เดอะ วัสดุที่มีระเบียบมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ในการอ้างอิงและครอบคลุมหัวข้อต่างๆ มากมาย บทความนี้แสดงภาพรวมของกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานหลักและพิจารณา คำถามที่สำคัญที่สุด – วิธีสร้างกราฟอย่างถูกต้องและรวดเร็ว. ระหว่างการศึกษา คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไม่มีความรู้เรื่องแผนภูมิพื้นฐาน ฟังก์ชันพื้นฐานมันจะยาก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องจำว่ากราฟของพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ มีลักษณะอย่างไร จำค่าฟังก์ชันบางอย่าง อีกด้วย พวกเราจะพูดเกี่ยวกับคุณสมบัติบางประการของฟังก์ชันพื้นฐาน

ฉันไม่ได้เสแสร้งเพื่อความสมบูรณ์และความละเอียดถี่ถ้วนทางวิทยาศาสตร์ของวัสดุ ก่อนอื่นจะเน้นไปที่การปฏิบัติ - สิ่งเหล่านั้น เราต้องเผชิญอย่างแท้จริงในทุกขั้นตอนในหัวข้อใด ๆ ของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น. แผนภูมิสำหรับหุ่น? คุณสามารถพูดได้

ตามคำเรียกร้องของนักอ่าน สารบัญคลิกได้:

นอกจากนี้ยังมีบทคัดย่อสั้น ๆ ในหัวข้อ
– เชี่ยวชาญแผนภูมิ 16 ประเภทโดยศึกษาหกหน้า!

อย่างจริงจังหกแม้แต่ฉันเองก็ประหลาดใจ บทคัดย่อนี้มีกราฟิกที่ได้รับการปรับปรุงและมีค่าธรรมเนียมเล็กน้อย สามารถดูเวอร์ชันสาธิตได้ สะดวกในการพิมพ์ไฟล์เพื่อให้กราฟอยู่ใกล้มือเสมอ ขอบคุณสำหรับการสนับสนุนโครงการ!

และเราเริ่มทันที:

วิธีสร้างแกนพิกัดอย่างถูกต้อง?

ในทางปฏิบัติ ข้อสอบมักจะถูกวาดขึ้นโดยนักเรียนในสมุดบันทึกที่แยกจากกันซึ่งเรียงรายอยู่ในกรง ทำไมคุณถึงต้องการเครื่องหมายตาหมากรุก? โดยหลักการแล้วงานสามารถทำได้บนแผ่น A4 และกรงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการออกแบบภาพวาดที่มีคุณภาพสูงและแม่นยำ

การวาดกราฟฟังก์ชันเริ่มต้นด้วยแกนพิกัด.

ภาพวาดมีสองมิติและสามมิติ

ให้เราพิจารณากรณีสองมิติก่อน คาร์ทีเซียน ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด:

1) เราวาด แกนพิกัด. แกนเรียกว่า แกน x และแกน แกน y . เราพยายามวาดมันเสมอ เรียบร้อยและไม่คด. ลูกศรไม่ควรมีลักษณะคล้ายกับเคราของ Papa Carlo

2) เราลงชื่อแกนด้วยอักษรตัวใหญ่ "x" และ "y" อย่าลืมลงชื่อแกน.

3) ตั้งมาตราส่วนตามแกน: วาดศูนย์และสอง. เมื่อทำการวาดมาตราส่วนที่ใช้กันทั่วไปและสะดวกที่สุดคือ: 1 หน่วย = 2 เซลล์ (วาดทางซ้าย) - ติดกับมันถ้าเป็นไปได้ อย่างไรก็ตาม บางครั้งการวาดภาพไม่พอดีกับแผ่นโน้ตบุ๊ก - จากนั้นเราจะลดขนาดลง: 1 หน่วย = 1 เซลล์ (รูปวาดทางด้านขวา) ไม่ค่อยเกิดขึ้น แต่ขนาดของรูปวาดจะต้องลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) มากยิ่งขึ้น

อย่าเขียนหวัดจากปืนกล ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....สำหรับ ระนาบพิกัดไม่ใช่อนุสาวรีย์ของ Descartes และนักเรียนก็ไม่ใช่นกพิราบ เราใส่ ศูนย์และ สองหน่วยตามแกน. บางครั้ง แทนหน่วย สะดวกในการ "ตรวจหา" ค่าอื่นๆ เช่น "สอง" บนแกน abscissa และ "สาม" บนแกนพิกัด - และระบบนี้ (0, 2 และ 3) จะตั้งค่ากริดพิกัดโดยไม่ซ้ำกันอีกด้วย

เป็นการดีกว่าที่จะประเมินขนาดโดยประมาณของภาพวาดก่อนที่จะวาด. ตัวอย่างเช่น หากงานต้องการการวาดสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด , , ก็ค่อนข้างชัดเจนว่าสเกลยอดนิยม 1 หน่วย = 2 เซลล์จะไม่ทำงาน ทำไม ลองดูที่ประเด็น - ที่นี่คุณต้องวัดลงมาสิบห้าเซนติเมตรและแน่นอนว่าภาพวาดจะไม่พอดี (หรือแทบจะไม่พอดี) บนแผ่นโน้ตบุ๊ก ดังนั้นเราจึงเลือกขนาดที่เล็กลงทันที 1 หน่วย = 1 เซลล์

