เครื่องคิดเลขสำหรับหาพื้นที่ของรูปทรงแบนที่เกิดจากเส้น อินทิกรัลแน่นอน

ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอ, อื่น ๆ อีกมากมาย ประเด็นเฉพาะจะเป็นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณ ในเรื่องนี้ การขัดเกลากราฟิกของตัวหลักจะเป็นประโยชน์ ฟังก์ชันพื้นฐานและอย่างน้อยสามารถสร้างเส้นตรงและไฮเพอร์โบลาได้

สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงโค้งคือตัวเลขแบนๆ ที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก

ในแง่ของรูปทรงเรขาคณิต อินทิกรัลแน่นอน- นี่คือพื้นที่.

นั่นคือ,อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องทางเรขาคณิตกับพื้นที่ของรูปบางส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนจะเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ครั้งแรกและ ช่วงเวลาสำคัญวิธีแก้ปัญหา - การสร้างรูปวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ เหนือแกน, ดังนั้น:

ตอบ:

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ที่ กรณีนี้"ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เซลล์ 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างชัดเจน ไม่เกินหนึ่งโหล หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูป ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

การตัดสินใจ:มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีอะไรเลย ความหมายทางเรขาคณิตจากนั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้นจากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ รูปแบน, ล้อมรอบด้วยเส้น , .

การตัดสินใจ: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด มาหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีด จำกัด บนการบูรณาการ

หากเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้.

การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง มากกว่าหรือเท่ากับบาง ฟังก์ชันต่อเนื่องจากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรง , , สามารถพบได้โดยสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขนั้นอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

การตัดสินใจ: มาวาดรูปกันก่อน:

ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติมักเกิด "ความผิดพลาด" เนื่องจากความไม่ตั้งใจซึ่งคุณต้องหาพื้นที่ของตัวเลขที่แรเงา เป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว

จริงๆ:

1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

ในบทความนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโดยใช้การคำนวณแบบอินทิกรัล เป็นครั้งแรกที่เราพบการกำหนดปัญหาดังกล่าวในโรงเรียนมัธยมเมื่อการศึกษาเกี่ยวกับปริพันธ์บางอย่างเพิ่งเสร็จสิ้นและถึงเวลาที่จะเริ่มการตีความทางเรขาคณิตของความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ

ดังนั้นสิ่งที่จำเป็นสำหรับ โซลูชั่นที่ประสบความสำเร็จปัญหาในการหาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้ปริพันธ์:

ความสามารถในการวาดภาพอย่างถูกต้อง
ความสามารถในการแก้ปริพันธ์แน่นอนโดยใช้ สูตรที่รู้จักนิวตัน-ไลบ์นิซ;
ความสามารถในการ "เห็น" โซลูชันที่ให้ผลกำไรมากกว่า - เช่น เพื่อทำความเข้าใจว่าในกรณีนี้จะสะดวกกว่าในการรวมระบบอย่างไร ตามแกน x (OX) หรือแกน y (OY)?
หากไม่มีการคำนวณที่ถูกต้อง) ซึ่งรวมถึงการทำความเข้าใจวิธีการแก้ปัญหาอินทิกรัลประเภทอื่นและการคำนวณตัวเลขที่ถูกต้อง

อัลกอริทึมสำหรับแก้ปัญหาการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

1. เราสร้างภาพวาด ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้บนกระดาษแผ่นหนึ่งในกรงขนาดใหญ่ เราลงชื่อด้วยดินสอเหนือกราฟแต่ละชื่อของฟังก์ชันนี้ ลายเซ็นของกราฟทำขึ้นเพื่อความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติมเท่านั้น เมื่อได้รับกราฟของตัวเลขที่ต้องการแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่จะชัดเจนทันทีว่าจะใช้ขีดจำกัดการรวมใด ดังนั้นเราจึงแก้ปัญหา วิธีการกราฟิก. อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่ค่าของขีดจำกัดนั้นเป็นเศษส่วนหรือไม่ลงตัว ดังนั้น คุณสามารถทำการคำนวณเพิ่มเติม ไปที่ขั้นตอนที่สอง

2. หากไม่ได้ตั้งค่าขีดจำกัดการรวมไว้อย่างชัดเจน เราจะหาจุดตัดของกราฟซึ่งกันและกัน และดูว่า โซลูชันกราฟิกด้วยการวิเคราะห์

