คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกและเชิงสถิติ ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกและเชิงสถิติ

การสุ่มของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนั้นสัมพันธ์กับความเป็นไปไม่ได้ที่จะคาดการณ์ล่วงหน้าถึงผลลัพธ์ของการทดสอบหนึ่งๆ อย่างไรก็ตาม หากเราพิจารณาตัวอย่างการทดสอบ: การโยนเหรียญหลายครั้ง ω 1 , ω 2 , … , ω n ปรากฎว่าประมาณครึ่งหนึ่งของผลลัพธ์ ( น / 2) พบรูปแบบบางอย่างที่สอดคล้องกับแนวคิดของความน่าจะเป็น

ภายใต้ ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ กเข้าใจลักษณะเชิงตัวเลขบางอย่างของความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ ก. เราแสดงถึงคุณลักษณะเชิงตัวเลขนี้ ร(ก). มีหลายวิธีในการพิจารณาความน่าจะเป็น หลัก ๆ ได้แก่ สถิติ คลาสสิก และเรขาคณิต

ให้ผลิต นการทดสอบและในเวลาเดียวกันเหตุการณ์บางอย่าง กมา นครั้ง. ตัวเลข นเอ เรียกว่า ความถี่สัมบูรณ์(หรือเพียงแค่ความถี่) ของเหตุการณ์ กและเรียกความสัมพันธ์นี้ว่า ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ ก.ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ใดๆ โดดเด่นด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

พื้นฐานสำหรับการใช้วิธีการของทฤษฎีความน่าจะเป็นในการศึกษากระบวนการจริงคือการมีอยู่ของเหตุการณ์สุ่มที่มีคุณสมบัติของความเสถียรของความถี่ การทดลองมากมายของเหตุการณ์ภายใต้การศึกษา กแสดงว่าใหญ่ นความถี่สัมพัทธ์ ( ก) คงที่โดยประมาณ

คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นอยู่ที่ความจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A นั้นถือเป็นค่าคงที่ p(A) ซึ่งค่าของความถี่สัมพัทธ์จะผันผวน (ก) ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดน.

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าข้อ จำกัด ของการเปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มจากศูนย์ถึงหนึ่งจะถูกเลือกโดย B. Pascal เพื่อความสะดวกในการคำนวณและการใช้งาน ในการโต้ตอบกับ P. Fermat ปาสคาลชี้ให้เห็นว่าช่วงเวลาใด ๆ สามารถเลือกเป็นช่วงที่ระบุได้ เช่น จากศูนย์ถึงหนึ่งร้อยและช่วงอื่น ๆ ในปัญหาด้านล่างของบทช่วยสอนนี้ บางครั้งความน่าจะเป็นจะได้รับเป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น จากศูนย์ถึงหนึ่งร้อย ในกรณีนี้ เปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในงานจะต้องแปลงเป็นส่วนแบ่ง เช่น หารด้วย 100

ตัวอย่างที่ 1ทำการโยนเหรียญ 10 ชุด ๆ ละ 1,000 ครั้ง ค่า ( ก) ในแต่ละชุดคือ 0.501; 0.485; 0.509; 0.536; 0.485; 0.488; 0.500; 0.497; 0.494; 0.484 ความถี่เหล่านี้กระจุกตัวอยู่รอบๆ ร(ก) = 0,5.

ตัวอย่างนี้ยืนยันว่าความถี่สัมพัทธ์ ( ก) มีค่าโดยประมาณเท่ากับ ร(ก), เช่น.

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถือว่าผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด เป็นไปได้เท่ากัน. ความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ของการทดลองสรุปได้เนื่องจากการพิจารณาความสมมาตร (เช่น ในกรณีของเหรียญหรือลูกเต๋า) ปัญหาในการใช้การพิจารณาความสมมาตรนั้นหายากในทางปฏิบัติ ในหลายกรณี เป็นการยากที่จะให้เหตุผลในการเชื่อว่าผลลัพธ์พื้นฐานทั้งหมดมีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ในเรื่องนี้ จำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความของความน่าจะเป็นอีกแบบหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า ทางสถิติ. เพื่อให้คำจำกัดความนี้ ก่อนอื่นเราจะแนะนำแนวคิดของความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์

ความถี่ของเหตุการณ์สัมพัทธ์, หรือ ความถี่คืออัตราส่วนของจำนวนการทดสอบที่เหตุการณ์นี้ปรากฏต่อจำนวนการทดสอบทั้งหมดที่ทำ ให้เราแสดงความถี่ของเหตุการณ์ด้วย จากนั้นตามคำจำกัดความ

