ให้ฟังก์ชัน = ยู(x,ย)+iv(x,ย) ถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด ซี = x+ฉัน. หากแปรผัน ซีเพิ่มขึ้น  ซี= x+ผม ยแล้วฟังก์ชัน
จะได้รับเพิ่มขึ้น


= (ซี+ ซี)–
=ยู(x+ x, ย+ ย)+

+ iv(x+ x, ย+ ย) - ยู(x,ย) - iv(x,ย) = [ยู(x+ x, ย+ ย) –

– ยู(x,ย)] + ผม[โวลต์(x+ x, ย+ ย) - โวลต์(x,ย)] =

= ยู(x,ย) + ผม โวลต์(x,ย).

คำนิยาม. หากมีขีดจำกัด

=

,

แล้วลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ที่จุด ซีและแสดงโดย ฉ(ซี) หรือ
. ดังนั้น โดยความหมายแล้ว

=

=

. (1.37)

ถ้าฟังก์ชั่น
มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ซีแล้วเราบอกว่าฟังก์ชัน
แยกแยะได้ตรงจุด ซี. แน่นอนสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชัน
มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ฟังก์ชั่น ยู(x,ย) และ โวลต์(x,ย) สามารถแยกความแตกต่างได้ อย่างไรก็ตาม นี่ยังไม่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ ฉ(ซี). ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน ว== x–ฉันฟังก์ชั่น ยู(x,ย)=x

และ โวลต์(x,ย)=–ยหาอนุพันธ์ได้ทุกจุดของ M( x,ย) แต่ขีดจำกัดของความสัมพันธ์
ที่  x0,  ย0 ไม่มีอยู่จริง เพราะถ้า  ย= 0,  x 0 แล้ว  ว/ ซี= 1,

ถ้า  x = 0,  ย 0 แล้ว  ว/ซี = -1.

ไม่มีข้อ จำกัด เดียว ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน

ว= ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดใดๆ ซี. สำหรับการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม อะไรกันแน่? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.ให้ฟังก์ชั่น ยู(x,ย) และ โวลต์(x,ย) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด M( x,ย). จากนั้นเพื่อให้ฟังก์ชั่น

= ยู(x,ย) + iv(x,ย)

มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ซี = x+ฉันมีความจำเป็นและเพียงพอที่ความเสมอภาค

ความเท่าเทียมกัน (1.38) เรียกว่าเงื่อนไข Cauchy-Riemann

การพิสูจน์. 1) ความจำเป็น ให้ฟังก์ชั่น
มีอนุพันธ์ที่จุด z นั่นคือมีลิมิต

=

=
.(1.39)

ขีดจำกัดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1.39) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ชี้  ซี =  x+ผม ยแสวงหา

ถึง 0 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า y = 0, x  0 (รูปที่ 1.10) ดังนั้น

ถ้า x = 0, y  0 (รูปที่ 1.11) แล้ว

(1.41)

รูปที่ 1.10 1.11

ส่วนทางซ้ายในความเท่ากัน (1.40) และ (1.41) มีค่าเท่ากัน ด้านขวาจึงเท่ากัน

มันจึงเป็นไปตามนั้น

ดังนั้นจากข้อสันนิษฐานของการมีอยู่ของอนุพันธ์ ฉ(ซี) การปฏิบัติตามความเท่าเทียมกัน (1.38) ดังนี้ นั่นคือเงื่อนไข Cauchy-Riemann จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของอนุพันธ์ ฉ(ซี).

1) ความพอเพียง. ให้เราถือว่าความเท่าเทียมกัน (1.38) เป็นที่น่าพอใจแล้ว:

และพิสูจน์ว่าในกรณีนี้ฟังก์ชัน
มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ซี= x+ฉันนั่นคือขีด จำกัด (1.39)

=

มีอยู่.

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น ยู(x,ย) และ โวลต์(x,ย) หาอนุพันธ์ได้ที่จุด M( x,ย) จากนั้นผลรวมที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จุด M( x,ย) สามารถแสดงเป็น

,

โดยที่  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 ที่  x0, ย0.

เนื่องจากโดยอาศัยอำนาจตาม (1.38)

เพราะเหตุนี้,

=
,

 1 =  1 +ผม 1 0,  2 =  2 +ผม 2 0 ที่ z =  x+ผมย0.

ดังนั้น,

ตั้งแต่  ซี 2 =  x 2 + ย 2 แล้ว  x/ ซี1,  ปี/ซี1. นั่นเป็นเหตุผล

ที่  ซี  0.

จากนี้ไปด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (1.42) มีขีดจำกัดที่  ซี 0 ดังนั้น ทางซ้ายมือมีลิมิตที่  ซี 0 และขีดจำกัดนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางใด  ซีมีแนวโน้มเป็น 0 ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าหากถึงจุดนั้น ม(x,y) เงื่อนไข (1.38) เป็นที่พอใจ จากนั้นฟังก์ชั่น
มีอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง ซี = x+ฉัน, และ

.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

ในกระบวนการพิสูจน์ทฤษฎีบท จะได้สูตรสองสูตร (1.40) และ (1.42) สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

,

.

การใช้สูตร (1.38) เราสามารถรับได้อีกสองสูตร

, (1.43)

. (1.44)

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(ซี) มีอนุพันธ์ทุกจุดของโดเมน D แล้วเราบอกว่าฟังก์ชัน
มีความแตกต่างได้ในโดเมน D สำหรับสิ่งนี้จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นที่พอใจในทุกจุดของโดเมน D

ตัวอย่าง.ตรวจสอบเงื่อนไข Cauchy-Riemann สำหรับ

ฟังก์ชั่น อี ซี .

เพราะ อี ซี = อี x+ไอย = อี x(คอส ย + ผมบาป ย),

แล้ว ยู(x, ย) = เรื่อง อี ซี = อี xเพราะ ย, โวลต์(x, ย) = อิม อี ซี = อี xบาป ย,

,
,

,
,

เพราะเหตุนี้,

Cauchy - Riemann เงื่อนไขสำหรับการทำงาน อี ซีพอใจทุกจุดz. ดังนั้นฟังก์ชัน อี ซีสามารถหาอนุพันธ์ได้ในระนาบทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน และ

ในทำนองเดียวกัน หนึ่งพิสูจน์ความแตกต่าง

ฟังก์ชั่น ซี น , เพราะ ซี, บาป ซีช ซี, ช ซี, ล ซีและความถูกต้องของสูตร

(ซ น) = นิวซีแลนด์ n-1, (คอส ซี) = -บาป ซี, (บาป ซี) = คอส ซี,

(ช ซี) = ช ซี, (ช ซี) = ช ซี, (ล ซี) = 1/ซี.

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน กฎทั้งหมดสำหรับการแยกแยะฟังก์ชันของตัวแปรจริงยังคงใช้ได้ การพิสูจน์กฎเหล่านี้เป็นไปตามนิยามของอนุพันธ์ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรจริง

ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

บทความนี้เปิดชุดบทเรียนที่ฉันจะพิจารณาปัญหาทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน คุณต้องมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน ในการรวมและทำซ้ำเนื้อหาก็เพียงพอที่จะไปที่หน้า คุณจะต้องมีทักษะในการค้นหา อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง. นี่คืออนุพันธ์ย่อยเหล่านี้ ... ถึงตอนนี้ฉันก็แปลกใจเล็กน้อยว่ามันเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน ...

หัวข้อที่เรากำลังเริ่มวิเคราะห์นั้นไม่ใช่เรื่องยากโดยเฉพาะและโดยหลักการแล้วทุกอย่างชัดเจนและเข้าถึงได้ในฟังก์ชั่นของตัวแปรที่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือการปฏิบัติตามกฎพื้นฐานซึ่งฉันได้มาจากประสบการณ์ อ่านต่อ!

แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ก่อนอื่น มาทบทวนความรู้ของเราเกี่ยวกับฟังก์ชันโรงเรียนของตัวแปรหนึ่งตัวกัน:

ฟังก์ชันของตัวแปรเดียวเป็นกฎที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมนของคำนิยาม) สอดคล้องกับหนึ่งและค่าเดียวเท่านั้นของฟังก์ชัน . โดยธรรมชาติแล้ว "x" และ "y" เป็นจำนวนจริง

ในกรณีที่ซับซ้อน การพึ่งพาการทำงานจะได้รับในทำนองเดียวกัน:

ฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเชิงซ้อนเป็นกฎที่ทุกคน แบบบูรณาการค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมน) สอดคล้องกับหนึ่งเดียวเท่านั้น ครอบคลุมค่าฟังก์ชัน ตามทฤษฎีแล้ว ฟังก์ชันหลายค่าและฟังก์ชันประเภทอื่นๆ ก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน แต่เพื่อความง่าย ฉันจะมุ่งเน้นไปที่คำจำกัดความเดียว

ตัวแปรเชิงซ้อนมีหน้าที่อะไร

ข้อแตกต่างที่สำคัญคือตัวเลขมีความซับซ้อน ฉันไม่ได้แดกดัน จากคำถามดังกล่าวพวกเขามักจะตกอยู่ในอาการมึนงงในตอนท้ายของบทความฉันจะเล่าเรื่องที่น่าสนใจ ในห้องเรียน จำนวนเชิงซ้อนสำหรับหุ่นเราพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ . ตั้งแต่ตอนนี้ตัวอักษร "Z" ได้กลายเป็น ตัวแปรจากนั้นเราจะแสดงดังนี้: ในขณะที่ "x" และ "y" อาจแตกต่างกัน ถูกต้องค่า ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรและ ซึ่งรับค่า "ปกติ" ประเด็นต่อไปนี้ตามเหตุผลจากข้อเท็จจริงนี้:

ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเขียนได้ดังนี้
ที่ไหน และ เป็นสองฟังก์ชันของสอง ถูกต้องตัวแปร

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ส่วนจริงฟังก์ชั่น .
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ส่วนจินตภาพฟังก์ชั่น .

นั่นคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับฟังก์ชันจริงสองฟังก์ชัน และ เพื่อให้ทุกอย่างกระจ่างขึ้น เรามาดูตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง:

ตัวอย่างที่ 1

การตัดสินใจ:ตัวแปรอิสระ "z" ตามที่คุณจำได้ เขียนเป็น ดังนั้น:

(1) แทนที่ในฟังก์ชันเดิม

(2) สำหรับเทอมแรก ใช้สูตรคูณลด ในเทอมนั้นเปิดวงเล็บไว้

(3) ยกกำลังสองอย่างระมัดระวัง อย่าลืมสิ่งนั้น

(4) การจัดเรียงข้อกำหนดใหม่: เขียนข้อกำหนดใหม่ก่อน ซึ่งไม่มีหน่วยจินตภาพ(กลุ่มแรก) จากนั้นเงื่อนไขที่มี (กลุ่มที่สอง) ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องสลับคำศัพท์และสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้ (อันที่จริงคือดำเนินการด้วยปากเปล่า)

(5) นำกลุ่มที่สองออกจากวงเล็บ

เป็นผลให้ฟังก์ชันของเราแสดงออกมาในรูปแบบ

ตอบ:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นเหล่านี้คืออะไร? ฟังก์ชั่นธรรมดาที่สุดของตัวแปรสองตัวซึ่งคุณสามารถหาความนิยมดังกล่าวได้ อนุพันธ์บางส่วน. โดยปราศจากความเมตตา - เราจะพบ แต่หลังจากนั้นเล็กน้อย

อัลกอริทึมของการแก้ปัญหาโดยสังเขปสามารถเขียนได้ดังนี้: เราแทนที่ในฟังก์ชันดั้งเดิม ดำเนินการลดความซับซ้อนและแบ่งคำศัพท์ทั้งหมดออกเป็นสองกลุ่ม - โดยไม่มีหน่วยจินตภาพ (ส่วนจริง) และหน่วยจินตภาพ (ส่วนจินตภาพ)

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ก่อนที่คุณจะเข้าร่วมการต่อสู้บนระนาบที่ซับซ้อนโดยที่หมากฮอสเปลือยกาย ผมขอให้คำแนะนำที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับหัวข้อนี้:

ระวัง!แน่นอนว่าคุณต้องระวังทุกที่ แต่ในจำนวนที่ซับซ้อนคุณควรระวังให้มากขึ้นกว่าเดิม! โปรดจำไว้ว่าให้ขยายวงเล็บอย่างระมัดระวังอย่าให้สูญเสียอะไรไป จากการสังเกตของฉัน ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการสูญเสียสัญญาณ ไม่ต้องรีบ!

เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ตอนนี้ลูกบาศก์ โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ เราได้มา:
.

สูตรมีความสะดวกในการใช้งานจริงเนื่องจากช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ฉันมีสองข่าว: ดีและไม่ดี ฉันจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ดี สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน กฎของความแตกต่างและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานนั้นถูกต้อง ดังนั้น อนุพันธ์จึงใช้วิธีเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรจริง

ข่าวร้ายก็คือสำหรับหลายฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน จะไม่มีอนุพันธ์เลย และคุณต้องหาว่า เป็นความแตกต่างฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง และการ "ค้นหา" ว่าหัวใจของคุณรู้สึกอย่างไรนั้นเกี่ยวข้องกับปัญหาเพิ่มเติม

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เพื่อให้ฟังก์ชันนี้หาอนุพันธ์ได้ มีความจำเป็นและเพียงพอที่:

1) เพื่อให้มีอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่หนึ่ง ลืมสัญกรณ์เหล่านี้ไปได้เลย เนื่องจากในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน จะใช้สัญกรณ์เวอร์ชันอื่นตามธรรมเนียม: .

2) เพื่อดำเนินการสิ่งที่เรียกว่า เงื่อนไข Cauchy-Riemann:

เฉพาะในกรณีนี้จะมีอนุพันธ์!

ตัวอย่างที่ 3

การตัดสินใจแบ่งออกเป็นสามขั้นตอนต่อเนื่องกัน:

1) ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน งานนี้ได้รับการวิเคราะห์ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นฉันจะเขียนโดยไม่มีความคิดเห็น:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้น:

เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฉันจะอาศัยประเด็นทางเทคนิคอีกหนึ่งข้อ: ในลำดับใดเขียนเงื่อนไขในส่วนจริงและจินตภาพ? ใช่ โดยพื้นฐานแล้วมันไม่สำคัญ เช่น ส่วนจริงเขียนได้ดังนี้ , และจินตภาพ - เช่นนี้: .

2) ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann มีสองคน

เริ่มจากการตรวจสอบสภาพ เราพบว่า อนุพันธ์บางส่วน:

จึงจะครบตามเงื่อนไข

ข่าวดีก็คืออนุพันธ์บางส่วนมักจะง่ายมาก

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สอง:

มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกัน แต่มีสัญญาณตรงกันข้ามนั่นคือเงื่อนไขก็สำเร็จเช่นกัน

เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ดังนั้น ฟังก์ชันจึงหาความแตกต่างได้

3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์นั้นง่ายมากและพบได้ตามกฎทั่วไป:

หน่วยจินตภาพในการหาอนุพันธ์ถือเป็นค่าคงที่

ตอบ: - ส่วนจริง เป็นส่วนจินตภาพ
ตรงตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann

มีอีกสองวิธีในการหาอนุพันธ์ ซึ่งแน่นอนว่าใช้ไม่บ่อยนัก แต่ข้อมูลจะเป็นประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจบทเรียนที่สอง - จะหาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนได้อย่างไร?

สามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ดังนั้น

จำเป็นต้องแก้ปัญหาผกผัน - ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องแยก . ในการดำเนินการนี้ จำเป็นต้องนำเงื่อนไขและออกจากวงเล็บเหลี่ยม:

การดำเนินการย้อนกลับตามที่หลายคนสังเกตเห็นนั้นค่อนข้างยากกว่าในการดำเนินการ สำหรับการตรวจสอบจะดีกว่าเสมอที่จะใช้นิพจน์และในร่างหรือเปิดวงเล็บด้วยวาจาเพื่อให้แน่ใจว่ามันจะออกมาอย่างแน่นอน

สูตรมิเรอร์สำหรับหาอนุพันธ์:

ในกรณีนี้: นั่นเป็นเหตุผล:

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann หากเป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และตัวอย่างการจบบทเรียนโดยประมาณ

เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นที่น่าพอใจเสมอหรือไม่? ในทางทฤษฎี พวกเขามักจะไม่ได้รับการเติมเต็มมากกว่าที่เป็นอยู่ แต่ในตัวอย่างที่ใช้งานจริง ฉันจำกรณีที่ไม่ได้ดำเนินการ =) ดังนั้น หากอนุพันธ์ย่อยของคุณ "ไม่บรรจบกัน" เราอาจกล่าวได้ว่ามีความเป็นไปได้สูงมากที่คุณทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง

มาทำให้ฟังก์ชั่นของเราซับซ้อนขึ้น:

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann คำนวณ

การตัดสินใจ:อัลกอริทึมของการแก้ปัญหาได้รับการเก็บรักษาไว้อย่างสมบูรณ์ แต่ในตอนท้ายมีการเพิ่มแฟชั่นใหม่: การหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง สำหรับคิวบ์ สูตรที่จำเป็นได้รับมาแล้ว:

มากำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้กัน:

ความสนใจและความสนใจอีกครั้ง!

ตั้งแต่นั้นมา:


ดังนั้น:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ตรวจสอบเงื่อนไขที่สอง:

มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกัน แต่มีสัญญาณตรงกันข้ามนั่นคือเงื่อนไขก็สำเร็จเช่นกัน

เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ดังนั้น ฟังก์ชันจึงสร้างความแตกต่างได้:

คำนวณมูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่ต้องการ:

ตอบ:, , เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann

ฟังก์ชันที่มีลูกบาศก์เป็นเรื่องปกติ ดังนั้นตัวอย่างในการรวม:

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann คำนวณ

การตัดสินใจและตัวอย่างปิดท้ายบทเรียน

ในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงซ้อน ฟังก์ชันอื่นๆ ของอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนก็ถูกกำหนดเช่นกัน: เอกซ์โปเนนเชียล ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ ฟังก์ชั่นเหล่านี้มีคุณสมบัติที่แปลกและแปลกประหลาด - และมันน่าสนใจจริงๆ! ฉันอยากจะบอกคุณจริงๆ แต่ที่นี่ มันเพิ่งเกิดขึ้น ไม่ใช่หนังสืออ้างอิงหรือหนังสือเรียน แต่เป็นวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นฉันจะพิจารณางานเดียวกันกับหน้าที่ทั่วไปบางอย่าง

ก่อนอื่นเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า สูตรออยเลอร์:

สำหรับใครก็ตาม ถูกต้องตัวเลข สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

คุณยังสามารถคัดลอกลงในสมุดบันทึกของคุณเพื่อเป็นข้อมูลอ้างอิง

พูดอย่างเคร่งครัด มีเพียงสูตรเดียว แต่โดยปกติแล้ว เพื่อความสะดวก พวกเขายังเขียนกรณีพิเศษด้วยเครื่องหมายลบในตัวบ่งชี้ พารามิเตอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวอักษรเดี่ยว สามารถเป็นนิพจน์ที่ซับซ้อน ฟังก์ชันได้ สิ่งสำคัญคือต้อง ใช้ได้เท่านั้นค่า จริง ๆ เราจะเห็นมันตอนนี้:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์

การตัดสินใจ:เส้นทั่วไปของปาร์ตี้ยังคงไม่สั่นคลอน - จำเป็นต้องแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันออก ฉันจะให้รายละเอียดการแก้ปัญหาและแสดงความคิดเห็นในแต่ละขั้นตอนด้านล่าง:

ตั้งแต่นั้นมา:

(1) แทนที่ด้วย "z"

(2) หลังจากเปลี่ยนแล้วจำเป็นต้องแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออกจากกัน อันดับแรกในเลขยกกำลังผู้แสดงสินค้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปิดวงเล็บ

(3) เราจัดกลุ่มส่วนจินตภาพของอินดิเคเตอร์ โดยเอาหน่วยจินตภาพออกจากวงเล็บ

(4) ใช้การกระทำของโรงเรียนด้วยอำนาจ

(5) สำหรับตัวคูณ เราใช้สูตรออยเลอร์ ในขณะที่

(6) เราเปิดวงเล็บเป็นผล:

เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

การดำเนินการเพิ่มเติมเป็นมาตรฐาน ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann:

ตัวอย่างที่ 9

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ไม่ว่าจะเป็นเราจะไม่พบอนุพันธ์

การตัดสินใจ:อัลกอริทึมของการแก้ปัญหานั้นคล้ายกับสองตัวอย่างก่อนหน้านี้มาก แต่มีประเด็นที่สำคัญมาก ดังนั้นฉันจะให้ความเห็นเกี่ยวกับขั้นตอนเริ่มต้นอีกครั้งทีละขั้นตอน:

ตั้งแต่นั้นมา:

1) เราแทนที่แทน "z"

(2) ขั้นแรก เลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ภายในไซนัส. เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เปิดวงเล็บ

(3) เราใช้สูตร ในขณะที่ .

(4) การใช้ ความเท่าเทียมกันของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์: และ ไฮเพอร์โบลิกไซน์คี่: . ไฮเปอร์โบลิกแม้ว่าจะไม่ใช่ของโลกนี้ แต่ในหลาย ๆ ด้านก็คล้ายกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่คล้ายกัน

ในท้ายที่สุด:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ความสนใจ!เครื่องหมายลบหมายถึงส่วนจินตภาพ และไม่ว่าในกรณีใดเราไม่ควรสูญเสียมันไป! สำหรับภาพประกอบ ผลลัพธ์ที่ได้ด้านบนสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann:

ตรงตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann

ตอบ:, , เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann

ด้วยโคไซน์ ท่านสุภาพบุรุษและสุภาพสตรี เราเข้าใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 10

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann

ฉันจงใจเลือกตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ เพราะทุกคนสามารถจัดการบางอย่างได้ เช่น ถั่วลิสงที่ปอกเปลือกแล้ว ในเวลาเดียวกัน ฝึกความสนใจของคุณ! แคร็กเกอร์ในตอนท้ายของบทเรียน

โดยสรุปแล้ว ฉันจะพิจารณาตัวอย่างที่น่าสนใจอีกตัวอย่างหนึ่งเมื่ออาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนอยู่ในตัวส่วน เราพบกันสองสามครั้งในทางปฏิบัติ ลองวิเคราะห์สิ่งที่ง่าย โอ้ ฉันแก่แล้ว...

ตัวอย่างที่ 11

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann

การตัดสินใจ:อีกครั้ง จำเป็นต้องแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันออกจากกัน
ถ้า แล้ว

คำถามเกิดขึ้น จะทำอย่างไรเมื่อ "Z" อยู่ในตัวส่วน?

