ฟังก์ชันสหสัมพันธ์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการที่ไม่สุ่ม j( ที) เท่ากับกระบวนการที่ไม่สุ่มมากที่สุด:

จากนิพจน์ (1.9) ที่ว่าฟังก์ชันที่ไม่ใช่การสุ่มที่อยู่กึ่งกลางใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก

2. ถ้าตัวแปรสุ่ม วาย(ที) เป็นการรวมฟังก์ชันเชิงเส้น X ฉัน(ที):

, (1.11)

ฟังก์ชันที่ไม่ใช่แบบสุ่มอยู่ที่ไหน ที, แล้ว

. (1.12)

ความสัมพันธ์สุดท้ายตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการดำเนินการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นแบบเส้นตรง

3. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการที่ไม่ใช่การสุ่มมีค่าเท่ากับศูนย์เท่ากัน คุณสมบัตินี้ต่อจาก (1.10) โดยตรง

4. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะไม่เปลี่ยนจากการเพิ่มฟังก์ชันที่ไม่สุ่มใดๆ ไปเป็นฟังก์ชันสุ่ม จริงๆ ถ้า , แล้ว

จากนี้ไปฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่มและ

การแข่งขัน. ดังนั้น เมื่อพิจารณาฟังก์ชันสหสัมพันธ์ เราสามารถสรุปได้ว่ากระบวนการที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเป็นศูนย์กลางเสมอ

5. หากเป็นกระบวนการสุ่ม วาย(ที) เป็นการรวมกันเชิงเส้นของกระบวนการสุ่ม X ฉัน(ที):

,

ฟังก์ชันที่ไม่ใช่แบบสุ่มอยู่ที่ไหน

, (1.14)

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการอยู่ที่ไหน X ฉัน(ที) เป็นฟังก์ชันความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันของกระบวนการและ

จริงๆ:

, =

.

หากกระบวนการสุ่มไม่มีความสัมพันธ์กันแบบคู่ ดังนั้น

. (1.15)

สมมติว่าใน (1.14) เราได้รับนิพจน์สำหรับการกระจายของชุดค่าผสมเชิงเส้นของกระบวนการสุ่ม:

ในกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่มที่ไม่สัมพันธ์กัน

. (1.17)

6. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันแน่นอนที่ไม่เป็นลบ:

. (1.18)

อันที่จริง เราเป็นตัวแทน (1.18) ในรูปแบบ:

.

เนื่องจากอินทิกรัลคือขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล นิพจน์สุดท้ายจึงสามารถแสดงเป็นขีดจำกัดของผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางกลับกัน จะเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวม ดังนั้นการดำเนินการของการรวมและการคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถแลกเปลี่ยนได้ เป็นผลให้เราได้รับ:

7. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์มีความสมมาตรตามข้อโต้แย้ง ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามไม่มีคุณสมบัตินี้

ความสมมาตรของฟังก์ชันสหสัมพันธ์เป็นไปตามคำนิยามโดยตรง:

ในขณะเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม เรามี:

ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามเป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

8. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ข้ามเป็นไปตามอสมการต่อไปนี้:

บ่อยครั้งที่พิจารณาแทนที่จะใช้ฟังก์ชันภายในและความสัมพันธ์ข้าม ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ปกติ :

, (1.23)

. (1.24)

ขึ้นอยู่กับ (1.21) และ (1.22) อสมการต่อไปนี้ถือเป็นฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบปกติ:

. (1.25)

ตัวอย่าง กระบวนการสุ่มที่กำหนดคือผลรวมของกระบวนการสุ่มและไม่สุ่ม: ถาม , กำหนด

ใช้ (1.9) และ (1.12) เราจะได้:

ตาม (1.15)

และสุดท้าย ตามข้อ (1.17) .

การจำแนกประเภทของกระบวนการสุ่ม

กระบวนการคงที่

เรียกว่ากระบวนการสุ่ม เครื่องเขียน , หากกฎการกระจายหลายมิติขึ้นอยู่กับการจัดเรียงจุดเวลาร่วมกันเท่านั้น ที 1 , ที 2 , . . .เสื้อ เอ็น, เช่น. ไม่เปลี่ยนแปลงด้วยการเปลี่ยนแปลงช่วงเวลาเหล่านี้พร้อมกันด้วยค่าเดียวกัน:

หากนิพจน์ (2.1) เป็นที่พอใจสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง นจากนั้นเรียกกระบวนการนี้ว่า หยุดนิ่งในความหมายแคบ

ที่ น=1 นิพจน์ (2.1) ใช้แบบฟอร์ม:

และที่ , 2.2)

เหล่านั้น. กฎการกระจายหนึ่งมิติของกระบวนการคงที่ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ดังนั้น ลักษณะของกระบวนการสุ่มจะไม่ขึ้นอยู่กับเวลา ขึ้นอยู่กับกฎการกระจายหนึ่งมิติ: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของกระบวนการสุ่ม:

, . (2.3)

ที่ น=2 นิพจน์ (2.1) ถูกเขียนใหม่ดังนี้:

ดังนั้น ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการอยู่กับที่ ซึ่งกำหนดโดยกฎการกระจายสองมิติ จะขึ้นอยู่กับช่วงเวลาเท่านั้น t

ตามนิยามของ อ.ยะ ขิ่น กระบวนการก็คือ คงที่ในความหมายกว้างๆ หากเงื่อนไขการคงอยู่ (2.1) เป็นไปตามเงื่อนไขเท่านั้น n= 1 และ 2

ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความคงที่ของกระบวนการในความหมายกว้างๆ สามารถกำหนดเป็น:

ความคาดหวังและความแปรปรวนของกระบวนการดังกล่าวไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา - และ ดีเอ็กซ์;

· ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการขึ้นอยู่กับช่วงเวลาระหว่างส่วนเท่านั้น -

KXX(t) เป็นฟังก์ชันคู่ของอาร์กิวเมนต์:

ควรจำไว้ว่าฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามเป็นฟังก์ชันคี่:

, (). (2.7)

กระบวนการปกติ

ขั้นตอนการสุ่มคือ ปกติ ถ้ากฎหมายหลายมิติเป็นเรื่องปกติ:

× ), (2.8)

ที่ไหน (2.9)

ค่าไอเกนสัมพัทธ์และฟังก์ชันความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน และค่าสองค่าของตัวแปรสุ่ม ปป 1 และ ย 2. จะเห็นได้จากรูปที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการสำนึกที่ วาย=ย 1 เท่ากับ ย 1 , ในขณะที่ วาย=ย 2 – ย 2 .

รูปที่ 2.1 ตัวอย่างของกระบวนการที่ไม่เป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์

ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินคุณลักษณะของกระบวนการโดยรวมจากการตระหนักถึงกระบวนการที่อยู่นิ่งแต่ไม่ถูกหลักสรีรศาสตร์เพียงครั้งเดียว

กระบวนการของมาร์คอฟ

หากคุณสมบัติความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่มถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของการระบุ ณ เวลาที่กำหนดและไม่ขึ้นอยู่กับค่าของลำดับของกระบวนการ ณ เวลาก่อนหน้า ดังนั้นกระบวนการสุ่มดังกล่าวคือ เรียกว่า มาร์คอฟสกี้. บางครั้งกระบวนการเหล่านี้เรียกว่ากระบวนการ โดยไม่มีผลกระทบ

การรบกวนในระบบสื่อสารอธิบายโดยวิธีการของทฤษฎีกระบวนการสุ่ม

ฟังก์ชันเรียกว่า สุ่ม ถ้าจากผลการทดลอง จะใช้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง จะไม่ทราบล่วงหน้าว่ารูปแบบใด กระบวนการสุ่มเป็นฟังก์ชันสุ่มของเวลา รูปแบบเฉพาะที่กระบวนการสุ่มใช้เป็นผลจากการทดลองเรียกว่าการดำเนินการตามกระบวนการสุ่ม

