ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ให้คำที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
2. จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
3. สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
2. เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

• อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
• แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องถูกยกเลิก

ตัวอย่างหมายเลข 1

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณาสำนวนนี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
4. หารด้วยอัตราส่วน.

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า ในแง่ของประสิทธิภาพทั้งหมด อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน.
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
5. หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองอันไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง มีแนวโน้มว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
• สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น สมการยกกำลังหรือสมการเลขชี้กำลังคือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลังและฐานเป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น:

การแก้สมการเลขชี้กำลังมีขั้นตอนง่ายๆ เพียง 2 ขั้นตอน:

1. คุณต้องตรวจสอบว่าฐานของสมการทางขวาและซ้ายเหมือนกันหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เราจะมองหาทางเลือกในการแก้ปัญหาตัวอย่างนี้

2. หลังจากที่ฐานเท่ากัน เราจะเทียบองศาและแก้สมการใหม่ที่ได้

สมมติว่าเราได้รับสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบต่อไปนี้:

มันคุ้มค่าที่จะเริ่มแก้สมการนี้ด้วยการวิเคราะห์พื้นฐาน ฐานต่างกัน - 2 และ 4 แต่เพื่อแก้โจทย์ เราต้องการให้พวกมันเท่ากัน ดังนั้นเราจึงแปลง 4 โดยใช้สูตรต่อไปนี้ -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

เราเพิ่มเข้าไปในสมการดั้งเดิม:

ลองเอามันออกจากวงเล็บ \

มาแสดงออกกันเถอะ \

เนื่องจากองศาเท่ากัน เราจึงละทิ้งมัน:

คำตอบ: \

ฉันจะแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวแก้ปัญหาออนไลน์ได้ที่ไหน

คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ

ในขั้นตอนการเตรียมสอบปลายภาค นักเรียนมัธยมปลายจำเป็นต้องพัฒนาความรู้ในหัวข้อ “สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล” ประสบการณ์ในปีที่ผ่านมาบ่งชี้ว่างานดังกล่าวทำให้เด็กนักเรียนลำบาก ดังนั้น นักเรียนมัธยมปลาย โดยไม่คำนึงถึงระดับการเตรียมตัว จำเป็นต้องเชี่ยวชาญทฤษฎีอย่างถี่ถ้วน จดจำสูตร และเข้าใจหลักการของการแก้สมการดังกล่าว เมื่อเรียนรู้ที่จะรับมือกับปัญหาประเภทนี้แล้ว ผู้สำเร็จการศึกษาสามารถนับคะแนนสูงได้เมื่อผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

เตรียมตัวให้พร้อมสำหรับการทดสอบการสอบกับ Shkolkovo!

เมื่อทบทวนเนื้อหาที่ครอบคลุม นักเรียนจำนวนมากต้องเผชิญกับปัญหาในการหาสูตรที่จำเป็นในการแก้สมการ หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไปและการเลือกข้อมูลที่จำเป็นในหัวข้อบนอินเทอร์เน็ตใช้เวลานาน

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo เชิญชวนให้นักเรียนใช้ฐานความรู้ของเรา เรากำลังใช้วิธีการใหม่ทั้งหมดในการเตรียมสอบขั้นสุดท้าย เมื่อศึกษาจากเว็บไซต์ของเรา คุณจะสามารถระบุช่องว่างทางความรู้และใส่ใจกับงานที่ทำให้ยากที่สุดได้

ครู Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและนำเสนอเนื้อหาทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จในรูปแบบที่ง่ายและเข้าถึงได้มากที่สุด

คำจำกัดความและสูตรพื้นฐานแสดงไว้ในส่วน "ภูมิหลังทางทฤษฎี"

เพื่อให้เข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนการทำงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จสิ้น ตรวจสอบตัวอย่างสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างละเอียดพร้อมเฉลยที่นำเสนอในหน้านี้เพื่อทำความเข้าใจอัลกอริธึมการคำนวณ หลังจากนั้นดำเนินการงานในส่วน "ไดเรกทอรี" คุณสามารถเริ่มต้นด้วยปัญหาที่ง่ายที่สุดหรือมุ่งตรงไปที่การแก้สมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนโดยไม่ทราบค่าหลายค่าหรือ ฐานข้อมูลแบบฝึกหัดบนเว็บไซต์ของเราได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

คุณสามารถเพิ่มตัวอย่างที่มีตัวบ่งชี้ที่ทำให้คุณประสบปัญหาลงใน "รายการโปรด" ได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถค้นหาและหารือเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหากับครูได้อย่างรวดเร็ว

เพื่อให้ผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ ให้ศึกษาที่พอร์ทัล Shkolkovo ทุกวัน!

ให้เราวิเคราะห์คำตอบสองประเภทสำหรับระบบสมการ:

1. การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการทดแทน
2. การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม

เพื่อที่จะแก้ระบบสมการ โดยวิธีทดแทนคุณต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมง่ายๆ:
1. ด่วน. จากสมการใด ๆ เราแสดงตัวแปรหนึ่งตัว
2. ทดแทน. เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง
3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ

เพื่อตัดสินใจ ระบบโดยวิธีบวก (ลบ) ทีละเทอมจำเป็นต้อง:
1. เลือกตัวแปรที่เราจะสร้างสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน
2. เราบวกหรือลบสมการส่งผลให้ได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว
3. แก้สมการเชิงเส้นผลลัพธ์ เราหาทางแก้ไขให้กับระบบ

วิธีแก้ของระบบคือจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

ให้เราพิจารณารายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของระบบโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง #1:

ลองแก้ด้วยวิธีทดแทนกัน

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน

2x+5y=1 (1 สมการ)
x-10y=3 (สมการที่ 2)

1. ด่วน
จะเห็นได้ว่าในสมการที่สอง มีตัวแปร x ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 ซึ่งหมายความว่าวิธีที่ง่ายที่สุดในการแสดงตัวแปร x จากสมการที่สอง
x=3+10y

2.หลังจากที่เราเขียนออกมาแล้ว เราก็แทนที่ 3+10y ลงในสมการแรกแทนตัวแปร x
2(3+10y)+5y=1

3. แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรตัวเดียว
2(3+10y)+5y=1 (เปิดวงเล็บ)
6+20y+5y=1
25ป=1-6
25ป=-5 |: (25)
ย=-5:25
ย=-0.2

วิธีแก้ของระบบสมการคือจุดตัดกันของกราฟ ดังนั้นเราจึงต้องหา x และ y เนื่องจากจุดตัดกันประกอบด้วย x และ y ลองหา x ในจุดแรกที่เราเขียนแทนค่า y ตรงนั้น .
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนจุดในตอนแรกที่เราเขียนตัวแปร x และอันดับที่สองเขียนตัวแปร y
คำตอบ: (1; -0.2)

ตัวอย่าง #2:

ลองแก้โดยใช้วิธีบวก (ลบ) ทีละเทอม

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก

3x-2y=1 (1 สมการ)
2x-3y=-10 (สมการที่ 2)

1. เราเลือกตัวแปร สมมติว่าเราเลือก x ในสมการแรก ตัวแปร x มีค่าสัมประสิทธิ์ 3 ในสมการที่สอง - 2 เราจำเป็นต้องทำให้สัมประสิทธิ์เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ เราจึงมีสิทธิ์คูณสมการหรือหารด้วยตัวเลขใดก็ได้ เราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3 และได้สัมประสิทธิ์รวมเป็น 6

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. ลบสมการที่สองออกจากสมการแรกเพื่อกำจัดตัวแปร x
__6x-4y=2

5y=32 | :5
ย=6.4

3. หา x เราแทนค่า y ที่พบลงในสมการใดๆ สมมติว่าเป็นสมการแรก
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

จุดตัดจะเป็น x=4.6; ย=6.4
คำตอบ: (4.6; 6.4)

อยากเตรียมตัวสอบฟรีมั้ย? ติวเตอร์ออนไลน์ ฟรี- ไม่มีเรื่องตลก

สมการ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในแง่มนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ

มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น

4. คนอื่นๆ ครับ)

แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม

ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกก็เสียหายมากจนคุณจำไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา

และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วอะไรล่ะ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดวิชาคณิตศาสตร์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเป็นของตัวเอง

แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัวแต่มันง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.

จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)

การแปลงสมการที่เหมือนกัน

ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และเมื่อรูปลักษณ์เปลี่ยนไป แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง

ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน

พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ

การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ

ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:

กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:

ที่จริงแล้วคุณ เอาไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:

x+2 - 2 = 3 - 2

การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันย่อของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? – คุณถาม ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อเห็นแก่พระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...

การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก นี่คือข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นแล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้

มันชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวจะลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 ผลลัพธ์ก็คือ 2 แน่นอน

แค่นั้นแหละ.

มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสอง!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)

ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก

เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ โอนซ้าย-ขวา

เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)

สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:

3-2x=5-3x

มาจำคาถากันเถอะ: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X อยู่ทางขวาคืออะไร? 3x- คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก ปรากฎว่า:

3-2x+3x=5

ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นทริปเปิลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:

-2x+3x=5-3

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:

ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น อืม ก็ได้)

ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้