โดยวิธีการเกี่ยวกับเซนติเมตรและเซลล์โน๊ตบุ๊ค จริงหรือไม่ที่มี 15 เซนติเมตรในเซลล์โน้ตบุ๊ค 30 เซลล์? วัดในสมุดบันทึกด้วยความสนใจ 15 เซนติเมตรด้วยไม้บรรทัด บางทีนี่อาจเป็นเรื่องจริงในสหภาพโซเวียต ... เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้าคุณวัดเซนติเมตรเดียวกันในแนวนอนและแนวตั้ง ผลลัพธ์ (ในเซลล์) จะแตกต่างกัน! พูดตามตรง โน้ตบุ๊กสมัยใหม่ไม่ได้เป็นตารางหมากรุก แต่เป็นสี่เหลี่ยม อาจดูเหมือนไร้สาระ แต่การวาดเช่นวงกลมที่มีเข็มทิศในสถานการณ์เช่นนี้ไม่สะดวกมาก พูดตามตรง ในช่วงเวลาดังกล่าวคุณเริ่มคิดถึงความถูกต้องของสหายสตาลินซึ่งถูกส่งไปยังค่ายเพื่อทำงานแฮ็กในการผลิต ไม่ต้องพูดถึงอุตสาหกรรมยานยนต์ในประเทศ เครื่องบินตก หรือโรงไฟฟ้าระเบิด

พูดถึงคุณภาพหรือคำแนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับเครื่องเขียน ทุกวันนี้ โน้ตบุ๊กส่วนใหญ่ที่ขายโดยไม่พูดคำหยาบก็อบลินโดยสมบูรณ์ ด้วยเหตุผลที่ว่าพวกมันเปียกน้ำ ไม่ใช่แค่จากปากกาเจลเท่านั้น แต่ยังมาจากปากกาลูกลื่นด้วย! บันทึกบนกระดาษ เพื่อการกวาดล้าง ควบคุมการทำงานฉันแนะนำให้ใช้สมุดบันทึกของ Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 แผ่น, กรง) หรือ Pyaterochka แม้ว่าจะมีราคาแพงกว่าก็ตาม ขอแนะนำให้เลือกปากกาเจล แม้แต่การเติมเจลจีนที่ถูกที่สุดก็ยังดีกว่าปากกาลูกลื่นซึ่งอาจทำให้กระดาษเปื้อนหรือฉีกขาดได้ ปากกาลูกลื่น "แข่งขัน" เดียวในความทรงจำของฉันคือ Erich Krause เธอเขียนได้อย่างชัดเจน สวยงาม และมั่นคง ไม่ว่าจะเขียนเต็มก้านหรือเขียนเกือบหมด

นอกจากนี้: วิสัยทัศน์ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผ่านสายตาของเรขาคณิตวิเคราะห์ครอบคลุมในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์, รายละเอียดข้อมูลอ ประสานไตรมาสได้ในย่อหน้าที่สองของบทเรียน อสมการเชิงเส้น.

เคส 3D

เกือบจะเหมือนกันที่นี่

1) เราวาดแกนพิกัด มาตรฐาน: ใช้แกน – ชี้ขึ้น, แกน – ชี้ไปทางขวา, แกน – ชี้ลงไปทางซ้าย อย่างเคร่งครัดที่มุม 45 องศา

2) เราลงชื่อแกน

3) ตั้งมาตราส่วนตามแนวแกน มาตราส่วนตามแกน - น้อยกว่ามาตราส่วนตามแกนอื่นสองเท่า. โปรดทราบว่าในภาพวาดที่ถูกต้อง ฉันใช้ "serif" ที่ไม่ได้มาตรฐานตามแกน (ความเป็นไปได้นี้ได้รับการกล่าวถึงข้างต้นแล้ว). จากมุมมองของฉัน มันแม่นยำกว่า เร็วกว่า และสวยงามกว่า - คุณไม่จำเป็นต้องมองหาตรงกลางของเซลล์ภายใต้กล้องจุลทรรศน์และ "แกะสลัก" หน่วยจนถึงจุดกำเนิด

เมื่อทำการวาด 3 มิติอีกครั้ง - ให้ความสำคัญกับขนาด
1 หน่วย = 2 เซลล์ (วาดทางด้านซ้าย)

กฎเหล่านี้มีไว้เพื่ออะไร? กฎมีไว้เพื่อทำลาย ฉันจะทำอะไรตอนนี้ ความจริงก็คือฉันจะวาดบทความต่อไปใน Excel และแกนพิกัดจะดูไม่ถูกต้องในแง่ของการออกแบบที่เหมาะสม ฉันสามารถวาดกราฟทั้งหมดด้วยมือได้ แต่การวาดมันน่ากลัวจริงๆ เพราะ Excel ไม่เต็มใจที่จะวาดมันให้แม่นยำกว่านี้มาก

