การบูรณาการที่ซับซ้อน การรวมฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

เครื่องคิดเลขแก้อินทิกรัลพร้อมคำอธิบายการดำเนินการโดยละเอียดเป็นภาษารัสเซียและฟรี!

การแก้อินทิกรัลไม่แน่นอน

นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

คำตอบของปริพันธ์แน่นอน

นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

ป้อนนิพจน์อินทิกรัล (ฟังก์ชันอินทิกรัล)
ป้อนขีดจำกัดล่างสำหรับอินทิกรัล
ป้อนขีดจำกัดบนสำหรับอินทิกรัล

การแก้อินทิกรัลคู่

ป้อนนิพจน์อินทิกรัล (ฟังก์ชันอินทิกรัล)

การแก้ปัญหาปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม

ป้อนนิพจน์อินทิกรัล (ฟังก์ชันอินทิกรัล)
ป้อนภูมิภาคด้านบนของการรวม (หรือ + อินฟินิตี้)
ป้อนภูมิภาคล่างของการรวม (หรือ - อินฟินิตี้)

คำตอบของอินทิกรัลสามเท่า

ป้อนนิพจน์อินทิกรัล (ฟังก์ชันอินทิกรัล)
ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่แรกของการรวม
ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่ที่สองของการบูรณาการ
ป้อนขีด จำกัด ล่างและบนสำหรับพื้นที่ที่สามของการบูรณาการ

บริการนี้ช่วยให้คุณตรวจสอบ .ของคุณ การคำนวณเพื่อความถูกต้อง

ความสามารถ

รองรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ รากที่สองและลูกบาศก์ องศา เลขชี้กำลัง และอื่นๆ
มีตัวอย่างสำหรับอินพุททั้งอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมและแน่นอน
แก้ไขข้อผิดพลาดในนิพจน์ที่คุณป้อนและเสนอตัวเลือกสำหรับการป้อนข้อมูลของคุณเอง
คำตอบเชิงตัวเลขสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอนและไม่เหมาะสม (รวมถึงอินทิกรัลคู่และสาม)
รองรับจำนวนเชิงซ้อน เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ต่างๆ (คุณสามารถระบุใน integrand ได้ ไม่เพียงแต่ตัวแปรการรวม แต่ยังรวมถึงตัวแปรพารามิเตอร์อื่นๆ ด้วย)

ให้เราพิจารณาเส้นโค้งเรียบ Γ ในระนาบเชิงซ้อนที่กำหนดโดยสมการพาราเมทริก

(คำจำกัดความของเส้นโค้งเรียบแสดงไว้ที่จุดเริ่มต้นของ §8) ดังที่ระบุไว้ใน § 8 สมการเหล่านี้สามารถเขียนในรูปแบบย่อได้:

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ tจาก เอถึง /3 จุดที่สอดคล้องกัน ซี(t)จะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง Γ ดังนั้น สมการ (15.1) และ (15.2) ไม่เพียงกำหนดจุดของเส้นโค้ง Γ เท่านั้น แต่ยังกำหนดทิศทางการเคลื่อนตัวของเส้นโค้งนี้ด้วย Curve Г กับทิศทางที่กำหนดของทางอ้อมเรียกว่า เส้นโค้งที่มุ่งเน้น

ให้อยู่ในพื้นที่ ดี C C ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(r) = = คุณ(x, y) + iv(x. y),และปล่อยให้เส้นโค้ง Γ นอนใน ง.เพื่อแนะนำแนวคิดของอินทิกรัล [f(z)dzจากฟังก์ชัน ฉ(z)ตามเส้นโค้ง r เรานิยาม r

ดิฟเฟอเรนเชียล dzความเท่าเทียมกัน dz = dx + idyอินทิกรัลเปลี่ยนเป็นรูป

ดังนั้นอินทิกรัลของฟังก์ชันเชิงซ้อน ฉ(z)ตามแนวโค้ง Γ เป็นธรรมดาที่จะกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

โดยที่ด้านขวามือมีอินทิกรัลโค้งจริงสองอันของฟังก์ชันจริงประเภทที่สอง และและ และ.ในการคำนวณอินทิกรัลเหล่านี้แทน Xและ ที่ฟังก์ชั่นทดแทน x(ท)และ t/(/) แต่แทนที่จะเป็น dxและ dy-ความแตกต่างของฟังก์ชันเหล่านี้ dx = x"(t) dtและ dy = y"(t)dt.จากนั้นอินทิกรัลทางด้านขวามือของ (15.3) จะลดลงเหลือสองอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรจริง t

ตอนนี้เราพร้อมที่จะให้คำจำกัดความต่อไปนี้

อินทิกรัลตามแนวโค้ง G เกี่ยวกับฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน f(z)เบอร์นี้เรียกว่า เจ" f(z)dzและคำนวณโดย

ที่ไหน ซี(t) = x(ท) + iy(t), a ^ t ^ ft, -สมการของเส้นโค้ง Г, a ซี"(ท) = = x"(t) + ฉัน"(ท).

ตัวอย่าง 15.1. คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(z) = (g - a) pตามวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลาง a ซึ่งทิศทางของทางอ้อมคือทวนเข็มนาฬิกา

วิธีแก้ไข: สมการของวงกลม z - a= g will z - a = เกก หรือ

เมื่อมันเปลี่ยนไป ทีจาก 0 ถึง 2tg จุด ซี(t.)เคลื่อนที่เป็นวงกลม r ทวนเข็มนาฬิกา แล้ว

ใช้ความเท่าเทียมกัน (15.5) และสูตร De Moivre (2.10) เราได้รับ

เราได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญสำหรับการนำเสนอเพิ่มเติม:

โปรดทราบว่าค่าของอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับรัศมี Gวงกลม

ตัวอย่าง 15.2 คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(z) = 1 แต่โค้งเรียบ Γ มีจุดกำเนิดที่จุด เอและสิ้นสุดที่จุดหนึ่ง ข.

สารละลาย. ให้เส้นโค้ง Γ ถูกกำหนดโดยสมการ ซี(t.) = x(t) + + iy(t) และ ^ t^ /3, และ เอ= -r(ก), ข = ซี((3).โดยใช้สูตร (15.5) เช่นเดียวกับสูตรของนิวตัน-ไลบนิซสำหรับการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันจริง เราได้รับ

เราจะเห็นว่าอินทิกรัล ฉ 1 dzไม่ขึ้นกับชนิดของเส้นทาง G เชื่อมต่อ-

ระหว่างจุด a และ 6 และขึ้นอยู่กับปลายทางเท่านั้น

ให้เราอธิบายสั้น ๆ อีกวิธีหนึ่งในการนิยามอินทิกรัลของฟังก์ชันเชิงซ้อน ฉ(z)ตามแนวเส้นโค้ง คล้ายกับนิยามของอินทิกรัลของฟังก์ชันจริงเหนือเซกเมนต์

ให้เราแบ่งเส้นโค้ง Γ ออกเป็น พีแปลงคะแนน zq = ก, z 1, ..., zน-th z n = ข,ตัวเลขในทิศทางของการเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุด (รูปที่ 31) หมายถึง z - zo ==Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -สังกะสี- 1 = = อัซน์(ตัวเลข Azkแสดงโดยเวกเตอร์ที่มาจากจุด zi L_i ใน Zk-)ในแต่ละไซต์ (zk-i,Zk)เราเลือกจุดโดยพลการบนเส้นโค้ง (q- และรวมผลรวม

จำนวนนี้เรียกว่า ผลรวมอินทิกรัลให้เราแสดงด้วย L ความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดที่เส้นโค้ง G ถูกแบ่งออก พิจารณาลำดับของพาร์ติชันที่ A -? 0 (ในขณะที่ พี-*โอ)

П1> หน่วยของผลรวมหนึ่งซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขว่าความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุดของพาร์ติชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เรียกว่า อินทิกรัลของฟังก์ชัน/(ช) ตามแนวโค้ง G และแสดงโดย G ฉ(z)dz:

สามารถแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความนี้นำเราไปสู่สูตร (15.3) ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับคำจำกัดความ (15.5) ที่ให้ไว้ข้างต้น

ให้เราสร้างคุณสมบัติหลักของอินทิกรัล / ฉ(ซ)ดซ.

1° ความเป็นลิเนียร์ สำหรับค่าคงที่เชิงซ้อนใดๆ a และ b

คุณสมบัตินี้ตามมาจากความเท่าเทียมกัน (15.5) และคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของอินทิกรัลเหนือเซกเมนต์

2° สารเติมแต่ง ถ้าเข้าโค้ง G แบ่งออกเป็นส่วน Tiม. G2, แล้ว

การพิสูจน์. ให้เส้นโค้ง Γ มีปลาย a, ขถูกหารด้วยจุด c ออกเป็นสองส่วน: เส้นโค้ง Гi มีปลาย a, กับและเส้นโค้ง Gr ที่ลงท้ายด้วย ข.ให้ Г ถูกกำหนดโดยสมการ z = z(t), เอ ^ t ^ ใน.และ เอ= 2(ก), ข = ซี(ฟุต),ค = 2(7). จากนั้นสมการของเส้นโค้ง Г1 และ Гг จะเป็น z = ซี(เสื้อ),ที่ไหน เอ ^ t^7 สำหรับ Ti และ 7^ t^/? สำหรับ Gg. เราใช้คำจำกัดความ (15.5) และคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของอินทิกรัลในส่วนที่เราได้รับ

คิวอีดี

คุณสมบัติ 2° ทำให้สามารถคำนวณอินทิกรัลได้ ไม่เพียงแต่บนเส้นโค้งเรียบแต่ยัง เรียบเนียน, เช่น. เส้นโค้งที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนเรียบจำนวนจำกัด

3° เมื่อทิศทางของเส้นโค้งเปลี่ยนไป อินทิกรัลจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

พิสูจน์ l กับ t ใน เกี่ยวกับ ให้โค้ง Г สิ้นสุด เอและ ขได้จากสมการ r = r(?), o ^ t ^ $. เส้นโค้งที่ประกอบด้วยจุดเดียวกับ Γ แต่แตกต่างจาก Γ ในทิศทางของทางอ้อม (ทิศทาง) จะแสดงด้วย Γ จากนั้น Г - ถูกกำหนดโดยสมการ z= 2i(J)> โดยที่ ซี(t)= 2(0 -ฉัน - พอดี),อันที่จริงเราแนะนำตัวแปรใหม่ r = a + - ต.เมื่อมันเปลี่ยนไป tจากถึง (dตัวแปร r เปลี่ยนจาก (5 ก. ดังนั้นจุด r(m) จะวิ่งผ่านเส้นโค้ง r

คุณสมบัติ 3° ได้รับการพิสูจน์แล้ว (โปรดทราบว่าคุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความของปริพันธ์โดยตรง (15.8): เมื่อทิศทางของเส้นโค้งเปลี่ยนไป การเพิ่มขึ้นทั้งหมด AZkเปลี่ยนเครื่องหมาย)

4° โมดูลัสของอินทิกรัล f f(z)dz ไม่เกินค่าของความโค้ง G

อินทิกรัลเชิงเส้นของโมดูลัสของฟังก์ชันตามความยาวของเส้นโค้ง s (อินทิกรัลเส้นโค้งของ f(z) ของชนิดที่หนึ่ง):

ง่ายที่จะเห็นว่า z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr โดยใช้คำจำกัดความ (15.5) และส่งผ่านไปยังตัวแปร r เราได้รับ

การพิสูจน์. ให้เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับอินทิกรัลเหนือเซกเมนต์

(ความไม่เท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นทันทีจากคำจำกัดความของอินทิกรัลในส่วนที่เป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล) จากนี้และจาก (15.5) เรามี

1. แนวคิดพื้นฐาน

2. การคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

3. ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

4. ทฤษฎีบท Cauchy หลักสำหรับรูปร่างที่เรียบง่าย

5. ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน

6. สูตร Integral Cauchy

7. การคำนวณอินทิกรัลบนวงปิด

8. ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัลบนเส้นขอบปิด

แนวคิดพื้นฐาน

1. แนวคิดของอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนถูกนำมาใช้ (ในลักษณะเดียวกับในพื้นที่จริง) เป็นขีดจำกัดของลำดับของผลรวมอินทิกรัล ฟังก์ชั่นถูกกำหนดบนเส้นโค้งบางส่วน l , เส้นโค้งจะถือว่าเรียบหรือเรียบเป็นชิ้น ๆ :

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

โดยที่ x_k คือจุดที่เลือกบนส่วนโค้ง \Delta l_k ของเส้นโค้งที่แยกออก \Delta z_k - การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันในส่วนนี้ของการแยก \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- แยกขั้นตอน |\Delta z_k| - ความยาวของคอร์ดที่เชื่อมต่อปลายของส่วนโค้ง \Delta l_k ; เส้นโค้ง l ถูกแบ่งออกเป็น n ส่วนตามอำเภอใจ \Delta l_k,~ k=1,2,\ldots,n. ทิศทางถูกเลือกบนเส้นโค้งเช่น มีการระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด กรณีโค้งปิด \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right))บูรณาการเกิดขึ้นในทิศทางบวก กล่าวคือ ในทิศทางที่ออกจากขอบเขตสิ้นสุดที่ล้อมรอบด้วยเส้นทางไปทางซ้าย

สูตร (2.43) กำหนด อินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน. หากเราแยกแยะส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชัน f(z) ออก นั่นคือ เขียนลงในแบบฟอร์ม

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\operatorname(Re)f(z),\quad v=\operatorname(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

จากนั้นผลรวมอินทิกรัลสามารถเขียนได้ในรูปของสองเทอม ซึ่งจะเป็นผลรวมอินทิกรัลของอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันประเภทที่สองของตัวแปรจริงสองตัว หาก f(z) ถือว่าต่อเนื่องกันบน l ดังนั้น u(x, y),~ v(x, y) ก็จะต่อเนื่องกันบน l และด้วยเหตุนี้จะมีข้อจำกัดของผลรวมอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน ดังนั้น หากฟังก์ชัน f(z) ต่อเนื่องบน l แสดงว่ามีขีดจำกัดความเท่าเทียมกัน (2.43) นั่นคือ มีอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชัน f(z) เหนือเส้นโค้ง l และสูตร

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

การใช้คำจำกัดความของอินทิกรัลหรือสูตร (2.44) และคุณสมบัติของอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติต่อไปนี้ของอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (คุณสมบัติที่ทราบจากการวิเคราะห์จริง) .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(จัดตำแหน่ง)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB))ถ้าฟังก์ชันถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์บนเส้นโค้ง AB นั่นคือ |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติของการประเมินโมดูลัสของปริพันธ์

\bold(6)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

สูตร (2.44) ถือได้ว่าเป็นทั้งนิยามของอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน และเป็นสูตรสำหรับการคำนวณผ่านอินทิกรัลส่วนโค้งของฟังก์ชันประเภทที่สองของตัวแปรจริงสองตัว

ในการใช้และจำสูตรการคำนวณ เราสังเกตว่าความเท่าเทียมกัน (2.44) สอดคล้องกับการดำเนินการอย่างเป็นทางการทางด้านซ้ายภายใต้เครื่องหมายของอินทิกรัลของการดำเนินการแยกส่วนจริงและจินตภาพของฟังก์ชัน f(z) คูณด้วย dz=dx+i\,dy และเขียนผลคูณในรูปแบบพีชคณิต:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

ตัวอย่าง 2.79.คำนวณอินทิกรัลและ \int\limits_(OA)z\,dz, โดยที่เส้น OA

a) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด z_1=0 และ z_2=1+i ,
b) แตกบรรทัด OBA โดยที่ O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ วิธีแก้ปัญหา

1. คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. ที่นี่ f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. เราเขียนอินทิกรัลในรูปของอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

ซึ่งสอดคล้องกับสูตร (2.44) เราคำนวณอินทิกรัล:

ก) เส้นทางบูรณาการเป็นส่วนเส้นตรงดังนั้น \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) เส้นทางของการรวมเป็นเส้นขาดซึ่งประกอบด้วยสองส่วน OB= $y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1$และ BA= $x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1$. ดังนั้นเมื่อแยกอินทิกรัลออกเป็นสองส่วนและทำการคำนวณ เราจะได้

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limit_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(z)=\overline(z) ขึ้นอยู่กับทางเลือกของเส้นทางการรวมที่เชื่อมต่อจุด O และ A

2. คำนวณอินทิกรัล \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz)ที่นี่ f(z)=z=x+iy เราเขียนอินทิกรัลในรูปของอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

อินทิกรัลของอินทิกรัลที่ได้รับของชนิดที่สองคือผลต่างทั้งหมด (ดูเงื่อนไข (2.30)) ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะพิจารณาหนึ่งกรณีของเส้นทางการรวม ดังนั้น ในกรณี "a" โดยที่สมการของเซกเมนต์ y=x,~0 \leqslant x \leqslant1,เราได้คำตอบ

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

เนื่องจากความเป็นอิสระของอินทิกรัลจากรูปแบบของเส้นทางการรวม งานในกรณีนี้สามารถกำหนดในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น: คำนวณอินทิกรัล

\int\limits_(l)z\,dzจากจุด z_1=0 ถึงจุด z_2=1+i

ในหัวข้อย่อยถัดไป เราจะพิจารณากรณีของการผสานรวมดังกล่าวโดยละเอียดยิ่งขึ้น

2. ให้อินทิกรัลของฟังก์ชันต่อเนื่องในบางโดเมนเป็นอิสระจากรูปแบบของเส้นโค้งที่เชื่อมจุดสองจุดของโดเมนนี้ มาแก้ไขจุดเริ่มต้นแทน z_0 จุดสิ้นสุดคือตัวแปร แทนมัน z จากนั้นค่าของอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับจุด z เท่านั้น นั่นคือมันกำหนดฟังก์ชันบางอย่างในพื้นที่ที่ระบุ

ด้านล่างนี้ เราจะให้เหตุผลในการยืนยันว่าในกรณีของโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย อินทิกรัลจะกำหนดฟังก์ชันค่าเดียวในโดเมนนี้ เราแนะนำสัญกรณ์

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z)

ฟังก์ชัน F(z) เป็นอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร

โดยใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ กล่าวคือ กำลังพิจารณา \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z)มันง่ายที่จะตรวจสอบว่า F(z) มีอนุพันธ์ ณ จุดใด ๆ ของโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้นจึงมีการวิเคราะห์อยู่ในนั้น ในกรณีนี้ สำหรับอนุพันธ์ เราได้สูตร

ฉ"(z)=f(z).

อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรเท่ากับค่าของอินทิกรัลที่ขีดจำกัดบน

จากความเท่าเทียมกัน (2.46) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่ integrand f(z) ใน (2.45) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ เนื่องจากอนุพันธ์ F"(z) ของฟังก์ชันวิเคราะห์ F(z) โดยคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าว ( ดูข้อเสนอ 2.28) - ฟังก์ชันวิเคราะห์

3. ฟังก์ชัน F(z) ซึ่งมีความเท่าเทียมกัน (2.46) เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f(z) ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย และคอลเล็กชันของแอนติเดริเวทีฟ \Phi(z)=F(z)+c , โดยที่ c=\text( const) , - อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชัน f(z)

จากจุดที่ 2 และ 3 เราได้รับการยืนยันดังต่อไปนี้

ใบแจ้งยอด 2.25

1. อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนตัวแปร \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi)จากการวิเคราะห์ฟังก์ชันในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย จะมีการวิเคราะห์ฟังก์ชันในโดเมนนี้ ฟังก์ชันนี้เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับอินทิกรัล

2. ฟังก์ชันใดๆ ที่มีการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายจะมีแอนติเดริเวทีฟอยู่ในนั้น (การมีอยู่ของแอนติเดริเวทีฟ)

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นพบได้ เช่นเดียวกับในกรณีของการวิเคราะห์จริง: ใช้คุณสมบัติของอินทิกรัล ตารางของปริพันธ์ และกฎการรวม

ตัวอย่างเช่น, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c.

ระหว่างอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันวิเคราะห์และแอนติเดริเวทีฟในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย มีสูตรที่คล้ายกับสูตรของนิวตัน-ไลบนิซจากการวิเคราะห์จริง:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1)

4. ในการวิเคราะห์จริง ในโดเมนที่ซับซ้อน นอกเหนือจากอินทิกรัลที่มีพารามิเตอร์ภายในขอบเขตของการบูรณาการ (สูตร (2.45) ให้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของอินทิกรัลดังกล่าว) อินทิกรัลถือว่าขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่มีอยู่ในอินทิกรัล: \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). ในบรรดาอินทิกรัลดังกล่าว สถานที่สำคัญในทฤษฎีและการปฏิบัติของการรวมและการประยุกต์ใช้ที่ซับซ้อนนั้นถูกครอบครองโดยอินทิกรัลของรูปแบบ \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

สมมติว่า f(z) ต่อเนื่องบนเส้น l เราได้รับว่าสำหรับจุดใด ๆ z ที่ไม่ได้เป็นของ l อินทิกรัลมีอยู่และกำหนดในภูมิภาคใด ๆ ที่ไม่มี l ฟังก์ชันบางอย่าง

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z)

อินทิกรัล (2.48) เรียกว่าอินทิกรัลประเภท Cauchy; ตัวคูณ \frac(1)(2\pi\,i) ถูกนำมาใช้เพื่อความสะดวกในการใช้ฟังก์ชันที่สร้างขึ้น

สำหรับฟังก์ชันนี้ เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (2.45) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นการวิเคราะห์ในทุกที่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ยิ่งกว่านั้น ในทางตรงกันข้ามกับอินทิกรัล (2.45) ฟังก์ชันการสร้าง f(z) ไม่จำเป็นต้องเป็นการวิเคราะห์ กล่าวคือ สูตร (2.48) ใช้เพื่อสร้างคลาสของฟังก์ชันวิเคราะห์ในคลาสของฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรเชิงซ้อน อนุพันธ์ของอินทิกรัล (2.48) ถูกกำหนดโดยสูตร

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

เพื่อพิสูจน์สูตร (2.49) และดังนั้นเพื่อยืนยันว่าอินทิกรัลของประเภท Cauchy เป็นการวิเคราะห์ ก็เพียงพอแล้วตามคำจำกัดความของอนุพันธ์เพื่อสร้างความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

สำหรับ \varepsilon>0 ใด ๆ และสำหรับ z ใด ๆ จากโดเมนของฟังก์ชัน F(z)

วิธีเดียวกันนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่ามีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน (2.49) นั่นคือ F""(z) และสูตร

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

ขั้นตอนสามารถดำเนินต่อไปได้และเราสามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลำดับของฟังก์ชัน F(z)\colon

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

จากการวิเคราะห์สูตร (2.48) และ (2.49) จะเห็นได้ง่ายว่าอนุพันธ์ F(z) สามารถหาได้อย่างเป็นทางการโดยแยกความแตกต่างตามพารามิเตอร์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล (2.48)

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\left(\frac(f (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

การใช้กฎการแยกความแตกต่างของอินทิกรัลอย่างเป็นทางการโดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ n ครั้ง เราจะได้สูตร (2.50)

เราเขียนผลลัพธ์ที่ได้รับในส่วนนี้ในรูปแบบของการยืนยัน

คำยืนยัน 2.26. ปริพันธ์ \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xiจากฟังก์ชัน f(z) ต่อเนื่องบนเส้นโค้ง l มีฟังก์ชันที่วิเคราะห์ในโดเมน D ใดๆ ที่ไม่มี l ; อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้สามารถหาได้โดยแยกความแตกต่างตามพารามิเตอร์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์

การคำนวณอินทิกรัลจากฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ข้างต้นได้สูตรการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน - สูตร (2.44) และ (2.47)

หากกำหนดเส้นโค้ง l ในสูตร (2.44) เป็นพารามิเตอร์: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\betaหรือซึ่งสอดคล้องกับรูปแบบจริง: \begin(กรณี) x=x(t),\\ y=y(t),\end(cases)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\betaจากนั้น ใช้กฎการคำนวณอินทิกรัลของชนิดที่สองในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง เราสามารถแปลงสูตร (2.44) เป็นรูปแบบ

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

ผลลัพธ์ที่ได้รับและผลลัพธ์ที่ได้จากการบรรยายครั้งก่อนจะถูกเขียนเป็นลำดับของการกระทำ

วิธีการคำนวณอินทิกรัล \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

วิธีแรกการคำนวณอินทิกรัล \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz)จากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดให้เป็นอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรจริง - การใช้สูตร (2.44)

1. ค้นหา \operatorname(Re)f(z)=u,~ \operatorname(Im)f(z)=v.

2. เขียนอินทิกรัล f(z)dz เป็นผลคูณ (u+iv)(dx+i\,dy) หรือคูณ u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. คำนวณอินทิกรัลโค้งของแบบฟอร์ม \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), ที่ไหน P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)ตามกฎการคำนวณอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง

วิธีที่สองการคำนวณอินทิกรัล \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz)จากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดเป็นอินทิกรัลที่แน่นอนในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นทางการรวม - การใช้สูตร (2.51)

1. เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง z=z(t) และกำหนดขีดจำกัดการรวมจากนั้น: t=\alpha สอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวม t=\beta - ไปยังจุดสิ้นสุด

2. ค้นหาผลต่างของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน z(t)\colon\, dz=z"(t)dt.
3. แทนที่ z(t) เป็นอินทิกรัล แปลงอินทิกรัล

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (ท)\,dt\,.

4. คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนจากฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงที่ได้รับในส่วนที่ 3

โปรดทราบว่าการรวมฟังก์ชันมูลค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงไม่แตกต่างจากการรวมฟังก์ชันมูลค่าจริง ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการมีอยู่ในกรณีแรกของปัจจัย ผม , การกระทำที่แน่นอนว่าถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

วิธีที่สาม.การคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย - การใช้สูตร (2.47)

1. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟ F(z) โดยใช้คุณสมบัติของอินทิกรัล อินทิกรัลแบบตาราง และวิธีการทราบจากการวิเคราะห์จริง

2. ใช้สูตร (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

หมายเหตุ 2.10

1. ในกรณีของพื้นที่ที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ การตัดจะทำเพื่อให้ได้ฟังก์ชันค่าเดียว F(z)

2. เมื่อรวมสาขาที่มีค่าเดียวของฟังก์ชันที่มีหลายค่าเข้าด้วยกัน สาขาจะมีความแตกต่างโดยการตั้งค่าของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่งของเส้นโค้งการรวม หากเส้นโค้งปิด จุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวมคือจุดที่กำหนดค่าของอินทิกรัล ค่าของอินทิกรัลอาจขึ้นอยู่กับการเลือกจุดนี้

▼ ตัวอย่าง 2.80-2.86 การคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ตัวอย่าง 2.80คำนวณ \int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dzโดยที่ l คือเส้นเชื่อมจุด z_1=0 กับจุด z_2=1+i\colon

ก) ล. - เส้นตรง; b) l - เสียบรรทัด OBA โดยที่ O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ วิธีแก้ปัญหา

ก) เราใช้วิธีแรก - (สูตร (2.44))

1.2. อินทิกรัลมีรูปแบบ \operatorname(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). นั่นเป็นเหตุผลที่

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. คำนวณอินทิกรัลสำหรับ y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(สมการของส่วน OA ที่เชื่อมต่อจุด z_1 และ z_2 ) เราได้รับ

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) เนื่องจากเส้นทางการรวมประกอบด้วยสองส่วน เราจึงเขียนอินทิกรัลเป็นผลรวมของสองอินทิกรัล:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

และคำนวณแต่ละรายการตามวรรคก่อน นอกจากนี้ สำหรับส่วน OB เรามี

\begin(กรณี)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(กรณี)และสำหรับภาคส่วน BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(cases)

เราทำการคำนวณ:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

โปรดทราบว่าอินทิกรัลในตัวอย่างนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ ดังนั้นอินทิกรัลบนเส้นโค้งสองเส้นที่ต่างกันซึ่งเชื่อมต่อจุดที่กำหนดสองจุดสามารถมีค่าต่างกันได้ ซึ่งแสดงให้เห็นในตัวอย่างนี้

ตัวอย่าง 2.81คำนวณ \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dzโดยที่ l คือครึ่งวงกลมบน |z|=1 ข้ามเส้นโค้ง l ทวนเข็มนาฬิกา

▼ วิธีแก้ปัญหา

เส้นโค้งมีสมการพาราเมตริกอย่างง่าย z=e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant\piดังนั้นจึงสะดวกที่จะใช้วิธีที่สอง (สูตร (2.51)) อินทิกรัลที่นี่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ไม่ใช่การวิเคราะห์

1.2. สำหรับ z=e^(it) เราพบว่า \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. ทดแทนในอินทิกรัล เราคำนวณอินทิกรัล

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

ตัวอย่าง 2.82อินทิกรัลคำนวณของฟังก์ชันวิเคราะห์:

ก) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; ข) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุด i

▼ วิธีแก้ปัญหา

ก) ใช้สูตร (2.47) (กฎข้อที่สาม); เราพบแอนติเดริเวทีฟโดยใช้วิธีการรวมการวิเคราะห์จริง:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\operatorname(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \operatorname(sh)2).

b) integrand เป็นการวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นจุด i . หลังจากวาดระนาบที่ตัดตามแนวรังสีจากจุด i ถึง \infty เราจะได้พื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ๆ ซึ่งฟังก์ชันคือการวิเคราะห์และอินทิกรัลสามารถคำนวณได้จากสูตร (2.47) ดังนั้น สำหรับเส้นโค้งใดๆ ที่ไม่ผ่านจุด i อินทิกรัลสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร (2.47) ในขณะที่สำหรับจุดที่กำหนดสองจุด จะมีค่าเท่ากัน

ในรูป 2.44 แสดงสองกรณีของการตัด ทิศทางของการข้ามขอบเขตของภูมิภาคที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ๆ โดยที่อินทิกรัลคือการวิเคราะห์ ถูกระบุด้วยลูกศร เราคำนวณอินทิกรัล:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

ตัวอย่าง 2.83คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ วิธีแก้ปัญหา

integrand มีการวิเคราะห์ทุกที่ใน \mathbb(C) เราใช้วิธีที่สาม สูตร (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+ผม)^2=ผม

ผลลัพธ์นี้ได้ในตัวอย่าง 2.78 ตามวิธีแรก

ตัวอย่าง 2.84คำนวณอินทิกรัล \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)โดยที่ C คือวงกลม |z-a|=R

