คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลไม่ จำกัด คืออะไร คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการคุณสมบัติหลักของอินทิกรัลจำกัดเขต คุณสมบัติเหล่านี้ส่วนใหญ่ได้รับการพิสูจน์ตามแนวคิดของอินทิกรัลชี้ขาดของรีมันน์และดาร์บูซ์

การคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตมักใช้คุณสมบัติห้าประการแรก ดังนั้นเราจะใช้คุณสมบัติเหล่านี้เมื่อจำเป็น คุณสมบัติที่เหลือของอินทิกรัลจำกัดเขตส่วนใหญ่จะใช้เพื่อประเมินนิพจน์ต่างๆ

ก่อนจะก้าวต่อไป คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลจำกัดเขตให้เราตกลงกันว่า a ไม่เกิน b

สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ที่กำหนดที่ x = a ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง

นั่นคือ ค่าของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตที่มีขีดจำกัดอินทิกรัลเท่ากันจะเท่ากับศูนย์ คุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากคำจำกัดความของอินทิกรัลรีมันน์ เนื่องจากในกรณีนี้ผลรวมอินทิกรัลแต่ละค่าสำหรับพาร์ติชันใดๆ ของช่วงเวลาและการเลือกจุดใดๆ จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลจึงเป็นศูนย์

สำหรับฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ในช่วงเวลาหนึ่ง .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อขีดจำกัดบนและล่างของการอินทิเกรตเปลี่ยนแปลง ค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนจะเปลี่ยนไปในทิศทางตรงกันข้าม คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดนี้ยังเป็นไปตามแนวคิดของอินทิกรัลรีมันน์ด้วย โดยการกำหนดหมายเลขของพาร์ติชันของเซ็กเมนต์เท่านั้นที่ควรเริ่มจากจุด x = b

สำหรับฟังก์ชันที่บูรณาการได้ในช่วงเวลา y = f(x) และ y = g(x)

การพิสูจน์.

ลองเขียนผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชันลงไป สำหรับพาร์ติชันที่กำหนดของเซ็กเมนต์และตัวเลือกจุดที่กำหนด:

โดยที่ และ คือผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) สำหรับพาร์ติชันที่กำหนดของเซ็กเมนต์ ตามลำดับ

ไปให้สุดที่ เราได้มาว่าตามคำจำกัดความของอินทิกรัลรีมันน์ เทียบเท่ากับข้อความของคุณสมบัติที่กำลังพิสูจน์

ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตได้ นั่นคือ สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ที่สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลาหนึ่งและเป็นจำนวนใดๆ k ก็ตาม ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่: .

การพิสูจน์คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดความนี้คล้ายคลึงกับคุณสมบัติก่อนหน้าอย่างสิ้นเชิง:


ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถปริพันธ์ได้ในช่วง X และ แล้ว .

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับทั้ง และ หรือ

การพิสูจน์สามารถดำเนินการได้โดยอาศัยคุณสมบัติก่อนหน้าของอินทิกรัลจำกัดเขต

หากฟังก์ชันสามารถอินทิเกรตในช่วงเวลาหนึ่งได้ ฟังก์ชันนั้นก็สามารถอินทิเกรตในช่วงเวลาภายในใดๆ ได้

การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของผลรวม Darboux: หากมีการเพิ่มจุดใหม่ลงในพาร์ติชันที่มีอยู่ของเซ็กเมนต์ ผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าจะไม่ลดลง และคะแนนด้านบนจะไม่เพิ่มขึ้น

หากฟังก์ชัน y = f(x) สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลาและค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้น .

คุณสมบัตินี้ได้รับการพิสูจน์ผ่านคำจำกัดความของอินทิกรัลรีมันน์: ผลบวกใดๆ ของการเลือกจุดใดๆ ของการแบ่งส่วนและจุดที่ จะไม่เป็นลบ (ไม่ใช่ค่าบวก)

ผลที่ตามมา

สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) ที่สามารถปริพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง จะมีอสมการดังต่อไปนี้


ข้อความนี้หมายความว่าอนุญาตให้รวมความไม่เท่าเทียมกันได้ เราจะใช้ข้อพิสูจน์นี้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลา จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันก็จะคงอยู่ .

การพิสูจน์.

เห็นได้ชัดว่า - ในคุณสมบัติที่แล้วเราพบว่าอสมการสามารถบูรณาการได้ทีละเทอมดังนั้นจึงเป็นจริง - อสมการคู่นี้สามารถเขียนได้เป็น .

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y = f(x) และ y = g(x) สามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลาและสำหรับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ จากนั้น , ที่ไหน และ .

การพิสูจน์ก็ดำเนินการเช่นเดียวกัน เนื่องจาก m และ M เป็นค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) บนเซ็กเมนต์ ดังนั้น - การคูณอสมการสองเท่าด้วยฟังก์ชันไม่เป็นลบ y = g(x) นำเราไปสู่อสมการสองเท่าต่อไปนี้ เมื่อรวมเข้ากับช่วงเวลา เรามาถึงข้อความที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว: ภายใต้ฟังก์ชันนี้ ƒ(x) ค้นหาอนุพันธ์ของมัน(หรือส่วนต่าง) แคลคูลัสอินทิกรัลแก้ปัญหาผกผัน: ค้นหาฟังก์ชัน F(x) โดยรู้อนุพันธ์ของมัน F "(x)=FN(x) (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ฟังก์ชันที่ต้องการ F(x) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ƒ(x ).

ฟังก์ชัน F(x) ถูกเรียก แอนติเดริเวทีฟฟังก์ชัน ƒ(x) ในช่วงเวลา (a; b) ถ้าสำหรับ x ใดๆ (a; b) ความเท่าเทียมกัน

F " (x)=ƒ(x) (หรือ dF(x)=ƒ(x)dx)

ตัวอย่างเช่นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x 2, x є R คือฟังก์ชันเนื่องจาก

แน่นอนว่า ฟังก์ชันใดๆ ก็เป็นแอนติเดริเวทีฟเช่นกัน

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ เนื่องจาก

ทฤษฎีบท 29 1. ถ้าฟังก์ชัน F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ƒ(x) บน (a;b) ดังนั้น เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับ ƒ(x) จะได้มาจากสูตร F(x)+ C โดยที่ C เป็นจำนวนคงที่

▲ ฟังก์ชัน F(x)+C เป็นแอนติเดริเวทีฟของ ƒ(x)

แน่นอน (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x)

ให้ Ф(х) เป็นแอนติเดริเวทีฟอื่น ๆ ของฟังก์ชัน ƒ(x) แตกต่างจาก F(x) เช่น Ф "(x)=ƒ(х) จากนั้นสำหรับ x ใดๆ є (а; b) เรามี

และนี่หมายความว่า (ดูข้อพิสูจน์ 25.1) ว่า

โดยที่ C เป็นจำนวนคงที่ ดังนั้น Ф(x)=F(x)+С.▼

เซตของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด F(x)+С สำหรับ ƒ(x) เรียกว่า อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน ƒ(x)และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∫ ƒ(x) dx

ดังนั้นตามคำนิยาม

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C

ในที่นี้เรียกว่า ƒ(x) ฟังก์ชันอินทิเกรต, ƒ(x)dx — การแสดงออกบูรณาการเอ็กซ์ - ตัวแปรบูรณาการ, ∫ -สัญลักษณ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด.

การดำเนินการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันเรียกว่าการรวมฟังก์ชันนี้

ในเชิงเรขาคณิต อินทิกรัลไม่จำกัดคือตระกูลของเส้นโค้ง “ขนาน” y=F(x)+C (แต่ละค่าตัวเลขของ C สอดคล้องกับเส้นโค้งเฉพาะของตระกูล) (ดูรูปที่ 166) กราฟของแอนติเดริเวทีฟ (เส้นโค้ง) แต่ละอันเรียกว่า เส้นโค้งอินทิกรัล.

ทุกฟังก์ชันมีอินทิกรัลไม่ จำกัด หรือไม่?

มีทฤษฎีบทที่ระบุว่า "ทุกฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบน (a;b) มีแอนติเดริเวทีฟในช่วงเวลานี้" และด้วยเหตุนี้จึงเป็นอินทิกรัลไม่จำกัด

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนหนึ่งซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของมัน

1. ค่าอนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์ และอนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับ integrand:

ง(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x)

โดยแท้แล้ว d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x)

ด้วยคุณสมบัตินี้ ความถูกต้องของการรวมจึงได้รับการตรวจสอบโดยการสร้างความแตกต่าง ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกัน

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

จริง เนื่องจาก (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4

2. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

∫dF(x)= F(x)+C

จริงหรือ,

3. สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

α ≠ 0 เป็นค่าคงที่

จริงหรือ,

(ใส่ C 1 / a = C.)

4. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่องจำนวน จำกัด เท่ากับผลรวมพีชคณิตของปริพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน:

ให้ F"(x)=ƒ(x) และ G"(x)=g(x) แล้ว

โดยที่ C 1 ±C 2 =C

5. (ค่าคงที่ของสูตรการรวม)

ถ้า โดยที่ u=φ(x) เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง

▲ ให้ x เป็นตัวแปรอิสระ, ƒ(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ F(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟ แล้ว

ตอนนี้ให้เราตั้งค่า u=φ(x) โดยที่ φ(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน F(u)=F(φ(x)) เนื่องจากความไม่แปรผันของรูปแบบของดิฟเฟอเรนเชียลแรกของฟังก์ชัน (ดูหน้า 160) เราจึงได้

จากที่นี่▼

ดังนั้น สูตรสำหรับอินทิกรัลไม่จำกัดยังคงใช้ได้ ไม่ว่าตัวแปรของอินทิเกรตจะเป็นตัวแปรอิสระหรือฟังก์ชันใดๆ ก็ตามที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง

ดังนั้นจากสูตร โดยการแทนที่ x ด้วย u (u=φ(x)) เราได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ตัวอย่างที่ 29.1ค้นหาอินทิกรัล

โดยที่ C=C1+C 2 +C 3 +C 4

ตัวอย่างที่ 29.2ค้นหาโซลูชันแบบครบวงจร:

• 29.3. ตารางอินทิกรัลไม่จำกัดพื้นฐาน

การใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าอินทิเกรตเป็นการกระทำผกผันของการหาอนุพันธ์ เราสามารถรับตารางอินทิกรัลพื้นฐานได้โดยการกลับสูตรที่สอดคล้องกันของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (ตารางดิฟเฟอเรนเชียล) และใช้คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่กำหนด

ตัวอย่างเช่น, เพราะ

d(บาป u)=เพราะคุณ . ดู่

แหล่งที่มาของสูตรจำนวนหนึ่งในตารางจะได้รับเมื่อพิจารณาถึงวิธีการพื้นฐานในการรวมเข้าด้วยกัน

อินทิกรัลในตารางด้านล่างเรียกว่าตาราง พวกเขาควรจะรู้ด้วยใจ ในแคลคูลัสอินทิกรัลไม่มีกฎง่ายๆ ที่เป็นสากลในการค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันพื้นฐาน เช่นเดียวกับในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ วิธีการหาแอนติเดริเวทีฟ (เช่น การอินทิเกรตฟังก์ชัน) จะลดลงเหลือเพียงการบ่งชี้เทคนิคที่นำอินทิกรัลที่กำหนด (ที่ต้องการ) มาสู่อินทิกรัลแบบตาราง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องรู้อินทิกรัลของตารางและสามารถจดจำอินทิกรัลของตารางได้

โปรดทราบว่าในตารางอินทิกรัลพื้นฐาน ตัวแปรอินทิเกรตสามารถแสดงทั้งตัวแปรอิสระและฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ (ตามคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนของสูตรอินทิเกรต)

ความถูกต้องของสูตรด้านล่างสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ส่วนต่างทางด้านขวา ซึ่งจะเท่ากับปริพันธ์ทางด้านซ้ายของสูตร

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของสูตร 2 เช่น ฟังก์ชัน 1/u ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของและนอกเหนือจากศูนย์

ถ้าคุณ > 0 ดังนั้น ln|u|=lnu ดังนั้น นั่นเป็นเหตุผล

ถ้าคุณ<0, то ln|u|=ln(-u). Ноวิธี

ดังนั้นสูตรที่ 2 จึงถูกต้อง ในทำนองเดียวกัน เรามาตรวจสอบสูตร 15:

ตารางปริพันธ์หลัก

เพื่อน! เราขอเชิญคุณมาหารือ หากคุณมีความคิดเห็นของคุณเองเขียนถึงเราในความคิดเห็น

คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ในการแปลงอินทิกรัลเพื่อลดอินทิกรัลเบื้องต้นและคำนวณต่อไป

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

2. ส่วนต่างของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

4. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

ยิ่งไปกว่านั้น ≠ 0

5. อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) เท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัล:

6. คุณสมบัติคือการรวมกันของคุณสมบัติ 4 และ 5:

ยิ่งกว่านั้น a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. คุณสมบัติไม่แปรผันของอินทิกรัลไม่ จำกัด :

ถ้าอย่างนั้น

8. ทรัพย์สิน:

ถ้าอย่างนั้น

ที่จริงแล้ว คุณสมบัตินี้เป็นกรณีพิเศษของการบูรณาการโดยใช้วิธีการเปลี่ยนตัวแปร ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป

ลองดูตัวอย่าง:

ขั้นแรกเราใช้คุณสมบัติ 5 จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติ 4 จากนั้นเราใช้ตารางแอนติเดริเวทีฟแล้วได้ผลลัพธ์

อัลกอริธึมของเครื่องคำนวณอินทิกรัลออนไลน์ของเรารองรับคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ข้างต้น และจะค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับอินทิกรัลของคุณได้อย่างง่ายดาย

แอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) บนช่วงเวลา (a; b) คือฟังก์ชัน F(x) โดยที่ความเท่าเทียมกันคงไว้สำหรับ x ใดๆ จากช่วงเวลาที่กำหนด

หากเราคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่ C เท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง - ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) มีเซตของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C สำหรับค่าคงที่ใดๆ ของ C และแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้แตกต่างกันด้วยค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม

แอนติเดริเวทีฟทั้งชุดของฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันนี้และเขียนแทนด้วย .

นิพจน์นี้เรียกว่าอินทิแกรนด์ และ f(x) เรียกว่าอินทิแกรนด์ อินทิแกรนด์แทนค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน f(x)

การดำเนินการในการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ของมันเรียกว่าอินทิเกรตไม่จำกัด เนื่องจากผลลัพธ์ของอินทิเกรตไม่ใช่ฟังก์ชัน F(x) เพียงฟังก์ชันเดียว แต่เป็นเซตของแอนติเดริเวทีฟ F(x)+C

อินทิกรัลของตาราง

คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด

1. อนุพันธ์ของผลการรวมมีค่าเท่ากับปริพันธ์

2. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันเองและค่าคงที่ตามอำเภอใจ

3. ค่าสัมประสิทธิ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด ได้

4. อินทิกรัลไม่จำกัดของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชัน เท่ากับผลรวม/ผลต่างของอินทิกรัลไม่กำหนดของฟังก์ชัน

ความเท่าเทียมกันระดับกลางของคุณสมบัติที่หนึ่งและที่สองของอินทิกรัลไม่ จำกัด มีไว้สำหรับการชี้แจง

เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่สามและสี่ การหาอนุพันธ์ทางด้านขวามือของค่าเท่ากันก็เพียงพอแล้ว:

อนุพันธ์เหล่านี้เท่ากับปริพันธ์ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์เนื่องจากคุณสมบัติแรก นอกจากนี้ยังใช้ในการเปลี่ยนผ่านครั้งล่าสุดอีกด้วย

ดังนั้น ปัญหาการรวมกลุ่มจึงเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับปัญหาการแยกความแตกต่าง และมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างปัญหาเหล่านี้:

คุณสมบัติแรกอนุญาตให้ตรวจสอบการบูรณาการ ในการตรวจสอบความถูกต้องของการรวมที่ดำเนินการ ก็เพียงพอที่จะคำนวณอนุพันธ์ของผลลัพธ์ที่ได้รับ หากฟังก์ชันที่ได้รับจากการแยกความแตกต่างกลายเป็นปริพันธ์ นั่นหมายความว่าการอินทิเกรตดำเนินไปอย่างถูกต้อง

คุณสมบัติที่สองของอินทิกรัลไม่จำกัดทำให้สามารถค้นหาแอนติเดริเวทีฟได้จากดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน การคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดโดยตรงจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้

1.4.ความไม่แปรผันของแบบฟอร์มการรวมกลุ่ม

การรวมแบบคงที่เป็นประเภทของการรวมสำหรับฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นองค์ประกอบของกลุ่มหรือจุดของปริภูมิที่เป็นเนื้อเดียวกัน (จุดใดๆ ในพื้นที่ดังกล่าวสามารถถ่ายโอนไปยังจุดอื่นได้โดยการกระทำที่กำหนดของกลุ่ม)

ฟังก์ชัน ฉ(x) ลดการคำนวณอินทิกรัลของรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล f.w โดยที่

สูตรที่ชัดเจนสำหรับ r(x) แสดงไว้ด้านล่าง เงื่อนไขข้อตกลงมีรูปแบบ .