บนมะเดื่อ 1.19 แสดงชุดของการใช้งานหลาย (สาม) กระบวนการสุ่ม , , ชุดดังกล่าวเรียกว่าชุดของการใช้งาน ด้วยค่าคงที่ของช่วงเวลาในการทดลองครั้งแรก เราได้รับค่าเฉพาะ ในครั้งที่สอง - ในครั้งที่สาม -

กระบวนการสุ่มมีอักขระสองตัว ในแง่หนึ่ง ในการทดลองแต่ละครั้ง การทดสอบจะแสดงด้วยการใช้งานของตัวเอง ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่การสุ่มของเวลา ในทางกลับกัน กระบวนการสุ่มอธิบายโดยชุดของตัวแปรสุ่ม

อันที่จริง ให้พิจารณากระบวนการสุ่ม ณ เวลาที่กำหนด จากนั้นในการทดลองแต่ละครั้ง จะใช้ค่าหนึ่งค่า และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด ดังนั้น กระบวนการสุ่มที่พิจารณา ณ เวลาคงที่จึงเป็นตัวแปรสุ่ม หากจุดสองจุดในเวลาคงที่ จากนั้นในการทดสอบแต่ละครั้ง เราจะได้ค่าสองค่า และ . ในกรณีนี้ การพิจารณาร่วมกันของค่าเหล่านี้นำไปสู่ระบบของตัวแปรสุ่มสองตัว เมื่อวิเคราะห์กระบวนการสุ่ม ณ เวลา N จุด เราจะพบชุดหรือระบบของตัวแปรสุ่ม N ตัว .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่ม เนื่องจากกระบวนการสุ่มที่พิจารณา ณ เวลาคงที่เป็นตัวแปรสุ่ม เราจึงสามารถพูดถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของกระบวนการสุ่มได้:

, .

เช่นเดียวกับตัวแปรสุ่ม ความแปรปรวนจะแสดงลักษณะการแพร่กระจายของค่าของกระบวนการสุ่มที่สัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย . ยิ่งมีค่ามากเท่าใด โอกาสที่ค่ากระบวนการบวกและลบจะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น คุณลักษณะที่สะดวกกว่าคือรูตค่าเฉลี่ยความเบี่ยงเบนกำลังสอง (MSD) ซึ่งมีมิติเดียวกับกระบวนการสุ่ม

หากกระบวนการสุ่มอธิบาย เช่น การเปลี่ยนแปลงระยะทางไปยังวัตถุ การคาดหมายทางคณิตศาสตร์คือระยะทางเฉลี่ยในหน่วยเมตร ความแปรปรวนวัดเป็นตารางเมตรและ Sco - เป็นเมตรและระบุลักษณะการแพร่กระจายของค่าช่วงที่เป็นไปได้เทียบกับค่าเฉลี่ย

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นคุณลักษณะที่สำคัญมากที่ทำให้สามารถตัดสินพฤติกรรมของกระบวนการสุ่ม ณ เวลาที่กำหนดได้ อย่างไรก็ตาม หากจำเป็นต้องประเมิน "ความเร็ว" ของการเปลี่ยนแปลงในกระบวนการ การสังเกต ณ เวลาใดเวลาหนึ่งจะไม่เพียงพอ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวแปรสุ่มสองตัวพิจารณาร่วมกัน เช่นเดียวกับตัวแปรสุ่ม คุณลักษณะของการเชื่อมต่อหรือการพึ่งพาระหว่าง และ ถูกนำมาใช้ สำหรับกระบวนการสุ่ม คุณลักษณะนี้ขึ้นอยู่กับจุดสองจุดในเวลา และเรียกว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์:

กระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ กระบวนการหลายอย่างในระบบควบคุมดำเนินการอย่างสม่ำเสมอในเวลา ลักษณะพื้นฐานของพวกเขาไม่เปลี่ยนแปลง กระบวนการดังกล่าวเรียกว่านิ่ง สามารถให้คำจำกัดความที่ชัดเจนได้ดังนี้ กระบวนการสุ่มเรียกว่า สเตชันเนอรี หากลักษณะความน่าจะเป็นใดๆ ของกระบวนการนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงของการอ้างอิงเวลา สำหรับกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นค่าคงที่: ,

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการที่อยู่นิ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับจุดกำเนิด t เช่น ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของเวลาเท่านั้น:

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่มแบบคงที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) ; 2) ; 3) .

บ่อยครั้งที่ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของกระบวนการในระบบสื่อสารมีรูปแบบที่แสดงในรูปที่ 1.20 น.

ข้าว. 1.20 น. ฟังก์ชันความสัมพันธ์ของกระบวนการ

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ เช่น ขนาดของการเชื่อมต่อระหว่างค่าของกระบวนการสุ่ม ลดลงโดย M ครั้ง เรียกว่าช่วงเวลาหรือเวลาสหสัมพันธ์ของกระบวนการสุ่ม โดยปกติหรือ . เราสามารถพูดได้ว่าค่าของกระบวนการสุ่มที่แตกต่างกันตามเวลาตามช่วงเวลาความสัมพันธ์นั้นสัมพันธ์กันเล็กน้อย

ดังนั้น ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันสหสัมพันธ์ทำให้สามารถตัดสินอัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการสุ่มได้

ลักษณะสำคัญอีกประการหนึ่งคือสเปกตรัมพลังงานของกระบวนการสุ่ม มันถูกกำหนดให้เป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์:

.

เห็นได้ชัดว่าการแปลงย้อนกลับก็เป็นจริงเช่นกัน:

.

สเปกตรัมพลังงานแสดงการกระจายพลังงานของกระบวนการสุ่ม เช่น สัญญาณรบกวน บนแกนความถี่

เมื่อวิเคราะห์ ACS สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดคุณลักษณะของกระบวนการสุ่มที่เอาต์พุตของระบบเชิงเส้นโดยมีลักษณะเฉพาะที่ทราบของกระบวนการที่อินพุต ACS สมมติว่าระบบเชิงเส้นได้รับจากการตอบสนองแบบอิมพัลส์ จากนั้นสัญญาณเอาต์พุต ณ ช่วงเวลานั้นจะถูกกำหนดโดยอินทิกรัล Duhamel:

,

กระบวนการที่อินพุตของระบบอยู่ที่ไหน เพื่อค้นหาฟังก์ชันสหสัมพันธ์ เราเขียน และหลังจากการคูณเราจะพบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

9. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์และคุณสมบัติหลัก

สำหรับคำอธิบายที่สมบูรณ์ของกระบวนการสุ่ม แนวคิดของคอร์เรล f-i จะถูกนำมาใช้

เท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน RMS

เราถือว่ากฎการกระจายเป็นเรื่องปกติ กราฟแสดงความแตกต่างอย่างชัดเจนระหว่างกระบวนการต่างๆ แม้ว่าจะมีคุณลักษณะที่น่าจะเป็นเท่ากันก็ตาม

			(เ)ม				(เสื้อ) ,
			(เ)ง				(เสื้อ) ,
			(เสื้อ)			(เ) .

เช่น การติดตามเครื่องบิน หากเขาเข้ารับตำแหน่ง 1 ในเวลา t ดังนั้นตำแหน่งที่เป็นไปได้ของเขา 2 ในช่วงเวลาถัดไป t 2 จะถูกจำกัด เช่น เหตุการณ์ (x 1 ,t 1 ) และ (x 2 ,t 2 ) จะไม่เป็นอิสระต่อกัน ยิ่งวัตถุที่กำลังศึกษามีความเฉื่อยมากเท่าใด การพึ่งพาอาศัยกันหรือความสัมพันธ์นี้ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น Corr f-i แสดงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ของสองฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ของฟังก์ชันกับตัวมันเอง (ฟังก์ชันแก้ไขอัตโนมัติ) มีการอธิบายฟังก์ชันในรูปแบบต่อไปนี้:

โดยที่ t 1 และ t 2 คือจุดใดๆ ในเวลา นั่นคือ t 1 และ t 2 T

ความสัมพันธ์คือความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างตัวแปรสุ่มตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์- เช่น ฟังก์ชันที่ไม่สุ่ม R x (t 1 ,t 2 ) ของสองอาร์กิวเมนต์ซึ่งสำหรับคู่ของค่าคงที่ของอาร์กิวเมนต์ เสื้อ 1 และ เสื้อ 2 เท่ากับช่วงเวลาสหสัมพันธ์ที่สอดคล้องกับส่วนเหล่านี้ของตัวแปรสุ่ม x (เสื้อ 1 ) และ x (เสื้อ 2 ).

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันของเวลาที่กำหนดความสัมพันธ์ในระบบด้วยกระบวนการสุ่ม

เมื่อช่วงเวลา t 1 และ t 2 ตรงกัน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะเท่ากับการกระจายตัว ฟังก์ชันความสัมพันธ์ปกติคำนวณโดยสูตร:

) 1,

โดยที่ x (t 1 ) และ x (t 2 ) s.c.o. ฟังก์ชันสุ่ม x (t) ที่ t \u003d t 1 และ t \u003d t 2 ตามลำดับ ในการคำนวณ

จำเป็นต้องมีฟังก์ชันความสัมพันธ์

ความหนาแน่น (สองมิติ)

ความน่าจะเป็น

(x ,x

; เสื้อ, เสื้อ

) dx dx

คุณสมบัติของฟังก์ชันสหสัมพันธ์

1. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R x (t 1 ,t 2 ) สมมาตรตามข้อโต้แย้ง:

R x (เสื้อ 1 ,เสื้อ 2 ) =R x (เสื้อ 2 ,เสื้อ 1 )

ตามนิยามของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ X(t)

2. เมื่อเพิ่มฟังก์ชันสุ่ม X (t) ของคำที่ไม่สุ่มโดยพลการ

(เสื้อ ), ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ Z (เสื้อ ) X (เสื้อ ) (เสื้อ ),

แล้ว R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 )

3. เมื่อคูณฟังก์ชันสุ่ม X (t) ด้วยปัจจัยที่ไม่สุ่มตามอำเภอใจ ψ(t) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ R x (t 1 ,t 2 ) จะคูณด้วย ψ(t 1 )ψ(t 2 )

เมื่อค้นคว้าคำถาม การพึ่งพาหรือความเป็นอิสระความรู้ของกระบวนการสุ่มสองส่วนขึ้นไปเกี่ยวกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของ r.p. ไม่พอ.

ในการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกระบวนการสุ่มต่างๆ จะใช้แนวคิดของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ซึ่งเป็นอะนาล็อกของแนวคิดของความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่ม (ดู ต.8)

ความสัมพันธ์ (ความแปรปรวนร่วม, ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ, ความสัมพันธ์อัตโนมัติ)ฟังก์ชันกระบวนการสุ่ม
เรียกว่า ฟังก์ชันไม่สุ่ม สองข้อโต้แย้ง

เท่ากับโมเมนต์สหสัมพันธ์ของส่วนที่เกี่ยวข้อง
และ
:

หรือ (คำนึงถึงสัญกรณ์ของฟังก์ชันสุ่มที่มีศูนย์กลาง
) เรามี

นี่คือหลัก คุณสมบัติของฟังก์ชันความสัมพันธ์
กระบวนการสุ่ม
.

1. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่เท่ากันจะเท่ากับความแปรปรวนของ sp

จริงๆ,

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วช่วยให้เราสามารถคำนวณ m.r. และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ซึ่งเป็นลักษณะสำคัญของกระบวนการสุ่ม ไม่จำเป็นต้องคำนวณความแปรปรวน

2. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ เช่น เป็นฟังก์ชันสมมาตรที่เกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์:

คุณสมบัตินี้ได้มาจากนิยามของฟังก์ชันสหสัมพันธ์โดยตรง

3. หากมีการเพิ่มฟังก์ชันที่ไม่สุ่มเข้าไปในกระบวนการสุ่ม ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ถ้า
, แล้ว. กล่าวอีกนัยหนึ่ง

เป็นฟังก์ชันคาบเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่สุ่มใดๆ

แน่นอนจากห่วงโซ่ของเหตุผล

ตามนั้น จากนี้เราได้รับคุณสมบัติที่ต้องการ 3

4. โมดูลัสของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไม่เกินผลคูณของ rms เช่น

การพิสูจน์ทรัพย์สิน 4. ดำเนินการในลักษณะเดียวกับข้อ 12.2 (ทฤษฎีบท 12..2) โดยคำนึงถึงคุณสมบัติแรกของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของ sp
.

5. เมื่อคูณ r.p.
เป็นตัวคูณที่ไม่สุ่ม
ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะถูกคูณด้วยผลคูณ
เช่นถ้า
, แล้ว

5.1. ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ปกติ

นอกเหนือจากฟังก์ชันสหสัมพันธ์แล้ว r.p. พิจารณาด้วย ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ปกติ(หรือความสัมพันธ์อัตโนมัติการทำงาน)
กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน

.

ผลที่ตามมาตามคุณสมบัติที่ 1 เรามีความเท่าเทียมกัน

.

ตามความหมายของตนเอง
คล้ายกับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์สำหรับ r.v. แต่ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ และ .

รายการกันเถอะ คุณสมบัติของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ปกติ:

1.

2.

3.
.

ตัวอย่างที่ 4ให้ s.p. ถูกกำหนดโดยสูตรเช่น
r.v.,

กระจายตามกฎหมายปกติกับ

ค้นหาความสัมพันธ์และฟังก์ชันที่ทำให้เป็นมาตรฐานของกระบวนการสุ่ม

วิธีการแก้.ตามคำนิยาม เรามี

เหล่านั้น.
ดังนั้นเราจึงได้รับคำนิยามของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานและผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาตัวอย่างก่อนหน้านี้
=1 เช่น
.

5.2. ฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของกระบวนการสุ่ม

เพื่อกำหนดระดับของการพึ่งพา ส่วนกระบวนการสุ่มสองกระบวนการใช้ฟังก์ชันความสัมพันธ์เชื่อมโยงหรือฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้าม

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสองกระบวนการสุ่ม
และ
เรียกว่าฟังก์ชันไม่สุ่ม
สองข้อโต้แย้งที่เป็นอิสระ และ ซึ่งสำหรับแต่ละคู่ของค่า และ เท่ากับโมเมนต์สหสัมพันธ์ของสองส่วน
และ

สอง sp
และ
เรียกว่า ไม่สัมพันธ์กันหากฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของพวกมันเท่ากันเท่ากับศูนย์ นั่นคือ ถ้ามี และ เกิดขึ้น
ถ้าสำหรับใดๆ และ จะ
จากนั้นจึงทำการสุ่ม
และ
เรียกว่า สัมพันธ์กัน(หรือ ที่เกี่ยวข้อง).

พิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามซึ่งได้รับโดยตรงจากคำจำกัดความและคุณสมบัติของโมเมนต์สหสัมพันธ์ (ดู 12.2):

1. ด้วยการเรียงสับเปลี่ยนดัชนีและอาร์กิวเมนต์พร้อมกัน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ร่วมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง นั่นคือ

2. โมดูลของฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามของกระบวนการสุ่มสองกระบวนการไม่เกินผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน นั่นคือ

3. ฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากดำเนินการแบบสุ่ม
และ
เพิ่มคุณสมบัติที่ไม่สุ่ม
และ
ตามลำดับ กล่าวคือ
ที่ไหน ตามลำดับ
และ

4. ตัวคูณที่ไม่สุ่ม
สามารถนำออกจากเครื่องหมายความสัมพันธ์ได้ นั่นคือ ถ้า
แล้ว

5. ถ้า
, แล้ว.

6. ถ้ากระบวนการสุ่ม
และ
ไม่สัมพันธ์กันแล้วฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ เช่น

เพื่อประเมินระดับการพึ่งพาอาศัยกันของส่วนตัดขวางของสอง s.p. ยังใช้ ฟังก์ชั่นข้ามความสัมพันธ์ปกติ
กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

การทำงาน
มีคุณสมบัติเหมือนกับฟังก์ชัน
แต่ทรัพย์สิน2

ถูกแทนที่ด้วยอสมการสองเท่าต่อไปนี้
, เช่น. โมดูลัสของฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามมาตรฐานไม่เกินเอกภาพ

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสอง s.p.
และ
, ที่ไหน
ตัวแปรสุ่ม ในขณะที่

วิธีการแก้.เพราะ,.

เพื่อระบุลักษณะโครงสร้างภายในของกระบวนการสุ่มในระดับหนึ่ง เช่น คำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของกระบวนการสุ่ม ณ เวลาต่างๆ หรืออีกนัยหนึ่งคือ คำนึงถึงระดับความแปรปรวนของกระบวนการสุ่ม แนะนำแนวคิดของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ (ความสัมพันธ์อัตโนมัติ) ของ a กระบวนการสุ่ม

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ (หรือความสัมพันธ์อัตโนมัติ) ของกระบวนการสุ่มเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่การสุ่มของสองอาร์กิวเมนต์ซึ่งสำหรับแต่ละคู่ของค่าอาร์กิวเมนต์ที่เลือกโดยพลการ (จุดเวลา) และเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลคูณของสอง ตัวแปรสุ่ม ส่วนที่เกี่ยวข้องของกระบวนการสุ่ม:

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สำหรับองค์ประกอบสุ่มที่อยู่กึ่งกลาง เรียกว่าศูนย์กลางและถูกกำหนดจากความสัมพันธ์

(1.58)

ฟังก์ชันนี้มักเรียกว่าความแปรปรวนร่วม และ – ความสัมพันธ์อัตโนมัติ .

กระบวนการสุ่มต่างๆ ขึ้นอยู่กับลักษณะทางสถิติที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา แบ่งออกเป็น เครื่องเขียนและ ไม่นิ่งแยกแยะระหว่างความนิ่งในความหมายแคบกับความไม่คงที่ในความหมายกว้าง

หยุดนิ่งในความหมายแคบ เรียกว่ากระบวนการสุ่ม ถ้าฟังก์ชันการแจกแจงแบบมิติและความหนาแน่นของความน่าจะเป็นใดๆ ไม่ต้องพึ่งพาจากตำแหน่งเริ่มต้นของการนับถอยหลัง ซึ่งหมายความว่าสองกระบวนการมีคุณสมบัติทางสถิติเหมือนกันสำหรับกระบวนการใดๆ เช่น ลักษณะทางสถิติของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่จะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา กระบวนการสุ่มแบบคงที่เป็นอะนาล็อกชนิดหนึ่งของกระบวนการคงที่ในระบบไดนามิก

นิ่งในความหมายกว้าง เรียกว่ากระบวนการสุ่ม ซึ่งค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์คงที่:

และฟังก์ชันสหสัมพันธ์ขึ้นอยู่กับตัวแปรเดียวเท่านั้น - ความแตกต่างของอาร์กิวเมนต์:

แนวคิดของกระบวนการสุ่ม คงที่ในความหมายกว้าง ถูกนำมาใช้เมื่อเฉพาะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันสหสัมพันธ์เท่านั้นที่ใช้เป็นลักษณะทางสถิติของกระบวนการสุ่ม ส่วนหนึ่งของทฤษฎีกระบวนการสุ่มที่อธิบายคุณสมบัติของกระบวนการสุ่มผ่านฟังก์ชันความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์เรียกว่า ทฤษฎีความสัมพันธ์

สำหรับกระบวนการสุ่มที่มีกฎการแจกแจงแบบปกติ การคาดหวังทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันสหสัมพันธ์จะเป็นตัวกำหนดอย่างสมบูรณ์ นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมิติ นั่นเป็นเหตุผล สำหรับกระบวนการสุ่มแบบปกติ แนวคิดของการหยุดนิ่งในประสาทสัมผัสกว้างและแคบนั้นตรงกัน

ทฤษฎีของกระบวนการอยู่กับที่ได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์ที่สุด และทำให้ง่ายต่อการคำนวณสำหรับกรณีเชิงปฏิบัติจำนวนมาก ดังนั้น บางครั้งก็แนะนำให้ตั้งสมมติฐานของความคงที่สำหรับกรณีเหล่านั้นเมื่อกระบวนการสุ่ม แม้ว่าจะไม่คงที่ แต่ไม่มีเวลาที่จะเปลี่ยนลักษณะทางสถิติของสัญญาณในช่วงเวลาที่พิจารณาของการทำงานของระบบ

ในทฤษฎีของกระบวนการสุ่มจะใช้สองแนวคิดของค่าเฉลี่ย แนวคิดแรกของค่าเฉลี่ยคือ กำหนดค่าเฉลี่ย (หรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) ซึ่งกำหนดบนพื้นฐานของการสังเกตชุดของการดำเนินการตามกระบวนการสุ่มในเวลาเดียวกัน ค่าเฉลี่ยของชุดมักจะแสดงแทน หยัก ลักษณะเหนือนิพจน์ที่อธิบายถึงฟังก์ชันสุ่ม:

โดยทั่วไป ค่าเฉลี่ยที่ตั้งไว้คือฟังก์ชันของเวลา

อีกแนวคิดหนึ่งของค่าเฉลี่ยคือ เวลาเฉลี่ย ซึ่งพิจารณาจากพื้นฐานของการสังเกตการดำเนินการตามกระบวนการสุ่มที่แยกจากกันในช่วงเวลาที่ยาวนานพอสมควร เวลาเฉลี่ยจะแสดง ตรง ลักษณะเหนือนิพจน์ที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันสุ่มและถูกกำหนดโดยสูตร

, (1.62)

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่

ค่าเฉลี่ยเมื่อเวลาผ่านไปโดยทั่วไปจะแตกต่างกันสำหรับการใช้งานแต่ละชุดที่กำหนดกระบวนการสุ่ม

โดยทั่วไปสำหรับกระบวนการสุ่มเดียวกัน ค่าเฉลี่ยที่ตั้งไว้และค่าเฉลี่ยเวลาจะแตกต่างกัน แต่สำหรับสิ่งที่เรียกว่า กระบวนการสุ่มแบบคงที่ตามหลักสรีรศาสตร์ ค่าเฉลี่ยของชุดนั้นสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยในช่วงเวลา:

ตามทฤษฎีบทตามหลักสรีรศาสตร์สำหรับกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สามารถกำหนดเป็นค่าเฉลี่ยเวลาของการดำเนินการหนึ่งรายการ

(1.64)

ที่ไหน - การใช้กระบวนการสุ่มใด ๆ

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบกึ่งกลางของกระบวนการสุ่มแบบอยู่กับที่ตามหลักสรีรศาสตร์

จากนิพจน์ (1.65) จะเห็นได้ว่า ความแปรปรวนของกระบวนการสุ่มแบบคงที่จะเท่ากับค่าเริ่มต้นของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ที่อยู่กึ่งกลาง: