้แล้ว
• เมื่อด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขยายออกไปเกินขอบเขต มุมภายนอกจะถูกสร้างขึ้นซึ่งจะเป็นมุมดังกล่าวเสมอไป เท่ากับผลรวมมุมที่ไม่อยู่ติดกัน
• ด้านใดด้านหนึ่งจะน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านเสมอ แต่จะมากกว่าผลต่าง

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม

ขั้นตอนต่อไปของการทำความรู้จักคือการกำหนดกลุ่มที่สามเหลี่ยมที่นำเสนออยู่ การเป็นประเภทใดประเภทหนึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยม

• หน้าจั่ว - มีสองด้านเท่ากันซึ่งเรียกว่าด้านข้างส่วนที่สามในกรณีนี้ทำหน้าที่เป็นฐานของรูป มุมที่ฐานของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดคือเส้นแบ่งครึ่งและความสูง
• ถูกต้องหรือ สามเหลี่ยมด้านเท่า, เป็นสิ่งที่ทุกด้านเท่ากัน
• สี่เหลี่ยม: มุมหนึ่งของมันคือ 90° ในกรณีนี้ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้านเรียกว่าขา
• สามเหลี่ยมเฉียบพลัน - ทุกมุมน้อยกว่า 90°
• ป้าน - มุมใดมุมหนึ่งที่มากกว่า 90°

ความเท่าเทียมกันและความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม

ในระหว่างกระบวนการเรียนรู้ พวกเขาไม่เพียงแต่พิจารณารูปเดียวเท่านั้น แต่ยังเปรียบเทียบรูปสามเหลี่ยมสองรูปด้วย และอันนี้ก็ดูเหมือนว่า ธีมที่เรียบง่ายมีกฎและทฤษฎีบทมากมายซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขที่เป็นปัญหานั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน เกณฑ์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมีคำจำกัดความดังนี้ รูปสามเหลี่ยมจะเท่ากันถ้าด้านและมุมที่ตรงกันเท่ากัน ด้วยความเท่าเทียมกัน หากคุณวางสองร่างนี้ทับกัน เส้นทั้งหมดของพวกมันจะมาบรรจบกัน นอกจากนี้ตัวเลขยังสามารถคล้ายกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งซึ่งนำไปใช้ได้จริง ตัวเลขที่เหมือนกันต่างกันเพียงขนาดเท่านั้น เพื่อที่จะได้ข้อสรุปเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่นำเสนอต้องเป็นไปตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

• มุมสองมุมของรูปหนึ่งมีค่าเท่ากับสองมุมของอีกรูปหนึ่ง
• ด้านทั้งสองของด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมที่สอง และมุมที่เกิดจากด้านทั้งสองเท่ากัน
• ด้านทั้งสามของรูปที่สองจะเหมือนกับรูปแรก

แน่นอนว่าเพื่อความเท่าเทียมกันที่เถียงไม่ได้ซึ่งจะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยแม้แต่น้อยจำเป็นต้องมีค่าเท่ากันขององค์ประกอบทั้งหมดของตัวเลขทั้งสองอย่างไรก็ตามด้วยการใช้ทฤษฎีบทงานจะง่ายขึ้นอย่างมากและมีเพียงไม่กี่เท่านั้น เงื่อนไขได้รับอนุญาตให้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมได้

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

ปัญหาในหัวข้อนี้ได้รับการแก้ไขโดยอาศัยการพิสูจน์ทฤษฎีบท ซึ่งมีลักษณะดังนี้: “หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมที่เป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับสองด้านและมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ตัวเลขก็จะเท่ากับ กันและกัน."

