ถ้าคุณคุ้นเคยกับ วงกลมตรีโกณมิติ และคุณแค่ต้องการรีเฟรชองค์ประกอบแต่ละรายการในหน่วยความจำของคุณ หรือคุณใจร้อนไปหมดแล้ว นี่คือ:

ที่นี่เราจะวิเคราะห์ทุกอย่างอย่างละเอียดทีละขั้นตอน

วงกลมตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องหรูหรา แต่เป็นสิ่งจำเป็น

ตรีโกณมิติ หลายคนเกี่ยวข้องกับไม้พุ่มที่ไม่สามารถใช้ได้ ทันใดนั้นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจำนวนมากก็กองพะเนินสูตรมากมาย ... แต่ท้ายที่สุดมันไม่ได้ผลในตอนแรกและ ... ไปเรื่อย ๆ ... ความเข้าใจผิดที่แท้จริง .. .

มันสำคัญมากที่จะไม่โบกมือให้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, - พวกเขากล่าวว่าคุณสามารถดูเดือยพร้อมตารางค่าได้เสมอ

หากคุณดูตารางที่มีค่าของสูตรตรีโกณมิติอยู่ตลอดเวลามากำจัดนิสัยนี้กันเถอะ!

จะช่วยเรา! คุณจะทำงานกับมันหลายๆ ครั้ง แล้วมันก็จะผุดขึ้นมาในหัวของคุณเอง ทำไมมันถึงดีกว่าโต๊ะ? ใช่ ในตารางคุณจะพบค่าจำนวนจำกัด แต่ในวงกลม - ทุกอย่าง!

เช่น พูด ดู ตารางค่ามาตรฐานของสูตรตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นไซน์ของ 300 องศา หรือ -45

ไม่มีทาง .. คุณสามารถเชื่อมต่อได้แน่นอน สูตรการลด... และเมื่อดูที่วงกลมตรีโกณมิติ คุณสามารถตอบคำถามดังกล่าวได้อย่างง่ายดาย แล้วคุณจะรู้ว่าเป็นอย่างไร!

และเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการโดยไม่มีวงกลมตรีโกณมิติ - ไม่มีที่ไหนเลย

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

ไปตามลำดับ

ขั้นแรก ให้เขียนชุดตัวเลขต่อไปนี้:

และตอนนี้:

และสุดท้ายนี้:

แน่นอนว่าเป็นที่ชัดเจนว่าในความเป็นจริงแล้ว อันดับแรกคือ อันดับสองคือ และอันดับสุดท้าย - นั่นคือเราจะสนใจโซ่มากขึ้น .

แต่มันช่างสวยงามเหลือเกิน! ในกรณีนี้เราจะคืน "บันไดวิเศษ" นี้

และทำไมเราถึงต้องการมัน?

ห่วงโซ่นี้เป็นค่าหลักของไซน์และโคไซน์ในไตรมาสแรก

ลองวาดวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (นั่นคือ เรานำรัศมีใดๆ ตามความยาว และประกาศให้ความยาวเป็นหน่วย)

จากลำแสง "0-Start" เราวางไว้ในทิศทางของลูกศร (ดูรูปที่) มุม

เราได้จุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม ดังนั้นหากเราฉายจุดไปยังแต่ละแกนเราจะได้ค่าจากห่วงโซ่ด้านบน

ทำไมคุณถาม?

อย่าแยกทุกอย่างออกจากกัน พิจารณา หลักการซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถรับมือกับสถานการณ์อื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันได้

สามเหลี่ยม AOB เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี . และเรารู้ว่าตรงข้ามมุมที่อยู่ ขาเล็กกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากสองเท่า (ด้านตรงข้ามมุมฉาก = รัศมีของวงกลม นั่นคือ 1)

ดังนั้น AB= (และด้วยเหตุนี้ OM=) และโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ฉันหวังว่าบางสิ่งจะชัดเจนในตอนนี้

ดังนั้น จุด B จะตรงกับค่า และจุด M จะตรงกับค่านั้น

ในทำนองเดียวกันกับค่าที่เหลือของไตรมาสแรก

ตามที่คุณเข้าใจแกนที่เราคุ้นเคย (วัว) จะเป็น แกนโคไซน์, และแกน (oy) - แกนไซนัส . ภายหลัง.

ทางด้านซ้ายของศูนย์บนแกนโคไซน์ (ต่ำกว่าศูนย์บนแกนไซน์) แน่นอนว่าจะเป็นค่าลบ

นี่แหละคือผู้ทรงอิทธิพลที่ไม่มีที่ไหนเลยในตรีโกณมิติ

แต่วิธีใช้วงกลมตรีโกณมิติเราจะพูดถึง

วงกลมหนึ่งหน่วยคืออะไร. วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมี 1 และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จำได้ว่าสมการวงกลมมีลักษณะดังนี้ x 2 + y 2 =1 วงกลมดังกล่าวสามารถใช้เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ตรีโกณมิติ "พิเศษ" บางอย่างได้ เช่นเดียวกับในการสร้างภาพกราฟิก ด้วยความช่วยเหลือของมันและบรรทัดที่อยู่ในนั้น เราสามารถประมาณค่าตัวเลขของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้

จดจำ 6 อัตราส่วนตรีโกณมิติจำไว้

• sinθ=ตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• cosθ=ที่อยู่ติดกัน/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• tgθ=ขาตรงข้าม/ขาข้างเคียง
• cosecθ=1/บาป
• วินาทีθ=1/cos
• ctgθ=1/tg

เรเดียนคืออะไร. เรเดียนเป็นหนึ่งในหน่วยวัดสำหรับกำหนดขนาดของมุม หนึ่งเรเดียนคือค่าของมุมระหว่างรัศมีสองอันที่วาดเพื่อให้ความยาวของส่วนโค้งระหว่างพวกมันเท่ากับค่าของรัศมี โปรดทราบว่าขนาดและตำแหน่งของวงกลมไม่มีบทบาทใดๆ คุณควรทราบด้วยว่าจำนวนเรเดียนสำหรับวงกลมเต็มวง (360 องศา) คือเท่าใด จำไว้ว่าเส้นรอบวงของวงกลมคือ 2πr ซึ่งเท่ากับ 2π คูณความยาวของรัศมี เนื่องจากตามนิยามแล้ว 1 เรเดียนคือมุมระหว่างปลายของส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี จึงมีมุมเท่ากับ 2π เรเดียนในวงกลมเต็ม

รู้วิธีแปลงเรเดียนเป็นองศาวงกลมเต็มวงมี 2π เรเดียน หรือ 360 องศา ทางนี้:

• 2π เรเดียน = 360 องศา
• 1 เรเดียน = (360/2π) องศา
• 1 เรเดียน = (180/π) องศา
• 360 องศา = 2π เรเดียน
• 1 องศา=(2π/360) เรเดียน
• 1 องศา=(π/180) เรเดียน

เรียนรู้มุม "พิเศษ"มุมเหล่านี้ในหน่วยเรเดียนคือ π/6, π/3, π/4, π/2, π และผลคูณของปริมาณเหล่านี้ (เช่น 5π/6)

เรียนรู้และจดจำความหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมพิเศษคุณต้องดูที่วงกลมหน่วย นึกถึงส่วนของความยาวที่ทราบซึ่งอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วย จุดบนวงกลมตรงกับจำนวนเรเดียนในมุมที่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น มุม π/2 สอดคล้องกับจุดบนวงกลม รัศมีซึ่งสร้างมุม π/2 กับรัศมีแนวนอนที่เป็นบวก ในการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใด ๆ พิกัดของจุดที่สอดคล้องกับมุมนี้จะถูกกำหนด ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับหนึ่งเสมอ เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลม และเนื่องจากจำนวนใดๆ หารด้วย 1 จะเท่ากับตัวเอง และขาตรงข้ามจะเท่ากับความยาวตามแนวแกน Oy ค่าของ ไซน์ของมุมใดๆ คือพิกัด y ของจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม ค่าโคไซน์สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกัน โคไซน์เท่ากับความยาวของขาข้างเคียงหารด้วยความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เนื่องจากหลังมีค่าเท่ากับหนึ่ง และความยาวของขาข้างเคียงเท่ากับพิกัด x ของจุดบนวงกลม ดังนั้นโคไซน์จะเท่ากับค่าของพิกัดนี้ การค้นหาแทนเจนต์นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เส้นสัมผัสของมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับขาตรงข้ามหารด้วยขาข้างเคียง ในกรณีนี้ ผลหารไม่ใช่ค่าคงที่ ซึ่งแตกต่างจากผลก่อนหน้า ดังนั้นการคำนวณจึงค่อนข้างซับซ้อนกว่า จำไว้ว่าความยาวของขาตรงข้ามเท่ากับพิกัด y และขาข้างเคียงเท่ากับพิกัด x ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย แทนค่าเหล่านี้ เราจะได้แทนเจนต์เท่ากับ y / x โดยการหาร 1 ด้วยค่าที่พบด้านบน เราสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่สอดคล้องกันได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักทั้งหมด:

• sinθ=วาย
• cosθ=x
• tgθ=y/x
• โคเซก=1/ปี
• วินาที=1/x
• ctg=x/y

ค้นหาและจดจำค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกสำหรับมุมที่วางอยู่บนแกนพิกัดนั่นคือ มุมที่ทวีคูณของ π/2 เช่น 0, π/2, π, 3π/2, 2π เป็นต้น e. สำหรับจุดวงกลมที่อยู่บนแกนพิกัด จะไม่มีปัญหาใดๆ ถ้าจุดอยู่บนแกน x ไซน์จะเป็นศูนย์และโคไซน์เป็น 1 หรือ -1 ขึ้นอยู่กับทิศทาง ถ้าจุดอยู่บนแกน Oy ไซน์จะเท่ากับ 1 หรือ -1 และโคไซน์จะเท่ากับ 0

ค้นหาและจดจำค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 6 ค่าสำหรับมุมพิเศษ π/6 ใช้มุม π/6 กับวงกลมหนึ่งหน่วย คุณรู้วิธีหาความยาวของด้านทุกด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ (มีมุม 30-60-90 และ 45-45-90) เมื่อพิจารณาจากความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง และเนื่องจาก π/6=30 องศา สามเหลี่ยมนี้จึงเป็น หนึ่งในกรณีพิเศษ สำหรับเขา อย่างที่คุณจำได้ ขาสั้นเท่ากับ 1/2 ของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือพิกัด y คือ 1/2 และขายาวยาวกว่าขาสั้น √3 เท่า นั่นคือ เท่ากับ (√3)/2 ดังนั้นพิกัด x จะเป็น ( √3)/2 ดังนั้นเราจึงได้จุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยด้วยพิกัดต่อไปนี้: ((√3)/2,1/2) จากการใช้สมการข้างต้น เราพบ:

• บาปπ/6=1/2
• cosπ/6=(√3)/2
• ตันπ/6=1/(√3)
• cosecπ/6=2
• วินาทีπ/6=2/(√3)
• ctgπ/6=√3

ค้นหาและจดจำค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 6 ค่าสำหรับมุมพิเศษ π/3 มุม π/3 แทนบนวงกลมด้วยจุดที่พิกัด x เท่ากับพิกัด y ของมุม π/6 และพิกัด y เท่ากับพิกัด x ของมุมนั้น ดังนั้น จุดนี้มีพิกัด (1/2, √3/2) เป็นผลให้เราได้รับ:

• บาปπ/3=(√3)/2
• cosπ/3=1/2
• tgπ/3=√3
• cosecπ/3=2/(√3)
• วินาทีπ/3=2
• ctgπ/3=1/(√3)

ค้นหาและจดจำค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 6 ค่าสำหรับมุมพิเศษ π/4 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 45-45-90 สัมพันธ์กับความยาวของขาเป็น √2 ถึง 1 และค่าพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยก็จะสัมพันธ์กันด้วย เป็นผลให้เรามี:

• บาปπ/4=1/(√2)
• cosπ/4=1/(√2)
• tgπ/4=1
• cosecπ/4=√2
• วินาทีπ/4=√2
• ctgπ/4=1

กำหนดว่าค่าของฟังก์ชันเป็นบวกหรือลบ มุมทั้งหมดที่อยู่ในตระกูลเดียวกันให้ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเท่ากัน แต่ค่าเหล่านี้อาจแตกต่างกันในเครื่องหมาย (ค่าหนึ่งเป็นค่าบวกและค่าลบอื่น ๆ )

• ถ้ามุมอยู่ในจตุภาคแรก ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดจะเป็นค่าบวก
• สำหรับมุมในจตุภาคที่สอง ฟังก์ชันทั้งหมดยกเว้น sin และ cosec จะเป็นค่าลบ
• ในจตุภาคที่สาม ค่าของฟังก์ชันทั้งหมด ยกเว้น tg และ ctg จะน้อยกว่าศูนย์
• ในจตุภาคที่สี่ ฟังก์ชันทั้งหมดมีค่าเป็นลบ ยกเว้น cos และ sec

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชนักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno of Elea ได้กำหนด aporias ที่มีชื่อเสียงของเขาซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือ aporia "Achilles and the tortoise" นี่คือเสียง:

สมมติว่าอคิลลีสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งเป็นระยะทางนี้ เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน เมื่อ Achilles วิ่งได้ร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน

เหตุผลนี้กลายเป็นตรรกะที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นต่อ ๆ ไปทั้งหมด อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... พวกเขาทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งถือเป็น aporias ของนักปราชญ์ กระแทกแรงขนาดนั้น" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในปัจจุบันชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซตแนวทางทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหา ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับในระดับสากล ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขาถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดตัวแปรยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกตินำเราไปสู่กับดัก ด้วยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนหยุดสนิทในขณะที่อคิลลีสตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง อคิลลีสจะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

หากเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ อคิลลิสวิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนที่ตามมาของเส้นทางนั้นสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดของ "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ การพูดว่า "อคิลลีสจะแซงหน้าเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่มีที่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? อยู่ในหน่วยเวลาคงที่และไม่เปลี่ยนไปใช้ค่าซึ่งกันและกัน ในภาษาของ Zeno ดูเหมือนว่า:

ในเวลาที่ต้องใช้ Achilles ในการวิ่งหนึ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าวในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก Achilles จะวิ่งไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลีสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ผ่านไม่ได้นั้นคล้ายคลึงกับ aporia "Achilles and the tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และวิธีแก้ปัญหาต้องไม่ใช่จำนวนมหาศาล แต่เป็นหน่วยวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งของ Zeno พูดถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เพราะทุกขณะของมันหยุดอยู่ และเนื่องจากมันหยุดอยู่ทุกขณะ มันจึงหยุดนิ่งเสมอ

ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะอย่างง่ายดาย - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว มีอีกจุดหนึ่งที่ต้องสังเกตที่นี่ จากรูปถ่ายของรถบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะทางของมัน ในการระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ เวลาต่างๆ กัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อระบุระยะทางได้ ในการกำหนดระยะทางไปยังรถ คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศในเวลาเดียวกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวจากภาพถ่ายเหล่านั้นได้ (โดยธรรมชาติ คุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) สิ่งที่ฉันต้องการจะชี้ให้เห็นเป็นพิเศษคือ 2 จุดในเวลาและ 2 จุดในอวกาศเป็น 2 สิ่งที่แตกต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เนื่องจากจุดเหล่านี้ให้โอกาสในการสำรวจที่ต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

ความแตกต่างระหว่างเซ็ตและมัลติเซ็ตอธิบายไว้ในวิกิพีเดียได้เป็นอย่างดี พวกเรามอง.

อย่างที่คุณเห็น "เซตไม่สามารถมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน 2 ตัวได้" แต่ถ้ามีองค์ประกอบที่เหมือนกันในเซต เซตดังกล่าวจะเรียกว่า "มัลติเซต" สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะของความไร้เหตุผลเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงที่ได้รับการฝึกฝนซึ่งจิตใจขาดจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ สั่งสอนความคิดไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง

กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานระหว่างการทดสอบสะพาน หากสะพานพังลงมา วิศวกรระดับปานกลางก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรที่มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นๆ

ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลี "mind me, I'm in the house" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร ก็มีสายสะดือเส้นเดียวที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ให้เราใช้ทฤษฎีเซตทางคณิตศาสตร์กับนักคณิตศาสตร์เอง

เราเรียนคณิตศาสตร์เป็นอย่างดีและตอนนี้เรานั่งอยู่ที่โต๊ะเงินสดจ่ายเงินเดือน ที่นี่นักคณิตศาสตร์มาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาและวางบนโต๊ะของเราเป็นกองต่าง ๆ ซึ่งเราใส่ธนบัตรในสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกองและให้ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" แก่นักคณิตศาสตร์ เราอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าเขาจะได้รับส่วนที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ได้ว่าเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเหมือนกันไม่เท่ากับเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก

ประการแรก ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะใช้ได้: "คุณนำไปใช้กับคนอื่นได้ แต่ไม่ใช่กับฉัน!" นอกจากนี้ การรับรองจะเริ่มต้นขึ้นว่ามีหมายเลขธนบัตรที่แตกต่างกันในธนบัตรของสกุลเงินเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถถือเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกันได้ เรานับเงินเดือนเป็นเหรียญ - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่ นักคณิตศาสตร์จะจำฟิสิกส์ได้อย่างเมามัน เหรียญต่างๆ มีปริมาณสิ่งสกปรกต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมของเหรียญแต่ละเหรียญนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ...

และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: ขอบเขตที่เกินกว่าองค์ประกอบใดของมัลติเซตจะกลายเป็นองค์ประกอบของเซตและในทางกลับกันอยู่ที่ไหน ไม่มีบรรทัดดังกล่าว - หมอผีตัดสินใจทุกอย่างวิทยาศาสตร์ที่นี่ไม่ได้ใกล้เคียง

ดูนี่. เราเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเท่ากัน พื้นที่ของฟิลด์เหมือนกันซึ่งหมายความว่าเรามีหลายชุด แต่ถ้าพิจารณาจากชื่อสนามเดียวกัน เราโดนเยอะ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น องค์ประกอบชุดเดียวกันนั้นเป็นทั้งชุดและหลายชุดในเวลาเดียวกัน ถูกต้องอย่างไร? และที่นี่ นักคณิตศาสตร์-หมอผี-ชัลเลอร์ หยิบคนเก่งออกมาจากแขนเสื้อของเขา และเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือมัลติเซต ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวใจเราว่าเขาพูดถูก

เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผีสมัยใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยผูกเข้ากับความเป็นจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของเซตหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของเซตอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็นโดยไม่มี "เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมด" หรือ "เป็นไปไม่ได้โดยรวม"

วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2561

ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนาซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราถูกสอนให้หาผลรวมของตัวเลขและใช้มัน แต่พวกเขาเป็นหมอผีสำหรับเรื่องนั้น เพื่อสอนทักษะและภูมิปัญญาให้ลูกหลานของพวกเขา มิฉะนั้น หมอผีก็จะตายไป

คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิดวิกิพีเดียแล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่อยู่ ไม่มีสูตรใดในวิชาคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราใช้เขียนตัวเลข และในภาษาคณิตศาสตร์ ภารกิจจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แทนจำนวนใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถแก้ปัญหาเบื้องต้นได้

มาดูกันว่าเราจะทำอย่างไรเพื่อหาผลบวกของตัวเลขที่กำหนด สมมติว่าเรามีหมายเลข 12345 ต้องทำอะไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขนี้ ลองพิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ

1. จดตัวเลขลงบนกระดาษ เราได้ทำอะไร? เราได้แปลงตัวเลขเป็นสัญลักษณ์กราฟิกตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

2. เราตัดภาพที่ได้รับหนึ่งภาพออกเป็นหลายๆ ภาพที่มีตัวเลขแยกกัน การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

3. แปลงอักขระกราฟิกแต่ละตัวเป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

4. เพิ่มจำนวนผลลัพธ์ นั่นคือคณิตศาสตร์

ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" จากหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบเลขใด ดังนั้น ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน ผลบวกของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลข 12345 จำนวนมาก ฉันไม่อยากหลอกตัวเอง ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับ ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบ และฐานสิบหก เราจะไม่พิจารณาแต่ละขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ เราได้ดำเนินการไปแล้ว ลองดูที่ผลลัพธ์

อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน ผลบวกของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์เลย เหมือนกับการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีหน่วยเป็นเมตรและเซนติเมตร ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

ศูนย์ในระบบตัวเลขทั้งหมดมีลักษณะเหมือนกันและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนข้อเท็จจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: คณิตศาสตร์ไม่ใช่ตัวเลขได้อย่างไร? อะไรสำหรับนักคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรนอกจากตัวเลข? สำหรับหมอผี ฉันยอมได้ แต่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ไม่ ความจริงไม่ใช่แค่ตัวเลข

ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดตัวเลข เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันในปริมาณเดียวกันนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว สิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการกระทำทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลข หน่วยวัดที่ใช้ และใครเป็นผู้ดำเนินการ

ป้ายที่ประตู เปิดประตูแล้วพูดว่า:

อุ๊ย! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- สาววาย! นี่คือห้องทดลองสำหรับศึกษาความศักดิ์สิทธิ์ของวิญญาณอย่างไม่มีกำหนดเมื่อเสด็จขึ้นสู่สวรรค์! Nimbus อยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก

ตัวเมีย... รัศมีด้านบนและลูกศรชี้ลงคือตัวผู้

หากคุณมีงานศิลปะการออกแบบกระพริบตาหลายครั้งต่อวัน

ไม่น่าแปลกใจเลยที่คุณจะพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:

โดยส่วนตัวแล้ว ฉันพยายามทำให้ตัวเองเห็นองศาลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (ส่วนประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ เลขสี่ การกำหนดองศา) และฉันไม่ถือว่าผู้หญิงคนนี้เป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติแบบแผนของการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์สอนเราตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง

1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนเซ่อ" หรือตัวเลข "ยี่สิบหก" ในระบบเลขฐานสิบหก คนที่ทำงานอย่างต่อเนื่องในระบบตัวเลขนี้จะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อแสดงรากที่สอง เพื่อแสดงเศษส่วน - สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่เป็นประโยชน์:

สำหรับ การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้หาที่จุดตัดของเส้นที่ระบุฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรากำลังมองหาคอลัมน์ที่มีหัวเรื่อง บาป (ไซน์) และเราพบจุดตัดของคอลัมน์นี้ของตารางด้วยเส้น "30 องศา" ที่จุดตัดกัน เราอ่านผลลัพธ์ - หนึ่ง ที่สอง. ในทำนองเดียวกันเราพบ โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin (ไซน์) และแถว 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ในทำนองเดียวกันจะพบค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ

ไซน์ของ pi, โคไซน์ของ pi, แทนเจนต์ของ pi และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ด้านล่างยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ กำหนดเป็นเรเดียน. ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi เป็นการแสดงออกถึงการพึ่งพาของเส้นรอบวงของวงกลมกับการวัดองศาของมุมโดยเฉพาะ ดังนั้น ไพเรเดียน เท่ากับ 180 องศา

ตัวเลขใด ๆ ที่แสดงในรูปของ pi (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่าย ๆ โดยแทนที่จำนวน pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ไพ.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้น ไซน์ของไพจะเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้น โคไซน์ของไพจะเท่ากับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ของ pi จะเหมือนกับแทนเจนต์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางค่าไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าที่พบบ่อย)

มุม α (องศา)	มุม α หน่วยเป็นเรเดียน (ผ่านปี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)	วินาที (ซีแคนท์)	สาเหตุ (โคซีแคนท์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แทนที่จะเป็นค่าของฟังก์ชัน จะมีการระบุเส้นประ (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) จากนั้นสำหรับค่าที่กำหนดของการวัดระดับของ มุม ฟังก์ชันไม่มีค่าแน่นอน ถ้าไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์นั้นว่างเปล่า เราจึงยังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้ร้องขอและเสริมตารางด้วยค่าใหม่แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์, ไซน์และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบมากที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้มากที่สุด ปัญหา.

ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมที่นิยมมากที่สุด
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข "ตามตาราง Bradis")

ค่ามุม α (องศา)	ค่าของมุม α เป็นเรเดียน	บาป (บาป)	cos (โคไซน์)	tg (แทนเจนต์)	ctg (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับคำจำกัดความของวงกลมตัวเลขค้นหาคุณสมบัติหลักและจัดเรียงตัวเลข 1,2,3 เป็นต้น เกี่ยวกับวิธีการทำเครื่องหมายตัวเลขอื่นๆ บนวงกลม (เช่น \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) เข้าใจแล้ว

วงกลมตัวเลข เรียกวงกลมของหน่วยรัศมีจุดที่สอดคล้องกัน จัดตามกฎดังนี้

1) จุดกำเนิดอยู่ที่จุดขวาสุดของวงกลม

2) ทวนเข็มนาฬิกา - ทิศทางบวก; ตามเข็มนาฬิกา - ลบ;

3) ถ้าเราพล็อตระยะทาง \(t\) บนวงกลมในทิศทางบวก เราจะไปถึงจุดที่มีค่า \(t\);

4) ถ้าเราพล็อตระยะทาง \(t\) บนวงกลมในทิศทางลบ เราจะไปถึงจุดที่มีค่า \(–t\)

ทำไมวงกลมถึงเรียกว่าตัวเลข?
เพราะมันมีตัวเลขกำกับอยู่ ในเรื่องนี้วงกลมจะคล้ายกับแกนตัวเลข - บนวงกลมเช่นเดียวกับแกนสำหรับแต่ละตัวเลขจะมีจุดที่แน่นอน

ทำไมถึงรู้ว่าวงกลมตัวเลขคืออะไร?
ด้วยความช่วยเหลือของวงกลมตัวเลข ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จะถูกกำหนด ดังนั้น เพื่อให้รู้ตรีโกณมิติและสอบผ่าน 60 คะแนนขึ้นไป จำเป็นต้องเข้าใจว่าวงกลมตัวเลขคืออะไรและจะวางจุดบนวงกลมได้อย่างไร

คำว่า "... ของหน่วยรัศมี ... " หมายถึงอะไรในคำจำกัดความ?
ซึ่งหมายความว่ารัศมีของวงกลมนี้คือ \(1\) และถ้าเราสร้างวงกลมดังกล่าวโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มันก็จะตัดกับแกนที่จุด \(1\) และ \(-1\)

ไม่จำเป็นต้องวาดให้เล็ก คุณสามารถเปลี่ยน "ขนาด" ของการแบ่งตามแกน จากนั้นรูปภาพจะใหญ่ขึ้น (ดูด้านล่าง)

ทำไมรัศมีถึงเป็นหนึ่งเดียว? สะดวกกว่า เพราะในกรณีนี้ เมื่อคำนวณเส้นรอบวงโดยใช้สูตร \(l=2πR\) เราจะได้รับ:

ความยาวของวงกลมตัวเลขคือ \(2π\) หรือประมาณ \(6,28\)

และ "... จุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริง" หมายถึงอะไร?
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ในวงกลมตัวเลขสำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมี "สถานที่" ของมันแน่นอน - จุดที่ตรงกับตัวเลขนี้

ทำไมต้องกำหนดที่มาและทิศทางของวงกลมตัวเลข?
จุดประสงค์หลักของวงกลมตัวเลขคือการกำหนดจุดเฉพาะสำหรับแต่ละหมายเลข แต่คุณจะกำหนดจุดสิ้นสุดได้อย่างไรหากคุณไม่รู้ว่าจะนับจากจุดไหนและจะย้ายไปที่ใด?

สิ่งสำคัญคือต้องไม่สับสนระหว่างจุดกำเนิดบนเส้นพิกัดและบนวงกลมตัวเลข ซึ่งเป็นระบบอ้างอิงสองระบบที่แตกต่างกัน! นอกจากนี้ อย่าสับสนระหว่าง \(1\) บนแกน \(x\) และ \(0\) บนวงกลม เพราะนี่คือจุดบนวัตถุต่างๆ

จุดใดที่ตรงกับตัวเลข \(1\), \(2\) ฯลฯ

จำไว้ว่า เราถือว่ารัศมีของวงกลมตัวเลขคือ \(1\)? นี่จะเป็นส่วนเดียวของเรา (โดยการเปรียบเทียบกับแกนตัวเลข) ซึ่งเราจะใส่ในวงกลม

ในการทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตัวเลขที่ตรงกับหมายเลข 1 คุณต้องเดินทางจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากับรัศมีในทิศทางบวก

ในการทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข \(2\) คุณต้องเดินทางเป็นระยะทางเท่ากับสองรัศมีจากจุดกำเนิด เพื่อให้ \(3\) เป็นระยะทางเท่ากับสามรัศมี เป็นต้น

เมื่อดูรูปนี้ คุณอาจมีคำถาม 2 ข้อ:
1. จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อวงกลม "สิ้นสุด" (เช่น เราสร้างวงกลมเต็มวง)
คำตอบ: ไปรอบที่สองกันเถอะ! และเมื่อสองหมดไป เราจะไปที่สามต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นจึงสามารถใช้จำนวนอนันต์กับวงกลมได้

2. ตัวเลขติดลบจะอยู่ที่ไหน?
คำตอบ: ตรงนั้น! นอกจากนี้ยังสามารถจัดเรียงได้โดยนับจากศูนย์ตามจำนวนรัศมีที่ต้องการ แต่ตอนนี้อยู่ในทิศทางลบ

น่าเสียดายที่เป็นการยากที่จะระบุจำนวนเต็มในวงกลมตัวเลข นี่คือความจริงที่ว่าความยาวของวงกลมตัวเลขจะไม่เป็นจำนวนเต็ม: \ (2π \) และในสถานที่ที่สะดวกที่สุด (ที่จุดตัดกับแกน) ก็จะไม่มีจำนวนเต็ม แต่เป็นเศษส่วน