พลังงานจลน์ระหว่างการหมุน พลังงานจลน์ระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน

พลังงานจลน์เป็นปริมาณสารเติมแต่ง ดังนั้น พลังงานจลน์ของวัตถุที่เคลื่อนไหวโดยพลการจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของ n ทั้งหมด คะแนนวัสดุซึ่งร่างกายนี้สามารถแบ่งทางจิตใจได้:

ถ้าร่างกายหมุนรอบแกน z คงที่ด้วย ความเร็วเชิงมุมแล้วความเร็วเชิงเส้น ฉันจุดที่ , Ri คือระยะทางไปยังแกนหมุน เพราะฉะนั้น,

เมื่อเปรียบเทียบแล้วจะเห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย I มีค่าความเฉื่อยอยู่ที่ การเคลื่อนที่แบบหมุนเช่นเดียวกับที่มวล m เป็นตัววัดความเฉื่อยในการเคลื่อนที่เชิงแปล

ใน กรณีทั่วไปการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งสามารถแสดงเป็นผลรวมของการเคลื่อนไหวสองแบบ - การเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว vc และการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω รอบแกนที่เกิดขึ้นทันทีซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของความเฉื่อย แล้วพลังงานจลน์ทั้งหมดของร่างกายนี้

ในที่นี้ Ic คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนที่เกิดขึ้นทันทีผ่านจุดศูนย์กลางความเฉื่อย

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

ไดนามิกแบบหมุน

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน:

หรือ ม=เจโดยที่ M คือโมเมนต์ของแรง M=[ r F ] , เจ -โมเมนต์ความเฉื่อยคือโมเมนตัมของร่างกาย

ถ้า M(ภายนอก)=0 - กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม - พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุน

งานหมุนเวียน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุม (โมเมนตัม) ของจุดวัสดุ A เทียบกับ จุดคงที่โอ โทร ปริมาณทางกายภาพกำหนดโดยผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

โดยที่ r คือเวกเตอร์รัศมีที่ลากจากจุด O ไปยังจุด A, p=mv คือโมเมนตัมของจุดวัสดุ (รูปที่ 1); L เป็นเวกเตอร์หลอกที่มีทิศทางเหมือนกับทิศทาง การเคลื่อนไหวไปข้างหน้าสกรูด้านขวาระหว่างการหมุนจาก r ถึง p

โมดูลัสเวกเตอร์โมเมนตัม

โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์ r และ p, l คือไหล่ของเวกเตอร์ p เทียบกับจุด O

โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกน z คงที่เรียกว่า สเกลาร์ Lz เท่ากับเส้นโครงบนแกนนี้ของเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม นิยามโดยเทียบกับ จุดโดยพลการเกี่ยวกับแกนนี้ โมเมนตัมเชิงมุม Lz ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด O บนแกน z

เมื่อวัตถุที่แข็งอย่างยิ่งหมุนรอบแกนคงที่ z แต่ละจุดของวัตถุจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมีคงที่ ri ด้วยความเร็ว vi ความเร็ว vi และโมเมนตัม mivi ตั้งฉากกับรัศมีนี้ เช่น รัศมีคือแขนของเวกเตอร์ mivi เราจึงเขียนได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคแต่ละตัวมีค่าเท่าใด

และนำไปตามแกนในทิศทางที่กำหนดโดยกฎของสกรูขวา

โมเมนตัมของวัตถุแข็งที่สัมพันธ์กับแกนคือผลรวมของโมเมนตัมของอนุภาคแต่ละตัว:

ใช้สูตร vi = ωri เราได้รับ

ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งรอบแกนจะเท่ากับโมเมนตัมความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนเดียวกัน คูณด้วยความเร็วเชิงมุม ให้เราแยกความแตกต่างของสมการ (2) ตามเวลา:

สูตรนี้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของสมการไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่: อนุพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนหนึ่งเท่ากับโมเมนต์ของแรงรอบแกนเดียวกัน

สามารถแสดงได้ว่าความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นั้นมีอยู่

ในระบบปิด โมเมนต์ของแรงภายนอกคือ M = 0 และจากจุดไหน

นิพจน์ (4) เป็นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม: โมเมนตัมเชิงมุมของระบบปิดจะได้รับการอนุรักษ์ กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและกฎการอนุรักษ์พลังงานเป็นกฎพื้นฐานของธรรมชาติ มันเชื่อมโยงกับคุณสมบัติสมมาตรของอวกาศ - ไอโซโทรปีของมัน, เช่น, ด้วยความไม่แปรเปลี่ยน กฎทางกายภาพเกี่ยวกับการเลือกทิศทางของแกนพิกัดของระบบอ้างอิง (สัมพันธ์กับการหมุนของระบบปิดในอวกาศตามมุมใดๆ)

ที่นี่เราจะสาธิตกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมโดยใช้ม้านั่ง Zhukovsky ผู้ชายนั่งอยู่บนม้านั่งหมุนไปรอบๆ แกนตั้งและถือดัมเบลล์ไว้ในมือที่ยื่นออกมา (รูปที่ 2) หมุนโดยกลไกภายนอกด้วยความเร็วเชิงมุม ω1 หากมีคนกดดัมเบลล์เข้ากับร่างกายโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะลดลง แต่โมเมนตัมของแรงภายนอกมีค่าเท่ากับศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบจะถูกรักษาไว้ และความเร็วเชิงมุมของการหมุน ω2 จะเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกัน นักกายกรรมขณะกระโดดเหนือศีรษะ ดึงแขนและขาเข้ามาใกล้ลำตัวเพื่อลดโมเมนต์ความเฉื่อย และเพิ่มความเร็วเชิงมุมของการหมุน

ความดันในของเหลวและแก๊ส

โมเลกุลของก๊าซซึ่งแสดงการเคลื่อนที่ที่วุ่นวายและวุ่นวายไม่ได้ถูกผูกมัดหรือถูกผูกมัดอย่างอ่อนด้วยแรงอันตรกิริยา ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกมันจึงเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระเกือบ และเป็นผลจากการชนกัน กระจายไปทุกทิศทุกทางในขณะที่เติมปริมาตรทั้งหมดที่มีให้กับพวกมัน นั่นคือ ปริมาตรของก๊าซถูกกำหนดโดยภาชนะปริมาตรที่ครอบครองโดยก๊าซ

และของเหลวที่มีปริมาตรแน่นอนจะอยู่ในรูปของภาชนะที่บรรจุอยู่ แต่แตกต่างจากก๊าซในของเหลว ระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลคงที่โดยเฉลี่ย ดังนั้นของเหลวจึงมีปริมาตรเกือบคงที่

คุณสมบัติของของเหลวและก๊าซนั้นแตกต่างกันมากในหลาย ๆ ด้าน แต่มีหลายประการ ปรากฏการณ์ทางกลคุณสมบัติของพวกเขาถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เดียวกันและสมการที่เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้ กลศาสตร์ไฮโดรแอโรเมติกส์จึงเป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ที่ศึกษาสมดุลและการเคลื่อนที่ของก๊าซและของเหลว ปฏิสัมพันธ์ระหว่างพวกมันกับระหว่างของแข็งที่ไหลรอบๆ พวกมัน กล่าวคือ สมัครแล้ว วิธีการแบบครบวงจรเพื่อการศึกษาของเหลวและก๊าซ

ในกลศาสตร์ ของเหลวและก๊าซได้รับการพิจารณาด้วยความแม่นยำสูงอย่างต่อเนื่องและกระจายอย่างต่อเนื่องในส่วนของพื้นที่ที่พวกเขาครอบครอง ในก๊าซ ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับความดันอย่างมาก ก่อตั้งขึ้นจากประสบการณ์ ความสามารถในการบีบอัดของของเหลวและก๊าซมักจะถูกละเลย และแนะนำให้ใช้แนวคิดเดียว นั่นคือ ของเหลวที่อัดตัวไม่ได้ ซึ่งเป็นของเหลวที่มีความหนาแน่นเท่ากันทุกที่ ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

ให้เราวางในจานบางๆ พักไว้ เพื่อให้ส่วนของของเหลวอยู่ตาม ด้านที่แตกต่างกันจากแผ่นจะกระทำต่อองค์ประกอบ ΔS แต่ละชิ้นด้วยแรง ΔF ซึ่งจะมีขนาดเท่ากันและตั้งฉากกับไซต์ ΔS โดยไม่คำนึงถึงการวางแนวของไซต์ มิฉะนั้น การมีแรงสัมผัสจะทำให้อนุภาคของไหลอยู่ใน การเคลื่อนไหว (รูปที่ 1)

กำหนดปริมาณทางกายภาพ แรงปกติซึ่งกระทำจากด้านข้างของของเหลว (หรือก๊าซ) ต่อหน่วยพื้นที่ เรียกว่า ความดัน p / ของเหลว (หรือก๊าซ): p=ΔF/ΔS

หน่วยของความดันคือปาสกาล (Pa): 1 Pa เท่ากับความดันที่สร้างขึ้นโดยแรง 1 N ซึ่งกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิว 1 m2 ปกติ (1 Pa = 1 N/m2)

ความดันที่สมดุลของของเหลว (ก๊าซ) เป็นไปตามกฎของปาสคาล: ความดันในที่ใดๆ ของของไหลที่อยู่นิ่งจะเท่ากันในทุกทิศทาง และความดันจะถูกส่งเท่ากันทั่วทั้งปริมาตรทั้งหมดที่ของไหลอยู่นิ่ง

ให้เราตรวจสอบผลกระทบของน้ำหนักของของไหลที่มีต่อการกระจายของแรงดันภายในของไหลที่อัดตัวไม่ได้ เมื่อของเหลวอยู่ในสภาวะสมดุล ความดันตามเส้นแนวนอนใดๆ จะเท่ากันเสมอ มิฉะนั้นจะไม่มีความสมดุล ซึ่งหมายความว่าพื้นผิวที่ว่างของของไหลที่อยู่นิ่งจะเป็นแนวนอนเสมอ (เราไม่คำนึงถึงแรงดึงดูดของของไหลที่ผนังของภาชนะ) ถ้าของไหลไม่สามารถบีบอัดได้ ความหนาแน่นของของไหลจะไม่ขึ้นกับความดัน แล้วที่ ภาพตัดขวาง S ของคอลัมน์ของเหลว ความสูง h และความหนาแน่น ρ น้ำหนัก P=ρgSh ขณะที่ความดันที่ฐานด้านล่าง: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

เช่น ความดันเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นตรงตามความสูง ความดัน ρgh เรียกว่าความดันอุทกสถิต

ตามสูตร (1) แรงกดที่ชั้นล่างของของเหลวจะมากกว่าชั้นบน ดังนั้น แรงที่กำหนดโดยกฎของอาร์คิมิดีสจึงกระทำต่อวัตถุที่แช่อยู่ในของเหลว (ก๊าซ): ลอยขึ้น แรงเท่ากับน้ำหนักของของเหลว (ก๊าซ) ที่ร่างกายเคลื่อนที่: FA = ρgV โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของของเหลว V คือปริมาตรของร่างกายที่แช่อยู่ในของเหลว

1. พิจารณาการหมุนของร่างกายไปรอบๆ นิ่งแกน Z ให้เราแบ่งมวลทั้งหมดออกเป็นเซตของมวลมูลฐาน m ฉัน. ความเร็วของสายมวลประถม ม ฉัน– v i = w R ฉันโดยที่ร ฉัน– ระยะห่างของมวล ม ฉันจากแกนหมุน ดังนั้นพลังงานจลน์ ฉัน-th มวลเบื้องต้นจะเท่ากับ . พลังงานจลน์ทั้งหมดของร่างกาย: นี่คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนหมุน

ดังนั้น พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่คือ:

2. ปล่อยให้ร่างกายตอนนี้ หมุนเกี่ยวกับแกนบางส่วนและ แกนเคลื่อนที่เรื่อย ๆ ขนานไปกับตัวมันเอง

ตัวอย่าง: ลูกบอลที่กลิ้งโดยไม่เลื่อนทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน และจุดศูนย์ถ่วงซึ่งแกนหมุนผ่าน (จุด "O") จะเคลื่อนที่ไปข้างหน้า (รูปที่ 4.17)

ความเร็ว ฉัน- มวลเบื้องต้นของร่างกายนั้นเท่ากับ ความเร็วของจุด "O" ของร่างกายอยู่ที่ไหน – เวกเตอร์รัศมีที่กำหนดตำแหน่งของมวลมูลฐานที่สัมพันธ์กับจุด “O”

พลังงานจลน์ของมวลมูลฐานเท่ากับ:

หมายเหตุ: ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์อยู่ในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์และมีโมดูลัสเท่ากับ (รูปที่ 4.18)

โดยคำนึงถึงคำพูดนี้ เราสามารถเขียนได้ว่า ระยะทางของมวลจากแกนหมุนอยู่ที่ไหน ในเทอมที่สอง เราเปลี่ยนรูปของปัจจัยเป็นวัฏจักร หลังจากนั้นเราก็ได้

เพื่อให้ได้พลังงานจลน์ทั้งหมดของร่างกาย เราจะรวมการแสดงออกนี้กับมวลมูลฐานทั้งหมด โดยนำปัจจัยค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายผลรวม รับ

ผลรวมของมวลมูลฐานคือมวลของร่างกาย "m" นิพจน์จะเท่ากับผลคูณของมวลกายและเวกเตอร์รัศมีของศูนย์กลางความเฉื่อยของร่างกาย (ตามคำจำกัดความของศูนย์กลางความเฉื่อย) ในที่สุด - โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุด "O" ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้

ถ้าเราใช้จุดศูนย์กลางความเฉื่อยของตัว "C" เป็นจุด "O" เวกเตอร์รัศมีจะเท่ากับศูนย์และพจน์ที่สองจะหายไป จากนั้นแสดงว่าผ่าน - ความเร็วของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยและผ่าน - โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุด "C" เราได้รับ:

(4.6)

ดังนั้น พลังงานจลน์ของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่ในระนาบจึงประกอบด้วยพลังงานของการเคลื่อนที่แบบแปลด้วยความเร็ว ความเร็วเท่ากันจุดศูนย์กลางความเฉื่อย และพลังงานการหมุนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของร่างกาย

การทำงานของแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

ค้นหางานที่กระทำโดยแรงเมื่อร่างกายหมุนรอบแกน Z ที่คงที่

ให้แรงภายในและแรงภายนอกกระทำต่อมวล (แรงที่เกิดขึ้นอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนหมุน) (รูปที่ 4.19) กองกำลังเหล่านี้ทำให้ทันเวลา ด.ตงาน:

หลังจากดำเนินการเปลี่ยนรูปของปัจจัยในผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์แล้ว เราพบว่า:

ที่ไหน , - ตามลำดับ ช่วงเวลาของแรงภายในและภายนอกที่สัมพันธ์กับจุด "O"

เมื่อรวมมวลมูลฐานทั้งหมดแล้ว เราได้งานขั้นต้นที่ทำกับร่างกายในช่วงเวลานั้น ด.ต:

ผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายในมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้น แสดงถึงโมเมนต์รวมของแรงภายนอกที่ผ่าน เรามาถึงนิพจน์:

เป็นที่รู้จักกันว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์สองตัวเรียกว่าสเกลาร์ เท่ากับสินค้าโมดูลัสของหนึ่งในเวกเตอร์ที่คูณด้วยการฉายภาพที่สองไปยังทิศทางของอันแรกโดยคำนึงถึงว่า , (ทิศทางของแกน Z และตำแหน่งที่ตรงกัน) เราได้รับ

แต่ว ด.ต=ง j, เช่น มุมที่ร่างกายหมุนตามเวลา ด.ต. นั่นเป็นเหตุผล

เครื่องหมายของงานขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ M z , i.e. จากสัญลักษณ์เส้นโครงของเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ .

ดังนั้นเมื่อร่างกายหมุน กองกำลังภายในไม่มีงานทำและงานของแรงภายนอกถูกกำหนดโดยสูตร .

ทำงานให้กับ ช่วงสิ้นสุดเวลาถูกค้นพบโดยการบูรณาการ

หากการฉายภาพของโมเมนต์ที่เกิดจากแรงภายนอกในทิศทางนั้นคงที่ ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:

, เช่น. .

เหล่านั้น. การทำงานของแรงภายนอกระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุมีค่าเท่ากับผลคูณของเส้นโครงของโมเมนต์ของแรงภายนอกและทิศทางและมุมของการหมุน

ในทางกลับกัน การทำงานของแรงภายนอกที่กระทำต่อร่างกายจะเพิ่มพลังงานจลน์ของร่างกาย (หรือเท่ากับการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของร่างกายที่หมุน) มาแสดงกันเถอะ:

;

เพราะฉะนั้น,

. (4.7)

ด้วยตัวเอง:

แรงยืดหยุ่น;

กฎของฮุค

การบรรยาย 7

อุทกพลศาสตร์

เส้นและท่อของกระแส

อุทกพลศาสตร์ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลว แต่กฎของมันใช้กับการเคลื่อนที่ของก๊าซเช่นกัน ในการไหลของของไหลที่อยู่นิ่ง ความเร็วของอนุภาคในแต่ละจุดในอวกาศเป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเวลาและการทำงานของพิกัด ในการไหลนิ่ง เส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคของไหลจะก่อตัวเป็นกระแส ชุดของสตรีมไลน์สร้างท่อสตรีม (รูปที่ 5.1) เราสันนิษฐานว่าของเหลวไม่สามารถบีบอัดได้ จากนั้นปริมาตรของของเหลวที่ไหลผ่านส่วนต่างๆ ส 1 และ ส 2 จะเหมือนกัน ในหนึ่งวินาที ปริมาตรของของไหลเท่ากับ

, (5.1)

โดยที่และคือความเร็วของของไหลในส่วนตัดขวาง ส 1 และ ส 2 , และเวกเตอร์ และ ถูกกำหนดเป็น และ , โดยที่ และ เป็นบรรทัดฐานของส่วน ส 1 และ ส 2. สมการ (5.1) เรียกว่าสมการความต่อเนื่องเจ็ต จากนี้ไปความเร็วของของไหลจะแปรผกผันกับส่วนตัดขวางของท่อปัจจุบัน

สมการเบอร์นูลลี

เราจะพิจารณาของเหลวที่อัดตัวไม่ได้ในอุดมคติซึ่งไม่มีแรงเสียดทานภายใน (ความหนืด) ให้เราแยกท่อกระแสไฟบาง ๆ ในของเหลวที่ไหลนิ่ง (รูปที่ 5.2) โดยตัดขวาง S1และ S2ตั้งฉากกับลำธาร ในส่วน 1 ในเวลาอันสั้น ทีอนุภาคเคลื่อนที่เป็นระยะทาง ล. 1และในส่วน 2 - ในระยะทาง ล. 2. ผ่านทั้งสองส่วนทันเวลา ทีของเหลวในปริมาณที่เท่ากันจะผ่านไป วี= วี 1 = วี 2และพกของเหลวจำนวนมาก m=rV, ที่ไหน รคือความหนาแน่นของของเหลว การเปลี่ยนแปลงโดยรวม พลังงานกลของของเหลวทั้งหมดในท่อไหลระหว่างส่วน S1และ S2ซึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลา ที, สามารถถูกแทนที่ด้วยการเปลี่ยนแปลงของพลังงานปริมาตร วีซึ่งเกิดขึ้นเมื่อย้ายจากส่วนที่ 1 ไปยังส่วนที่ 2 ด้วยการเคลื่อนไหวดังกล่าว ไคเนติกส์และ พลังงานศักย์ปริมาณนี้และการเปลี่ยนแปลงพลังงานทั้งหมด

, (5.2)

โดยที่โวลต์ 1 และโวลต์ 2 - ความเร็วของอนุภาคของไหลในส่วนต่างๆ S1และ S2ตามลำดับ; ช- การเร่งความเร็ว แรงโน้มถ่วง; h1และ ชั่วโมง2- ความสูงของศูนย์กลางของส่วน

ใน ของเหลวในอุดมคติไม่มีการสูญเสียแรงเสียดทาน ดังนั้น พลังงานที่เพิ่มขึ้น ดีอีจะต้องเท่ากับงานที่ทำโดยแรงกดดันต่อปริมาตรที่จัดสรร ในกรณีที่ไม่มีแรงเสียดทาน งานนี้:

เราได้รับสมการทางขวามือของความเท่าเทียมกัน (5.2) และ (5.3) และถ่ายโอนเงื่อนไขที่มีดัชนีเดียวกันไปยังส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกัน

. (5.4)

ส่วนท่อ S1และ S2ถูกนำไปใช้โดยพลการ ดังนั้นจึงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่านิพจน์นั้นถูกต้องในส่วนใดของหลอดปัจจุบัน

. (5.5)

สมการ (5.5) เรียกว่าสมการแบร์นูลลี เพื่อความคล่องตัวในแนวนอน ชม. = คอสต์ ,และความเท่าเทียมกัน (5.4) ใช้แบบฟอร์ม

ร /2 + หน้า 1 = ร /2 + พี 2 , (5.6)

เหล่านั้น. แรงดันจะน้อยลง ณ จุดที่ความเร็วมากกว่า

แรงเสียดทานภายใน

ความหนืดมีอยู่ในของเหลวจริงซึ่งแสดงออกในความจริงที่ว่าการเคลื่อนที่ของของเหลวและก๊าซหยุดลงเองโดยธรรมชาติหากไม่มีสาเหตุที่ทำให้เกิด ให้เราพิจารณาการทดลองที่ชั้นของเหลวอยู่เหนือพื้นผิวคงที่ และจานที่ลอยอยู่บนพื้นผิวเคลื่อนที่จากด้านบนด้วยความเร็ว ส(รูปที่ 5.3) ประสบการณ์แสดงให้เห็นว่าการเลื่อนจานด้วย ความเร็วคงที่มีความจำเป็นต้องดำเนินการด้วยกำลัง เนื่องจากจานไม่ได้รับความเร่ง หมายความว่าการกระทำของแรงนี้มีความสมดุลโดยแรงอื่นที่มีขนาดเท่ากันและอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งก็คือแรงเสียดทาน . นิวตันแสดงให้เห็นว่าแรงเสียดทาน

, (5.7)

ที่ไหน ง- ความหนาของชั้นของเหลว h - ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดหรือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของของเหลว เครื่องหมายลบคำนึงถึงทิศทางที่แตกต่างกันของเวกเตอร์ เอฟ ทีอาร์และ โวลต์โอ หากเราตรวจสอบความเร็วของอนุภาคของไหลในตำแหน่งต่างๆ ของชั้น ปรากฎว่ามันเปลี่ยนไปตามกฎเชิงเส้น (รูปที่ 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

เราได้รับความแตกต่างของความเท่าเทียมกันนี้ dv/dz= โวลต์ 0 /ง. โดยคำนึงถึงสิ่งนี้

สูตร (5.7) ใช้แบบฟอร์ม

เอฟ ทีอาร์=- ชั่วโมง(dv/dz)S , (5.8)

ที่ไหน ชม- ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดแบบไดนามิก. ค่า dv/dzเรียกว่าการไล่ระดับความเร็ว มันแสดงให้เห็นว่าความเร็วที่เปลี่ยนไปตามทิศทางของแกนนั้นเร็วแค่ไหน ซี. ที่ dv/dz= การไล่ระดับความเร็ว const เป็นตัวเลขเท่ากับการเปลี่ยนแปลงความเร็ว โวลต์เมื่อมันเปลี่ยนไป ซีต่อหน่วย. เราใส่ตัวเลขในสูตร (5.8) ดีวี/ดีแซด =-1 และ ส= 1 เราได้รับ ชม. = ฉ. นี่หมายความว่า ความหมายทางกายภาพ h: ค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดเป็นตัวเลขเท่ากับแรงที่กระทำต่อชั้นของเหลวของหน่วยพื้นที่ที่มีการไล่ระดับความเร็ว เท่ากับหนึ่ง. หน่วยความหนืดของ SI เรียกว่า ปาสคาลวินาที (แทนด้วย Pa s) ในระบบ CGS หน่วยความหนืดคือ 1 จุด (P) โดยที่ 1 Pa s = 10P

กลศาสตร์.

คำถามที่ 1

ระบบอ้างอิง. ระบบอ้างอิงเฉื่อย หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ-ไอน์สไตน์

ระบบอ้างอิง- นี่คือชุดของร่างกายที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวของร่างกายที่กำหนดและระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับมัน

ระบบอ้างอิงเฉื่อย (ISO)- ระบบที่ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างอิสระอยู่นิ่งหรือเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ

หลักการสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ-ไอน์สไตน์- ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติทั้งหมดในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใดๆ เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันและมีลักษณะเหมือนกัน แบบฟอร์มทางคณิตศาสตร์. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ISO ทั้งหมดมีค่าเท่ากัน

คำถาม #2

สมการการเคลื่อนที่ ประเภทของการเคลื่อนไหว ร่างกายที่แข็งแรง. งานหลักของจลนศาสตร์

สมการการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ:

- สมการจลน์ของการเคลื่อนที่

ประเภทของการเคลื่อนไหวของร่างกายที่แข็ง:

1) การเคลื่อนไหวเชิงแปล - เส้นตรงใด ๆ ที่ลากในร่างกายจะเคลื่อนที่ขนานไปกับตัวมันเอง

2) การเคลื่อนไหวแบบหมุน - จุดใด ๆ ของร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลม

φ = φ(เสื้อ)

งานหลักของจลนศาสตร์- นี่คือการได้รับเวลาขึ้นอยู่กับความเร็ว V= V(t) และพิกัด (หรือรัศมีเวกเตอร์) r = r(t) ของจุดวัสดุจากการขึ้นต่อกันของเวลาที่ทราบของความเร่ง a = a(t) และ ที่รู้จักกัน เงื่อนไขเริ่มต้น V 0 และ ร 0 .

คำถาม #7

ชีพจร (จำนวนการเคลื่อนไหว) - ปริมาณทางกายภาพของเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะการวัด การเคลื่อนไหวทางกลร่างกาย. ในกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมของร่างกาย มีค่าเท่ากับสินค้าฝูง มชี้ไปที่ความเร็วของมัน โวลต์ทิศทางของโมเมนตัมตรงกับทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว:

ใน กลศาสตร์เชิงทฤษฎี โมเมนตัมทั่วไปเป็นอนุพันธ์ย่อยของลากรองจ์ของระบบที่เกี่ยวกับความเร็วทั่วไป

หากลากรองจ์ของระบบไม่ขึ้นอยู่กับบาง พิกัดทั่วไปแล้วเนื่องจาก สมการลากรองจ์ .

สำหรับอนุภาคอิสระ ฟังก์ชัน Lagrange มีรูปแบบดังนี้:

ความเป็นอิสระของ Lagrangian ของระบบปิดจากตำแหน่งในอวกาศตามมาจากทรัพย์สิน ความสม่ำเสมอของพื้นที่: สำหรับระบบที่แยกได้ดี ลักษณะการทำงานไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เราวางไว้ โดย ทฤษฎีบทของโนเธอร์ความสม่ำเสมอนี้แสดงถึงการอนุรักษ์ปริมาณทางกายภาพบางอย่าง ปริมาณนี้เรียกว่าแรงกระตุ้น (ปกติ ไม่ใช่ทั่วไป)

ในกลศาสตร์คลาสสิก สมบูรณ์ โมเมนตัมระบบของจุดวัสดุเรียกว่าปริมาณเวกเตอร์เท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลของจุดวัสดุด้วยความเร็ว:

ดังนั้นปริมาณจึงเรียกว่าโมเมนตัมของจุดวัสดุหนึ่งจุด เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับความเร็วของอนุภาค หน่วยของโมเมนตัมใน ระบบระหว่างประเทศหน่วย (SI) คือ กิโลกรัมเมตรต่อวินาที(กก. ลบ.ม./วินาที)

หากเรากำลังจัดการกับร่างกายที่มีขนาดจำกัด เพื่อกำหนดโมเมนตัมของมัน จำเป็นต้องแบ่งร่างกายออกเป็นส่วนเล็กๆ ซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดสำคัญและผลรวมของพวกมัน ดังนั้นเราจึงได้รับ:

โมเมนตัมของระบบที่ไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกใด ๆ (หรือได้รับการชดเชย) เก็บรักษาไว้ภายในเวลาที่กำหนด:

การอนุรักษ์โมเมนตัมในกรณีนี้เป็นไปตามกฎข้อที่สองและสามของนิวตัน: การเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับแต่ละจุดของวัตถุที่ประกอบกันเป็นระบบและรวมเข้ากับจุดของวัสดุทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นระบบโดยอาศัยกฎข้อที่สามของนิวตัน กฎหมายที่เราได้รับความเท่าเทียมกัน (*)

ใน กลศาสตร์สัมพัทธภาพโมเมนตัมสามมิติของระบบจุดวัสดุที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์คือปริมาณ

ที่ไหน ฉัน- น้ำหนัก ฉันจุดวัสดุ

สำหรับระบบปิดของจุดวัสดุที่ไม่มีปฏิกิริยา ค่านี้จะถูกรักษาไว้ อย่างไรก็ตาม โมเมนตัมสามมิติไม่ใช่ปริมาณที่ไม่แปรผันเชิงสัมพัทธภาพ เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง ค่าที่มีความหมายมากขึ้นจะเป็นโมเมนตัมสี่มิติ ซึ่งสำหรับจุดวัสดุหนึ่งจุดจะถูกกำหนดเป็น

ในทางปฏิบัติ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างมวล โมเมนตัม และพลังงานของอนุภาคมักใช้:

โดยหลักการแล้ว สำหรับระบบของจุดวัสดุที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์นั้น 4 โมเมนตาจะถูกรวมเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ เราควรคำนึงถึงโมเมนตัมไม่เพียงแต่ของอนุภาคที่ประกอบกันเป็นระบบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโมเมนตัมของสนามปฏิสัมพันธ์ระหว่างพวกมันด้วย ดังนั้น ปริมาณที่มีความหมายมากกว่าในกลศาสตร์สัมพัทธภาพคือพลังงาน-โมเมนตัมเทนเซอร์ ซึ่งเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์อย่างสมบูรณ์

คำถาม #8

โมเมนต์ความเฉื่อย- ปริมาณสเกลาร์ทางกายภาพ การวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน เช่นเดียวกับที่มวลของวัตถุเป็นการวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบแปล เป็นลักษณะของการกระจายมวลในร่างกาย: โมเมนต์ความเฉื่อย เท่ากับผลรวมผลคูณของมวลมูลฐานคูณด้วยกำลังสองของระยะทางถึงชุดฐาน

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน

โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกนของวัตถุบางส่วน

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบกลไกเทียบกับแกนคงที่ ("โมเมนต์ความเฉื่อยตามแนวแกน") เรียกว่าค่า เจ เอเท่ากับผลรวมของผลคูณของมวลชนทั้งหมด นจุดวัสดุของระบบเป็นกำลังสองของระยะทางไปยังแกน:

ฉัน- น้ำหนัก ฉัน-th จุดที่
ฉัน- ระยะทางจาก ฉัน-th ชี้ไปที่แกน

แกน โมเมนต์ความเฉื่อยร่างกาย เจ เอเป็นการวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกน เช่นเดียวกับที่มวลของวัตถุเป็นการวัดความเฉื่อยของวัตถุในการเคลื่อนที่แบบแปล

dm = ρ ดี.วี- มวลขององค์ประกอบปริมาตรเล็ก ๆ ของร่างกาย ดี.วี,
ρ - ความหนาแน่น
ร- ระยะห่างจากองค์ประกอบ ดี.วีเพื่อแกน

หากร่างกายเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือความหนาแน่นของมันจะเท่ากันทุกที่

ที่มาของสูตร

dmและโมเมนต์ความเฉื่อย ดีเจ ไอ. แล้ว

ทรงกระบอกผนังบาง (วงแหวน, ห่วง)

ที่มาของสูตร

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนประกอบ การแบ่งทรงกระบอกที่มีผนังบางออกเป็นองค์ประกอบที่มีมวล dmและโมเมนต์ความเฉื่อย ดีเจ ไอ. แล้ว

เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของทรงกระบอกผนังบางอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะทางเท่ากัน สูตร (1) จึงถูกแปลงเป็นรูปแบบ

ทฤษฎีบทของสไตเนอร์

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่แข็งเมื่อเทียบกับแกนใด ๆ ไม่เพียงขึ้นอยู่กับมวล รูปร่าง และขนาดของร่างกาย แต่ยังขึ้นอยู่กับตำแหน่งของร่างกายที่เกี่ยวกับแกนนี้ด้วย ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ (Huygens-Steiner theorem) โมเมนต์ความเฉื่อยร่างกาย เจเทียบกับแกนโดยพลการเท่ากับผลรวม โมเมนต์ความเฉื่อยร่างกายนี้ เจซีสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายขนานกับแกนที่พิจารณา และผลคูณของมวลกาย มต่อระยะตารางเมตร งระหว่างเพลา:

ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายคือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนขนานที่อยู่ห่างจากจุดนั้นเท่ากับ

มวลรวมของร่างกายอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งรอบแกนที่ผ่านจุดสิ้นสุดคือ:

พลังงานหมุนเวียน

พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน- พลังงานของร่างกายที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของมัน

หลัก ลักษณะทางจลนศาสตร์การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย - ความเร็วเชิงมุม (ω) และ ความเร่งเชิงมุม. ลักษณะไดนามิกหลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนหมุน z:

Kz = อิซω

และพลังงานจลน์

โดยที่ I z คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนหมุน

ตัวอย่างที่คล้ายกันสามารถพบได้เมื่อพิจารณาโมเลกุลที่หมุนด้วยแกนหลักของความเฉื่อย ฉัน 1, ฉัน 2และ ฉัน 3. พลังงานการหมุนของโมเลกุลดังกล่าวถูกกำหนดโดยนิพจน์

ที่ไหน ω 1, ω 2, และ ∆ 3เป็นองค์ประกอบหลักของความเร็วเชิงมุม

ในกรณีทั่วไป สูตรหาพลังงานระหว่างการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม:

, ที่ไหน ฉันคือเทนเซอร์ความเฉื่อย

คำถาม #9

ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น (โมเมนตัมเชิงมุมโมเมนตัมเชิงมุม ช่วงเวลาการโคจร, โมเมนตัมเชิงมุม) แสดงลักษณะของปริมาณการเคลื่อนที่แบบหมุน ปริมาณที่ขึ้นอยู่กับมวลที่หมุน การกระจายของแกนหมุนอย่างไร และความเร็วของการหมุน

ควรสังเกตว่าการหมุนที่นี่เข้าใจในแง่ของ ความหมายกว้างไม่ใช่แค่การหมุนรอบแกนปกติเท่านั้น ตัวอย่างเช่นแม้เมื่อ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงร่างกายผ่านจุดจินตภาพโดยพลการซึ่งไม่ได้อยู่ในแนวการเคลื่อนที่ แต่ก็มีโมเมนตัมเชิงมุมด้วย โมเมนตัมเชิงมุมอาจมีบทบาทมากที่สุดในการอธิบายการเคลื่อนที่แบบหมุนที่เกิดขึ้นจริง อย่างไรก็ตาม เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับปัญหาในระดับที่กว้างกว่ามาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากปัญหามีความสมมาตรแบบกึ่งกลางหรือแนวแกน แต่ไม่ใช่เฉพาะในกรณีเหล่านี้เท่านั้น)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม(กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม) - ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดเกี่ยวกับแกนใด ๆ สำหรับระบบปิดจะคงที่ในกรณีของสมดุลของระบบ ตามนี้ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบปิดที่เกี่ยวกับอนุพันธ์ที่ไม่ใช่เวลาของโมเมนตัมเชิงมุมคือโมเมนตัมของแรง:

ดังนั้นข้อกำหนดของการปิดระบบสามารถลดลงได้ตามข้อกำหนดที่ว่าช่วงเวลาหลัก (ทั้งหมด) ของแรงภายนอกเท่ากับศูนย์:

ซึ่งเป็นโมเมนต์หนึ่งของแรงที่กระทำต่อระบบของอนุภาค (แต่แน่นอนว่าหากไม่มีแรงภายนอกเลยก็จะเป็นไปตามข้อกำหนดนี้ด้วย)

ในทางคณิตศาสตร์ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมมีดังต่อไปนี้จากไอโซโทรปีของปริภูมิ นั่นคือ จากความไม่แปรเปลี่ยนของปริภูมิที่เกี่ยวกับการหมุนผ่านมุมใดๆ เมื่อหมุนผ่านมุมเล็กน้อยโดยพลการ เวกเตอร์รัศมีของอนุภาคที่มีตัวเลขจะเปลี่ยนตาม และความเร็ว - ฟังก์ชันลากรองจ์ของระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการหมุนดังกล่าว เนื่องจากไอโซโทรปีของอวกาศ นั่นเป็นเหตุผล

ลักษณะไดนามิกหลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนหมุน z:

และพลังงานจลน์

ในกรณีทั่วไป สูตรหาพลังงานระหว่างการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม:

, เทนเซอร์ความเฉื่อยอยู่ที่ไหน

ในอุณหพลศาสตร์

ด้วยเหตุผลเดียวกันกับในกรณีของการเคลื่อนที่แบบแปลภาษา การแบ่งส่วนเท่ากันหมายความว่าที่สมดุลทางความร้อน พลังงานการหมุนโดยเฉลี่ยของแต่ละอนุภาคของก๊าซเชิงเดี่ยวคือ: (3/2)k BT. ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนเท่ากันช่วยให้สามารถคำนวณความเร็วเชิงมุมของรูท-ค่าเฉลี่ย-กำลังสองเชิงมุมของโมเลกุลได้

ดูสิ่งนี้ด้วย

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "พลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุน" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ พลังงาน (ความหมาย) พลังงาน มิติ ... วิกิพีเดีย

การเคลื่อนไหว- การเคลื่อนไหว สารบัญ: เรขาคณิต ง....................452 ไคเนมาติกส์ ง...................456 พลวัต ง. ...................461 กลไกของมอเตอร์ ......................465 วิธีการศึกษา ง. ของบุคคล ..........471 พยาธิวิทยา ง. ของบุคคล ........... 474 ...... สารานุกรมการแพทย์ขนาดใหญ่

พลังงานจลน์เป็นพลังงานของระบบกลไกซึ่งขึ้นอยู่กับความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ มักจะจัดสรรพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบแปลและแบบหมุน เคร่งครัดกว่านั้น พลังงานจลน์คือความแตกต่างระหว่างผลรวม ... ... Wikipedia

การเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของเปปไทด์ α การเคลื่อนที่แบบสั่นสะเทือนที่ซับซ้อนของอะตอมที่ประกอบเป็นเปปไทด์นั้นเป็นแบบสุ่ม และพลังงานของอะตอมแต่ละตัวจะผันผวนเป็นวงกว้าง แต่การใช้กฎการแบ่งส่วนจะคำนวณเป็นพลังงานจลน์เฉลี่ยของแต่ละ ... ... Wikipedia

- (marées ฝรั่งเศส, Gezeiten เยอรมัน, กระแสน้ำอังกฤษ) ความผันผวนเป็นระยะระดับน้ำเนื่องจากแรงดึงดูดของดวงจันทร์และดวงอาทิตย์ ข้อมูลทั่วไป. P. เห็นได้ชัดเจนที่สุดตามชายฝั่งมหาสมุทร ทันทีหลังจากน้ำลงของน้ำลงที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระดับของมหาสมุทรจะเริ่ม ... ... พจนานุกรมสารานุกรมฉ. Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

เรือห้องเย็นงาช้าง Tirupati เสถียรภาพเริ่มต้นเป็นลบ ความสามารถในการทรงตัว ... Wikipedia

เรือห้องเย็น Ivory Tirupati ความเสถียรเริ่มต้นเป็นลบ ความเสถียร ความสามารถของยานที่ลอยน้ำได้ในการต้านทาน แรงภายนอกทำให้มันม้วนหรือเล็มและกลับสู่สภาวะสมดุลเมื่อสิ้นสุดการก่อกวน ... ... Wikipedia

พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของอนุภาคทั้งหมดในร่างกาย:

มวลของอนุภาคใด ๆ ความเร็วเชิงเส้น (เส้นรอบวง) นั้นแปรผันตามระยะทางของอนุภาคนี้จากแกนหมุน แทนนิพจน์นี้และใช้ความเร็วเชิงมุม o ทั่วไปสำหรับอนุภาคทั้งหมดจากเครื่องหมายของผลรวม เราพบว่า:

สูตรสำหรับพลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนสามารถลดลงเป็นรูปแบบที่คล้ายกับการแสดงออกของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบเคลื่อนที่ได้ ถ้าเราแนะนำค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุเป็นผลคูณของมวลของจุดและกำลังสองของระยะทางจากแกนหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายคือผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุทั้งหมดของร่างกาย:

ดังนั้น พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

สูตร (2) แตกต่างจากสูตรที่กำหนดพลังงานจลน์ของวัตถุในการเคลื่อนที่เชิงแปล โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยเข้ามาแทนที่มวลกาย และแทนที่ความเร็วคือความเร็วกลุ่ม

พลังงานจลน์ขนาดใหญ่ของมู่เล่หมุนถูกนำมาใช้ในเทคโนโลยีเพื่อรักษาความสม่ำเสมอของเครื่องจักรภายใต้ภาระที่เปลี่ยนแปลงกะทันหัน ในตอนแรก เพื่อนำมู่เล่ที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยมากเข้าสู่การหมุน เครื่องต้องการงานจำนวนมาก แต่เมื่อเปิดโหลดจำนวนมากอย่างกะทันหัน เครื่องจะไม่หยุดและทำงานเนื่องจากพลังงานจลน์สำรองของมู่เล่ .

มู่เล่ขนาดใหญ่เป็นพิเศษใช้ในโรงรีดที่ขับเคลื่อนด้วยมอเตอร์ไฟฟ้า นี่คือคำอธิบายของหนึ่งในล้อเหล่านี้: "ล้อมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3.5 ม. และมีน้ำหนัก ที่ความเร็วปกติ 600 รอบต่อนาที พลังงานจลน์ของล้อจะเป็นเช่นนั้นในขณะที่หมุนล้อจะให้กำลังแก่โรงสี จำนวน 20,000 ลิตร กับ. แรงเสียดทานในตลับลูกปืนถูกควบคุมให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้แรงกดดันในเทพนิยาย และเพื่อหลีกเลี่ยงผลกระทบที่เป็นอันตรายของแรงเฉื่อยจากแรงเหวี่ยง ล้อจึงมีความสมดุลเพื่อให้น้ำหนักที่วางอยู่บนเส้นรอบวงของล้อทำให้ไม่หยุดนิ่ง

เรานำเสนอ (โดยไม่ต้องทำการคำนวณ) ค่าของช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของวัตถุบางส่วน (สันนิษฐานว่าแต่ละวัตถุเหล่านี้มีความหนาแน่นเท่ากันในทุกส่วน)

โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับระนาบ (รูปที่ 55):

โมเมนต์ความเฉื่อยของจานทรงกลม (หรือทรงกระบอก) รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับระนาบของมัน (โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของดิสก์ รูปที่ 56):

โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์กลมบาง ๆ รอบแกนที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (โมเมนต์ความเฉื่อยเส้นศูนย์สูตรของดิสก์ รูปที่ 57):

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบอล:

โมเมนต์ความเฉื่อยของชั้นทรงกลมบางรัศมีรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง:

โมเมนต์ความเฉื่อยของชั้นทรงกลมหนา (ลูกบอลกลวงที่มีรัศมีผิวนอกและรัศมีโพรง) รอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง:

การคำนวณช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของร่างกายดำเนินการโดยใช้ อินทิกรัลแคลคูลัส. เพื่อให้ทราบแนวทางการคำนวณดังกล่าว เราจะหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนเทียบกับแกนที่ตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 58) ปล่อยให้มีส่วนของแท่งความหนาแน่น เราแยกส่วนเล็ก ๆ ของแกนซึ่งมีความยาวและอยู่ที่ระยะ x จากแกนหมุน จากนั้น มวลของมัน เนื่องจากมันอยู่ที่ระยะ x จากแกนหมุน ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของมัน เรารวมจากศูนย์ถึง I:

โมเมนต์ความเฉื่อย ลูกบาศก์เกี่ยวกับแกนสมมาตร (รูปที่ 59)

โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวน (รูปที่ 60)

ให้เราพิจารณาว่าพลังงานของการหมุนของวัตถุที่กลิ้ง (โดยไม่เลื่อน) ไปตามระนาบนั้นเชื่อมโยงกับพลังงานของการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้อย่างไร

พลังงานของการเคลื่อนที่แนวขวางของวัตถุกลิ้งคือ โดยที่มวลของวัตถุและความเร็วของการเคลื่อนที่แนวขวางคือที่ใด ให้แสดงความเร็วเชิงมุมของการหมุนของลำตัวที่กลิ้งและรัศมีของลำตัว มันง่ายที่จะเข้าใจได้ว่าความเร็วของการเคลื่อนที่แบบแปลของร่างกายที่กลิ้งโดยไม่เลื่อนนั้นเท่ากับความเร็วรอบของร่างกาย ณ จุดที่ร่างกายสัมผัสกับระนาบ (ในช่วงเวลาที่ร่างกายทำการปฏิวัติหนึ่งครั้ง จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายจึงเคลื่อนที่ไปได้ไกล

ดังนั้น,

พลังงานหมุนเวียน

เพราะฉะนั้น,

แทนค่าข้างต้นของช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย เราพบว่า:

ก) พลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนของห่วงกลิ้งเท่ากับพลังงานของการเคลื่อนที่แบบแปล;

b) พลังงานของการหมุนของดิสก์ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่กลิ้งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของพลังงานของการเคลื่อนที่แบบแปล

c) พลังงานของการหมุนของลูกบอลที่เป็นเนื้อเดียวกันที่กลิ้งเป็นพลังงานของการเคลื่อนที่แบบแปล

การพึ่งพาโมเมนต์ความเฉื่อยกับตำแหน่งของแกนหมุนให้แกน (รูปที่ 61) ที่มีจุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่จุด C หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม (o รอบแกน O ตั้งฉากกับระนาบของภาพวาด สมมติว่าในช่วงเวลาหนึ่งมันเคลื่อนที่จากตำแหน่ง A B ไป และจุดศูนย์ถ่วงอธิบายถึงส่วนโค้ง แท่งการเคลื่อนที่นี้อาจพิจารณาได้เหมือนกับว่าแท่งเคลื่อนที่ในขั้นแรก (นั่นคือขนานกับตัวมันเอง) เคลื่อนไปยังตำแหน่งแล้วหมุนรอบ C ไปยังตำแหน่ง ให้เราแสดงว่า (ระยะห่างของจุดศูนย์กลางของ แรงโน้มถ่วงจากแกนหมุน) โดย a และมุมโดย เมื่อแกนเคลื่อนที่จากตำแหน่ง และในตำแหน่ง การกระจัดของอนุภาคแต่ละตัวจะเหมือนกับการกระจัดของจุดศูนย์ถ่วง นั่นคือ เท่ากับ หรือ ถึง เมื่อได้การเคลื่อนที่ที่แท้จริงของแท่งแล้วเราสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนไหวทั้งสองนี้ทำพร้อมกัน เกี่ยวกับแกนที่ผ่าน O สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วน