สูตรหารากของสมการกำลังสอง จะพิจารณากรณีของรากจริง หลายราก และซับซ้อน การแยกตัวประกอบ ตรีโกณมิติกำลังสอง- การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการหารากและการแยกตัวประกอบ

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) ถูกกำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของระดับที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

เรายังสันนิษฐานอีกว่า - ตัวเลขจริง.
ลองพิจารณาดู จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หากการแบ่งแยกเป็นบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากที่แท้จริงที่แตกต่างกันสองแบบ:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสองจะมีรูปแบบ:
.
ถ้าค่าจำแนกเท่ากับศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจำนวนจริงพหุคูณ (เท่ากัน) สองค่า:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
หากการแบ่งแยกเป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองตัว:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนของรากที่แท้จริงและจินตภาพ:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าคุณสร้าง กราฟของฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลา จุดตัดกันของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
ที่ กราฟจะตัดแกน x (แกน) ที่จุดสองจุด
เมื่อ กราฟแตะแกน x ณ จุดหนึ่ง
เมื่อ กราฟไม่ข้ามแกน x

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของกราฟดังกล่าว

สูตรที่มีประโยชน์ที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรหารากของสมการกำลังสอง

เราทำการเปลี่ยนแปลงและใช้สูตร (f.1) และ (f.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพหุนามของดีกรี 2 ในรูปแบบ:
.
นี่แสดงให้เห็นว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือ และ เป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

สารละลาย

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่แท้จริงสองประการ:
;
;
.

จากนี้เราจะได้การแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2x2+7x+3ตัดแกน x ที่จุดสองจุด

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันตัดผ่านแกนแอบซิสซา (แกน) ที่จุดสองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิม (1.1)

คำตอบ

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองลงไป มุมมองทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการดั้งเดิม (2.1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
เนื่องจากค่าจำแนกเป็นศูนย์ สมการจึงมีรากหลายค่า (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติจะมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4สัมผัสแกน x ณ จุดหนึ่ง

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันสัมผัสแกน x (แกน) ที่จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้คือรากของสมการดั้งเดิม (2.1) เพราะรากนี้ถูกแยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
ดังนั้นรากดังกล่าวจึงมักเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาเชื่อว่ามีสองรากที่เท่ากัน:
.

คำตอบ

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

สารละลาย

ลองเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ลองเขียนสมการดั้งเดิม (3.1):
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบค่าของสัมประสิทธิ์:
.
เราพบการเลือกปฏิบัติ:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ

ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง
;
;
.

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อนได้:


.

แล้ว

ลองพลอตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันไม่ข้ามแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบ

กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา มันไม่ตัดแกน x (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง
;
;
.

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน: หัวข้อนี้อาจดูยากในตอนแรกเนื่องจากมีหลายๆ คนไม่เป็นเช่นนั้นสูตรง่ายๆ

- สมการกำลังสองไม่เพียงแต่จะมีสัญกรณ์ที่ยาวเท่านั้น แต่ยังหารากได้จากการแบ่งแยกอีกด้วย รวมแล้วได้สูตรใหม่ถึง 3 สูตร ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจำ สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากแก้สมการดังกล่าวบ่อยครั้งเท่านั้น แล้วสูตรทั้งหมดก็จะจำได้เอง

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง ที่นี่เราขอเสนอการบันทึกที่ชัดเจนเมื่อมากที่สุดระดับสูง

เขียนก่อนแล้วจึงเขียนตามลำดับจากมากไปน้อย มักจะมีสถานการณ์ที่ข้อกำหนดไม่สอดคล้องกัน จากนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่โดยเรียงลำดับจากมากไปหาน้อยของระดับของตัวแปร

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง แสดงไว้ในตารางด้านล่าง

หากเรายอมรับสัญลักษณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะลดลงเหลือสัญลักษณ์ต่อไปนี้

ยิ่งไปกว่านั้น ค่าสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้ถูกกำหนดให้เป็นหมายเลขหนึ่ง

• เมื่อให้สมการแล้ว ยังไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีจำนวนรากเท่าใด เพราะหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:
• การแก้ปัญหาจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขหนึ่งตัว

สมการนี้จะไม่มีรากเลย

และจนกว่าการตัดสินใจจะสิ้นสุดลงเป็นการยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะปรากฏในบางกรณี

อาจมีรายการที่แตกต่างกันในงาน พวกมันจะไม่ดูเหมือนสูตรสมการกำลังสองทั่วไปเสมอไป บางทีมันก็จะขาดบางคำไปบ้าง ที่เขียนไว้ข้างบนนี้ก็คือ สมการที่สมบูรณ์- หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามออกไป คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง แต่ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

ยิ่งไปกว่านั้น เฉพาะคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ "b" และ "c" เท่านั้นที่สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ไม่ว่าในกรณีใด ๆ เพราะในกรณีนี้ สูตรจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับรูปแบบสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

มีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกจากแบบสมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นหมายเลขสองและสูตรที่สอง - สาม

แยกแยะและการพึ่งพาจำนวนรากตามมูลค่าของมัน

คุณต้องรู้ตัวเลขนี้จึงจะคำนวณรากของสมการได้ สามารถคำนวณได้เสมอไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นเช่นใดก็ตาม ในการคำนวณการแบ่งแยก คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้วคุณจะได้ตัวเลขด้วย สัญญาณที่แตกต่างกัน- ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการก็คือสอง รากต่างๆ- ถ้าจำนวนเป็นลบ จะไม่มีรากของสมการกำลังสอง หากเท่ากับศูนย์ก็จะมีคำตอบเดียวเท่านั้น

จะแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

อันที่จริงการพิจารณาประเด็นนี้ได้เริ่มต้นขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องหาคนแบ่งแยกก่อน หลังจากพิจารณาแล้วว่าสมการกำลังสองมีรากและรู้จำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองราก คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” จึงมีสองความหมาย นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองถือเป็นการแบ่งแยก ดังนั้นจึงสามารถเขียนสูตรใหม่ให้แตกต่างออกไปได้

สูตรหมายเลขห้า จากบันทึกเดียวกัน จะเห็นได้ชัดว่าถ้าตัวจำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์ รากทั้งสองจะใช้ค่าเดียวกัน

หากยังไม่ได้แก้สมการกำลังสองควรเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร หลังจากนั้นช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในช่วงแรกเริ่มมีความสับสน

จะแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ ไม่จำเป็นต้องมีสูตรเพิ่มเติมด้วยซ้ำ และสิ่งที่เขียนไว้สำหรับผู้เลือกปฏิบัติและสิ่งที่ไม่รู้จักก็ไม่จำเป็น

เรามาพิจารณากันก่อน สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่บ้านเลขที่สอง ในความเท่าเทียมกันนี้ จำเป็นต้องนำปริมาณที่ไม่ทราบออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้นซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ เนื่องจากมีตัวคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรนั้นเอง อันที่สองจะได้จากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการหมายเลข 3 ที่ไม่สมบูรณ์แก้ไขได้โดยเลื่อนตัวเลขจากด้านซ้ายของค่าที่เท่ากันไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยสัมประสิทธิ์หันหน้าไปทางไม่ทราบ สิ่งที่เหลืออยู่คือแยกรากที่สองออกและอย่าลืมเขียนมันลงไปสองครั้งโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

ด้านล่างนี้คือการดำเนินการบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่าเทียมกันทุกรูปแบบที่กลายเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากการไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้อาจทำให้เกรดไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อที่ครอบคลุม “สมการกำลังสอง (เกรด 8)” ต่อจากนั้นจึงไม่จำเป็นต้องดำเนินการเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง เพราะทักษะที่มั่นคงจะปรากฏขึ้น

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ เทอมแรกที่มีระดับตัวแปรมากที่สุด และจากนั้น - ไม่มีระดับ และสุดท้าย - เป็นเพียงตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏก่อนค่าสัมประสิทธิ์ "a" อาจทำให้งานสำหรับผู้เริ่มต้นศึกษาสมการกำลังสองซับซ้อนขึ้น เป็นการดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" หมายความว่าทุกพจน์จะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทิศทางตรงกันข้าม

• แนะนำให้กำจัดเศษส่วนด้วยวิธีเดียวกัน เพียงคูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อที่ตัวส่วนจะตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

สมการแรก: x 2 − 7x = 0 สมการนี้ไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ได้ตามที่อธิบายไว้ในสูตรหมายเลข 2

หลังจากนำออกจากวงเล็บปรากฎว่า: x (x - 7) = 0

รากแรกรับค่า: x 1 = 0 รากที่สองจะพบได้จาก สมการเชิงเส้น: x - 7 = 0 จะเห็นว่า x 2 = 7 ได้ง่าย