▼ วิธีแก้ปัญหา

ลองใช้วิธีที่สอง

1. เราเขียนสมการวงกลมในรูปแบบพาราเมตริก: z-a=R\,e^(it) , or z=a+R\,e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. การหาส่วนต่าง dz=R\,i\,e^(มัน)\,dt.
3. แทนที่ z=a+R\,e^(it) และ dz ลงในอินทิกรัล:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

เราคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนที่เป็นผลลัพธ์ สำหรับ n\ne1 เราจะได้

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bg)

เพราะ e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1นั่นเป็นเหตุผลที่ \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0สำหรับ n\ne1 สำหรับ n=1 เราจะได้ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

เราเขียนผลลัพธ์ในรูปแบบของสูตร:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). โปรดทราบว่าหากวงกลม C\colon |z-a|=R ข้ามจุด k ครั้ง อาร์กิวเมนต์ (พารามิเตอร์) จะเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2\pi k ( k>0 หากวงกลมอยู่ในทิศทางบวก เช่น ทวนเข็มนาฬิกา และ k<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi ผม

ตัวอย่าง 2.85คำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุด z=0 และไม่ข้ามผ่าน -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) เส้นทางการรวมไม่ผ่านจุด z=0 แต่ไปรอบ ๆ n ครั้งรอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกา

▼ วิธีแก้ปัญหา

a) อินทิกรัลนี้ - อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร - กำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์ค่าเดียวในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (ดู 2.45)) มาหานิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับฟังก์ชันนี้ - แอนติเดริเวทีฟสำหรับ f(z)=\frac(1)(z) การแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของปริพันธ์ \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(โดยใช้สูตร (2.44)) เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าอินทิกรัลของอินทิกรัลชนิดที่สองนั้นมีค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด ดังนั้นอินทิกรัล \frac(d\xi)(\xi) จึงไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบของ เส้นโค้งเชื่อมจุด z_1=1 และ z ให้เลือกเส้นทางที่ประกอบด้วยส่วนของแกน Ox จากจุด z_1=1 ถึงจุด z_2=r โดยที่ r=|z| และส่วนโค้ง l ของวงกลม กำลังเชื่อมต่อ z_2 กับ z (รูปที่ 2.45, a)

เราเขียนอินทิกรัลเป็นผลรวม: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). ในการคำนวณอินทิกรัลบนส่วนโค้งวงกลม เราใช้สูตร (2.51) ในขณะที่ส่วนโค้งมีสมการ \xi=r\,e^(มัน),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. เราได้รับ \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (มัน))\,dt=i\arg z; ผลที่ตามมา

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

ด้านขวาของความเท่าเทียมกันกำหนดฟังก์ชันค่าเดียว \ln z - ค่าหลักของลอการิทึม ได้คำตอบในรูปแบบ

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันสามารถใช้เป็นคำจำกัดความของฟังก์ชันค่าเดียว \ln z ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย - ระนาบที่มีการตัดตามแนวกึ่งแกนจริงเชิงลบ (-\infty;0]

b) อินทิกรัลสามารถเขียนเป็นผลรวม: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi)โดยที่ c คือวงกลม |z|=1 ทวนเข็มนาฬิกา n ครั้ง และ l คือเส้นโค้งที่เชื่อมระหว่างจุด z_1 และ z และไม่ปิดจุด z=0 (รูปที่ 2.45,b)

เทอมแรกเท่ากับ 2n\pi i (ดูตัวอย่าง 2.84) เทอมที่สอง - \ln(z) - สูตร (2.53) ได้ผลลัพธ์ \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

ตัวอย่าง 2.86คำนวณอินทิกรัล \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))ตามส่วนโค้งด้านบนของวงกลม |z|=1 ระบุ: a) \sqrt(1)=1 ; ข) \sqrt(1)=-1

▼ วิธีแก้ปัญหา

การตั้งค่าของฟังก์ชัน \sqrt(z) ที่จุดของเส้นชั้นความสูงการรวมช่วยให้คุณสามารถเลือกสาขาค่าเดียวของนิพจน์ \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(ดูตัวอย่าง 2.6) ตัวอย่างเช่น การตัดสามารถวาดตามแนวกึ่งแกนลบจินตภาพได้ เนื่องจากสำหรับ z=1 เรามี \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1จากนั้นในกรณีแรกจะมีการเลือกสาขาที่มี k=0 ในส่วนที่สอง - ด้วย k=1 . อินทิเกรตบนคอนทัวร์อินทิเกรตต่อเนื่องกัน ในการแก้สมการเราใช้สูตร (2.51) เส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการ z=e^(มัน),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) สาขาถูกกำหนดเมื่อ k=0 นั่นคือ จาก z=e^(it) สำหรับอินทิกรัลที่เราได้รับ \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). เราคำนวณอินทิกรัล:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1)

b) สาขาถูกกำหนดเมื่อ k=1 เช่น จาก z=e^(it) สำหรับอินทิกรัลที่เรามี \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). เราคำนวณอินทิกรัล:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i)

ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ ในการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เมื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในพื้นที่ที่มีขอบเขตหรือในบริเวณใกล้เคียงกับจุดแต่ละจุด ปริพันธ์จะถูกพิจารณาตามเส้นโค้งปิด - ขอบเขตของภูมิภาคโดยเฉพาะ พื้นที่ใกล้เคียงของจุด เราจะพิจารณาปริพันธ์ \oint\limits_(C)f(z)dzโดยที่ f(z) เป็นการวิเคราะห์ในบางภูมิภาค ยกเว้นจุดแต่ละจุด C คือขอบเขตของพื้นที่หรือเส้นขอบภายในในภูมิภาคนี้

ทฤษฎีบท Cauchy พื้นฐานสำหรับรูปร่างที่เรียบง่าย

ทฤษฎีบท 2.1 (ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างอย่างง่าย) ถ้า f(z) เป็นการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ดังนั้นสำหรับเส้นชั้นความสูง C ที่เป็นของโดเมนนี้ ความเท่าเทียมกัน

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นหาได้ง่าย โดยอิงตามคุณสมบัติของฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งฟังก์ชันวิเคราะห์มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ (ดูข้อเสนอ 2.28) คุณสมบัตินี้ช่วยให้มั่นใจความต่อเนื่องของอนุพันธ์บางส่วนของ \ชื่อตัวดำเนินการ(Re)f(z)และ \operatorname(Im)f(z)ดังนั้น หากเราใช้สูตร (2.44) จะเห็นได้ง่ายว่าสำหรับอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สองแต่ละอินทิกรัลโค้งจะเป็นไปตามเงื่อนไขดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด เช่นเดียวกับเงื่อนไข Cauchy-Riemann สำหรับฟังก์ชันการวิเคราะห์ และอินทิกรัลเหนือเส้นโค้งปิดของดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดเท่ากับศูนย์

โปรดทราบว่าข้อเสนอทางทฤษฎีทั้งหมดที่นำเสนอด้านล่างนี้ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทที่สำคัญนี้ในท้ายที่สุด ซึ่งรวมถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่กล่าวถึงข้างต้น เพื่อไม่ให้มีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของการนำเสนอ เราทราบว่าทฤษฎีบทสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงการมีอยู่ของอนุพันธ์บนพื้นฐานของคำจำกัดความของฟังก์ชันการวิเคราะห์เท่านั้น

ผลสะท้อนจากทฤษฎีบท 2.1

1. ทฤษฎีบทยังใช้ได้ถ้า C เป็นขอบเขตของโดเมน D และฟังก์ชัน f(z) คือการวิเคราะห์ในโดเมนและบนขอบเขต เช่น ใน \overline(D) เนื่องจากตามคำจำกัดความ การวิเคราะห์ใน \overline(D) หมายถึงการวิเคราะห์ของฟังก์ชันในบางพื้นที่ B ที่มี D~(B\อารมณ์เสีย\overline(D))ในขณะที่ C จะเป็นรูปร่างภายในใน B

2. ปริพันธ์บนเส้นโค้งต่างๆ ที่อยู่ในขอบเขตที่เชื่อมต่ออย่างเรียบง่ายของการวิเคราะห์ฟังก์ชันและการเชื่อมต่อจุดสองจุดของบริเวณนี้มีค่าเท่ากัน กล่าวคือ \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dzโดยที่ l_1 และ l_2 เป็นเส้นโค้งที่เชื่อมระหว่างจุด z_1 และ z_2 (รูปที่ 2.46)

เพื่อพิสูจน์ ก็เพียงพอที่จะพิจารณารูปร่าง C ซึ่งประกอบด้วยเส้นโค้ง l_1 (จากจุด z_1 ถึงจุด z_2 ) และเส้นโค้ง l_2 (จากจุด z_2 ถึงจุด z_1 ) สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ดังนี้ อินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของเส้นโค้งการรวมที่เชื่อมต่อจุดสองจุดของขอบเขตการวิเคราะห์ของฟังก์ชันและไม่ได้ออกจากบริเวณนี้

นี่เป็นเหตุผลให้คำชี้แจง 2.25 ที่ให้ไว้ข้างต้นเกี่ยวกับคุณสมบัติของอินทิกรัล \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xiและการมีอยู่ของฟังก์ชันวิเคราะห์แอนติเดริเวทีฟ

ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน

ทฤษฎีบท 2.2 (ทฤษฎีบทของ Cauchy สำหรับรูปร่างที่ซับซ้อน) หากฟังก์ชัน f(z) เป็นการวิเคราะห์ในพื้นที่ที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นขอบที่ซับซ้อน และบนเส้นขอบนี้ ดังนั้นอินทิกรัลเหนือขอบเขตของขอบเขตของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ถ้า C เป็นเส้นขอบที่ซับซ้อน - ขอบเขตของภาค ตามด้วยสูตร (2.54 ).

รูปร่างที่ซับซ้อน C สำหรับ (n+1) - พื้นที่เชื่อมต่อประกอบด้วยรูปร่างภายนอก \Gamma และด้านใน - C_i,~i=1,2,\ldots,n; รูปทรงไม่ตัดกันเป็นคู่บายพาสของขอบเขตเป็นบวก (ในรูปที่ 2.47, n=3)

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2 ก็เพียงพอแล้วที่จะวาดส่วนตัดในโดเมน (เส้นประในรูปที่ 2.47) เพื่อให้ได้โดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ สองโดเมนและใช้ทฤษฎีบท 2.1

ผลที่ตามมาจากทฤษฎีบท 2.2

1. ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท 2.2 อินทิกรัลเหนือเส้นขอบด้านนอกเท่ากับผลรวมของอินทิกรัลเหนืออินทิกรัลภายใน บายพาสทุกรูปทรงในทิศทางเดียว (ในรูปที่ 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. ถ้า f(z) เป็นการวิเคราะห์ในพื้นที่ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย D และบนขอบเขตของภาค ยกเว้นจุด a ของพื้นที่นี้ ให้ถือว่าอินทิกรัลบนเส้นโค้งปิดต่างๆ ที่อยู่ในขอบเขต D และขอบเขต ภูมิภาคที่มีจุด a มีค่าเท่ากัน (รูปที่ 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

การพิสูจน์นั้นชัดเจน เนื่องจากแต่ละเส้นขอบดังกล่าวถือได้ว่าเป็นขอบเขตภายในของโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณซึ่งมีขอบเขตภายนอกเป็นขอบเขตของโดเมน D ตามสูตร (2.55) สำหรับ n=1 อินทิกรัลใด ๆ ดังกล่าวจะเท่ากับอินทิกรัลเหนือขอบเขต D

การเปรียบเทียบสูตรของทฤษฎีบท 2.2 และข้อพิสูจน์ 1 จากทฤษฎีบท 2.1 ทำให้เราสามารถสรุปได้ ซึ่งเราเขียนในรูปแบบของการยืนยันต่อไปนี้

คำยืนยัน 2.27. ถ้า f(z) เป็นการวิเคราะห์ใน D ดังนั้น โดยที่ C คือขอบเขตของโดเมน D (รูปร่างที่เรียบง่ายหรือซับซ้อน)

สูตรอินทิกรัล Cauchy

ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ ตรงกันข้ามกับสองข้อก่อนหน้า การพิจารณาอินทิกรัลของฟังก์ชันซึ่งไม่มีการวิเคราะห์ในภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบการรวมมีรูปแบบพิเศษ

ทฤษฎีบท 2.3 หากฟังก์ชัน f(z) เป็นการวิเคราะห์ในโดเมน D และบนขอบเขต C ดังนั้นสำหรับจุดภายใน a ของโดเมน (a\in D) ความเท่าเทียมกัน

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

ภูมิภาค D สามารถเชื่อมต่อได้ง่ายๆ หรือเชื่อมต่อหลายเท่า และขอบเขตของภูมิภาคอาจเป็นรูปร่างที่เรียบง่ายหรือซับซ้อนก็ได้

การพิสูจน์กรณีของโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของทฤษฎีบท 2.1 และสำหรับโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณ มันจะลดลงเป็นกรณีของโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (เช่นในการพิสูจน์ของทฤษฎีบท 2.2) โดยการตัดที่ทำ ไม่ผ่านจุด ก.

ควรสังเกตว่าจุด a ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของพื้นที่ ดังนั้นอินทิกรัลจึงต่อเนื่องบน C และอินทิกรัลมีอยู่

ทฤษฎีบทมีความสนใจอย่างมาก กล่าวคือ สูตร (2.57) แก้ปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎีฟังก์ชัน ค่าของฟังก์ชันบนขอบเขตของโดเมนใช้เพื่อกำหนดมูลค่าที่จุดภายในใดๆ

หมายเหตุ 2.11.ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท ปริพันธ์ \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xiกำหนดฟังก์ชันการวิเคราะห์ ณ จุดใด ๆ z ที่ไม่ได้อยู่ในรูปร่าง C และที่จุดของขอบเขต จำกัด D ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นขอบจะเท่ากับ f(z) (ตามสูตร (2.57)) และนอก \overline(D) จะเท่ากับศูนย์เนื่องจากเหตุผลของทฤษฎีบทของ Cauchy อินทิกรัลนี้เรียกว่าอินทิกรัล Cauchy เป็นกรณีพิเศษของอินทิกรัลประเภท Cauchy (2.48) ในที่นี้เส้นขอบปิด ตรงกันข้ามกับเส้นตรงใน (2.48) และฟังก์ชัน f(z) คือการวิเคราะห์ ตรงกันข้ามกับเส้นต่อเนื่องบน l ใน (2.48) สำหรับอินทิกรัล Cauchy ดังนั้น การยืนยัน 2.26 ซึ่งกำหนดขึ้นสำหรับอินทิกรัลของประเภท Cauchy เกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์นั้นถูกต้อง จากสิ่งนี้ การยืนยันต่อไปนี้สามารถกำหนดได้

คำชี้แจง 2.28

1. ฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ จุดใด ๆ ของการวิเคราะห์สามารถเขียนเป็นอินทิกรัลได้

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. ฟังก์ชันวิเคราะห์มีอนุพันธ์ของลำดับใดๆ ที่สูตร

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

สูตร (2.59) ให้การแทนค่าเชิงปริพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันวิเคราะห์

การคำนวณอินทิกรัลบนวงปิด

เราจะพิจารณาอินทิกรัลของแบบฟอร์ม \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dzโดยที่ฟังก์ชัน \varphi(z) เป็นการวิเคราะห์ใน D และ \psi(z) เป็นพหุนามที่ไม่มีศูนย์บนรูปร่าง C ในการคำนวณอินทิกรัลจะใช้ทฤษฎีบทจากการบรรยายครั้งก่อนและผลที่ตามมา

กฎข้อ 2.6. เมื่อคำนวณอินทิกรัลของแบบฟอร์ม \oint\limits_(C)f(z)\,dzสี่กรณีสามารถแยกแยะได้ขึ้นอยู่กับธรรมชาติ (หลายหลาก) ของศูนย์ของพหุนาม \psi(z) และตำแหน่งที่สัมพันธ์กับรูปร่าง C

1. ไม่มีศูนย์ของพหุนาม \psi(z) ในภูมิภาค D แล้ว f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z))ฟังก์ชันคือการวิเคราะห์และใช้ทฤษฎีบท Cauchy หลัก เราได้ผลลัพธ์ \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. ในภูมิภาค D มีหนึ่งศูนย์อย่างง่าย z=a ของพหุนาม \psi(z) จากนั้นเราเขียนเศษส่วนเป็น \frac(f(z))(z-a) โดยที่ f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใน \overline(D) การใช้สูตรอินทิกรัลเราจะได้ผลลัพธ์:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi ฉัน\cdot f(a)

3. ในพื้นที่ D มีศูนย์หลายตัว z=a หนึ่งตัวของพหุนาม \psi(z) (ของหลายหลาก n ) แล้วเขียนเศษส่วนในรูป \frac(f(z))((z-a)^n)โดยที่ f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใน \overline(D) ใช้สูตร (2.59) ได้ผลลัพธ์

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. ในภูมิภาค D มีศูนย์พหุนามสองตัว \psi(z)\colon\,z_1=aและ z_2=b จากนั้นโดยใช้ทฤษฎีบทที่ 1 จากทฤษฎีบท 2.2 เราเขียนอินทิกรัลในรูปแบบ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) โดยที่ C เป็นเส้นชั้นความสูงที่กำหนดขอบเขตพื้นที่ที่มีจุด a

▼ วิธีแก้ปัญหา

พิจารณาพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันเป็นสองเท่า ซึ่งหนึ่งในนั้นคือเส้นขอบ C อีกส่วนคือวงกลม |z-a|=R โดยข้อพิสูจน์ 2 ของทฤษฎีบท 2.2 (ดู (2.56)) เรามี

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ของการแก้ ตัวอย่าง 2.84 (สูตร (2.52)) เราจะได้คำตอบ \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

โปรดทราบว่าสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้โดยใช้สูตรอินทิกรัล Cauchy กับ f(z)=1 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราได้รับ \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi iเนื่องจากรูปร่าง C ไปรอบจุด z=0 หนึ่งครั้ง ถ้าเส้นชั้นความสูง C ไปรอบจุด z=0 k ครั้งในทิศทางบวก (k>0) หรือทางลบ (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

ตัวอย่าง 2.88คำนวณ \oint\limits_(l)\frac(dz)(z)โดยที่ l คือเส้นโค้งเชื่อมจุด 1 และ z ไปรอบจุดกำเนิดหนึ่งครั้ง

▼ วิธีแก้ปัญหา

อินทิกรัลนั้นต่อเนื่องบนเส้นโค้ง - อินทิกรัลมีอยู่ สำหรับการคำนวณ เราใช้ผลลัพธ์ของตัวอย่างก่อนหน้าและตัวอย่าง 2.85 ในการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาลูปปิด การเชื่อมต่อ ตัวอย่างเช่น จุด A กับจุดที่ 1 (รูปที่ 2.50) เส้นทางการรวมจากจุดที่ 1 ถึงจุด z จนถึงจุด A สามารถแสดงได้โดยประกอบด้วยเส้นโค้งสองเส้น - รูปร่างปิด C (เส้นโค้ง BDEFAB ) และเส้นโค้ง l_0 จุดเชื่อมต่อ 1 และ z ผ่านจุด A\colon

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

โดยใช้ผลลัพธ์ของตัวอย่าง 2.85 และ 2.87 เราได้รับคำตอบ:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

โดยไม่ต้องเปลี่ยนรูปเรขาคณิต เราสามารถพิจารณากรณีที่เส้นโค้งไปรอบจุดกำเนิด n ครั้ง ได้ผลลัพธ์

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

นิพจน์ผลลัพธ์กำหนดฟังก์ชันหลายค่า \operatorname(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z)เส้นทางการรวมไม่ผ่านต้นทาง การเลือกสาขาของนิพจน์ที่มีหลายค่าถูกกำหนดโดยการตั้งค่าของฟังก์ชันในบางจุด

ตัวอย่าง 2.89.หา \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), ถ้า \ln1=4\pi ผม

▼ วิธีแก้ปัญหา

เราพบเลขศูนย์ของตัวส่วน - จุดเอกพจน์ของจำนวนเต็ม นี่คือจุด z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. ถัดไป คุณต้องกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับเส้นชั้นความสูงการรวม ในทั้งสองกรณี ไม่มีจุดใดรวมอยู่ในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบ สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ภาพวาด ทั้งสองรูปร่างเป็นวงกลม จุดศูนย์กลางของอันแรกคือ z_0=2+i และรัศมีคือ R=2 ; ศูนย์กลางของวินาที z_0=-2i และ R=1 เป็นไปได้ที่จะระบุได้ว่าจุดนั้นเป็นของพื้นที่ด้วยวิธีอื่นหรือไม่ กล่าวคือ เพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมและเปรียบเทียบกับค่ารัศมี ตัวอย่างเช่น สำหรับจุด z_2=4i ระยะนี้จะเท่ากับ |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13)ซึ่งมากกว่ารัศมี (\sqrt(13)>2) ดังนั้น z_2=4i จึงไม่อยู่ในวงกลม |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

ตัวอย่าง 2.91คำนวณในกรณีต่อไปนี้ของการตั้งค่ารูปร่าง C\colon a) |z|=2 ; ข) |z+1+i|=2

▼ วิธีแก้ปัญหา

การโต้เถียงในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพบว่าในทั้งสองกรณี มีจุดเอกพจน์เพียงจุดเดียว z_1=0 อยู่ภายในวงกลม ดังนั้นการใช้ข้อ 2 ของกฎ 2.6 (สูตรปริพันธ์ของ Cauchy) เราเขียนอินทิกรัลเป็นเศษส่วน \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), โดยที่ตัวเศษ f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)เป็นฟังก์ชันที่วิเคราะห์ในวงกลมที่กำหนด คำตอบสำหรับทั้งสองกรณีเหมือนกัน:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \left.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\right|_(z=0)=0.

ตัวอย่าง 2.92คำนวณ \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dzในกรณีต่อไปนี้ของการตั้งค่ารูปร่าง C\colon a) |z+4i|=2 ; ข) |z-1+3i|=2

▼ วิธีแก้ปัญหา

โครงร่างการรวมเป็นวงกลมดังที่กล่าวข้างต้น และในกรณีของ "a" จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด z_0=-4i,~R=2 ในกรณีของ "b" - ที่จุด z_0=1-3i ~R=2 .nในทั้งสองกรณี หนึ่งจุด z_0=-4i เข้าไปในวงกลมที่เกี่ยวข้อง ใช้ข้อ 2 ของกฎ 2.6 เราเขียนอินทิกรัลในรูปแบบ \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), โดยที่ตัวเศษ f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i))เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในขอบเขตที่พิจารณา การใช้สูตรอินทิกรัล เราได้คำตอบ:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \operatorname(sh)1)(16)= -\frac(\pi \operatorname(sh)1)(16)\,.

ตัวอย่าง 2.93คำนวณอินทิกรัลในกรณีต่อไปนี้ของการกำหนดรูปร่าง: a) |z+i|=1 ; ข) |z+2+i|=2

▼ วิธีแก้ปัญหา

ค้นหาจุดเอกพจน์ของจำนวนเต็ม - ศูนย์ของตัวส่วน z_1=i,~z_2=-2 เรากำหนดความเป็นเจ้าของของคะแนนไปยังพื้นที่ที่เกี่ยวข้อง กรณีที่ "a" อยู่ในวงกลม |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

กรณีที่ "b" อยู่ในวงกลม |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), ที่ไหน f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- ฟังก์ชันวิเคราะห์ในวงกลม |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ ผม)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

ตัวอย่าง 2.94คำนวณอินทิกรัล \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))ในกรณีต่อไปนี้ของการกำหนดรูปร่าง: a) |z-i|=2 ; ข) |z+2-i|=3

▼ วิธีแก้ปัญหา

ก) ในวงกลม |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2)และใช้ข้อ 3 ของกฎ 2.6 สำหรับ m=2 และ a=i เราคำนวณอินทิกรัล:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\right)")\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i)

b) ไปที่วงกลม |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

โดยที่แต่ละส่วนโค้ง C_1 และ C_2 ครอบคลุมเพียงจุดเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะรูปร่าง C_1 คุณสามารถใช้วงกลมจากตัวพิมพ์ "a" ก่อนหน้า; C_2 - วงกลมจากตัวอย่าง 2.93 หน้า "b" เช่น คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ เขียนคำตอบ:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi ฉัน\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!

ขั้นต่ำตามทฤษฎี
มักมีบางกรณีที่การคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนโดยวิธีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเป็นที่นิยมกว่าวิธีการ
การวิเคราะห์วัสดุ เหตุผลอาจแตกต่างกันมาก ในบางกรณีวิธี TFCT สามารถลดการคำนวณได้อย่างมาก
บางครั้งไม่สามารถใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซได้ เนื่องจากอินทิกรัลไม่แน่นอนไม่ได้แสดงในฟังก์ชันพื้นฐาน
วิธีการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้ากับพารามิเตอร์จำเป็นต้องมีเหตุผลที่สมควรอย่างยิ่งในการบังคับใช้ และบางครั้งพารามิเตอร์
จะต้องได้รับการแนะนำเทียม
โดยปกติ วิธีการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจะคำนวณอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม - ในช่วงเวลาอนันต์หรือจากอินทิกรัลที่ไม่จำกัดบนเซ็กเมนต์
การรวมฟังก์ชัน แนวคิดทั่วไปมีดังนี้ มีการสร้างอินทิกรัลรูปร่าง อินทิกรัลเหนือบางส่วนของรูปร่างควร
ตรงกับอินทิกรัลที่แน่นอนที่ต้องการ - อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่ อินทิกรัลเหนือส่วนที่เหลือของรูปร่าง
ควรจะคำนวณ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทสารตกค้างหลักตามที่
,
จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันที่อยู่ภายในเส้นชั้นความสูงการรวมอยู่ที่ไหน ดังนั้นอินทิกรัลรูปร่างกับหนึ่ง
ในทางกลับกัน มันกลับกลายเป็นว่าแสดงออกผ่านอินทิกรัลที่แน่นอนที่ต้องการ และในทางกลับกัน มันถูกคำนวณโดยใช้เศษเหลือ (ซึ่งโดยปกติ
ไม่ก่อให้เกิดปัญหาใหญ่ใดๆ)
ปัญหาหลักคือการเลือกโครงร่างการรวม โดยหลักการแล้วมันถูกแนะนำโดยอินทิกรัล อย่างไรก็ตามไม่เพียงพอ
ในทางปฏิบัติมันยากที่จะเชี่ยวชาญวิธีนี้และจะมีตัวอย่างค่อนข้างมาก คอนทัวร์ที่ใช้บ่อยที่สุดประกอบด้วย
องค์ประกอบที่สะดวกในการรวมเข้าด้วยกัน (เส้นตรง, ส่วนโค้งของวงกลม)

บูรณาการในระนาบเชิงซ้อน
ตัวอย่าง 1 อินทิกรัลเฟรส.
มาคำนวณอินทิกรัลกัน , .
มันง่ายที่จะเดาว่าขั้นตอนแรกคือการเปลี่ยนไปใช้รูปแบบเลขชี้กำลัง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาอินทิกรัล
จำเป็นต้องเลือกโครงร่างการรวมเท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่ากึ่งแกนควรเข้าสู่รูปร่าง จริงและ
ส่วนจินตภาพของอินทิกรัลเหนือส่วนนี้ของรูปร่างคืออินทิกรัลเฟรสเนล นอกจากนี้ อินทิกรัลเส้นขอบที่คำนวณได้เหนือโครงสร้าง
อินทิกรัลคล้ายกับอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง ซึ่งเป็นที่รู้จัก แต่เพื่อให้ได้อินทิกรัลนี้ เราต้องใส่
, แล้ว . และการแสดงตัวแปรดังกล่าวเป็นการบูรณาการตามแนวเส้นตรงผ่านจุด
ที่มุมกับแกนจริง
ดังนั้น มีสององค์ประกอบรูปร่าง ในการปิดเส้นขอบ เราคิดว่าสองส่วนที่เลือกของรูปร่างนั้นมีความยาวจำกัด และปิด
รูปร่างของส่วนโค้งของวงกลมรัศมี . ต่อมาเราจะปล่อยให้รัศมีนี้ไปสู่อนันต์ ผลที่ได้คือดังแสดงในรูปที่ 1 วงจร

(1)
ภายในเส้นขอบอินทิเกรต อินทิกรัลไม่มีจุดเอกพจน์ ดังนั้น อินทิกรัลเหนือเส้นขอบทั้งหมดจึงเท่ากับศูนย์

.
ในขีดจำกัด อินทิกรัลนี้เท่ากับศูนย์
บนพล็อตคุณสามารถเขียน , แล้วก็
.
เราแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับใน (1) และส่งต่อไปยังขีด จำกัด :

การแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เราพบ โดยคำนึงถึงมูลค่าของอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง
,
.
ตัวอย่าง 2 การเลือกโครงร่างการรวมที่อยู่ภายในจุดเอกพจน์ของ integrand.
ลองคำนวณอินทิกรัลที่คล้ายกับที่พิจารณาในตัวอย่างแรก: , โดยที่ .
เราจะคำนวณอินทิกรัล เราจะเลือกรูปร่างที่คล้ายกับที่ใช้ในตัวอย่างแรก แค่ตอนนี้ไม่มีจุดหมาย
ลดการคำนวณเป็นอินทิกรัลออยเลอร์-ปัวซอง ที่นี่เราทราบว่าเมื่อเปลี่ยน อินทิกรัลจะไม่เปลี่ยนแปลง
การพิจารณานี้ทำให้เราเลือกเส้นตรงเฉียงของเส้นชั้นความสูงการรวมเข้าด้วยกันเพื่อสร้างมุมกับแกนจริง

เมื่อเขียนอินทิกรัลเส้นขอบ
(2)
อินทิกรัลเหนือส่วนโค้งวงกลมมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ในขีดจำกัด บนเว็บไซต์คุณสามารถเขียน :
.
ดังนั้นจาก (2) เมื่อผ่านถึงขีด จำกัด เราพบว่า
.
ในที่นี้พิจารณาว่าภายในเส้นชั้นความสูงการรวม integrand มีขั้วธรรมดา

จากที่นี่เราพบอินทิกรัลที่จำเป็น:
.
ตัวอย่างที่ 3 ปิดโครงร่างการรวมผ่านครึ่งระนาบบนหรือล่าง?
ด้วยการใช้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่ายต่อไปนี้ เราแสดงรายละเอียดคุณลักษณะของการเลือกคอนทัวร์การผสานรวม คำนวณ
อินทิกรัล
อันที่จริง อินทิกรัลที่ต้องการของฟังก์ชันคำนวณตามแกนจริง ซึ่งอินทิกรัลไม่มี
คุณสมบัติ. ยังคงเป็นเพียงการปิดลูปการรวม เนื่องจากฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลมีจุดเอกพจน์เพียงสองจุดสุดท้าย ดังนั้น
คุณสามารถปิดเส้นขอบด้วยครึ่งวงกลม รัศมีของรัศมีที่มีแนวโน้มจะเป็นอนันต์ และเกิดคำถามขึ้นว่า
ต้องเลือกครึ่งวงกลม: ในระนาบครึ่งบนหรือล่าง (ดูรูปที่ 3 a, b) เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เราเขียนอินทิกรัลไว้บนครึ่งวงกลม
ในทั้งสองกรณี:

ก)
ข)
อย่างที่คุณเห็น พฤติกรรมของอินทิกรัลในลิมิตถูกกำหนดโดยปัจจัย
ในกรณีของ "a" ดังนั้น ขีดจำกัดจะสิ้นสุดภายใต้เงื่อนไข
ในกรณีของ "b" - ตรงกันข้าม - ดังนั้นขีดจำกัดจะสิ้นสุดภายใต้เงื่อนไข
นี่แสดงให้เห็นว่าวิธีที่เส้นขอบถูกปิดนั้นถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของพารามิเตอร์ ถ้ามันเป็นบวกแล้ว
รูปร่างปิดผ่านระนาบครึ่งบนมิฉะนั้น - ผ่านส่วนล่าง ลองพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกัน
ก)
อินทิกรัลครึ่งวงกลมในลิมิต ดังที่เราเห็น หายไป ภายในรูปร่าง (ดูรูปที่ 3a) คือ
จุดพิเศษดังนั้น

ข)
ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าใช้การรวมเข้ากับรูปร่างที่แสดงในรูปที่ 3b,

ข้อสังเกต . อาจดูแปลกที่อินทิกรัลของฟังก์ชันเชิงซ้อนกลายเป็นของจริง อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจหากอยู่ในต้นฉบับ
แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพของอินทิกรัล ในส่วนจินตภาพ ภายใต้อินทิกรัลจะมีฟังก์ชันคี่ และอินทิกรัลคำนวณเป็นสมมาตร
ขีดจำกัด เหล่านั้น. ส่วนจินตภาพหายไป ซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในการคำนวณของเรา
ตัวอย่างที่ 4 การข้ามจุดเอกพจน์ของจำนวนเต็มเมื่อสร้างเส้นชั้นความสูงการรวม.
ในตัวอย่างที่พิจารณา อินทิกรัลไม่มีจุดเอกพจน์ หรืออยู่ภายในเส้นขอบอินทิเกรต อย่างไรก็ตาม
สะดวกในการเลือกรูปร่างในลักษณะที่จุดเอกพจน์ของฟังก์ชันตกลงบนนั้น จุดดังกล่าวจะต้องข้าม ทางอ้อมจะดำเนินการ
ตามวงกลมรัศมีเล็ก ๆ ซึ่งในอนาคตจะรีบไปที่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น เราคำนวณอินทิกรัล .
อาจดูเหมือนว่าอินทิกรัลไม่มีจุดเอกพจน์ที่แน่นอน เนื่องจากจุดนั้นเป็นภาวะเอกฐานที่ถอดออกได้
แต่ในการคำนวณอินทิกรัล คุณต้องสร้างอินทิกรัลส่วนโค้งของฟังก์ชันอื่น (เพื่อให้แน่ใจว่าอินทิกรัลหายไปบน
ปิดครึ่งวงกลมในรัศมีอนันต์): . ที่นี่ integrand มีขั้วเอกพจน์
ที่จุด.

ดังนั้นจำเป็นต้องมีการวนรอบการบูรณาการอื่น (ดูรูปที่ 4) มันแตกต่างจากรูปที่ 3a โดยข้อเท็จจริงที่ว่าจุดเอกพจน์หมุนเป็นครึ่งวงกลมเท่านั้น
ซึ่งรัศมีน่าจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ในอนาคต
. (3)
เราสังเกตทันทีว่าอินทิกรัลบนครึ่งวงกลมขนาดใหญ่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ในรัศมีขนาดใหญ่อนันต์ของมัน และภายในเส้นขอบ
ไม่มีจุดเอกพจน์ ดังนั้นอินทิกรัลของเส้นชั้นความสูงทั้งหมดจึงเป็นศูนย์ ต่อไป ให้พิจารณาเงื่อนไขแรกและข้อที่สามใน (3):

.
ตอนนี้เราเขียนอินทิกรัลไว้บนครึ่งวงกลมเล็กๆ เราจะคำนึงถึงความเล็กของรัศมีของครึ่งวงกลมทันที:

เงื่อนไขที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ในขีด จำกัด จะไม่ถูกเขียนออกมา
เรารวบรวมเงื่อนไขใน (3) - ยกเว้นคำที่เกี่ยวข้องกับครึ่งวงกลมขนาดใหญ่

อย่างที่เห็น เงื่อนไขที่เปลี่ยนเป็นอินฟินิตี้ที่ ได้ยกเลิกซึ่งกันและกัน ปล่อย และ เรามี
.
ข้อสังเกต . ตัวอย่างเช่น อินทิกรัล Dirichlet คำนวณในลักษณะเดียวกันทุกประการ (เราจำได้ว่ามันแตกต่างจากอันที่พิจารณาโดยขาด
สี่เหลี่ยมในตัวเศษและส่วน)
ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนโดยใช้รูปร่าง
บูรณาการในระนาบเชิงซ้อน (ต่อ)
ตัวอย่างที่ 5 integrand มีจำนวนจุดเอกพจน์เป็นอนันต์.
ในหลายกรณี การเลือกรูปร่างมีความซับซ้อนโดยข้อเท็จจริงที่ว่าอินทิกรัลมีจุดเอกพจน์จำนวนอนันต์ ในกรณีนี้อาจ
ปรากฎว่าผลรวมของสารตกค้างจะเป็นอนุกรมจริง ๆ การบรรจบกันยังคงต้องพิสูจน์ถ้าเราสรุป
ไม่ทำงาน (และผลรวมของชุดข้อมูลโดยทั่วไปเป็นงานที่แยกจากกันค่อนข้างซับซ้อน) ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณอินทิกรัล
เห็นได้ชัดว่าส่วนหนึ่งของรูปร่างเป็นแกนจริง ฟังก์ชันนี้ไม่มีคุณสมบัติ มาคุยกันถึงวิธีการปิดลูป คุณไม่จำเป็นต้องเลือกครึ่งวงกลม
ประเด็นคือไฮเปอร์โบลิกโคไซน์มีตระกูลของศูนย์อย่างง่าย . ดังนั้นภายในรูปร่างปิดโดยครึ่งวงกลม
ในรัศมีที่กว้างใหญ่สุดอนันต์ จุดเอกพจน์จำนวนมากจะตกลงไปอย่างไม่สิ้นสุด คุณจะปิดลูปได้อย่างไร? สังเกตว่า.
จากนี้ไปเราสามารถลองรวมส่วนที่ขนานกับแกนจริงในเส้นขอบการรวม วงจะปิดด้วยสอง
ส่วนแนวตั้งซึ่งในขอบเขตอยู่ห่างจากแกนจินตภาพอย่างไม่สิ้นสุด (ดูรูปที่ 5)

บนส่วนแนวตั้งของรูปร่าง . ไฮเปอร์โบลิกโคไซน์เติบโตแบบทวีคูณด้วยการเติบโตของอาร์กิวเมนต์ (โมดูโล) ดังนั้น
ในขีดจำกัด อินทิกรัลเหนือส่วนแนวตั้งมักจะเป็นศูนย์

ดังนั้นภายในวงเงิน
.
ในอีกทางหนึ่ง ภายในเส้นชั้นความสูงการรวมมีจุดเอกพจน์สองจุดของจำนวนเต็ม การหักเงินในพวกเขา
,
.
เพราะเหตุนี้,
.
ตัวอย่างที่ 6 อินทิกรัลของอินทิกรัลที่แน่นอนและอินทิกรัลของเส้นขอบนั้นแตกต่างกัน.
มีกรณีที่สำคัญมากในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนโดยวิธีการรวมรูปร่าง จนถึงตอนนี้ integran
ฟังก์ชันอินทิกรัลของเส้นชั้นความสูงประจวบกับอินทิกรัลที่แน่นอน หรือส่งผ่านเข้าไปโดยการแยก
ส่วนจริงหรือจินตภาพ แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายเสมอไป ลองคำนวณอินทิกรัล
ในแง่ของการเลือกคอนทัวร์นั้นไม่มีปัญหาอะไรเป็นพิเศษ แม้ว่าฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลจะมีขั้วง่าย ๆ มากมาย เราก็รู้แล้ว
จากประสบการณ์ตัวอย่างที่แล้ว จำเป็นต้องมีรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก . ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวจากตัวอย่างที่ 5 คือ
ว่าเสาของ integrand ที่ต้องข้ามไปตกลงบนเส้น ดังนั้นเราจึงเลือกรายการที่แสดง
ในรูป 6 วงจร

พิจารณาอินทิกรัลของเส้นชั้นความสูง เราจะไม่ทาสีมันในแต่ละส่วนของรูปร่าง จำกัดตัวเองให้อยู่ในแนวนอน
แปลง อินทิกรัลตามแกนจริงในลิมิตมีแนวโน้มจะเป็นค่าที่ต้องการ เราเขียนอินทิกรัลบนส่วนที่เหลือ:
.
ในขีด จำกัด และอินทิกรัลสองตัวแรกจะให้ จากนั้นพวกเขาจะป้อนอินทิกรัลเส้นขอบในผลรวม
กับที่ต้องการซึ่งแตกต่างกันในเครื่องหมาย เป็นผลให้อินทิกรัลที่แน่นอนที่ต้องการจะหลุดออกจากอินทิกรัลเส้นขอบ หมายความว่า
อินทิเกรตถูกเลือกอย่างไม่ถูกต้อง พิจารณาอินทิกรัลอื่น: . ปล่อยให้เค้าร่างเหมือนเดิม

ในการเริ่มต้น ให้พิจารณาอินทิกรัลเหนือส่วนแนวนอนอีกครั้ง อินทิกรัลตามแกนจริงจะกลายเป็น
อินทิกรัลนี้จะหายไปในฐานะอินทิกรัลของฟังก์ชันคี่ภายในขอบเขตสมมาตร

ในขีด จำกัด วงเล็บสองอันแรกก็หายไปและกลายเป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันคี่อีกครั้ง
ภายในขอบเขตสมมาตร แต่วงเล็บสุดท้ายขึ้นอยู่กับปัจจัยหนึ่งจะให้อินทิกรัลที่ต้องการ มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะคำนวณต่อ
เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 5 อินทิกรัลเหนือส่วนแนวตั้งของรูปร่างมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่ มันยังคงค้นหาอินทิกรัล
ในครึ่งวงกลมโดยที่ . ในตัวอย่างที่ 4 เราคำนวณอินทิกรัล โดยคำนึงถึงความเล็กของ :
.
ดังนั้นเราจึงมีทุกอย่างที่จะเขียนอินทิกรัลเส้นขอบในขีด จำกัด :

ในทางกลับกัน ขั้วของอินทิกรัลกลับกลายเป็นว่าอยู่ภายในเส้นชั้นความสูงการรวม

1. แนวคิดและข้อความพื้นฐาน

ทฤษฎีบท 5.1(เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน) อนุญาต หลี่เป็นเส้นโค้งเรียบเรียบบน , ฉ(z)=ยู(x;y)+ผม×v(x;y) ต่อเนื่องบน หลี่. มีอยู่และความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 5.2อนุญาต หลี่เป็นเส้นโค้งเรียบอย่างง่าย โดยกำหนดแบบพาราเมตริก: หลี่:z(t)=x(t)+ผม×y(t), เอ£ t£ ข, การทำงาน ฉ(z) ต่อเนื่องบน หลี่. แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง:

(ที่ไหน ). (5.2)

ทฤษฎีบท 5.3ถ้า ฉ(z) การวิเคราะห์ในโดเมน ดีฟังก์ชัน แล้ว - ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์และ เอฟ"(z)=ฉ(z) โดยที่อินทิกรัลถูกนำผ่านเส้นโค้งเรียบเป็นชิ้นๆ ที่เชื่อมจุดต่างๆ z 0 และ z.

- สูตรนิวตัน-ไลบนิซ.

2. วิธีการคำนวณอินทิกรัล

วิธีแรกการคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยลดให้เป็นอินทิกรัลโค้งของฟังก์ชันของตัวแปรจริง (การประยุกต์ใช้สูตร (5.1))

1. ค้นหา Re ฉ=ยู, ฉัน ฉ=วี.

2. เขียนอินทิกรัล ฉ(z)dzในรูปแบบของงาน ( ยู+iv)(dx+ไอดี้)=udx-vdy+ผม(udy+vdx).

3. คำนวณอินทิกรัลโค้งของแบบฟอร์ม ตามกฎการคำนวณอินทิกรัลโค้งของชนิดที่สอง

ตัวอย่าง 5.1 . คำนวณ ตามแนวพาราโบลา y=x 2 จากจุด z 1 =0 ถึงจุด z 2 =1+ผม.

■ ค้นหาส่วนจริงและจินตภาพของอินทิกรัล เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราแทนที่ด้วยนิพจน์สำหรับ ฉ(z) z=x+iy:

เพราะ y=x 2 แล้ว dy= 2x, . นั่นเป็นเหตุผลที่

วิธีที่สองการคำนวณอินทิกรัลจากฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการลดให้เป็นอินทิกรัลที่แน่นอนในกรณีของข้อกำหนดพารามิเตอร์ของพาธการรวม (โดยใช้สูตร (5.2))

1. เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง z=z(t) และกำหนดขีดจำกัดของการรวม: t=aสอดคล้องกับจุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวม t=b- สุดท้าย.

2. ค้นหาผลต่างของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน z(t): dz=z¢( t)dt.

3. ทดแทน z(t) เป็นอินทิกรัล แปลงอินทิกรัลให้อยู่ในรูปแบบ: .

4. คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนที่เป็นผลลัพธ์

ตัวอย่าง 5.2 . คำนวณที่ไหน จาก- ส่วนโค้งของวงกลม, .

■ สมการพาราเมตริกของเส้นโค้งนี้: , 0 £ เจ£ พี. แล้ว . เราได้รับ

ตัวอย่าง 5.3 . คำนวณที่ไหน จาก- ส่วนโค้งบนของวงกลมภายใต้เงื่อนไข: a), b)

■ การตั้งค่าฟังก์ชันค่าในลูปการรวมช่วยให้คุณสามารถเลือกสาขาค่าเดียวของนิพจน์ , k= 0,1. เนื่องจากเรามี k= 0.1 จากนั้นในกรณีแรกเราเลือกสาขาด้วย k= 0 และในวินาที - ด้วย k= 1.

อินทิเกรตบนคอนทัวร์อินทิเกรตต่อเนื่องกัน สมการพาราเมตริกของเส้นโค้งนี้: , 0£ เจ£ พี. แล้ว .

ก) สาขาถูกกำหนดเมื่อ k= 0, นั่นคือจาก เราได้รับ .

b) สาขาจะถูกกำหนดเมื่อ k=1 นั่นคือ จากที่เราได้รับ

วิธีที่สาม.การคำนวณอินทิกรัลของฟังก์ชันการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย (การใช้สูตร (5.3))

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟ F(z) โดยใช้คุณสมบัติของอินทิกรัล อินทิกรัลแบบตาราง และวิธีการที่ทราบจากการวิเคราะห์จริง ใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ: .

ตัวอย่าง 5.4 . คำนวณ , ที่ไหน จาก- ตรง AB, z A=1-ผม,z B=2+ผม.

■ ตั้งแต่อินทิกรัล - วิเคราะห์ระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด จากนั้นจึงใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

3. ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสปริพันธ์

หน้าที่ของตัวแปรเชิงซ้อน

ทฤษฎีบท 5.4 (Cauchy).ถ้า ฉ(z Gฟังก์ชั่นแล้วที่ไหน หลี่- วงปิดใด ๆ ที่อยู่ใน G.

ทฤษฎีบทของ Cauchy ยังมีโดเมนที่เชื่อมต่อแบบทวีคูณอีกด้วย

ทฤษฎีบท 5.5.ให้ฟังก์ชั่น ฉ(z) เป็นการวิเคราะห์ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ดี, หลี่- เส้นขอบเรียบเป็นชิ้นปิดโดยพลการนอนอยู่ใน ดี. แล้วสำหรับจุดใด z 0 นอนอยู่ในคอนทัวร์ หลี่, สูตรนี้ใช้ได้:

, (5.4)

ที่ไหน หลี่ไหลไปในทางบวก

สูตร (5.4) เรียกว่า อินทิกรัล สูตร Cauchy . เป็นการแสดงออกถึงค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ภายในรูปร่างในแง่ของค่าบนรูปร่าง

ทฤษฎีบท 5.6.ฟังก์ชั่นใดก็ได้ ฉ(z) วิเคราะห์ในโดเมน ดีมีอนุพันธ์ของคำสั่งทั้งหมดในโดเมนนี้ และสำหรับ " z 0 Î ดีสูตรที่ถูกต้องคือ:

, (5.5)

ที่ไหน หลี่เป็นรูปร่างปิดเรียบเป็นชิ้น ๆ โดยพลการซึ่งนอนอยู่ใน ดีและมีจุด z 0 .

4. การคำนวณอินทิกรัลบนวงปิด

จากฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

พิจารณาอินทิกรัลของรูปแบบ โดยที่ฟังก์ชัน เจ(z) เป็นการวิเคราะห์ใน , และ y(z) เป็นพหุนามที่ไม่มีศูนย์บนเส้นขอบปิด จาก.

กฎ.เมื่อคำนวณอินทิกรัลของแบบฟอร์ม ขึ้นอยู่กับหลายหลากของศูนย์ของพหุนาม y(z) และตำแหน่งที่สัมพันธ์กับรูปร่าง จากแยกได้ 4 กรณี

1. ในสนาม ดีไม่มีพหุนามศูนย์ y(ซ). จากนั้นฟังก์ชันคือการวิเคราะห์และโดยทฤษฎีบทของคอชี

2. ในสนาม ดีมีศูนย์ง่าย ๆ หนึ่งตัว z=z 0 พหุนาม y(ซ). แล้วเขียนเศษส่วนเป็น , โดยที่ ฉ(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในการใช้สูตรอินทิกรัล Cauchy (5.4) ที่เราได้รับ

. (5.6)

3. ในพื้นที่ ดีระบุตัวคูณของศูนย์หนึ่งตัว z=z 0 พหุนาม y(z) (หลายหลาก น). แล้วเขียนเศษส่วนเป็น , โดยที่ ฉ(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในการใช้สูตร (5.5) เราได้รับ

4. ในพื้นที่ ดีมีเลขศูนย์สองตัวของพหุนาม y(ซ) z=z 1 และ z=z 2. จากนั้นเราแสดงอินทิกรัลเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน และอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลสองตัว ซึ่งแต่ละอันคำนวณตามข้อ 2 หรือข้อ 3

ตัวอย่าง 5.5 . คำนวณที่ไหน จาก- วงกลม.

■ เราหาเลขศูนย์ของตัวส่วน - จุดเอกพจน์ของจำนวนเต็ม . เหล่านี้คือจุด ต่อไป เราจะกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับรูปร่างของการรวม: ไม่มีจุดใดรวมอยู่ในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่งและมีรัศมี 2 (นั่นคือ เรามีกรณีแรก) ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการวาดหรือกำหนดระยะห่างจากจุดแต่ละจุดไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมแล้วเปรียบเทียบกับรัศมี ตัวอย่างเช่น for จึงไม่อยู่ในแวดวง

จากนั้นฟังก์ชั่น วิเคราะห์ในวงกลม และโดยทฤษฎีบทของ Cauchy .

โปรดทราบว่าอินทิกรัลที่ให้มานั้นมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับรูปร่างอื่นๆ ที่จำกัดขอบเขตที่ไม่รวมศูนย์ใดๆ ของตัวส่วน ■

ตัวอย่าง 5.6 . คำนวณที่ไหน จาก- วงกลม.

■ การโต้เถียงในตัวอย่าง 5.5 เราพบว่ามีเพียงศูนย์เดียวของตัวส่วนที่อยู่ในวงกลม (กรณีที่สอง) ดังนั้นเราจึงเขียนอินทิกรัลในรูป , ฟังก์ชัน วิเคราะห์เป็นวงกลม จากนั้นตามสูตร (5.6)

.■

ตัวอย่าง 5.7 . คำนวณ , ที่ไหน จาก- วงกลม.