แค่. ตามสูตรและชัดเจน กฎง่ายๆ- ในระยะแรก

จำเป็น สมการที่กำหนดนำไปสู่ มุมมองมาตรฐาน, เช่น. ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นแรก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำถูกต้อง

กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ - อย่างที่คุณเห็นเพื่อค้นหา X เรา

เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จาก สมการกำลังสอง- เพียงใส่อย่างระมัดระวัง

ค่านิยม ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ เราแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค = -4.

เราแทนค่าและเขียน:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก, ขและ กับ- หรือมากกว่าด้วยการทดแทน

ค่าลบลงในสูตรคำนวณราก การบันทึกสูตรอย่างละเอียดช่วยได้ที่นี่

กับ หมายเลขเฉพาะ- มีปัญหาเรื่องการคำนวณ จัดให้เลย!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

เราอธิบายทุกอย่างอย่างละเอียดรอบคอบ โดยไม่ขาดสิ่งใดเลยโดยมีป้ายและวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ตอนนี้จดบันทึก เทคนิคการปฏิบัติซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

นัดแรก- อย่าขี้เกียจไปก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?

สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่าเพิ่งรีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น

ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูท 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตตา.

เพื่อแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์

x 2 +bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =ค

x 1 +x 2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้น ก≠1:

x2+ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ตอบ:

→ →

ที่ไหน x1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม- ถ้าสมการของคุณมี อัตราต่อรองแบบเศษส่วน, - กำจัดเศษส่วน! คูณ

สมการสำหรับ ตัวส่วนร่วม.

บทสรุป. คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของมัน เท่ากับหนึ่งสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดย

ยาคูโปวา M.I. 1

สมีร์โนวา ยู.วี. 1

1 งบประมาณเทศบาล สถาบันการศึกษาเฉลี่ย โรงเรียนมัธยมศึกษา № 11

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

ประวัติความเป็นมาของสมการกำลังสอง

บาบิโลน

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วย เกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินด้วยการพัฒนาทางด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน. กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราบาบิโลนโดยพื้นฐานแล้วสอดคล้องกับสมการสมัยใหม่ แต่ในตำราเหล่านี้ไม่มีแนวคิด จำนวนลบและ วิธีการทั่วไปการแก้สมการกำลังสอง

กรีกโบราณ

การแก้สมการกำลังสองก็ทำเช่นกัน กรีกโบราณนักวิทยาศาสตร์เช่น Diophantus, Euclid และ Heron ไดโอแฟนทัส ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ สันนิษฐานว่ามีชีวิตอยู่ในช่วงคริสตศตวรรษที่ 3 งานหลักของไดโอแฟนทัสคือเรื่อง “เลขคณิต” ในหนังสือ 13 เล่ม ยุคลิด. Euclid เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เล่มแรกที่เรารู้จักคือ Heron นกกระสา - นักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวกรีก คนแรกในกรีซในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ให้วิธีพีชคณิตล้วนๆ ในการแก้สมการกำลังสอง

อินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองพบอยู่ในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติยม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) สรุปไว้ กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองลดลงจนกลายเป็นหนึ่งเดียว รูปแบบบัญญัติ: ax2 + bх = с, а> 0 (1) ในสมการ (1) ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นลบได้ กฎของพรหมคุปต์ก็เหมือนกับของเราโดยพื้นฐานแล้ว การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบดบังความรุ่งโรจน์ของพระองค์ในการประชุมสาธารณะด้วยการเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

“ฝูงลิงขี้เล่น

และสิบสองเถาองุ่นกินจนพอใจก็สนุกสนาน

พวกเขาเริ่มกระโดดแขวนคอ

ส่วนที่แปดกำลังสอง

มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง

บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าผู้เขียนรู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า Bhaskar เขียนสมการที่สอดคล้องกับปัญหาเป็น x2 - 64x = - 768 และในการที่จะเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้บวก 322 เข้ากับทั้งสองข้าง จะได้: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48

สมการกำลังสองใน ยุโรปที่ 17ศตวรรษ

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของ Al-Khorezmi ในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี งานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งจากประเทศอิสลามและจากกรีกโบราณมีความโดดเด่นด้วยการนำเสนอที่สมบูรณ์และชัดเจน ผู้เขียนได้พัฒนาสิ่งใหม่อย่างอิสระ ตัวอย่างพีชคณิตแก้ปัญหาและเป็นรายแรกในยุโรปที่แนะนำตัวเลขติดลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ มุมมองทั่วไปเวียดนามมี แต่เวียตยอมรับเท่านั้น รากที่เป็นบวก- นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 พวกเขาคำนึงถึงนอกเหนือจากด้านบวกและ รากเชิงลบ- เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และคนอื่นๆ ทางนักวิทยาศาสตร์การแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