ในที่นี้ Tg หมายถึงตัวดำเนินการกะบน X โดยใช้ gОG: Tgf(x)=f(g-1x) ให้ X=G เป็นโทโพโลยี ซึ่งเป็นกลุ่มที่กระทำการโดยตัวมันเองโดยการเลื่อนไปทางซ้าย ฉันและ. มีอยู่ก็ต่อเมื่อ G มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่ (โดยเฉพาะในกลุ่มมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด I.I. ไม่มีอยู่จริง) สำหรับเซตย่อยของ I. และ. ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ cA (เท่ากับ 1 บน A และ 0 ภายนอก A) ระบุการวัด Xaar ด้านซ้าย m(A) คุณสมบัติที่กำหนดของการวัดนี้คือค่าคงที่ภายใต้กะด้านซ้าย: m(g-1A)=m(A) สำหรับ gОG ทั้งหมด การวัด Haar ด้านซ้ายของกลุ่มถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะจนถึงปัจจัยสเกลาร์บวก ถ้ารู้จักการวัด Haar m แสดงว่า I. และ ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดโดยสูตร - การวัด Haar ที่ถูกต้องมีคุณสมบัติคล้ายกัน มีโฮโมมอร์ฟิซึมอย่างต่อเนื่อง (แผนที่รักษาคุณสมบัติของกลุ่ม) ตำแหน่ง DG ของกลุ่ม G ลงในกลุ่ม (ด้วยการคูณ) ตัวเลขสำหรับสิ่งนั้น

โดยที่ dmr และ dmi เป็นหน่วยวัด Haar ด้านขวาและด้านซ้าย ฟังก์ชัน DG(g) ถูกเรียก โมดูลของกลุ่ม G ถ้า แล้วกลุ่ม G จะถูกเรียก เดี่ยว; ในกรณีนี้มาตรการ Haar ด้านขวาและด้านซ้ายตรงกัน กลุ่มที่มีขนาดกะทัดรัด กึ่งง่ายและไม่มีอำนาจ (โดยเฉพาะการสลับสับเปลี่ยน) เป็นแบบโมดูลาร์เดียว ถ้า G เป็นกลุ่ม Lie ในมิติ n และ q1,...,qn เป็นฐานในปริภูมิของรูปแบบ 1 ที่ไม่แปรเปลี่ยนด้านซ้ายบน G ดังนั้นการวัด Haar ทางซ้ายบน G จะได้รับจากรูปแบบ n ในพิกัดท้องถิ่นสำหรับการคำนวณ

รูปแบบ qi คุณสามารถใช้การรับรู้เมทริกซ์ใดๆ ของกลุ่ม G ได้: เมทริกซ์ 1 รูปแบบ g-1dg ยังคงเป็นค่าคงที่และค่าสัมประสิทธิ์ของมัน เป็นรูปแบบสเกลาร์ 1 ที่ไม่แปรผันซ้ายซึ่งเลือกพื้นฐานที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น กลุ่มเมทริกซ์ที่สมบูรณ์ GL(n, R) เป็นแบบโมดูลาร์เดียว และการวัด Haar ในกลุ่มเมทริกซ์นั้นถูกกำหนดโดยแบบฟอร์ม อนุญาต X=G/H คือปริภูมิที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งกลุ่ม G ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่คือกลุ่มการเปลี่ยนแปลง และกลุ่มย่อยแบบปิด H คือตัวทำให้คงตัวของจุดหนึ่ง เพื่อให้ i.i. มีอยู่บน X จำเป็นและเพียงพอสำหรับ hОH ความเท่าเทียมกัน DG(h)=DH(h) ถืออยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้จะเกิดขึ้นในกรณีที่ H มีขนาดเล็กหรือกึ่งเรียบง่าย ทฤษฎีที่สมบูรณ์ของฉันและ ไม่มีอยู่บนท่อร่วมมิติอันไม่มีที่สิ้นสุด

การแทนที่ตัวแปร

งานหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการหาอนุพันธ์ ฉ'(เอ็กซ์)หรือส่วนต่าง df=ฉ'(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์ฟังก์ชั่น ฉ(x)ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ปัญหาผกผันได้รับการแก้ไขแล้ว ตามฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x) คุณต้องค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว ฉ(x),อะไร เอฟ'(x)=ฉ(เอ็กซ์)หรือ dF(x)=ฉ'(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์=ฉ(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์

ดังนั้น, งานหลักของแคลคูลัสอินทิกรัลคือการฟื้นฟูสมรรถภาพ ฉ(เอ็กซ์)โดยอนุพันธ์ที่รู้จัก (ดิฟเฟอเรนเชียล) ของฟังก์ชันนี้ แคลคูลัสอินทิกรัลมีการประยุกต์มากมายในเรขาคณิต กลศาสตร์ ฟิสิกส์ และเทคโนโลยี โดยให้วิธีการทั่วไปในการค้นหาพื้นที่ ปริมาตร จุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ

คำนิยาม. การทำงานฉ(x), , เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันฉ(x) บนเซต X หากสามารถหาอนุพันธ์ของค่าใดๆ และฉ'(x)=ฉ(x) หรือdF(x)=ฉ(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์

ทฤษฎีบท. เส้นต่อเนื่องใดๆ ในช่วงเวลา [ก;ข] ฟังก์ชันฉ(x) มีแอนติเดริเวทีฟในส่วนนี้ฉ(x)

ทฤษฎีบท. ถ้าฉ 1 (x) และฉ 2 (x) – แอนติเดริเวทีฟสองตัวที่มีฟังก์ชันเดียวกันต่างกันฉ(x) บนเซต x จากนั้นพวกมันจะต่างกันด้วยเทอมคงที่ นั่นคือฉ 2 (x)=ฉ 1x)+C โดยที่ C เป็นค่าคงที่.

อินทิกรัลไม่จำกัดคุณสมบัติของมัน

คำนิยาม. จำนวนทั้งสิ้นฉ(x)+จากฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดฉ(x) บนเซต X เรียกว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด และเขียนแทนด้วย:

- (1)

ในสูตร (1) ฉ(เอ็กซ์)ดีเอ็กซ์เรียกว่า การแสดงออกบูรณาการฉ(x) – ฟังก์ชันปริพันธ์, x – ตัวแปรอินทิเกรต,ก C – ค่าคงที่การรวม

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด ที่ตามมาจากคำจำกัดความของมัน

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์ ส่วนอนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับปริพันธ์:

และ .

2. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันบางอย่างเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันนี้และค่าคงที่ตามอำเภอใจ:

3. ตัวประกอบคงที่ a (a≠0) สามารถนำมาเป็นเครื่องหมายของอินทิกรัลไม่ จำกัด ได้:

4. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจำนวน จำกัด เท่ากับผลรวมพีชคณิตของปริพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้:

5. ถ้าฉ(x) – แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันฉ(x) จากนั้น:

6 (ค่าคงที่ของสูตรอินทิเกรต) สูตรการรวมใดๆ จะคงรูปแบบไว้หากตัวแปรการรวมเข้าถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันหาอนุพันธ์ใดๆ ของตัวแปรนี้:

ที่ไหนu เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้

ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน

ให้กันเถอะ กฎพื้นฐานสำหรับการรวมฟังก์ชัน

ให้กันเถอะ ตารางอินทิกรัลไม่จำกัดพื้นฐาน(สังเกตว่าในที่นี้ เช่นเดียวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ก็คือตัวอักษร คุณสามารถกำหนดให้เป็นตัวแปรอิสระได้ (คุณ=เอ็กซ์)และฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ (คุณ=คุณ(เอ็กซ์)).)

(n≠-1) (ก >0, ก≠1) (ก≠0) (ก≠0) (|คุณ| > |a|)(|คุณ|< |a|).

อินทิกรัล 1 – 17 ถูกเรียก แบบตาราง

สูตรข้างต้นบางสูตรในตารางอินทิกรัลซึ่งไม่มีอะนาล็อกในตารางอนุพันธ์ ได้รับการตรวจสอบโดยการแยกความแตกต่างทางด้านขวามือ

การเปลี่ยนแปลงตัวแปรและอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ ในอินทิกรัลไม่ จำกัด

บูรณาการโดยการทดแทน (การแทนที่ตัวแปร) ปล่อยให้มันจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล

ซึ่งไม่ใช่แบบตาราง สาระสำคัญของวิธีการทดแทนก็คือตัวแปรในอินทิกรัล เอ็กซ์แทนที่ด้วยตัวแปร ทีตามสูตร x=φ(เสื้อ)ที่ไหน dx=φ’(เสื้อ)dt.

ทฤษฎีบท. ให้ฟังก์ชันx=φ(t) ถูกกำหนดและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในชุด T และให้ X เป็นชุดของค่าของฟังก์ชันนี้ที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ฉ(x) แล้วถ้าบนเซต X ฟังก์ชันฉ(