รากของ 25 เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

สูตรมูฟวร์

ให้ z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) และ z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2)

รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนนั้นสะดวกต่อการใช้งานในการดำเนินการคูณ การหาร การยกกำลังจำนวนเต็ม และการแยกรากของระดับ n

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + ฉันบาป( 1 +  2))

เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนสองตัวในรูปแบบตรีโกณมิติ โมดูลจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์ เมื่อแบ่งโมดูลจะถูกแบ่งออกและข้อโต้แย้งจะถูกลบออก

ข้อพิสูจน์ของกฎในการคูณจำนวนเชิงซ้อนคือกฎสำหรับการบวกจำนวนเชิงซ้อนยกกำลัง

z = r(cos  + ฉันบาป )

z n = r n (cos n + isin n)

อัตราส่วนนี้เรียกว่า สูตรมูฟวร์

ตัวอย่างที่ 8.1 ค้นหาผลคูณและผลหารของตัวเลข:

และ

สารละลาย

ซี 1 ∙ ซี 2
∙

=

;

ตัวอย่างที่ 8.2 เขียนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ

∙
–i) 7 .

สารละลาย

มาแสดงกันเถอะ
และ z 2 =
- ฉัน.

ร 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; ;

 1 = หาเรื่อง z 1 = อาร์คแทน
;

ซี 1 =
;

ร 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = หาเรื่อง z 2 = อาร์คแทน
;

ซี 2 = 2
) 5
ซี 1 5 = (

- ซี 2 7 = 2 7
ซี = (
=

2 9

) 5 ·2 7

§ 9 การแยกรากของจำนวนเชิงซ้อนคำนิยาม. รากnยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
z (แสดงว่า
= 0.

) เป็นจำนวนเชิงซ้อน w โดยที่ w n = z ถ้า z = 0 แล้ว

ให้ z  0, z = r(cos + isin) ให้เราแสดงว่า w = (cos + sin) จากนั้นเราเขียนสมการ w n = z ในรูปแบบต่อไปนี้

 n (cos(n·) + ไอซิน(n·)) = r(cos + ไอซิน)

 =

ดังนั้น  n = r
·
.

ดังนั้น wk =

ในบรรดาค่าเหล่านี้มีค่าที่แตกต่างกัน n ประการ

ดังนั้น k = 0, 1, 2, …, n – 1
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของเอ็นกอนปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมี

โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (รูปที่ 12)

รูปที่ 12ตัวอย่างที่ 9.1
.

ค้นหาค่าทั้งหมด

สารละลาย.

ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
ว เค =

โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
.

w 0 =
.

วิ 1 =
.

วิ 2 =
.

วิ 3 =
บนระนาบเชิงซ้อน จุดเหล่านี้คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ในรัศมีวงกลม

โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 13)

รูปที่ 13 รูปที่ 14ตัวอย่างที่ 9.1
.

ค้นหาค่าทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 9.2

ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
z = – 64 = 64(cos +isin);

โดยที่ k = 0, 1, 2, 3
โดยที่ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
;

วิ 1 =
- วิ 1 =

วิ 3 =
ส 4 =
.

- ส 5 =

§ 10 รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน

สูตรของออยเลอร์

มาแสดงกันเถอะ
= cos  + isin  และ
= cos  - ไอซิน  . ความสัมพันธ์เหล่านี้เรียกว่า .

สูตรของออยเลอร์
การทำงาน

มีคุณสมบัติปกติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

ให้เขียนจำนวนเชิงซ้อน z ในรูปแบบตรีโกณมิติ z = r(cos + isin)

จากสูตรของออยเลอร์ เราสามารถเขียนได้ว่า:
.

ซี = อาร์ รายการนี้เรียกว่าแบบฟอร์มเอ็กซ์โปเนนเชียล

จำนวนเชิงซ้อน. เมื่อใช้มัน เราจะได้กฎสำหรับการคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกราก
ถ้า z 1 = r 1 ·
และ z 2 = r 2 ·

?ที่
;

·

ซี 1 · ซี 2 = อาร์ 1 · อาร์ 2 ·

z n = r n ·

โดยที่ k = 0, 1, … , n – 1ตัวอย่างที่ 10.1

เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต
.

ค้นหาค่าทั้งหมด

ซี =ตัวอย่างที่ 10.2

ค้นหาค่าทั้งหมด

แก้สมการ z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0
สำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนใดๆ สมการนี้มีสองราก z 1 และ z 1 (อาจตรงกัน) รากเหล่านี้สามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกันกับในกรณีจริง เพราะ

รับค่าสองค่าที่แตกต่างกันเฉพาะเครื่องหมาย จากนั้นสูตรนี้จะมีลักษณะดังนี้:
เนื่องจาก –9 = 9 e  i ดังนั้นค่าต่างๆ

จะมีตัวเลข:
แล้ว
.

ค้นหาค่าทั้งหมด

แก้สมการ z 3 +1 = 0; ซี 3 = – 1.
.

รากที่ต้องการของสมการจะเป็นค่าต่างๆ

ลองแทนตัวเลขนี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ ลองหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของมันกัน
สำหรับ z = –1 เรามี r = 1, หาเรื่อง(–1) = 

, เค = 0, 1, 2

แบบฝึกหัด

ช)

ง) 7(cos0 + isin0)

11 เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิตและเรขาคณิต:

จะได้รับ 12 หมายเลข
.

นำเสนอในรูปแบบเลขชี้กำลัง ค้นหา

13 การใช้รูปแบบเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
ก)

ข)
วี)

ง)กับ คำนิยาม. ราก 2 .

และจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อนซี เรียกว่าคำนิยาม. ราก– รากค จำนวนเชิงซ้อน คำนิยาม. ราก = ราก.

, ถ้า คำนิยาม. ราก– มาหาค่าทั้งหมดของรูทกัน ง)โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน ราก=| ราก|·(- อนุญาต เพราะ ราก+ เรื่อง· ฉัน เพราะบาปกับ), จำนวนเชิงซ้อน = | จำนวนเชิงซ้อนก|·(กับ เพราะ จำนวนเชิงซ้อน + เรื่อง· ฉัน เพราะ จำนวนเชิงซ้อน) ระบบปฏิบัติการ จำนวนเชิงซ้อน, ที่ไหน คำนิยาม. ราก- มาหาค่าทั้งหมดของรูทกัน ง)ราก = ราก = | ราก|·(- อนุญาต เพราะ ราก+ เรื่อง· ฉัน เพราะ- แล้วมันก็ต้องเป็นเช่นนั้นกับ)
- มันเป็นไปตามนั้น คำนิยาม. ราก· เพราะ จำนวนเชิงซ้อน = เพราะและ
เพราะ จำนวนเชิงซ้อน =
(กับ=0,1,…) เค จำนวนเชิงซ้อน =
(- อนุญาต
+ เรื่อง· ฉัน
), (กับ=0,1,…) - เพราะฉะนั้น,
, (กับ=0,1,…) - จะเห็นได้ง่ายว่าค่าใดค่าหนึ่ง
,(กับ = 0,1,…, คำนิยาม. ราก-1) แตกต่างจากค่าใดค่าหนึ่งที่สอดคล้องกัน โดยหลายรายการ 2π (กับ = 0,1,…, คำนิยาม. ราก-1) .

- นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

ตัวอย่าง..

ลองคำนวณรากของ (-1) |-1| = 1, , อย่างชัดเจน (-1) = π

หาเรื่อง- อนุญาต π + เรื่อง· ฉัน π )

, -1 = 1·(

= เรื่อง

(เค = 0, 1)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกศาสตร์ตามอำเภอใจ ง)ลองหาจำนวนเชิงซ้อนใดๆ กัน คำนิยาม. ราก- ถ้า ง) คำนิยาม. ราก = | ราก| คำนิยาม. ราก จำนวนธรรมชาติแล้ว|·(กับ ·(กับnArgเรื่อง· ฉัน ·(กับ- แล้วมันก็ต้องเป็นเช่นนั้นส + คำนิยาม. ราก = 0 ((6) สูตรนี้ก็เป็นจริงในกรณีนี้เช่นกัน)
โอ้ กำลังของจำนวนเชิงซ้อน คำนิยาม. ราก < 0 ส≠0 คำนิยาม. ราก จำนวนเชิงซ้อนและ และส ≠ 0

ง) คำนิยาม. ราก =
, แล้วง)(เพราะว่า nArgง)) = , แล้วง)+i·บาป nArgง)) + ฉันบาป nArg คำนิยาม. ราก.

- ดังนั้น สูตร (6) จึงใช้ได้กับข้อใดข้อหนึ่ง ระบบปฏิบัติการ ลองหาจำนวนตรรกยะกันถาม จำนวนธรรมชาติ และร

เป็นทั้งหมด จากนั้นภายใต้ ราก ระดับร
.

เราจะเข้าใจตัวเลข ,

(กับ = 0, 1, …, ลองหาจำนวนตรรกยะกัน-1). เราเข้าใจแล้ว ลองหาจำนวนตรรกยะกันค่านิยมเหล่านี้

ชิ้น ถ้าเศษส่วนไม่สามารถลดได้

เรียกว่าฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนและถูกกำหนดไว้ (กับ คำนิยาม. ราก ) หรือ ง) 1 , กับ 2 , ..., กับ คำนิยาม. ราก . ง) คำนิยาม. ราก = ก คำนิยาม. ราก + ข คำนิยาม. ราก · เรื่อง (คำนิยาม. ราก = 1,2, ...) จำนวนเชิงซ้อน

ง) 1 , กับ 2 , … - สมาชิกของลำดับ; กับ คำนิยาม. ราก – สมาชิกสามัญ

และจำนวนธรรมชาติ ง) = ก+ ข· เรื่องซี ขีดจำกัดลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ราก คำนิยาม. ราก ) ระบบปฏิบัติการ ง) คำนิยาม. ราก = ก คำนิยาม. ราก + ข คำนิยาม. ราก · เรื่อง (คำนิยาม. ราก = 1, 2, …) ที่ไหนก็ได้

ว่าต่อหน้าทุกคน คำนิยาม. ราก > เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ
- ลำดับที่มีขีดจำกัดจำกัดเรียกว่า มาบรรจบกันลำดับ.

ทฤษฎีบท.

เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) (กับ คำนิยาม. ราก = ก คำนิยาม. ราก + ข คำนิยาม. ราก · เรื่อง) แปลงเป็นตัวเลขด้วย = ก+ ข· เรื่องมีความจำเป็นและเพียงพอต่อความเท่าเทียมกันลิม ก คำนิยาม. ราก = ก, ลิม ข คำนิยาม. ราก = ข.

การพิสูจน์.

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยอาศัยอสมการสองเท่าที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้

, ที่ไหน จำนวนเชิงซ้อน = x + ย· เรื่อง (2)

ความจำเป็น.อนุญาต ลิม(กับ คำนิยาม. ราก ) = ส- ให้เราแสดงว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง ลิม ก คำนิยาม. ราก = กและ ลิม ข คำนิยาม. ราก = ข (3).

แน่นอน (4)

เพราะ
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก → ∞ จากนั้นจากด้านซ้ายของอสมการ (4) จะตามมา
- มันเป็นไปตามนั้น
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก → ∞ - ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นที่น่าพอใจ ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความเพียงพอปล่อยให้ความเท่าเทียมกัน (3) เป็นที่พึงพอใจ จากความเท่าเทียมกัน (3) เป็นไปตามนั้น
- มันเป็นไปตามนั้น
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก → ∞ ดังนั้นเนื่องจากด้านขวาของอสมการ (4) มันจะเป็น
, เมื่อไร คำนิยาม. ราก→∞ , วิธี ลิม(กับ คำนิยาม. ราก )=ค- ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้ว

ดังนั้น คำถามเรื่องการลู่เข้าหากันของลำดับจำนวนเชิงซ้อนจึงเทียบเท่ากับการลู่เข้าของลำดับจำนวนจริง 2 ลำดับ ดังนั้น คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของขีดจำกัดของลำดับจำนวนจริงจึงใช้กับลำดับของจำนวนเชิงซ้อนได้

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของจำนวนเชิงซ้อน เกณฑ์ของ Cauchy นั้นใช้ได้: เพื่อให้ได้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) มาบรรจบกันก็จำเป็นและเพียงพอแล้วสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง

นั่นเพื่ออะไรก็ตามคำนิยาม. ราก, ม > เอ็นความไม่เท่าเทียมกันถือ
.

ทฤษฎีบท.

ปล่อยให้ลำดับของจำนวนเชิงซ้อน (ด้วย คำนิยาม. ราก ) และ (z คำนิยาม. ราก ) มาบรรจบกันที่ c และตามลำดับzแล้วความเท่ากันก็เป็นจริงลิม(กับ คำนิยาม. ราก z คำนิยาม. ราก ) = ราก z, ลิม(กับ คำนิยาม. ราก · z คำนิยาม. ราก ) = ราก· z- หากรู้แน่ชัดว่าzไม่เท่ากับ 0 แล้วความเท่าเทียมกันเป็นจริง
.