สมการที่สอง: 5x 2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง มีเพียงการแก้ไขตามที่อธิบายไว้ในสูตรที่สามเท่านั้น

หลังจากโอน30ไปที่ ด้านขวาความเท่าเทียมกัน: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า: x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √6

สมการที่สาม: 15 − 2x − x 2 = 0 ต่อไปนี้และต่อไป การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนสมการใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: − x 2 − 2x + 15 = 0 ถึงเวลาใช้สมการที่สองแล้ว คำแนะนำที่เป็นประโยชน์แล้วคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎว่า x 2 + 2x - 15 = 0 เมื่อใช้สูตรที่สี่คุณต้องคำนวณตัวแยกแยะ: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64 มันคือ จำนวนบวก- จากที่กล่าวข้างต้น ปรากฎว่าสมการนี้มีรากอยู่ 2 ราก ต้องคำนวณโดยใช้สูตรที่ห้า ปรากฎว่า x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 = 3, x 2 = - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x = 0 ถูกแปลงเป็น: x 2 + 3x + 8 = 0 ค่าจำแนกของมันเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากจำนวนนี้เป็นลบ คำตอบของงานนี้จะเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้: x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการแบ่งแยกแล้วจะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูต คือ: x = -12/ (2 * 1) = -6

สมการที่หก (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) ต้องมีการแปลง ซึ่งประกอบด้วยการนำ เงื่อนไขที่คล้ายกันก่อนที่จะเปิดวงเล็บ แทนที่รายการแรกจะมีนิพจน์ต่อไปนี้: x 2 + 2x + 1 หลังจากความเท่าเทียมกันรายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำศัพท์ที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x = 0 มันไม่สมบูรณ์ สิ่งที่คล้ายกันนี้ได้ถูกพูดคุยกันในระดับที่สูงขึ้นเล็กน้อยแล้ว รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองใน ยุโรปที่สิบสาม- ศตวรรษที่ XVII

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงพัฒนาการของพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและ วิธีการทั่วไปการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการในระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัวโดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลิตภัณฑ์ของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10- ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2- หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 - สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองพบอยู่ในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติยม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) สรุปไว้ กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองลดลงจนกลายเป็นหนึ่งเดียว รูปแบบบัญญัติ:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์ก็เหมือนกับของเราโดยพื้นฐานแล้ว

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบดบังความรุ่งโรจน์ของผู้อื่น การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จัตุรัส ตอนที่แปด มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นกำลังสอง ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้ต้องบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีแก้ปัญหา สมการข้างต้นโดยใช้เทคนิคอัลญาบรีและอัลมุคอบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ al-Khorezmi บางส่วน ตัวอย่างเชิงตัวเลขกำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการแก้ปัญหา จากนั้นจึงกำหนดข้อพิสูจน์ทางเรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ ที่เหลือคือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-โคเรซมีในยุโรปถูกกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งประเทศอิสลามและ กรีกโบราณโดดเด่นด้วยทั้งความครบถ้วนและความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาสิ่งใหม่อย่างอิสระ ตัวอย่างพีชคณิตแก้ปัญหาและเป็นรายแรกในยุโรปที่แนะนำตัวเลขติดลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieta แต่ Vieta เท่านั้นที่จำได้ รากที่เป็นบวก- นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 พวกเขาคำนึงถึงนอกเหนือจากด้านบวกและ รากเชิงลบ- เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และคนอื่นๆ ทางนักวิทยาศาสตร์การแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 , เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไปเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย- เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม อตรรกยะ และอสมการและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

แค่. ตามสูตรและชัดเจน กฎง่ายๆ- ในระยะแรก

จำเป็นสำหรับ สมการที่กำหนดนำไปสู่ มุมมองมาตรฐาน, เช่น. ไปที่แบบฟอร์ม:

หากคุณให้สมการในรูปแบบนี้แล้ว คุณไม่จำเป็นต้องดำเนินการขั้นแรก สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการทำถูกต้อง

กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ก, ขและ ค.

สูตรการหารากของสมการกำลังสอง

เรียกว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูท เลือกปฏิบัติ - อย่างที่คุณเห็นเพื่อค้นหา X เรา

เราใช้ เฉพาะ a, b และ c. เหล่านั้น. ค่าสัมประสิทธิ์จาก สมการกำลังสอง- เพียงใส่อย่างระมัดระวัง

ค่านิยม ก ข และคเราคำนวณเป็นสูตรนี้ เราแทนด้วย ของพวกเขาสัญญาณ!

ตัวอย่างเช่นในสมการ:

ก =1; ข = 3; ค = -4.

เราแทนค่าและเขียน:

ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว:

นี่คือคำตอบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือความสับสนกับค่าสัญญาณ ก, ขและ กับ- หรือมากกว่าด้วยการทดแทน

ค่าลบลงในสูตรคำนวณราก การบันทึกสูตรอย่างละเอียดช่วยได้ที่นี่

กับ หมายเลขเฉพาะ- มีปัญหาเรื่องการคำนวณ จัดให้เลย!

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ที่นี่ ก = -6; ข = -5; ค = -1

เราอธิบายทุกอย่างอย่างละเอียดรอบคอบ โดยไม่ขาดสิ่งใดเลยโดยมีป้ายและวงเล็บทั้งหมด:

สมการกำลังสองมักจะดูแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

ตอนนี้จดบันทึก เทคนิคการปฏิบัติซึ่งช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

นัดแรก- อย่าขี้เกียจไปก่อน การแก้สมการกำลังสองนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร?

สมมติว่าหลังจากการแปลงทั้งหมดคุณจะได้สมการต่อไปนี้:

อย่าเพิ่งรีบเขียนสูตรรูท! คุณเกือบจะได้รับโอกาสปะปนกันอย่างแน่นอน ก ข และค

สร้างตัวอย่างอย่างถูกต้อง อย่างแรก X กำลังสอง จากนั้นไม่มีกำลังสอง ตามด้วยพจน์อิสระ แบบนี้:

กำจัดเครื่องหมายลบ ยังไง? เราจำเป็นต้องคูณสมการทั้งหมดด้วย -1 เราได้รับ:

แต่ตอนนี้คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับรากได้อย่างปลอดภัย คำนวณการแบ่งแยก และแก้ไขตัวอย่างให้เสร็จสิ้น

ตัดสินใจด้วยตัวเอง ตอนนี้คุณควรมีรูท 2 และ -1

แผนกต้อนรับที่สองเช็คต้นตอ! โดย ทฤษฎีบทของเวียตตา.

เพื่อแก้สมการกำลังสองที่ให้มา เช่น ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์

x 2 +bx+c=0,

แล้วx 1 x 2 =ค

x 1 +x 2 =−ข

สำหรับสมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้น ก≠1:

x2+ขx+ค=0,

หารสมการทั้งหมดด้วย ตอบ:

→ →

ที่ไหน x1และ x 2 - รากของสมการ

แผนกต้อนรับที่สาม- ถ้าสมการของคุณมี อัตราต่อรองแบบเศษส่วน, - กำจัดเศษส่วน! คูณ

สมการที่มีตัวส่วนร่วม

บทสรุป. คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแก้โจทย์ เรานำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานและสร้างมันขึ้นมา ขวา.

2. หากมีสัมประสิทธิ์ลบอยู่หน้า X กำลังสอง เราจะกำจัดมันด้วยการคูณทุกอย่าง

สมการด้วย -1

3. ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วน เราจะกำจัดเศษส่วนโดยการคูณสมการทั้งหมดด้วยค่าที่สอดคล้องกัน

ปัจจัย.

4. ถ้า x กำลังสองบริสุทธิ์ แสดงว่าสัมประสิทธิ์ของมัน เท่ากับหนึ่งสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดย

ระดับรายการ

สมการกำลังสอง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes ยกกำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสองเท่านั้น

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี X กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นไปที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เพราะเรารู้วิธีสกัด รากที่สองแล้วลองเขียนจากสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะทำโดยไม่มีตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก ความสนใจเป็นพิเศษก้าวไป Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า -

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

ที่สาม ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยกัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร โปรดจำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากที่เหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

ทำไมจึงเป็นไปได้ ปริมาณที่แตกต่างกันราก? หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาก็ชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า - ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; -

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; -

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

ลองเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็นและท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็น จำนวนลบ- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณและผลต่างจะเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และสิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยมีรากหนึ่งอันเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตนามให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta มีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหาราก เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปไว้ในส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; -

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตาใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ปัจจัยที่เหมาะสมของคำอิสระ แสดงว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

โดยทั่วไป การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนี้.

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• ถ้าสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• หากมีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักกันเถอะ: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีรากสองอัน

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) นำสมการมาสู่รูปแบบมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์