ทุกอย่างง่าย - มาตรฐานจะช่วยได้ วิธีการคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตได้ถูกนำไปใช้แล้วในตัวอย่างบทเรียน จำนวนเชิงซ้อนสำหรับหุ่น. มาจำสูตรโรงเรียนกันเถอะ ในตัวส่วนที่เรามีอยู่แล้ว ดังนั้น นิพจน์คอนจูเกตจะเป็น ดังนั้น คุณต้องคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย:

แนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ก่อนอื่น มาทบทวนความรู้ของเราเกี่ยวกับฟังก์ชันโรงเรียนของตัวแปรหนึ่งตัวกัน:

ฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวเป็นกฎที่แต่ละค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมนของคำนิยาม) สอดคล้องกับค่าเดียวและค่าเดียวของฟังก์ชัน โดยธรรมชาติแล้ว "x" และ "y" เป็นจำนวนจริง

ในกรณีที่ซับซ้อน การพึ่งพาการทำงานจะได้รับในทำนองเดียวกัน:

ฟังก์ชันที่ชัดเจนของตัวแปรเชิงซ้อนคือกฎซึ่งค่าเชิงซ้อนแต่ละค่าของตัวแปรอิสระ (จากโดเมนของคำนิยาม) สอดคล้องกับค่าเชิงซ้อนเพียงค่าเดียวของฟังก์ชัน . ตามทฤษฎีแล้ว ฟังก์ชันหลายค่าและฟังก์ชันประเภทอื่นๆ ก็ได้รับการพิจารณาเช่นกัน แต่เพื่อความง่าย ฉันจะมุ่งเน้นไปที่คำจำกัดความเดียว

ตัวแปรเชิงซ้อนมีหน้าที่อะไร

ข้อแตกต่างที่สำคัญคือตัวเลขมีความซับซ้อน ฉันไม่ได้แดกดัน จากคำถามดังกล่าวพวกเขามักจะตกอยู่ในอาการมึนงงในตอนท้ายของบทความฉันจะเล่าเรื่องที่น่าสนใจ ในห้องเรียน จำนวนเชิงซ้อนสำหรับหุ่นเราพิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ . เนื่องจากตอนนี้ตัวอักษร "z" กลายเป็นตัวแปรแล้ว เราจะกำหนดให้เป็นดังนี้: ในขณะที่ "x" และ "y" สามารถรับค่าจริงที่แตกต่างกันได้ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรและ ซึ่งรับค่า "ปกติ" ประเด็นต่อไปนี้ตามเหตุผลจากข้อเท็จจริงนี้:

ส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเขียนได้ดังนี้
ที่ไหน และ เป็นสองฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัว

เรียกว่าฟังก์ชันส่วนจริงของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันนี้เรียกว่าส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

นั่นคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับฟังก์ชันจริงสองฟังก์ชัน และ เพื่อให้ทุกอย่างกระจ่างขึ้น เรามาดูตัวอย่างที่ใช้งานได้จริง:

วิธีแก้ไข: ตัวแปรอิสระ "z" ตามที่คุณจำได้ เขียนเป็น ดังนั้น:

(1) แทนที่ในฟังก์ชันเดิม

(2) สำหรับเทอมแรก ใช้สูตรคูณลด ในเทอมนั้นเปิดวงเล็บไว้

(3) ยกกำลังสองอย่างระมัดระวัง อย่าลืมสิ่งนั้น

(4) การจัดเรียงคำศัพท์ใหม่: ขั้นแรก เราเขียนคำศัพท์ที่ไม่มีหน่วยจินตภาพ (กลุ่มแรก) ใหม่ จากนั้นจึงเขียนคำศัพท์ที่มี (กลุ่มที่สอง) ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องสลับคำศัพท์และสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้ (อันที่จริงคือดำเนินการด้วยปากเปล่า)

(5) นำกลุ่มที่สองออกจากวงเล็บ

เป็นผลให้ฟังก์ชันของเราแสดงออกมาในรูปแบบ

ตอบ:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นเหล่านี้คืออะไร? ฟังก์ชั่นธรรมดาที่สุดของตัวแปรสองตัวซึ่งคุณสามารถหาความนิยมดังกล่าวได้ อนุพันธ์บางส่วน. โดยปราศจากความเมตตา - เราจะพบ แต่หลังจากนั้นเล็กน้อย

อัลกอริทึมของการแก้ปัญหาโดยสังเขปสามารถเขียนได้ดังนี้: เราแทนที่ในฟังก์ชันดั้งเดิม ดำเนินการลดความซับซ้อนและแบ่งคำศัพท์ทั้งหมดออกเป็นสองกลุ่ม - โดยไม่มีหน่วยจินตภาพ (ส่วนจริง) และหน่วยจินตภาพ (ส่วนจินตภาพ)

ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ก่อนที่คุณจะเข้าร่วมการต่อสู้บนระนาบที่ซับซ้อนโดยที่หมากฮอสเปลือยกาย ผมขอให้คำแนะนำที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับหัวข้อนี้:

ระวัง! แน่นอนว่าคุณต้องระวังทุกที่ แต่ในจำนวนที่ซับซ้อนคุณควรระวังให้มากขึ้นกว่าเดิม! โปรดจำไว้ว่าให้ขยายวงเล็บอย่างระมัดระวังอย่าให้สูญเสียอะไรไป จากการสังเกตของฉัน ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการสูญเสียสัญญาณ ไม่ต้องรีบ!

เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ตอนนี้ลูกบาศก์ โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ เราได้มา:
.

สูตรมีความสะดวกในการใช้งานจริงเนื่องจากช่วยเร่งกระบวนการแก้ปัญหาได้อย่างมาก

ความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน
เงื่อนไข Cauchy-Riemann

ฉันมีสองข่าว: ดีและไม่ดี ฉันจะเริ่มต้นด้วยสิ่งที่ดี สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน กฎของความแตกต่างและตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานนั้นถูกต้อง ดังนั้น อนุพันธ์จึงใช้วิธีเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรจริง

ข่าวร้ายก็คือสำหรับหลายฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนนั้นไม่มีอนุพันธ์เลย และเราต้องค้นหาว่าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้หรือไม่ และการ "ค้นหา" ว่าหัวใจของคุณรู้สึกอย่างไรนั้นเกี่ยวข้องกับปัญหาเพิ่มเติม

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เพื่อให้ฟังก์ชันนี้หาอนุพันธ์ได้ มีความจำเป็นและเพียงพอที่:

1) เพื่อให้มีอนุพันธ์ย่อยของลำดับที่หนึ่ง ลืมสัญกรณ์เหล่านี้ไปได้เลย เนื่องจากในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน จะใช้สัญกรณ์เวอร์ชันอื่นตามธรรมเนียม: .

2) เพื่อให้บรรลุเงื่อนไขที่เรียกว่า Cauchy-Riemann:

เฉพาะในกรณีนี้จะมีอนุพันธ์!

กำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน . ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann หากเป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การแก้ปัญหาแบ่งออกเป็นสามขั้นตอนต่อเนื่องกัน:

1) ค้นหาส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน งานนี้ได้รับการวิเคราะห์ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นฉันจะเขียนโดยไม่มีความคิดเห็น:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้น:
เป็นส่วนที่แท้จริงของฟังก์ชัน ;
เป็นส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน

ฉันจะอาศัยประเด็นทางเทคนิคอีกหนึ่งข้อ: คำศัพท์ควรเขียนในส่วนจริงและจินตภาพตามลำดับใด ใช่ โดยพื้นฐานแล้วมันไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น ส่วนจริงสามารถเขียนได้ดังนี้ , และส่วนจินตภาพได้ดังนี้ .

3) ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann มีสองคน

เริ่มจากการตรวจสอบสภาพ เราพบว่า อนุพันธ์บางส่วน:

จึงจะครบตามเงื่อนไข

ข่าวดีก็คืออนุพันธ์บางส่วนมักจะง่ายมาก

เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่สอง:

มันกลับกลายเป็นสิ่งเดียวกัน แต่มีสัญญาณตรงกันข้ามนั่นคือเงื่อนไขก็สำเร็จเช่นกัน

เป็นไปตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann ดังนั้น ฟังก์ชันจึงหาความแตกต่างได้

3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์นั้นง่ายมากและพบได้ตามกฎทั่วไป:

หน่วยจินตภาพในการหาอนุพันธ์ถือเป็นค่าคงที่

ตอบ: - ส่วนจริง เป็นส่วนจินตภาพ
ตรงตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann

อินทิกรัล FKP ทฤษฎีบทของ Cauchy

สูตร ( 52 ) เรียกว่าสูตรอินทิกรัล Cauchy หรืออินทิกรัล Cauchy ถ้าเป็นรูปร่างใน ( 52 ) เลือกวงกลม จากนั้นแทนที่และพิจารณาว่า - ส่วนต่างของความยาวส่วนโค้ง อินทิกรัล Cauchy สามารถแสดงเป็นสูตรค่าเฉลี่ย:

นอกเหนือจากค่าอิสระของสูตรอินทิกรัล Cauchy แล้ว ( 52 ), (54 ) ให้วิธีที่สะดวกมากในการคำนวณปริพันธ์ของรูปร่าง ซึ่งเห็นได้ชัดว่าจะแสดงในรูปของค่าของ "ส่วนที่เหลือ" ของปริพันธ์ ณ จุดที่ฟังก์ชันนี้มีภาวะเอกฐาน

ตัวอย่างที่ 3-9 คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน ตามแนวเส้น (รูปที่ 20).

การตัดสินใจ. จุดที่ฟังก์ชันมีสถานะเอกฐานซึ่งตรงกันข้ามกับตัวอย่างที่ 4-1 อยู่ภายในวงกลม เราแสดงอินทิกรัลในรูปแบบ ( 52 ):

สูตร Cauchy

อนุญาต เป็นโดเมนบนระนาบเชิงซ้อนที่มีขอบเขตเรียบเป็นส่วนๆ ฟังก์ชัน holomorphic in และจุดภายในโดเมน สูตร Cauchy ต่อไปนี้ใช้ได้:

สูตรยังใช้ได้หากเราคิดว่าเป็นโฮโลมอร์ฟิกภายในและต่อเนื่องเมื่อปิด และถ้าขอบเขตไม่ราบเรียบเป็นชิ้นๆ แต่แก้ไขได้เท่านั้น (ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเป็นฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน ส่วนเรียบทีละส่วนเป็นฟังก์ชันของ จำนวนจริง)

FCF เบื้องต้น: ฟังก์ชันเทย์เลอร์, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก, ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน, ฟังก์ชันลอการิทึม, สูตรของ Cauchy

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อน $w$ ซึ่งกำหนดโดยนิพจน์ $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ โดยที่ $u(x,y),\, \ , \, v(x,y)$ เป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง $z=x+yi$

ปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรจริง

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชัน $w(z)$ เรียกว่า analytic ที่จุด z ถ้าฟังก์ชันที่กำหนดหาอนุพันธ์ได้ในบางย่านของจุด z ที่กำหนดให้

คำจำกัดความ 2

ฟังก์ชันเรียกว่า analytic ในบางโดเมน D ถ้าวิเคราะห์ในทุกจุดของโดเมนที่กำหนด

ให้ฟังก์ชัน $u(x),\, \, \, v(x)$ หาอนุพันธ์ได้

นิยาม 3

นิพจน์ $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรจริงด้วยความเคารพ ถึงอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริง $x$

อนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์จริง $y$ ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

ในการคำนวณอนุพันธ์ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

\ \

1) สำหรับฟังก์ชัน $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ เราได้รับ:

\ \

2) สำหรับฟังก์ชัน $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ เราได้รับ:

\ \

สำหรับบางฟังก์ชันที่ $w(z)$ สามารถหาอนุพันธ์ได้ในบางจุด $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$ จำเป็นและเพียงพอที่ $u(x,y)$ และ $v(x,y)$ หาอนุพันธ์ได้ที่จุด $(x_(0) ;y_(0))$ และเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

\[\begin(อาร์เรย์)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(อาร์เรย์).\]

เงื่อนไขเหล่านี้เรียกว่าเงื่อนไข Cauchy-Riemann

หมายเหตุ 1

เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นความสัมพันธ์ที่เชื่อมต่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$ โดยที่ $u(x,y) ,\, \, \, v(x,y)$ เป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง $z=x+yi$

แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันออกจากกัน ใส่ $z=x+yi$ และรับ:

ดังนั้น $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - ส่วนจริงและจินตภาพที่จำเป็นของฟังก์ชัน

ลองใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\ frac( \partial v)(\partial x) $.

\[\begin(อาร์เรย์)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(อาร์เรย์)\] \[\begin(อาร์เรย์)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(อาร์เรย์)\]

เงื่อนไข Cauchy-Riemann เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับ $x,y$ จริงใดๆ ดังนั้น ฟังก์ชันจะวิเคราะห์สำหรับ $x,y$ จริงใดๆ

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด $z_(0) =\frac(\pi )(6) $

อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีรูปแบบ:

คำนวณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ในทางปฏิบัติอาจพบปัญหาดังต่อไปนี้

ภารกิจที่ 1

กำหนด $u(x,y)$ ส่วนจริงของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อน $w(z)$ จำเป็นต้องหาส่วนจินตภาพ $v(x,y)$ ของฟังก์ชันนี้ คืนค่าฟังก์ชัน $w(z)$ จากส่วนจริงและส่วนจินตภาพที่รู้จัก

ภารกิจที่ 2

กำหนดส่วนจินตภาพ $v(x,y)$ ของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อน $w(z)$ จำเป็นต้องหาส่วนจินตภาพ $u(x,y)$ ของฟังก์ชันนี้ คืนค่าฟังก์ชัน $w(z)$ จากส่วนจริงและส่วนจินตภาพที่รู้จัก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา 2 จะเป็นดังนี้:

• ค้นหาชิ้นส่วนจริงโดยใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann
• เขียนฟังก์ชัน $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• ทำการแปลงและแยกตัวแปร $z=x+yi$ หรือ $\overline(z)=x-yi$

หมายเหตุ 1

เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ ความสัมพันธ์ต่อไปนี้อาจมีประโยชน์:

\ \ \

หมายเหตุ 2

การดำเนินการหารด้วยหน่วยจินตภาพ $i$ เทียบเท่ากับการคูณด้วย $-i$

ตัวอย่างที่ 3

จากส่วนจริง $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ ของฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อน ให้คืนค่าส่วนจินตภาพ $v(x,y)$ และคืนค่าส่วนนี้ ฟังก์ชัน ในขณะที่ฟังก์ชันเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น $w(0)=0$

ให้เราหาส่วนจินตภาพ $v(x,y)$ ของฟังก์ชันที่ต้องการ $w(z)$ ลองใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann แรก:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) .\]

แทนที่ค่าเดิมและรับ:

\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \

ค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก $\phi (x)$

ลองใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann ที่สอง:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) .\] \ \[\phi "(x) =5\ลูกศรขวา \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

เพราะเหตุนี้,

ส่วนจินตภาพของฟังก์ชันที่ต้องการ $w(z)$ ถูกกู้คืน จากนั้นเราสามารถเขียนฟังก์ชันเองได้:

มาแปลงนิพจน์ผลลัพธ์:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น $w(0)=0$ เราจะหาค่าของค่าคงที่ $C$

ดังนั้นฟังก์ชันที่ต้องการจึงมีรูปแบบดังนี้

ส่วนจินตภาพของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ

การถอดเสียง

1 เงื่อนไข Cauchy-Riemann) ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann สำหรับฟังก์ชัน w zi e ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่จุด z เรียกว่าอนุพันธ์ ณ จุดนั้น เงื่อนไขของ Cauchy - Riemann (D'Alembert - Euler, Euler - d'Alembert): w f z u, iv จากนั้นที่แต่ละจุดของความแตกต่างของฟังก์ชัน f z ถ้า z i ความเท่าเทียมกันพอใจ u v u v isin e cos ie sin เลือกตัว u จริง และส่วนจินตภาพ v ของฟังก์ชัน w: u, e cos v, e sin คำนวณอนุพันธ์ย่อย: u cos e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - ตรงตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann อักษรศาสตร์:)กูสก.อ. "ทฤษฎีการทำงานของตัวแปรเชิงซ้อนและแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ", 00, หน้า 59 (ตัวอย่างที่ 9), หน้า 0 (ตัวอย่าง);) Pismenny D.T. "Lecture Notes on Higher Mathematics", 006, p. 530, p. (เงื่อนไขของออยเลอร์-ดาล็องแบร์, การวิเคราะห์ของฟังก์ชัน)) ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขของ Cauchy-Riemann สำหรับฟังก์ชัน w z 4iz เราเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปแบบพีชคณิต ตั้งค่า z i: w i 4i i i 4 i i

2 เลือกส่วน u จริงและส่วน v จินตภาพของฟังก์ชัน w: u, 4 v, 4 คำนวณอนุพันธ์บางส่วน: u 4 v 4 u 4 4 v Cauchy-Riemann ตรงตามเงื่อนไข 3) ตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไข Cauchy-Riemann สำหรับฟังก์ชัน sin iz เราแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin z ผ่านเลขชี้กำลัง: iz iz e e sin z i และพิจารณาว่า z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e sin iz i i i i i e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e ส่วนจริงและจินตภาพของ u iv: u, sin e e, cos v e

3 คำนวณอนุพันธ์บางส่วน: u sin sin e e e v cos e e sin e e sin e e และ u sin cos e e e e cos cos e e e v อย่างที่คุณเห็น เงื่อนไข Cauchy-Riemann u v u v sin iz เป็นที่พอใจ สำหรับฟังก์ชัน 4) ใช้เงื่อนไข Cauchy-Riemann ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน w f z วิเคราะห์หรือไม่: ฟังก์ชัน wsin z3 z w f z เรียกว่า analytic ที่จุด z ถ้ามันหาอนุพันธ์ได้ทั้งที่จุด z เองและในบางพื้นที่ของมัน ฟังก์ชันที่มีความแตกต่างในแต่ละจุดของโดเมน D เรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ในโดเมนนี้ เงื่อนไข Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler, Euler-D'Alembert): ถ้า z i w f z u, iv แล้วความเท่าเทียมกัน u v u v เป็นที่พอใจที่จุดหาอนุพันธ์แต่ละจุดของฟังก์ชัน f z เราเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปแบบพีชคณิต ตั้งค่า z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 ic cos i e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh icos 3 สูตรที่ใช้ในการแปลง: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e e ch, R เลือกจำนวนจริง และ ส่วนจินตภาพ w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: คำนวณอนุพันธ์ย่อย: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin ดังนั้น เงื่อนไข Cauchy-Riemann u v u v , สำเร็จ; ดังนั้น ฟังก์ชัน sin w f z z3 z จึงเป็นการวิเคราะห์ 4

5 5) พิสูจน์ว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และหาอนุพันธ์: z z e we เราเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปแบบพีชคณิต ตั้งค่า z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ w z u, i v, u, chcos v, shsin คำนวณอนุพันธ์บางส่วน: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy-Riemann เงื่อนไข u v u v พบ; ดังนั้นฟังก์ชัน w f z e z e z จึงเป็นการวิเคราะห์ สำหรับฟังก์ชันการวิเคราะห์ใดๆ f z u, i v, อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน u u และ v v, : อนุพันธ์ f u v v u u u v f z i i i i คำนวณอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน u และ v, : z แสดงในรูปของ f z โดยใช้นิพจน์สำหรับ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z ในรูปของผลหาร 5

6 หรือโดยตรง: z ze e e z z z z w e z e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e i e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Express iz w, where z i e, as w u, i v,. ตรวจสอบว่าเป็นการวิเคราะห์หรือไม่ ถ้าใช่ ให้หาอนุพันธ์ที่จุด z0 จะได้จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต Re w u, e cos Im w v, e sin e v sin e cos e

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 ณ จุด z0 i0: Literature:) Gusak A.A. "ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนและแคลคูลัสเชิงปฏิบัติ", 00, หน้า 59 (ตัวอย่างที่ 9), หน้า 0 (ตัวอย่าง) คำนวณค่าของฟังก์ชัน 7) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน w cos z ที่จุด z0 i e สำหรับ z C ใดๆ: cos z iz e iz จากนั้น ii ii i i i e e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e cos i sin ch cos i sh sin คำตอบ: i cos ch cos ish sin วรรณกรรม :) Morozova V.D. "ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน", 009, เล่มที่ 0, ed. MSTU, p. 06;) Lunts G.L. , Elsgolts L.E. "ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน", 00, p) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน w th z ที่จุด z 0 ln 3 ในรูปแบบพีชคณิต z z e e ใดๆ z C: th z z z e ดังนั้น i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4 เขียนคำตอบ 7

การคำนวณผลลัพธ์ในรูปแบบพีชคณิต 9) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน Ln z ที่จุด z 0 ระบุค่าหลักของฟังก์ชัน ฟังก์ชันลอการิทึม Ln ln arg z z i z k kz ค่าหลักของลอการิทึมของจำนวน z คือค่าที่สอดคล้องกับค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวน z ; เหล่านั้น. เราได้ค่าหลักของลอการิทึมที่ k 0: ln z ln z i arg z โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวน z0 0 i: z 0 arg z 0 ดังนั้น Ln ln i k 0k i kz จึงเป็นค่าของตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันที่จุด z 0 เขียนในรูปพีชคณิต (ฟังก์ชันลอการิทึม Ln z มีหลายค่า) ค่าหลักของลอการิทึมของจำนวน z ln 0 i 8

9 0) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ผม z ที่จุด z ผม 0 สำหรับสิ่งใด ๆ w z C: w z z Ln w e i iln i iln i iarg i ki i e e, kz โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของ w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e 4 cos isin, kz - ค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z ที่จุด z0 i เขียนในรูปแบบตรีโกณมิติ (ฟังก์ชันหลายค่า) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน arcctg z ที่จุด z0 i เขียน ตอบในรูปแบบพีชคณิต ฉัน z ฉัน Arcctg z Ln z ฉัน Ln z ln z iarg z k, kz (สำหรับ k 0 เราได้ค่าหลักของลอการิทึม ln z ln z ฉัน arg z) 5iarcg k, kz 5 และ z0 ฉัน ln ln 5 ฉัน arctg z ฉัน 0 ฉัน arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (มูลค่าหลักของ Arcctg i) 9

10 ) คำนวณค่าของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน arccos z ที่จุด z0 ผม เขียนคำตอบในรูปแบบพีชคณิต Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz สำหรับ k 0 เราได้ค่าหลักของลอการิทึม ln z ln z i arg z และค่าหลักของอาร์คโคไซน์ arccos z arg z z iln z z รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนให้ สองค่า; สำหรับค่าหลักของฟังก์ชัน ให้เลือกค่าที่มีอาร์กิวเมนต์อยู่ในช่วง 0 ; ในกรณีนี้: arccos ln ln iln i i รูทของ i i i i i i i i i i รับค่าสองค่า ลองหากัน: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos เมื่อใช้สูตร cos cosarctg 5 เราได้: cos และ sin และสังเกตว่า arctan 5 5 cos 0 arctan 5 5 sin 0 แล้ว i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 และ 5 5 ผม, k 0 ผม ผม 5 5 ผม, k อาร์กิวเมนต์อยู่ในช่วง 0 ;. ดังนั้น ฉัน ฉัน 5 ฉัน arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 ฉัน 5 5 arctg 5 5 ฉัน ln 5 arctg 5 ฉัน l n 5 5 5, 7 ฉัน 0, 59 5 (ค่าหลักของ Arccos i) วรรณกรรม :) Morozova V.D. . "ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน", 009, เล่มที่ 0, ed. MSTU, p. 06;) Lunts G.L. , Elsgolts L.E. "ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน", 00, p. 40.

จำนวนเชิงซ้อนคือการแสดงออกของรูปแบบ x y (รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน) โดยที่ x, y R; x Re - ส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน y Im - ส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน - จินตนาการ

เรื่องที่ 11 ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนคือคู่ลำดับของจำนวนจริงที่เขียนในรูปแบบโดยที่ i คือ "หน่วยจินตภาพ" ซึ่ง i = -1; - ส่วนจริง

จำนวนเชิงซ้อน. พหุนาม. จำนวนเชิงซ้อน. 1. นิยามและสูตรพื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา จำนวนเชิงซ้อนในรูปพีชคณิตคือการแสดงออกของรูปแบบ = x + y โดยที่ x และ y เป็นจริง

1 แนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนพบในลักษณะเดียวกับในพื้นที่จริง ให้คอมเพล็กซ์สองชุด

ภาควิชาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

แนวข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ หัวข้อ 1. ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน จงนิยาม ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน คำนิยาม. พวกเขาบอกว่าในเซต D ของจุดคอมเพล็กซ์

ตัวเลือก งาน คำนวณค่าของฟังก์ชันและให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a sh ; b l วิธีแก้ a ลองใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างตรีโกณมิติไซน์และไฮเปอร์โบลิกไซน์: ; sh -s รับ

งานตัวเลือก คำนวณค่าของฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a th (; b L (sh (/ โซลูชัน a)) แสดงแทนเจนต์ในรูปของไซน์และโคไซน์: th (ใช้สูตร ch ( / สำหรับไซน์ของ ความแตกต่างและ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย GUBKIN RUSSIAN STATE UNIVERSITY OF OIL AND GAS in Melnikov, NO Fastovets ทฤษฎีของฟังก์ชั่นของการดำเนินการตัวแปรที่ซับซ้อน

หัวข้อ. จำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชัน. นิยามของจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันการวิเคราะห์เชิงซ้อนของตัวแปรเชิงซ้อน Nikita Aleksandrovich Evseev ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีสค์ สถาบันจีน-รัสเซีย มหาวิทยาลัยเฮยหลงเจียง

หัวข้อ: ชื่อหัวข้อ, หัวข้อ จำนวนชั่วโมงเรียนทั้งหมด การบรรยาย, ชั่วโมงภาคปฏิบัติ, ชั่วโมงที่ 1 2 3 4 หัวข้อ 1. เรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้น 68 34 34 หัวข้อ 2. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

VD Mikhailov ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในตัวอย่างและปัญหา 04 UDC 57.5 BBK.6 M69 Mikhailov V.D. หน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อนในตัวอย่างและงาน: คู่มือศึกษา SPb., 04. 30 น. กวดวิชา

หน้าหนังสือ 1 จาก 14 บทเรียนที่ 2 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน การวิเคราะห์แอพ คณิต ป.4 ภาคเรียนที่ 1 จงหาโมดูลีและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ แล้วเขียนตัวเลขเหล่านี้ให้อยู่ในรูป z = ρe iϕ

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งรัสเซีย สถาบันการศึกษางบประมาณระดับอุดมศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันระบบความแม่นยำสูง "Tula State University" ตั้งชื่อตาม V.P.

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย ANGARSK STATE TECHNICAL ACADEMY Museva TN Sverdlova OL Turkina NM องค์ประกอบของทฤษฎีการทำงานของตัวแปรที่ซับซ้อน บทช่วยสอน Angarsk เนื้อหา

องค์ประกอบของทฤษฎีการทำงานของแคลคูลัสปฏิบัติการแปรผันที่ซับซ้อน

งานสำหรับการศึกษาด้วยตนเอง จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนจะได้รับและค้นหา :)))) 5): a) b) เขียนจำนวนเชิงซ้อนนี้ :) ในรูปแบบตรีโกณมิติ) ในรูปแบบเลขชี้กำลัง

งานตัวเลือกเพื่อคำนวณค่าของฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a arch; b วิธีแก้ปัญหา A เราจะคำนวณ ARH โดยใช้สูตร Arch(L(ในตัวอย่างนี้ ZI ดังนั้น Arch L(± L(± ต่อไปเรา ใช้

ตัวเลือก 9 งาน คำนวณค่าของฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a cos (; b l (วิธีแก้ปัญหา a ตามสูตรตรีโกณมิติ cos (-cos cos (s s

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์

การบรรยาย 7. การขยายแนวคิดเรื่องจำนวน จำนวนเชิงซ้อน การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน บทคัดย่อ: การบรรยายชี้ให้เห็นถึงความจำเป็นในการสรุปแนวคิดของจำนวนจากธรรมชาติไปจนถึงจำนวนเชิงซ้อน พีชคณิต

งานตัวเลือก คำนวณค่าฟังก์ชัน ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a โค้ง b การตัดสินใจ A เราจะคำนวณ ARH โดยใช้สูตร Arch L ในตัวอย่าง ZI นี้ ดังนั้น Arch L ± L ± ต่อไปที่เราใช้

บรรยาย..3. อินทิกรัลที่ไม่แน่นอน บทคัดย่อ: อินทิกรัลที่ไม่แน่นอนถูกกำหนดให้เป็นชุดของแอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัล คุณสมบัติของอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนจะพิจารณาว่า

"เครื่องหมายการกระทำ" a+(-b)=a-b 1) ทำไมถึงแนะนำจำนวนลบ? "เครื่องหมายของปริมาณ") เหตุใดจึงมีการดำเนินการกับพวกเขาตามกฎดังกล่าวและไม่ใช่ตามกฎอื่น ๆ ทำไมเวลาคูณหารลบ

แบบฝึกหัด ฟังก์ชันวิเคราะห์ เงื่อนไข Cauchy-Riemann อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เงื่อนไข Cauchy-Riemann 3 ความหมายทางเรขาคณิตของโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของอนุพันธ์ 4 สอดคล้อง

บทเรียน 2 2.1 ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อน a เรียกว่าลิมิตของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (z n ) ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ ε > 0 มีจำนวนดังกล่าว n 0 n 0 (ε) ที่

งานตัวเลือก คำนวณค่าของฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a cos (; b l (วิธีแก้ปัญหา a ตามสูตรตรีโกณมิติ cos (cos cos (-s s (เราใช้สูตรสำหรับการเชื่อมต่อระหว่างตรีโกณมิติ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "Ural State Pedagogical University" คณะภาควิชาคณิตศาสตร์

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย งบประมาณสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาวิชาชีพ "Komsomolsk-on-Amur State Technical

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกแห่งการบินพลเรือน O.G. อิลลาริโอโนวา, I.V. Platonova HIGHER MAHEMATICS คู่มือการศึกษาและวิธีการเกี่ยวกับการปฏิบัติงานจริงสำหรับนักเรียน II

แนวคิดของตัวแปรเชิงซ้อน ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของตัวแปรเชิงซ้อน ให้กำหนดจำนวนเชิงซ้อน D และ Δ สองชุด และแต่ละจำนวน z D จะกำหนดเป็นตัวเลข ω Δ ซึ่งแสดงแทนได้

การวิเคราะห์เชิงซ้อน ตัวอย่างฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน Nikita Aleksandrovich Evseev Department of Physics, Novosibirsk State University Chinese-Russian Institute, Heilongjiang University

การบรรยาย N34. อนุกรมตัวเลขที่มีเงื่อนไขซับซ้อน อนุกรมกำลังในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ ฟังก์ชันผกผัน..อนุกรมตัวเลขที่มีเงื่อนไขเชิงซ้อน.....อนุกรมกำลังในโดเมนเชิงซ้อน....

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

บทนำ 1 เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต Find, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i วิธีแก้ปัญหา เราคูณและหารจำนวนด้วยคอนจูเกตของตัวส่วน: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 ผม) 3 + ผม) 3 ผม) = 15

1 ฟังก์ชันเชิงซ้อน 1.1 จำนวนเชิงซ้อน จำได้ว่าจำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดให้เป็นเซตของคู่ลำดับของจำนวนจริง C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy โดยที่ i คือหน่วยจินตภาพ ( ผม

แนวคิดพื้นฐาน 1 จำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนเป็นนิพจน์ของรูปแบบ i โดยที่ i เป็นจำนวนจริง โดย i เป็นหน่วยจินตภาพที่ตรงตามเงื่อนไข i 1 จำนวนเรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน

การบรรยาย 3. อินทิกรัลไม่ จำกัด Antiderivative และ integral ไม่จำกัด ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว: สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด f () ค้นหาอนุพันธ์ (หรืออนุพันธ์) อินทิกรัลแคลคูลัส

ทฤษฎีบทของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน แนวคิดของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน 1 กฎการหาอนุพันธ์ เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันถูกกำหนดเป็นพื้นที่จริง เช่น เป็นลิมิต โดยใช้นิยามนี้และคุณสมบัติของลิมิต

ตัวเลือก งาน คำนวณค่าของฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a Arctg; b (โซลูชัน a) โดยทั่วไป Arctg arctg + kπ ค้นหาค่าอื่น ๆ ในระนาบ + เชิงซ้อน เราจะคำนวณ Arctg โดยใช้สูตร

ฟังก์ชันหลายตัวแปร ฟังก์ชันหลายตัวแปร สุดขั้วของฟังก์ชันหลายตัวแปร การหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด Conditional extremum Complex

ธ.ก.ส.เพื่อสอบเข้าเป็นข้าราชการพลเรือน (ภาคเบื้องตฉน) ใบกําหนด 4 5 ตอน 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 จํานวนคะแนน 5 b b 5 b อนุพันธ์มาตราเนื้อหาผลหาร

บทบรรยาย 5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานเบื้องต้น บทคัดย่อ: ให้ตีความเชิงฟิสิกส์และเรขาคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปร 1 ตัว พิจารณาตัวอย่างความแตกต่างของฟังก์ชันและกฎ

งานอิสระ ภารกิจ กำหนดประเภทของเส้นโค้ง กำหนดโดยพาราเมตริก และอธิบายเส้นโค้ง t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t

SA Zotova, VB Svetlichnaya คู่มือปฏิบัติเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันของคณิตศาสตร์เชิงซ้อนเชิงซ้อน

7 สมการเลขชี้กำลังและลอการิทึมและอสมการ 7. แนวคิดพื้นฐานและสูตร บันทึกความเท่าเทียมกัน a b และ a b เทียบเท่าสำหรับ a > 0, a, b > 0 บันทึก เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน: a a b b, a > 0,

อนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานพื้นฐาน สามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ตามโครงร่างต่อไปนี้: เราให้ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ x สำหรับฟังก์ชัน y เราพบส่วนเพิ่มที่สอดคล้องกัน y y เราสร้างอัตราส่วนที่เราพบ

ฟังก์ชั่นของสำนักพิมพ์ TSTU ตัวแปรที่ซับซ้อน กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐแทมบอฟ ฟังก์ชั่นของระเบียบวิธีตัวแปรที่ซับซ้อน

แนวข้อสอบ คำถามทดสอบวัดระดับการเรียนรู้ "รู้" แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีอนุกรม เกณฑ์ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน เครื่องหมายที่จำเป็นของการลู่เข้าของอนุกรมจำนวน เครื่องหมายเพียงพอ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ Ukhta State Technical University หลักเกณฑ์เกี่ยวกับตัวเลขที่ซับซ้อน

การวิเคราะห์เชิงซ้อน เรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน Nikita Alexandrovich Evseev คณะฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนโวซีบีสค์ พ.ศ. 2558 การวิเคราะห์เชิงซ้อน 1 / 31 เส้นจำนวน R เชิงซ้อน

งานตัวเลือกในการคำนวณค่าฟังก์ชัน (ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: s(; b a การตัดสินใจ A โดยใช้สูตรตรีโกณมิติบาป (ISIN OSIOS SINI เราใช้สูตรความสัมพันธ์ระหว่างตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก

Svetlichnaya V. B. , Agisheva D. K. , Matveeva T. A. , Zotova S. A. บทพิเศษของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีการทำงานของตัวแปรเชิงซ้อน Volgograd 0 y. กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Volzhsky Polytechnic

การคำนวณทั่วไป "ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน" งานปฏิบัติ งาน กำหนดหมายเลข s หา c ด้วย arg และเขียนจำนวน c ในรูปแบบตรีโกณมิติและเลขยกกำลัง :)))))) 8 6) 7) 8) 9)

กระทรวงการศึกษาของสหพันธรัฐรัสเซียทฤษฎีฟังก์ชั่นของคู่มือระเบียบวิธีที่ซับซ้อน รวบรวมโดย: MDUlymzhiev LIInkheeva IBYumov SZHYumova การทบทวนคู่มือระเบียบวิธีเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชั่น

จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน และการดำเนินการในโมดูล y โมดูล R ส่วนจริง จำนวนจริง yim ส่วนจินตภาพ จำนวนจริง iy สัญกรณ์พีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์

หัวเรื่อง : อนุพันธ์. ข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อ ตารางอนุพันธ์. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วน: ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน หัวข้อ: การดำเนินการที่ไม่ใช่พีชคณิตใน C. ฟังก์ชันมูลฐานเบื้องต้นใน C. B.b. ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน อาจารย์ Yanushchik O.V.

ธีม. การทำงาน. วิธีการทำงาน ฟังก์ชันโดยปริยาย ฟังก์ชันผกผัน การจำแนกฟังก์ชัน องค์ประกอบของทฤษฎีเซต แนวคิดพื้นฐาน หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่คือแนวคิดของเซต

งานทดสอบในช่วงเวลาระหว่างเซสชั่นนักเรียนควรเตรียมการอย่างอิสระ จัดทำเนื้อหาเชิงทฤษฎีในการบรรยายในหัวข้อ "หน้าที่ของตัวแปรหลายตัว" (เนื้อหาที่นำเสนอ

มิเรีย. การคำนวณทั่วไปสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ งานควบคุมในหัวข้อ จำนวนเชิงซ้อน TFKP งาน 1. แก้สมการแทนคำตอบที่ตั้งไว้บนระนาบเชิงซ้อน A) 4 i + 81i 0 B)

แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ การแปลง Laplace และสูตรผกผัน Let ในช่วงเวลา Dirichlet คือ: อินทิกรัลฟูริเยร์ (l l) a) ถูกล้อมรอบในช่วงเวลานี้ ฟังก์ชันตรงตามเงื่อนไข b) ต่อเนื่องกันทีละส่วน

ฟังก์ชันของฟังก์ชันวิเคราะห์ตัวแปรเชิงซ้อน ก่อนหน้านี้ เรากำลังจัดการกับฟังก์ชันค่าเดียว w = f(z) เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น คำจำกัดความ 1. ฟังก์ชัน f(z) เรียกว่าการวิเคราะห์

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย ANGARSK STATE TECHNICAL ACADEMY Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE and OPERATIONAL CALCULUS บทช่วยสอน