ดอทโปรดัคของเวกเตอร์

เราจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นเราได้พิจารณาแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเวกเตอร์ หากคุณเข้ามาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเครื่องมือค้นหา ฉันขอแนะนำให้อ่านบทความเบื้องต้นข้างต้น เพราะในการที่จะเข้าใจเนื้อหา คุณต้องได้รับคำแนะนำเกี่ยวกับคำศัพท์และสัญลักษณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ และสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของหัวข้อ และในนั้นฉันจะวิเคราะห์งานทั่วไปที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในรายละเอียด นี่เป็นงานที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง พวกเขามาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - การฝึกจะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมและ "รับมือ" ในการแก้ปัญหาทั่วไปของเรขาคณิตวิเคราะห์

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน…. คงไร้เดียงสาที่จะคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอะไรอย่างอื่น นอกเหนือจากการดำเนินการที่พิจารณาแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ อีกจำนวนมากกับเวกเตอร์ ได้แก่: ดอทโปรดัคของเวกเตอร์, ผลคูณข้ามของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์. เราคุ้นเคยกับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์จากโรงเรียน ส่วนอีกสองผลิตภัณฑ์นั้นเกี่ยวข้องกับวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงแบบดั้งเดิม หัวข้อนั้นง่าย อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาหลายอย่างเป็นแบบตายตัวและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลในปริมาณที่เหมาะสมดังนั้นจึงไม่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ปัญหาทุกอย่างในครั้งเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นเชื่อฉันผู้เขียนไม่ต้องการรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์เช่นกัน =) นักเรียนที่มีความพร้อมมากขึ้นสามารถใช้สื่อการสอนอย่างเลือกเฟ้นในแง่หนึ่งเพื่อ "ได้รับ" ความรู้ที่ขาดหายไป สำหรับคุณ ฉันจะเป็นเคานต์แดรกคิวลาที่ไม่เป็นอันตรายสำหรับคุณ =)

สุดท้าย เรามาเปิดประตูกันสักหน่อยแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาเจอกัน….

ความหมายของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ งานทั่วไป

แนวคิดของผลิตภัณฑ์ดอท

ก่อนเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่เผื่อไว้อีกหน่อย พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ฟรี และ หากเราเลื่อนเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดโดยพลการเราจะได้ภาพที่หลายคนนำเสนอทางจิตใจแล้ว:

ฉันสารภาพที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์โปรดดูหนังสือเรียน แต่โดยหลักการแล้วเราไม่จำเป็นต้องใช้งานจริง นอกจากนี้ ที่นี่และที่อื่น ๆ บางครั้งฉันจะเพิกเฉยต่อเวกเตอร์ศูนย์เนื่องจากความสำคัญเชิงปฏิบัติต่ำ ฉันทำการจองโดยเฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูงซึ่งสามารถตำหนิฉันได้เนื่องจากความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความต่อไปนี้บางส่วน

สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึงเรเดียน) ในการวิเคราะห์ข้อเท็จจริงนี้เขียนเป็นอสมการสองเท่า: หรือ (เป็นเรเดียน).

ในวรรณกรรม ไอคอนมุมมักจะถูกละไว้และเขียนง่ายๆ

คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:

ตอนนี้เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด

เรามุ่งเน้นไปที่ข้อมูลที่จำเป็น:

กำหนด:ผลิตภัณฑ์สเกลาร์แสดงด้วยหรือง่ายๆ

ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: คูณเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์เพื่อให้ได้ตัวเลข แท้จริงแล้ว ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์ จะเป็นตัวเลขด้วย

ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1

วิธีการแก้:เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:

ตอบ:

ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ. ฉันแนะนำให้พิมพ์ - จำเป็นในเกือบทุกส่วนของหอคอยและต้องใช้หลายครั้ง

จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณสเกลาร์ไม่มีมิติ นั่นคือผลลัพธ์ในกรณีนี้เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้น จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์มักจะมีความหมายทางกายภาพบางอย่างนั่นคือหลังจากผลลัพธ์จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหน่วยหรือหน่วยอื่น ตัวอย่างที่ยอมรับได้ในการคำนวณการทำงานของแรงสามารถพบได้ในตำราใด ๆ (สูตรนี้เป็นผลิตภัณฑ์ดอท) งานของแรงมีหน่วยวัดเป็นจูล ดังนั้น คำตอบจะเขียนค่อนข้างเจาะจง เช่น

ตัวอย่างที่ 2

หา และมุมระหว่างเวกเตอร์คือ

นี่คือตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจด้วยตนเอง คำตอบอยู่ที่ส่วนท้ายของบทเรียน

มุมระหว่างเวกเตอร์และค่าผลิตภัณฑ์ดอท

ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 มันกลายเป็นลบ ให้เราค้นหาว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์นั้นขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น

บันทึก: เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับข้อมูลด้านล่าง ควรศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน. ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรในส่วนนี้

ตามที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใน และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:

1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: (จาก 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , และ ดอทโปรดัคจะเป็นบวก ร่วมกำกับแล้วมุมระหว่างพวกมันจะถือว่าเป็นศูนย์ และผลคูณของสเกลาร์จะเป็นบวกด้วย ตั้งแต่ จากนั้นสูตรจะง่ายขึ้น: .

2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ โง่: (จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น และตามลําดับ ดอทโปรดัคเป็นค่าลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเวกเตอร์ กำกับตรงกันข้ามจากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างกัน ปรับใช้: (180 องศา). ผลคูณสเกลาร์ก็เป็นลบเช่นกัน เนื่องจาก

ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:

1) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมแหลม อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์มีทิศทางร่วม

2) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นมุมป้าน หรืออีกทางหนึ่ง เวกเตอร์จะกำกับตรงกันข้าม

แต่กรณีที่สามน่าสนใจเป็นพิเศษ:

3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้น และ ดอทโปรดัคเป็นศูนย์: . การสนทนายังเป็นจริง: ถ้า แล้ว คำสั่งที่กะทัดรัดมีการกำหนดดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นตั้งฉากกัน. สัญกรณ์คณิตศาสตร์สั้น:

! บันทึก : ทำซ้ำ รากฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์: ไอคอนผลลัพธ์เชิงตรรกะแบบสองด้านมักจะอ่านว่า "ถ้าและเท่านั้น", "ถ้าและเฉพาะในกรณีที่" อย่างที่คุณเห็นลูกศรชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากนี้ตามนี้และในทางกลับกัน - จากนี้ตามนี้" อะไรคือความแตกต่างจากไอคอนติดตามทางเดียว ? ไอคอนอ้างสิทธิ์ ว่ามีเพียงว่า "จากนี้ตามนี้" และไม่ใช่ความจริงที่ว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามเป็นจริง ตัวอย่างเช่น: แต่ไม่ใช่สัตว์ทุกตัวที่เป็นเสือดำ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ไอคอนในกรณีนี้ได้ ในเวลาเดียวกันแทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ในขณะที่แก้ปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์นั้นมีมุมฉาก: - บันทึกดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่า .

กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่งเนื่องจากช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉากหรือไม่ เราจะแก้ปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน

คุณสมบัติของดอทโปรดักส์

ลองกลับไปที่สถานการณ์เมื่อเวกเตอร์สองตัว ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างมุมจะเป็นศูนย์ และสูตรผลคูณของสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์กำกับร่วมกับตัวมันเอง เราจึงใช้สูตรง่ายๆ ข้างต้น:

เบอร์โทร สแควร์สเกลาร์เวกเตอร์ และแสดงเป็น

ทางนี้, สแควร์สเกลาร์ของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:

จากความเท่าเทียมกันนี้ คุณจะได้สูตรคำนวณความยาวของเวกเตอร์:

แม้ว่าจะดูคลุมเครือ แต่งานของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหาเรายังต้องการ คุณสมบัติของดอทโปรดักส์.

สำหรับเวกเตอร์ตามอำเภอใจและจำนวนใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) - ถอดเปลี่ยนได้หรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์

2) - จำหน่ายหรือ กระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ พูดง่ายๆ ก็คือ คุณสามารถเปิดวงเล็บได้

3) - การรวมกันหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถนำออกจากผลคูณของสเกลาร์ได้

บ่อยครั้งที่คุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ด้วย!) ถูกมองว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจำเป็นต้องท่องจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งที่สำคัญที่นี่ทุกคนรู้อยู่แล้วตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ว่าผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงของปัจจัย:. ฉันต้องเตือนคุณว่าในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงด้วยวิธีการดังกล่าว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำสิ่งต่าง ๆ ให้ยุ่งเหยิง ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติการสลับที่ไม่ถูกต้อง เมทริกซ์เกี่ยวกับพีชคณิต. ไม่เป็นความจริงสำหรับ ผลคูณข้ามของเวกเตอร์. ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะเจาะลึกคุณสมบัติใด ๆ ที่คุณจะได้พบในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงเพื่อที่จะเข้าใจว่าอะไรทำได้และทำไม่ได้

ตัวอย่างที่ 3

.

วิธีการแก้:ก่อนอื่น มาอธิบายสถานการณ์ของเวกเตอร์กันก่อน มันเกี่ยวกับอะไร? ผลรวมของเวกเตอร์ และ เป็นเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย . การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำกับเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่น. ผักชีฝรั่งเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์และ

ดังนั้นตามเงื่อนไขจึงจำเป็นต้องหาผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ในทางทฤษฎี คุณต้องใช้สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่รู้ความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างพวกมัน แต่ในเงื่อนไข พารามิเตอร์ที่คล้ายกันมีไว้สำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะไปทางอื่น:

(1) เราแทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎการคูณของพหุนามสามารถพบทอร์นาโดลิ้นหยาบคายได้ในบทความ จำนวนเชิงซ้อนหรือ อินทิเกรตของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ. ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลคูณสเกลาร์ทำให้เราเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ.

(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราเขียนกำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์ให้แน่น: . ในเทอมที่สอง เราใช้ความสามารถในการเปลี่ยนรูปของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

(4) ต่อไปนี้เป็นคำศัพท์ที่คล้ายกัน: .

(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรสเกลาร์สแควร์ ซึ่งได้กล่าวถึงเมื่อไม่นานมานี้ ในเทอมสุดท้าย ตามลำดับ สิ่งเดียวกันทำงาน: . เทอมสองขยายตามสูตรมาตรฐาน .

(6) ใช้แทนเงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง

ตอบ:

ค่าลบของดอตโปรดัคระบุว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นไม่ชัดเจน

งานเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และ หากทราบเช่นนั้น .

ตอนนี้งานทั่วไปอีกอย่าง สำหรับสูตรความยาวเวกเตอร์ใหม่ การกำหนดที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:

ตัวอย่างที่ 5

หาความยาวของเวกเตอร์ ถ้า .

วิธีการแก้จะเป็นดังนี้:

(1) เราจัดหาการแสดงออกของเวกเตอร์

(2) เราใช้สูตรความยาว: ในขณะที่เรามีนิพจน์จำนวนเต็มเป็นเวกเตอร์ "ve"

(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับผลรวมกำลังสอง ให้ความสนใจว่ามันทำงานอย่างไรด้วยความอยากรู้อยากเห็นที่นี่: - อันที่จริง นี่คือกำลังสองของผลต่าง และจริง ๆ แล้ว มันก็เป็นเช่นนั้น ผู้ที่ต้องการจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่ในสถานที่: - มันกลายเป็นสิ่งเดียวกันจนถึงการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่

(4) สิ่งต่อไปนี้เป็นที่คุ้นเคยอยู่แล้วจากสองปัญหาก่อนหน้านี้

ตอบ:

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาว อย่าลืมระบุขนาด - "หน่วย"

ตัวอย่างที่ 6

หาความยาวของเวกเตอร์ ถ้า .

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ลองดูสูตรของเราอีกครั้ง . ตามกฎของสัดส่วน เรารีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวส่วนของด้านซ้าย:

มาเปลี่ยนชิ้นส่วนกันเถอะ:

ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? หากทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลคูณสเกลาร์ของพวกมัน ก็จะสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ และตามมาด้วยมุมนั่นเอง

ผลคูณสเกลาร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข. ความยาวเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่ ตัวเลข เศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: จากนั้นใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้หามุมได้ง่าย: .

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และ ถ้าทราบว่า

วิธีการแก้:เราใช้สูตร:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณมีการใช้เทคนิค - การกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน เพื่อขจัดความไม่ลงตัว ฉันจึงคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย

ดังนั้นหาก , แล้ว:

สามารถหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้โดย ตารางตรีโกณมิติ. แม้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ในปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ หมีที่ดูเงอะงะบางตัวมักจะปรากฏบ่อยกว่ามาก และต้องหาค่าของมุมโดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข ในความเป็นจริงเราจะเห็นภาพนี้ครั้งแล้วครั้งเล่า

ตอบ:

อย่าลืมระบุขนาด - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว เพื่อที่จะ "ลบคำถามทั้งหมด" โดยเจตนา ฉันชอบที่จะระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่จะมีเงื่อนไข จำเป็นต้องแสดงคำตอบเป็นเรเดียนหรือองศาเท่านั้น)

ตอนนี้คุณจะสามารถรับมือกับงานที่ยากขึ้นได้ด้วยตัวคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 7*

กำหนดเป็นความยาวของเวกเตอร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์ หามุมระหว่างเวกเตอร์ , .

งานไม่ยากเท่าหลายทาง
ลองวิเคราะห์อัลกอริทึมการแก้ปัญหา:

1) ตามเงื่อนไข จำเป็นต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์และ ดังนั้นคุณต้องใช้สูตร .

2) เราพบผลคูณของสเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)

3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 5, 6)

4) การสิ้นสุดของการแก้ปัญหาตรงกับตัวอย่างหมายเลข 7 - เรารู้จำนวน ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย:

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบท้ายบทเรียน

ส่วนที่สองของบทเรียนเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ดอทโปรดักต์เดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในส่วนแรก

ดอทโปรดัคของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดในรูปแบบปกติ

ตอบ:

ไม่จำเป็นต้องพูดว่าการจัดการกับพิกัดนั้นน่าพอใจกว่ามาก

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้า

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่ต้องนับ แต่ให้นำสามเท่าออกจากผลคูณสเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยผลคูณสุดท้าย เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

ในตอนท้ายของย่อหน้า ตัวอย่างการคำนวณความยาวของเวกเตอร์เร้าใจ:

ตัวอย่างที่ 15

ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ , ถ้า

วิธีการแก้:วิธีการของส่วนก่อนหน้านี้แนะนำตัวเองอีกครั้ง: แต่มีวิธีอื่น:

มาหาเวกเตอร์กันเถอะ:

และความยาวตามสูตรเล็กน้อย :

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่เกี่ยวข้องเลย!

การคำนวณความยาวของเวกเตอร์เป็นเรื่องไร้สาระ:
หยุด. ทำไมไม่ใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติความยาวที่ชัดเจนของเวกเตอร์ ความยาวของเวกเตอร์บอกอะไรได้บ้าง? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางตรงกันข้าม แต่ไม่สำคัญเพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอน ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
- เครื่องหมายของโมดูล "กิน" ลบจำนวนที่เป็นไปได้

ทางนี้:

ตอบ:

สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนเพื่อให้สูตรที่ได้มาก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ แสดงในรูปของพิกัดเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ , กำหนดโดยวิธีปกติ แสดงโดยสูตร:
.

โคไซน์ของมุมระหว่างสเปซเวคเตอร์, กำหนดโดยวิธีออร์โทนอร์มัล , แสดงโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 16

ให้จุดยอดสามจุดของรูปสามเหลี่ยม หา (มุมยอด ).

วิธีการแก้:ตามเงื่อนไขแล้ว ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ก็ยัง:

มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว เราจำการกำหนดมุมของโรงเรียนได้ทันที: - ความสนใจเป็นพิเศษ กลางจดหมาย - นี่คือจุดสุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับก็สามารถเขียนอย่างง่ายๆ

จากรูปวาด เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมนั้นตรงกับมุมระหว่างเวกเตอร์และ กล่าวคือ: .

เป็นที่พึงปรารถนาที่จะเรียนรู้วิธีดำเนินการวิเคราะห์ทางจิตใจ

มาหาเวกเตอร์กันเถอะ:

ลองคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

และความยาวของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุม:

มันเป็นคำสั่งของงานที่ฉันแนะนำให้หุ่น ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในหนึ่งบรรทัด":

นี่คือตัวอย่างของค่าโคไซน์ที่ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ยังไม่สิ้นสุด ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นมากนักในการกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วน

มาหามุมกัน:

หากคุณดูที่ภาพวาด ผลลัพธ์ที่ได้ค่อนข้างน่าเชื่อถือ ในการตรวจสอบมุมสามารถวัดได้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้การเคลือบจอภาพเสียหาย =)

ตอบ:

ในคำตอบอย่าลืมว่า ถามเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าโดยประมาณของมุม: พบกับเครื่องคิดเลข

ผู้ที่ชื่นชอบกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุมต่างๆ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 17

สามเหลี่ยมกำหนดในอวกาศโดยพิกัดของจุดยอด หามุมระหว่างด้านและ

นี่คือตัวอย่างที่ทำเอง เฉลยและคำตอบฉบับเต็มท้ายบทเรียน

ส่วนสุดท้ายเล็ก ๆ จะอุทิศให้กับการประมาณการซึ่งผลิตภัณฑ์สเกลาร์นั้น "เกี่ยวข้อง" ด้วย:

การฉายภาพเวกเตอร์บนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางเวกเตอร์

พิจารณาเวกเตอร์และ:

เราฉายเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์ ดังนั้นเราจึงละเว้นตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากต่อเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองจินตนาการว่ารังสีของแสงตกลงในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ การฉายภาพเวกเตอร์ไปยังเวกเตอร์คือความยาวของส่วน นั่นคือ PROJECTION เป็นตัวเลข

NUMBER นี้มีสัญลักษณ์ดังนี้ , "เวกเตอร์ขนาดใหญ่" หมายถึงเวกเตอร์ ซึ่งโครงการ "เวกเตอร์ตัวห้อยขนาดเล็ก" หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งเป็นโครงการ

รายการอ่านดังนี้: "เส้นโครงของเวกเตอร์ "a" บนเวกเตอร์ "เป็น""

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "be" และเวกเตอร์ "a" จะถูกฉายแล้ว ไปยังทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"ง่ายๆ - บนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "be" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกแยกออกจากกันในอาณาจักรที่ 30 - มันจะยังคงฉายบนเส้นที่มีเวกเตอร์ "be" ได้อย่างง่ายดาย

ถ้าหักมุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) จากนั้น

ถ้าเวกเตอร์ มุมฉากจากนั้น (เส้นโครงคือจุดที่ถือว่ามิติเป็นศูนย์)

ถ้าหักมุมระหว่างเวกเตอร์ โง่(ในรูปให้จัดเรียงลูกศรของเวกเตอร์ใหม่) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)

แยกเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดเดียว:

เห็นได้ชัดว่าเมื่อย้ายเวกเตอร์ การฉายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลง

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ (ต่อไปนี้ในข้อความของการร่วมทุน) เพื่อนรัก! ข้อสอบคณิตศาสตร์รวมกลุ่มโจทย์แก้เวกเตอร์ เราได้พิจารณาปัญหาบางอย่างแล้ว คุณสามารถดูได้ในหมวดหมู่ "เวกเตอร์" โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีของเวกเตอร์นั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือต้องศึกษามันอย่างสม่ำเสมอ การคำนวณและการดำเนินการกับเวกเตอร์ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนั้นง่าย สูตรไม่ซับซ้อน มองเข้าไปใน . ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์งานเกี่ยวกับการร่วมทุนของเวกเตอร์ (รวมอยู่ในข้อสอบ) ตอนนี้ "การแช่" ในทฤษฎี:

ชม ในการหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้น

และต่อไป:

*ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส) กำหนดดังนี้:

สูตรนี้ต้องจำ!!!

แสดงมุมระหว่างเวกเตอร์:

เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 0(หรือเป็นเรเดียนจาก 0 ถึง Pi)

เราสามารถหาข้อสรุปเกี่ยวกับเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ได้ ความยาวของเวกเตอร์เป็นบวกอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์จึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์

กรณีที่เป็นไปได้:

1. หากมุมระหว่างเวกเตอร์มีความคมชัด (ตั้งแต่ 0 0 ถึง 90 0) ค่าโคไซน์ของมุมจะมีค่าเป็นบวก

2. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน (จาก 90 0 ถึง 180 0) ดังนั้นโคไซน์ของมุมจะมีค่าเป็นลบ

*ที่ศูนย์องศา นั่นคือเมื่อเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกัน โคไซน์จะเท่ากับ 1 ดังนั้น ผลลัพธ์จะเป็นบวก

ที่ 180 o นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม โคไซน์จะเท่ากับลบ 1และผลลัพธ์จะเป็นลบ

ตอนนี้จุดสำคัญ!

ที่ 90 o นั่นคือ เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน โคไซน์จะเป็นศูนย์ และด้วยเหตุนี้กิจการร่วมค้าจึงเป็นศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้ (ผลสรุป) ใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่เรากำลังพูดถึงการจัดเรียงเวกเตอร์ร่วมกันรวมถึงปัญหาที่รวมอยู่ในงานเปิดทางคณิตศาสตร์

เรากำหนดคำสั่ง: ผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ที่กำหนดอยู่บนเส้นตั้งฉาก

ดังนั้น สูตรสำหรับเวกเตอร์ SP คือ:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์หรือพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เราสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้เสมอ:

พิจารณางาน:

27724 จงหาผลคูณภายในของเวกเตอร์ a และ b

เราสามารถหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ได้โดยใช้หนึ่งในสองสูตร:

ไม่ทราบมุมระหว่างเวกเตอร์ แต่เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดายแล้วใช้สูตรแรก เนื่องจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งสองตรงกับจุดกำเนิด พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด นั่นคือ

วิธีการหาพิกัดของเวกเตอร์ได้อธิบายไว้ใน

เราคำนวณ:

คำตอบ: 40

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์และใช้สูตร:

ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ จำเป็นต้องลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ซึ่งหมายความว่า

เราคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์:

คำตอบ: 40

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b ให้คำตอบของคุณเป็นองศา

ให้พิกัดของเวกเตอร์มีรูปแบบ:

ในการหามุมระหว่างเวกเตอร์ เราใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์:

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์:

เพราะเหตุนี้:

พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้คือ:

ลองใส่ลงในสูตร:

มุมระหว่างเวกเตอร์คือ 45 องศา

คำตอบ: 45

ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์จะถูกคำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด
. ในทำนองเดียวกัน ความยาวของเวกเตอร์ n มิติจะถูกคำนวณ
. หากเราจำได้ว่าแต่ละพิกัดของเวกเตอร์คือความแตกต่างระหว่างพิกัดของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น เราจะได้สูตรสำหรับความยาวของส่วน นั่นคือ ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุด

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์สองตัวบนระนาบเป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
. สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว = (x 1, x 2) และ = (y 1, y 2) เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่ตรงกันของเวกเตอร์เหล่านี้:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2

ในปริภูมิ n มิติ ดอทโปรดัคของเวกเตอร์ X= (x 1 , x 2 ,...,x n) และ Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) ถูกกำหนดเป็นผลรวมของผลคูณ ของพิกัดที่เกี่ยวข้อง: X*Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n

การดำเนินการคูณเวกเตอร์ซึ่งกันและกันนั้นคล้ายกับการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ ขอเน้นย้ำว่าผลลัพธ์จะเป็นตัวเลข ไม่ใช่เวกเตอร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (สัจพจน์):

1) คุณสมบัติการสลับที่: X*Y=Y*X

2) คุณสมบัติการกระจายที่เกี่ยวข้องกับการบวก: X(Y+Z) =X*Y+X*Z

3) สำหรับจำนวนจริงใดๆ 
.

4)
ถ้า X ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์
ถ้า X เป็นเวกเตอร์ศูนย์

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้นที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ได้รับซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ที่สอดคล้องกันทั้งสี่เรียกว่า เวกเตอร์เชิงเส้นแบบยุคลิดช่องว่าง.

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อคูณเวกเตอร์ใดๆ ด้วยตัวเอง เราจะได้กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์นั้น มันแตกต่างกัน ความยาวเวกเตอร์สามารถกำหนดเป็นสแควร์รูทของสเกลาร์สแควร์:

ความยาวของเวกเตอร์มีคุณสมบัติดังนี้

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X| โดยที่  เป็นจำนวนจริง

3) |X*Y||X|*|Y| ( อสมการ Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( อสมการสามเหลี่ยม).

มุม  ระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิ n มิติถูกกำหนดตามแนวคิดของผลคูณสเกลาร์ จริงๆ ถ้า
, แล้ว
. เศษส่วนนี้ไม่เกินหนึ่ง (ตามอสมการ Cauchy-bunyakovsky) ดังนั้นจากที่นี่คุณสามารถหา 

เวกเตอร์ทั้งสองเรียกว่า มุมฉากหรือ ตั้งฉากถ้าดอทโปรดัคเป็นศูนย์ จากนิยามของดอทโปรดัคที่ว่าเวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ใดๆ ถ้าเวกเตอร์มุมฉากทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ก็จำเป็นต้อง cos= 0 เช่น=/2 = 90 o

พิจารณารูปที่ 7.4 อีกครั้ง จากรูปจะเห็นว่าโคไซน์ของมุม  ของความเอียงของเวกเตอร์กับแกนนอนสามารถคำนวณได้ดังนี้
, และโคไซน์ของมุม  ของการเอียงของเวกเตอร์ไปยังแกนตั้งเป็น
. หมายเลขเหล่านี้เรียกว่า โคไซน์ทิศทาง. เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าผลรวมของกำลังสองของโคไซน์ทิศทางจะเท่ากับหนึ่งเสมอ: cos 2 +cos 2 = 1 ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดของโคไซน์ทิศทางสำหรับช่องว่างที่มีขนาดสูงกว่าได้

พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

สำหรับเวกเตอร์ เราสามารถกำหนดแนวคิดได้ การรวมกันเชิงเส้น,การพึ่งพาเชิงเส้นและ ความเป็นอิสระคล้ายกับการนำแนวคิดเหล่านี้มาใช้กับแถวเมทริกซ์ นอกจากนี้ยังเป็นความจริงที่ว่าหากเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์สามารถแสดงเชิงเส้นในแง่ของเวกเตอร์อื่นๆ ได้ (กล่าวคือ มันคือผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน) ข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ แล้วเวกเตอร์เหล่านี้ทั้งหมดในการรวมจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

โปรดทราบว่าหากในบรรดาเวกเตอร์ a l , a 2 ,...a m มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ คอลเลกชันของเวกเตอร์นี้จำเป็นต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แน่นอน เราได้  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0 ตัวอย่างเช่น ถ้าเราเทียบค่าสัมประสิทธิ์  j กับเวกเตอร์ศูนย์ต่อหนึ่ง และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ ไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่จะเท่ากับศูนย์ ( j ≠ 0)

นอกจากนี้ หากเวกเตอร์บางตัวจากเซตของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เวกเตอร์เหล่านี้ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แท้จริงแล้ว หากเวกเตอร์บางตัวให้เวกเตอร์เป็นศูนย์ในการรวมกันเชิงเส้นกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นเวกเตอร์ที่เหลือซึ่งคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์สามารถบวกเข้ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ได้ และจะยังคงเป็นเวกเตอร์ศูนย์

จะทราบได้อย่างไรว่าเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น?

ตัวอย่างเช่น ลองใช้เวกเตอร์สามตัว: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) และ a 3 = (3, 1, 4, 3) มาสร้างเมทริกซ์จากพวกมันซึ่งพวกมันจะเป็นคอลัมน์:

จากนั้นคำถามของการพึ่งพาเชิงเส้นจะลดลงเพื่อกำหนดอันดับของเมทริกซ์นี้ ถ้ามันเท่ากับสามแสดงว่าคอลัมน์ทั้งสามนั้นเป็นอิสระเชิงเส้นและถ้ามันน้อยกว่าก็จะบ่งบอกถึงการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์

เนื่องจากอันดับคือ 2 เวกเตอร์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหาสามารถเริ่มต้นด้วยการโต้แย้งตามคำจำกัดความของความเป็นอิสระเชิงเส้น กล่าวคือ เขียนสมการเวกเตอร์  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 ซึ่งจะอยู่ในรูปแบบ l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0) จากนั้นเราจะได้ระบบสมการ:

วิธีแก้ปัญหาของระบบนี้โดยวิธี Gauss จะลดลงเพื่อให้ได้เมทริกซ์ขั้นตอนเดียวกัน แต่จะมีสมาชิกฟรีอีกหนึ่งคอลัมน์เท่านั้น พวกมันทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นของศูนย์ไม่สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้ ระบบสมการที่แปลงแล้วจะอยู่ในรูปแบบ:

คำตอบของระบบนี้จะเป็น (-s; -s; s) โดยที่ s คือจำนวนที่กำหนดเอง ตัวอย่างเช่น (-1;-1;1) ซึ่งหมายความว่าถ้าเราใช้  l \u003d -1;  2 \u003d -1 และ  3 \u003d 1 ดังนั้น  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0 เช่น เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นจริง ๆ

จากตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าเราใช้จำนวนเวกเตอร์มากกว่าขนาดของพื้นที่ พวกมันจะต้องขึ้นอยู่กับเชิงเส้น อันที่จริง ถ้าเราใช้เวกเตอร์ห้าตัวในตัวอย่างนี้ เราจะได้เมทริกซ์ขนาด 4 x 5 ซึ่งลำดับของเวกเตอร์ต้องไม่เกินสี่ตัว เหล่านั้น. จำนวนสูงสุดของคอลัมน์อิสระเชิงเส้นจะยังคงไม่เกินสี่ เวกเตอร์สี่มิติสอง สาม หรือสี่ตัวอาจเป็นอิสระเชิงเส้น แต่ห้าหรือมากกว่าอาจไม่ ดังนั้น เวกเตอร์ไม่เกินสองตัวสามารถเป็นอิสระเชิงเส้นในระนาบ เวกเตอร์สามตัวในปริภูมิสองมิติจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในปริภูมิสามมิติ เวกเตอร์สี่ตัว (หรือมากกว่า) ใดๆ จะขึ้นอยู่กับเส้นตรงเสมอ เป็นต้น

นั่นเป็นเหตุผล มิติช่องว่างสามารถกำหนดเป็นจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่สามารถอยู่ในนั้นได้

เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น n ตัวของปริภูมิ n มิติ R เรียกว่า พื้นฐานพื้นที่นี้

ทฤษฎีบท. เวกเตอร์ปริภูมิเชิงเส้นแต่ละตัวสามารถแสดงเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐาน และยิ่งกว่านั้นด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

การพิสูจน์. ให้เวกเตอร์ e l , e 2 ,...e n สร้างฐานของปริภูมิ n มิติ R ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ X ใดๆ เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ เมื่อรวมกับเวกเตอร์ X แล้ว จำนวนเวกเตอร์จะกลายเป็น (n + 1) เวกเตอร์ (n + 1) เหล่านี้จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น นั่นคือ มีตัวเลข l , 2 ,..., n , ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันเช่นนั้น

 ล ล + 2 จ 2 +...+ n n +Х = 0

ในกรณีนี้ 0 เนื่องจาก มิฉะนั้นเราจะได้ l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่ทั้งหมด l , 2 ,..., n เท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์พื้นฐานจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้น เราสามารถแบ่งทั้งสองข้างของสมการแรกออกเป็น :

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n

โดยที่ x j = -( j /),
.

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าการแทนค่าผสมเชิงเส้นนั้นไม่ซ้ำกัน สมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม เช่น มีตัวแทนอื่น:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

ลบจากระยะนิพจน์ที่ได้รับก่อนหน้านี้:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) จ n

เนื่องจากเวกเตอร์พื้นฐานเป็นอิสระเชิงเส้น เราจึงได้ (y j - x j) = 0
เช่น y j = x j . การแสดงออกจึงเหมือนกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

นิพจน์ X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n เรียกว่า การสลายตัวเวกเตอร์ X ตามพื้นฐาน e l , e 2 ,...e n และตัวเลข x l , x 2 ,... x n - พิกัดเวกเตอร์ x เทียบกับฐานนี้, หรือในฐานนี้

สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของปริภูมิแบบยุคลิด n มิติอยู่ในมุมฉากแบบคู่ อันที่จริง ลองคูณทั้งสองข้างของสมการ l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ด้วยเวกเตอร์ใดๆ e i เราได้  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 สำหรับ i .

เวกเตอร์ e l , e 2 ,...e n ของรูปแบบปริภูมิแบบยุคลิด n มิติ พื้นฐานปกติ, ถ้าเวกเตอร์เหล่านี้เป็นคู่ตั้งฉากมุมฉากและบรรทัดฐานของแต่ละเวกเตอร์เท่ากับหนึ่ง, เช่น ถ้า e i *e j = 0 สำหรับ i≠ji |e i | = 1 สำหรับ i

ทฤษฎีบท (โดยไม่ต้องพิสูจน์). ทุกปริภูมิแบบยุคลิด n มิติมีพื้นฐานทางออร์โธนอร์มัล

ตัวอย่างของฐานออร์โธนอร์มัลคือระบบของเวกเตอร์ n หน่วย e i ซึ่งองค์ประกอบ i-th เท่ากับหนึ่ง และส่วนประกอบที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ แต่ละเวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ออร์ต. ตัวอย่างเช่น vector-orts (1, 0, 0), (0, 1, 0) และ (0, 0, 1) สร้างพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