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมฟังดูเป็นอย่างไร ทุกคนรู้ดีว่าสองส่วนจะเท่ากันหากมีความยาวเท่ากัน หรือวงกลมจะเท่ากันหากมีรัศมีเท่ากัน และในกรณีของรูปสามเหลี่ยมนั้นมีสัญญาณหลายอย่างซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลขนั้นเหมือนกันซึ่งสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตต่างๆ

สิ่งที่ทฤษฎีบท "สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" ฟังดูอธิบายไว้ข้างต้น แต่นี่คือข้อพิสูจน์:

• สมมติว่าสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 มีด้านเท่ากัน AB และ A 1 B 1 และดังนั้น BC และ B 1 C 1 และมุมที่เกิดจากด้านเหล่านี้มีขนาดเท่ากันนั่นคือพวกมันเท่ากัน จากนั้น โดยการซ้อน △ ABC บน △ A 1 B 1 C 1 เราจะได้ความบังเอิญของเส้นตรงและจุดยอดทั้งหมด ตามมาว่ารูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เหมือนกันทุกประการและมีค่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท "เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" เรียกอีกอย่างว่า "ด้านสองด้านและมุม" จริงๆแล้วนี่คือสาระสำคัญของมัน

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเครื่องหมายที่สอง

สัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันประการที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน การพิสูจน์นั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าเมื่อตัวเลขซ้อนทับกัน พวกมันจะตรงกันทุกจุดยอดและทุกด้าน และทฤษฎีบทมีดังต่อไปนี้: “ หากด้านหนึ่งและสองมุมในรูปแบบที่มันมีส่วนร่วมนั้นสอดคล้องกับด้านและสองมุมของสามเหลี่ยมที่สอง ตัวเลขเหล่านี้จะเหมือนกันนั่นคือเท่ากัน”

สัญญาณที่สามและหลักฐาน

หากทั้ง 2 และ 1 สัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเกี่ยวข้องกับทั้งด้านข้างและมุมของรูป แล้วอันที่ 3 หมายถึงด้านข้างเท่านั้น ดังนั้น ทฤษฎีบทจึงมีสูตรดังนี้ “ถ้าทุกด้านของสามเหลี่ยมอันหนึ่งเท่ากับสามด้านของสามเหลี่ยมอันที่สอง รูปทั้งสองก็จะเหมือนกัน”

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราจำเป็นต้องเจาะลึกคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันโดยละเอียดมากขึ้น โดยพื้นฐานแล้วสำนวน "สามเหลี่ยมเท่ากัน" หมายความว่าอย่างไร ตัวตนบอกว่าหากคุณวางซ้อนรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่ง องค์ประกอบทั้งหมดจะตรงกัน ซึ่งจะเป็นไปได้เฉพาะเมื่อด้านและมุมเท่ากันเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน มุมตรงข้ามกับด้านใดด้านหนึ่งซึ่งเท่ากับมุมของสามเหลี่ยมอีกด้าน จะเท่ากับจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปที่สอง ควรสังเกตว่า ณ จุดนี้การพิสูจน์สามารถแปลเป็น 1 เกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดาย หากไม่สังเกตลำดับดังกล่าว ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมก็เป็นไปไม่ได้เลย ยกเว้นในกรณีที่รูปนั้นเป็นเช่นนั้น ภาพสะท้อนอันดับแรก.

สามเหลี่ยมมุมฉาก

โครงสร้างของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวจะมีจุดยอดที่มีมุม 90° เสมอ ดังนั้น ข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

• สามเหลี่ยมที่มีมุมฉากจะเท่ากันถ้าขาของอันหนึ่งเหมือนกันกับขาของอันที่สอง
• ตัวเลขจะเท่ากันถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่งเท่ากัน
• สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันถ้าขาและ มุมแหลมเหมือนกัน

เครื่องหมายนี้หมายถึง เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทให้ใช้ตัวเลขต่อกันซึ่งเป็นผลมาจากการที่สามเหลี่ยมพับด้วยขาเพื่อให้เส้นตรงสองเส้นออกมาโดยมีด้าน CA และ CA 1

การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ

ในกรณีส่วนใหญ่ ในทางปฏิบัติ จะใช้เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ในความเป็นจริง หัวข้อเกรด 7 ที่ดูเรียบง่ายเกี่ยวกับเรขาคณิตและแผนผังยังใช้ในการคำนวณความยาวของสายโทรศัพท์ เช่น โดยไม่ต้องวัดพื้นที่ที่จะผ่านไป การใช้ทฤษฎีบทนี้ทำให้ง่ายต่อการคำนวณที่จำเป็นเพื่อกำหนดความยาวของเกาะที่ตั้งอยู่กลางแม่น้ำโดยไม่ต้องว่ายน้ำข้ามไป เสริมรั้วให้แข็งแรงโดยวางคานในช่วงเพื่อแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันเท่าๆ กัน หรือคำนวณ องค์ประกอบที่ซับซ้อนงานช่างไม้หรือเมื่อคำนวณระบบโครงหลังคาระหว่างการก่อสร้าง

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมนั้นใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิต "ผู้ใหญ่" ที่แท้จริง แม้ว่าใน ปีการศึกษาเป็นหัวข้อนี้ที่ดูน่าเบื่อและไม่จำเป็นสำหรับหลาย ๆ คน

บทเรียนวิดีโอ "เกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" ประกอบด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทซึ่งเป็นเกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปในสามด้าน ทฤษฎีบทนี้คือ ส่วนสำคัญเรขาคณิต. มักใช้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับเกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมที่นักเรียนทราบอยู่แล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้มีความซับซ้อน ดังนั้น เพื่อปรับปรุงคุณภาพการสอนและพัฒนาความสามารถในการพิสูจน์ประโยคทางเรขาคณิต ขอแนะนำให้ใช้อุปกรณ์ช่วยการมองเห็นนี้ ซึ่งจะช่วยมุ่งความสนใจของนักเรียนไปที่เนื้อหาที่กำลังศึกษา นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชั่น การสาธิตโครงสร้างและการพิสูจน์ด้วยภาพ ทำให้สามารถปรับปรุงคุณภาพการเรียนรู้ได้

ในตอนต้นของบทเรียน มีการสาธิตหัวข้อหัวข้อและได้กำหนดทฤษฎีบทว่ารูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ถ้าทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเท่ากันทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สอง ข้อความของทฤษฎีบทจะแสดงบนหน้าจอและนักเรียนสามารถเขียนลงในสมุดบันทึกได้ ต่อไปเราจะพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท จึงมีการสร้างรูปสามเหลี่ยม ΔАВС และ ΔА 1 В 1 С 1 จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทเป็นไปตามว่าด้านต่างๆ เท่ากันเป็นคู่ นั่นคือ AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 และ AC = A 1 C 1 ในตอนต้นของการพิสูจน์ เราสาธิตการวางตำแหน่งของสามเหลี่ยม ΔABC บน ΔA 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A และ A 1 รวมถึง B และ B 1 ของสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน ในกรณีนี้ จุดยอด C และ C 1 ควรตั้งอยู่ตามแนว ด้านที่แตกต่างกันจากด้านที่ทับซ้อนกัน AB และ A 1 B 1 ที่ การก่อสร้างนี้มีหลายตัวเลือกสำหรับการจัดเรียงองค์ประกอบรูปสามเหลี่ยม:

1. เรย์ C 1 C อยู่ภายในมุม ∠A 1 C 1 B 1
2. เรย์ C 1 C เกิดขึ้นพร้อมกับด้านหนึ่งของมุม ∠A 1 C 1 B 1
3. เรย์ C 1 C อยู่นอกมุม ∠A 1 C 1 B 1

แต่ละกรณีจะต้องได้รับการพิจารณาแยกกัน เนื่องจากหลักฐานไม่สามารถเหมือนกันในทุกกรณี ในกรณีแรกจะพิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดขึ้นจากการก่อสร้าง เนื่องจากตามเงื่อนไขของสามเหลี่ยมเหล่านี้ ด้าน AC = A 1 C 1 และ BC = B 1 C 1 ดังนั้นผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม ΔB 1 C 1 C และ ΔA 1 C 1 จึงเป็นหน้าจั่ว การใช้ทรัพย์สินที่เรียนรู้ สามเหลี่ยมหน้าจั่วเราสามารถอ้างได้ว่ามุม ∠1 และ ∠2 เท่ากัน และ ∠3 และ ∠4 ก็เท่ากันด้วย เนื่องจากมุมเหล่านี้เท่ากัน ผลรวมของ ∠1 และ ∠3 รวมถึง ∠2 และ ∠4 จะให้มุมที่เท่ากันด้วย ดังนั้น มุม ∠С และ ∠С 1 จึงเท่ากัน พิสูจน์แล้ว ข้อเท็จจริงนี้เราสามารถพิจารณาสามเหลี่ยม ΔАВС และ ΔА 1 В 1 С 1 อีกครั้ง ซึ่งด้าน ВС = В 1 С 1 และ AC = А 1 С 1 ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท และพิสูจน์ได้ว่ามุมระหว่างพวกมัน ∠ С และ ∠С 1 ก็เท่ากัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมซึ่งนักเรียนรู้จักอยู่แล้ว

ในกรณีที่สอง เมื่อสามเหลี่ยมซ้อนทับกัน จุด C และ C 1 จะวางอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่านจุด B (B 1) ผลรวมของสามเหลี่ยมสองรูป ΔАВС และ ΔА 1 В 1 С 1 ส่งผลให้เป็นรูปสามเหลี่ยม ΔСАС 1 โดยที่ด้านทั้งสอง AC = А 1 С 1 เท่ากันตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้จึงเป็นหน้าจั่ว ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ด้านที่เท่ากันมีมุมเท่ากัน ดังนั้นเราจึงบอกได้ว่ามุม ∠С=∠С 1 นอกจากนี้ยังตามมาจากเงื่อนไขของทฤษฎีบทว่าด้าน BC และ B 1 C 1 เท่ากันดังนั้น ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ระบุไว้จะเท่ากันตามข้อแรก สัญลักษณ์แห่งความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

การพิสูจน์ในกรณีที่สามคล้ายกับสองกรณีแรก ใช้เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตที่สร้างโดยการซ้อนรูปสามเหลี่ยมเมื่อเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของจุดยอด C และ C 1 จะถูกแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม ΔB 1 C 1 C สามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว เนื่องจากด้าน B 1 C 1 และ B 1 C เท่ากัน เงื่อนไข. และเมื่อมีด้านเท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม ∠С และ ∠С 1 ก็เท่ากันเช่นกัน เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ด้าน AC = A 1 C 1 เท่ากัน ดังนั้นมุมที่อยู่ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ΔАСС 1 ก็เท่ากันเช่นกัน เมื่อคำนึงถึงความจริงที่ว่ามุม ∠C และ ∠C 1 เท่ากัน และมุม ∠DCA และ ∠DC 1 A เท่ากัน ดังนั้นมุม ∠ACB และ ∠AC 1 B ก็เท่ากันเช่นกัน เมื่อพิจารณาข้อเท็จจริงนี้ เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 คุณสามารถใช้เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมได้ เนื่องจากทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตามเงื่อนไข และความเท่าเทียมกันของมุม ระหว่างพวกเขาได้รับการพิสูจน์แล้วในการให้เหตุผล

ในตอนท้ายของบทเรียนวิดีโอ จะแสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ที่สำคัญของเครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม - ความแข็งแกร่งของที่กำหนด รูปทรงเรขาคณิต- ตัวอย่างอธิบายว่าข้อความนี้หมายถึงอะไร ตัวอย่างของการออกแบบที่ยืดหยุ่นคือแผ่นสองแผ่นที่เชื่อมต่อกันด้วยตะปู แผ่นเหล่านี้สามารถแยกออกจากกันและเคลื่อนย้ายได้ทุกมุม หากเราติดอีกอันเข้ากับแผ่นซึ่งเชื่อมต่อที่ปลายกับแผ่นที่มีอยู่เราจะได้โครงสร้างที่แข็งแกร่งซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะเปลี่ยนมุมระหว่างแผ่นไม้ การได้สามเหลี่ยมที่มีด้านเหล่านี้และมุมอื่นๆ เป็นไปไม่ได้ ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญ ความสำคัญในทางปฏิบัติ- หน้าจอแสดงโครงสร้างทางวิศวกรรมที่ใช้งาน คุณสมบัตินี้รูปสามเหลี่ยม

บทเรียนวิดีโอ "เกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" ช่วยให้ครูนำเสนอเนื้อหาใหม่ในหัวข้อนี้ในบทเรียนเรขาคณิตได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิดีโอสอนได้สำเร็จอีกด้วย การเรียนรู้ทางไกลคณิตศาสตร์จะช่วยให้นักเรียนเข้าใจความซับซ้อนของการพิสูจน์ด้วยตนเอง

>>คณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 บทเรียนจบหลักสูตร >>เรขาคณิต: สัญลักษณ์ที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม บทเรียนที่สมบูรณ์

หัวข้อบทเรียน: เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม.

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ศึกษาเครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม
• สามารถใช้ป้ายเพื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ
• พัฒนาทักษะในการให้เหตุผลและการพิสูจน์อย่างต่อเนื่อง และดำเนินการก่อสร้างทางเรขาคณิตอย่างง่าย

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การเรียนรู้เนื้อหาผ่านงานภาคปฏิบัติและทฤษฎี
• การก่อตัวของการคิดเชิงตรรกะ
• เรียนรู้ที่จะเห็นความแตกต่างและความคล้ายคลึงในหลักฐานของสัญญาณ
• พยายามพัฒนาความสามารถของนักเรียนในการศึกษาด้วยตนเอง
• การก่อตัวของทักษะการควบคุมตนเอง การศึกษาและความรู้ความเข้าใจกิจกรรม.

คำขวัญบทเรียน:
ไม่ใช่ช่วงเวลาแห่งความสงบสุข
ไม่ใช่การสูญเสียแม้แต่วินาทีเดียว
ความรู้ของตัวเอง
ตรวจสอบอย่างระมัดระวัง

แผนการสอน:

1. กล่าวเปิดงาน;
2. การทำซ้ำ;
3. ตัวอย่างการแก้ปัญหา
4. ทดสอบความรู้ของคุณเอง
5. งานสร้างสรรค์เพิ่มเติม
6. การแก้ปัญหาด้วยเนื้อหาเชิงปฏิบัติ

กล่าวเปิดงาน.

ข้อผิดพลาดต้องได้รับการเคารพหากไม่ใช่ผลจากความไม่รู้ของเรา ไม่ใช่ผลจากความเกียจคร้าน ไม่ใช่ผลไม้ บทเรียนที่ไม่ได้เรียนแต่บางครั้งก็เป็นเพียงเพื่อนร่วมทางกับความพยายามของเราในการเรียนรู้ความรู้ทางเรขาคณิต

การทำซ้ำ
คำถาม.

1. สามเหลี่ยมคืออะไร?
2. สามเหลี่ยมใดเรียกว่าเท่ากัน?
3. คุณเข้าใจได้อย่างไรว่า “เครื่องหมายสามเหลี่ยมเท่ากัน” คืออะไร?
4. กำหนดเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมหรือไม่?
5. สัญญาณมีไว้เพื่ออะไร?
6. จำเป็นต้องเปรียบเทียบสามเหลี่ยมที่ทับซ้อนกันทุกครั้งหรือไม่?

ถ้าสามเหลี่ยมเท่ากันจากนั้นองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องจะเท่ากัน (เพราะว่ามารวมกันเมื่อสามเหลี่ยมซ้อนกันจึงเท่ากัน (คำจำกัดความของจำนวนเท่ากัน)) ข้อพิสูจน์: ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน:

1. มุมที่เท่ากันอยู่ตรงข้ามกันด้านที่เท่ากันตามลำดับ
2. ต่อต้านตามลำดับ มุมเท่ากันด้านที่เท่ากันโกหก

เข้าสู่ระบบคณิตศาสตร์- เช่นเดียวกับ สภาพที่เพียงพอ- ในวิทยาศาสตร์ที่เข้มงวดน้อยกว่า คำว่า "เครื่องหมาย" ถูกใช้เป็นคำอธิบายข้อเท็จจริงที่อนุญาต (ตาม ทฤษฎีที่มีอยู่ฯลฯ) สรุปเกี่ยวกับการมีอยู่ของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจ

เครื่องหมายความเสมอภาคของสามเหลี่ยมคืออะไร และมีกี่เครื่องหมาย? เงื่อนไขบางประการที่ทำให้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กำหนดมาเท่ากันเรียกว่าเกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม เราสามารถพูดได้ว่าเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายที่สามารถจดจำคุณสมบัติบางอย่างของตัวเลขได้

บางครั้งไม่สามารถรวมรูปสามเหลี่ยมเข้าด้วยกันได้จะทำอย่างไร? ก็เพียงพอแล้วที่จะเปรียบเทียบเพียงสามองค์ประกอบของสามเหลี่ยมหนึ่งกับสามองค์ประกอบของสามเหลี่ยมอื่น นี่คือจุดที่สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะมาช่วยเรา พวกมันจะบอกเราว่าองค์ประกอบใดที่ต้องเปรียบเทียบ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบท เกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

ไฟล์:T.gif ถ้าด้านข้างและมุมประชิดของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านข้างและมุมประชิดของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

การพิสูจน์.

ให้สามเหลี่ยม ABC และ A1B1C1 มี ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1

ให้ A1B2C2 เป็นสามเหลี่ยมเท่ากับ สามเหลี่ยมเอบีซี- จุดยอด B2 ตั้งอยู่บนรังสี A1B1 และจุดยอด C2 อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวกันสัมพันธ์กับเส้นตรง A1B1 โดยที่จุดยอด C1 อยู่ เนื่องจาก A1B2 = A1B1 ดังนั้นจุดยอด B2 จึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอด B1 เนื่องจาก ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 และ ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1 ดังนั้น รังสี A1C2 เกิดขึ้นพร้อมกับรังสี A1C1 และรังสี B1C2 เกิดขึ้นพร้อมกับรังสี B1C1 ตามมาด้วยว่าจุดยอด C2 เกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอด C1 สามเหลี่ยม A1B1C1 เกิดขึ้นพร้อมกับสามเหลี่ยม A1B2C2 ซึ่งหมายถึง เท่ากับรูปสามเหลี่ยมเอบีซี ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การทดสอบความรู้ของคุณเอง

การออกกำลังกายในช่องปาก

1. คุณรู้สามเหลี่ยมมีกี่ประเภท? (3)
2. ตั้งชื่อประเภทเหล่านี้ (เฉียบพลัน, สี่เหลี่ยม, ป้าน)
3. ให้คำจำกัดความสำหรับแต่ละประเภท
4. ใช้อุปกรณ์อะไรมาวัด. การวัดระดับมุม? (ไม้โปรแทรกเตอร์)
5. รูปใดเรียกว่ามุม? (เกิดจากรังสีสองดวง)

• 2913 2900 (โอ)
• ค้นหา 1/3 ของ 36 (12) (ญ)
• ค้นหาตัวเลขถ้า 1/5 ของจำนวนนี้ = 10 (50) (e)
• 4/9 2 = 8 (ก.)
• 16/17: 2 = 8/17 (10) (o)
• 7/8: 2 = 7/16 (นิ้ว)

ดังนั้นคำพูดจึงออกมา - ออซเฮกอฟ.
โอเจกอฟ เซอร์เกย์ อิวาโนวิช- หนึ่งในผู้เขียน พจนานุกรมอธิบายภาษารัสเซีย พจนานุกรมนี้มีความหมายถึง 80,000 คำในภาษารัสเซียและสำนวนเชิงวลี

• เป็นไปได้ไหมที่จะวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมป้านสองมุม?
• คุณสามารถวาดรูปสามเหลี่ยมโดยให้มุมหนึ่งถูกต้องและอีกมุมป้านได้หรือไม่?

คำถาม:

1. เกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมคืออะไร?
2. มันพูดว่าอะไร?
3. สัญญาณมีไว้เพื่ออะไร?
4. "เครื่องหมายสามเหลี่ยมเท่ากัน" คืออะไร?

รายการแหล่งที่มาที่ใช้:

1. บทเรียนในหัวข้อ "เรขาคณิตภาพ"
2. เรขาคณิต: สมุดงานสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา
3. บทเรียนเรขาคณิตจาก Cyril และ Methodius ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 (2548)
4. เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 หนังสือสอบที่ครอบคลุม สตัดนิค แอล.จี.

ทำงานในบทเรียน:

ซามีลินา เอ็ม.วี.

โพเทิร์นัค เอส.เอ.

ถามคำถามเกี่ยวกับ การศึกษาสมัยใหม่แสดงความคิดเห็นหรือแก้ไขปัญหาเร่งด่วนคุณก็ทำได้ ฟอรั่มการศึกษาที่ไหน ระดับนานาชาติกำลังไป สภาการศึกษาความคิดและการกระทำที่สดใหม่ มีการสร้าง