กราฟและสมบัติเบื้องต้นของฟังก์ชันมูลฐาน

ฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยสมการ กราฟฟังก์ชันเชิงเส้นคือ โดยตรง. เพื่อสร้างเส้นตรง แค่รู้จุดสองจุดก็เพียงพอแล้ว

ตัวอย่างที่ 1

เขียนโครงร่างฟังก์ชัน มาหาสองจุดกัน การเลือกศูนย์เป็นจุดใดจุดหนึ่งจะเป็นประโยชน์

ถ้า แล้ว

เราใช้ประเด็นอื่น เช่น 1

ถ้า แล้ว

เมื่อเตรียมงาน พิกัดของคะแนนมักจะสรุปไว้ในตาราง:

และค่าต่างๆจะถูกคำนวณด้วยปากเปล่าหรือแบบร่างเครื่องคิดเลข

พบสองจุดลองวาด:

เมื่อวาดภาพเราจะเซ็นชื่อกราฟิกเสมอ.

การเรียกคืนกรณีพิเศษของฟังก์ชันเชิงเส้นจะไม่ฟุ่มเฟือย:

สังเกตว่าฉันวางคำบรรยายอย่างไร ลายเซ็นไม่ควรคลุมเครือเมื่อศึกษาภาพวาด. ใน กรณีนี้การใส่ลายเซ็นข้างจุดตัดของเส้นหรือที่ด้านล่างขวาระหว่างกราฟเป็นสิ่งที่ไม่พึงปรารถนาอย่างยิ่ง

1) ฟังก์ชันเชิงเส้นของรูปแบบ () เรียกว่าสัดส่วนโดยตรง ตัวอย่างเช่น, . กราฟสัดส่วนโดยตรงจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ ดังนั้นการสร้างเส้นตรงจึงง่ายขึ้น - เพียงแค่หาจุดเดียวก็เพียงพอแล้ว

2) สมการของแบบฟอร์มกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการจะกำหนดแกนเอง กราฟของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้นทันทีโดยไม่ต้องหาจุดใดๆ นั่นคือ ควรเข้าใจรายการดังนี้ "y เท่ากับ -4 เสมอ สำหรับค่าใดๆ ของ x"

3) สมการของแบบฟอร์มกำหนดเส้นตรงที่ขนานกับแกน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการจะกำหนดแกนเอง กราฟของฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้นทันที ควรเข้าใจรายการดังนี้ "x คือเสมอ สำหรับค่าใด ๆ ของ y เท่ากับ 1"

บางคนก็จะถามว่า ทำไมจำ ป.6 ได้! อาจจะเป็นอย่างนั้น เฉพาะในช่วงหลายปีของการฝึกฝน ฉันได้พบกับนักเรียนดีๆ หลายสิบคนที่งุนงงกับงานสร้างกราฟ เช่น หรือ

การวาดเส้นตรงเป็นการกระทำที่พบบ่อยที่สุดเมื่อทำการวาด

เส้นตรงมีการกล่าวถึงโดยละเอียดในรายวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ และผู้ที่ต้องการอ้างอิงบทความ สมการเส้นตรงบนระนาบ.

กราฟฟังก์ชันกำลังสอง กราฟฟังก์ชันลูกบาศก์ กราฟพหุนาม

พาราโบลา กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง () เป็นพาราโบลา พิจารณา คดีดัง:

ลองนึกถึงคุณสมบัติบางอย่างของฟังก์ชัน

ดังนั้นคำตอบของสมการของเรา: - ณ จุดนี้เป็นจุดยอดของพาราโบลา เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้ สามารถเรียนรู้ได้จากบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับอนุพันธ์และบทเรียนเกี่ยวกับฟังก์ชันสุดขั้ว ในระหว่างนี้ เราคำนวณค่าที่สอดคล้องกันของ "y":

จุดยอดจึงอยู่ที่จุด

ตอนนี้เราพบจุดอื่นในขณะที่ใช้สมมาตรของพาราโบลาอย่างโจ่งแจ้ง ควรสังเกตว่าฟังก์ชัน – ไม่ได้เป็นด้วยซ้ำแต่อย่างไรก็ตามไม่มีใครยกเลิกความสมมาตรของพาราโบลา

เพื่อค้นหาคะแนนที่เหลือฉันคิดว่าจะชัดเจนจากตารางสุดท้าย:

อัลกอริทึมนี้การก่อสร้างสามารถเรียกโดยนัยว่า "กระสวย" หรือหลักการ "ไปมา" กับ Anfisa Chekhova

มาวาดรูปกันเถอะ:

จากกราฟที่พิจารณาแล้ว คุณลักษณะที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งก็คือ:

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง () ต่อไปนี้เป็นจริง:

ถ้า กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น.

ถ้า กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง.

สามารถรับความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับเส้นโค้งได้ในบทเรียนไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

พาราโบลาลูกบาศก์ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน นี่คือภาพวาดที่คุ้นเคยจากโรงเรียน:

รายการกันเถอะ คุณสมบัติพื้นฐานฟังก์ชั่น

กราฟฟังก์ชัน

เป็นตัวแทนของสาขาหนึ่งของพาราโบลา มาวาดรูปกันเถอะ:

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ในกรณีนี้แกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟไฮเปอร์โบลาที่

จะ ความผิดพลาดที่ไม่ดี, ถ้าเมื่อทำการวาดโดยประมาท เราปล่อยให้กราฟตัดกับเส้นกำกับ

นอกจากนี้ ขีดจำกัดด้านเดียว, บอกเราว่าอติพจน์ ไม่จำกัดจากด้านบนและ ไม่จำกัดจากด้านล่าง.

ลองสำรวจฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ นั่นคือถ้าเราเริ่มเลื่อนไปตามแกนไปทางซ้าย (หรือขวา) จนถึงระยะอนันต์ "เกม" จะเป็นขั้นตอนที่เรียวขึ้น ปิดไม่สิ้นสุดเข้าใกล้ศูนย์และตามด้วยกิ่งก้านของไฮเปอร์โบลา ปิดไม่สิ้นสุดเข้าใกล้แกน

ดังนั้นแกนคือ เส้นกำกับแนวนอน สำหรับกราฟของฟังก์ชัน ถ้า "x" มีแนวโน้มที่จะบวกหรือลบอนันต์

ฟังก์ชั่นคือ แปลกซึ่งหมายความว่าไฮเปอร์โบลามีความสมมาตรตามจุดกำเนิด ข้อเท็จจริงนี้เห็นได้ชัดจากภาพวาด นอกจากนี้ ยังสามารถตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ได้ง่าย: .

กราฟของฟังก์ชันในรูปแบบ () แทนกิ่งไฮเปอร์โบลาสองกิ่ง.

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอดแดรนต์พิกัดที่หนึ่งและสาม(ดูภาพด้านบน).

ถ้า แล้วไฮเพอร์โบลาจะอยู่ในควอดแดรนต์พิกัดที่สองและสี่.

การวิเคราะห์ความสม่ำเสมอที่ระบุของที่อยู่อาศัยของไฮเพอร์โบลานั้นไม่ใช่เรื่องยากจากมุมมองของการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

ตัวอย่างที่ 3

สร้างกิ่งที่ถูกต้องของไฮเปอร์โบลา

เราใช้วิธีการสร้างแบบ pointwise ในขณะที่การเลือกค่าเพื่อให้แบ่งออกทั้งหมดจะเป็นประโยชน์:

มาวาดรูปกันเถอะ:

การสร้างกิ่งด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลาจะไม่ใช่เรื่องยาก ความแปลกของฟังก์ชันจะช่วยได้ พูดอย่างคร่าว ๆ ในตารางการสร้าง pointwise ให้บวกลบกับแต่ละตัวเลข ใส่จุดที่สอดคล้องกัน และวาดสาขาที่สอง

ข้อมูลทางเรขาคณิตโดยละเอียดเกี่ยวกับเส้นที่พิจารณาสามารถพบได้ในบทความ ไฮเปอร์โบลาและพาราโบลา

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ในย่อหน้านี้ ฉันจะพิจารณาฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลทันที เนื่องจากในปัญหาของคณิตศาสตร์ระดับสูงใน 95% ของกรณี มันคือเลขชี้กำลังที่เกิดขึ้น

ฉันเตือนคุณว่านี่คือ จำนวนอตรรกยะ: สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการสร้างกราฟ ซึ่งอันที่จริงแล้ว ฉันจะสร้างโดยไม่มีพิธีรีตอง สามจุดคงพอ:

ปล่อยให้กราฟของฟังก์ชันอยู่คนเดียวก่อน ค่อยว่ากันทีหลัง

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดยพื้นฐานแล้ว กราฟของฟังก์ชันมีลักษณะเหมือนกัน เป็นต้น

ฉันต้องบอกว่ากรณีที่สองนั้นพบได้น้อยในทางปฏิบัติ แต่ก็เกิดขึ้น ดังนั้นฉันจึงรู้สึกว่าจำเป็นต้องรวมไว้ในบทความนี้

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

พิจารณาฟังก์ชันด้วย ลอการิทึมธรรมชาติ.
มาวาดเส้นกันเถอะ:

หากคุณลืมว่าลอการิทึมคืออะไร โปรดดูหนังสือเรียน

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

โดเมน:

ช่วงของค่า: .

ฟังก์ชันไม่จำกัดจากด้านบน: แม้ว่าจะช้า แต่สาขาของลอการิทึมนั้นเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์
เราตรวจสอบพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้ศูนย์ทางด้านขวา: . ดังนั้นแกนคือ เส้นกำกับแนวตั้ง สำหรับกราฟของฟังก์ชันที่มี "x" พุ่งเป็นศูนย์ทางด้านขวา

อย่าลืมทราบและจดจำค่าทั่วไปของลอการิทึม: .

โดยพื้นฐานแล้ว กราฟของลอการิทึมที่ฐานจะมีลักษณะเหมือนกัน: , , ( ลอการิทึมทศนิยมในฐาน 10) เป็นต้น ในขณะเดียวกัน ยิ่งฐานใหญ่ กราฟก็จะยิ่งแบนลงเท่านั้น

เราจะไม่พิจารณากรณีนี้ บางอย่างที่ฉันจำไม่ได้ว่าครั้งสุดท้ายที่ฉันสร้างกราฟด้วยพื้นฐานดังกล่าวเมื่อใด ใช่ และลอการิทึมดูเหมือนจะเป็นแขกรับเชิญที่หายากมากในโจทย์คณิตศาสตร์ระดับสูง

ในบทสรุปของย่อหน้า ฉันจะพูดความจริงอีกประการหนึ่ง: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึม เป็นสองอย่างร่วมกัน ฟังก์ชันผกผัน . หากคุณดูกราฟของลอการิทึมอย่างใกล้ชิด คุณจะเห็นว่านี่เป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน เพียงแต่มันอยู่ต่างกันเล็กน้อย

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การทรมานตรีโกณมิติเริ่มต้นที่โรงเรียนอย่างไร? ขวา. จากไซน์

มาพล็อตฟังก์ชันกัน

เส้นนี้เรียกว่า ไซนัส.

ฉันเตือนคุณว่า "pi" เป็นจำนวนอตรรกยะ: และในตรีโกณมิติมันทำให้ตาพร่า

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นนี้เป็น เป็นระยะด้วยระยะเวลา มันหมายความว่าอะไร? ลองดูที่การตัด ทางซ้ายและทางขวาของกราฟ เป็นส่วนเดียวกันของกราฟซ้ำไปซ้ำมาไม่รู้จบ

โดเมน: นั่นคือสำหรับค่าใด ๆ ของ "x" มีค่าไซน์

ช่วงของค่า: . ฟังก์ชั่นคือ ถูก จำกัด: นั่นคือ "เกม" ทั้งหมดอยู่ในกลุ่มอย่างเคร่งครัด
สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นหรือแม่นยำกว่านั้นเกิดขึ้น แต่ สมการดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา

- — [] ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันในรูปแบบ y= ax2 + bx + c (a ? 0) กราฟ K.f. เป็นพาราโบลาที่จุดยอดมีพิกัด [ b / 2a, (b2 4ac) / 4a], สำหรับ a> 0 แขนงของพาราโบลา ... ...

ฟังก์ชันสี่เหลี่ยม ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งค่าขึ้นอยู่กับกำลังสองของตัวแปรอิสระ x และได้รับตามลำดับโดย พหุนามกำลังสองตัวอย่างเช่น: f (x) \u003d 4x2 + 17 หรือ f (x) \u003d x2 + 3x + 2 ดูสมการเชิงพื้นที่ ... พจนานุกรมสารานุกรมทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค

ฟังก์ชันกำลังสอง- ฟังก์ชันกำลังสองเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ y= ax2 + bx + c (a ≠ 0) กราฟ K.f. เป็นพาราโบลาที่จุดยอดมีพิกัด [b/ 2a, (b2 4ac) /4a] สำหรับ a> 0 กิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น สำหรับ a< 0 –вниз… …

- (กำลังสอง) ฟังก์ชันที่มี มุมมองถัดไป: y=ax2+bx+c โดยที่ a≠0 และ ระดับสูงสุด x เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สมการกำลังสอง y=ax2 +bx+c=0 แก้ได้ด้วยสูตรต่อไปนี้: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a ต้นตอเหล่านี้มีอยู่จริง... พจนานุกรมเศรษฐกิจ

เปิดใช้งานฟังก์ชันสมการกำลังสอง พื้นที่จำกัด S คือฟังก์ชัน Q: S→K ที่มีรูปแบบ Q(x)=q(x)+l(x)+c ในรูปแบบเวกเตอร์ โดยที่ q เป็นฟังก์ชันกำลังสอง, l เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น, c เป็นค่าคงที่ . สารบัญ 1 โอนต้นทาง 2 ... ... Wikipedia

ฟังก์ชันแอกไฟน์กำลังสองบนสเปซแอฟไฟน์คือฟังก์ชันใดๆ ที่มีรูปแบบเป็นเวคเตอร์ โดยที่เมทริกซ์สมมาตร ฟังก์ชันเชิงเส้น ค่าคงที่ สารบัญ ... วิกิพีเดีย

เปิดฟังก์ชั่น พื้นที่เวกเตอร์ที่กำหนดโดยพหุนามเอกพันธ์ของระดับที่สองในพิกัดของเวกเตอร์ สารบัญ 1 คำจำกัดความ 2 คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง ... Wikipedia

- เป็นฟังก์ชันที่ในทางทฤษฎี การตัดสินใจทางสถิติระบุลักษณะการสูญเสียเนื่องจากการตัดสินใจที่ไม่ถูกต้องตามข้อมูลที่สังเกตได้ หากปัญหาในการประมาณค่าพารามิเตอร์สัญญาณกับพื้นหลังของสัญญาณรบกวนกำลังได้รับการแก้ไข ฟังก์ชันการสูญเสียจะเป็นตัววัดความคลาดเคลื่อน ... ... Wikipedia

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. คาบิรอฟ พจนานุกรมภาษาอังกฤษภาษารัสเซียของวิศวกรรมไฟฟ้าและอุตสาหกรรมไฟฟ้า, มอสโก, 1999] ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ในปัญหาสุดขั้ว ฟังก์ชันที่ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดจะพบได้ นี้… … คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์- ในปัญหาสุดโต่ง ฟังก์ชัน ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่จำเป็นต้องพบ นี้ แนวคิดหลักการเขียนโปรแกรมที่ดีที่สุด เมื่อพบจุดสุดยอดของ C.f. และด้วยเหตุนี้การกำหนดค่าของตัวแปรควบคุมที่เป็นไป ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

หนังสือ

• ชุดโต๊ะ. คณิตศาสตร์. กราฟฟังก์ชัน (10 ตาราง) , . อัลบั้มการศึกษา 10 แผ่น ฟังก์ชันเชิงเส้น การกำหนดฟังก์ชันแบบกราฟิกและการวิเคราะห์ ฟังก์ชันกำลังสอง การแปลงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชัน y=sinx ฟังก์ชัน y=cosx.…
• หน้าที่ที่สำคัญที่สุดของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน - กำลังสอง - ในปัญหาและการแก้ปัญหา Petrov N.N. ฟังก์ชันกำลังสองเป็นหน้าที่หลัก หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. ไม่แปลกใจเลย ในด้านหนึ่ง ความเรียบง่ายของฟังก์ชันนี้ และอีกด้านหนึ่ง ความหมายลึก. งานหลายอย่างของโรงเรียน ...

งานเกี่ยวกับคุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสองทำให้เกิดปัญหาร้ายแรง นี่ค่อนข้างแปลกเพราะฟังก์ชันกำลังสองถูกส่งผ่านในเกรด 8 จากนั้นทั้งไตรมาสแรกของเกรด 9 นั้นถูก "ทรมาน" โดยคุณสมบัติของพาราโบลาและกราฟของมันถูกสร้างขึ้นสำหรับพารามิเตอร์ต่างๆ

นี่เป็นเพราะการบังคับให้นักเรียนสร้างพาราโบลา พวกเขาแทบไม่อุทิศเวลาให้กับกราฟ "อ่าน" นั่นคือพวกเขาไม่ได้ฝึกฝนการทำความเข้าใจข้อมูลที่ได้รับจากรูปภาพ เห็นได้ชัดว่า สันนิษฐานว่าเมื่อสร้างกราฟสองโหลแล้ว นักเรียนที่ฉลาดจะค้นพบและกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ในสูตรและ รูปร่างศิลปะภาพพิมพ์. ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ใช้ไม่ได้ สำหรับลักษณะทั่วไปดังกล่าว ประสบการณ์ที่จริงจังการวิจัยย่อยทางคณิตศาสตร์ซึ่งแน่นอนว่านักเรียนระดับประถมเก้าส่วนใหญ่ไม่มี ในขณะเดียวกันใน GIA พวกเขาเสนอให้กำหนดสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์อย่างแม่นยำตามกำหนดเวลา

เราจะไม่เรียกร้องสิ่งที่เป็นไปไม่ได้จากเด็กนักเรียนและเสนอหนึ่งในอัลกอริทึมสำหรับแก้ปัญหาดังกล่าว

ดังนั้น ฟังก์ชันของฟอร์ม y=ax2+bx+cเรียกว่ากำลังสอง กราฟของมันคือพาราโบลา ตามชื่อเลย ส่วนประกอบหลักคือ ขวาน 2. นั่นคือ กไม่ควรเท่ากับศูนย์ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือ ( ขและ กับ) มีค่าเท่ากับศูนย์ได้

มาดูกันว่าสัญญาณของค่าสัมประสิทธิ์ส่งผลต่อลักษณะของพาราโบลาอย่างไร

การพึ่งพาค่าสัมประสิทธิ์ที่ง่ายที่สุด ก. เด็กนักเรียนส่วนใหญ่ตอบอย่างมั่นใจว่า: "ถ้า ก> 0 กิ่งของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และถ้า ก < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ก > 0.

y = 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = 0,5

และตอนนี้สำหรับ ก < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ในกรณีนี้ ก = - 0,5

อิทธิพลของค่าสัมประสิทธิ์ กับยังง่ายพอที่จะปฏิบัติตาม ลองนึกภาพว่าเราต้องการหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งๆ เอ็กซ์= 0 แทนศูนย์ในสูตร:

ย = ก 0 2 + ข 0 + ค = ค. ปรากฎว่า y = ค. นั่นคือ กับคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน y ตามกฎแล้ว จุดนี้หาได้ง่ายในแผนภูมิ และพิจารณาว่ามันอยู่เหนือศูนย์หรือต่ำกว่า นั่นคือ กับ> 0 หรือ กับ < 0.

กับ > 0:

y=x2+4x+3

กับ < 0

y = x 2 + 4x - 3

ดังนั้นหาก กับ= 0 ดังนั้นพาราโบลาจะต้องผ่านจุดกำเนิด:

y=x2+4x

ยากขึ้นด้วยพารามิเตอร์ ข. จุดที่เราจะพบว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ขแต่ยังมาจาก ก. นี่คือจุดสูงสุดของพาราโบลา abscissa ของมัน (พิกัดแกน เอ็กซ์) หาได้จากสูตร x ใน \u003d - b / (2a). ดังนั้น, b = - 2ax นิ้ว. นั่นคือเราดำเนินการดังนี้: บนกราฟเราพบจุดสูงสุดของพาราโบลา กำหนดเครื่องหมายของ abscissa นั่นคือเรามองไปทางขวาของศูนย์ ( x ใน> 0) หรือไปทางซ้าย ( x ใน < 0) она лежит.

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทั้งหมด เราต้องใส่ใจกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ด้วย ก. นั่นคือเพื่อดูว่ากิ่งก้านของพาราโบลาถูกนำไปที่ใด และหลังจากนั้นตามสูตร b = - 2ax นิ้วกำหนดสัญญาณ ข.

พิจารณาตัวอย่าง:

กิ่งชี้ขึ้น ก> 0 พาราโบลาตัดแกน ที่ต่ำกว่าศูนย์หมายถึง กับ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ใน> 0 ดังนั้น b = - 2ax นิ้ว = -++ = -. ข < 0. Окончательно имеем: ก > 0, ข < 0, กับ < 0.

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คุณได้ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดและกราฟของฟังก์ชันแล้ว y=x2. มาขยายความรู้กันเถอะ ฟังก์ชันกำลังสอง.

แบบฝึกหัด 1.

เขียนโครงร่างฟังก์ชัน y=x2. มาตราส่วน: 1 = 2 ซม. ทำเครื่องหมายจุดบนแกน Oy ฉ(0; 1/4). ใช้วงเวียนหรือแถบกระดาษวัดระยะทางจากจุดนั้น ฉถึงจุดหนึ่ง มพาราโบลา จากนั้นตรึงแถบที่จุด M แล้วหมุนไปรอบ ๆ จุดนี้เพื่อให้เป็นแนวตั้ง ปลายแถบจะอยู่ต่ำกว่าแกน x เล็กน้อย (รูปที่ 1). ทำเครื่องหมายบนแถบว่าไปไกลกว่าแกน x แค่ไหน ตอนนี้ใช้จุดอื่นบนพาราโบลาแล้ววัดซ้ำอีกครั้ง ตอนนี้ขอบของแถบลดลงเกินแกน x เท่าใด

ผลลัพธ์:ไม่ว่าคุณจะไปที่จุดใดบนพาราโบลา y \u003d x 2 ระยะทางจากจุดนี้ไปยังจุด F (0; 1/4) จะมากกว่าระยะทางจากจุดเดียวกันไปยังแกน x โดยเท่ากันเสมอ จำนวน - โดย 1/4

อาจกล่าวได้แตกต่างกัน: ระยะทางจากจุดใด ๆ ของพาราโบลาไปยังจุด (0; 1/4) เท่ากับระยะทางจากจุดเดียวกันของพาราโบลาไปยังเส้น y = -1/4 จุดที่ยอดเยี่ยมนี้เรียกว่า F(0; 1/4) จุดสนใจพาราโบลา y \u003d x 2 และเส้นตรง y \u003d -1/4 - ครูใหญ่พาราโบลานี้ พาราโบลาแต่ละอันมีไดเรกตริกซ์และโฟกัส

คุณสมบัติที่น่าสนใจของพาราโบลา:

1. จุดใด ๆ ของพาราโบลาอยู่ห่างจากจุดใดจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลาเท่ากัน และบางเส้นเรียกว่าไดเรกตริกซ์

2. หากคุณหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร (เช่น พาราโบลา y \u003d x 2 รอบแกน Oy) คุณจะได้พื้นผิวที่น่าสนใจมาก ซึ่งเรียกว่า พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ

พื้นผิวของของเหลวในภาชนะที่หมุนจะมีรูปร่างคล้ายพาราโบลาของการปฏิวัติ คุณสามารถเห็นพื้นผิวนี้ถ้าคุณใช้ช้อนคนแรงๆ ในแก้วชาที่ยังไม่เต็มแก้ว แล้วดึงช้อนออก

3. หากคุณโยนก้อนหินลงในช่องว่างในมุมหนึ่งไปยังขอบฟ้า ก้อนหินจะลอยไปตามพาราโบลา (รูปที่ 2)

4. หากคุณตัดพื้นผิวของกรวยด้วยระนาบที่ขนานกับเครื่องกำเนิดใด ๆ คุณจะได้พาราโบลาในส่วนนี้ (รูปที่ 3).

5. ในสวนสนุก บางครั้งพวกเขาจัดเครื่องเล่นตลกๆ ที่เรียกว่า Paraboloid of Wonders สำหรับแต่ละคนที่ยืนอยู่ในพาราโบลาลอยด์ที่กำลังหมุน ดูเหมือนว่าเขากำลังยืนอยู่บนพื้น และคนอื่นๆ ที่เหลือก็ยืนอยู่บนกำแพงด้วยปาฏิหาริย์

6. ในกล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสง ยังใช้กระจกพาราโบลา: แสงของดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล เดินทางในลำแสงคู่ขนาน ตกลงบนกระจกกล้องโทรทรรศน์ จะถูกรวบรวมไว้ในโฟกัส

7. สำหรับไฟสปอร์ตไลท์ กระจกมักทำเป็นรูปพาราโบลา หากคุณวางแหล่งกำเนิดแสงที่จุดโฟกัสของพาราโบลา รังสีที่สะท้อนจากกระจกพาราโบลาจะก่อตัวเป็นลำแสงคู่ขนาน

การพล็อตฟังก์ชันกำลังสอง

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณได้ศึกษาวิธีรับกราฟของฟังก์ชันของแบบฟอร์มจากกราฟของฟังก์ชัน y \u003d x 2:

1) y=ax2– การขยายกราฟ y = x 2 ตามแกน Oy ใน |a| ครั้ง (สำหรับ |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ข้าว. 4).

2) y=x2+n– กราฟเลื่อนไป n หน่วยตามแกน Oy และถ้า n > 0 แสดงว่าการเลื่อนขึ้น และถ้า n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + ม.)2– กราฟเลื่อนหน่วย m ตามแกน Ox: ถ้า m< 0, то вправо, а если m >0 แล้วไปทางซ้าย (รูปที่ 5).

4) y=-x2- การแสดงสมมาตรเกี่ยวกับแกน Ox ของกราฟ y = x 2 .

เรามาดูการลงจุดกราฟฟังก์ชันในรายละเอียดเพิ่มเติมกันดีกว่า y = ก(x - ม.) 2 + n.

ฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c สามารถลดขนาดลงได้เสมอ

y \u003d a (x - m) 2 + n โดยที่ m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a)

มาพิสูจน์กันเลย

จริงหรือ,

y = ขวาน 2 + bx + c = ก(x 2 + (b/a) x + c/a) =

ก(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ใหม่

อนุญาต ม = -b/(2a), ก n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

จากนั้นเราจะได้ y = a(x - m) 2 + n หรือ y - n = a(x - m) 2 .

มาแทนที่กัน: ให้ y - n = Y, x - m = X (*)

จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน Y = aX 2 ซึ่งมีกราฟเป็นพาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดกำเนิด x=0; วาย = 0

แทนที่พิกัดของจุดยอดใน (*) เราจะได้พิกัดของจุดยอดของกราฟ y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n

ดังนั้น ในการพล็อตฟังก์ชันกำลังสองที่แสดงเป็น

y = ก(x - ม.) 2 + n

คุณสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้:

ก)สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 ;

ข)โดยการแปลแบบขนานตามแกน Ox โดย m หน่วยและตามแกน Oy โดย n หน่วย - ย้ายด้านบนของพาราโบลาจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัด (m; n) (รูปที่ 6).

เขียนการแปลง:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n

ตัวอย่าง.

การใช้การแปลงที่สร้างขึ้น ระบบคาร์ทีเซียนกราฟพิกัดของฟังก์ชัน y = 2(x - 3) 2 – 2.

สารละลาย.

ห่วงโซ่ของการเปลี่ยนแปลง:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → ย = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

การสร้างกราฟแสดงอยู่ใน ข้าว. 7.

คุณสามารถฝึกการพล็อตฟังก์ชันกำลังสองได้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างเช่น สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2(x + 3) 2 + 2 ในระบบพิกัดเดียวโดยใช้การแปลง หากคุณมีคำถามหรือต้องการคำแนะนำจากอาจารย์ คุณมีโอกาสที่จะ เซสชันฟรี 25 นาทีกับ ติวเตอร์ออนไลน์ หลังจากลงทะเบียน สำหรับการทำงานเพิ่มเติมกับครู คุณสามารถเลือกแผนภาษีที่เหมาะกับคุณ

คุณมีคำถามใดๆ? ไม่ทราบวิธีการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง?
หากต้องการความช่วยเหลือจากติวเตอร์ - ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

ไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วนจำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา