อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1 ตามแนวชั้นปิด ปริญญาโท

ปัญหามวลเส้นโค้งให้ที่แต่ละจุดของเส้นโค้งวัสดุเรียบเป็นชิ้นๆ L: (AB) ระบุความหนาแน่นของเส้นโค้งนั้น หามวลของเส้นโค้ง.

ให้เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับที่เราทำเมื่อกำหนดมวลของพื้นที่ราบ ( อินทิกรัลสองเท่า) และตัวเชิงพื้นที่ (อินทิกรัลสามตัว)

1. เราจัดพาร์ติชันของพื้นที่ส่วนโค้ง L ให้เป็นองค์ประกอบ - ส่วนโค้งระดับประถมศึกษา เพื่อให้องค์ประกอบเหล่านี้ไม่มีร่วมกัน จุดภายในและ
(เงื่อนไข A )

2. ให้เราทำเครื่องหมาย "จุดที่ทำเครื่องหมาย" M i บนองค์ประกอบของพาร์ติชันและคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้น

3. ลองสร้างผลรวมอินทิกรัลกัน
, ที่ไหน - ความยาวส่วนโค้ง (โดยปกติแล้วจะใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับส่วนโค้งและความยาวของส่วนโค้ง) นี่คือค่าโดยประมาณสำหรับมวลของเส้นโค้ง การทำให้ง่ายขึ้นคือเราถือว่าความหนาแน่นของส่วนโค้งคงที่ในแต่ละองค์ประกอบ และนำองค์ประกอบจำนวนจำกัดมา

ก้าวไปสู่ขีดจำกัดที่กำหนดให้
(เงื่อนไข B ) เราจะได้อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทแรกเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล:

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ 10 .

ให้ฟังก์ชัน
ต่อเนื่องกันบนส่วนโค้งเรียบเป็นชิ้น L 11 แล้วอินทิกรัลเชิงโค้งชนิดแรกมีอยู่เป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล

ความคิดเห็นขีดจำกัดนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

วิธีการเลือกพาร์ติชัน ตราบใดที่เป็นไปตามเงื่อนไข A

การเลือก "จุดที่ทำเครื่องหมาย" บนองค์ประกอบพาร์ติชัน

วิธีการปรับแต่งพาร์ติชัน ตราบใดที่เป็นไปตามเงื่อนไข B

คุณสมบัติของอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1

1. ความเป็นเชิงเส้นก) คุณสมบัติการซ้อนทับ

b) คุณสมบัติของความเป็นเนื้อเดียวกัน
.

การพิสูจน์. ให้เราเขียนผลบวกอินทิกรัลของอินทิกรัลทางด้านซ้ายของค่าอินทิกรัลกัน เนื่องจากผลรวมอินทิกรัลมีจำนวนเทอมจำกัด เราจึงไปยังผลรวมอินทิกรัลทางด้านขวามือของค่าเท่ากัน จากนั้นเราจะผ่านไปยังขีดจำกัดตามทฤษฎีบทในการผ่านไปยังขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันที่เราได้รับ ผลลัพธ์ที่ต้องการ.

2. การเติมแต่งถ้า
, ที่
=
+

การพิสูจน์. ให้เราเลือกพาร์ติชันของขอบเขต L เพื่อไม่ให้องค์ประกอบพาร์ติชันใด (เริ่มต้นและเมื่อปรับแต่งพาร์ติชัน) มีทั้งองค์ประกอบ L 1 และองค์ประกอบ L 2 ในเวลาเดียวกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ (หมายเหตุถึงทฤษฎีบท) ขั้นต่อไป การพิสูจน์จะดำเนินการโดยใช้ผลรวมปริพันธ์ ดังในย่อหน้าที่ 1

3.
.ที่นี่ – ความยาวส่วนโค้ง .

4. ถ้าอยู่บนส่วนโค้ง ความไม่เท่าเทียมกันก็เป็นที่พอใจแล้ว

การพิสูจน์. ลองเขียนอสมการของผลรวมอินทิกรัลแล้วไปยังขีดจำกัดกัน

โปรดทราบว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปได้

5. ทฤษฎีบทการประมาณค่า

หากมีค่าคงที่
, บางสิ่งบางอย่าง

การพิสูจน์. บูรณาการความไม่เท่าเทียมกัน
(คุณสมบัติ 4) เราได้รับ
- โดยคุณสมบัติ 1 ของค่าคงที่
สามารถดึงออกมาจากใต้อินทิกรัลได้ การใช้คุณสมบัติ 3 เราได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ

6. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย(ค่าของอินทิกรัล)

มีประเด็นคือ
, อะไร

การพิสูจน์. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น
อย่างต่อเนื่องในช่วงปิด ชุดจำกัดแล้วส่วนที่ไม่สิ้นสุดของมันก็มีอยู่จริง
และขอบด้านบน
- ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ หารทั้งสองข้างด้วย L เราจะได้
- แต่จำนวน
ล้อมรอบระหว่างด้านล่างและ ขอบด้านบนฟังก์ชั่น ตั้งแต่ฟังก์ชั่น
มีความต่อเนื่องบนเซตขอบเขตปิด L จากนั้น ณ จุดใดจุดหนึ่ง
ฟังก์ชันจะต้องยอมรับค่านี้ เพราะฉะนั้น,
.

การบรรยายครั้งที่ 5 อินทิกรัลเชิงโค้งของชนิดที่ 1 และ 2 คุณสมบัติของพวกมัน..

ปัญหามวลเส้นโค้ง อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1

ขอให้เราดำเนินการในลักษณะเดียวกับที่เราทำเมื่อหามวลของบริเวณเรียบ (อินทิกรัลสองเท่า) และวัตถุเชิงพื้นที่ (อินทิกรัลสามตัว)

1. เราจัดพาร์ติชั่นของขอบเขตส่วนโค้ง L ให้เป็นองค์ประกอบ - ส่วนโค้งระดับประถมศึกษา เพื่อให้องค์ประกอบเหล่านี้ไม่มีจุดภายในร่วมกัน และ( เงื่อนไข A )

3. มาสร้างผลรวมอินทิกรัล โดยที่ คือความยาวของส่วนโค้ง (โดยปกติจะใช้สัญกรณ์เดียวกันสำหรับส่วนโค้งและความยาวของส่วนโค้ง) นี่คือค่าโดยประมาณสำหรับมวลของเส้นโค้ง การทำให้ง่ายขึ้นคือเราถือว่าความหนาแน่นของส่วนโค้งคงที่ในแต่ละองค์ประกอบ และนำองค์ประกอบจำนวนจำกัดมา

ก้าวไปสู่ขีดจำกัดที่กำหนดให้ (เงื่อนไข B ) เราจะได้อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทแรกเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล:

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่

ปล่อยให้ฟังก์ชันต่อเนื่องกันบนส่วนโค้งเรียบเป็นชิ้นๆ L จากนั้นอินทิกรัลเส้นชนิดแรกจะมีค่าเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล

ความคิดเห็นขีดจำกัดนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

คุณสมบัติของอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1

1. ความเป็นเชิงเส้น
ก) คุณสมบัติการซ้อนทับ

b) คุณสมบัติของความเป็นเนื้อเดียวกัน .

การพิสูจน์. ให้เราเขียนผลบวกอินทิกรัลของอินทิกรัลทางด้านซ้ายของค่าอินทิกรัลกัน เนื่องจากผลรวมอินทิกรัลมีจำนวนเทอมจำกัด เราจึงไปยังผลรวมอินทิกรัลทางด้านขวามือของค่าเท่ากัน จากนั้นเราผ่านไปยังขีด จำกัด โดยใช้ทฤษฎีบทในการผ่านไปยังขีด จำกัด ของความเท่าเทียมกันเราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

2. การเติมแต่ง
ถ้า , ที่ = +

3. นี่คือความยาวส่วนโค้ง

4. ถ้าส่วนโค้งเป็นที่พอใจแล้ว

การพิสูจน์. ลองเขียนอสมการของผลรวมอินทิกรัลแล้วไปยังขีดจำกัดกัน

โปรดทราบว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปได้

5. ทฤษฎีบทการประมาณค่า

หากมีค่าคงที่เช่นนั้น

การพิสูจน์. บูรณาการความไม่เท่าเทียมกัน (คุณสมบัติ 4) เราได้รับ - ตามคุณสมบัติ 1 ค่าคงที่สามารถลบออกจากปริพันธ์ได้ การใช้คุณสมบัติ 3 เราได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

6. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย(ค่าของอินทิกรัล)

มีประเด็นคือ , อะไร

การพิสูจน์. เนื่องจากฟังก์ชันมีความต่อเนื่องบนเซตขอบเขตปิด ดังนั้นค่า infimum จึงมีอยู่ และขอบด้านบน - ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ หารทั้งสองข้างด้วย L เราจะได้ - แต่จำนวน ล้อมรอบระหว่างขอบเขตล่างและบนของฟังก์ชัน เนื่องจากฟังก์ชันมีความต่อเนื่องบนเซตขอบเขตปิด L ดังนั้น ณ จุดหนึ่งฟังก์ชันจึงต้องใช้ค่านี้ เพราะฉะนั้น, .

การคำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดที่หนึ่ง

ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ส่วนโค้ง L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t) ให้ t 0 ตรงกับจุด A และ t 1 ตรงกับจุด B จากนั้นอินทิกรัลเส้นของประเภทแรกลดลงเป็น อินทิกรัลที่แน่นอน (- สูตรที่รู้จักตั้งแต่ภาคการศึกษาที่ 1 สำหรับการคำนวณส่วนต่างของความยาวส่วนโค้ง):

ตัวอย่าง.คำนวณมวลของการหมุนหนึ่งครั้งของเกลียวที่เป็นเนื้อเดียวกัน (ความหนาแน่นเท่ากับ k):

อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 2

ปัญหาการทำงานของกำลัง.

แรงผลิตได้เท่าไร?เอฟ(ม) เมื่อย้ายจุดมตามแนวโค้งเอบี?

ถ้าส่วนโค้ง AB เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง และแรงมีค่าคงที่ทั้งขนาดและทิศทางเมื่อเคลื่อนที่จุด M ไปตามส่วนโค้ง AB งานก็สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร โดยที่ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ ใน กรณีทั่วไปสูตรนี้สามารถนำไปใช้สร้างผลรวมอินทิกรัล โดยสมมติว่ามีแรงคงที่ต่อองค์ประกอบของส่วนโค้งที่มีความยาวน้อยเพียงพอ แทนที่จะเป็นความยาวขององค์ประกอบเล็กๆ ของส่วนโค้ง คุณสามารถใช้ความยาวของคอร์ดที่ซับมันได้ เนื่องจากปริมาณเหล่านี้เป็นปริมาณที่น้อยที่สุดภายใต้เงื่อนไข (ภาคการศึกษาแรก)

1. เราจัดการแบ่งส่วนโค้งของขอบเขต AB ออกเป็นองค์ประกอบ - ส่วนโค้งระดับประถมศึกษา เพื่อให้องค์ประกอบเหล่านี้ไม่มีจุดภายในร่วมกัน และ( เงื่อนไข A )

3. ลองสร้างผลรวมอินทิกรัลกัน โดยที่เวกเตอร์กำกับไปตามคอร์ดที่อยู่ใต้ -arc

4.ไปให้ถึงขีดจำกัดที่จัดไว้ให้ (เงื่อนไข B ) เราได้อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่สองเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล (และงานของแรง):

. มักจะแสดงแทน

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่

ปล่อยให้ฟังก์ชันเวกเตอร์ต่อเนื่องกันบนส่วนโค้งเรียบเป็นชิ้นๆ L แล้วอินทิกรัลเชิงโค้งของชนิดที่สองจะมีอยู่เป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล

ความคิดเห็นขีดจำกัดนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

วิธีการเลือกพาร์ติชัน ตราบใดที่เป็นไปตามเงื่อนไข A

การเลือก "จุดที่ทำเครื่องหมาย" บนองค์ประกอบพาร์ติชัน

วิธีการปรับแต่งพาร์ติชัน ตราบใดที่เป็นไปตามเงื่อนไข B

คุณสมบัติของอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 2

1. ความเป็นเชิงเส้น
ก) คุณสมบัติการซ้อนทับ

b) คุณสมบัติของความเป็นเนื้อเดียวกัน .

การพิสูจน์. ให้เราเขียนผลบวกอินทิกรัลของอินทิกรัลทางด้านซ้ายของค่าอินทิกรัลกัน เนื่องจากในผลรวมปริพันธ์จำนวนเทอมมีจำกัด โดยใช้คุณสมบัติ ผลิตภัณฑ์ดอทมาดูผลบวกอินทิกรัลทางด้านขวามือของค่าเท่ากันกัน จากนั้นเราผ่านไปยังขีด จำกัด โดยใช้ทฤษฎีบทในการผ่านไปยังขีด จำกัด ของความเท่าเทียมกันเราได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

2. การเติมแต่ง
ถ้า , ที่ = + .

การพิสูจน์. ให้เราเลือกพาร์ติชันของขอบเขต L เพื่อไม่ให้องค์ประกอบของพาร์ติชัน (เริ่มต้นและเมื่อปรับแต่งพาร์ติชัน) มีทั้งองค์ประกอบ L 1 และองค์ประกอบ L 2 พร้อมกัน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ (หมายเหตุถึงทฤษฎีบท) ขั้นต่อไป การพิสูจน์จะดำเนินการโดยใช้ผลรวมปริพันธ์ ดังในย่อหน้าที่ 1

3. การวางแนว

= -

การพิสูจน์. อินทิกรัลเหนือส่วนโค้ง –L เช่น ในทิศทางลบของการเคลื่อนที่ผ่านส่วนโค้ง จะมีขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลในเงื่อนไขที่มี () แทน นำ “ลบ” ออกจากผลคูณสเกลาร์และจากผลรวม จำนวนจำกัดเงื่อนไขที่ผ่านถึงขีด จำกัด เราได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

ขั้นต่ำทางทฤษฎี
ปริพันธ์ของเส้นโค้งและพื้นผิวมักพบในวิชาฟิสิกส์ มีสองประเภท โดยประเภทแรกจะกล่าวถึงที่นี่ นี้
ประเภทของอินทิกรัลถูกสร้างขึ้นตาม โครงการทั่วไปโดยที่อินทิกรัลที่แน่นอน สองและสามถูกนำมาใช้ ให้เรานึกถึงโครงร่างนี้โดยย่อ
มีวัตถุบางอย่างที่ดำเนินการบูรณาการ (มิติเดียว สองมิติ หรือสามมิติ) วัตถุนี้แตกออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ
มีการเลือกจุดในแต่ละส่วน ที่แต่ละจุด ค่าของปริพันธ์จะถูกคำนวณและคูณด้วยการวัดของส่วนนั้น
เป็นของ จุดที่กำหนดให้(ความยาวของส่วน พื้นที่ หรือปริมาตรของพื้นที่บางส่วน) จากนั้นผลิตภัณฑ์ดังกล่าวทั้งหมดจะถูกสรุปและเป็นไปตามขีดจำกัด
การเปลี่ยนผ่านไปสู่การแบ่งวัตถุออกเป็นส่วนเล็กๆ ขีดจำกัดผลลัพธ์เรียกว่าอินทิกรัล
1. คำจำกัดความของอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1
ลองพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งถือว่าสามารถแก้ไขได้ ให้เรานึกถึงความหมายนี้โดยคร่าวๆ
เส้นขาดที่มีลิงก์เล็กๆ เล็กๆ น้อยๆ สามารถเขียนลงในเส้นโค้งได้ และในขีดจำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนมากลิงค์ ความยาวของเส้นขาดควรคงอยู่
สุดท้าย. เส้นโค้งแบ่งออกเป็นส่วนโค้งบางส่วนของความยาว และเลือกจุดบนส่วนโค้งแต่ละส่วน อยู่ระหว่างการรวบรวมผลงาน
การรวมจะดำเนินการในส่วนโค้งบางส่วนทั้งหมด - จากนั้นการผ่านไปยังขีด จำกัด จะดำเนินการโดยมีแนวโน้มที่ความยาวของความยาวที่ยิ่งใหญ่ที่สุด
จากส่วนโค้งบางส่วนถึงศูนย์ ลิมิตคืออินทิกรัลเชิงโค้งชนิดที่ 1
.
คุณลักษณะที่สำคัญของอินทิกรัลนี้ ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความโดยตรง คือความเป็นอิสระจากทิศทางของอินทิกรัล กล่าวคือ
.
2. คำจำกัดความของอินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่ 1
พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนพื้นผิวเรียบหรือเรียบเป็นชิ้น ๆ พื้นผิวแบ่งออกเป็นพื้นที่บางส่วน
กับพื้นที่จะมีการเลือกจุดในแต่ละพื้นที่ดังกล่าว อยู่ระหว่างการรวบรวมผลงาน จะมีการสรุปผล
ทั่วทุกพื้นที่ - จากนั้นการผ่านไปยังขีด จำกัด จะดำเนินการโดยมีแนวโน้มของเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุดของบางส่วนทั้งหมด
พื้นที่ให้เป็นศูนย์ ลิมิตคืออินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่ 1
.
3. การคำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดแรก
วิธีการคำนวณอินทิกรัลเชิงโค้งประเภทแรกสามารถเห็นได้จากสัญกรณ์ที่เป็นทางการ แต่ในความเป็นจริงแล้วติดตามโดยตรงจาก
คำจำกัดความ อินทิกรัลจะลดลงเหลือค่าที่แน่นอน คุณเพียงแค่ต้องเขียนส่วนต่างของส่วนโค้งของเส้นโค้งที่ใช้ทำการอินทิเกรต
เริ่มต้นด้วย กรณีง่ายๆบูรณาการตามเส้นโค้งระนาบที่กำหนด สมการที่ชัดเจน- ในกรณีนี้คือค่าส่วนโค้ง
.
จากนั้นจะทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในปริพันธ์ และอินทิกรัลจะอยู่ในรูปแบบ
,
โดยที่ส่วนนั้นสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามส่วนของเส้นโค้งที่ดำเนินการรวมเข้าด้วยกัน
บ่อยครั้งที่เส้นโค้งมีการระบุแบบพาราเมตริก เช่น สมการของแบบฟอร์ม จากนั้นส่วนโค้ง
.
สูตรนี้มีความสมเหตุสมผลมาก โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส ส่วนต่างส่วนโค้งจริงๆ แล้วคือความยาวของส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นโค้ง
ถ้าเส้นโค้งเรียบ ส่วนที่เล็กที่สุดก็ถือว่าเป็นเส้นตรงได้ สำหรับเส้นตรงเรามีความสัมพันธ์
.
เพื่อที่จะดำเนินการในส่วนโค้งเล็กๆ ของเส้นโค้ง เราควรย้ายจากการเพิ่มขึ้นอันจำกัดไปสู่ส่วนต่าง:
.
หากมีการระบุเส้นโค้งแบบพาราเมตริก ค่าส่วนต่างจะถูกคำนวณง่ายๆ:
ฯลฯ
ดังนั้น หลังจากเปลี่ยนตัวแปรในปริพันธ์แล้ว อินทิกรัลเส้นโค้งจะถูกคำนวณดังนี้:
,
โดยที่ส่วนของเส้นโค้งที่ใช้ในการบูรณาการสอดคล้องกับส่วนของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์
สถานการณ์ค่อนข้างซับซ้อนกว่าในกรณีที่ระบุเส้นโค้งในพิกัดเส้นโค้ง ปัญหานี้มักจะถูกกล่าวถึงภายในกรอบของส่วนต่าง
เรขาคณิต. ขอให้เราให้สูตรในการคำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งที่กำหนด พิกัดเชิงขั้วสมการ:
.
นอกจากนี้เรายังจะให้เหตุผลสำหรับส่วนโค้งในพิกัดเชิงขั้วด้วย การอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับการสร้างกริด ระบบขั้วโลกพิกัด
ซม. ให้เราเลือกส่วนโค้งเล็กๆ ของเส้นโค้งที่สัมพันธ์กับเส้นพิกัดดังแสดงในรูป 1. เนื่องจากสิ่งที่นำเสนอทั้งหมดมีขนาดเล็ก
ส่วนโค้งอีกครั้ง เราสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและเขียนได้:
.
จากที่นี่จะเป็นการแสดงออกที่ต้องการสำหรับส่วนต่างของส่วนโค้ง
ด้วยความบริสุทธิ์ จุดทางทฤษฎีจากมุมมองของภาพ ก็เพียงพอที่จะเข้าใจว่าจะต้องลดอินทิกรัลเชิงโค้งของประเภทแรกให้เหลือเพียงกรณีเฉพาะของมัน -
ไปสู่อินทิกรัลจำกัดจำนวน แท้จริงแล้ว เราได้สร้างการเปลี่ยนแปลงที่กำหนดโดยการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งตามการคำนวณอินทิกรัล
การทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่กำหนดและส่วนของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ และนี่คือการลดของอินทิกรัล
ตามแนวเส้นตรงที่ประจันหน้ากัน แกนพิกัด- อินทิกรัลที่แน่นอน
4. การคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่หนึ่ง
หลังจากจุดก่อนหน้า ควรชัดเจนว่าส่วนหลักอย่างหนึ่งในการคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวประเภทแรกคือการเขียนองค์ประกอบพื้นผิว
ที่มีการบูรณาการ อีกครั้ง เรามาเริ่มด้วยกรณีง่ายๆ ของพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการที่ชัดเจน แล้ว
.
การทดแทนเกิดขึ้นจากปริพันธ์ และอินทิกรัลของพื้นผิวลดลงเป็นสองเท่า:
,
โดยที่บริเวณของระนาบซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวที่ทำการบูรณาการถูกคาดการณ์ไว้
อย่างไรก็ตาม มักเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดพื้นผิวด้วยสมการที่ชัดเจน จากนั้นจึงกำหนดแบบพาราเมตริก เช่น สมการของแบบฟอร์ม
.
องค์ประกอบพื้นผิวในกรณีนี้เขียนซับซ้อนกว่า:
.
อินทิกรัลของพื้นผิวสามารถเขียนได้ดังนี้:
,
โดยที่คือพื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกับส่วนของพื้นผิวที่ทำการรวมเข้าด้วยกัน
5. ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลส่วนโค้งและอินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่ 1
อินทิกรัลที่กล่าวถึงมีความเรียบง่ายและชัดเจนมาก ความหมายทางกายภาพ- ให้มีเส้นโค้งที่ไม่มีความหนาแน่นเชิงเส้น
คงที่ และเป็นฟังก์ชันของจุด - ลองหามวลของเส้นโค้งนี้กัน ลองแบ่งเส้นโค้งออกเป็นองค์ประกอบเล็กๆ หลายๆ ส่วน
ซึ่งความหนาแน่นของมันก็ถือว่าคงที่โดยประมาณ หากความยาวของส่วนเล็กๆ ของเส้นโค้งเท่ากับ แสดงว่ามวลของเส้นโค้งนั้น
โดยที่จุดใดๆ ของส่วนโค้งที่เลือก (มีก็ได้ เนื่องจากความหนาแน่นอยู่ภายใน
งานชิ้นนี้ถือว่าคงที่โดยประมาณ) ดังนั้น มวลของเส้นโค้งทั้งหมดจึงได้มาจากการรวมมวลของแต่ละส่วน:
.
เพื่อให้ความเท่าเทียมกันมีความแม่นยำ เราจะต้องไปถึงขีดจำกัดของการแบ่งส่วนโค้งออกเป็นส่วนเล็กๆ แต่นี่คืออินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดแรก

คำถามเกี่ยวกับประจุรวมของเส้นโค้งได้รับการแก้ไขในทำนองเดียวกันหากทราบความหนาแน่นประจุเชิงเส้น .
ข้อโต้แย้งเหล่านี้สามารถถ่ายโอนไปยังกรณีของพื้นผิวที่มีประจุไม่สม่ำเสมอได้อย่างง่ายดาย ความหนาแน่นของพื้นผิวค่าใช้จ่าย - แล้ว
ประจุที่พื้นผิวถือเป็นอินทิกรัลของพื้นผิวชนิดที่ 1
.
บันทึก. สูตรที่ยุ่งยากสำหรับองค์ประกอบพื้นผิวที่กำหนดแบบพาราเมตริกนั้นไม่สะดวกที่จะจดจำ อีกนิพจน์หนึ่งได้มาจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
มันใช้สิ่งที่เรียกว่า อันดับแรก รูปแบบกำลังสองพื้นผิว
ตัวอย่างการคำนวณ อินทิกรัลเส้นโค้งชนิดแรก
ตัวอย่างที่ 1 บูรณาการตามแนวเส้น.
คำนวณอินทิกรัล

ตามส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดและ
ขั้นแรกเราเขียนสมการของเส้นตรงที่ใช้รวมเข้าด้วยกัน: - เรามาค้นหานิพจน์สำหรับ:
.
เราคำนวณอินทิกรัล:
ตัวอย่างที่ 2 ปริพันธ์ตามเส้นโค้งในระนาบ.
คำนวณอินทิกรัล

ตามแนวโค้งพาราโบลาจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง
จุดที่กำหนดและให้คุณแสดงตัวแปรจากสมการพาราโบลาได้:

เราคำนวณอินทิกรัล:
.
อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะคำนวณด้วยวิธีอื่น โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งได้มาจากสมการที่แก้ไขด้วยความเคารพต่อตัวแปร
หากเรานำตัวแปรมาเป็นพารามิเตอร์ก็จะนำไปสู่ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยนิพจน์สำหรับส่วนโค้ง:
.
ดังนั้นอินทิกรัลจะเปลี่ยนไปเล็กน้อย:
.
อินทิกรัลนี้คำนวณได้ง่าย ๆ โดยการแทนที่ตัวแปรใต้ดิฟเฟอเรนเชียล ผลลัพธ์จะเป็นอินทิกรัลแบบเดียวกับวิธีการคำนวณวิธีแรก
ตัวอย่างที่ 3 ปริพันธ์ตามเส้นโค้งในระนาบ (โดยใช้พาราเมทริเซชัน).
คำนวณอินทิกรัล

ตามแนวครึ่งบนของวงกลม .
แน่นอนว่าคุณสามารถแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจากสมการของวงกลม แล้วทำการคำนวณที่เหลือด้วยวิธีมาตรฐาน แต่คุณยังสามารถใช้
ข้อกำหนดเส้นโค้งพาราเมตริก ดังที่คุณทราบ วงกลมสามารถกำหนดได้ด้วยสมการ ครึ่งวงกลมบน
สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ภายใน มาคำนวณส่วนโค้งกัน:
.
ดังนั้น,
ตัวอย่างที่ 4 อินทิกรัลตามเส้นโค้งบนระนาบที่ระบุในพิกัดเชิงขั้ว.
คำนวณอินทิกรัล

ไปตามกลีบด้านขวาของกลีบเล็มนิกาย .

ภาพวาดด้านบนแสดงการเล็มนิกาย จะต้องดำเนินการบูรณาการตามแนวกลีบด้านขวา ลองหาส่วนโค้งของเส้นโค้งกัน :
.
ขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดขีดจำกัดของการอินทิเกรตเหนือมุมเชิงขั้ว เป็นที่ชัดเจนว่าความไม่เท่าเทียมกันจะต้องได้รับการตอบสนองดังนั้น
.
เราคำนวณอินทิกรัล:
ตัวอย่างที่ 5 ปริพันธ์ตามเส้นโค้งในอวกาศ.
คำนวณอินทิกรัล

ตลอดการหมุนของเกลียวที่สอดคล้องกับขีดจำกัดของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์