หัวข้อ: การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

งาน: เรียนรู้คำจำกัดความและสูตรสำหรับการค้นหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

พิจารณากรณีต่าง ๆ ในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้น

สามารถคำนวณพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูได้

วางแผน:

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง.

สูตรการคำนวณพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งตัวเลขเรียกว่า ซึ่งถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบ f (x) บนช่วงเวลา ส่วนของเส้นตรง x=a และ x=b ตลอดจนส่วนของแกน x ระหว่างจุด a และ ข.

รูปภาพของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง:

ทีนี้มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับตำแหน่งของตัวเลข พื้นที่ที่ต้องคำนวณบนระนาบพิกัด

อันดับแรก จะมีตัวเลือกที่ง่ายที่สุด (ภาพแรก) ตามปกติ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเช่นเดียวกับในคำจำกัดความ ไม่จำเป็นต้องประดิษฐ์อะไรตรงนี้ แค่หาอินทิกรัลจาก กก่อน ขจากฟังก์ชั่น ฉ(x). เราพบอินทิกรัล - เราจะรู้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้


ใน ที่สอง ตัวเลือก ตัวเลขของเราจะไม่ถูกจำกัดด้วยแกน x แต่ด้วยฟังก์ชันอื่น ก(x). ดังนั้นการหาพื้นที่ CEFDก่อนอื่นเราต้องหาพื้นที่ กฟผ(ใช้อินทิกรัลของ ฉ(x)) จากนั้นหาพื้นที่ อคส(ใช้อินทิกรัลของ ก(x)). และพื้นที่ที่ต้องการของรูป CEFDจะเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ที่หนึ่งและสองของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจากขอบเขตการอินทิกรัลเหมือนกันที่นี่ ทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ภายใต้อินทิกรัลเดียว (ดูสูตรด้านล่างรูป) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้จะหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่า



ที่สาม คล้ายกับอันแรกมาก แต่วางเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมคางหมูของเราเท่านั้นไม่เกิน แกน xและด้านล่าง ดังนั้นที่นี่เราต้องใช้อินทิกรัลเดียวกันโดยมีเครื่องหมายลบเท่านั้น เนื่องจากค่าของอินทิกรัลจะเป็นลบ และค่าของพื้นที่ต้องเป็นบวก ถ้าใช้แทนฟังก์ชัน ฉ(x)ใช้ฟังก์ชั่น -f(x)จากนั้น กราฟของมันก็จะเหมือนกันโดยแสดงแบบสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน x


และ ประการที่สี่ตัวเลือกเมื่อส่วนหนึ่งของตัวเลขของเราอยู่เหนือแกน x และบางส่วนอยู่ด้านล่าง ดังนั้นเราต้องหาพื้นที่ของรูปก่อน กฟผเช่นเดียวกับในรุ่นแรกแล้วพื้นที่ของรูป เอบีซีดีเช่นเดียวกับในตัวเลือกที่สามแล้วเพิ่มเข้าไป เป็นผลให้เราได้พื้นที่ของตัวเลข กพ. เนื่องจากขอบเขตการอินทิกรัลเหมือนกันที่นี่ ทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ภายใต้อินทิกรัลเดียว (ดูสูตรด้านล่างรูป) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้จะหาอินทิกรัลได้ง่ายกว่า

คำถามสำหรับการตรวจสอบตนเอง:

รูปร่างใดที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง?

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งได้อย่างไร?

อินทิกรัลแน่นอน วิธีคำนวณพื้นที่ของรูป

ตอนนี้เราหันไปพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไป วิธีใช้อินทิกรัลที่แน่นอนในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ. สุดท้ายนี้ ผู้ที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบความหมายนั้น คุณไม่เคยรู้. ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณกระท่อมฤดูร้อนที่มีฟังก์ชันพื้นฐานและค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางอย่าง

ในการฝึกฝนเนื้อหาให้ประสบความสำเร็จ คุณต้อง:

1) เข้าใจอินทิกรัลไม่จำกัดอย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้น หุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

2) สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ที่เป็นมิตรอย่างอบอุ่นกับอินทิกรัลบางอย่างในหน้านี้ อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

ในความเป็นจริงในการหาพื้นที่ของตัวเลขคุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้มากมายเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอน งาน "คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องมากขึ้น ในเรื่องนี้ การรีเฟรชหน่วยความจำของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักจะเป็นประโยชน์ และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (หลายคนต้องการ) ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุวิธีการและบทความเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

อันที่จริง ทุกคนคุ้นเคยกับปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลแน่นอนมาตั้งแต่สมัยเรียนแล้ว และเราจะนำหน้าหลักสูตรของโรงเรียนไปเล็กน้อย บทความนี้อาจไม่มีอยู่จริง แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งถูกทรมานด้วยหอคอยที่เกลียดชังด้วยความกระตือรือร้นที่จะเรียนวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูง

เนื้อหาของการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียดและมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเรียกว่ารูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันบนส่วนที่ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้ตัวเลขนี้ตั้งอยู่ ไม่น้อยแอ๊บซิสซ่า:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นโค้งมีค่าเท่ากับอินทิกรัลบางตัว. อินทิกรัลที่แน่นอนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในบทเรียน อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชันฉันบอกว่าอินทิกรัลแน่นอนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะระบุข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลที่แน่นอนคือ AREA.

นั่นคือ, อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) สอดคล้องกับพื้นที่ของรูปบางส่วนทางเรขาคณิต. ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลที่แน่นอน อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการสามารถวาดให้เสร็จได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งงานทั่วไป ช่วงเวลาแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด. นอกจากนี้ยังต้องสร้างภาพวาด ขวา.

เมื่อสร้างพิมพ์เขียว ฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: แรกเป็นการดีกว่าที่จะสร้างทุกบรรทัด (ถ้ามี) และเฉพาะ หลังจาก- พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลา, กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ กราฟฟังก์ชันสร้างผลกำไรได้มากกว่า ทีละจุด, ด้วยเทคนิคการสร้างตามจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาเนื้อหาที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะดังนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่ฟักสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งซึ่งชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงพื้นที่ใด วิธีแก้ปัญหาดำเนินต่อไปดังนี้:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

ตอบ:

ผู้มีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนและใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลแน่นอน ตัวอย่างโซลูชัน.

หลังจากงานเสร็จสิ้น การดูภาพวาดและหาคำตอบว่าคำตอบนั้นจริงหรือไม่นั้นมีประโยชน์เสมอ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะพิมพ์ประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ค่อนข้างชัดเจนว่าถ้าเรามีคำตอบ: 20 ตารางหน่วยเห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหาอย่างมาก หากคำตอบกลายเป็นลบแสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , และแกน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกนพิกัด

วิธีการแก้:มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้ารูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงขึ้นแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้จากสูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! อย่าสับสนกับงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้เฉพาะอินทิกรัลที่แน่นอนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ก็สามารถเป็นค่าลบได้

2) หากคุณถูกขอให้หาพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือเหตุผลที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งพิจารณา

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้นจากปัญหาโรงเรียนที่ง่ายที่สุด เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาพื้นที่ของรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

วิธีการแก้: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดของเส้นมากที่สุด มาหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน สามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ดังนั้น ขีดจำกัดล่างของการรวม ขีดจำกัดบนของการรวม
หากเป็นไปได้ไม่ควรใช้วิธีนี้.

การสร้างเส้นทีละจุดให้ผลกำไรมากกว่าและเร็วกว่ามาก ในขณะที่พบข้อจำกัดของการรวมเข้าด้วยกันราวกับว่า "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างแบบจุดต่อจุดสำหรับแผนภูมิต่างๆ จะกล่าวถึงโดยละเอียดในวิธีใช้ กราฟและสมบัติของฟังก์ชันมูลฐาน. อย่างไรก็ตาม บางครั้งวิธีการวิเคราะห์เพื่อหาขีดจำกัดยังคงต้องใช้ เช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างแบบเธรดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการรวม (อาจเป็นเศษส่วนหรือจำนวนอตรรกยะ) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

เรากลับไปที่งานของเรา: มีเหตุผลมากกว่าที่จะสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าด้วยการสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการผสานรวมมักจะพบว่า "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้นตรงสามารถหาได้จากสูตร:

ที่นี่ไม่จำเป็นต้องคิดว่าตัวเลขอยู่ที่ไหน - เหนือแกนหรือใต้แกนและพูดคร่าวๆ มันสำคัญว่าแผนภูมิใดอยู่ด้านบน(เทียบกับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าในส่วนของพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบออกจาก

ความสมบูรณ์ของโซลูชันอาจมีลักษณะดังนี้:

ตัวเลขที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาจากด้านบนและเส้นตรงจากด้านล่าง
ในส่วน ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

ในความเป็นจริงสูตรโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆหมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร . เนื่องจากแกนถูกกำหนดโดยสมการ และกราฟของฟังก์ชันตั้งอยู่ ไม่สูงขึ้นขวานแล้ว

และตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

ในการแก้ปัญหาสำหรับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลบางครั้งเหตุการณ์ตลกก็เกิดขึ้น การวาดภาพถูกต้องการคำนวณถูกต้อง แต่เนื่องจากความไม่ตั้งใจ ... พบพื้นที่ผิดรูปนั่นเป็นวิธีที่ผู้รับใช้ที่เชื่อฟังของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีชีวิตจริง:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

วิธีการแก้: มาวาดรูปกันก่อน:

…เอ๊ะ รูปวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

ตัวเลขที่เราต้องการหาพื้นที่จะถูกแรเงาด้วยสีน้ำเงิน(ดูสภาพอย่างละเอียด - ตัวเลขมี จำกัด อย่างไร!) แต่ในทางปฏิบัติมักเกิด "ความผิดพลาด" เนื่องจากความไม่ตั้งใจซึ่งคุณต้องหาพื้นที่ของตัวเลขที่แรเงาด้วยสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ของตัวเลขนั้นคำนวณโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนสองตัว จริงๆ:

1) ในส่วนเหนือแกนมีกราฟเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนคือกราฟไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่สามารถ (และควร) เพิ่มได้ ดังนั้น:

ตอบ:

ไปที่งานที่มีความหมายมากขึ้นกันเถอะ

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และทำการวาดทีละจุด:

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ "ดี": .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไร? เป็นที่ชัดเจนว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่อะไรนะ? อาจจะ ? แต่ที่ไหนจะรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ มันอาจจะกลายเป็นอย่างนั้น หรือราก. จะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่ได้กราฟที่ถูกต้องเลย

ในกรณีเช่นนี้ เราต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและปรับแต่งขีดจำกัดของการผสานรวมในเชิงวิเคราะห์

มาหาจุดตัดของเส้นตรงกับพาราโบลากัน
ในการทำเช่นนี้ เราแก้สมการ:


,

จริงๆ, .

วิธีแก้ไขเพิ่มเติมนั้นเป็นเรื่องเล็กน้อย สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการแทนที่และเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

ในส่วนของ ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

ตอบ:

โดยสรุปบทเรียนเราจะพิจารณาสองงานที่ยากขึ้น

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

วิธีการแก้: วาดรูปนี้ในรูปวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมลงตารางงานและทำรูปใหม่ ขอโทษด้วย ไม่ใช่ hotz ไม่ใช่ภาพวาด เรียกสั้นๆ ว่าวันนี้เป็นวัน =)

สำหรับการสร้างทีละจุดจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซน์ซอยด์ (และโดยทั่วไปจะเป็นประโยชน์ที่จะทราบ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) อนุญาตให้สร้างภาพวาดแผนผัง ซึ่งกราฟและขีดจำกัดการรวมจะต้องแสดงอย่างถูกต้องตามหลักการ

ไม่มีปัญหากับขีดจำกัดการรวมที่นี่ พวกเขาติดตามโดยตรงจากเงื่อนไข: - "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" เราตัดสินใจเพิ่มเติม:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ใช่ค่าลบ $f(x)$ ในช่วง $$ และเส้น $y=0, \ x=a$ และ $x=b$ เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกันคำนวณโดยสูตร:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งเราจะแบ่งออกเป็นประเภท $4$ อย่างมีเงื่อนไข ลองพิจารณาแต่ละประเภทโดยละเอียด

ประเภท I: สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะได้รับอย่างชัดเจนจากนั้นใช้สูตร (*) ทันที

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=4-(x-2)^(2)$ และเส้น $y=0, \ x=1$ และ $x =3$.

ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ใช้สูตร (*) เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

Type II: curvilinear trapezoid ถูกระบุโดยปริยายในกรณีนี้ เส้นตรง $x=a, \ x=b$ มักจะไม่ระบุหรือระบุเพียงบางส่วน ในกรณีนี้ คุณต้องหาจุดตัดของฟังก์ชัน $y=f(x)$ และ $y=0$ จุดเหล่านี้จะเป็นจุด $a$ และ $b$

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกัน ในการทำเช่นนี้ เราถือเอาส่วนที่ถูกต้องของฟังก์ชัน

ดังนั้น $a=-1$ และ $b=1$ ลองวาดสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งนี้

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเส้นโค้งนี้

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

Type III: พื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยจุดตัดของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบต่อเนื่องสองฟังก์ชันรูปนี้จะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ซึ่งหมายความว่าการใช้สูตร (*) คุณจะคำนวณพื้นที่ไม่ได้ จะเป็นอย่างไร?ปรากฎว่าพื้นที่ของตัวเลขนี้สามารถหาได้จากความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันด้านบนและ $y=0$ ($S_(uf)$) และฟังก์ชันด้านล่าง และ $y= 0$ ($S_(lf)$) โดยที่บทบาทของ $x=a, \ x=b$ เล่นโดยพิกัด $x$ ของจุดตัดกันของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่น

$S=S_(ยูเอฟ)-S_(เอลฟ์)$ (**)

สิ่งที่สำคัญที่สุดเมื่อคำนวณพื้นที่ดังกล่าวคือต้องไม่ "พลาด" เมื่อเลือกฟังก์ชันด้านบนและด้านล่าง

ตัวอย่างเช่น หาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน $y=x^(2)$ และ $y=x+6$

มาหาจุดตัดของกราฟเหล่านี้กัน:

ตามทฤษฎีบทของ Vieta จะได้ว่า

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

นั่นคือ $a=-2, \ b=3$ มาวาดรูปกันเถอะ:

ดังนั้นฟังก์ชันบนสุดคือ $y=x+6$ และฟังก์ชันล่างคือ $y=x^(2)$ ต่อไป หา $S_(uf)$ และ $S_(lf)$ โดยใช้สูตร (*)

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (หน่วย $^(2)$)

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (หน่วย$^(2)$)

แทนที่ที่พบใน (**) และรับ:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (หน่วย $^(2)$).

ประเภท IV: พื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่ใช่การปฏิเสธในการหาพื้นที่ของรูปดังกล่าว คุณต้องสมมาตรรอบแกน $Ox$ ( กล่าวอีกนัยหนึ่งใส่ "minuses" หน้าฟังก์ชั่น) แสดงพื้นที่และใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในประเภท I - III ค้นหาพื้นที่ของพื้นที่ที่แสดง พื้นที่นี้จะเป็นพื้นที่ที่จำเป็น ขั้นแรก คุณอาจต้องหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=x^(2)-1$ และ $y=0$

มาหาจุดตัดกันของกราฟฟังก์ชันกัน:

เหล่านั้น. $a=-1$ และ $b=1$ มาวาดพื้นที่กันเถอะ

แสดงพื้นที่แบบสมมาตร:

$y=0 \ \ลูกศรขวา \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \ลูกศรขวา \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$

คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน $y=1-x^(2)$ และ $y=0$ นี่เป็นปัญหาในการค้นหารูปสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งประเภทที่สอง เราแก้ไขมันแล้ว คำตอบคือ: $S= 1\frac(1)(3)$ (หน่วย $^(2)$) ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ต้องการจึงเท่ากับ:

$S=1\frac(1)(3)$ (หน่วย$^(2)$).

พิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้งที่ล้อมรอบด้วยแกน Ox เส้นโค้ง y \u003d f (x) และเส้นตรงสองเส้น: x \u003d a และ x \u003d b (รูปที่ 85) ใช้ค่า x ตามอำเภอใจ (เฉพาะไม่ใช่ a และไม่ใช่ b) ให้เราเพิ่มค่า h = dx และพิจารณาแถบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง AB และ CD โดยแกน Ox และโดยส่วนโค้ง BD ที่เป็นของเส้นโค้งที่กำลังพิจารณา แถบนี้จะเรียกว่าแถบประถมศึกษา พื้นที่ของแถบพื้นฐานแตกต่างจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACQB โดยสามเหลี่ยมโค้ง BQD และพื้นที่ของส่วนหลังน้อยกว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า BQDM ที่มีด้าน BQ = =h= dx) QD=Ay และพื้นที่เท่ากับ hAy = Ay dx เมื่อด้าน h ลดลง ด้าน Du ก็ลดลงเช่นกัน และพร้อมกับ h มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นพื้นที่ของ BQDM จึงน้อยมากในลำดับที่สอง พื้นที่ของแถบพื้นฐานคือส่วนเพิ่มของพื้นที่และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ACQB เท่ากับ AB-AC==/(x) dx> คือส่วนต่างของพื้นที่ ดังนั้นเราจึงค้นหาพื้นที่โดยการรวมส่วนต่างเข้าด้วยกัน ภายในขอบเขตของตัวเลขที่กำลังพิจารณา ตัวแปรอิสระ l: เปลี่ยนจาก a เป็น b ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการ 5 จะเท่ากับ 5= \f (x) dx (I) ตัวอย่างที่ 1 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลา y - 1 -x *, เส้นตรง X \u003d - Fj-, x \u003d 1 และแกน O * (รูปที่ 86) ที่รูปที่ 87. มะเดื่อ 86. 1 ที่นี่ f(x) = 1 - l?, ลิมิตของการรวม a = - และ t = 1, ดังนั้น 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* ตัวอย่างที่ 2. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ไซด์ y = sinXy แกน Ox และเส้นตรง (รูปที่ 87) การใช้สูตร (I) เราได้ L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf ด้วยแกน Ox (ตัวอย่างเช่น ระหว่างจุดกำเนิดและจุดที่มี abscissa i) โปรดทราบว่าจากการพิจารณาทางเรขาคณิตเป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่นี้จะเป็นสองเท่าของพื้นที่ตัวอย่างก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม ลองคำนวณดู: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2 o อันที่จริง ข้อสันนิษฐานของเรานั้นยุติธรรม ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ไซด์และแกน ^ Ox บนจุดหนึ่ง (รูปที่ 88) การตัดสินตัวเลขราสเบื้องต้นแนะนำว่าพื้นที่จะมีขนาดใหญ่กว่าใน pr.2 ถึงสี่เท่า อย่างไรก็ตามหลังจากทำการคำนวณแล้ว เราได้รับ "i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0 ผลลัพธ์นี้ต้องมีการชี้แจง เพื่อชี้แจงสาระสำคัญของเรื่องนี้ เรายังคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยไซน์ซอยด์เดียวกัน y \u003d sin l: และแกน Ox ตั้งแต่ l ถึง 2n ใช้สูตร (I) เราได้รับ ดังนั้นเราจึงเห็นว่าพื้นที่นี้กลายเป็นลบ เมื่อเปรียบเทียบกับพื้นที่ที่คำนวณในตัวอย่างที่ 3 เราพบว่าค่าสัมบูรณ์ของพวกมันเหมือนกัน แต่เครื่องหมายต่างกัน หากเราใช้คุณสมบัติ V (ดู Ch. XI, § 4) เราก็ได้รับโดยไม่ได้ตั้งใจ พื้นที่ด้านล่างแกน x เสมอ โดยที่ตัวแปรอิสระเปลี่ยนจากซ้ายไปขวา หาได้จากการคำนวณโดยใช้อินทิกรัลลบ ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาพื้นที่ที่ไม่ได้ลงนามเสมอ ดังนั้น คำตอบในตัวอย่างที่เพิ่งวิเคราะห์จะเป็นดังนี้ พื้นที่ที่ต้องการเท่ากับ 2 + |-2| = 4. ตัวอย่างที่ 5 ลองคำนวณพื้นที่ของ BAB ที่แสดงในรูป 89. พื้นที่นี้จำกัดด้วยแกน Ox พาราโบลา y = - xr และเส้นตรง y - = -x + \ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง พื้นที่ที่หา OAB ประกอบด้วยสองส่วน: OAM และ MAB เนื่องจากจุด A เป็นจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง เราจะหาพิกัดของมันได้โดยการแก้ระบบสมการ 3 2 Y \u003d mx (เราต้องหา abscissa ของจุด A เท่านั้น) การแก้ระบบ เราพบ l; =~. ดังนั้นจึงต้องคำนวณพื้นที่เป็นส่วน ๆ ก่อน pl. OAM แล้วกรุณา MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [เปลี่ยน:

] =

ดังนั้นอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมจะลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