3. ถัดไปคุณต้องวิเคราะห์ภาพวาด ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของกราฟฟังก์ชัน วิธีการที่แตกต่างกันเพื่อหาพื้นที่ของรูป พิจารณา ตัวอย่างที่แตกต่างกันเพื่อหาพื้นที่ของรูปโดยใช้ปริพันธ์

3.1. ปัญหาคลาสสิกและง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร? นี่คือตัวเลขแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน x (y=0), ตรง x = ก, x = ขและเส้นโค้งใด ๆ ที่ต่อเนื่องกันในช่วงตั้งแต่ กก่อน ข. ในขณะเดียวกัน ตัวเลขนี้ไม่เป็นค่าลบและอยู่ไม่ต่ำกว่าแกน x ในกรณีนี้ พื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับตัวเลขที่คำนวณโดยใช้สูตร Newton-Leibniz:

ตัวอย่างที่ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

เส้นอะไรกำหนดรูป? เรามีพาราโบลา y = x2 - 3x + 3ซึ่งอยู่เหนือแกน โอ้มันไม่เป็นลบเพราะ จุดทั้งหมดของพาราโบลานี้มี ค่าบวก. ต่อไป ให้เส้นตรง x = 1และ x = 3ที่วิ่งขนานไปกับแกน อู๋คือเส้นขอบของรูปด้านซ้ายและขวา ดี y = 0เธอคือแกน x ซึ่งจำกัดตัวเลขจากด้านล่าง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสีเทาดังที่แสดงในรูปทางด้านซ้าย ในกรณีนี้ คุณสามารถเริ่มแก้ปัญหาได้ทันที ก่อนหน้าเราคือตัวอย่างง่ายๆ ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งเราจะแก้โดยใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

3.2. ในย่อหน้าที่ 3.1 กรณีได้รับการวิเคราะห์เมื่อรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่เหนือแกน x ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่เงื่อนไขของปัญหาเหมือนกัน ยกเว้นว่าฟังก์ชันนั้นอยู่ใต้แกน x ถึง สูตรมาตรฐานเพิ่มลบ Newton-Leibniz วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเราจะพิจารณาต่อไป

ตัวอย่างที่ 2 . คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

ที่ ตัวอย่างนี้เรามีพาราโบลา y=x2+6x+2ซึ่งเกิดจากใต้แกน โอ้, ตรง x=-4, x=-1, y=0. ที่นี่ y = 0จำกัด ตัวเลขที่ต้องการจากด้านบน โดยตรง x = -4และ x = -1นี่คือขอบเขตภายในที่จะคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน หลักการของการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของตัวเลขเกือบจะตรงกับตัวอย่างหมายเลข 1 ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ฟังก์ชันที่กำหนดไม่เป็นบวกและทุกอย่างก็ต่อเนื่องตามช่วงเวลาเช่นกัน [-4; -1] . ไม่บวกหมายถึงอะไร? ดังที่เห็นได้จากรูป รูปที่อยู่ภายใน x ที่กำหนดมีพิกัด "ลบ" เท่านั้น ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องดูและจดจำเมื่อแก้ปัญหา เรากำลังมองหาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้สูตร Newton-Leibniz โดยมีเครื่องหมายลบที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น

บทความยังไม่เสร็จสมบูรณ์

ไปที่แอปพลิเคชันกันเถอะ อินทิกรัลแคลคูลัส. ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน. ในที่สุดทุกอย่าง กำลังมองหาความหมายใน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- ให้พวกเขาพบเขา คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณกระท่อมฤดูร้อนที่มีฟังก์ชันพื้นฐานและค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางอย่าง

ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจ อินทิกรัลไม่ จำกัดอย่างน้อยในระดับปานกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ที่เป็นมิตรอย่างอบอุ่นกับอินทิกรัลบางอย่างในหน้านี้ อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน. งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาเร่งด่วนเช่นกัน อย่างน้อยที่สุดต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว

อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชันเราบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวอีก ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์. จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA. นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต. พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัล

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: แรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเฉพาะ หลังจาก- พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ สามารถดูเทคนิคการสร้างแบบ pointwise ได้ใน วัสดุอ้างอิง กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้

มาวาดรูปกัน (สังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเป็นพื้นที่ใด ในคำถาม. วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:

ในช่วง [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 อยู่ เหนือแกนวัว, ดังนั้น:

ตอบ: .

ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน. หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น xy = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ โซลูชันอิสระ. โซลูชั่นที่สมบูรณ์และเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ไข: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ใต้เพลาอย่างสมบูรณ์ วัว จากนั้นหาพื้นที่ได้จากสูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ไข: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด ค้นหาจุดตัดของพาราโบลา ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x. สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้นขีดจำกัดล่างของการรวม ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. การสร้างเส้นทีละจุดมักให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่า ในขณะที่พบขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

เราขอย้ำอีกครั้งว่าในการก่อสร้างตามจุดนั้น ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในช่วง [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ช(x) จากนั้นพื้นที่ของรูปที่สอดคล้องกันสามารถพบได้โดยสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – xต้องลบ 2 - x.

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 บนและตรง ย = -xจากด้านล่าง.

ในส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x. ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ: .

ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างหมายเลข 3) คือ กรณีพิเศษสูตร

ตั้งแต่แกน วัวถูกกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ช(x) อยู่ใต้แกน วัว, แล้ว

และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

ตัวอย่างที่ 7

มาวาดกันก่อน:

ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากความไม่ตั้งใจ พวกเขามักตัดสินใจว่าต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว จริงๆ:

1) ในส่วนของ [-1; 1] เหนือเพลา วัวกราฟเป็นเส้นตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเพอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดเส้น:

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่ที่ไหนจะรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ มันอาจจะกลายเป็นอย่างนั้น ก=(-1/4). จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย

ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับแต่งขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์

ค้นหาจุดตัดของกราฟ

ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:

เพราะเหตุนี้, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด ในส่วนของ

, ,

ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ในตอนท้ายของบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: วาดรูปนี้ในรูปวาด

สำหรับการวาดทีละจุดคุณจำเป็นต้องรู้ รูปร่างไซนัส โดยทั่วไปแล้ว การทราบกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดรวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ . ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงในหลักการอย่างถูกต้อง

ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข:

- "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย=บาป3 xอยู่เหนือแกน วัว, ดังนั้น:

(1) คุณสามารถดูได้ว่าไซน์และโคไซน์รวมกันเป็นเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียนนี้ ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เราหยิกหนึ่งไซน์

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานในแบบฟอร์ม

(3) ให้เราเปลี่ยนตัวแปร ที= คอส xแล้ว: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

บันทึก:สังเกตว่าหาอินทิกรัลของแทนเจนต์ในลูกบาศก์ได้อย่างไร นี่เป็นผลที่ตามมาของหลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

งานหมายเลข 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในการแก้ปัญหา งานที่ใช้

การคำนวณพื้นที่

อินทิกรัลแน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f(x) มีค่าเท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y \u003d f (x), แกน O x และเส้นตรง x \u003d a และ x \u003d b จึงเขียนสูตรพื้นที่ได้ดังนี้

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงระนาบ

งานหมายเลข 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2

การตัดสินใจ.มาสร้างตัวเลขพื้นที่ที่เราจะต้องคำนวณ

y \u003d x 2 + 1 เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนขึ้นด้านบน 1 หน่วยเทียบกับแกน O y (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 1

งานหมายเลข 2 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 ในช่วง 0 ถึง 1

การตัดสินใจ.กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาของกิ่งซึ่งชี้ขึ้น และพาราโบลาเลื่อนลงหนึ่งหน่วยเมื่อเทียบกับแกน O y (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2 - 1

งานหมายเลข 3 วาดรูปและคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น

y = 8 + 2x - x 2 และ y = 2x - 4

การตัดสินใจ.เส้นแรกในสองเส้นนี้เป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่ x 2 เป็นลบ และเส้นที่สองเป็นเส้นตรงที่ตัดแกนพิกัดทั้งสอง

ในการสร้างพาราโบลา ให้หาพิกัดของจุดยอด: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – จุดยอด abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 คือพิกัด N(1;9) คือจุดยอด

ตอนนี้เราพบจุดตัดของพาราโบลาและเส้นตรงโดยการแก้ระบบสมการ:

สมการด้านขวาของสมการที่มีด้านซ้ายเท่ากัน

เราได้ 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 หรือ x 2 - 12 \u003d 0 จากที่ .

ดังนั้น จุดต่างๆ คือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง (ภาพที่ 1)

รูปที่ 3 กราฟของฟังก์ชัน y = 8 + 2x – x 2 และ y = 2x – 4

ลองสร้างเส้นตรง y = 2x - 4 มันผ่านจุด (0;-4), (2; 0) บนแกนพิกัด

ในการสร้างพาราโบลา คุณยังสามารถมีจุดตัดกับแกน 0x ซึ่งก็คือรากของสมการ 8 + 2x - x 2 = 0 หรือ x 2 - 2x - 8 = 0 โดยทฤษฎีบทเวียตา จะได้ว่า หารากของมันได้ง่าย: x 1 = 2, x 2 = สี่

รูปที่ 3 แสดงรูป (ส่วนพาราโบลา M 1 N M 2) ที่ล้อมรอบด้วยเส้นเหล่านี้

ส่วนที่สองของปัญหาคือการหาพื้นที่ของรูปนี้ สามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้สูตร .

สำหรับเงื่อนไขนี้ เราได้อินทิกรัล:

2 การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติ

ปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนเส้นโค้ง y \u003d f (x) รอบแกน O x คำนวณโดยสูตร:

เมื่อหมุนรอบแกน O y จะได้สูตรดังนี้

งานหมายเลข 4 กำหนดปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x \u003d 0 x \u003d 3 และเส้นโค้ง y \u003d รอบแกน O x

การตัดสินใจ.มาสร้างภาพวาดกันเถอะ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4. กราฟของฟังก์ชัน y =

ปริมาตรที่ต้องการเท่ากับ

งานหมายเลข 5 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x 2 และเส้นตรง y = 0 และ y = 4 รอบแกน O y

การตัดสินใจ.เรามี:

ตรวจสอบคำถาม

อินทิกรัลแน่นอน วิธีคำนวณพื้นที่ของรูป

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป วิธีใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ. สุดท้ายนี้ ผู้ที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบความหมายนั้น คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณกระท่อมฤดูร้อนที่มีฟังก์ชันพื้นฐานและค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางอย่าง

ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจอินทิกรัลไม่จำกัดอย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักจะเป็นประโยชน์ และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (ต้องการมาก) ด้วยความช่วยเหลือของ วัสดุระเบียบวิธีและบทความเกี่ยวกับการแปลงกราฟทางเรขาคณิต

จริงๆ แล้ว ทุกคนคุ้นเคยกับโจทย์การหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนมาตั้งแต่สมัยเรียนแล้ว และเราจะไปไกลกว่านั้นเล็กน้อย หลักสูตรของโรงเรียน. บทความนี้อาจไม่มีอยู่จริง แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งถูกทรมานด้วยหอคอยที่เกลียดชังด้วยความกระตือรือร้นที่จะเรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง

เนื้อหาของการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียดและมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกว่ารูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชันฉันบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะระบุข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA.

นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต. ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: แรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเฉพาะ หลังจาก- พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟฟังก์ชันสร้างผลกำไรได้มากกว่า ทีละจุด, ด้วยเทคนิคการสร้างตามจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ฉันจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงพื้นที่ใด วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ เหนือแกน, ดังนั้น:

ตอบ:

ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และแกน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

การตัดสินใจ:มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
หากเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้.

การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างแบบจุดต่อจุดสำหรับแผนภูมิต่างๆ จะกล่าวถึงโดยละเอียดในวิธีใช้ กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่พอ หรือการสร้างเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าด้วยการสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงสามารถหาได้จากสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตอบ:

ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆหมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการ และกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ ไม่สูงขึ้นขวานแล้ว

และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ในการแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางครั้งเหตุการณ์ตลกก็เกิดขึ้น การวาดภาพถูกต้องการคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูปนั่นเป็นวิธีที่ผู้รับใช้ที่เชื่อฟังของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง ที่นี่ กรณีจริงจากชีวิต:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

การตัดสินใจ: มาวาดรูปกันก่อน:

…เอ๊ะ รูปวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

ตอบ:

ไปทำงานที่มีความหมายมากขึ้นกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และทำการวาดทีละจุด:

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ? อาจจะ ? แต่ที่ไหนจะรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ มันอาจจะกลายเป็นอย่างนั้น หรือราก. จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย

มาหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:

,

จริงๆ, .

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

ในส่วนของ ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

โดยสรุปบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

การตัดสินใจ: วาดรูปนี้ในรูปวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมลงตารางงานและทำรูปใหม่ ขอโทษด้วย ไม่ใช่ hotz ไม่ใช่ภาพวาด เรียกสั้นๆว่าวันนี้เป็นวัน =)

สำหรับการสร้างทีละจุดจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซน์ซอยด์ (และโดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ที่จะทราบ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงอย่างถูกต้องตามหลักการ

ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข: - "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น: