เมื่อสมการมีจำนวนรากเป็นอนันต์ รากของสมการ - ข้อมูลการหาข้อเท็จจริง

ในพีชคณิตมีแนวคิดเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันสองประเภท - อัตลักษณ์และสมการ ตัวตนเป็นสิ่งที่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นไปได้สำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น สมการก็มีความเท่าเทียมกันเช่นกัน แต่เป็นไปได้สำหรับค่าบางอย่างของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้นเท่านั้น

ตัวอักษรตามเงื่อนไขของปัญหามักจะไม่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าบางคนสามารถยอมรับอะไรก็ได้ ค่าที่อนุญาตเรียกว่าสัมประสิทธิ์ (หรือพารามิเตอร์) ในขณะที่คนอื่น ๆ - เรียกว่าไม่ทราบค่า - รับค่าที่ต้องพบในกระบวนการแก้ปัญหา ตามกฎแล้ว ปริมาณที่ไม่รู้จักจะแสดงในสมการด้วยตัวอักษร ตัวสุดท้ายใน (x.y.z ฯลฯ ) หรือด้วยตัวอักษรเดียวกัน แต่มีดัชนี (x 1, x 2 ฯลฯ ) และค่าสัมประสิทธิ์ที่ทราบ - โดย อักษรตัวแรกของอักษรตัวเดียวกันนั้น

ตามจำนวนของนิรนาม สมการที่มีหนึ่ง สอง และหลายนิรนามจะแยกความแตกต่าง ดังนั้นค่าทั้งหมดของนิรนามซึ่งสมการที่แก้ได้จะกลายเป็นเอกลักษณ์จึงเรียกว่าการแก้สมการ สมการสามารถแก้ได้หากพบคำตอบทั้งหมดหรือพิสูจน์แล้วว่าไม่มีคำตอบ งาน "แก้สมการ" เป็นเรื่องปกติในทางปฏิบัติและหมายความว่าคุณจำเป็นต้องค้นหารากของสมการ

คำนิยาม: รากของสมการคือค่าของสิ่งที่ไม่รู้จากพื้นที่ที่ยอมรับได้ ซึ่งสมการที่แก้ได้จะกลายเป็นเอกลักษณ์.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการทั้งหมดเหมือนกัน และความหมายของมันคือการใช้ การแปลงทางคณิตศาสตร์นิพจน์นี้นำไปสู่มากขึ้น สายตาธรรมดา.
สมการที่มีรากเหมือนกันเรียกว่าสมการเทียบเท่าในพีชคณิต

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: 7x-49=0 รากของสมการคือ x=7;
x-7=0, ในทำนองเดียวกัน ราก x=7 ดังนั้น สมการจึงเท่ากัน (ในกรณีพิเศษ สมการเทียบเท่าอาจไม่มีรากเลย)

ถ้ารากของสมการเป็นรากของอีกสมการหนึ่งด้วย สมการที่ง่ายกว่าที่ได้จากสมการเดิมโดยการแปลงค่า สมการหลังจะถูกเรียก ผลที่ตามมาของสมการก่อนหน้า

หากสมการใดสมการหนึ่งเป็นผลจากอีกสมการหนึ่ง จะถือว่าสมการนั้นเท่ากัน พวกเขาจะเรียกว่าเทียบเท่า ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นสิ่งนี้

ทางออกที่ดีที่สุด สมการง่ายๆในทางปฏิบัติมักทำให้เกิดปัญหา จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา คุณจะได้หนึ่งรูทของสมการ สองหรือมากกว่า แม้กระทั่งจำนวนอนันต์ ขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ นอกจากนี้ยังมีผู้ที่ไม่มีรากเรียกว่าไม่สามารถตัดสินใจได้

ตัวอย่าง:
1) 15x -20=10; x=2. นี่เป็นรากเดียวของสมการ
2) 7x - y=0. สมการมี ชุดอนันต์ root เนื่องจากตัวแปรแต่ละตัวสามารถมี นับไม่ถ้วนค่า
3) x 2 \u003d - 16. ตัวเลขที่เพิ่มระดับที่สองจะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกเสมอ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหารากของสมการ นี่เป็นหนึ่งในสมการที่แก้ไม่ได้ที่กล่าวไว้ข้างต้น

ตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหาโดยการแทนที่รากที่พบแทนตัวอักษรและแก้ตัวอย่างผลลัพธ์ หากข้อมูลระบุตัวตนมีอยู่ แสดงว่าวิธีแก้ปัญหานั้นถูกต้อง

เมื่อได้รับแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน และทำความคุ้นเคยกับประเภทใดประเภทหนึ่ง - ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข คุณสามารถเริ่มพูดถึงความเท่าเทียมกันอีกรูปแบบหนึ่งซึ่งสำคัญมากจากมุมมองเชิงปฏิบัติ - เกี่ยวกับสมการ ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ สมการคืออะไรและสิ่งที่เรียกว่ารากของสมการ ที่นี่เราให้คำจำกัดความที่สอดคล้องกัน และยังให้ตัวอย่างต่างๆ ของสมการและรากของสมการอีกด้วย

การนำทางหน้า

สมการคืออะไร?

ความคุ้นเคยกับสมการอย่างมีจุดมุ่งหมายมักจะเริ่มต้นในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 ในเวลานี้ต่อไปนี้ นิยามสมการ:

คำนิยาม.

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีจำนวนที่ไม่รู้จักที่จะพบ

ตัวเลขที่ไม่รู้จักในสมการมักใช้อักษรละตินตัวเล็ก เช่น p, t, u เป็นต้น แต่ส่วนใหญ่มักใช้ตัวอักษร x, y และ z

ดังนั้น สมการจึงถูกกำหนดจากมุมมองของรูปแบบของสัญกรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความเท่าเทียมกันคือสมการเมื่อเป็นไปตามกฎสัญกรณ์ที่ระบุ ซึ่งมีตัวอักษรที่ต้องการหาค่า

ให้เรายกตัวอย่างสมการแรกและง่ายที่สุด เริ่มต้นด้วยสมการเช่น x=8 , y=3 เป็นต้น สมการที่มีเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พร้อมกับตัวเลขและตัวอักษรดูซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2

ความหลากหลายของสมการจะเพิ่มขึ้นหลังจากรู้จักกับ - สมการที่มีวงเล็บเหลี่ยมเริ่มปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น 2 (x-1)=18 และ x+3 (x+2 (x−2))=3 ตัวอักษรที่ไม่รู้จักสามารถปรากฏได้หลายครั้งในสมการ เช่น x+3+3 x−2−x=9 และตัวอักษรสามารถอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ทางด้านขวา หรือทั้งสองด้านของสมการ สมการ เช่น x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 หรือ 3 x−4=2 (x+12)

หลังจากเรียนจบ ตัวเลขธรรมชาติมีความคุ้นเคยกับจำนวนเต็ม ตรรกยะ จำนวนจริง วัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ ที่มีการศึกษา: องศา ราก ลอการิทึม ฯลฯ ในขณะที่สมการประเภทใหม่ ๆ ปรากฏขึ้นที่มีสิ่งเหล่านี้ ตัวอย่างสามารถพบได้ในบทความ สมการประเภทหลักเรียนที่โรงเรียน

ในชั้น ป.7 พร้อมด้วยตัวอักษรซึ่งหมายถึงบางตัว เฉพาะตัวเลข, เริ่มพิจารณาตัวอักษรที่รับได้ ความหมายต่างๆเรียกว่าตัวแปร (ดูบทความ) ในกรณีนี้ คำว่า "ตัวแปร" ถูกนำมาใช้ในนิยามของสมการ และจะกลายเป็นดังนี้:

คำนิยาม.

สมการตั้งชื่อความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่จะพบค่า

ตัวอย่างเช่น สมการ x+3=6 x+7 เป็นสมการที่มีตัวแปร x และ 3 z-1+z=0 เป็นสมการที่มีตัวแปร z

ในบทเรียนพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เดียวกัน มีการประชุมกับสมการที่มีในบันทึกของพวกเขาไม่ใช่หนึ่ง แต่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัวแปรที่แตกต่างกัน เรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว ในอนาคต อนุญาตให้มีตัวแปรสามตัวขึ้นไปในบันทึกสมการได้

คำนิยาม.

สมการที่มีหนึ่ง สอง สาม เป็นต้น ตัวแปร- นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก 1, 2, 3, ... ในบันทึกตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น สมการ 3.2 x+0.5=1 เป็นสมการที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว ในทางกลับกัน สมการของรูปแบบ x−y=3 คือสมการที่มีตัวแปร x และ y สองตัว และอีกหนึ่งตัวอย่าง: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . เป็นที่ชัดเจนว่าสมการดังกล่าวเป็นสมการที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักสามตัว x, y และ z

รากของสมการคืออะไร?

นิยามของรูทของสมการนั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับนิยามของสมการ เราจะใช้เหตุผลที่จะช่วยให้เราเข้าใจว่ารากของสมการคืออะไร

สมมติว่าเรามีสมการหนึ่งตัวอักษร (ตัวแปร) หากแทนที่ตัวอักษรที่รวมอยู่ในบันทึกของสมการนี้ จำนวนหนึ่งถูกแทนที่ จากนั้นสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกันที่ได้อาจเป็นได้ทั้งจริงและเท็จ ตัวอย่างเช่น หากแทนที่ตัวอักษร a ในสมการ a+1=5 เราแทนที่ตัวเลข 2 เราก็จะได้ค่าความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง 2+1=5 ถ้าเราแทนเลข 4 แทน a ในสมการนี้ เราก็จะได้ค่าเท่ากัน 4+1=5

ในทางปฏิบัติในกรณีส่วนใหญ่ที่น่าสนใจคือค่าของตัวแปรดังกล่าวการแทนที่ในสมการจะให้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องค่าเหล่านี้เรียกว่ารากหรือการแก้ปัญหา สมการที่กำหนด.

คำนิยาม.

รากของสมการ- นี่คือค่าของตัวอักษร (ตัวแปร) เมื่อแทนที่ซึ่งสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง

โปรดทราบว่ารากของสมการที่มีตัวแปรเดียวเรียกอีกอย่างว่าคำตอบของสมการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบของสมการและรากของสมการคือสิ่งเดียวกัน

ให้เราอธิบายคำจำกัดความนี้ด้วยตัวอย่าง ในการทำเช่นนี้ เรากลับไปที่สมการที่เขียนไว้ด้านบน a+1=5 ตามคำจำกัดความของรากของสมการที่เปล่งออกมา ตัวเลข 4 คือรากของสมการนี้ เนื่องจากเมื่อแทนที่ตัวเลขนี้แทนตัวอักษร a เราจึงได้ค่าเท่ากัน 4+1=5 ที่ถูกต้อง และเลข 2 ไม่ใช่ รากของมันเนื่องจากสอดคล้องกับรูปแบบที่ไม่ถูกต้อง 2+1= 5 .

ณ จุดนี้ คำถามทางธรรมชาติจำนวนหนึ่งเกิดขึ้น: “สมการใดมีรากหรือไม่ และรากมีกี่ราก สมการที่กำหนด"? เราจะตอบพวกเขา

มีทั้งสมการที่มีรากและสมการที่ไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการ x+1=5 มีราก 4 และสมการ 0 x=5 ไม่มีราก เนื่องจากไม่ว่าเราจะแทนที่ตัวเลขใดในสมการนี้แทนตัวแปร x เราก็จะได้ค่าเท่ากันที่ผิด 0= 5.

ส่วนจำนวนรากของสมการนั้นมีอยู่เป็นสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ จำนวนจำกัดราก (หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ) และสมการที่มีรากมากมายเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น สมการ x−2=4 มีรากเดียว 6 , รากของสมการ x 2 =9 เป็นตัวเลขสองตัว −3 และ 3 , สมการ x (x-1) (x−2)=0 มีสามตัว ราก 0 , 1 และ 2 และคำตอบของสมการ x=x คือจำนวนใดๆ นั่นคือมีจำนวนรากเป็นอนันต์

ควรพูดสองสามคำเกี่ยวกับสัญกรณ์ที่ยอมรับของรากของสมการ ถ้าสมการไม่มีราก โดยปกติแล้วจะเขียนว่า "สมการไม่มีราก" หรือใช้เครื่องหมายของเซตว่าง ∅ หากสมการมีราก ให้เขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค หรือเขียนเป็น ชุดองค์ประกอบในวงเล็บปีกกา ตัวอย่างเช่น หากรากของสมการเป็นตัวเลข -1, 2 และ 4 ให้เขียน -1, 2, 4 หรือ (-1, 2, 4) นอกจากนี้ยังสามารถเขียนรากของสมการในรูปแบบของความเท่าเทียมกันอย่างง่าย ตัวอย่างเช่น หากตัวอักษร x เข้าสู่สมการ และรากของสมการนี้คือตัวเลข 3 และ 5 คุณสามารถเขียน x=3, x=5 และตัวห้อย x 1 =3 x 2 =5 ได้บ่อยครั้ง ให้กับตัวแปรราวกับว่าระบุตัวเลขรากของสมการ ชุดรากอนันต์ของสมการมักจะเขียนในรูปแบบ หากเป็นไปได้ ให้ใช้สัญกรณ์ของเซตของจำนวนธรรมชาติ N, จำนวนเต็ม Z, จำนวนจริง R ตัวอย่างเช่น ถ้ารูทของสมการที่มีตัวแปร x เป็นจำนวนเต็ม พวกมันจะเขียน และถ้ารูทของสมการที่มีตัวแปร y เป็นจำนวนใด เบอร์จริงจาก 1 ถึง 9 รวมแล้วจดไว้

สำหรับสมการที่มีสอง สาม และ ปริมาณมากตามกฎแล้วตัวแปรอย่าใช้คำว่า "รูทของสมการ" ในกรณีนี้พวกเขาพูดว่า "การแก้สมการ" อะไรเรียกว่าการแก้สมการที่มีหลายตัวแปร? ให้เราให้คำจำกัดความที่เหมาะสม

คำนิยาม.

การแก้สมการด้วยสอง สาม ฯลฯ ตัวแปรเรียกคู่ สาม ฯลฯ ค่าของตัวแปรซึ่งเปลี่ยนสมการนี้เป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

เราจะแสดงตัวอย่างอธิบาย พิจารณาสมการที่มีตัวแปรสองตัว x+y=7 . เราแทนที่หมายเลข 1 แทน x และแทนที่หมายเลข 2 แทน y ในขณะที่เรามีความเท่าเทียมกัน 1+2=7 เห็นได้ชัดว่ามันไม่ถูกต้อง ดังนั้น ค่าคู่ x=1 , y=2 ไม่ใช่คำตอบของสมการที่เขียน หากเราใช้คู่ของค่า x=4 , y=3 จากนั้นหลังจากการแทนที่ลงในสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง 4+3=7 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้ตามคำจำกัดความจึงเป็นวิธีแก้ปัญหา ไปยังสมการ x+y=7 .

สมการที่มีตัวแปรหลายตัว เช่น สมการที่มีตัวแปรเดียว อาจไม่มีราก อาจมีรากจำนวนจำกัด หรืออาจมีรากจำนวนมากเป็นอนันต์

คู่, สาม, สี่, ฯลฯ. ค่าตัวแปรมักจะเขียนสั้นๆ โดยระบุค่าที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในวงเล็บ ในกรณีนี้ ตัวเลขที่เขียนในวงเล็บจะสัมพันธ์กับตัวแปรตามลำดับตัวอักษร มาชี้แจงประเด็นนี้โดยกลับไปที่สมการก่อนหน้า x+y=7 คำตอบของสมการนี้ x=4 , y=3 สามารถเขียนสั้น ๆ ได้เป็น (4, 3)

ความสนใจมากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ พีชคณิต และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์คือการหารากของสมการด้วยตัวแปรเดียว เราจะวิเคราะห์กฎของกระบวนการนี้โดยละเอียดในบทความ แก้สมการ.

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์. 2 เซลล์ Proc. เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันที่มี adj. ไปเป็นอิเล็กตรอน ผู้ให้บริการ. เวลา 2 นาฬิกา ตอนที่ 1 / [ม. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova และคนอื่นๆ] - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2555. - 96 น.: ป่วย. - (โรงเรียนของรัสเซีย). - ไอ 978-5-09-028297-0.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5

หลังจากที่เราศึกษาแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันแล้ว นั่นคือประเภทหนึ่ง - ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข เราก็สามารถย้ายไปยังอีกรูปแบบหนึ่งได้ มุมมองที่สำคัญ- สมการ เป็นส่วนหนึ่งของ วัสดุนี้เราจะอธิบายว่าสมการคืออะไรและรากของมัน กำหนดคำจำกัดความพื้นฐานและให้ ตัวอย่างต่างๆสมการและการหารากของพวกมัน

Yandex.RTB R-A-339285-1

แนวคิดของสมการ

โดยปกติแล้ว แนวคิดของสมการจะได้รับการศึกษาตั้งแต่เริ่มต้น หลักสูตรโรงเรียนพีชคณิต. แล้วกำหนดไว้ดังนี้

คำจำกัดความ 1

สมการเรียกว่าความเท่าเทียมกับ ไม่ทราบจำนวนที่จะพบ

เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักด้วยขนาดเล็ก ด้วยอักษรละตินตัวอย่างเช่น t , r , m เป็นต้น แต่ส่วนใหญ่มักใช้ x , y , z กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการจะเป็นตัวกำหนดรูปแบบของการบันทึก กล่าวคือ ความเสมอภาคจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อลดค่าลงเหลือ บางชนิด- ต้องมีตัวอักษรเป็นค่าที่จะหาได้

ให้เรายกตัวอย่างของสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งเหล่านี้อาจเป็นความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = 5 , y = 6 เป็นต้น รวมถึงรูปแบบที่รวมถึง การดำเนินการเลขคณิตตัวอย่างเช่น x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 t = 4 , 6: x = 3 .

หลังจากศึกษาแนวคิดของวงเล็บแล้ว แนวคิดของสมการที่มีวงเล็บจะปรากฏขึ้น ซึ่งรวมถึง 7 (x − 1) = 19 , x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 เป็นต้น จดหมายที่พบอาจเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง แต่มีหลายอย่าง เช่น ใน สมการ x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . นอกจากนี้ วัตถุนิรนามไม่ได้อยู่ทางซ้ายเท่านั้น แต่ยังอยู่ทางด้านขวา หรือทั้งสองส่วนพร้อมกัน เช่น x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 หรือ 8 x - 9 = 2 (x + 17)

นอกจากนี้ หลังจากที่นักเรียนทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของจำนวนเต็ม จำนวนจริง ตรรกยะ ตัวเลขธรรมชาติ เช่นเดียวกับลอการิทึม ราก และกำลัง สมการใหม่จะปรากฏขึ้นที่รวมวัตถุเหล่านี้ทั้งหมด เราได้อุทิศบทความแยกต่างหากให้กับตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว

ในโปรแกรมสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 แนวคิดของตัวแปรจะปรากฏขึ้นก่อน เหล่านี้เป็นตัวอักษรที่สามารถรับ ความหมายต่างกัน(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่บทความเรื่องตัวเลข นิพจน์ตามตัวอักษรและนิพจน์ที่มีตัวแปร) จากแนวคิดนี้ เราสามารถกำหนดสมการใหม่ได้:

คำจำกัดความ 2

สมการคือความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่จะคำนวณค่า

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x + 3 \u003d 6 x + 7 เป็นสมการที่มีตัวแปร x และ 3 y − 1 + y \u003d 0 คือสมการที่มีตัวแปร y

ในสมการเดียว ไม่มีตัวแปรเดียว แต่มีสองตัวหรือมากกว่า พวกมันถูกเรียกตามลำดับสมการที่มีตัวแปรสอง สามตัว ฯลฯ มาเขียนคำจำกัดความกัน:

คำจำกัดความ 3

สมการที่มีตัวแปรสองตัว (สาม, สี่ตัวหรือมากกว่า) เรียกว่าสมการที่มีจำนวนค่าไม่ทราบค่าที่เหมาะสม

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 3, 7 x + 0, 6 = 1 คือสมการที่มีตัวแปร x หนึ่งตัว และ x − z = 5 เป็นสมการที่มีตัวแปร x และ z สองตัว ตัวอย่างของสมการที่มีสามตัวแปรคือ x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26

รากของสมการ

เมื่อเราพูดถึงสมการ จำเป็นต้องกำหนดแนวคิดของรากของมันทันที ลองอธิบายว่ามันหมายถึงอะไร

ตัวอย่าง 1

เราได้รับสมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว ถ้าเราเปลี่ยนแทน จดหมายที่ไม่รู้จักจำนวน จากนั้นสมการจะกลายเป็นจำนวนเท่ากัน - จริงหรือเท็จ ดังนั้นหากในสมการ a + 1 \u003d 5 เราแทนที่ตัวอักษรด้วยตัวเลข 2 ความเท่าเทียมกันจะไม่ถูกต้อง และถ้า 4 เราก็จะได้ค่าเท่ากัน 4 + 1 \u003d 5

เราสนใจค่าเหล่านั้นอย่างแม่นยำมากขึ้นซึ่งตัวแปรจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง พวกเขาเรียกว่ารากหรือวิธีแก้ปัญหา มาเขียนคำจำกัดความกัน

คำจำกัดความ 4

รากของสมการตั้งชื่อค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการที่กำหนดให้เป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

รากสามารถเรียกได้ว่าเป็นการตัดสินใจหรือในทางกลับกัน - แนวคิดทั้งสองนี้มีความหมายเหมือนกัน

ตัวอย่าง 2

ลองมาดูตัวอย่างเพื่อชี้แจงคำจำกัดความนี้ ด้านบนเราให้สมการ a + 1 = 5 . ตามคำนิยาม หยั่งรากใน กรณีนี้จะเป็น 4 เพราะเมื่อแทนที่ตัวอักษร มันให้ค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง และสองตัวจะไม่เป็นคำตอบ เนื่องจากมันสอดคล้องกับค่าที่เท่ากันที่ไม่ถูกต้อง 2 + 1 = 5

สมการหนึ่งสามารถมีได้กี่ราก? ทุกสมการมีรากหรือไม่? มาตอบคำถามเหล่านี้กัน

สมการที่ไม่มีรูทเดียวก็มีอยู่เช่นกัน ตัวอย่างจะเป็น 0 x = 5 ทดแทนได้มากมายมหาศาล ตัวเลขต่างๆแต่ไม่มีสิ่งใดที่จะเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันได้เนื่องจากการคูณด้วย 0 จะให้ 0 เสมอ

นอกจากนี้ยังมีสมการที่มีหลายราก มีทั้งแบบมีจำกัดและแบบอนันต์ จำนวนมากของราก.

ตัวอย่างที่ 3

ดังนั้นในสมการ x - 2 \u003d 4 มีเพียงรากเดียว - หกใน x 2 \u003d 9 สองราก - สามและลบสามใน x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 สามราก - ศูนย์ หนึ่ง และสอง ในสมการ x=x มีรากมากมายมหาศาล

ตอนนี้เราจะอธิบายวิธีการเขียนรากของสมการอย่างถูกต้อง ถ้าไม่มี เราก็เขียนแบบนี้: "สมการไม่มีราก" นอกจากนี้ยังสามารถระบุเครื่องหมายของเซตว่าง ∅ ในกรณีนี้ได้เช่นกัน หากมีราก เราจะเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคหรือระบุว่าเป็นองค์ประกอบของชุด โดยใส่ไว้ในวงเล็บปีกกา ดังนั้น หากสมการใดมีรากสามตัว - 2, 1 และ 5 เราก็เขียน - 2, 1, 5 หรือ (- 2, 1, 5)

อนุญาตให้เขียนรากในรูปแบบของความเท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุด ดังนั้นหากสิ่งที่ไม่รู้จักในสมการแสดงด้วยตัวอักษร y และรากคือ 2 และ 7 เราก็เขียน y \u003d 2 และ y \u003d 7 บางครั้งตัวห้อยจะถูกเพิ่มลงในตัวอักษรเช่น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 ดังนั้นเราจึงระบุจำนวนราก ถ้าสมการมีคำตอบมากมายเป็นอนันต์ เราก็เขียนคำตอบเป็น ช่องว่างตัวเลขหรือเราใช้สัญกรณ์ที่ยอมรับโดยทั่วไป: ชุดของจำนวนธรรมชาติแสดงแทน N, จำนวนเต็ม - Z, จริง - R สมมุติว่า ถ้าเราต้องเขียนว่าจำนวนเต็มใดๆ จะเป็นคำตอบของสมการ เราก็เขียนว่า x ∈ Z และถ้าจำนวนจริงใดๆ คือตั้งแต่ 1 ถึง 9 แล้ว y ∈ 1, 9

เมื่อสมการมีรากสอง สามตัวขึ้นไป ตามกฎแล้ว พวกมันไม่ได้พูดถึงราก แต่เป็นคำตอบของสมการ เรากำหนดนิยามของคำตอบของสมการที่มีตัวแปรหลายตัว

คำจำกัดความ 5

คำตอบของสมการที่มีตัวแปรสอง สามตัวขึ้นไปคือค่าของตัวแปรสอง, สามตัวขึ้นไปที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

ให้เราอธิบายคำจำกัดความด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าเรามีนิพจน์ x + y = 7 ซึ่งเป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว แทนที่หนึ่งสำหรับตัวแรกและสองตัวสำหรับตัวที่สอง เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้องซึ่งหมายความว่าค่าคู่นี้จะไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ ถ้าเราหาคู่ของ 3 กับ 4 ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าเราพบคำตอบแล้ว

สมการดังกล่าวอาจไม่มีรากหรือมีจำนวนอนันต์ หากเราต้องเขียนค่าสอง สาม สี่ค่าขึ้นไป เราก็เขียนค่าเหล่านี้โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในวงเล็บ นั่นคือในตัวอย่างข้างต้น คำตอบจะมีลักษณะดังนี้ (3 , 4) .

ในทางปฏิบัติ ส่วนใหญ่มักจะต้องจัดการกับสมการที่มีตัวแปรเดียว เราจะพิจารณาอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาโดยละเอียดในบทความเกี่ยวกับการแก้สมการ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter