ขั้นแรกให้พิจารณาวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ OZ ด้วยความเร็วเชิงมุม ω (รูปที่ 5.6) ให้แบ่งร่างกายออกเป็นมวลเบื้องต้น ความเร็วเชิงเส้นของมวลเบื้องต้นคือ โดยที่ระยะห่างจากแกนหมุน พลังงานจลน์ ผม-มวลเบื้องต้นจะเท่ากับ

.

พลังงานจลน์ของร่างกายทั้งหมดประกอบขึ้นจากพลังงานจลน์ของส่วนต่างๆ ของร่างกาย ดังนั้น

.

เมื่อพิจารณาว่าผลรวมทางด้านขวาของความสัมพันธ์นี้แทนโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนของการหมุน เราจะได้

. (5.30)

สูตรสำหรับพลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้ (5.30) นั้นคล้ายคลึงกับสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุ พวกเขาได้มาจากหลังโดยการทดแทนอย่างเป็นทางการ .

ในกรณีทั่วไป การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งสามารถแสดงเป็นผลรวมของการเคลื่อนที่ - การแปลด้วยความเร็วเท่ากับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ และการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมรอบแกนชั่วขณะที่เคลื่อนผ่าน ศูนย์กลางของมวล ในกรณีนี้ การแสดงออกของพลังงานจลน์ของร่างกายจะอยู่ในรูป

.

ตอนนี้ให้เราหางานที่ทำโดยโมเมนต์ของแรงภายนอกระหว่างการหมุนของร่างกายที่แข็งกระด้าง งานเบื้องต้นของกองกำลังภายนอกในเวลา dtจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของร่างกาย

หาผลต่างจากพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน เราพบว่าการเพิ่มขึ้นนั้น

.

ตามสมการพื้นฐานของไดนามิกสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน

โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์เหล่านี้ เราลดนิพจน์สำหรับงานระดับประถมศึกษาลงในรูปแบบ

โดยที่การฉายภาพโมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงภายนอกในทิศทางของแกนหมุน OZ คือมุมของการหมุนของร่างกายสำหรับช่วงเวลาที่พิจารณา

การรวม (5.31) เราได้รับสูตรสำหรับการทำงานของแรงภายนอกที่กระทำต่อร่างกายที่หมุนได้

ถ้า , แล้วสูตรจะถูกทำให้ง่ายขึ้น

ดังนั้นการทำงานของแรงภายนอกระหว่างการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ถูกกำหนดโดยการกระทำของการฉายภาพโมเมนต์ของแรงเหล่านี้บนแกนที่กำหนด

ไจโรสโคป

ไจโรสโคปเป็นตัวสมมาตรที่หมุนอย่างรวดเร็วซึ่งแกนของการหมุนสามารถเปลี่ยนทิศทางในอวกาศได้ เพื่อให้แกนของไจโรสโคปสามารถหมุนได้อย่างอิสระในอวกาศ จึงวางไจโรสโคปไว้ในระบบกันสะเทือนที่เรียกว่า gimbal (รูปที่ 5.13) มู่เล่ของไจโรสโคปหมุนในกรงวงแหวนด้านในรอบแกน C 1 C 2 ที่ผ่านจุดศูนย์ถ่วง ในทางกลับกัน กรงด้านในสามารถหมุนในกรงด้านนอกรอบแกน B 1 B 2 ตั้งฉากกับ C 1 C 2 ได้ สุดท้าย การแข่งขันรอบนอกสามารถหมุนได้อย่างอิสระในลูกปืนสตรัทรอบแกน A 1 A 2 ตั้งฉากกับแกน C 1 C 2 และ B 1 B 2 . ทั้งสามแกนตัดกันที่จุดคงที่ O ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของช่วงล่างหรือจุดศูนย์กลางของไจโรสโคป ไจโรสโคปใน gimbal มีอิสระสามองศา ดังนั้นจึงสามารถหมุนรอบจุดศูนย์กลางของ gimbal ได้ หากจุดศูนย์กลางของไจโรสโคปตรงกับจุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์แรงโน้มถ่วงของทุกส่วนของไจโรสโคปที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของตัวกันสะเทือนจะเท่ากับศูนย์ ไจโรสโคปดังกล่าวเรียกว่าสมดุล

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของไจโรสโคปซึ่งพบว่ามีการนำไปใช้อย่างกว้างขวางในด้านต่างๆ

1) ความยั่งยืน

เมื่อหมุนชั้นวางไจโรสโคปแบบสมดุลใดๆ แกนของการหมุนจะยังคงอยู่ในทิศทางเดียวกันกับกรอบอ้างอิงของห้องปฏิบัติการ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมด เท่ากับโมเมนต์ของแรงเสียดทานมีขนาดเล็กมากและในทางปฏิบัติจะไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงมุมของไจโรสโคป กล่าวคือ

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมชี้ไปตามแกนของการหมุนของไจโรสโคป การวางแนวของมันจะต้องไม่เปลี่ยนแปลง

หากแรงภายนอกกระทำการในช่วงเวลาสั้น ๆ อินทิกรัลที่กำหนดการเพิ่มของโมเมนตัมเชิงมุมจะมีค่าน้อย

. (5.34)

ซึ่งหมายความว่าภายใต้อิทธิพลระยะสั้นของกองกำลังขนาดใหญ่ การเคลื่อนไหวของไจโรสโคปที่สมดุลจะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย ไจโรสโคปยังคงต้านทานความพยายามทั้งหมดที่จะเปลี่ยนขนาดและทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมของมัน ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้คือความเสถียรที่โดดเด่นซึ่งการเคลื่อนที่ของไจโรสโคปได้รับหลังจากหมุนอย่างรวดเร็ว คุณสมบัติของไจโรสโคปนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการควบคุมการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน เรือ จรวด และยานพาหนะอื่นๆ โดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม หากไจโรสโคปถูกกระทำเป็นเวลานานโดยแรงภายนอกคงที่ในทิศทาง จากนั้นแกนของไจโรสโคปจะถูกสร้างขึ้นในท้ายที่สุดในทิศทางของโมเมนต์ของแรงภายนอก ปรากฏการณ์นี้ใช้ในไจโรคอมพาส อุปกรณ์นี้เป็นไจโรสโคปซึ่งแกนสามารถหมุนได้อย่างอิสระในระนาบแนวนอน เนื่องจากการหมุนของโลกในแต่ละวันและการกระทำของโมเมนต์ของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง แกนของไจโรสโคปจึงหมุนเพื่อให้มุมระหว่างและกลายเป็นน้อยที่สุด (รูปที่ 5.14) ซึ่งสอดคล้องกับตำแหน่งของแกนไจโรสโคปในระนาบเมริเดียน

2). ผลไจโรสโคปิก

หากแรงคู่หนึ่งและถูกนำไปใช้กับไจโรสโคปที่หมุนอยู่โดยมุ่งที่จะหมุนไปรอบ ๆ แกนที่ตั้งฉากกับแกนของการหมุนจากนั้นมันก็จะหมุนไปรอบ ๆ แกนที่สามซึ่งตั้งฉากกับสองอันแรก (รูปที่ 5.15) พฤติกรรมที่ผิดปกติของไจโรสโคปนี้เรียกว่าเอฟเฟกต์ไจโรสโคป อธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าโมเมนต์ของแรงคู่หนึ่งมุ่งตรงไปตามแกน O 1 O 1 และการเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์โดยค่าเมื่อเวลาผ่านไปจะมีทิศทางเดียวกัน เป็นผลให้เวกเตอร์ใหม่จะหมุนรอบแกน O 2 O 2 ดังนั้นพฤติกรรมที่ดูเหมือนผิดปกติของไจโรสโคปจึงสอดคล้องกับกฎของพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างเต็มที่

3). ไจโรพรีเซชั่น

การเคลื่อนตัวของไจโรสโคปคือการเคลื่อนที่รูปกรวยของแกน มันเกิดขึ้นเมื่อโมเมนต์ของแรงภายนอกซึ่งคงขนาดคงที่หมุนไปพร้อม ๆ กันกับแกนของไจโรสโคปทำให้เกิดมุมฉากกับมันตลอดเวลา เพื่อแสดงการพรีเซชั่น ล้อจักรยานพร้อมเพลาขยาย หมุนเร็ว (รูปที่ 5.16) สามารถให้บริการได้

หากล้อถูกระงับโดยส่วนปลายที่ยื่นออกมาของเพลา เพลาของล้อจะเริ่มหมุนรอบแกนแนวตั้งภายใต้การกระทำของน้ำหนักของมันเอง ส่วนบนที่หมุนได้เร็วยังสามารถใช้เป็นเครื่องสาธิตการเคลื่อนตัวได้

ค้นหาสาเหตุของการหมุนวนของไจโรสโคป พิจารณาไจโรสโคปที่ไม่สมดุลซึ่งแกนสามารถหมุนได้อย่างอิสระรอบจุด O (รูปที่ 5.16) โมเมนต์แรงโน้มถ่วงที่ใช้กับไจโรสโคปจะมีขนาดเท่ากัน

โดยที่มวลของไจโรสโคปคือระยะห่างจากจุด O ถึงจุดศูนย์กลางมวลของไจโรสโคปคือมุมที่เกิดจากแกนของไจโรสโคปที่มีแนวตั้ง เวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบแนวตั้งที่ผ่านแกนของไจโรสโคป

ภายใต้การกระทำของช่วงเวลานี้ โมเมนตัมเชิงมุมของไจโรสโคป (จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด O) จะเพิ่มขึ้นตามเวลา และระนาบแนวตั้งที่ผ่านแกนของไจโรสโคปจะหมุนเป็นมุม เวกเตอร์จะตั้งฉากกับ ดังนั้น โดยไม่เปลี่ยนขนาด เวกเตอร์จะเปลี่ยนทิศทางเท่านั้น ในกรณีนี้ หลังจากนั้นไม่นาน ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเวกเตอร์และจะเหมือนกับในช่วงเวลาเริ่มต้น เป็นผลให้แกนของไจโรสโคปจะหมุนรอบแนวตั้งอย่างต่อเนื่องโดยอธิบายรูปกรวย การเคลื่อนไหวนี้เรียกว่า precession

ให้เรากำหนดความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนตัว ตามรูปที่ 5.16 มุมการหมุนของระนาบผ่านแกนของกรวยและแกนของไจโรสโคปเท่ากับ

โมเมนตัมเชิงมุมของไจโรสโคปอยู่ที่ไหน และมีการเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป

หารด้วย โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์และการเปลี่ยนแปลงข้างต้น เราจะได้ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่

. (5.35)

สำหรับไจโรสโคปที่ใช้ในเทคโนโลยี ความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนตัวจะน้อยกว่าความเร็วในการหมุนของไจโรสโคปหลายล้านเท่า

โดยสรุป เราสังเกตว่าปรากฏการณ์ precession นั้นยังพบเห็นได้ในอะตอมเนื่องจากการเคลื่อนที่ของวงโคจรของอิเล็กตรอน

ตัวอย่างการใช้กฎแห่งพลวัต

เมื่อหมุน

1. พิจารณาตัวอย่างบางส่วนของกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งสามารถนำไปใช้ได้โดยใช้ม้านั่งของ Zhukovsky ในกรณีที่ง่ายที่สุด ม้านั่ง Zhukovsky เป็นแพลตฟอร์มรูปดิสก์ (เก้าอี้) ที่สามารถหมุนรอบแกนแนวตั้งบนตลับลูกปืนได้อย่างอิสระ (รูปที่ 5.17) ผู้สาธิตนั่งหรือยืนบนม้านั่ง หลังจากนั้นก็เคลื่อนตัวแบบหมุน เนื่องจากแรงเสียดทานที่เกิดจากการใช้ตลับลูกปืนมีขนาดเล็กมาก โมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่ประกอบด้วยม้านั่งและเครื่องสาธิต สัมพันธ์กับแกนหมุน ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันเวลาหากปล่อยระบบไว้เอง . หากผู้สาธิตถือดัมเบลล์หนักไว้ในมือและกางแขนออกด้านข้าง เขาจะเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ ดังนั้นความเร็วเชิงมุมของการหมุนจะต้องลดลงเพื่อให้โมเมนตัมเชิงมุมไม่เปลี่ยนแปลง

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราเขียนสมการสำหรับกรณีนี้

โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของบุคคลและม้านั่งอยู่ที่ไหน และเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของดัมเบลล์ในตำแหน่งที่หนึ่งและสอง และเป็นความเร็วเชิงมุมของระบบ

ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของระบบเมื่อผสมพันธุ์ดัมเบลล์ไปด้านข้างจะเท่ากับ

.

งานที่ทำโดยบุคคลเมื่อเคลื่อนย้ายดัมเบลล์สามารถกำหนดได้โดยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของระบบ

2. มาทดลองกันอีกครั้งกับม้านั่งของ Zhukovsky ผู้สาธิตนั่งหรือยืนบนม้านั่งและได้รับล้อหมุนอย่างรวดเร็วโดยมีแกนในแนวตั้ง (รูปที่ 5.18) ผู้สาธิตหมุนวงล้อ 180 0 . ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของล้อจะถูกโอนไปที่ม้านั่งและผู้สาธิตทั้งหมด เป็นผลให้ม้านั่งพร้อมกับผู้สาธิตหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมซึ่งพิจารณาจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของระบบในสถานะเริ่มต้นถูกกำหนดโดยโมเมนตัมเชิงมุมของล้อเท่านั้นและเท่ากับ

โมเมนต์ความเฉื่อยของล้ออยู่ที่ไหนคือความเร็วเชิงมุมของการหมุน

หลังจากหมุนวงล้อที่มุม 180 0 โมเมนตัมของระบบจะถูกกำหนดโดยผลรวมของโมเมนตัมของม้านั่งกับบุคคลและโมเมนตัมของล้อ โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเวกเตอร์โมเมนตัมของล้อได้เปลี่ยนทิศทางไปในทิศทางตรงกันข้ามและการฉายภาพบนแกนตั้งได้กลายเป็นลบ เราได้รับ

,

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ "แพลตฟอร์มมนุษย์" คือความเร็วเชิงมุมของการหมุนของม้านั่งกับบุคคล

ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

และ .

เป็นผลให้เราพบความเร็วของการหมุนของม้านั่ง

3. มวลแท่งบาง มและความยาว lหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω=10 s -1 ในระนาบแนวนอนรอบแกนแนวตั้งที่เคลื่อนผ่านตรงกลางของแกน แกนหมุนต่อไปในระนาบเดียวกัน โดยแกนหมุนจะเคลื่อนผ่านปลายแกน หาความเร็วเชิงมุมในกรณีที่สอง

ในปัญหานี้ เนื่องจากการกระจายมวลของแกนที่สัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงของแกนหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนก็เปลี่ยนไปเช่นกัน ตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของระบบแยก เรามี

ที่นี่ - โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนรอบแกนที่ผ่านตรงกลางของแกน - โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนรอบแกนผ่านจุดสิ้นสุดและพบโดยทฤษฎีบทของสไตเนอร์

แทนนิพจน์เหล่านี้เป็นกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม เราจะได้

,

.

4. ความยาวก้าน หลี่=1.5 ม. และน้ำหนัก ม.1=10 กก. บานพับอยู่ที่ปลายด้านบน กระสุนพุ่งไปที่ศูนย์กลางของแท่งด้วยมวล m2=10 ก. บินในแนวนอนด้วยความเร็ว =500 ม./วิ. และติดอยู่ในคันเบ็ด แท่งจะเบี่ยงเบนหลังจากกระแทกมุมใด

ลองจินตนาการในรูปที่ 5.19. ระบบโต้ตอบของร่างกาย "กระสุนแท่ง" โมเมนต์ของแรงภายนอก (แรงโน้มถ่วง ปฏิกิริยาแกน) ในขณะที่กระทบมีค่าเท่ากับศูนย์ เราจึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมได้

โมเมนตัมเชิงมุมของระบบก่อนกระทบเท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมของกระสุนที่สัมพันธ์กับจุดระงับ

โมเมนตัมเชิงมุมของระบบหลังจากการกระทบแบบไม่ยืดหยุ่นถูกกำหนดโดยสูตร

,

โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนเทียบกับจุดระงับคือโมเมนต์ความเฉื่อยของกระสุนคือความเร็วเชิงมุมของแท่งกับกระสุนทันทีหลังจากการกระทบ

การแก้สมการผลลัพธ์หลังจากการแทนที่เราพบว่า

.

ให้เราใช้กฎการอนุรักษ์พลังงานกล ให้เราเปรียบเทียบพลังงานจลน์ของไม้เรียวหลังจากที่กระสุนกระทบกับพลังงานศักย์ที่จุดสูงสุดของการขึ้น:

,

โดยที่ความสูงของจุดศูนย์กลางมวลของระบบที่กำหนดคือที่ไหน

หลังจากดำเนินการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นแล้ว เราได้รับ

มุมโก่งตัวของแกนสัมพันธ์กับค่าตามอัตราส่วน

.

เมื่อทำการคำนวณแล้วเราได้รับ =0,1p=18 0 .

5. กำหนดความเร่งของตัวถังและความตึงของเกลียวบนเครื่อง Atwood โดยสมมติว่า (รูปที่ 5.20) โมเมนต์ความเฉื่อยของบล็อกรอบแกนหมุนคือ ฉัน, บล็อกรัศมี r. ละเว้นมวลของเธรด

มาจัดเรียงแรงทั้งหมดที่กระทำต่อโหลดและบล็อก แล้วเขียนสมการไดนามิกสำหรับพวกมัน

หากไม่มี slippage ของเกลียวตามแนวขวาง ความเร่งเชิงเส้นและเชิงมุมสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

การแก้สมการเหล่านี้เราจะได้

จากนั้นเราจะพบ T 1 และ T 2

6. ด้ายติดอยู่กับรอกของไม้กางเขน Oberbeck (รูปที่ 5.21) ซึ่งมีน้ำหนักมาก เอ็ม= 0.5 กก. กำหนดระยะเวลาที่สิ่งของจะตกจากที่สูง ชม.=1 ม. ถึงตำแหน่งด้านล่าง รัศมีรอก r\u003d 3 ซม. มวลสี่น้ำหนัก ม=250g ในแต่ละระยะทาง R= 30 ซม. จากแกนของมัน ละเลยโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้กางเขนและรอกเมื่อเปรียบเทียบกับโมเมนต์ความเฉื่อยของตุ้มน้ำหนัก

พลังงานจลน์ของการหมุน

การบรรยายที่ 3 พลวัตของร่างกายที่แข็งกระด้าง

แผนการบรรยาย

3.1. ช่วงเวลาแห่งพลัง

3.2. สมการพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบหมุน โมเมนต์ความเฉื่อย

3.3. พลังงานจลน์ของการหมุน

3.4. ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

3.5. ความคล้ายคลึงระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุน

ช่วงเวลาแห่งพลัง

พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ ให้ตัวที่แข็งมีแกนหมุนคงที่ ОО ( รูปที่.3.1) และมีการใช้กำลังตามอำเภอใจ

ข้าว. 3.1

เราแบ่งแรงออกเป็นสององค์ประกอบของแรง แรงอยู่ในระนาบการหมุน และแรงขนานกับแกนของการหมุน จากนั้นเราแบ่งแรงออกเป็นสองส่วน: – กระทำตามเวกเตอร์รัศมี และ – ตั้งฉากกับแรงนั้น

ไม่มีแรงใด ๆ ที่ใช้กับร่างกายจะหมุนมัน บังคับและสร้างแรงกดบนตลับลูกปืน แต่อย่าหมุน

แรงอาจจะหรือไม่ทำให้ร่างกายไม่สมดุล ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในเวกเตอร์รัศมีที่มันถูกนำไปใช้ ดังนั้นจึงมีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับโมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับแกน โมเมนต์แห่งพลังสัมพันธ์กับแกนหมุนเรียกว่าผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีและแรง

เวกเตอร์กำหนดทิศทางตามแกนของการหมุนและกำหนดโดยกฎกากบาทหรือกฎสกรูขวา หรือกฎวงแหวน

โมดูลัสของโมเมนต์ของแรง

โดยที่ α คือมุมระหว่างเวกเตอร์กับ .

จากรูปที่ 3.1 เป็นที่ชัดเจนว่า .

r0- ระยะทางที่สั้นที่สุดจากแกนหมุนถึงแนวแรงและเรียกว่าไหล่ของแรง จากนั้นสามารถเขียนโมเมนต์ของแรงได้

M = F r 0 . (3.3)

จากรูป 3.1.

ที่ไหน Fคือการฉายภาพของเวกเตอร์ไปยังทิศทางที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมีเวกเตอร์ ในกรณีนี้ โมเมนต์ของแรงคือ

. (3.4)

หากแรงหลายแรงกระทำต่อร่างกาย โมเมนต์ของแรงที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงแต่ละอัน แต่เนื่องจากโมเมนต์ทั้งหมดมุ่งตรงไปตามแกน จึงสามารถแทนที่ด้วยผลรวมเชิงพีชคณิตได้ ช่วงเวลาจะถือเป็นบวกหากหมุนร่างกายตามเข็มนาฬิกาและลบหากทวนเข็มนาฬิกา หากโมเมนต์ของแรงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ () ร่างกายจะอยู่ในสมดุล

แนวคิดของโมเมนต์ของแรงสามารถแสดงได้โดยใช้ "ขดลวดแปลก" หลอดด้ายถูกดึงโดยปลายด้านว่างของด้าย ( ข้าว. 3.2).

ข้าว. 3.2

ขดลวดจะหมุนไปในทิศทางเดียวหรืออีกทางหนึ่ง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศทางของความตึงของเกลียว ถ้าคุณดึงเป็นมุม α แล้วโมเมนต์แรงรอบแกน อู๋(ตั้งฉากกับรูป) หมุนคอยล์ทวนเข็มนาฬิกาแล้วหมุนกลับ ในกรณีเกิดแรงตึงเป็นมุม β แรงบิดทวนเข็มนาฬิกาและคอยล์หมุนไปข้างหน้า

การใช้เงื่อนไขดุลยภาพ () คุณสามารถออกแบบกลไกง่ายๆ ที่เป็น "ตัวเปลี่ยน" ของแรง เช่น เมื่อใช้แรงน้อยลง คุณสามารถยกและเคลื่อนย้ายของที่มีน้ำหนักต่างกันได้ เลเวอเรจ สาลี่ บล็อกชนิดต่าง ๆ ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้าง อยู่บนพื้นฐานของหลักการนี้ เพื่อให้สอดคล้องกับสภาวะสมดุลในเครนก่อสร้างเพื่อชดเชยโมเมนต์ของแรงที่เกิดจากน้ำหนักของโหลด มักจะมีระบบถ่วงน้ำหนักที่สร้างโมเมนต์ของแรงในเครื่องหมายตรงข้ามเสมอ

3.2. สมการการหมุนพื้นฐาน
ความเคลื่อนไหว. โมเมนต์ความเฉื่อย

พิจารณาร่างกายที่แข็งกระด้างอย่างยิ่งที่หมุนรอบแกนคงที่ OO(fig.3.3). ขอแบ่งกายนี้ออกเป็นธาตุด้วยมวล . ม.1, Δ m2, …, Δ ม น. ในระหว่างการหมุน องค์ประกอบเหล่านี้จะอธิบายวงกลมที่มีรัศมี r1,r2 , …,rn. แรงกระทำต่อแต่ละองค์ประกอบ F1,F2 , …,ฟ น. การหมุนของร่างกายรอบแกน OOเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของโมเมนต์รวมของแรง เอ็ม.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

ที่ไหน M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน แต่ละแรง F, กระทำต่อมวลสาร D มทำให้เกิดความเร่งขององค์ประกอบที่กำหนด เอ, เช่น.

ฉ ฉัน =ดี ฉันฉัน (3.5)

แทนค่าที่สอดคล้องกันเป็น (3.4) เราได้รับ

ข้าว. 3.3

รู้ความสัมพันธ์ระหว่างการเร่งความเร็วเชิงมุมเชิงเส้น ε () และความเร่งเชิงมุมเท่ากันทุกองค์ประกอบ สูตร (3.6) จะมีลักษณะดังนี้

เอ็ม = (3.7)

=ฉัน (3.8)

ฉันคือ โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนคงที่

แล้วเราจะได้

M = ฉัน ε (3.9)

หรือในรูปเวกเตอร์

(3.10)

สมการนี้เป็นสมการพื้นฐานสำหรับไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน คล้ายกับสมการที่ 2 ของกฎของนิวตัน จาก (3.10) โมเมนต์ความเฉื่อยคือ

ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่กำหนดจึงเป็นอัตราส่วนของโมเมนต์ของแรงต่อความเร่งเชิงมุมที่เกิดจากวัตถุนั้น จาก (3.11) จะเห็นได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นตัววัดความเฉื่อยของร่างกายเทียบกับการเคลื่อนที่แบบหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยมีบทบาทเช่นเดียวกับมวลในการเคลื่อนที่เชิงแปล หน่วยเอสไอ [ ฉัน] = กก. ม. 2 จากสูตร (3.7) โมเมนต์ความเฉื่อยแสดงลักษณะการกระจายของมวลของอนุภาคของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุน

ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของธาตุมวล ∆m เคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี r เท่ากับ

ฉัน = r2ดี ม (3.12)

ฉัน= (3.13)

ในกรณีของการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง ผลรวมสามารถแทนที่ด้วยปริพันธ์

ผม= ∫ r 2 dm (3.14)

โดยจะทำการบูรณาการทั่วทั้งมวลกาย

นี่แสดงให้เห็นว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายขึ้นอยู่กับมวลและการกระจายที่สัมพันธ์กับแกนหมุน นี้สามารถแสดงให้เห็นการทดลอง รูปที่.3.4).

ข้าว. 3.4

กระบอกสูบทรงกลมสองอัน อันหนึ่งกลวง (เช่น โลหะ) อีกอันหนึ่งที่เป็นของแข็ง (ไม้) ที่มีความยาว รัศมี และมวลเท่ากัน เริ่มกลิ้งลงมาพร้อมกัน ทรงกระบอกกลวงที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยมากจะล้าหลังกระบอกสูบที่เป็นของแข็ง

คุณสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยได้หากคุณรู้มวล มและการกระจายสัมพันธ์กับแกนหมุน กรณีที่ง่ายที่สุดคือวงแหวนเมื่อองค์ประกอบทั้งหมดของมวลอยู่ห่างจากแกนหมุนเท่ากัน ( ข้าว. 3.5):

ฉัน= (3.15)

ข้าว. 3.5

ให้เราแสดงโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุสมมาตรต่าง ๆ ที่มีมวล ม.

1. โมเมนต์ความเฉื่อย แหวน, กระบอกสูบผนังบางกลวงเกี่ยวกับแกนหมุนประจวบกับแกนสมมาตร

, (3.16)

rคือรัศมีของวงแหวนหรือทรงกระบอก

2. สำหรับทรงกระบอกและจานทึบ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนสมมาตร

(3.17)

3. โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง

(3.18)

r- รัศมีลูก

4. โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางยาว lสัมพันธ์กับแกนตั้งฉากกับแกนแล้วผ่านตรงกลาง

(3.19)

l- ความยาวของก้าน

หากแกนหมุนไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนนี้จะถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทของสไตเนอร์

(3.20)

ตามทฤษฎีบทนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนตามอำเภอใจ О'O' ( ) เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนขนานที่เคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย ( ) บวกผลคูณของมวลกายคูณกำลังสองของระยะทาง เอระหว่างเพลา ( ข้าว. 3.6).

ข้าว. 3.6

พลังงานจลน์ของการหมุน

พิจารณาการหมุนของวัตถุที่แข็งอย่างแน่นอนรอบแกนคงที่ OO ด้วยความเร็วเชิงมุม ω (ข้าว. 3.7). มาแบ่งร่างที่แข็งกระด้างออกเป็น นมวลเบื้องต้น ∆ ฉัน. มวลแต่ละธาตุหมุนเป็นวงกลมรัศมี ฉันด้วยความเร็วเชิงเส้น () พลังงานจลน์คือผลรวมของพลังงานจลน์ของธาตุแต่ละธาตุ

(3.21)

ข้าว. 3.7

จำได้จาก (3.13) ว่า คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน OO

ดังนั้นพลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้

อีเค \u003d (3.22)

เราได้พิจารณาพลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกนคงที่แล้ว หากร่างกายมีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหวสองอย่าง: ในการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุน พลังงานจลน์ของร่างกายคือผลรวมของพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลนและพลังงานจลน์ของการหมุน

ตัวอย่างเช่น ลูกบอลมวล มกลิ้ง; ศูนย์กลางมวลของลูกบอลเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยความเร็ว ยู (ข้าว. 3.8).

ข้าว. 3.8

พลังงานจลน์ทั้งหมดของลูกบอลจะเท่ากับ

(3.23)

3.4. ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น กฎหมายอนุรักษ์
โมเมนตัมเชิงมุม

ปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อย ฉันเป็นความเร็วเชิงมุม ω เรียกว่า โมเมนตัมเชิงมุม (โมเมนต์โมเมนตัม) หลี่เกี่ยวกับแกนหมุน

– โมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณเวกเตอร์และเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร็วเชิงมุม

สมการอนุพันธ์ (3.24) เทียบกับเวลา เราจะได้

ที่ไหน, เอ็มคือโมเมนต์รวมของแรงภายนอก ในระบบที่แยกตัว ไม่มีโมเมนต์ของแรงภายนอก ( เอ็ม=0) และ

« ฟิสิกส์ - เกรด 10 "

เหตุใดผู้เล่นจึงยืดตามแกนของการหมุนเพื่อเพิ่มความเร็วเชิงมุมของการหมุน
เฮลิคอปเตอร์ควรหมุนเมื่อใบพัดหมุนหรือไม่?

คำถามที่ถามมาแนะนำว่าถ้าแรงภายนอกไม่กระทำต่อร่างกายหรือชดเชยการกระทำนั้นและส่วนหนึ่งของร่างกายเริ่มหมุนไปในทิศทางเดียว อีกส่วนหนึ่งจะต้องหมุนไปในทิศทางอื่นเช่นเดียวกับเมื่อเชื้อเพลิงถูกขับออกจาก จรวด จรวดเองเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม

ช่วงเวลาแห่งแรงกระตุ้น

ถ้าเราพิจารณาจานหมุน จะเห็นได้ชัดว่าโมเมนตัมทั้งหมดของจานเป็นศูนย์ เนื่องจากอนุภาคใดๆ ของร่างกายสอดคล้องกับอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันในค่าสัมบูรณ์ แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 6.9)

แต่จานเคลื่อนที่ ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของอนุภาคทั้งหมดจะเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่ายิ่งอนุภาคอยู่ห่างจากแกนหมุนมากเท่าใด โมเมนตัมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้นสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนจึงจำเป็นต้องแนะนำคุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับแรงกระตุ้น - โมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมเป็นผลคูณของโมเมนตัมของอนุภาคและระยะห่างจากอนุภาคถึงแกนหมุน (รูปที่ 6.10):

ความเร็วเชิงเส้นและเชิงมุมสัมพันธ์กันโดย v = ωr แล้ว

จุดทั้งหมดของสสารแข็งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับแกนหมุนคงที่ด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากัน ร่างกายที่แข็งแรงสามารถแสดงเป็นชุดของจุดวัสดุ

โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็งเท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมของการหมุน:

โมเมนตัมเชิงมุมเป็นปริมาณเวกเตอร์ ตามสูตร (6.3) โมเมนตัมเชิงมุมมีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม

สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนในลักษณะหุนหันพลันแล่น

ความเร่งเชิงมุมของร่างกายเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมหารด้วยช่วงเวลาที่การเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้น: แทนนิพจน์นี้เป็นสมการพื้นฐานสำหรับไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน ดังนั้น ผม(ω 2 - ω 1) = MΔt หรือ IΔω = MΔt

ทางนี้,

∆L = M∆t (6.4)

การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากับผลคูณของโมเมนต์รวมของแรงที่กระทำต่อร่างกายหรือระบบและเวลาที่กระทำของแรงเหล่านี้

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม:

หากโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบของวัตถุที่มีแกนหมุนคงที่เท่ากับศูนย์ การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน กล่าวคือ โมเมนตัมเชิงมุมของระบบยังคงที่

∆L=0, L=const.

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเท่ากับโมเมนตัมรวมของแรงที่กระทำต่อระบบ

นักเล่นสเกตหมุนกางแขนออกไปด้านข้าง จึงเป็นการเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยเพื่อลดความเร็วเชิงมุมของการหมุน

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมสามารถแสดงให้เห็นได้โดยใช้การทดลองต่อไปนี้ เรียกว่า "การทดลองกับม้านั่ง Zhukovsky" คนยืนอยู่บนม้านั่งที่มีแกนหมุนแนวตั้งผ่านจุดศูนย์กลาง ชายคนนั้นถือดัมเบลล์ไว้ในมือ หากม้านั่งหมุนได้ บุคคลสามารถเปลี่ยนความเร็วในการหมุนได้โดยการกดดัมเบลล์ไว้ที่หน้าอกหรือลดแขนลง แล้วกางออก เมื่อกางแขนออก เขาเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อย และความเร็วเชิงมุมของการหมุนลดลง (รูปที่ 6.11, a) ลดมือลง เขาลดโมเมนต์ความเฉื่อย และความเร็วเชิงมุมของการหมุนของม้านั่งเพิ่มขึ้น (รูปที่ 6.11, ข).

บุคคลสามารถสร้างม้านั่งหมุนได้โดยเดินไปตามขอบ ในกรณีนี้ ม้านั่งจะหมุนไปในทิศทางตรงกันข้าม เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดจะต้องเท่ากับศูนย์

หลักการทำงานของอุปกรณ์ที่เรียกว่าไจโรสโคปเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม คุณสมบัติหลักของไจโรสโคปคือการรักษาทิศทางของแกนหมุนหากแรงภายนอกไม่กระทำบนแกนนี้ ในศตวรรษที่ 19 ไจโรสโคปถูกใช้โดยนักเดินเรือเพื่อนำทางในทะเล

พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนได้

พลังงานจลน์ของวัตถุแข็งที่หมุนได้มีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของอนุภาคแต่ละตัว ให้เราแบ่งร่างกายออกเป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ ซึ่งแต่ละส่วนถือได้ว่าเป็นวัตถุ จากนั้นพลังงานจลน์ของร่างกายจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุซึ่งประกอบด้วย:

ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของทุกจุดของร่างกายจึงเท่ากัน ดังนั้น

ค่าในวงเล็บอย่างที่เราทราบคือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่แข็งกระด้าง สุดท้าย สูตรพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่มีแกนหมุนตายตัวมีรูปแบบ

ในกรณีทั่วไปของการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง เมื่อแกนหมุนว่าง พลังงานจลน์จะเท่ากับผลรวมของพลังงานของการเคลื่อนที่เชิงแปลและการเคลื่อนที่แบบหมุน ดังนั้นพลังงานจลน์ของล้อซึ่งมีมวลรวมอยู่ที่ขอบล้อหมุนไปตามถนนด้วยความเร็วคงที่เท่ากับ

ตารางเปรียบเทียบสูตรของกลไกการเคลื่อนที่เชิงแปลของจุดวัสดุที่มีสูตรที่คล้ายกันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุที่มีความแข็ง

งาน

1. กำหนดจำนวนครั้งของมวลที่มีประสิทธิภาพมากกว่ามวลแรงโน้มถ่วงของรถไฟที่มีมวล 4,000 ตัน ถ้ามวลของล้อเท่ากับ 15% ของมวลของรถไฟ ให้ถือว่าล้อเป็นดิสก์ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.02 ม. คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากเส้นผ่านศูนย์กลางของล้อเหลือเพียงครึ่งเดียว

2. กำหนดความเร่งที่ล้อคู่มวล 1200 กก. กลิ้งลงเขาด้วยความชัน 0.08 พิจารณาล้อเป็นดิสก์ ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทานการหมุน 0.004 กำหนดแรงยึดเกาะของล้อกับราง

3. กำหนดความเร่งที่ล้อคู่ที่มีมวล 1,400 กิโลกรัมกลิ้งขึ้นเนินที่มีความชัน 0.05 ค่าสัมประสิทธิ์การลาก 0.002 สิ่งที่ควรเป็นค่าสัมประสิทธิ์การยึดเกาะเพื่อไม่ให้ล้อลื่นไถล พิจารณาล้อเป็นดิสก์

4. กำหนดอัตราเร่งที่เกวียนน้ำหนัก 40 ตันกลิ้งลงเนินที่มีความลาดชัน 0.020 หากมีแปดล้อที่มีน้ำหนัก 1200 กก. และเส้นผ่านศูนย์กลาง 1.02 ม. กำหนดแรงยึดเกาะของล้อกับราง ค่าสัมประสิทธิ์การลาก 0.003

5. กำหนดแรงดันของยางเบรกบนยาง หากรถไฟที่มีน้ำหนัก 4,000 ตันช้าลงด้วยความเร่ง 0.3 m/s 2 . โมเมนต์ความเฉื่อยของชุดล้อหนึ่งชุดคือ 600 กก. ม. 2 จำนวนเพลาคือ 400 ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการเลื่อนของบล็อกคือ 0.18 ค่าสัมประสิทธิ์ความต้านทานการหมุนคือ 0.004

6. กำหนดแรงเบรกที่กระทำต่อเกวียนสี่เพลาที่มีมวล 60 ตันบนผ้าเบรกของสนามมาร์แชลลิ่ง หากความเร็วบนทางวิ่ง 30 ม. ลดลงจาก 2 ม./วิ เป็น 1.5 ม./วิ. โมเมนต์ความเฉื่อยของชุดล้อหนึ่งชุดคือ 500 กก. ม. 2 .

7. มาตรวัดความเร็วของหัวรถจักรแสดงความเร็วของรถไฟที่เพิ่มขึ้นภายในหนึ่งนาทีจาก 10 m/s เป็น 60 m/s อาจเป็นไปได้ว่าชุดล้อหน้าลื่นไถล กำหนดโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อเกราะของมอเตอร์ไฟฟ้า โมเมนต์ความเฉื่อยของชุดล้อ 600 กก. ม. 2 , เบรก 120 กก. ม. 2 อัตราทดเกียร์ 4.2 แรงกดบนรางคือ 200 kN ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานการเลื่อนของล้อตามรางคือ 0.10

11. พลังงานจลน์ของโรเตอร์

การเคลื่อนไหว

เราได้สูตรพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน ให้ร่างกายหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม ω เกี่ยวกับแกนคงที่ อนุภาคเล็ก ๆ ของร่างกายทำการเคลื่อนที่เชิงแปลเป็นวงกลมด้วยความเร็ว โดยที่ ฉัน -ระยะทางถึงแกนหมุนรัศมีของวงโคจร พลังงานจลน์ของอนุภาค มวลชน ฉันเท่ากับ . พลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบอนุภาคเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของพวกมัน ให้เราสรุปสูตรพลังงานจลน์ของอนุภาคของร่างกายและนำเครื่องหมายของผลรวมครึ่งหนึ่งของกำลังสองของความเร็วเชิงมุมซึ่งเหมือนกันสำหรับอนุภาคทั้งหมด . ผลรวมของผลิตภัณฑ์มวลของอนุภาคและกำลังสองของระยะห่างจากแกนหมุนคือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายรอบแกนหมุน . ดังนั้น, พลังงานจลน์ของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนและกำลังสองของความเร็วเชิงมุมของการหมุน:

วัตถุที่หมุนได้สามารถเก็บพลังงานกลได้ ร่างกายดังกล่าวเรียกว่ามู่เล่ โดยปกติสิ่งเหล่านี้เป็นร่างของการปฏิวัติ การใช้มู่เล่ในวงล้อช่างปั้นหม้อเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในเครื่องยนต์สันดาปภายใน ระหว่างจังหวะการทำงาน ลูกสูบจะส่งพลังงานกลไปยังล้อช่วยแรง ซึ่งจากนั้นจะทำงานเกี่ยวกับการหมุนของเพลาเครื่องยนต์ในอีกสามรอบถัดไป ในการปั๊มและกด มู่เล่ขับเคลื่อนด้วยมอเตอร์ไฟฟ้ากำลังค่อนข้างต่ำ สะสมพลังงานกลไว้เกือบเต็มรอบ และในช่วงเวลาสั้น ๆ ของการกระแทก จะทำให้งานปั๊มขึ้นรูป

มีความพยายามมากมายที่จะใช้มู่เล่หมุนเพื่อขับเคลื่อนยานพาหนะ: รถยนต์ รถโดยสาร พวกเขาถูกเรียกว่า mahomobiles, gyro carriers มีการสร้างเครื่องทดลองจำนวนมากขึ้น มีแนวโน้มว่าจะใช้มู่เล่เพื่อกักเก็บพลังงานระหว่างการเบรกรถไฟฟ้าเพื่อใช้พลังงานสะสมในช่วงเร่งความเร็วที่ตามมา เป็นที่ทราบกันดีว่าการจัดเก็บพลังงานของมู่เล่นั้นใช้กับรถไฟใต้ดินในนิวยอร์กซิตี้

ให้เรากำหนดพลังงานจลน์ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนรอบแกนคงที่ ลองแบ่งร่างกายนี้ออกเป็น n จุดวัสดุ แต่ละจุดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้น υ ผม =ωr ผม จากนั้นพลังงานจลน์ของจุด

หรือ

พลังงานจลน์ทั้งหมดของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนได้นั้นเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของจุดวัสดุทั้งหมด:

(3.22)

(J - โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเกี่ยวกับแกนหมุน)

หากวิถีของจุดทั้งหมดอยู่ในระนาบคู่ขนาน (เช่น ทรงกระบอกกลิ้งลงมาในระนาบเอียง แต่ละจุดจะเคลื่อนที่ในรูประนาบของมันเอง) นี่คือ การเคลื่อนไหวแบน. ตามหลักการของออยเลอร์ การเคลื่อนที่ของระนาบสามารถถูกย่อยสลายได้เป็นจำนวนไม่จำกัดในการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน ถ้าลูกตกหรือเลื่อนไปตามระนาบเอียง ลูกบอลจะเคลื่อนไปข้างหน้าเท่านั้น เมื่อลูกบอลหมุน มันก็จะหมุนไปด้วย

หากร่างกายทำการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุนพร้อมกัน พลังงานจลน์ทั้งหมดจะเท่ากับ

(3.23)

จากการเปรียบเทียบสูตรพลังงานจลน์สำหรับการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุน จะเห็นได้ว่าการวัดความเฉื่อยระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนคือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย

§ 3.6 การทำงานของแรงภายนอกระหว่างการหมุนของร่างกายที่แข็ง

เมื่อวัตถุที่แข็งกระด้างหมุน พลังงานศักย์ของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น งานพื้นฐานของแรงภายนอกจึงเท่ากับการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ของร่างกาย:

dA = dE หรือ

เมื่อพิจารณาว่าJβ = M, ωdr = dφ เรามี α ของร่างกายที่มุมจำกัด φ เท่ากับ

(3.25)

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนคงที่ การทำงานของแรงภายนอกถูกกำหนดโดยการกระทำของโมเมนต์ของแรงเหล่านี้รอบแกนที่กำหนด หากโมเมนต์ของแรงรอบแกนเท่ากับศูนย์ แรงเหล่านี้จะไม่สร้างงาน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 2.1 มวลล้อช่วยแรงม=5กก. และรัศมีr= 0.2 ม. หมุนรอบแกนนอนด้วยความถี่ν 0 =720 นาที -1 และหยุดเมื่อเบรกt=20 วิ ค้นหาแรงบิดในการเบรกและจำนวนรอบก่อนหยุด

ในการกำหนดแรงบิดในการเบรก เราใช้สมการพื้นฐานสำหรับไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

โดยที่ I=mr 2 คือโมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ Δω \u003d ω - ω 0 และ ω \u003d 0 คือความเร็วเชิงมุมสุดท้าย ω 0 \u003d 2πν 0 คือความเร็วเริ่มต้น M คือโมเมนต์เบรกของแรงที่กระทำต่อดิสก์

เมื่อทราบปริมาณทั้งหมดแล้ว ก็สามารถกำหนดแรงบิดในการเบรกได้

นาย 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

จากจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน มุมของการหมุนระหว่างจานหมุนเพื่อหยุดสามารถกำหนดได้โดยสูตร

(3)

โดยที่ β คือความเร่งเชิงมุม

ตามเงื่อนไขของปัญหา: ω = ω 0 - βΔt เนื่องจาก ω=0, ω 0 = βΔt

จากนั้นนิพจน์ (2) สามารถเขียนเป็น:

ตัวอย่าง 2.2 มู่เล่สองล้อในรูปแบบของจานที่มีรัศมีและมวลเท่ากันถูกหมุนด้วยความเร็วของการหมุนน= 480 รอบต่อนาทีและปล่อยให้ตัวเอง ภายใต้การกระทำของแรงเสียดทานของเพลาบนตลับลูกปืน อันแรกหยุดหลังจากt\u003d 80 วินาทีและวินาทีที่สองนู๋= 240 รอบเพื่อหยุด ซึ่งมู่เล่นั้นโมเมนต์แรงเสียดทานของเพลาบนตลับลูกปืนนั้นมากกว่าและกี่ครั้ง

เราจะหาโมเมนต์ของแรงหนาม M 1 ของมู่เล่แรกโดยใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

โดยที่ Δt คือเวลาของการกระทำของโมเมนต์ของแรงเสียดทาน I \u003d mr 2 - โมเมนต์ความเฉื่อยของมู่เล่ ω 1 \u003d 2πν และ ω 2 \u003d 0 คือความเร็วเชิงมุมเริ่มต้นและสุดท้ายของมู่เล่

แล้ว

โมเมนต์แรงเสียดทาน M 2 ของมู่เล่ที่สองแสดงผ่านความสัมพันธ์ระหว่างงาน A ของแรงเสียดทานและการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ ΔE k:

โดยที่ Δφ = 2πN คือมุมของการหมุน N คือจำนวนรอบของมู่เล่

แล้วที่

อู๋ อัตราส่วนจะเป็น

แรงบิดเสียดทานของมู่เล่ที่สองนั้นมากกว่า 1.33 เท่า

ตัวอย่างที่ 2.3 มวลของดิสก์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน m, มวลของโหลด m 1 และ m 2 (รูปที่ 15) ไม่มีการลื่นและการเสียดสีของเกลียวในแกนของกระบอกสูบ จงหาความเร่งของมวลและอัตราส่วนของความตึงด้ายในกระบวนการเคลื่อนไหว

ไม่มีการลื่นไถลของเกลียว ดังนั้น เมื่อ m 1 และ m 2 จะทำการเคลื่อนที่แบบแปลน กระบอกจะหมุนรอบแกนที่ผ่านจุด O มาสมมติความแน่นอนว่า m 2 > m 1

จากนั้นโหลด m 2 จะลดลงและกระบอกสูบหมุนตามเข็มนาฬิกา ให้เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่รวมอยู่ในระบบ

สมการสองสมการแรกเขียนขึ้นสำหรับวัตถุที่มีมวล m 1 และ m 2 ทำการเคลื่อนที่แบบแปลน และสมการที่สามใช้สำหรับทรงกระบอกหมุน ในสมการที่สาม ทางด้านซ้ายคือโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อทรงกระบอก (โมเมนต์ของแรง T 1 จะถูกถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ เนื่องจากแรง T 1 มีแนวโน้มที่จะหมุนกระบอกสูบทวนเข็มนาฬิกา) ทางด้านขวา I คือโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกรอบแกน O ซึ่งเท่ากับ

โดยที่ R คือรัศมีของกระบอกสูบ β คือความเร่งเชิงมุมของทรงกระบอก

เนื่องจากไม่มีการลื่นของด้าย
. โดยคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ I และ β เราได้รับ:

บวกสมการของระบบ เราก็มาถึงสมการ

จากตรงนี้เราจะพบความเร่ง เอสินค้า

จากสมการผลลัพธ์จะเห็นได้ว่าความตึงของเกลียวจะเท่ากัน กล่าวคือ =1 ถ้ามวลของทรงกระบอกน้อยกว่ามวลของตุ้มน้ำหนักมาก

ตัวอย่าง 2.4. ลูกบอลกลวงที่มีมวล m = 0.5 กก. มีรัศมีภายนอก R = 0.08 ม. และรัศมีภายใน r = 0.06 ม. ลูกบอลหมุนรอบแกนผ่านจุดศูนย์กลาง ในช่วงเวลาหนึ่งแรงเริ่มกระทำกับลูกบอลอันเป็นผลให้มุมการหมุนของลูกบอลเปลี่ยนไปตามกฎหมาย
. กำหนดโมเมนต์ของแรงที่ใช้

เราแก้ปัญหาโดยใช้สมการพื้นฐานของไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุน
. ความยากหลักคือการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกกลวง และหาความเร่งเชิงมุม β ได้ดังนี้
. โมเมนต์ความเฉื่อย I ของลูกบอลกลวงเท่ากับความแตกต่างระหว่างโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลรัศมี R กับลูกบอลรัศมี r:

โดยที่ ρ คือความหนาแน่นของวัสดุลูก เราพบความหนาแน่น โดยรู้มวลของลูกบอลกลวง

จากที่นี่เราจะกำหนดความหนาแน่นของวัสดุของลูกบอล

สำหรับโมเมนต์ของแรง M เราได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

ตัวอย่าง 2.5 แท่งบางที่มีมวล 300 กรัมและความยาว 50 ซม. หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม 10 วินาที -1 ในระนาบแนวนอนรอบแกนตั้งผ่านกลางแกน จงหาความเร็วเชิงมุมหากระหว่างการหมุนในระนาบเดียวกัน แกนเคลื่อนที่โดยที่แกนของการหมุนเคลื่อนผ่านปลายแกน

เราใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

(1)

(J ผม - โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนที่สัมพันธ์กับแกนหมุน)

สำหรับระบบแยกตัวของวัตถุ ผลรวมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่ เนื่องจากการกระจายของมวลของแกนที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุนเปลี่ยนแปลง โมเมนต์ความเฉื่อยของแกนจึงเปลี่ยนแปลงตาม (1):

เจ 0 ω 1 = เจ 2 ω 2 . (2)

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลและตั้งฉากกับแกนนั้นเท่ากับ

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

ตามทฤษฎีบทสไตเนอร์

เจ = เจ 0 +ม เอ 2

(J คือโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนหมุนรอบแกนหมุนตามอำเภอใจ J 0 คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนขนานที่เคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางมวล เอ- ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลถึงแกนหมุนที่เลือก)

ลองหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนที่เคลื่อนผ่านปลายของมันและตั้งฉากกับแกน:

เจ 2 \u003d เจ 0 +m เอ 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3 (สี่)

ให้เราเปลี่ยนสูตร (3) และ (4) เป็น (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

ตัวอย่าง2.6 . มวลชนม= 60 กก. ยืนอยู่บนขอบของแท่นที่มีมวล M = 120 กก. หมุนด้วยความเฉื่อยรอบแกนแนวตั้งคงที่ด้วยความถี่ ν 1 =12 นาที -1 , ไปที่ศูนย์กลางของมัน โดยพิจารณาจากแท่นเป็นจานกลมที่เป็นเนื้อเดียวกัน และบุคคลเป็นมวลจุด พิจารณาว่าความถี่ใด ν 2 แพลตฟอร์มจะหมุน

ที่ให้ไว้: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12นาที -1 = 0.2s -1 .

หา:วี 1

วิธีการแก้:ตามสภาพของปัญหา แท่นที่มีบุคคลนั้นหมุนด้วยความเฉื่อย กล่าวคือ โมเมนต์ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่ใช้กับระบบการหมุนจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสำหรับระบบ "มนุษย์แพลตฟอร์ม" กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมจึงเป็นจริง

ผม 1 ω 1 = ผม 2 ω 2

ที่ไหน
- โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบเมื่อบุคคลยืนอยู่บนขอบของแท่น (เราคำนึงว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่นเท่ากับ (R คือรัศมี p
แพลตฟอร์ม) โมเมนต์ความเฉื่อยของบุคคลที่ขอบของแท่นคือ mR 2)

- โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบเมื่อบุคคลยืนอยู่ตรงกลางแท่น (เราคำนึงว่าโมเมนต์ของบุคคลที่ยืนอยู่ตรงกลางแท่นมีค่าเท่ากับศูนย์) ความเร็วเชิงมุม ω 1 = 2π ν 1 และ ω 1 = 2π ν 2 .

แทนที่นิพจน์ที่เขียนเป็นสูตร (1) เราได้รับ

ดังนั้นความเร็วในการหมุนที่ต้องการ

ตอบ: v 2 =24 นาที -1 .