นิยามของสมการกำลังสอง

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข เรียกว่า สมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์สมการกำลังสอง

ตัวเลข a, b, c คือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง a คือสัมประสิทธิ์แรก (ก่อน x²), a ≠ 0; b คือสัมประสิทธิ์ที่สอง (ก่อน x); c คือเทอมอิสระ (ไม่มี x)

สมการใดต่อไปนี้ไม่เป็นกำลังสอง??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5 ¼ x² - 6x + 1 = 0;6 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12 -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

ประเภทของสมการกำลังสอง

ชื่อ	รูปแบบทั่วไปของสมการ	คุณลักษณะ (ค่าสัมประสิทธิ์คืออะไร)	ตัวอย่างสมการ
	ขวาน 2 + bx + c = 0	a, b, c - ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
ไม่สมบูรณ์
			x 2 - 1/5x = 0
ที่ให้ไว้	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

ลดลงคือสมการกำลังสองซึ่งค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับหนึ่ง สมการดังกล่าวสามารถหาได้โดยการหารนิพจน์ทั้งหมดด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำ ก:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

สมการกำลังสองเรียกว่าสมบูรณ์ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์

สมการกำลังสองเรียกว่าไม่สมบูรณ์ โดยสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า ยกเว้นค่านำหน้า (สัมประสิทธิ์ที่สองหรือเทอมอิสระ) มีค่าเท่ากับศูนย์

วิธีการแก้สมการกำลังสอง

วิธีที่ 1 สูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณราก

เพื่อค้นหารากของสมการกำลังสอง ขวาน 2 + ข + ค = 0วี กรณีทั่วไปคุณควรใช้อัลกอริทึมด้านล่าง:

คำนวณค่าการแบ่งแยกสมการกำลังสอง: นี่คือนิพจน์สำหรับค่านั้น ด=ข 2 - 4เอซี

ที่มาของสูตร:

บันทึก:เห็นได้ชัดว่าสูตรสำหรับรากของการคูณ 2 เป็นกรณีพิเศษของสูตรทั่วไป ซึ่งได้มาโดยการแทนที่ความเท่าเทียมกัน D=0 ลงไป และข้อสรุปเกี่ยวกับการไม่มีรากจริงที่ D0 และ (displaystyle (sqrt ( -1))=ผม) = ผม.

วิธีการที่นำเสนอนั้นเป็นสากล แต่ก็ยังห่างไกลจากวิธีเดียว การแก้สมการเดียวสามารถทำได้หลายวิธี โดยมักจะขึ้นอยู่กับผู้แก้โจทย์ นอกจากนี้ บ่อยครั้งเพื่อจุดประสงค์นี้ วิธีการบางอย่างกลับกลายเป็นวิธีการที่หรูหรา เรียบง่าย และใช้แรงงานน้อยกว่าวิธีมาตรฐานมาก

วิธีที่สอง รากของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ข วิธีการที่สาม การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

วิธี IV การใช้อัตราส่วนบางส่วนของสัมประสิทธิ์

มีกรณีพิเศษของสมการกำลังสองซึ่งสัมประสิทธิ์มีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ทำให้แก้ได้ง่ายกว่ามาก

รากของสมการกำลังสองซึ่งผลรวมของสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สอง

ถ้าอยู่ในสมการกำลังสอง ขวาน 2 + bx + ค = 0ผลรวมของสัมประสิทธิ์แรกและเทอมอิสระเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง: ก+ข=คแล้วรากของมันคือ -1 และตัวเลข ทัศนคติตรงกันข้ามระยะอิสระกับค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า ( -ค/เอ).

ดังนั้น ก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองใดๆ คุณควรตรวจสอบความเป็นไปได้ในการใช้ทฤษฎีบทนี้: เปรียบเทียบผลรวมของสัมประสิทธิ์นำหน้าและเทอมอิสระกับสัมประสิทธิ์ที่สอง

รากของสมการกำลังสองซึ่งผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์

หากในสมการกำลังสอง ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้นรากของสมการดังกล่าวคือ 1 และอัตราส่วนของเทอมอิสระต่อสัมประสิทธิ์นำหน้า ( ค/ก).

ดังนั้น ก่อนที่จะแก้สมการโดยใช้วิธีมาตรฐาน คุณควรตรวจสอบการบังคับใช้ของทฤษฎีบทนี้ก่อน: เพิ่มสัมประสิทธิ์ทั้งหมด สมการที่กำหนดและดูว่าจำนวนนี้เท่ากับศูนย์หรือไม่

วิธีวี แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองเป็นตัวประกอบเชิงเส้น

ถ้าตรีโกณมิติอยู่ในรูป (รูปแบบการแสดงผล ขวาน^(2)+bx+c(anot =0))ขวาน 2 + bx + ค(ก ≠ 0)สามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยเชิงเส้นได้ (รูปแบบการแสดงผล (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n) จากนั้นเราจะหารากของสมการได้ ขวาน 2 + bx + ค = 0- พวกมันจะเป็น -m/k และ n/l จริงๆ แล้ว (รูปแบบการแสดงผล (kx+m)(lx+n)=0ลูกศรซ้ายขวา kx+m=0ถ้วย lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n และหลังจากแก้ไขสิ่งที่ระบุแล้ว สมการเชิงเส้นเราได้รับสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น โปรดทราบว่า ตรีโกณมิติกำลังสองไม่ได้สลายตัวเป็นปัจจัยเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์จริงเสมอไป ซึ่งเป็นไปได้หากสมการที่เกี่ยวข้องมีรากจริง

ลองพิจารณากรณีพิเศษบางกรณี

ใช้สูตรผลรวมกำลังสอง (ผลต่าง)

หากตรีโกณมิติกำลังสองมีรูปแบบ (รูปแบบการแสดงผล (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 จากนั้นโดยการใช้สูตรข้างต้น เราสามารถแยกตัวประกอบมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ และ ดังนั้น จงหาราก:

(ขวาน) 2 + 2abx + b 2 = (ขวาน + b) 2

การคัดเลือก สี่เหลี่ยมเต็มจำนวนเงิน (ความแตกต่าง)

สูตรข้างต้นยังใช้วิธีที่เรียกว่า "การเลือกกำลังสองเต็มของผลรวม (ผลต่าง)" สัมพันธ์กับสมการกำลังสองข้างต้นด้วยสัญกรณ์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ นี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้:

บันทึก:ถ้าคุณสังเกตเห็น สูตรนี้ตรงกับที่เสนอไว้ในส่วน “รากของสมการกำลังสองที่ลดลง” ซึ่งหาได้จากสูตรทั่วไป (1) โดยการแทนค่าความเท่าเทียมกัน a=1 ความจริงข้อนี้ไม่ใช่แค่เรื่องบังเอิญ: การใช้วิธีการที่อธิบายไว้แม้ว่าจะมีเหตุผลเพิ่มเติมบางประการ แต่ก็สามารถอนุมานได้ สูตรทั่วไปและยังพิสูจน์คุณสมบัติของผู้เลือกปฏิบัติด้วย

วิธี VI การใช้ทฤษฎีบทเวียตาตรงและผกผัน

ทฤษฎีบทโดยตรงของเวียตา (ดูด้านล่างในหัวข้อชื่อเดียวกัน) และทฤษฎีบทผกผันทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองข้างต้นได้ด้วยปากเปล่า โดยไม่ต้องอาศัยการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยากโดยใช้สูตร (1)

ตาม การสนทนาของทฤษฎีบท, ตัวเลขทุกคู่ (ตัวเลข) (รูปแบบการแสดง x_(1),x_(2))x 1, x 2 ที่เป็นคำตอบของระบบสมการด้านล่างนี้คือรากของสมการ

ในกรณีทั่วไป นั่นคือ สำหรับสมการกำลังสองที่ไม่ได้ลดลง ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

ทฤษฎีบทโดยตรงจะช่วยคุณค้นหาตัวเลขที่ตรงกับสมการเหล่านี้ด้วยวาจา ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถระบุสัญญาณของรากโดยไม่ต้องรู้รากของมันเอง ในการดำเนินการนี้คุณควรปฏิบัติตามกฎ:

1) ถ้าเทอมอิสระเป็นลบ แสดงว่ารากมี เครื่องหมายที่แตกต่างกันและโมดูลัสที่ใหญ่ที่สุดของรากคือเครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สองของสมการ

2) ถ้าเทอมอิสระเป็นบวก แสดงว่ารากทั้งสองมี ด้วยสัญลักษณ์เดียวกันและนี่คือเครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ที่สอง

วิธีปกเกล้าเจ้าอยู่หัว วิธีการโอน

วิธีที่เรียกว่า "การถ่ายโอน" ช่วยให้คุณสามารถลดการแก้สมการที่ไม่ได้ลดลงและไม่สามารถลดได้ให้อยู่ในรูปของสมการที่ลดลงด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มโดยการหารด้วยสัมประสิทธิ์นำไปยังการแก้สมการที่ลดลงด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม มันเป็นดังนี้:

จากนั้น แก้สมการด้วยวาจาในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นจึงกลับไปที่ตัวแปรเดิมและค้นหารากของสมการ (displaystyle y_(1)=ax_(1)) ย 1 =ขวาน 1 และ ย 2 =ขวาน 2 .(รูปแบบการแสดงผล y_(2)=ax_(2))

ความหมายทางเรขาคณิต

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา ผลเฉลย (ราก) ของสมการกำลังสองคือจุดตัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนแอบซิสซา หากพาราโบลาอธิบายไว้ ฟังก์ชันกำลังสอง, ไม่ตัดกับแกน x, สมการไม่มีรากจริง ถ้าพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดหนึ่ง (ที่จุดยอดของพาราโบลา) สมการนั้นจะมีรากจริงเพียงรากเดียว (สมการดังกล่าวมีรากที่ตรงกันสองรากด้วย) หากพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดสองจุด สมการจะมีรากจำนวนจริงสองตัว (ดูภาพด้านขวา)

ถ้าสัมประสิทธิ์ (displaystyle a) กแง่บวก กิ่งก้านของพาราโบลาหงายขึ้นและในทางกลับกัน ถ้าสัมประสิทธิ์ (รูปแบบการแสดงผล ข) bpositive (หากเป็นค่าบวก (รูปแบบการแสดงผล a) กหากเป็นลบ ในทางกลับกัน) จุดยอดของพาราโบลาจะอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านซ้ายและในทางกลับกัน

การประยุกต์สมการกำลังสองในชีวิต

สมการกำลังสองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย มันถูกใช้ในการคำนวณ โครงสร้าง กีฬา และรอบตัวเราด้วย

ให้เราพิจารณาและให้ตัวอย่างการประยุกต์ใช้สมการกำลังสอง

กีฬา. การกระโดดสูง: ระหว่างที่จัมเปอร์วิ่งขึ้นให้ชนคานรับส่งให้ชัดเจนที่สุดและ บินสูงใช้การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับพาราโบลา

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องมีการคำนวณที่คล้ายกันในการขว้าง ระยะการบินของวัตถุขึ้นอยู่กับสมการกำลังสอง

ดาราศาสตร์. วิถีโคจรของดาวเคราะห์สามารถพบได้โดยใช้สมการกำลังสอง

เที่ยวบินเครื่องบิน. การขึ้นเครื่องบินเป็นองค์ประกอบหลักของการบิน ที่นี่เราจะคำนวณความต้านทานต่ำและความเร่งในการบินขึ้น

สมการกำลังสองยังใช้ในรูปแบบต่างๆ สาขาวิชาเศรษฐศาสตร์ในโปรแกรมสำหรับประมวลผลกราฟิกเสียง วิดีโอ เวกเตอร์ และแรสเตอร์

บทสรุป

จากการทำงานเสร็จสิ้น ปรากฎว่าสมการกำลังสองดึงดูดนักวิทยาศาสตร์ย้อนกลับไปในสมัยโบราณ พวกเขาพบพวกมันแล้วเมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างและพยายามแก้ไขพวกมัน กำลังพิจารณา วิธีต่างๆการแก้สมการกำลังสอง ฉันได้ข้อสรุปว่าไม่ใช่ทั้งหมดจะง่าย ในความคิดของฉันมากที่สุด วิธีที่ดีที่สุดการแก้สมการกำลังสองคือการแก้โดยใช้สูตร สูตรง่ายต่อการจำวิธีนี้เป็นสากล สมมติฐานที่ว่าสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตและคณิตศาสตร์ได้รับการยืนยันแล้ว หลังจากศึกษาหัวข้อนี้แล้วฉันได้เรียนรู้มากมาย ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจโอ สมการกำลังสองการใช้งาน การใช้งาน ประเภท วิธีแก้ไข และฉันก็ยินดีที่จะศึกษาพวกเขาต่อไป ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันทำข้อสอบได้ดี

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

วัสดุของไซต์:

วิกิพีเดีย

เปิดบทเรียน.rf

คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา Vygodsky M. Ya.

การแปลงสมการกำลังสองที่สมบูรณ์ไปเป็นสมการที่ไม่สมบูรณ์มีลักษณะดังนี้ (สำหรับกรณี \(b=0\)):

สำหรับกรณีที่ \(c=0\) หรือเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างจะคล้ายกัน

โปรดทราบว่าไม่มีคำถามว่า \(a\) จะเท่ากับศูนย์ จะต้องไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากในกรณีนี้จะกลายเป็น:

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น คุณต้องเข้าใจว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ยังคงเป็น a และดังนั้นจึงสามารถแก้ได้ในลักษณะเดียวกับสมการกำลังสองทั่วไป (ผ่าน ) ในการทำเช่นนี้ เราเพียงเพิ่มองค์ประกอบที่ขาดหายไปของสมการโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

ตัวอย่าง : หารากของสมการ \(3x^2-27=0\)
สารละลาย :

		เรามีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์พร้อมสัมประสิทธิ์ \(b=0\) นั่นคือเราสามารถเขียนสมการลงไปได้ แบบฟอร์มต่อไปนี้:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		อันที่จริง นี่เป็นสมการเดียวกับตอนเริ่มต้น แต่ตอนนี้สามารถแก้ได้เป็นสมการกำลังสองธรรมดาแล้ว ขั้นแรกเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ออกมา
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		ลองคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		มาหารากของสมการโดยใช้สูตรกัน \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) และ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2ก)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		เขียนคำตอบ

คำตอบ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ตัวอย่าง : ค้นหารากของสมการ \(-x^2+x=0\)
สารละลาย :

		สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง แต่ตอนนี้เป็นศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์มีค่าเท่ากัน\(ค\) เราเขียนสมการว่าสมบูรณ์

สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุเข้า ตอนพิเศษ 555.
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ประเภทของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร? มันมีลักษณะอย่างไร? ในระยะ สมการกำลังสองคำหลักคือ "สี่เหลี่ยม".ซึ่งหมายความว่าในสมการ จำเป็นจะต้องมี x กำลังสอง นอกจากนี้ สมการอาจมี (หรืออาจจะไม่!) มีเพียง X (ยกกำลังแรก) และเพียงตัวเลขเท่านั้น (สมาชิกฟรี).และไม่ควรมี X ยกกำลังมากกว่า 2

การพูด ภาษาคณิตศาสตร์สมการกำลังสองคือสมการในรูปแบบ:

ที่นี่ ก ข และค- ตัวเลขบางตัว ข และ ค- อะไรก็ได้ แต่. ก– สิ่งอื่นใดที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ที่นี่ ก =1; ข = 3; ค = -4

ที่นี่ ก =2; ข = -0,5; ค = 2,2

ที่นี่ ก =-3; ข = 6; ค = -18

คุณก็เข้าใจ...

ในสมการกำลังสองทางด้านซ้ายนี้จะมี ชุดสมบูรณ์ สมาชิก X กำลังสองด้วยสัมประสิทธิ์ เอ, x ยกกำลังแรกด้วยสัมประสิทธิ์ ขและ สมาชิกฟรี

สมการกำลังสองดังกล่าวเรียกว่า เต็ม.

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า ข= 0 เราได้อะไร? เรามี X จะหายไปในระดับแรกสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคูณด้วยศูนย์) ปรากฎว่า:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ฯลฯ และถ้าทั้งสองค่าสัมประสิทธิ์ ขและ คเท่ากับศูนย์ แล้วยังง่ายกว่า:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 =0

สมการดังกล่าวที่มีบางสิ่งหายไปเรียกว่า สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) โปรดทราบว่า x กำลังสองมีอยู่ในสมการทั้งหมด

โดยวิธีการทำไม กไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ใช่ไหม? และคุณทดแทนแทน กศูนย์) X กำลังสองของเราจะหายไป! จะได้สมการ เชิงเส้นและวิธีแก้ปัญหาก็แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง...

นั่นคือสมการกำลังสองประเภทหลักทั้งหมด สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์

การแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

สมการกำลังสองแก้ได้ง่าย ตามสูตรและกติกาง่ายๆชัดเจน ในขั้นแรกจำเป็นต้องนำสมการที่กำหนดมาเป็นรูปแบบมาตรฐานเช่น ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องทำขั้นตอนแรก) สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้ถูกต้อง ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ- แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขาด้านล่าง อย่างที่คุณเห็นในการค้นหา X เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. สัมประสิทธิ์จากสมการกำลังสอง เพียงทดแทนค่าต่างๆ อย่างระมัดระวัง ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ มาทดแทนกัน ด้วยสัญญาณของคุณเอง! ตัวอย่างเช่น ในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค= -4. ที่นี่เราเขียนมันลงไป:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

มันง่ายมาก แล้วคุณคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำผิดพลาดเหรอ? ใช่แล้วยังไง...

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก ข และค- หรือไม่ใช่ด้วยสัญญาณของพวกเขา (จะสับสนได้ที่ไหน) แต่ด้วยการแทนที่ค่าลบเป็นสูตรในการคำนวณราก สิ่งที่ช่วยได้คือการบันทึกสูตรโดยละเอียดพร้อมตัวเลขเฉพาะ หากมีปัญหาในการคำนวณ ทำอย่างนั้น!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

สมมติว่าคุณรู้ว่าคุณไม่ค่อยได้รับคำตอบในครั้งแรก

เอาล่ะ อย่าขี้เกียจนะ จะใช้เวลาประมาณ 30 วินาทีในการเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและจำนวนข้อผิดพลาด จะลดลงอย่างรวดเร็ว- ดังนั้นเราจึงเขียนโดยละเอียดพร้อมวงเล็บและเครื่องหมายทั้งหมด:

ดูเหมือนเป็นเรื่องยากมากที่จะเขียนออกมาอย่างระมัดระวัง แต่ดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเท่านั้น ลองดูสิ ดีหรือเลือก อะไรจะดีไปกว่า รวดเร็ว หรือถูกต้อง?

นอกจากนี้ฉันจะทำให้คุณมีความสุข หลังจากนั้นไม่นาน ก็ไม่จำเป็นต้องเขียนทุกอย่างลงอย่างระมัดระวัง มันจะได้ผลด้วยตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณใช้เทคนิคเชิงปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ตัวอย่างที่ชั่วร้ายที่มีข้อเสียมากมายนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายและไม่มีข้อผิดพลาด!

แต่บ่อยครั้งที่สมการกำลังสองดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้: คุณจำได้ไหม?) ใช่! นี้.

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ก ข และค.

สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป คุณแค่ต้องเข้าใจให้ถูกต้องว่ามันเท่ากับอะไรตรงนี้ คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ในตัวอย่างแรกก = 1; ข = -4; คก - มันไม่ได้อยู่ที่นั่นเลย! ใช่แล้ว ถูกต้องแล้ว ในทางคณิตศาสตร์ก็หมายความว่าอย่างนั้น ค = 0 - แค่นั้นแหละ. แทนศูนย์ลงในสูตรแทนค, และเราจะประสบความสำเร็จ เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สอง มีเพียงเราเท่านั้นที่ไม่มีศูนย์ที่นี่กับ ข !

, ก แต่สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก โดยไม่มีสูตรใดๆ ลองพิจารณาสิ่งแรกสมการที่ไม่สมบูรณ์

แล้วนี่ล่ะ? และความจริงที่ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยใดๆ เท่ากับศูนย์เท่านั้น! ไม่เชื่อฉันเหรอ? เอาล่ะ คิดเลขที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวที่เมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์!
ไม่ทำงานเหรอ? แค่นั้นแหละ...
ดังนั้นเราจึงเขียนได้อย่างมั่นใจ: x 1 = 0, x 2 = 4.

ทั้งหมด. พวกนี้จะเป็นรากของสมการของเรา ทั้งสองมีความเหมาะสม เมื่อแทนค่าใดค่าหนึ่งลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้ข้อมูลประจำตัวที่ถูกต้อง 0 = 0 อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหานั้นง่ายกว่าการใช้สูตรทั่วไปมาก โปรดทราบว่า X ตัวไหนจะเป็นตัวแรกและอันไหนจะเป็นตัวที่สอง - ไม่แยแสเลย สะดวกที่จะเขียนตามลำดับ x1- อะไรที่เล็กกว่าและ x2- สิ่งที่ยิ่งใหญ่กว่า

สมการที่สองสามารถแก้ได้ง่ายๆ เช่นกัน ย้าย 9 ไปที่ ด้านขวา- เราได้รับ:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรูตออกจาก 9 เท่านี้ก็เรียบร้อย ปรากฎว่า:

สองรากเช่นกัน . x 1 = -3, x 2 = 3.

นี่คือวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ทั้งหมด โดยการวาง X ออกจากวงเล็บ หรือเพียงเลื่อนตัวเลขไปทางขวาแล้วแยกรากออก
เป็นเรื่องยากมากที่จะสร้างความสับสนให้กับเทคนิคเหล่านี้ เพียงเพราะในกรณีแรก คุณจะต้องแยกรากของ X ซึ่งไม่สามารถเข้าใจได้ และในกรณีที่สอง ไม่มีอะไรจะออกจากวงเล็บ...

เลือกปฏิบัติ สูตรจำแนก

คำวิเศษ เลือกปฏิบัติ - นักเรียนมัธยมปลายไม่เคยได้ยินคำนี้มาก่อน! วลีที่ว่า “เราแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติ” สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดความมั่นใจและความมั่นใจ เพราะไม่จำเป็นต้องคาดหวังกลอุบายจากผู้เลือกปฏิบัติ! มันใช้งานง่ายและไร้ปัญหา) ฉันเตือนคุณถึงสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปที่สุด ใดๆสมการกำลังสอง:

การแสดงออกภายใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าการเลือกปฏิบัติ โดยปกติแล้วการเลือกปฏิบัติจะแสดงด้วยตัวอักษร ดี- สูตรจำแนก:

ง = ข 2 - 4เอซี

และอะไรที่น่าทึ่งเกี่ยวกับสำนวนนี้? เหตุใดจึงสมควรได้รับชื่อพิเศษ? อะไร ความหมายของการเลือกปฏิบัติ?หลังจากทั้งหมด -ข,หรือ 2กในสูตรนี้พวกเขาไม่ได้เรียกมันว่าอะไรโดยเฉพาะ... ตัวอักษรและตัวอักษร

นี่คือสิ่งที่ เมื่อแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรนี้ก็เป็นไปได้ เพียงสามกรณีเท่านั้น

1. การเลือกปฏิบัติเป็นบวกซึ่งหมายความว่าสามารถแยกรากออกมาได้ ไม่ว่ารากจะถูกสกัดออกมาได้ดีหรือไม่ดีก็เป็นอีกคำถามหนึ่ง สิ่งสำคัญคือสิ่งที่สกัดออกมาในหลักการ แล้วสมการกำลังสองของคุณมีสองราก สองโซลูชั่นที่แตกต่างกัน

2. การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์แล้วคุณจะมีทางออกหนึ่ง เนื่องจากการบวกหรือลบศูนย์ในตัวเศษจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย พูดอย่างเคร่งครัดนี่ไม่ใช่รากเดียว แต่ สองอันเหมือนกัน- แต่ในเวอร์ชันที่เรียบง่ายเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึง ทางออกหนึ่ง

3. การเลือกปฏิบัติเป็นลบจากจำนวนลบ ไม่ได้ใช้รากที่สองโอ้ดี. ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

พูดตรงๆ เมื่อไหร่. วิธีแก้ปัญหาง่ายๆสมการกำลังสอง แนวคิดเรื่องการแบ่งแยกไม่จำเป็นเป็นพิเศษ เราแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรแล้วนับ ทุกสิ่งทุกอย่างเกิดขึ้นที่นั่นด้วยตัวของมันเอง มี 2 ราก 1 และไม่มีเลย แต่เมื่อแก้ไขเพิ่มเติม งานที่ยากลำบากโดยไม่มีความรู้ ความหมายและสูตรของการเลือกปฏิบัติไม่สามารถผ่านไปได้ โดยเฉพาะในสมการที่มีพารามิเตอร์ สมการดังกล่าวคือ ไม้ลอยสำหรับการสอบของรัฐและการสอบ Unified State!)

ดังนั้น, วิธีแก้สมการกำลังสองผ่านการเลือกปฏิบัติที่คุณจำได้ หรือคุณได้เรียนรู้ซึ่งก็ไม่เลวเช่นกัน) คุณรู้วิธีกำหนดอย่างถูกต้อง ก ข และค- คุณรู้วิธีการ? อย่างตั้งใจแทนที่พวกมันลงในสูตรรูทและ อย่างตั้งใจนับผลลัพธ์ คุณเข้าใจไหมว่า คำหลักที่นี่ - อย่างตั้งใจ?

ตอนนี้ให้สังเกตเทคนิคเชิงปฏิบัติที่ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก อันเดียวกับที่เกิดจากการไม่ตั้งใจ...ซึ่งต่อมากลับกลายเป็นความเจ็บปวดและขุ่นเคือง...

นัดแรก - อย่าเกียจคร้านก่อนที่จะแก้สมการกำลังสองและทำให้มันอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?
สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่าเพิ่งรีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และคสร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

และอีกครั้งอย่ารีบเร่ง! ลบหน้า X กำลังสองอาจทำให้คุณเสียใจได้ ลืมง่าย...กำจัดลบทิ้งไป ยังไง? ใช่ครับ ตามที่สอนมา หัวข้อที่แล้ว!เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น ตัดสินใจด้วยตัวเอง

แผนกต้อนรับที่สอง ตอนนี้คุณควรมีรูท 2 และ -1 เช็คต้นตอ! ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ไม่ต้องกลัว ฉันจะอธิบายทุกอย่าง! กำลังตรวจสอบล่าสุด สมการ เหล่านั้น. อันที่เราใช้เขียนสูตรรูทลงไป ถ้า (ดังตัวอย่างนี้) ค่าสัมประสิทธิ์ก = 1 การตรวจสอบรากเป็นเรื่องง่าย มันก็เพียงพอแล้วที่จะคูณพวกมัน ผลลัพธ์ควรเป็นสมาชิกฟรีเช่น ในกรณีของเรา -2 โปรดทราบว่าไม่ใช่ 2 แต่เป็น -2! สมาชิกฟรี ด้วยสัญญาณของคุณ

- หากไม่ได้ผลก็หมายความว่าคุณได้ทำผิดพลาดไปที่ไหนสักแห่งแล้ว มองหาข้อผิดพลาด ขหากได้ผลคุณจะต้องเพิ่มราก การตรวจสอบครั้งสุดท้ายและครั้งสุดท้าย ค่าสัมประสิทธิ์ควรจะเป็น กับ ตรงข้าม ขคุ้นเคย. ในกรณีของเรา -1+2 = +1 ค่าสัมประสิทธิ์
ซึ่งอยู่ก่อน X เท่ากับ -1 ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง! น่าเสียดายที่นี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ x กำลังสองมีค่าบริสุทธิ์และมีค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้นก = 1

แผนกต้อนรับที่สาม - หากสมการของคุณมีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน ให้กำจัดเศษส่วนออก! คูณสมการด้วยตัวส่วนร่วมตามที่อธิบายไว้ในบทเรียน “จะแก้สมการได้อย่างไร? การแปลงที่เหมือนกัน”เมื่อทำงานกับเศษส่วน ข้อผิดพลาดก็คืบคลานเข้ามาด้วยเหตุผลบางประการ...

อย่างไรก็ตามฉันสัญญาว่าจะทำให้ตัวอย่างที่ชั่วร้ายง่ายขึ้นด้วยข้อเสียมากมาย โปรด! เขาอยู่ที่นี่

เพื่อไม่ให้สับสนกับเครื่องหมายลบ เราจะคูณสมการด้วย -1 เราได้รับ:

แค่นั้นแหละ! การแก้ปัญหาเป็นเรื่องน่ายินดี!

เรามาสรุปหัวข้อกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยตัวประกอบที่เกี่ยวข้อง

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะเท่ากับ 1 คุณสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม ทำมัน!

ตอนนี้เราตัดสินใจได้แล้ว)

แก้สมการ:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - ตัวเลขใด ๆ

x 1 = -3
x 2 = 3

ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

ทุกอย่างพอดีหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! สมการกำลังสองไม่ใช่เรื่องน่าปวดหัวของคุณ สามตัวแรกได้ผล แต่ที่เหลือไม่ได้ผลเหรอ? ปัญหาไม่ได้อยู่ที่สมการกำลังสอง ปัญหาคือ การแปลงสมการที่เหมือนกันลองดูตามลิงค์นะครับ มีประโยชน์

ไม่ค่อยได้ผลใช่ไหม? หรือมันไม่ได้ผลเลย? แล้วช่วยคุณ มาตรา 555ที่นั่นตัวอย่างทั้งหมดนี้จะถูกแจกแจงทีละชิ้น แสดงแล้ว หลักข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่ามันยังพูดถึงการใช้งานด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนในการตัดสินใจ สมการที่แตกต่างกัน- ช่วยได้มาก!

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้