(1.4.1)
โดยที่จำนวนของการทดสอบที่เหตุการณ์ปรากฏขึ้นและคือจำนวนของการทดสอบทั้งหมดที่ดำเนินการ

ความถี่ของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

การสังเกตทำให้สามารถระบุได้ว่าความถี่สัมพัทธ์มีคุณสมบัติของความเสถียรทางสถิติ: ในการทดสอบพหุนามแบบต่าง ๆ (ซึ่งเหตุการณ์นี้อาจปรากฏหรือไม่ปรากฏ) จะใช้ค่าที่ใกล้เคียงพอกับค่าคงที่บางตัว ค่าคงที่นี้ซึ่งเป็นลักษณะเชิงตัวเลขของปรากฏการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์เรียกว่าหมายเลขรอบที่จัดกลุ่มค่าความถี่ของเหตุการณ์นี้ในชุดการทดสอบต่างๆ จำนวนมาก

คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่า ทางสถิติ.

ในกรณีของคำจำกัดความทางสถิติ ความน่าจะเป็นจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเท่ากับหนึ่ง
2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็นศูนย์
3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง
4) ความน่าจะเป็นของผลรวมของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1จากการสุ่มชิ้นส่วน 500 ชิ้น มี 8 ชิ้นที่ชำรุด ค้นหาความถี่ของชิ้นส่วนที่ชำรุด

สารละลาย.เนื่องจากในกรณีนี้ = 8, = 500 ดังนั้นตามสูตร (1.4.1) เราพบว่า

ตัวอย่างที่ 2. ลูกเต๋าถูกทอย 60 ครั้ง หกปรากฏ 10 ครั้ง ความถี่ของการเกิดคืออะไร หก?

สารละลาย.จากเงื่อนไขของโจทย์ จะได้ว่า = 60, = 10 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 3ในบรรดาเด็กแรกเกิด 1,000 คน มีเด็กผู้ชาย 515 คน อัตราการเกิดของเด็กผู้ชายคืออะไร?
สารละลาย.เนื่องจากในกรณีนี้ , , แล้ว .

ตัวอย่างที่ 4จากการยิง 20 นัดเข้าเป้า 15 นัดได้รับ ความถี่ในการตีคืออะไร?

สารละลาย.ตั้งแต่ = 20, = 15 แล้ว

ตัวอย่างที่ 5เมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ความถี่ในการยิง = 0.75 จงหาจำนวนการยิง 40 ครั้ง

สารละลาย.จากสูตร (1.4.1) จะได้ว่า ตั้งแต่ \u003d 0.75, \u003d 40 แล้ว . ดังนั้นจึงได้รับ 30 ครั้ง

ตัวอย่างที่ 6 www..เมล็ดงอก 970 เมล็ด หว่านกี่เมล็ด?

สารละลาย.จากสูตร (1.4.1) จะได้ว่า ตั้งแต่ , , แล้ว . ดังนั้น 1,000 เมล็ดจึงถูกหว่าน

ตัวอย่างที่ 7ในส่วนของอนุกรมธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 20 ให้หาความถี่ของจำนวนเฉพาะ

สารละลาย.ในส่วนที่ระบุของชุดตัวเลขธรรมชาติมีหมายเลขเฉพาะต่อไปนี้: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; มีทั้งหมด 8 ตัว ตั้งแต่ = 20, = 8 แล้วความถี่ที่ต้องการ

.

ตัวอย่างที่ 8มีการโยนเหรียญสมมาตรซ้ำสามชุดจำนวนครั้งที่ปรากฏของเสื้อคลุมแขนคำนวณ: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12,000, = 6019; 3) = 24,000, = 12,012 จงหาความถี่ของการปรากฏของแขนเสื้อในแต่ละชุดการทดสอบ

สารละลาย. ตามสูตร (1.4.1) เราพบ:

ความคิดเห็นตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า ในการทดลองซ้ำหลายครั้ง ความถี่ของเหตุการณ์แตกต่างจากความน่าจะเป็นเพียงเล็กน้อย ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของแขนเสื้อเมื่อโยนเหรียญคือ p \u003d 1/2 \u003d 0.5 เนื่องจากในกรณีนี้ n \u003d 2, m \u003d 1

ตัวอย่างที่ 9ในบรรดาชิ้นส่วน 300 ชิ้นที่ผลิตด้วยเครื่องจักรอัตโนมัติ มี 15 ชิ้นที่ไม่ตรงตามมาตรฐาน ค้นหาความถี่ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน

สารละลาย.ในกรณีนี้ n = 300, m = 15 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 10ผู้ควบคุมตรวจสอบคุณภาพของผลิตภัณฑ์ 400 รายการพบว่า 20 รายการเป็นของเกรดสองและส่วนที่เหลือเป็นของเกรดแรก ค้นหาความถี่ของผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่ง ความถี่ของผลิตภัณฑ์ชั้นสอง

สารละลาย.ก่อนอื่นเราพบจำนวนผลิตภัณฑ์ของเกรดแรก: 400 - 20 = 380 เนื่องจาก n = 400, = 380 ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ของเกรดแรก

ในทำนองเดียวกันเราพบความถี่ของผลิตภัณฑ์เกรดสอง:

งาน

1. ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิคพบสินค้าที่ไม่ได้มาตรฐาน 10 รายการในชุดละ 1,000 รายการ ค้นหาความถี่ของการผลิตสินค้าที่มีข้อบกพร่อง
2. เพื่อตรวจสอบคุณภาพของเมล็ดพันธุ์ เมล็ดพันธุ์ 100 เมล็ดถูกคัดเลือกและหว่านในสภาพห้องปฏิบัติการ 95 เมล็ดให้หน่อตามปกติ ความถี่ของการงอกของเมล็ดปกติคืออะไร?
3. ค้นหาความถี่ของการเกิดขึ้นของจำนวนเฉพาะในส่วนต่อไปนี้ของอนุกรมธรรมชาติ: a) จาก 21 ถึง 40; b) จาก 41 ถึง 50; ค) จาก 51 ถึง 70
4. ค้นหาความถี่ของการโยนเหรียญสมมาตร 100 ครั้ง (ทดลองด้วยตัวเอง).
5. จงหาความถี่ของการทอยลูกเต๋า 6 ใน 90 ครั้ง
6. โดยการสัมภาษณ์นักเรียนทุกคนในหลักสูตรของคุณ กำหนดความถี่ของวันเกิดในแต่ละเดือนของปี
7. ค้นหาความถี่ของคำห้าตัวอักษรในข้อความในหนังสือพิมพ์

คำตอบ

1. 0.01 2. 0.95; 0.05 3. ก) 0.2; ข) 0.3; ค) 0.2

คำถาม

1. ความถี่ของเหตุการณ์คืออะไร?
2. ความถี่ของเหตุการณ์บางอย่างคืออะไร?
3. ความถี่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร?
4. ช่วงความถี่ของเหตุการณ์สุ่มคืออะไร?
5. ความถี่ของผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อกัน 2 เหตุการณ์เป็นเท่าใด
6. คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นคืออะไร?
7. คุณสมบัติของความน่าจะเป็นทางสถิติคืออะไร?

แท็ก ดู .

ในการเปรียบเทียบเหตุการณ์เชิงปริมาณกับแต่ละเหตุการณ์ตามระดับความเป็นไปได้ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องเชื่อมโยงจำนวนหนึ่งกับแต่ละเหตุการณ์ ซึ่งยิ่งมาก เหตุการณ์ก็ยิ่งเป็นไปได้มากขึ้น เราเรียกตัวเลขนี้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ดังนั้น, ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นการวัดเชิงตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์นี้

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ซึ่งเกิดขึ้นจากการวิเคราะห์การพนันและเริ่มใช้โดยสัญชาตญาณ ควรได้รับการพิจารณาเป็นคำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็น

วิธีดั้งเดิมในการพิจารณาความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับแนวคิดของเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่ากันและเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของประสบการณ์ที่กำหนดและสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้พอๆ กันและเข้ากันไม่ได้ซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มสมบูรณ์คือ การปรากฏตัวของลูกบอลหนึ่งหรืออีกลูกจากโกศที่มีลูกบอลหลายลูกที่มีขนาด น้ำหนัก และลักษณะที่จับต้องได้อื่นๆ เท่ากัน ต่างกันแค่สี ผสมให้ละเอียดก่อนนำออกมา .

ดังนั้น การทดสอบ ผลลัพธ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และมีความน่าจะเป็นพอๆ กัน จึงถูกลดขนาดให้เหลือแบบโกศหรือแบบกล่อง หรือแบบแผนดั้งเดิม

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้เท่าๆ กันซึ่งประกอบกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จะถูกเรียกง่ายๆ ว่ากรณีหรือโอกาส ยิ่งไปกว่านั้น ในแต่ละการทดลองพร้อมกับกรณีต่างๆ อาจเกิดเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นได้

ตัวอย่าง: เมื่อทอยลูกเต๋าพร้อมกับกรณี A i - i-แต้มตกลงบนหน้า เหตุการณ์เช่น B - แต้มเป็นเลขคู่ C - แต้มสามแต้มร่วงหล่น ...

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับแต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการดำเนินการทดลองนั้น จะแบ่งกรณีต่างๆ ออกเป็น ดีซึ่งเหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และเสียเปรียบ ซึ่งเหตุการณ์นี้จะไม่เกิดขึ้น ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนโดยกรณี A 2 , A 4 , A 6 ; เหตุการณ์ C - กรณี A 3 , A 6 .

ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่างคืออัตราส่วนของจำนวนกรณีและปัญหาที่สนับสนุนการปรากฏของเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนกรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน เข้ากันไม่ได้ ซึ่งประกอบกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ในประสบการณ์ที่กำหนด:

ที่ไหน พี(เอ)- ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A; ม- จำนวนกรณีที่ดีสำหรับเหตุการณ์ A; นคือจำนวนคดีทั้งหมด

ตัวอย่าง:

1) (ดูตัวอย่างด้านบน) พี(บี)= , พี(ค) =.

2) โกศมีลูกบอลสีแดง 9 ลูกและสีน้ำเงิน 6 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลหนึ่งหรือสองลูกที่สุ่มออกมาจะเป็นสีแดง

ก- สุ่มจับลูกบอลสีแดง:

ม= 9, น= 9 + 6 = 15, พี(เอ)=

ข- สุ่มจับลูกบอลสีแดงสองลูก:

คุณสมบัติต่อไปนี้ตามมาจากคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น (แสดงตัวคุณเอง):

1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือ 0;

2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างคือ 1;

3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1;

4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถือว่าจำนวนผลลัพธ์ของการทดลองมีจำกัด อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มักจะมีการทดลองเกิดขึ้น ซึ่งจำนวนกรณีที่เป็นไปได้นั้นไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้ จุดอ่อนของคำนิยามแบบคลาสสิกก็คือ บ่อยครั้งเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแสดงผลการทดสอบเป็นชุดของเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นการยากที่จะระบุเหตุผลในการพิจารณาผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบว่ามีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน โดยปกติแล้ว ความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบจะสรุปได้จากการพิจารณาความสมมาตร อย่างไรก็ตามงานดังกล่าวหายากมากในทางปฏิบัติ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ ควบคู่ไปกับคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น จึงมีการใช้คำจำกัดความอื่นๆ ของความน่าจะเป็นด้วย

ความน่าจะเป็นทางสถิติเหตุการณ์ A คือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบที่ดำเนินการ:

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A อยู่ที่ไหน

ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ A;

จำนวนการทดลองที่เหตุการณ์ A ปรากฏขึ้น

จำนวนการทดลองทั้งหมด

ความน่าจะเป็นทางสถิติเป็นลักษณะของการทดลอง

ตัวอย่าง: เพื่อควบคุมคุณภาพของผลิตภัณฑ์จากแบทช์ มีการสุ่มเลือกผลิตภัณฑ์ 100 รายการ ซึ่งมีผลิตภัณฑ์ 3 รายการที่มีข้อบกพร่อง กำหนดความน่าจะเป็นของการแต่งงาน

.

วิธีการทางสถิติในการพิจารณาความน่าจะเป็นใช้ได้กับเหตุการณ์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้เท่านั้น:

เหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาควรเป็นผลลัพธ์ของการทดลองที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งภายใต้เงื่อนไขชุดเดียวกัน

เหตุการณ์ต้องมีความเสถียรทางสถิติ (หรือความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์) ซึ่งหมายความว่าในการทดสอบชุดต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ

จำนวนการทดลองที่ส่งผลให้เกิดเหตุการณ์ A ต้องมากพอ

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติของความน่าจะเป็นซึ่งตามมาจากคำจำกัดความแบบดั้งเดิมนั้นยังคงอยู่ในคำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

สำหรับกิจกรรมภาคปฏิบัติจำเป็นต้องสามารถเปรียบเทียบเหตุการณ์ตามระดับความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้น ลองพิจารณากรณีคลาสสิก โกศบรรจุลูกบอล 10 ลูก โดย 8 ลูกเป็นสีขาวและ 2 ลูกเป็นสีดำ เห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์ “ลูกบอลสีขาวจะถูกดึงออกจากโกศ” และเหตุการณ์ “ลูกบอลสีดำจะถูกดึงออกจากโกศ” มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นในระดับที่แตกต่างกัน ดังนั้นในการเปรียบเทียบเหตุการณ์ต่างๆ จึงจำเป็นต้องมีมาตรการเชิงปริมาณ

การวัดเชิงปริมาณของความเป็นไปได้ของเหตุการณ์คือ ความน่าจะเป็น . ความหมายที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือคำนิยามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองคำ: แบบคลาสสิกและเชิงสถิติ

คำนิยามคลาสสิกความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับความคิดของผลลัพธ์ที่ดี เรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า

ให้ผลลัพธ์ของการทดสอบบางส่วนเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์และมีความน่าจะเป็นเท่าๆ กัน เช่น เป็นไปได้เฉพาะ ไม่สอดคล้องกัน และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ผลลัพธ์ดังกล่าวเรียกว่า ผลลัพธ์เบื้องต้น, หรือ กรณี. ว่ากันว่าการทดสอบจะลดลงเหลือ แผนภูมิกรณีหรือ " รูปแบบโกศ", เพราะ ปัญหาความน่าจะเป็นใด ๆ สำหรับการทดสอบดังกล่าวสามารถแทนที่ด้วยปัญหาที่เทียบเท่ากับโกศและลูกบอลที่มีสีต่างกัน

อพยพ ก็เรียก ดีเหตุการณ์ กหากการเกิดกรณีนี้เกี่ยวข้องกับการเกิดเหตุการณ์ ก.

ตามนิยามคลาสสิก ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด, เช่น.

,

(1.1)

ที่ไหน พี(เอ)- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก; ม- จำนวนกรณีที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ ก; นคือจำนวนคดีทั้งหมด

ตัวอย่าง 1.1.เมื่อโยนลูกเต๋า เป็นไปได้หกผลลัพธ์ - แพ้ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แต้ม ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นเลขคู่คืออะไร?

สารละลาย. ทั้งหมด น= ผลลัพธ์ 6 รายการเป็นกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์และมีความน่าจะเป็นเท่าๆ กัน เช่น เป็นไปได้เฉพาะ ไม่สอดคล้องกัน และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน เหตุการณ์ A - "การปรากฏตัวของคะแนนเลขคู่" - ได้รับการสนับสนุนโดย 3 ผลลัพธ์ (กรณี) - การสูญเสีย 2, 4 หรือ 6 คะแนน เราได้รับตามสูตรคลาสสิกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

พี(เอ) = = . ◄

ตามคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เราบันทึกคุณสมบัติของมัน:

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง เช่น

0 ≤ ร(ก) ≤ 1.

2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเท่ากับหนึ่ง

3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เป็นศูนย์

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นใช้ได้เฉพาะกับเหตุการณ์ที่สามารถปรากฏเป็นผลของการทดลองที่มีความสมมาตรของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เช่น ลดได้ตามรูปแบบของคดี อย่างไรก็ตาม มีเหตุการณ์หลายประเภทที่ไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยใช้คำจำกัดความแบบดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น หากเราคิดว่าเหรียญแบนราบ ก็จะเห็นได้ชัดว่าเหตุการณ์ "ลักษณะที่ปรากฏของแขน" และ "ลักษณะที่ปรากฏของหาง" ไม่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ดังนั้นสูตรสำหรับกำหนดความน่าจะเป็นตามรูปแบบคลาสสิกจึงใช้ไม่ได้ในกรณีนี้

อย่างไรก็ตาม มีอีกวิธีหนึ่งในการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ โดยพิจารณาจากความถี่ที่เหตุการณ์หนึ่งๆ จะเกิดขึ้นในการทดสอบที่ดำเนินการ ในกรณีนี้ จะใช้คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นทางสถิติเหตุการณ์ A คือความถี่สัมพัทธ์ (ความถี่) ของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบ n ครั้งที่ดำเนินการ เช่น

,

(1.2)

ที่ไหน ร * (เอ)คือความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ ก; ว(ก)คือความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ ก; มคือจำนวนการทดลองที่เหตุการณ์นั้นเกิดขึ้น ก; นคือจำนวนการทดลองทั้งหมด

ซึ่งแตกต่างจากความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ พี(เอ)พิจารณาในคำจำกัดความคลาสสิก ความน่าจะเป็นทางสถิติ ร * (เอ)เป็นลักษณะ มีประสบการณ์, การทดลอง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นทางสถิติของเหตุการณ์ กหมายเลขถูกเรียกซึ่งสัมพันธ์กับความถี่สัมพัทธ์ที่เสถียร (จัดตั้งขึ้น) ว(ก)ด้วยการเพิ่มจำนวนการทดสอบที่ดำเนินการอย่างไม่จำกัดภายใต้เงื่อนไขชุดเดียวกัน

ตัวอย่างเช่นเมื่อพวกเขาพูดถึงมือปืนที่เขายิงเข้าเป้าด้วยความน่าจะเป็น 0.95 หมายความว่าเขายิงออกไปหนึ่งร้อยนัดภายใต้เงื่อนไขบางประการ (เป้าหมายเดียวกันในระยะเดียวกัน ปืนไรเฟิลเดียวกัน ฯลฯ . ) โดยเฉลี่ยแล้วมีประมาณ 95 คนที่ประสบความสำเร็จ โดยธรรมชาติแล้วไม่ใช่ทุก ๆ ร้อยที่จะมีการยิงสำเร็จ 95 นัด บางครั้งอาจมีน้อยกว่านี้ บางครั้งก็มากกว่านั้น แต่โดยเฉลี่ยแล้วด้วยการยิงซ้ำ ๆ กันภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เปอร์เซ็นต์ของการยิงนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง หมายเลข 0.95 ซึ่งทำหน้าที่เป็นตัวบ่งชี้ทักษะของนักกีฬามักจะมาก มั่นคง, เช่น. เปอร์เซ็นต์ของการโจมตีในการยิงส่วนใหญ่จะเกือบเท่ากันสำหรับการยิงที่กำหนด เฉพาะในกรณีที่หายากเท่านั้นที่เบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญจากค่าเฉลี่ยของมัน

ข้อเสียอีกประการหนึ่งของคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ( 1.1 ) ซึ่งจำกัดการใช้งานคือถือว่าผลการทดสอบเป็นไปได้เป็นจำนวนจำกัด ในบางกรณี ข้อบกพร่องนี้สามารถเอาชนะได้โดยใช้นิยามทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็น เช่น การหาความน่าจะเป็นที่จะชนจุดหนึ่งในพื้นที่ใดพื้นที่หนึ่ง (ส่วน ส่วนของระนาบ ฯลฯ)

ปล่อยให้ร่างแบน ชเป็นส่วนหนึ่งของร่างแบน ช(รูปที่ 1.1) บนร่าง ชจุดถูกโยนแบบสุ่ม ซึ่งหมายความว่าทุกจุดในพื้นที่ ช"เท่ากับ" ที่เกี่ยวข้องกับการตีด้วยจุดสุ่มโยน สมมติว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก- ตีจุดที่โยนบนร่าง ช- เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของตัวเลขนี้และไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่สัมพันธ์กับ ชทั้งจากแบบฟอร์ม ช, หา

ข้าว. 1.1 รูปที่ 1.2

ตัวอย่าง 1.2นักเรียนสองคนตกลงที่จะพบกันในสถานที่หนึ่งระหว่างเวลา 10 ถึง 11 โมงในตอนบ่าย คนแรกที่มาถึงรอคนที่สองเป็นเวลา 15 นาทีหลังจากนั้นเขาก็ออกไป ค้นหาความน่าจะเป็นที่การประชุมจะเกิดขึ้นหากนักเรียนแต่ละคนสุ่มเลือกเวลาที่เขาจะมาถึงระหว่าง 10 ถึง 11 นาฬิกา

สารละลาย. ให้เราแสดงช่วงเวลาที่มาถึงสถานที่หนึ่งของนักเรียนที่หนึ่งและสองตามลำดับผ่าน xและ ย. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อ๊อกซี่ให้ใช้เวลา 10 ชั่วโมงเป็นจุดเริ่มต้น และ 1 ชั่วโมงเป็นหน่วยการวัด ตามเงื่อนไข 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ ย≤ 1. ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นไปตามพิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตกลงโดยมีด้านเท่ากับ 1 (รูปที่ 1.2) เหตุการณ์ ก– การพบกันของนักเรียนสองคน – จะเกิดขึ้นหากความแตกต่างระหว่าง xและไม่ ยจะเกิน 1/4 ชั่วโมง (ในค่าสัมบูรณ์) เช่น | ย – x| ≤ 0,25.

วิธีแก้อสมการนี้คือแถบ x – 0,25 ≤ ย ≤ x+ 0.25 ซึ่งอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ชแสดงถึงพื้นที่แรเงา ช. ตามสูตร (1.3)

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นถือว่าผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน สรุปความสมมูลของผลการทดลองได้เนื่องจากการพิจารณาความสมมาตร ปัญหาในการใช้การพิจารณาความสมมาตรนั้นหายากในทางปฏิบัติ ในหลายกรณี เป็นการยากที่จะให้เหตุผลในการเชื่อว่าผลลัพธ์พื้นฐานทั้งหมดมีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ในเรื่องนี้ จำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความของความน่าจะเป็นอีกแบบหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าสถิติ ให้เราแนะนำแนวคิดของความถี่สัมพัทธ์กันก่อน

ความถี่ของเหตุการณ์สัมพัทธ์หรือความถี่ คืออัตราส่วนของจำนวนการทดสอบที่เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นกับจำนวนการทดสอบทั้งหมดที่ทำขึ้น ระบุความถี่ของเหตุการณ์ กผ่าน ว(ก),แล้ว

ที่ไหน นคือจำนวนการทดลองทั้งหมด มคือจำนวนการทดลองที่เหตุการณ์เกิดขึ้น ก.

ด้วยการทดลองจำนวนน้อย ความถี่ของเหตุการณ์จึงเป็นแบบสุ่มเป็นส่วนใหญ่ และอาจแตกต่างกันอย่างชัดเจนจากกลุ่มการทดลองหนึ่งไปยังอีกกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ 10 ครั้ง มีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่ตราอาร์มจะปรากฏ 2 ครั้ง (ความถี่ 0.2) และการโยนอีก 10 ครั้ง เราอาจได้รับตราแผ่นดิน 8 ครั้ง (ความถี่ 0.8) อย่างไรก็ตาม เมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น ความถี่ของเหตุการณ์จะสูญเสียอักขระแบบสุ่มมากขึ้นเรื่อยๆ สถานการณ์สุ่มที่แปลกประหลาดสำหรับประสบการณ์แต่ละอย่างจะหักล้างกันเป็นก้อน และความถี่มีแนวโน้มที่จะคงที่ กำลังเข้าใกล้ โดยมีความผันผวนเล็กน้อย ค่าคงที่เฉลี่ยบางส่วน ค่าคงที่นี้ซึ่งเป็นลักษณะเชิงตัวเลขของปรากฏการณ์ถือเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้

คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น: ความน่าจะเป็นเหตุการณ์เรียกว่าตัวเลขซึ่งค่าความถี่ของเหตุการณ์ที่กำหนดในชุดการทดสอบต่างๆ จำนวนมากจะถูกจัดกลุ่ม

คุณสมบัติของความเสถียรของความถี่ซึ่งได้รับการตรวจสอบซ้ำแล้วซ้ำเล่าจากการทดลองและได้รับการยืนยันจากประสบการณ์ของมนุษยชาติ เป็นหนึ่งในความสม่ำเสมอที่มีลักษณะเฉพาะมากที่สุดที่สังเกตได้ในปรากฏการณ์สุ่ม มีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างความถี่ของเหตุการณ์และความน่าจะเป็น ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้: เมื่อเราประเมินระดับความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ เราจะเชื่อมโยงการประเมินนี้กับความถี่ของการเกิดเหตุการณ์ที่คล้ายกันมากขึ้นหรือน้อยลงในทางปฏิบัติ .

ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถือว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นมีจำกัด ในทางปฏิบัติ มีการทดลองที่ชุดของผลลัพธ์ดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อที่จะเอาชนะข้อบกพร่องของคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ซึ่งก็คือว่ามันใช้ไม่ได้กับการทดลองที่มีจำนวนผลลัพธ์ไม่สิ้นสุด เราขอแนะนำ ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต - ความน่าจะเป็นของจุดที่ตกลงมาในพื้นที่

สมมติว่ามีการให้พื้นที่กำลังสองบนระนาบ ช, เช่น. พื้นที่ที่มีพื้นที่ เอส จี. ในพื้นที่ ชมีพื้นที่ ชพื้นที่ เอส จี. ไปยังพื้นที่ ชจุดถูกโยนแบบสุ่ม เราจะถือว่าจุดที่ขว้างไปตกในพื้นที่บางส่วนได้ ชโดยมีความน่าจะเป็นเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ของส่วนนี้และไม่ขึ้นกับรูปร่างและที่ตั้ง ปล่อยให้เหตุการณ์ ก- "การตีจุดโยนในพื้นที่ ช" จากนั้นความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตของเหตุการณ์นี้จะถูกกำหนดโดยสูตร:

ในกรณีทั่วไป แนวคิดของความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตมีดังต่อไปนี้ แสดงการวัดพื้นที่ ช(ความยาว พื้นที่ ปริมาตร) ถึง เมส ก, และการวัดพื้นที่ ช- ผ่าน เมส จี ; ให้ด้วย ก– เหตุการณ์ “จุดโยนกระทบพื้นที่ ชซึ่งมีอยู่ในพื้นที่ ช". โอกาสในการตีพื้นที่ ชจุดที่โยนลงไปในพื้นที่ ชถูกกำหนดโดยสูตร

.

งาน. สี่เหลี่ยมถูกจารึกไว้ในวงกลม จุดหนึ่งถูกสุ่มโยนเข้าไปในวงกลม ความน่าจะเป็นที่จุดจะตกลงในตารางเป็นเท่าใด

สารละลาย.ให้รัศมีของวงกลมเป็น รแล้วพื้นที่ของวงกลมคือ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อพื้นที่วงกลม เช่น .

ควบคุมคำถาม

1. อะไรเรียกว่าการทดสอบ (การทดลอง)?

2. เหตุการณ์เรียกว่าอะไร

3. เหตุการณ์ใดที่เรียกว่า ก) เชื่อถือได้? ข) สุ่ม? ค) เป็นไปไม่ได้?

4. เหตุการณ์ใดที่เรียกว่า a) เข้ากันไม่ได้? ข) ข้อต่อ?

5. เหตุการณ์ใดที่เรียกว่าตรงกันข้าม พวกเขา a) เข้ากันไม่ได้ b) ร่วมกันเป็นแบบสุ่มหรือไม่?

6. เหตุการณ์สุ่มแบบครบกลุ่มเรียกว่าอะไร

7. หากเหตุการณ์ทั้งหมดไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้เนื่องจากผลการทดสอบ เหตุการณ์เหล่านั้นจะจับคู่กันไม่ได้หรือไม่?

8. ทำแบบฟอร์มกิจกรรม กและทั้งกลุ่ม?

9. ผลลัพธ์เบื้องต้นใดที่สนับสนุนกิจกรรมนี้

10. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกคืออะไร?

11. ข้อ จำกัด ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ คืออะไร?

12. ความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมจะใช้ภายใต้เงื่อนไขใด

13. ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตใช้ภายใต้เงื่อนไขใด

14. นิยามความน่าจะเป็นแบบใดที่เรียกว่าเรขาคณิต

15. ความถี่ของเหตุการณ์คืออะไร?

16. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นทางสถิติคืออะไร?

ควบคุมงาน

1. จากตัวอักษรของคำว่า "เรือนกระจก" ตัวอักษรหนึ่งตัวจะถูกดึงออกมาแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรนี้เป็นสระ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป็นตัวอักษร "o"

2. ตัวอักษร "o", "p", "s", "t" เขียนบนการ์ดที่เหมือนกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่คำว่า "เชือก" จะปรากฏบนการ์ดที่สุ่มเรียงกัน

3. มีผู้หญิง 4 คนและผู้ชาย 3 คนในทีม ในบรรดาสมาชิกของกลุ่ม ตั๋ว 4 ใบสำหรับโรงละครถูกจับฉลาก ความน่าจะเป็นที่จะมีผู้หญิง 2 คนและผู้ชาย 2 คนในหมู่ผู้ถือตั๋วเป็นเท่าไหร่?

4. ทอยลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองลูกจะมากกว่า 6

5. ตัวอักษร l, m, o, o, t เขียนบนการ์ดที่เหมือนกัน 5 ใบ ความน่าจะเป็นที่การสุ่มหยิบการ์ดออกทีละใบเราจะได้คำว่า "ค้อน" ตามลำดับการปล่อย ?

6. จากตั๋ว 10 ใบ ชนะ 2 ใบ ความน่าจะเป็นที่ในบรรดาตั๋ว 5 ใบที่จับมาแบบสุ่ม จะมีใบใดใบหนึ่งเป็นผู้ชนะ?

7. อะไรคือความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองหลักที่สุ่มเลือกจะมีค่าเท่ากับศูนย์

8. สุ่มเลือกตัวเลขที่ไม่เกิน 30 จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนี้เป็นตัวหารของ 30

9. สุ่มเลือกตัวเลขที่ไม่เกิน 30 จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนี้จะเป็นผลคูณของ 3

10. สุ่มเลือกตัวเลขไม่เกิน 50 จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