ห้องปฏิบัติการปฏิบัติการ เรื่อง วิธีเชิงตัวเลข ปฏิบัติการวิธีเชิงตัวเลข

ด้านล่างนี้คือ ห้องปฏิบัติการพร้อมโซลูชันโดยวิธีเลขศาสตร์ (ทำในมัตบูโร) คุณสามารถดาวน์โหลดไฟล์งานสำเร็จรูปได้จากลิงก์ด้านล่าง รวมทั้งรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้ปัญหาดังกล่าวจากคู่มือและเวิร์กช็อป

วิธีการเชิงตัวเลข(หรือคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ) - ส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่พวกเขาพัฒนา, ยืนยันทางคณิตศาสตร์ (การลู่เข้า, ความเสถียร) และนำไปใช้ (ในโปรแกรมพิเศษหรือในภาษาโปรแกรม ระดับสูง) วิธีการแก้ปัญหาโดยประมาณ ปัญหาทางคณิตศาสตร์: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา สมการเชิงเส้น, SLAE , สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบ , สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย , ปัญหาค่าขอบเขต , ปัญหาการแก้ไขตัวเลข , การประมาณค่า , อินทิเกรต ฯลฯ

ห้องปฏิบัติการสำเร็จรูปทางคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ

• แบบทดสอบความรู้พื้นฐานเชิงตัวเลข 3 หน้า
  

  ภารกิจที่ 1. สอดแทรกโดยใช้พหุนามนิวตัน และคำนวณค่าของพหุนามนี้ที่จุด x=0.0014

  ภารกิจที่ 2 ปรับแต่งค่าของรูทในช่วงเวลาในการวนซ้ำสามครั้ง

  ภารกิจที่ 3 ใช้วิธีการของสี่เหลี่ยมคางหมูและซิมป์สันเพื่อคำนวณอินทิกรัล

• Padé ประมาณงานพร้อมวิธีแก้ปัญหา , 2 หน้า
  

  ใช้การประมาณ Padé กับการประมาณของฟังก์ชัน $f(x)=x^2*e^(1-x)$ เศษส่วนตรรกยะ.

• , 4 หน้า
  

  1. กำหนดความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องมากขึ้น

  2. ปัดตัวเลขที่เป็นหนี้สงสัยจะสูญออกจากเครื่องหมายที่ถูกต้อง

  3. ค้นหาขีด จำกัด สัมบูรณ์ และ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ตัวเลขหากมีเฉพาะหลักที่ถูกต้อง

  4. คำนวณและกำหนดข้อผิดพลาดของผลลัพธ์

  5. แยกรากของสมการไม่เชิงเส้นอย่างวิเคราะห์

  6. แยกรากของสมการไม่เชิงเส้นมาวิเคราะห์และปรับแต่งหนึ่งในนั้นด้วยวิธีการทดลองที่มีความแม่นยำ 0.01

• วิธีการเชิงตัวเลข: แก้ไขห้องปฏิบัติการ 3 งาน 11 หน้า
  

  ภารกิจที่ 1 พิจารณาฟังก์ชัน
  ใช้จ่าย การวิจัยทางคณิตศาสตร์กราฟของฟังก์ชัน f(x) สร้างกราฟของฟังก์ชัน
  แยกศูนย์ของฟังก์ชัน f(x) นั่นคือ ค้นหาช่วงเวลาที่ f(x) เปลี่ยนเครื่องหมาย ในแต่ละช่วงเวลา ให้ทำตามขั้นตอน 4 ขั้นตอนโดยใช้วิธีการ หารครึ่ง.
  ค้นหาค่าโดยประมาณของรากโดยวิธีของนิวตัน (แทนเจนต์) ในการประมาณเริ่มต้น ใช้จุดกึ่งกลางของช่วงเวลาด้านบน ใช้เวลา 2 ขั้นตอน
  การคำนวณทั้งหมดจะต้องดำเนินการโดยมีทศนิยมอย่างน้อย 5 ตำแหน่ง

  ภารกิจที่ 2 พิจารณาเมทริกซ์
  หา เมทริกซ์ผกผัน$P^(-1)$ และคำนวณผลคูณเมทริกซ์ $W=P\cdot R \cdot P^(-1)$
  ค้นหา $\det W$ โดยใช้วิธี Gaussian
  แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยวิธีเกาส์เซียนโดยเลือกองค์ประกอบหลักตามคอลัมน์ $Wx=b$

  ภารกิจที่ 3 กำหนดตารางข้อมูลการทดลอง
  สมมติว่าการพึ่งพาเป็นแบบเส้นตรง เช่น $y=ax+b$ ให้หา $a$ และ $b$ โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด
  บนกระดาษกราฟแผ่นเดียวกัน พล็อตจุดของตารางและวาดเส้นตรงผลลัพธ์
  การคำนวณทั้งหมดดำเนินการด้วยทศนิยม 5 ตำแหน่ง

• การแก้ปัญหา Cauchy โดยวิธีเลข 5 หน้า
  

  แก้ปัญหาโดยใช้วิธีออยเลอร์ วิธีอดัมส์ วิธีรุงเง-คุตตะ

• วิธีทดสอบเชิงตัวเลขพร้อมเฉลย 6 งาน 9 หน้า
  

  งาน 1. ค้นหารากของสมการในส่วนโดยใช้วิธีการของนิวตันที่มีความแม่นยำ 0.01

  ภารกิจที่ 2 ใช้วิธีคอร์ดเพื่อค้นหา รากเชิงลบสมการที่มีความแม่นยำ 0.0001 จำเป็นต้องมีการสร้างกราฟเบื้องต้นของฟังก์ชันและการแยกราก

  ภารกิจที่ 3 กำหนดค่าของรากของระบบสมการโดยใช้วิธี Seidel

  ภารกิจที่ 4 ใช้วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อคำนวณอินทิกรัลด้วยขั้นตอน 0.02:

  ภารกิจที่ 5 ใช้วิธี Euler-Cauchy เพื่อหาทางออก สมการเชิงอนุพันธ์ในช่วง x = , เงื่อนไขเริ่มต้น y(x=0) = 0. ขั้นตอนการรวม h = 0.02.

  ภารกิจที่ 6 กำหนดตารางค่าฟังก์ชัน ใช้พหุนามการประมาณค่าของนิวตัน คำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x = 0.077

• การทดสอบคณิตศาสตร์เชิงคำนวณในไฟล์การคำนวณ MathCad + xmcd
  

  ภารกิจที่ 1. ใช้ฟังก์ชันในตัวของ MathCad ทำการคำนวณอย่างง่าย

  ภารกิจที่ 2 ใช้ฟังก์ชัน MathCad ในตัวเพื่อแก้สมการ ใช้วิธีการแยกราก รับการตีความกราฟิก ใช้ฟังก์ชันในตัวของ Mathcad รับคำตอบโดยวิธีหารครึ่งและวิธีนิวตัน

  ภารกิจที่ 3. ใช้ฟังก์ชันในตัวของ MathCad แก้ระบบสมการเชิงเส้น แล้วตรวจสอบด้วยวิธีตัวเลข วิธีเกาส์

  ภารกิจที่ 4. ใช้ฟังก์ชัน MathCad ในตัว แก้ระบบสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น แล้วตรวจสอบด้วยตัวเลข วิธีการของนิวตัน

  ภารกิจที่ 5 แก้ปัญหาความแตกต่างเชิงตัวเลขของฟังก์ชัน

  งาน 6. เปรียบเทียบผลลัพธ์ของการรวมตัวเลข วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขวาด้วยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

  ภารกิจที่ 7. แก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญด้วยตัวเลข: วิธีออยเลอร์

  งาน 8. แก้ปัญหาการค้นหาพหุนามการแก้ไขสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในตาราง ค้นหาค่าฟังก์ชันใน จุดที่กำหนด: ปริญญาที่ 2 และ 6

การถอดเสียง

1 หน่วยงานของรัฐบาลกลางโดยการศึกษาของการวิจัยแห่งชาติสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยนิวเคลียร์"MEPhI" V.I. วิธีการเชิงตัวเลขของ Raschikov การประชุมเชิงปฏิบัติการคอมพิวเตอร์มอสโก 009

2 UDC 519.(075) BBK.193ya7 A R8 Raschikov V.I. วิธีการเชิงตัวเลข อบรมเชิงปฏิบัติการคอมพิวเตอร์ช่วยสอน. ม.: NRNU MEPhI, p. คู่มือนี้นำเสนอวิธีแก้ตัวเลขหลัก งานทางกายภาพ: การประมาณและการแก้ไขฟังก์ชัน การรวมตัวเลขและการหาอนุพันธ์ การแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบ โจทย์พีชคณิตเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย วิธีการหาค่าเหมาะสมที่สุด มีการเลือกจำนวนมากเพื่อแสดงแต่ละวิธี งานทั่วไปซึ่งมักพบในการคำนวณทางวิศวกรรมและกายภาพ บล็อกไดอะแกรมที่กำหนดของโปรแกรมและ คำแนะนำการปฏิบัติโดยการเขียนจะช่วยให้คุณเข้าใจรายละเอียดเกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาและอำนวยความสะดวกในกระบวนการเขียนโปรแกรม คู่มือนี้มีไว้สำหรับนักศึกษาของคณะ MEPhI ในเวลากลางวันและภาคค่ำ และอาจเป็นประโยชน์กับนักศึกษาของมหาวิทยาลัยอื่นๆ ได้รับการอนุมัติจากกองบรรณาธิการของ NRNU MEPhI ให้เป็นอุปกรณ์ช่วยสอน ผู้วิจารณ์ เทคโนโลยี วิทยาศาสตร์ รศ. วี.เอ็ม. Barbashov ISBN National Research Nuclear University MEPhI, 009

3 สารบัญ คำนำ... 4 งาน 1. การวิเคราะห์ลำดับข้อมูล... 7 งาน. การแก้สมการไม่เชิงเส้น ภารกิจที่ 3. การประมาณค่า... 1 ภารกิจที่ 4. การประมาณค่า... 7 ภารกิจที่ 5. ความแตกต่างเชิงตัวเลข ภารกิจที่ 6. การรวมตัวเลข ภารกิจที่ 7. การคำนวณปริพันธ์พหุคูณด้วยวิธีมอนติคาร์โล ภารกิจที่ 8. การแก้ระบบเชิงเส้น สมการเชิงพีชคณิต ภารกิจที่ 9. ปัญหาบางส่วน ค่าลักษณะเฉพาะภารกิจที่ 10. การค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร ภารกิจที่ 11. การค้นหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสองตัวแปร งานตัวแปร 1. คำตอบที่เป็นตัวเลขของปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ภารกิจที่ 13. คำตอบที่เป็นตัวเลขของปัญหาค่าขอบเขตเชิงเส้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง ภารกิจที่ 14. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการการขนส่งเชิงเส้น ภารกิจที่ 15. คำตอบที่เป็นตัวเลขของหนึ่ง- สมการความร้อนเชิงมิติ ภารกิจที่ 16. คำตอบเชิงตัวเลขของสมการความร้อนในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ภารกิจที่ 17. คำตอบเชิงตัวเลขของสมการความร้อนหนึ่งมิติ สมการคลื่นงาน 18. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการปัวซองในบรรณานุกรมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

4 คำนำ นี่คือ เครื่องช่วยสอนรวบรวมจากประสบการณ์หลายปีของผู้เขียนในการดำเนินการชั้นเรียนภาคปฏิบัติและการบรรยายในหลักสูตร "วิธีการเชิงตัวเลข" ที่คณะ MEPhI ในเวลากลางวันและตอนเย็น การประชุมเชิงปฏิบัติการคอมพิวเตอร์เป็นหนึ่งในปัจจัยหลักสำหรับการเรียนรู้วิธีเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาทางกายภาพซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการจัดสรร ส่วนใหญ่เวลาที่กำหนดสำหรับหลักสูตร คู่มือประกอบด้วย 18 งานที่ครอบคลุมเกือบทุกส่วนหลักของหลักสูตร: การประมาณค่าและการประมาณฟังก์ชัน การรวมเชิงตัวเลขและการหาอนุพันธ์ การแก้สมการและระบบไม่เชิงเส้น ปัญหาของพีชคณิตเชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการในอนุพันธ์ย่อย วิธีเชิงตัวเลข สำหรับหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและหลายตัวแปร แต่ละงานจัดเตรียมสิ่งที่จำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจวิธีการ ข้อมูลทางทฤษฎีตัวเลือกงานสำหรับ เติมเต็มตนเองและคำแนะนำเชิงปฏิบัติสำหรับการเขียนโปรแกรมซึ่งสนับสนุนโดยผังงานของอัลกอริทึมการคำนวณ ในตอนท้ายของแต่ละงานจะมีรายการคำถามควบคุมที่ให้คุณตรวจสอบระดับการดูดซึมของเนื้อหาที่ศึกษา แผนผังลำดับงานเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม การนำเสนอภาพอัลกอริทึมของปัญหาซึ่งทำให้เข้าใจวิธีการแก้ปัญหาและเขียนโปรแกรมได้ง่ายขึ้น เมื่อดำเนินการตามโครงร่างจะใช้ GOST ซึ่งควบคุมกฎสำหรับการสร้างโครงร่างและ รูปร่างองค์ประกอบของพวกเขา องค์ประกอบหลักที่จะใช้ในอนาคตในคู่มือมีดังนี้: - เทอร์มิเนเตอร์; องค์ประกอบแสดงอินพุตจาก สภาพแวดล้อมภายนอกหรือออกจากมัน (ที่ใช้บ่อยที่สุดคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของโปรแกรม) การกระทำที่เกี่ยวข้องถูกเขียนไว้ในภาพ สี่

5 - กระบวนการ; ดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่าง, ประมวลผลข้อมูลใด ๆ (การเปลี่ยนแปลงค่าของข้อมูล, รูปแบบการนำเสนอ, สถานที่) ภายในรูป การดำเนินงานจะถูกเขียนโดยตรง; - การตัดสินใจ; แสดงการตัดสินใจหรือฟังก์ชันประเภทสวิตช์ที่มีอินพุตหนึ่งตัวและเอาต์พุตทางเลือกสองตัวหรือมากกว่า ซึ่งสามารถเลือกได้เพียงหนึ่งตัวหลังจากประเมินเงื่อนไขที่กำหนดไว้ภายในองค์ประกอบนี้ ทางเข้าสู่องค์ประกอบจะถูกระบุด้วยเส้นที่มักจะเข้าสู่จุดยอดบนสุดขององค์ประกอบ หากมีทางออกสองหรือสามทางออก โดยปกติแต่ละทางออกจะถูกระบุด้วยเส้นที่ออกมาจากจุดยอดที่เหลือ (ด้านข้างและด้านล่าง) ใช้เพื่อแสดงคำสั่งเงื่อนไข f (สองเอาต์พุต: จริง, เท็จ) และกรณี (หลายเอาต์พุต); - กระบวนการที่กำหนดไว้ล่วงหน้า สัญลักษณ์แสดงการดำเนินการของกระบวนการที่ประกอบด้วยหนึ่งหรือหลายการดำเนินการ ซึ่งกำหนดไว้ที่อื่นในโปรแกรม (ในรูทีนย่อย, โมดูล) ภายในสัญลักษณ์จะเขียนชื่อของกระบวนการและข้อมูลที่ถ่ายโอนไป ใช้เพื่อระบุการเรียกไปยังขั้นตอนหรือฟังก์ชัน - ข้อมูล (อินพุต - เอาต์พุต); การแปลงข้อมูลให้อยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมต่อการประมวลผล (อินพุต) หรือแสดงผลการประมวลผล (เอาต์พุต) สัญลักษณ์นี้ไม่ได้กำหนดสื่อข้อมูล (ใช้สัญลักษณ์เฉพาะเพื่อระบุประเภทของสื่อข้อมูล) - ขอบเขตของวงจร สัญลักษณ์ประกอบด้วยสองส่วนตามลำดับ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวงจร การดำเนินการที่ดำเนินการภายในวงจรจะถูกวางไว้ระหว่างพวกเขา เงื่อนไขของลูปและการเพิ่มขึ้นถูกเขียนไว้ภายในสัญลักษณ์เริ่มต้นหรือสิ้นสุดของลูป ขึ้นอยู่กับประเภทขององค์กรของลูป บ่อยครั้งสำหรับรูปภาพบนบล็อกไดอะแกรมของวัฏจักรจะใช้สัญลักษณ์การตัดสินใจแทนสัญลักษณ์นี้ซึ่งระบุ 5 ในนั้น

6 เงื่อนไขและหนึ่งในบรรทัดเอาต์พุตถูกปิดสูงกว่าในบล็อกไดอะแกรม (ก่อนการดำเนินการวนซ้ำ) - ตัวเชื่อมต่อ; สัญลักษณ์แสดงถึงทางออกจากส่วนหนึ่งของวงจรและทางเข้าจากส่วนอื่นของวงจรนั้น ใช้เพื่อแบ่งบรรทัดและดำเนินการต่อที่อื่น (ตัวอย่าง: การแยกผังงานที่ไม่พอดีกับแผ่นงาน) - ความคิดเห็น; ใช้สำหรับมากขึ้น คำอธิบายโดยละเอียดขั้นตอน กระบวนการ หรือกลุ่มของกระบวนการ คำอธิบายวางอยู่ด้านข้าง วงเล็บเหลี่ยมและปกคลุมไปทั่ว ประ เส้นไปไปยังองค์ประกอบหรือกลุ่มขององค์ประกอบที่อธิบายไว้ (ในกรณีนี้ กลุ่มจะถูกเน้นด้วยเส้นประแบบปิด) นอกจากนี้ สัญลักษณ์ความคิดเห็นยังใช้ในกรณีที่จำนวนข้อความในสัญลักษณ์อื่นๆ (เช่น สัญลักษณ์กระบวนการ สัญลักษณ์ข้อมูล ฯลฯ) เกินปริมาณ ลำดับของการกระทำถูกกำหนดโดยการเชื่อมต่อจุดยอดซึ่งทำให้เราสามารถพิจารณาผังงานได้ไม่เพียง แต่เป็นการตีความอัลกอริทึมด้วยภาพซึ่งสะดวกสำหรับการรับรู้ของมนุษย์ แต่ยังเป็นกราฟที่กำกับด้วย เมื่อเขียนคู่มือนี้ ใช้วัสดุจาก [-4] เป็นหลัก สำหรับการศึกษาวิธีการเชิงตัวเลขที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นใน รายการบรรณานุกรมมีการสอนที่จำเป็น 6

7 ภารกิจที่ 1 การวิเคราะห์ลำดับข้อมูล จุดประสงค์ของงานคือการสร้างส้อมและโครงสร้างวงจรในโปรแกรม เพื่อพัฒนาโปรแกรมสำหรับวิเคราะห์การไหลของข้อมูล การกำหนดรูปแบบปัญหา ในบทความนี้ เราวิเคราะห์ลำดับที่จำลองการไหลของข้อมูลการทดลอง ให้ f(x) เป็นการทดลองที่ขึ้นอยู่กับส่วนที่มีขั้นตอนคงที่ b a h, N 1 โดยที่ N คือจำนวนของจุดใน การพึ่งพาการทดลอง. ค่าของ abscissas ของจุดเหล่านี้ถูกกำหนดโดยสูตร x = a + h, = 0, 1, n จำเป็นต้องคำนวณ: 1) ค่าสูงสุดฟังก์ชัน fmax สูงสุด f และหมายเลขโหนด max ซึ่งถึงค่านี้แล้ว) ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน fmn mn f ; 3) ค่าเฉลี่ยของ f จัตุรัสกลางค่า f และ RMS ฟังก์ชัน f t: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 ค่าลบฉ (= 0, 1,..., n); 7

8 5) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย 1 n 1 n (f f) 0 ตัวเลือกฟังก์ชั่น f(x) k m 1) f (x) cos (x /) x ; กม.) f (x) sn (x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (x) ; กม. 4) ฉ (x) 1 x tg (x / 4) ; กม. 5) ฉ (x) (1 x) tg (x / 4) ; 6) 1/ กม. ​​f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 7) () x ม f x อี sn(x /) ; x k ม 8) ฉ (x) อี x sn(x /) ; ม. 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ ม. 1/ x x ; มล. 11) ฉ (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x ; กม. 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ กม. ​​f (x) (1 x) sh x ; 1/ กม. ​​f (x) (1 x) sh x ; มล. 16) ฉ (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) ส่วนโค้ง x (1 x) ; ม.ล. 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ช x. ในฟังก์ชั่นพารามิเตอร์ l, k, t รับค่าตั้งแต่ 1 ถึง 4, 0 x 1, ค่าที่แนะนำของ n คือตั้งแต่ 50 ถึง

9 การเขียนโปรแกรมเกือบทั้งหมด การใช้งานที่ทันสมัย ภาษาสากลการเขียนโปรแกรม เช่น ภาษาฟอร์แทรน ภาษาซี ภาษาปาสคาล ก็มีเหมือนกัน องค์ประกอบโครงสร้างด้วยโปรแกรมที่สร้างขึ้น โครงสร้างหลักที่ศึกษาในโปรแกรมนี้คือ fork และ the loop ส้อมสามารถแสดงเป็นบล็อกไดอะแกรมดังแสดงในรูปที่

10 นี่ P (วิธีแก้ปัญหา) คือบางส่วน สภาวะบูลีนซึ่งสามารถรับค่า "จริง" (ใช่, จริง) หรือ "เท็จ" (ไม่ใช่, เท็จ) ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ บล็อกของ statement A หรือ บล็อกของ statement B จะถูกดำเนินการ สามารถทำได้โดยใช้ fork หรือใช้ตัวดำเนินการลูปพิเศษที่มีเงื่อนไขเบื้องต้น มีการตรวจสอบเมื่อเข้าสู่ลูป) โดยมี postcondition (คำสั่งเงื่อนไขการดำเนินการของเนื้อหาลูปจะถูกตรวจสอบเมื่อออกจากลูป) โดยมีตัวนับ (ตัวแปรที่เรียกว่าตัวนับลูปจะเปลี่ยนทีละขั้นจนกว่าจะถึงค่าคงที่) บนบล็อกไดอะแกรม วงจรจะแสดงด้วยส้อม (รูปที่ 1) หรือสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยสองส่วน ซึ่งแสดงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของวงจร (รูปที่ 1.3) ทั้งสองส่วนของสัญลักษณ์มีตัวระบุเดียวกัน เงื่อนไขสำหรับการเริ่มต้น การเพิ่ม การสิ้นสุด ฯลฯ จะอยู่ภายในสัญลักษณ์ที่จุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของการดำเนินการที่ตรวจสอบเงื่อนไข รูปบล็อกไดอะแกรมของส้อม (“การตัดสินใจ”, “ทางเลือก”) 1.. แผนผังของวงจรด้วยส้อม ในตัวอย่างในรูปที่ 1. ตัวแปรประเภทจำนวนเต็มอย่างง่ายเรียกว่าตัวแปรวนซ้ำ เสื้อ 1 ค่าเริ่มต้นตัวแปรลูป m 3 คือขั้นตอนการเปลี่ยนแปลง และ m กำหนดค่าสุดท้าย F คือเนื้อหาของลูป 10

มะเดื่อ 11 แผนผังของวงจรที่มีสัญลักษณ์พิเศษ ในงานของเรา ค่าของฟังก์ชัน u ที่คำนวณที่โหนด x ควรอยู่ในอาร์เรย์หนึ่งมิติโดยได้อธิบายประเภทและมิติไว้ก่อนหน้านี้ แผนภาพบล็อกของโปรแกรมแสดงในรูปที่ ในบล็อกจะมีการป้อนข้อมูลเริ่มต้นวงจรสำหรับการคำนวณปริมาณหลักยกเว้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ยการคำนวณจะแยกออกเป็นรอบแยกต่างหากเนื่องจากขึ้นอยู่กับผลการดำเนินงานก่อนหน้านี้ ในบล็อก 9 ผลลัพธ์จะถูกนำไปยังแบบฟอร์มที่ต้องการ และในบล็อก 10 จะแสดงผลลัพธ์ 1 เริ่ม 6 โดย =1,N เริ่มต้นข้อมูล 11 7 (f f)

12 ในการตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรม ขอแนะนำให้ศึกษาฟังก์ชันการทดสอบ u(x) x(1 x) 1/8, N 101 ก่อน ซึ่งควรได้รับผลลัพธ์ต่อไปนี้: 1

13 umax 0.15, สูงสุด 51, umn 0.15, mn 1; คุณ u um p 0.970, p , ζ , ขอแนะนำให้ทำการคำนวณสำหรับค่าต่างๆ ของ n และวิเคราะห์ว่าผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงอย่างไร เนื้อหาของรายงาน รายงานควรประกอบด้วย: สูตร พารามิเตอร์ และกราฟของฟังก์ชัน u(x) สำหรับตัวแปรเฉพาะ ข้อความโปรแกรม ผลการคำนวณ คำถามควบคุม 1. อาร์เรย์อธิบายอย่างไร?. คำสั่งวนซ้ำเขียนและดำเนินการอย่างไร 3. ตัวดำเนินการลูปมีข้อจำกัดอะไรบ้าง? 4. คำสั่งอินพุตและเอาต์พุตเขียนและดำเนินการอย่างไร 13

14 การแก้ปัญหาของสมการไม่เชิงเส้น วัตถุประสงค์ของงาน: การศึกษาวิธีการวนซ้ำแบบมีเงื่อนไขและไม่มีเงื่อนไขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น แถลงการณ์ของปัญหา หนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยที่สุดที่นักฟิสิกส์เผชิญคือการแก้สมการในรูปแบบ f(x) = 0 (.1) วิธีหาคำตอบคือ การประมาณต่อเนื่องหรือวิธีการวนซ้ำ สามารถหาค่าประมาณเบื้องต้นได้จากการพิจารณาทางกายภาพ จากประสบการณ์ในการแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกัน โดยใช้ วิธีการกราฟิกเป็นต้น การค้นหารากของสมการนั้นดำเนินการทางคณิตศาสตร์โดยใช้การสร้างลำดับ Cauchy (x) เมื่อสำหรับค่าที่กำหนดจะมี N เช่นนั้นสำหรับ n และ p ทั้งหมดที่เกิน N, x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 มันมีรากที่ต้องการ ครึ่งหลังของส่วนสามารถละเว้นได้ จากนั้นเราแบ่งส่วนใหม่ออกเป็นสองส่วนและกลับมาเป็นสองส่วนอีกครั้งโดยที่ส่วนท้ายของส่วนใดส่วนหนึ่งมีเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั่นคือมีรูท ดังนั้น หลังจากการวนซ้ำแต่ละครั้ง เซ็กเมนต์เดิมจะลดลงครึ่งหนึ่ง นั่นคือ หลังจากวนซ้ำ n ครั้ง มันจะลดลง n ครั้ง กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกว่าค่าของโมดูลของฟังก์ชันจะน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ เช่น f(x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16 และการประมาณถัดไป x 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นสัมผัสกับแกน x กำหนดโดยสูตร f(x0) x1 x0 f (x0) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาค่าประมาณ f(xn) xn 1 x, n f (xn) โดยสร้างแทนเจนต์ตามลำดับจากจุด М 1,..,М n-1 อย่าลืมว่า f (x n) 0 แทนเจนต์เป็นวิธีการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ สำหรับการลู่เข้า * lm x x เงื่อนไขต่อไปนี้ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขในพื้นที่การค้นหารูท " " ff (f), x * คือค่าที่ต้องการของรูท สำหรับการประมาณค่าศูนย์โดยพลการ การวนซ้ำจะบรรจบกันหากเงื่อนไขที่ได้รับข้างต้นเป็นที่น่าพอใจทุกที่ มิฉะนั้น การบรรจบกันจะเกิดขึ้นเฉพาะในบางพื้นที่ของรากเท่านั้น สามารถใช้เกณฑ์ต่อไปนี้เพื่อสิ้นสุดกระบวนการวนซ้ำ 1. จำนวนการวนซ้ำสูงสุด เกณฑ์นี้จำเป็นหากวิธีการไม่มาบรรจบกัน อย่างไรก็ตาม เป็นการยากที่จะกำหนดล่วงหน้าว่าจะต้องวนซ้ำกี่ครั้งจึงจะได้ความแม่นยำที่น่าพอใจ ความแปรผันต่ำ ของการประมาณไปยังราก: x n+1 xn< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 การไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไข (.) ที่ > 10 มักจะบ่งชี้ว่าไม่มีการลู่เข้า ข้อผิดพลาดในสูตรหรือในโปรแกรม วิธีซีแคนต์ การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ซึ่งจำเป็นในวิธีของนิวตันนั้นไม่สะดวกหรือเป็นไปได้เสมอไป การแทนที่อนุพันธ์ของผลต่างที่ถูกหารครั้งแรกซึ่งพบได้จากการวนซ้ำสองครั้งล่าสุด (กล่าวคือ การแทนที่แทนเจนต์ด้วยซีแคนต์) นำเราไปสู่วิธีการซีแคนต์ จากมุมมองของวิธีการวิเคราะห์ เส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดสุดท้าย x n และ x n 1 จะถือเป็นค่าประมาณ เช่น แทนที่จะเป็นอนุพันธ์ในวิธีสัมผัส จำเป็นต้องแทนที่ "f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 จากนั้นเราก็มาถึงสูตรของวิธีแยกส่วน: xn xn 1 xn 1 xn f (xn).f (x) f (x) n รูปที่ 3. ภาพประกอบของวิธีแยกส่วน 17 n 1 (ความเร่ง) จุด x 0 และ x 1 กราฟแสดงวิธีการไว้ในรูปที่ 3 ขั้นแรก ผ่านจุดที่เลือก (x 0, f (x 0)), (x 1, f (x 1) ) เราวาดเส้นตรงจนกระทั่งมันตัดกับแกน x และกำหนด x และเส้นแนวตั้งที่ x ให้ f(x) จากนั้นลากเส้นผ่านจุด (x 1, f(x 1)) และ (x , f(x)) ไปเรื่อยๆ จนครบ 1 ใน 3 เงื่อนไขในการยุติกระบวนการวนซ้ำ (.) โดยปกติ วิธี secant ต้องการการวนซ้ำมากกว่าวิธี tangent แต่การวนซ้ำแต่ละครั้งจะเร็วกว่ามาก เนื่องจากไม่จำเป็น เพื่อคำนวณ f "(x) และบ่อยครั้ง ม. ปริมาณการคำนวณเท่ากัน

การทำซ้ำ 18 ครั้ง คุณสามารถทำซ้ำได้มากขึ้นและได้รับความแม่นยำสูงขึ้น ตัวเลือกการมอบหมาย การใช้วิธีแบ่งขั้วแบบลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขและหนึ่งในวิธีการบรรจบแบบมีเงื่อนไขแบบใดแบบหนึ่ง (แทนเจนต์หรือซีแคนต์) ให้หารากของฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งด้านล่างในส่วน 0 x 1 ในฟังก์ชัน พารามิเตอร์ l, k, t รับค่าตั้งแต่ 1 ถึง 4 ขอแนะนำให้ตรวจสอบฟังก์ชันเดียวกันกับในงานที่ 1 k m 1) f (x) cos (π x /) x ; km) f (x) sn (π x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (π x); กม. 4) ฉ (x) 1 x tg (π x / 4) ; กม. 5) f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 6) 1/ กม. ​​f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 7) () x ม f x อี sn(π x /) ; x k ม 8) ฉ (x) อี x sn(π x /) ; ม. 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ ม. 1/ x x ; มล. 11) ฉ (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x ; กม. 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ กม. ​​f (x) (1 x) sh x ; 1/ กม. ​​f (x) (1 x) sh x ; มล. 16) ฉ (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) ส่วนโค้ง x (1 x) ; ม.ล. 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ช x. สิบแปด

19 การเขียนโปรแกรม เมื่อคอมไพล์โปรแกรม แนะนำให้ตั้งค่าจำนวนการวนซ้ำสูงสุดที่อนุญาต ขัดจังหวะกระบวนการวนซ้ำ if = max สิ่งนี้จะป้องกันสิ่งที่เรียกว่า "การวนซ้ำ" ของโปรแกรม ซึ่งบางครั้งเกิดขึ้นเนื่องจากข้อผิดพลาดในสูตรหรือโปรแกรม ตลอดจนการเลือกการวนซ้ำเริ่มต้นที่ไม่สำเร็จ ในปัญหานี้ก็เพียงพอแล้วที่จะตั้งค่า max = 30 เนื่องจากในกรณีที่ไม่มีข้อผิดพลาด การบรรจบกันจะทำได้เร็วกว่ามาก แนะนำให้เลือกค่า ε ในช่วง เป็นการวนซ้ำครั้งแรก คุณสามารถใช้ x 0 = 0, หากการวนซ้ำไม่มาบรรจบกัน ค่านี้สามารถลดหรือเพิ่มได้ โดยคงอยู่ในช่วง 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b=c รูปที่..4 บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมสำหรับแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีแบ่งขั้ว 19

20 1 เริ่มต้น ข้อมูลเริ่มต้น 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) ไม่ใช่ x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 สูงสุด 5 x x f f (x) 1 ใช่ ๆ<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 เนื้อหาของรายงาน รายงานควรมี: สูตรของฟังก์ชัน f(x) สำหรับตัวแปรเฉพาะ; ตั้งค่า ε และค่าเริ่มต้น x 0 ; ข้อความโปรแกรม พบค่าโดยประมาณของรูตและจำนวนการวนซ้ำสำหรับทั้งสองวิธี กราฟของฟังก์ชัน f(x) ที่สร้างขึ้นในงานที่แล้ว คำถามควบคุม 1. คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยวิธีแทนเจนต์เป็นอย่างไร มีลักษณะอย่างไร รับเงื่อนไขการบรรจบกันสำหรับวิธีสัมผัส 3. รับค่าประมาณของอัตรา (ลำดับ) ของการบรรจบกันของวิธีสัมผัส 4. วิธีแก้สมการไม่เชิงเส้นสร้างโดยวิธีซีแคนต์ได้อย่างไร มีลักษณะอย่างไร 5. มีวิธีอื่นใดอีกบ้างในการแก้สมการไม่เชิงเส้น 6. วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยวิธีไดโคโตมีมีลักษณะอย่างไร? 7. เปรียบเทียบวิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้นในแง่ของอัตราการบรรจบกันโดยใช้ผลลัพธ์ที่คุณได้รับเป็นตัวอย่าง 1

22 ภารกิจที่ 3 การแก้ไข จุดประสงค์ของงานคือการศึกษาวิธีการแก้ไข การสร้างพหุนามการประมาณค่าของนิวตัน การกำหนดปัญหา การจำลองเชิงตัวเลขของปัญหาทางกายภาพส่วนใหญ่มีความเกี่ยวข้องตามกฎ โดยจำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยต่างๆ ที่ไม่สามารถอธิบายในเชิงวิเคราะห์ได้ มีการพึ่งพาการทดลองจำนวนหนึ่งที่ได้รับจากจำนวนจุดคงที่ในช่วงของตัวแปรที่เราสนใจ ดังนั้น เมื่อแก้ปัญหาที่แพร่หลายเกี่ยวกับไดนามิกของวัตถุมาโครและจุลภาคในสนามโน้มถ่วงหรือสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ข้อมูลเกี่ยวกับสนามมักเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับในรูปแบบของฟังก์ชันการวิเคราะห์ โดยไม่แนะนำสมมติฐานที่ง่ายขึ้นซึ่งอาจส่งผลต่อผลลัพธ์อย่างมีนัยสำคัญ . ในกรณีนี้ จำเป็นต้องหันไปใช้ลักษณะการทดลอง และการทดลองสามารถทำได้ในจำนวนครั้งที่จำกัดเท่านั้น ดังนั้นเราจึงมาถึงปัญหาทางกายภาพซึ่งฟังก์ชันจำนวนหนึ่งได้รับจากจำนวนจำกัดของจุด x ของช่วงคงที่ของอาร์กิวเมนต์ x อย่างไรก็ตาม วิธีการเชิงตัวเลขอาจต้องการความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดในภูมิภาคนี้ ในกรณีนี้ ปัญหาเกิดจากการคืนค่าฟังก์ชัน y(x) สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากทราบค่าของมันที่จำนวนจุดคงที่ x ของส่วนนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดและพบได้บ่อยที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการแก้ไขระหว่างค่าข้างเคียง ซึ่งช่วยลดการสร้างฟังก์ชัน (x) ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน y(x) ที่จุด x เช่น (x) = y(x) = y = 0, 1, n โดยที่ n + 1 คือจำนวนจุดที่ระบุในส่วน และ x คือโหนดการแก้ไข

23 เมื่อเลือกฟังก์ชันการแก้ไข (x) จำเป็นต้องจำกัดการค้นหาเฉพาะฟังก์ชันที่คำนวณได้ง่ายและรวดเร็วบนคอมพิวเตอร์ เนื่องจากตามกฎแล้วจะต้องคำนวณหลายครั้ง มีพหุนามการประมาณค่าและวิธีการสร้างพหุนามมากมาย เหมาะสำหรับตำแหน่งโหนดต่างๆ เมื่อสร้างการประมาณค่าพหุนาม มักจะถือว่าชุดของโหนดที่ใช้นั้นเป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่ทราบเฉพาะความถูกต้องที่จำเป็นเท่านั้น และจำนวนโหนดไม่ได้รับการแก้ไข พหุนามการประมาณค่าของนิวตันซึ่งเป็นหัวข้อของงานนี้ มีความแตกต่างจากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนของโหนดที่ใช้สามารถเพิ่มหรือลดได้ง่ายโดยไม่ต้องทำซ้ำรอบการคำนวณทั้งหมด ซึ่งจะเป็นการเปลี่ยนแปลงความแม่นยำในการประมาณค่า การแก้ไขจะดำเนินการบนโต๊ะที่มีโหนดเท่ากัน แม้ว่าพหุนามการแก้ไขของนิวตันจะใช้กับการจัดเรียงโหนดใดๆ งานประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้ 1. คำนวณตารางค่า y y(x) ฟังก์ชันที่กำหนด y(x) ที่โหนดระยะเท่ากัน x h (0,1,..., n), h 1/ n, ส่วน .. สร้างตารางความแตกต่างแรกของฟังก์ชัน y 1 y y 1 y y(x 1, x) (0 ,1,. .., น 1). x x h 1 3. สร้างตารางความแตกต่างที่สองหาร y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) ตาม กับตารางเหล่านี้ โดยใช้พหุนามการประมาณนิวตันอันดับสอง P(x) y (x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x )(x x 1), ชม

24 คำนวณค่าของ P(x) ที่จุด (โหนด) ด้วยดัชนีจำนวนเต็มครึ่ง x 1/ (1/) ชั่วโมง (0,1,..., n) 5. ค้นหาข้อผิดพลาดการแก้ไขที่โหนดเหล่านี้ ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ ข้อผิดพลาดสูงสุด ε สูงสุด, ค่าเฉลี่ยข้อผิดพลาดกำลังสอง และรูทค่าเฉลี่ยข้อผิดพลาดกำลังสอง ε m: n 1 εmax สูงสุด ε 1/, ε ε 1/, εm ε n 1 6. ตรวจสอบว่าข้อผิดพลาด ε max และ ε m เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อ n 0 ตัวเลือกของฟังก์ชัน y(x) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/ m sn (π x); 4) y(x) k 1/ m cos (π x); 5) ย(x) กม. tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/ m tg (π x / 4); 7) y(x) 4 ขวาน 3 bx ; 8) y(x) (a mk bx); 9) y(x) (ม 1/ k bx) ; 10) y(x) (a 1/ mk bx) ; 11) y(x) (a 1/ ม 1/ k bx) ; 1) y(x) kx /(a m bx); 13) ย(x) kx /(ม bx); 14) y(x) 1/ k x /(a m bx) ; 15) ย(x) k x /(ก 1/ ม bx); 16) y(x) 1/ k x /(a 1/ m bx) ; 17) ย(x) (กx) / (ข 4 มx) ; 18) y(x) (ก 1/ kx) / (ข 4 ม.x) ; 19) ย(x) (กx) / (ข 4 1/ มx) ; 0) y(x) (a 1/ kx) / (b 4 1/ mx) ; 1) y(x) k x / (a ​​m bx);) y(x) 1/ k x / (a ​​m bx); 3) y(x) k x / (a ​​1/ m bx); 4) y(x) 1/ kx / (a ​​1/ m bx); กม.1/ กม.5) yx () ln (1 x); 6) y(x)ln(1x); สี่

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x)ln(1x); k x 1/ k x 9) y(x) xe ; 30) ย(x) x อี ; 1/ม. 1/ม.k x 1/k x 31) y(x) xe ; 3) ย(x) x อี ; 8(x 0.5) k 8(x 0.5) 33) y(x) จ ; 34) ย(x) x อี ; 1/ k 8(x 0.5) m 1/ k 35) y(x) x e ; 36) y(x) (a bx) ; 1/ ม 1/ กม ม ก 37) y(x) (a bx); 38) y(x) (a bx) ; ม. 1/ k 1/ ม. 1/ k 39) y(x) (a bx) ; 40) y(x) (a bx) ; k m k m 41) y(x) ส่วนโค้ง; 4) y(x) ส่วนโค้ง; k 1/ m k m 43) y(x) ส่วนโค้ง; 44) y(x) ส่วนโค้ง; ม.1/ ม.45) y(x) arctg(a bx); 46) y(x) arctg(a bx); 47) y(x) sh(ม bx) ; 48) y(x) sh(ก 1/ ม bx) ; 47) y(x) ch(ม bx) ; 50) y(x) ch(a 1/ ม bx). การเขียนโปรแกรมแผนภาพบล็อกของโปรแกรมแสดงในรูปที่โปรแกรมขึ้นอยู่กับสามรอบติดต่อกันของบล็อก 6-7-8 ในการจัดเก็บค่าฟังก์ชันที่คำนวณในรอบเหล่านี้ความแตกต่างที่หนึ่งและสองรวมถึง ข้อผิดพลาด ควรอธิบายอาร์เรย์ที่สอดคล้องกัน ในการตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรม ขอแนะนำให้ทำการคำนวณสำหรับฟังก์ชันทดสอบ y(x) x ก่อน ซึ่งค่า ε max และ ε m จะต้องหายไป ห้า

26 1 เริ่มต้น 9 โดย =1,n- ข้อมูลเริ่มต้น 3 โดย =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, สูงสุด 1/ 4 y 11 โดย 5 โดย 1, ม. 6 โดย =1,n-1 13 ผลลัพธ์ของกราฟ 7 y(x +1, x) 14 จบ 8 โดยรูปที่ 3.1 บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมแก้ไข6

27 เนื้อหาของรายงาน รายงานควรมี: สูตรและกราฟของฟังก์ชัน y(x) สำหรับตัวแปรเฉพาะ; ข้อความโปรแกรม ตารางข้อผิดพลาด ε 1/ (0,1,..., n); ค่า ε สูงสุด และ ε t คำถามควบคุม 1. ปัญหาของการแก้ไขกำหนดขึ้นอย่างไร? คุณรู้พหุนามการแก้ไขอะไร 3. การแบ่งส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่แตกต่างกันมีการกำหนดอย่างไร? 4. พหุนามการประมาณค่าของนิวตันถูกสร้างขึ้นอย่างไร? 5. ข้อผิดพลาด (เทอมที่เหลือ) ของพหุนามการแก้ไขคืออะไร? 6. เราจะประเมินข้อผิดพลาดในการแก้ไขได้อย่างไร? 7

28 งาน 4 การประมาณ วัตถุประสงค์ของงาน: การศึกษาการประมาณของฟังก์ชันในตัวอย่างวิธีกำลังสองน้อยที่สุด การกำหนดปัญหา เมื่อแทนที่ฟังก์ชันด้วยพหุนามการแก้ไข เงื่อนไขที่จำเป็นคือการผ่านของพหุนามการแก้ไขผ่านค่าของฟังก์ชันที่โหนดของการแก้ไข ในกรณีของการใช้การพึ่งพาการทดลองค่าของฟังก์ชันที่โหนดจะได้รับโดยมีข้อผิดพลาดบางอย่าง (มักจะค่อนข้างใหญ่) ดังนั้นจึงไม่เหมาะสมที่จะใช้การแก้ไขโดยบังคับให้พหุนามการแก้ไขทำซ้ำข้อผิดพลาดเหล่านี้ ในกรณีนี้ จะเป็นการดีกว่าถ้าใช้การประมาณ เช่น การเลือกฟังก์ชันที่ผ่านจุดที่กำหนดอย่างใกล้ชิด โดยกำหนดเกณฑ์สำหรับ "ความใกล้เคียง" ไว้ก่อนหน้านี้ ขึ้นอยู่กับวิธีการประมาณที่เลือก คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมากจากกัน: เส้นโค้งสามารถผ่านจุดที่กำหนดทั้งหมดได้พอดีและในขณะเดียวกันก็แตกต่างอย่างมากจากฟังก์ชันการประมาณแบบเรียบ = c 0 + c 1 x + c x + + c m x ​​m ซึ่งเลือกค่าสัมประสิทธิ์ c เพื่อลดความเบี่ยงเบนของพหุนามจากฟังก์ชันที่กำหนด 8

29 ลองใช้ค่าประมาณรูทค่าเฉลี่ยกำลังสองของฟังก์ชัน y(x) ด้วยพหุนาม (x) บนเซต (x, y), (= 0, 1, n) ซึ่งหน่วยวัดค่าเบี่ยงเบนคือค่า S ซึ่งเท่ากับผลรวมของความแตกต่างกำลังสองระหว่างค่าของพหุนามและฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ : n n 0 1 m 0 0 S [ (x, c, c,..., c) y ]. ในการสร้างพหุนามโดยประมาณ จำเป็นต้องเลือกค่าสัมประสิทธิ์ c 0, c 1, cm เพื่อให้ค่าของ S มีค่าน้อยที่สุด นี่คือวิธีการกำลังสองน้อยที่สุด หากค่าเบี่ยงเบนเป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบปกติ ค่าพารามิเตอร์ที่ได้รับด้วยวิธีนี้จะเป็นไปได้มากที่สุด ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น การประมาณค่า rms ทำให้ความไม่ถูกต้องของฟังก์ชันราบรื่นขึ้น ทำให้เป็นตัวแทนที่ถูกต้อง เนื่องจาก c ทำหน้าที่เป็นตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน S เราจึงหาค่าต่ำสุดโดยการเทียบศูนย์ของอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวกับตัวแปรเหล่านี้: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1 เช่น เรามาถึงระบบ ของสมการหาค่าค. หากเราใช้พหุนามเป็นฟังก์ชันการประมาณ นิพจน์สำหรับการเบี่ยงเบนกำลังสองจะอยู่ในรูปแบบ: n m (m) 0 S c c x c x c x y เมื่อเทียบอนุพันธ์บางส่วนเป็นศูนย์ เรามาถึงระบบ: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x... c x y) 0; 0 นาโนเมตร (ค ค x... ค x ย) x 0; n 0 1 m m (c c x... c x y) x mm m m 9 น

30 การรวบรวมค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก c 0, c 1, c m เราได้ระบบสมการ: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y ;... n n n n n m m 1 m m m 0 1 m c x c x c x... c x x y. การแก้ระบบเราพบพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก c 0, c 1, c m ในรูปแบบกะทัดรัด เราสามารถเขียน: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; ข 10 ค 0 + ข 11 ค ข 1 ม ค ม = ก 1 ; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k ถ้าเราแนะนำสัญกรณ์ b x, a x y ; k, l 0,1,...,ม. kl k 0 0 เราแสดงด้วยแถบค่าเฉลี่ยเหนือชุดของโหนด x 1 u n 1 และยังแนะนำสัญกรณ์: n 0 k mk x (k 1,...), K x y จากนั้นระบบ (4.1) สามารถเขียนเป็น: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. ระบบสมการสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการทางตรงใด ๆ ที่พิจารณาด้านล่าง เนื่องจากระบบมีเมทริกซ์สมมาตร เราจึงใช้วิธีสแควร์รูทได้ สูตรการคำนวณซึ่งได้รับด้านล่าง: n ; สามสิบ

31 วินาที 1, sm, sm ; s m m, s (m m m) / วินาที ; sm (s s) m (m s); z K, z (K m K) / วินาที ; z [ K (s z s z)] / วินาที ; z z z c c, c, c z (s c s c) s33 s .., n) และข้อผิดพลาดในการประมาณ εmax สูงสุด ε, ε y(x) φ(x), εm ε โดยที่ค่าเฉลี่ยกำลังสองของข้อผิดพลาดคือ ε S / (n 1 ). ตัวเลือกการมอบหมาย พารามิเตอร์: a 0, b 1, n โหนด: x h(0,1,..., n), h 1/ n ความหลากหลายของฟังก์ชัน y(x) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/ q) y(x) sn x (q,3); 3) ย(x) x อี ; 4) y(x) บันทึก(1 q x)(q 1 3); 1/ คิว 5) y(x) cos x (q,3); คิว 6) y(x) cos x (คิว 1 3); 1/ คิว x 7) y(x) อี (q,3); 1/ q 8) y(x) ln(1 x)(q 1 3); 31

32 คิว 9) y(x) x(1 x) 0.01 x (q 3 5); 1/ คิว 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/ q 11) y(x) แทน x (q 1 3); คิว 1) ย(x) 1 x (คิว 1 4); 13) ย(x) (1 คิว 1 x) (คิว 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/ q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/ q x) (q 4); x 17) ย(x) จ ; x 18) ย(x) จ ; 19) y(x) 1/ q ส่วนโค้ง x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/ q x) (q 4); 1) y(x) (1 1/ q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/ q x) (q 4); คิว 3) ย(x) x / (1 x)(คิว 1 4); x คิว 4) y(x) x อี (q 1,). การเขียนโปรแกรม บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมแสดงในรูป 4.. ในการจัดเก็บ y, θ(x) ให้จัดสรรอาร์เรย์ที่มีองค์ประกอบอย่างน้อย n+1 แนะนำให้ทำการคำนวณสำหรับค่าต่างๆ ของ n โดยให้ความสนใจกับการเปลี่ยนแปลงในข้อผิดพลาดด้วยการเพิ่ม n ก็เพียงพอที่จะแสดงผลลัพธ์สำหรับค่า n หนึ่งค่าบนหน้าจอ ในการตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรม ขอแนะนำให้ประมาณฟังก์ชัน y(x) (1 x) เป็นปัญหาทดสอบ ซึ่งข้อผิดพลาด ε สูงสุด , ε t, ต้องเท่ากับศูนย์ 3

33 1 3 เริ่มข้อมูลเริ่มต้นโดย =1,n 7 8 โดย =1,n (x(x),), max สูงสุด 4 y, m k, k l, 9 x 5 x 10 m 6 S, z k, c, c, c ผลลัพธ์ 1 จบรูปที่ 4..บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมประมาณ33

34 เนื้อหาของรายงาน รายงานควรประกอบด้วย: สูตรของฟังก์ชัน y(x) และพารามิเตอร์สำหรับตัวแปรเฉพาะ ข้อความโปรแกรม ค่า c 0, c 1, s; อาร์เรย์และกราฟ y, θ(x); ข้อผิดพลาด ε สูงสุด, ε t, ε คำถามควบคุม 1. งานของการประมาณฟังก์ชันตั้งค่าอย่างไร? การประมาณค่ากำลังสองเฉลี่ยของรูตคืออะไร 3. การประมาณเครื่องแบบคืออะไร? 4. วิธีกำลังสองน้อยที่สุดสร้างได้อย่างไร? 5. ข้อผิดพลาด (เทอมที่เหลือ) ของการประมาณด้วยฟังก์ชันกำลังคืออะไร? 6. เงื่อนไขความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชั่นคืออะไร? 34

35 ภารกิจที่ 5 ผลต่างเชิงตัวเลข จุดประสงค์ของงานคือเพื่อศึกษาวิธีการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข การคำนวณหาอนุพันธ์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยใช้พหุนามการประมาณค่าของนิวตัน สูตรของปัญหา ความแตกต่างของตัวเลขเป็นปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์เชิงคำนวณซึ่งมีการใช้งานที่หลากหลาย ให้ฟังก์ชันกริด y y(x) (0,1,..., n) ที่กำหนดบนชุดของโหนด x, (= 0, 1,...,n) ได้รับ ในการคำนวณอนุพันธ์ y (k) (x) ของคำสั่ง k (k=1,...) ณ จุดหนึ่ง x เราเลือกโหนด m+1 (m k) ในบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ และสร้างการประมาณค่าพหุนาม Р m (x) ของดีกรี m (ตัวอย่างเช่น พหุนามของนิวตัน (ดูภารกิจที่ 3)) ผ่านโหนดที่เลือกทั้งหมด: (5.) y(x) P (x) R (x), m (X) ความเท่าเทียมกันเชิงอนุพันธ์ (5.) เราพบ (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1,...) (5.3) ตอนนี้ให้เราใช้เป็นค่าโดยประมาณของอนุพันธ์ y) (x) อนุพันธ์ของพหุนาม: (k (k) (k) y (x) P (x) (5.4) จากนั้นเทอมที่เหลือ ( ข้อผิดพลาด) ของอนุพันธ์ Q m,k ( x) เท่ากับอนุพันธ์ของเศษเหลือ (ข้อผิดพลาด) ของการประมาณค่าพหุนาม: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m, k () () ม. () ม. () ม.ม. (5.1) 35

36 อนุพันธ์ (5.4) เรียกว่าผลต่างจำกัด ในทางปฏิบัติมักใช้กริดแบบสม่ำเสมอเช่น กริดที่มีโหนดที่มีระยะห่างเท่ากัน บนกริดดังกล่าว อนุพันธ์ผลต่างจำกัดที่หนึ่งและสองที่โหนด x ที่ได้มาโดยวิธีนี้ โดยมีข้อผิดพลาด O(h) สัมพัทธ์กับขั้นตอนกริด h ถูกกำหนดโดยสูตร: y 1 y 1 y y (x) y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (๑,..., น ๑). ที่โหนดขอบเขตที่มีตัวเลข = 0 และ =n จะต้องคำนวณสิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์ด้านเดียวโดยเลือกโหนดการแก้ไขที่ด้านหนึ่งของโหนดขอบเขตเท่านั้น ในตารางที่เหมือนกัน สูตรอันดับสองสำหรับอนุพันธ์อันดับสองคือ: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); ชั่วโมง yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); ชั่วโมง 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O(h); 6h 6y 4y 30y 1y y n y x O ชั่วโมง 6h n 3 n n 1 n (n) () ดังที่เห็นได้จากสูตร ในอนุพันธ์ด้านเดียว จำเป็นต้องมีโหนดจำนวนมากขึ้นเพื่อให้ได้ความแม่นยำเท่ากัน ในการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการจะมีการรวบรวมตารางค่า (5.1) เบื้องต้นสำหรับหนึ่งในฟังก์ชัน y (x) ที่ระบุด้านล่างในโหนดที่มีระยะห่างเท่ากัน 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, ในช่วง 0 x 1 ค่าของ n ถูกเลือกในช่วง n = จากนั้น y", y" ที่แน่นอน (เชิงวิเคราะห์) และค่า y และ y โดยประมาณของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองที่ได้รับ "ตามสูตรข้างต้น ที่โหนดทั้งหมดมีค่าสูงสุดและรูทเฉลี่ยกำลังสอง (k) (k) εk,สูงสุด สูงสุด y y (k 1,) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 ( k 1,) ค่าความผิดพลาดของความแตกต่างของตัวเลขเช่นเดียวกับจำนวนโหนด kmax ซึ่งค่า ε kmax (k=1 ,) ทำได้ x; 4) cos(π x /); x 5) x e; 6) xch x; x / 7) sh x; 8) e; 9) x sh x; x / 10) ch x; 11) e; 1 ) x ch x; 13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x; 16) x cos x; 17) cos x; 18) tg(π x / 4); 19) x sn x; 0 ) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x; 3) xcos x; 4) xln(x 1); x / x 5) e sn x; 6 ) xe ; 7) arcsn(x /);x / 8) arctg x ;9) xe ;30)(x 1) ln(x 1).37

38 การเขียนโปรแกรม บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมสำหรับความแตกต่างเชิงตัวเลขแสดงในรูปที่ เพื่อเก็บค่าของฟังก์ชันกริด ค่าที่แน่นอนและค่าโดยประมาณของอนุพันธ์ ตลอดจนข้อผิดพลาด อาร์เรย์ที่มีความยาวอย่างน้อย n ควรกำหนด + l เนื่องจากในงานนี้<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 เริ่ม 6 โดย =1,n เริ่มข้อมูล 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 โดย =1,n k,สูงสุด, k, k,สูงสุด y, y, y, y , 41 x, y 8 คูณ 5 คูณ 9 k 10 ผลลัพธ์ 11 จบ Fig Flowchart ของโปรแกรมสร้างความแตกต่างเชิงตัวเลข 39

40 คำถามควบคุม 1. ปัญหาของความแตกต่างเชิงตัวเลขมีสูตรอย่างไร? สูตรสร้างความแตกต่างเชิงตัวเลขมีข้อผิดพลาดอย่างไร 3. ประเมินข้อผิดพลาดของสูตรที่คุณใช้ 4. ลำดับข้อผิดพลาดของความแตกต่างเชิงตัวเลขลดลงอย่างไรเมื่อลำดับอนุพันธ์เพิ่มขึ้นสำหรับจำนวนโหนดเท่ากัน 5. คุณจะสร้างสูตรสำหรับความแตกต่างเชิงตัวเลขเพื่อเพิ่มความแม่นยำได้อย่างไร 6. การกำหนดปัญหาความแตกต่างของตัวเลขไม่ถูกต้องคืออะไร? 40

41 งาน 6 การรวมเชิงตัวเลข จุดประสงค์ของงานคือเพื่อศึกษาวิธีการรวมเชิงตัวเลข การคำนวณหาอินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันที่กำหนดโดยวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเกาส์ งบปัญหา ให้ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกกำหนดในส่วนที่จุด x 0 = a, x 1, x n = b เราจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลแน่นอนของรูปแบบ b a f (x) dx การใช้คำจำกัดความของอินทิกรัลเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล เรามี: b a n 1 f (x) dx lm f () x, x x x, สูงสุด x (6.1) โดยที่ x x +1 เป็นจุดกึ่งกลางของช่วง x, x +1 งานของการอินทิเกรตจะลดขนาดลงเป็นการหาพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน f(x) บนเซกเมนต์ที่กำหนด ในแต่ละส่วนงานตามเกณฑ์ที่กำหนดและคำนวณตามข้อ 41 นี้

42 ชี้ค่าของฟังก์ชัน f() พื้นที่ถูกกำหนดโดยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ เมื่อความยาวของส่วน x 0 ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมีแนวโน้มที่จะมีค่าเท่ากับอินทิกรัล สำหรับการอินทิเกรตเชิงตัวเลข ฟังก์ชัน f(x) จะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันการประมาณ (x) ซึ่งเป็นอินทิกรัลที่สามารถคำนวณได้ง่าย บ่อยครั้งที่พหุนามการแก้ไขทั่วไปทำหน้าที่เป็นค่าประมาณ เนื่องจากการประมาณค่าดังกล่าวเป็นแบบเส้นตรงตามพารามิเตอร์ ฟังก์ชันจึงถูกแทนที่ด้วยนิพจน์เชิงเส้นค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นค่าของฟังก์ชันที่โหนด: n f (x) f (x) (x) r( x), 0 โดยที่ r(x) คือระยะที่เหลือของการประมาณ การแทนที่นิพจน์นี้สำหรับฟังก์ชันลงในอินทิกรัลดั้งเดิม (6.1) เราจะได้ b a n f (x) dx q f (x) R โดยที่ q (x) dx, R r(x) dx b a b a 0 สูตร (6.) เรียกว่าสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีน้ำหนัก q และโหนด x ดังที่เห็นได้จากสูตร น้ำหนัก q ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของโหนดเท่านั้น แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปแบบของฟังก์ชัน f(x) สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกล่าวกันว่าถูกต้องสำหรับพหุนามดีกรี m ถ้าเมื่อฟังก์ชัน f(x) ถูกแทนที่ด้วยพหุนามเชิงพีชคณิตตามอำเภอใจของดีกรี m เทอมที่เหลือจะเท่ากับศูนย์ สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดได้มาจากการเลือก x โหนดที่มีระยะห่างเท่าๆ กันในช่วงเวลาการรวม สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรนิวตัน-โคตส์ สูตรประเภทนี้รวมถึงสูตรที่รู้จักกันดีของสี่เหลี่ยม, สี่เหลี่ยมคางหมู, พาราโบลา (ซิมป์สัน) และอื่น ๆ ในวิธีการสี่เหลี่ยมในรูป 6. ฟังก์ชัน f(x) มีค่าประมาณด้วยพหุนามดีกรีศูนย์ f (x) f (x) f 0 0 (6.) 4

43 ในการคำนวณอินทิกรัลในส่วน [a, b] เราแบ่งเป็นส่วนเล็กๆ ยาว h และอินทิกรัลเป็นผลรวมของอินทิกรัลในส่วนที่แยกจากกัน จากนั้นสำหรับหนึ่งส่วน h / h / f (x) dx hf โดยที่ f 0 คือค่าของฟังก์ชันที่อยู่ตรงกลางของส่วน ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงเส้นจะประมาณด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าและฟังก์ชันจะคำนวณที่จุดกึ่งกลางของส่วน 0 รูป 6. วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า สำหรับส่วนที่ -th x 1 x f (x) dx hf, 43 1/ โดยที่ f +1/ = f(a + (+ 1/)h). สุดท้าย ค่าของอินทิกรัลบน [а, b] b a f (x) dx h(f f... f) r(x) 1/ 3/ n 1/ หากโหนด x คงที่ (กระจายอย่างสม่ำเสมอบน ) ดังนั้นในสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (6.) น้ำหนัก q จะคงที่ด้วย จากนั้นเพื่อสร้างพหุนามการประมาณค่าที่ประมาณฟังก์ชัน f(x) บน เฉพาะเงื่อนไขอิสระ (n + 1) เท่านั้นที่ยังคงอยู่ นั่นคือ ค่าที่ทราบของฟังก์ชันที่โหนดของการประมาณค่า f(x) ดังนั้น เมื่อใช้เงื่อนไขเหล่านี้ จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างพหุนามที่ไม่สูงกว่าดีกรีที่ n หากเราไม่แก้ไขตำแหน่งของโหนดและด้วยเหตุนี้ q เราก็มี (n +)

44 เงื่อนไขที่คุณสามารถสร้างดีกรีพหุนาม (n + 1) -th นี่เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นในการค้นหา ในบรรดาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่มีโหนด (n + 1) สูตรที่มีการจัดเรียงโหนด x บนและมีน้ำหนัก q ซึ่งเป็นค่าที่แน่นอนสำหรับพหุนามที่มีระดับสูงสุด เป็นที่ชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าข้อผิดพลาดของวิธีการนั้นยิ่งเล็ก ลำดับของพหุนามยิ่งสูง การรวมตัวเลขจะให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน ให้เราเปลี่ยนตัวแปรอินทิกรัลในอินทิกรัลดั้งเดิม (6.1) x a (b a) t (0 t 1) และแปลงเป็นรูปแบบ I = (b a) J โดยที่ 1 J f (t) dt, f (t) f (x(เสื้อ )). 0 ดังนั้นเราจึงนำอินทิกรัลบนเซกเมนต์ใดๆ มาเป็นช่วงคงที่ ซึ่งเราจะมองหาการจัดเรียงที่เหมาะสมที่สุดของโหนด ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขเรียบร้อยแล้ว และหนังสืออ้างอิงสำหรับช่วงเวลานี้แสดงตำแหน่งของโหนด t และน้ำหนัก A โดยที่ =1,m ในการคำนวณอินทิกรัล เราใช้สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบบต่อไปนี้: 1 ม. J f (t) dt A f (t) R. 0 1 ม. เทอมที่เหลือของสูตรเกาส์เซียนที่มีโหนด m มีรูปแบบ R M f t M ( ม.) ม. ม. สูงสุด (), ม. 0 เสื้อ 1 (ม.!) (ม. 1) (ม.)! 4 3. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง M 3 = , M 5 = , M 7 = , M 9 = , M 10 = ฯลฯ น้ำหนัก A และโหนด t ของสูตร Gauss quadrature มีค่าต่อไปนี้: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 ม. =5 เสื้อ 1 = 1 เสื้อ 5 = , เสื้อ =1 เสื้อ 4 = , A 1 = A 5 = , A =A 4 = , เสื้อ 3 = , A 3 = ม.=7 เสื้อ 1 = 1 เสื้อ 7 = , เสื้อ = 1 เสื้อ 6 = , เสื้อ 3 =1 เสื้อ 5 = , เสื้อ 4 = , A 1 = A 7 = , A = A 6 = , A 3 = A 5 = , A 4 = m = 9 เสื้อ 1 = 1 เสื้อ 9 = , t =1 t 8 = , t 3 =1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , A 1 = A 9 = , A = A 8 = , A 3 = A 7 = , A 4 = A 6 = m=11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , A 1 = A 11 = , A = A 10 = , A 3 = A 9 = , A 4 = A 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = ตัวเลือกการมอบหมาย ในการคำนวณอินทิกรัล เราใช้วิธีสี่เหลี่ยมที่มีจำนวนโหนดตั้งแต่ m ถึง 100 และสูตร Gauss พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส cm=5 11 โหนด ข้อมูลเริ่มต้นประกอบด้วย: ฟังก์ชัน f(x); ขีดจำกัดการรวม a, b; จำนวนโหนด m น้ำหนัก A และโหนด t ของสูตร Gauss quadrature คำนวณอินทิกรัลของตารางแบบฟอร์ม b a E (ξ) ξ 0 d ตามข้อมูลที่กำหนดใน 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn(ξ / ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 ξ arctan ξ sh ξ ξ ch ξ ξ / ξ ξcos ξ e 0 π ตาราง 6.1 การเขียนโปรแกรม ในการจัดเก็บน้ำหนัก A, โหนด t ของสูตร Gauss พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและค่าของฟังก์ชันที่กึ่งกลางของส่วนที่เลือก f +1/ ในวิธีการสี่เหลี่ยมผืนผ้าควรอธิบายอาร์เรย์ของความยาวที่เหมาะสม การคำนวณใน วิธี Gauss สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยคำนึงถึงความสมมาตรของน้ำหนักและโหนดที่อยู่ตรงกลางของส่วน t = 0.5 ต้องป้อนค่า A, t, (= 1,...,11) ก่อนลงใน อาร์เรย์ A() และ T() โดยใช้ตัวดำเนินการกำหนดหรือตัวดำเนินการป้อนข้อมูลเริ่มต้น

47 1 เริ่มข้อมูลเริ่มต้น 7 โดย =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 โดย =1,n 9 โดย 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 โดย 11 ผลลัพธ์ 6 A,t 1 End Fig Block ไดอะแกรมของโปรแกรมอินทิเกรต 47

48 บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมสำหรับคำนวณอินทิกรัลโดยวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าและวิธี Gauss แสดงในรูปที่ วิธีการสี่เหลี่ยมถูกนำมาใช้ในวงจรและใช้วิธี Gauss ความถูกต้องของการรวมสามารถตรวจสอบได้โดยการคำนวณเป็นการทดสอบอินทิกรัล 1 n I (n 1) x dx (n m 1) ซึ่งควรได้ค่าที่แน่นอนของ 1 หรือ I 1 4 (1 1 x) dx ซึ่งมีค่าเท่ากับ π 0 0 เนื้อหาของรายงาน รายงานควรประกอบด้วย: อินทิกรัลและขีดจำกัดของการรวมของตัวแปรเฉพาะ; จำนวนโหนดในวิธีการของสี่เหลี่ยมและ Gauss ข้อความโปรแกรม กราฟของอินทิกรัล ค่าของอินทิกรัลที่ได้จากสองวิธี คำถามควบคุม 1. ปัญหาของการรวมตัวเลขมีสูตรอย่างไร? สูตรการแก้ไขพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกสร้างขึ้นอย่างไร ข้อผิดพลาด (เทอมที่เหลือ) คืออะไร 3. สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Gauss เป็นอย่างไร ข้อผิดพลาด (เทอมที่เหลือ) คืออะไร? 4. สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบผสม (ขนาดใหญ่) (สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู พาราโบลา) เป็นอย่างไร ข้อผิดพลาด (เทอมที่เหลือ) คืออะไร 5. เปรียบเทียบความแม่นยำของวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าและวิธีเกาส์ที่มีจำนวนโหนดเท่ากัน 48

49 ภารกิจที่ 7 การคำนวณอินทิกรัลหลายตัวโดยวิธีมอนติคาร์โล จุดประสงค์ของงานคือเพื่อทำความคุ้นเคยกับวิธีตัวเลขของมอนติคาร์โล การคำนวณโดยวิธีมอนติคาร์โลของอินทิกรัลพหุคูณของฟังก์ชันที่กำหนดในพื้นที่นูน งบปัญหา พิจารณาปัญหาของการคำนวณอินทิกรัล n มิติ I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 ในโดเมน V ที่มีขอบเขต Г ฝังอยู่ในขนาน n มิติที่มีปริมาตร พื้นที่การรวมรูปในกรณีของตัวแปรสองตัว W = โดยสูตร t 1 T T(x1, x, x3, t) dx1dx dx3dt, V (t t) s 1 t1 (Vs) โดยที่ Vs 4 π 3 3 R - ปริมาตรของลูกบอล 51

52 เมื่อ T(x,t) รับ T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t) โดยที่ ρ(х) เป็นหนึ่งในฟังก์ชันของงานก่อนหน้า g 1 =0 .l 0.9 (=1.3) 3. คำนวณปริมาตร V ของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยทรงรีหกมิติ 6 x Г () 1 0 (c 0.1) c 1 ทำการคำนวณแบบมอนติคาร์โลโดยใช้สูตร V dx dx dx dx dx dx dx (V) (V) การเขียนโปรแกรม การคำนวณอินทิกรัลจะดำเนินการสำหรับค่าหลายค่าของ N ซึ่งกำหนดโดยอาร์เรย์ N (L) แยกต่างหากในโปรแกรมหลัก ดังนั้น โปรแกรมควรจัดระเบียบเอาต์พุตของผลลัพธ์เมื่อจำนวนของตัวเลขสุ่มถึงค่า N ถัดไปจากอาร์เรย์ สิ่งนี้จะทำให้สามารถสังเกตการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์และการบรรจบกันของการรวมกับ N ที่เพิ่มขึ้น บล็อกไดอะแกรมของโปรแกรมแสดงในรูปที่ 7.. พื้นฐานของโปรแกรมคือวงจร (บล็อก 3-10) สำหรับ l จาก l ถึง L โดยที่ L คือจำนวนตัวเลือกที่กำหนดด้วยจำนวนสุ่มที่แตกต่างกัน N l ซึ่งผลลัพธ์จะออก ในบล็อก 4 มีการเข้าถึงตัวสร้างตัวเลขสุ่มเพื่อคำนวณ ξ ในรูปคือจำนวนจุดสุ่มปัจจุบัน M คือจำนวนจุดสุ่มในพื้นที่ V, I è V ของการประเมินอินทิกรัล I และปริมาตรของพื้นที่ V ในการทดสอบจำเป็นต้องคำนวณ ปริมาตรของทรงรีในพื้นที่สามมิติตามวรรค 3 ของงาน รู้จักวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ V 4 π c 1 ซีซี 3 3 5

1. วิธีแก้สมการเชิงตัวเลข 1. ระบบสมการเชิงเส้น. 1.1. วิธีการโดยตรง 1.2. วิธีการวนซ้ำ 2. สมการไม่เชิงเส้น. 2.1. สมการที่ไม่มีใครรู้จัก 2.2. ระบบสมการ 1.

บทที่ 5. การประมาณค่าฟังก์ชันด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด. ในกิจกรรมทางวิศวกรรมมักจะจำเป็นต้องอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่กำหนดในตารางในรูปแบบของความสัมพันธ์เชิงหน้าที่

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นและระบบของสมการไม่เชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นของแบบฟอร์ม คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการเชิงพีชคณิตไม่เชิงเส้นหรือสมการเหนือธรรมชาติ อยู่ใน การหาค่า

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งชาติยูเครน "KHARKOV POLYTECHNICAL INSTITUTE" หลักเกณฑ์ในการทำงานในห้องปฏิบัติการ "การคำนวณรากของสมการอดิศัย"

วิธีเชิงตัวเลข หัวข้อที่ 2 การประมาณค่า VI Velikodny 2554 ปีการศึกษา 2555 1 แนวคิดของการประมาณค่า การประมาณค่าเป็นวิธีการหาค่าใดๆ

การประมาณฟังก์ชัน ผลต่างเชิงตัวเลขและการรวม ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาปัญหาของการประมาณฟังก์ชันโดยใช้พหุนาม Lagrange และ Newton โดยใช้การแก้ไขแบบ spline

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาสูงขึ้น อาชีวศึกษาทอมสค์ มหาวิทยาลัยของรัฐระบบควบคุมและวิทยุอิเล็กทรอนิกส์ แผนก TUSUR

งานห้องปฏิบัติการวิธีการย่อฟังก์ชันของตัวแปรเดียวโดยใช้ข้อมูลเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ คำแถลงปัญหา: จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันขั้นต่ำที่ไม่มีเงื่อนไขของตัวแปรหนึ่งตัว (

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "Penza State University" สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์ระเบียบวิธี

บทที่ 9 3. วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น การกำหนดสูตรของปัญหา ให้สมการไม่เชิงเส้น (0, (3.1) โดยที่ (ฟังก์ชันกำหนดและต่อเนื่องในบางช่วงเวลา ในบางกรณี

หัวข้อ 4. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น -1- หัวข้อที่ 4. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น 4.0. คำชี้แจงปัญหา ปัญหาในการหารากของสมการไม่เชิงเส้นในรูปแบบ y=f() มักพบในทางวิทยาศาสตร์

วิธีเชิงตัวเลขในอุตสาหกรรมเหมืองแร่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวิธีเชิงตัวเลข

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการไม่เชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นในรูปแบบ คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงพีชคณิตไม่เชิงเส้นหรือสมการเหนือธรรมชาติ f =) ประกอบด้วยการหาค่าต่างๆ

1 Lagrange พหุนาม ให้ค่าของฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (x i = 01 x [ a b] i i i) ได้จากการทดลอง จุดโดยพลการ x สำหรับ

การมอบหมายชั้นเรียนภาคปฏิบัติในวินัย "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ" บทเรียนภาคปฏิบัติในหัวข้อทฤษฎีข้อผิดพลาด คำถามทดสอบกำหนดการทดลองการคำนวณ วาดแผนภาพ

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐสำหรับการอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา "Vladimir Aviation Mechanical College" คำแนะนำวิธีการสำหรับห้องปฏิบัติการในวินัย NUMERICAL

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" ภาควิชาสารสนเทศและวิธีการ

ตัวเลือกที่ 1 1. เขตข้อมูลของจำนวนเชิงซ้อน การออกแบบของเขา รูปแบบพีชคณิตและตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน สูตรของ Moivre และสูตรสำหรับการแยกรากของระดับที่ n จากจำนวนเชิงซ้อน

อินทิกรัลเชิงตัวเลขเข้าใจว่าเป็นชุดของวิธีเชิงตัวเลขสำหรับหาค่าของอินทิกรัลหนึ่งๆ เมื่อแก้ปัญหาทางวิศวกรรม บางครั้งจำเป็นต้องคำนวณค่าเฉลี่ย

2 วิธีการแก้สมการเชิงตัวเลข 2.1 การจำแนกประเภทของสมการ ระบบและวิธีการแก้ปัญหา สมการและระบบสมการแบ่งออกเป็น 1) พีชคณิต: สมการเรียกว่า พีชคณิต ถ้าเกิน

สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปของลำดับที่ 1 แนวคิดพื้นฐาน สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักอยู่ภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์หรืออนุพันธ์

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ สหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลาง "NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY IM. ร.

คำชี้แจงของปัญหา แนวคิดพื้นฐาน ความแตกต่างจำกัดและคุณสมบัติ การประมาณค่าพหุนาม การประมาณค่าพจน์ที่เหลือของพหุนามการประมาณการ การประมาณค่าของปัญหา แนวคิดพื้นฐาน อนุญาต เช่น

การบรรยาย3. 3. วิธีการของนิวตัน (แทนเจนต์ ลองตั้งค่าประมาณเริ่มต้น [, b] และทำให้ฟังก์ชันเป็นเส้นตรง f (ในละแวกใกล้เคียงโดยใช้ส่วนของอนุกรมเทย์เลอร์ f (= f (+ f "((-. (5) แทน สมการ (เราแก้

บทที่ การคำนวณหาปริพันธ์แน่นอน! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx โดยทั่วไป ปัญหาจะแก้ไขได้โดยการประมาณค่าฟังก์ชันด้วยฟังก์ชันอื่น ซึ่งคำนวณอินทิกรัลในเชิงวิเคราะห์

แบบแผนผลต่างสำหรับปัญหาไม่เชิงเส้น สมการการขนส่งแบบควอซิลิเนียร์ สำหรับ วิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขปัญหาที่ไม่เชิงเส้นในสถานการณ์ต่าง ๆ จะใช้ทั้งโครงร่างเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ความยั่งยืนที่เกี่ยวข้อง

เครื่องมือวัดผลสำหรับการติดตามความคืบหน้าในปัจจุบันการรับรองระดับกลางตามผลการเรียนรู้วินัยและ การสนับสนุนด้านการศึกษาและระเบียบวิธี งานอิสระนักเรียน 1 ตัวเลือกงานการคำนวณ

1 1.57.5-5-.5 คำตอบของสมการที่มีตัวแปรเดียว: ค้นหาคำตอบของสมการที่มีความแม่นยำ 0.0001 โดยใช้วิธีการต่อไปนี้: ไดโคโทมี; สัดส่วน (คอร์ด); แทนเจนต์ (นิวตัน); แก้ไข

การบรรยาย 2. การแก้สมการไม่เชิงเส้น. คำชี้แจงปัญหา: ค้นหาค่าปัจจัยข้อผิดพลาดของเครื่องมือ σ เมื่อทำการวัดพิกัดเชิงภูมิศาสตร์จากสมการ: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 ค่า δ = 0.186, υ = 4.18,

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความแตกต่าง ตัวอย่างการสร้างโครงร่างผลต่างสำหรับปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น ปัญหาทางฟิสิกส์และเทคโนโลยีจำนวนมากนำไปสู่ปัญหาขอบเขตหรือขอบเขตเริ่มต้นสำหรับเส้นตรง

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสิ่งอำนวยความสะดวกพลังงานความร้อน การบรรยาย 1 พีชคณิตไม่เชิงเส้นและสมการอดิศัย ข้อกำหนดและแนวคิด 2 การสร้างแบบจำลองคือการศึกษาวัตถุหรือระบบของวัตถุโดย

ระบบสมการเชิงเส้น หลังจากศึกษาหัวข้อนี้แล้ว คุณจะสามารถ: แก้ปัญหาเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้นได้ ปัญหาเชิงปฏิบัติจำนวนมากลดลงเหลือเพียงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหา

อินทิกรัล 8 วิธีการรวมตัวเลข ในบทนี้ เราจะพิจารณาวิธีการคำนวณวิธีหนึ่ง ๆ วิธีการรวมเชิงตัวเลขใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์โดยอัตโนมัติ

LECTURE 11 ปัญหาการปรับให้เหมาะสมของอินเทอร์โพเลชั่นแบบหลายมิติ

ปริพันธ์แน่นอน ผลรวมเชิงปริพันธ์และปริพันธ์เชิงกำหนด ให้ฟังก์ชัน y = f () กำหนดไว้ในส่วน [, b ] โดยที่< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย อีกครั้ง.

บทที่ 4 วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบของพวกมัน

กระทรวงการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "Izhevsk State มหาวิทยาลัยเทคนิคอนุมัติอธิการบดี I.V. Abramov

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันเทคโนโลยีแห่งรัฐปีเตอร์สเบิร์ก (มหาวิทยาลัยเทคนิค) ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ M.V. Lukina วิธีการคำนวณโดยประมาณ

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาระดับอุดมศึกษา "NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY พวกเขา อีกครั้ง. ALEKSEEVA สถาบันวิทยุอิเล็กทรอนิกส์และข้อมูล

LECTURE 3 วิธีการประมวลผลข้อมูลการทดลอง Interpolation

ปาสคาล 13. คำตอบของสมการไม่เชิงเส้น สมการไม่เชิงเส้นสามารถแบ่งออกเป็น 2 คลาส - พีชคณิตและอดิศัย สมการพีชคณิตเรียกว่าสมการที่มีพีชคณิตเท่านั้น

วิธี Ritz มีวิธีหลักสองประเภทสำหรับการแก้ปัญหาความผันแปร ประเภทแรกประกอบด้วยวิธีการที่ลดปัญหาดั้งเดิมไปสู่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ วิธีการเหล่านี้ได้รับการพัฒนาเป็นอย่างดี

1. เป้าหมายและวัตถุประสงค์ของระเบียบวินัย วัตถุประสงค์ของระเบียบวินัย: การศึกษาวิธีการสร้างอัลกอริทึมเชิงตัวเลขและการศึกษาวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่จำลองกระบวนการทางกายภาพต่างๆ

ไวยากรณ์ของตัวดำเนินการ: GENERAL LOOP STATEMENT DO [( WHILE UNTIL ) ] ... LOOP [( WHILE UNTIL ) ] โดยที่คีย์เวิร์ดจะถูกแปลดังนี้

กระทรวงเกษตรแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณระดับอุดมศึกษาของสหพันธรัฐรัสเซีย "KUBAN State AGRARIAN UNIVERSITY"

Ch อนุกรมกำลัง a a a อนุกรมของรูปแบบ a a a a () เรียกว่าอนุกรมกำลัง โดยที่ a ค่าคงที่ เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของอนุกรม ชุดไฟมากกว่า ปริทัศน์: ก(ก) ก(ก) ก(ก) () โดยที่

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางสำหรับการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "Kurgan State University" แผนก

วิธีการของ A.P. Popov โซลูชั่นที่เหมาะสมที่สุดคู่มือสำหรับนักศึกษาสาขาเศรษฐกิจพิเศษของมหาวิทยาลัย Rostov-on-Don 01 1 บทนำ B คณิตศาสตร์ประยุกต์มีหลายทิศทางโดยมุ่งเป้าไปที่

46 บทเรียนภาคปฏิบัติ 6 การรวมตัวเลข ระยะเวลา - 2 ชั่วโมง วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อรวบรวมความรู้เกี่ยวกับการรวมตัวเลขโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับสี่เหลี่ยมเฉลี่ย สี่เหลี่ยมคางหมู

UDC 004.9 LBC 32.97 T47 อะนาล็อกอิเล็กทรอนิกส์ของฉบับพิมพ์: สารสนเทศและคณิตศาสตร์: ใน 3 ชั่วโมง ส่วนที่ 2: การแก้สมการ / V. I. Tishin ม. : BINOM. ห้องปฏิบัติการความรู้ 2556 112 น. : ป่วย. Tishin V. I. T47

บทที่ 4 8 วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับต้น

วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธีแก้ปัญหา Cauchy... ปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหนึ่งสมการ เราถือว่าปัญหา Cauchy เป็นส่วนต่างหนึ่ง

บทที่ 1 วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน จุดประสงค์ของงานคือเพื่อศึกษาวิธีการอินทิกรัลเชิงตัวเลขและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติสำหรับการคำนวณโดยประมาณของอินทิกรัลเดี่ยว ระยะเวลา

คำแนะนำเชิงระเบียบวิธีสำหรับการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการในสาขาวิชา "วิทยาการคอมพิวเตอร์" ภาคการศึกษาที่ 3 NOVOSIBIRSK 008 กระทรวงวิทยาศาสตร์และการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซียโนโวซีบีร์สค์ สถาบันเทคโนโลยีรัฐมอสโก

Methods.doc วิธีการคำนวณโดยประมาณ หน้า 1 จาก 6 สภาพทั่วไปงาน: ใช้สองวิธีทางตัวเลขที่กำหนด คำนวณค่าโดยประมาณของราก 1 ของสมการฟังก์ชันในรูปแบบ f()=0 สำหรับค่า N

Saratov National Research State University ตั้งชื่อตาม N.G. Chernyshevsky" A.I. Zinina V.I. Kopnina วิธีเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น กวดวิชาซาราตอฟ

แผนกระบบคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยี (ชื่อแผนก) อนุมัติในการประชุมของแผนกเมื่อวันที่ 4 มีนาคม 2559 โปรโตคอล 6 หัวหน้าแผนก Kondratiev V.V.

การถอดเสียง

1 อเล็กเซวา โอ.เอ. การประชุมเชิงปฏิบัติการวิธีการเชิงตัวเลข Chelyabinsk

2 UDC 59.6 BBK.9 A-47 Alekseeva O.A. วิธีเชิงตัวเลข: งานจริง. เชเลียบินสค์: NOUVPO RBIM,. 77 หน้า มีการพิจารณาวิธีการวิเคราะห์ตัวเลขที่พบมากที่สุด: วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายและวิธี Seidel สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น, วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการค้นหารากของสมการยอดเยี่ยม, สูตร Lagrange, วิธีการกำลังสองน้อยที่สุด ใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ . ในการทำงานในห้องปฏิบัติการแต่ละครั้ง สูตรการทำงานจะได้รับมาเพื่อใช้สำหรับการนำไปใช้ในคอมพิวเตอร์ในภายหลัง อัลกอริทึมที่พิจารณาจะแสดงด้วยตัวอย่าง งานในห้องปฏิบัติการแต่ละงานมีประมาณ 8 รูปแบบสำหรับแต่ละงานและตัวอย่างการควบคุม การประชุมเชิงปฏิบัติการได้รับการออกแบบเพื่อจัดชั้นเรียนภาคปฏิบัติและงานอิสระในระเบียบวินัย "วิธีการเชิงตัวเลข" สำหรับนักเรียนในทิศทาง "สารสนเทศประยุกต์" และ "สารสนเทศทางธุรกิจ" ผู้ตรวจสอบ: Turlakova S.U. ผู้สมัครฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทย์, รองศาสตราจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์, FSBEI HPE "SUSU" (NRU UDC 59.6 BBK.9 Alekseeva O.A., NOUVPO RBIM,

3 สารบัญ งานปฏิบัติการ. วิธีวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น คำชี้แจงปัญหา การจัดหมวดหมู่วิธีแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีวนซ้ำอย่างง่าย (วิธีจาโคบี เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าและ การแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์ วิธี Seidel (วิธี Gauss-Seidel วิธีของการแทนที่อย่างต่อเนื่อง ควบคุมงาน... 4 คำถามควบคุม... วิธีการหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้นโดยไม่ทราบค่า.... คำชี้แจงปัญหา.... วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้น.... งานทดสอบ... 7 คำถามทดสอบ... สูตรการแก้ไขลากรองจ์ คำชี้แจงปัญหา กรณีเฉพาะของพหุนามลากรองจ์ การประเมินข้อผิดพลาด งานควบคุม คำถามทดสอบ ... 5 งานในห้องปฏิบัติการ 4. วิธีกำลังสองน้อยที่สุด คำอธิบายของวิธีการ ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันลอการิทึม งานควบคุม คำถามทดสอบ ... 7 รายการบรรณานุกรม ภาคผนวก ... 75

4 งานห้องปฏิบัติการ วิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยการวนซ้ำอย่างง่ายและวิธี Seidel ด้วยความแม่นยำที่กำหนด ลำดับของงาน ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎี. แก้ปัญหางานควบคุมเวอร์ชันที่กำหนด (ดูย่อหน้า 6.. เขียนรายงาน 4. ตอบคำถามควบคุม 5. ปกป้องงานในห้องปฏิบัติการ.. คำชี้แจงปัญหา ให้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าเป็น กำหนด: a... a b, a... a b, a... a b แสดงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบโดย A (: a a... a a a... a A, a .. คอลัมน์เงื่อนไขอิสระของระบบ ( ผ่านเวกเตอร์ b: b b b.... b (4

5 คำตอบของระบบสมการ (เราระบุเวกเตอร์ที่ต้องการผ่านคอลัมน์ที่ไม่รู้จัก: .... หากเมทริกซ์ A ไม่เป็นเอกพจน์ ระบบ (มีคำตอบเฉพาะ (ดูภาคผนวก ชุดของตัวเลข ..., (เช่น เวกเตอร์ที่กลับด้านของระบบ (ในข้อมูลประจำตัวเรียกว่าโซลูชันของระบบนี้ และตัวเลขเองก็เป็นรากของมัน ในสภาพจริง การคำนวณของคอมพิวเตอร์มักจะมาพร้อมกับข้อผิดพลาด เกิดจากข้อผิดพลาด ในข้อมูลเริ่มต้น ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ ข้อผิดพลาดในการแปลงตัวเลขจากทศนิยมเป็นไบนารีเมื่อเขียนข้อมูลลงในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ และข้อผิดพลาด ที่เกี่ยวข้องกับข้อ จำกัด ของตารางบิตวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: ที่แน่นอน และวิธีการวนซ้ำ.. การจำแนกประเภทของวิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น.. วิธีการที่แน่นอน (วิธีการโดยตรง วิธีการเหล่านี้เป็นอัลกอริทึมที่แน่นอนสำหรับการคำนวณรากของระบบ พวกเขาให้การตัดสินใจหลังจากดำเนินการตามจำนวนที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เช่น กฎ เค size, Gaussian method, square root method เป็นต้น วิธีการเหล่านี้ค่อนข้างง่ายและหลากหลายที่สุด เช่น เหมาะสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นแบบกว้างๆ วิธีการที่แน่นอนใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนที่ไม่รู้จัก เมทริกซ์ถูกเติมอย่างหนาแน่น และดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใกล้เคียงกับศูนย์ เนื่องจากการปัดเศษที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ผลลัพธ์ของเมธอดที่แน่นอนจึงเป็นค่าประมาณ และการประมาณค่าข้อผิดพลาดของรูทใน กรณีทั่วไปยาก. ห้า

6 .. วิธีการวนซ้ำ พวกเขาอนุญาตให้ได้รับรากของระบบด้วยความแม่นยำที่กำหนดโดยกระบวนการบรรจบกันเช่นวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย วิธี Seidel วิธีผ่อนคลาย ฯลฯ ในวิธีการเหล่านี้จำเป็นต้องระบุค่าประมาณ การแก้ปัญหาของการประมาณเริ่มต้น หลังจากนั้นใช้อัลกอริทึมการคำนวณหนึ่งรอบเรียกว่าการวนซ้ำ จากการวนซ้ำ ทำให้พบค่าประมาณใหม่ การวนซ้ำจะดำเนินการจนกว่าจะได้โซลูชันที่มีความแม่นยำตามที่กำหนด อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นโดยใช้วิธีการวนซ้ำมักจะซับซ้อนกว่าวิธีโดยตรง ไม่สามารถกำหนดปริมาณการคำนวณล่วงหน้าได้อย่างแม่นยำ การประยุกต์ใช้วิธีการวนซ้ำอย่างมีประสิทธิผลนั้นขึ้นอยู่กับตัวเลือกที่ดีของการประมาณเริ่มต้นและความเร็วของการบรรจบกันของกระบวนการ วิธีการวนซ้ำใช้เพื่อแก้ปัญหาระบบขนาดใหญ่ (สำหรับ > เมื่อการใช้วิธีการโดยตรงเป็นไปไม่ได้เนื่องจากข้อจำกัดของ RAM ของคอมพิวเตอร์ ระบบขนาดใหญ่สมการที่เกิดขึ้นในแอปพลิเคชันมักจะเบาบาง ดังนั้นการใช้เมธอดที่แน่นอนจึงไม่มีประสิทธิภาพ เนื่องจากไม่ว่าองค์ประกอบจะเป็นศูนย์หรือไม่ก็ตาม จะต้องจัดเก็บไว้ในหน่วยความจำ ในวิธีการวนซ้ำ เมทริกซ์ยังคงเบาบาง วิธีการเหล่านี้ยังใช้ในการปรับแต่งรากที่ได้รับ วิธีการที่แม่นยำ.. วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย (วิธีจาโคบี วิธีวนซ้ำอย่างง่าย พิจารณาตัวอย่างระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามสมการ: a a a b, a a b, (a a b ซึ่งสามารถเขียนสั้น ๆ เป็น สมการเมทริกซ์: อา=ข. ในระบบเดิม เราแยกค่าสัมประสิทธิ์เส้นทแยงมุม a (โดยที่ =,. 6

7 สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์ในแนวทแยงตรงตามเงื่อนไข: a a a a a, a a (a /(a (a (a (a 7 /(a /(a /(a b b b เป็นผลให้เราได้รับระบบที่เทียบเท่า:, โดยที่ b / a, a / a สำหรับ j (, j=,. j j /(a /( a /(a ระบบ (เราสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:. ระบบ (เราจะแก้ปัญหาโดยวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย เป็นการประมาณค่าศูนย์ (เราใช้องค์ประกอบของคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ: (=, เช่น (=, (=, (=) เราพบค่าประมาณแรก x (, แทนค่าที่พบของการประมาณค่าศูนย์ในระบบ (: (((, (((, (((, แทนค่า ​ของค่าประมาณ x (นิ้ว ด้านขวาระบบ (, เราได้รับ: (((, (((, การประมาณครั้งที่สอง (((,. (

8 8 ดำเนินการขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับลำดับ x (, (, (, (k,... การประมาณที่คำนวณโดยสูตรการทำงาน:., ((((((, (((k k k k k k k k k k โดยทั่วไป สูตรการทำงาน สำหรับระบบคือสมการ: , (, (((((, ((((k k k k k k k k k k k k k (4) อาจจะไม่ได้ผลิต จำนวนมากการวนซ้ำ แต่เพื่อตั้งค่าความแม่นยำของการแก้ปัญหา เมื่อถึงจุดที่กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดลง เงื่อนไขสำหรับการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำสามารถเขียนเป็น:, ((k k โดยที่ =,. ตัวอย่าง แก้ระบบด้วยความแม่นยำ = = -. 46,5,5,7,9, Solution. ป้ายตรงข้ามไปทางด้านขวา เราแบ่งแต่ละสมการของระบบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่สัมพันธ์กันทางด้านซ้ายของสมการ:

9 4 /,9(,7, /,(7.46, /9.8(8.76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,.. เป็นเวกเตอร์เริ่มต้น (เรา จะนำองค์ประกอบของคอลัมน์ของสมาชิกอิสระมาปัดเศษเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง:,4 (,.,45,55. เราจะทำการคำนวณจนถึงเงื่อนไข (k (k, โดยที่ = - , =, 4. คำนวณตามลำดับ: สำหรับ k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/ 9,8 (8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6. เปรียบเทียบค่าที่ได้รับ ( กับ ( , เราจะเห็นว่าเงื่อนไขการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ เมื่อ k = : ((((4 6.94 /,9.86.45 /,8.99 /9.8.7, 45.88 /.477. การเปรียบเทียบค่าที่ได้รับ (กับ (, เราเห็นว่าเงื่อนไขการบรรจบกันไม่เป็นที่พอใจ สำหรับ k = 9

10 ((((4 6.6744 /,9.7978.548 /.9977.7 /9.8.975, 44.88575 /.98. : (4 6.795 /.9.84, (4.6 /.5, (4.77 /9.8.5, (4 4 44.95 /.4 สำหรับการเปรียบเทียบ (4 กับ ( เราพบโมดูลของความแตกต่างของค่า (4 (: (4 (4 (4 (4 4 ((((4,6,8, เนื่องจากพบค่าโมดูลทั้งหมด ) มากกว่าจำนวนที่กำหนด = - เราทำซ้ำต่อไป เราได้สำหรับ k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6.788 /.9.7999.98 /.9999.758 /9.8.999, 44.9774 /.999

11 ค้นหาโมดูลของผลต่างของค่า: (5 (4 (5 (4.5, (5 (4.6, (5 (4.6, (5 (4.4, 4 4 4)) น้อยกว่าจำนวนที่กำหนด เราจึงใช้เป็น วิธีแก้ปัญหา : =,7999, =,9999, =,999, 4 =, เงื่อนไขการบรรจบกันและการแปลงเมทริกซ์มูลฐานเป็นคำตอบเฉพาะของระบบนี้ โดยไม่คำนึงถึงการเลือกค่าประมาณเริ่มต้น ข้อสำคัญสำหรับระบบ j, (=,.. ., j b j , วิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันหากอสมการต่อไปนี้มีอยู่: a j a j, (=,..., j เช่น ถ้าสัมประสิทธิ์แนวทแยงสำหรับแต่ละสมการของระบบมากกว่าผลรวมของโมดูลของสัมประสิทธิ์อื่นทั้งหมด (ไม่นับ เงื่อนไขอิสระ การแปลงเมทริกซ์ต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเชิงมูลฐานของเมทริกซ์: การขนย้าย (transposition) กล่าวคือ การแทนที่แต่ละแถวด้วยคอลัมน์ที่มีหมายเลขเดียวกัน การสลับแถวสองแถวหรือสองคอลัมน์ การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวหรือคอลัมน์ด้วยค่าที่ไม่ใช่ -เลขศูนย์ c บวกทั้งหมด เรากินองค์ประกอบของแถวหรือคอลัมน์ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมคู่ขนาน คูณด้วยจำนวนเดียวกัน

12 5. วิธี Seidel (วิธี Gauss-Seidel, วิธีการแทนที่แบบต่อเนื่อง) วิธี Seidel เป็นการปรับเปลี่ยนวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย x, ..., x -l [, 5] ในวิธีนี้ เช่น ในวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายจำเป็นต้องนำระบบไปที่แบบฟอร์ม ( เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ในแนวทแยงมีค่าสูงสุดและตรวจสอบเงื่อนไขการบรรจบกัน หากเงื่อนไขการบรรจบกันไม่เป็นที่พอใจ ก็จำเป็นต้องดำเนินการ การแปลงเบื้องต้น (ดูข้อ 4 ให้ระบบของสมการเชิงเส้นสามสมการ ให้เรานำมาในรูปแบบ ( เราเลือกค่าประมาณเริ่มต้นของรากโดยพลการ: x (, x (, x (, พยายามทำให้เข้า การวัดบางอย่างสอดคล้องกับสิ่งไม่รู้ที่ต้องการ สำหรับการประมาณค่าศูนย์ เราสามารถใช้คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ เช่น x (= (เช่น (=, (=, (= ค้นหาค่าประมาณแรก x (ตามสูตร: ((( , ((( , (((จำเป็นต้องให้ความสนใจกับเอกพจน์ วิธี Seidel ซึ่งประกอบด้วยค่า x (l) ที่ได้รับในสมการแรกจะถูกใช้ในสมการที่สองทันทีและค่า x ((, x (ในสมการที่สาม ฯลฯ นั่นคือค่าที่พบทั้งหมด x (ถูกแทนที่ในสมการเพื่อหา x + สูตรการทำงานสำหรับวิธี Seidel สำหรับระบบสามสมการมีดังนี้: (k (k (k, (k (k ( k, (k (k (เค

13 (k (k) ให้เราเขียนสูตรการทำงานในรูปแบบทั่วไปสำหรับระบบสมการ: (k (k (k (k..., (k (k (k (k (k..., k (k (k (k.. .,.โปรดทราบว่าทฤษฎีบทลู่เข้าสำหรับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายนั้นใช้ได้สำหรับวิธี Seidel เช่นกัน ขอให้เราตั้งค่าความแม่นยำบางประการของการแก้ปัญหา เมื่อถึงจุดสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ กล่าวคือ การแก้ปัญหาดำเนินต่อไป จนกว่าเงื่อนไขของสมการทั้งหมดจะเป็นที่พอใจ:, โดยที่ =, ตัวอย่าง: ใช้วิธี Seidel เพื่อแก้ระบบด้วยความแม่นยำ = -:,9.9 4.7.5.5 4 7.46.5 9.8, 4 8.76.9.5, 4 49.7. เฉลยกันเถอะ นำระบบไปที่แบบฟอร์ม: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8,76,5, 4, 4 /,(49,7 , 9,5,.. เป็นเวกเตอร์เริ่มต้น x (เราใช้องค์ประกอบของคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ, ปัดเศษค่าเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง:,4 (,.,45,55 เราจะวนซ้ำโดยใช้วิธี Seidel . สำหรับ k = (/,9 (,7,45,9,55,75. (เมื่อคำนวณ x เราใช้ค่าที่ได้รับแล้ว (x \u003d,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((เมื่อคำนวณ x ให้ใช้ค่าของ x และ x(: (/9,8(8,76,75, 5,9674,55,977 สุดท้ายใช้ค่า x (, x (, x (, เราได้รับ: (4 /, (49,7,9,75,5,9674,977,47) ในทำนองเดียวกันเราดำเนินการ การคำนวณสำหรับ k= และ k= สำหรับ k = : (6.766 /.9.89, (.9 /.9996, (.758 /9.8.996, (4 44.998 /.4. สำหรับ k= : (6.7 /.9.86, (.58 / , (, /9,8,9999, (4 44,9999 /,4. ให้เราค้นหาโมดูลของความแตกต่างของค่า (k (k สำหรับ k = : ((, ((,4, ((,4, ((, 4 4 พวกเขาน้อยกว่าจำนวนที่กำหนดดังนั้นเราจึงใช้วิธีแก้ปัญหา: =, 86, =, =, 9999, 4 =, 4 6. งานควบคุมการแก้ปัญหา ระบบที่กำหนดสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยการวนซ้ำอย่างง่ายและวิธี Seidel ความถูกต้องของโซลูชัน =,.,7, 4, 5.6, 4, 5, 5.8 7,. 4, 4.5 4.8 4.9,.,8, 4, 5.7,8.7. 7.8 5, 6, 5.8. สี่

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 คำถามควบคุม อะไรเรียกว่าคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น?. วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมีอะไรบ้าง?. วิธีการวนซ้ำเหมาะสมเมื่อใด 4. วิธีการของแครมเมอร์เป็นวิธีการที่แน่นอนหรือใกล้เคียงกัน? 5. เขียนสูตรการทำงานของวิธีการวนซ้ำ 6. ยกตัวอย่างวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น 7. วิธี Seidel และวิธีวนซ้ำอย่างง่ายแตกต่างกันอย่างไร 8. วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจำแนกอย่างไร? 9. วิธีใดดีกว่าในการแก้ระบบสมการลำดับต่ำ เช่น วิธีที่สาม อะไรเป็นตัวกำหนดอัตราการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำ วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายจะมาบรรจบกันภายใต้เงื่อนไขใด เขียนสูตรการทำงานของวิธี Seidel สำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น x อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างวิธีการที่แน่นอนและวิธีประมาณสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

21 งานห้องปฏิบัติการ วิธีการหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้นโดยไม่ทราบสาเหตุ วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อแก้สมการไม่เชิงเส้นด้วยความแม่นยำที่กำหนด ลำดับของงาน ทำความคุ้นเคยกับคำอธิบายของงานในห้องปฏิบัติการ.. แก้ตัวเลือกที่กำหนด (ดูย่อหน้า 4: การแยกรูท, ข การชี้แจงค่าของรูท.. ทำรายงาน 4. ตอบคำถามควบคุม 5. ปกป้อง งานในห้องปฏิบัติการ.. Problem statement ปัญหาในการหารากของสมการไม่เชิงเส้นที่พบใน พื้นที่ต่างๆ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์และที่เกี่ยวข้องในวันนี้ มักเป็นขั้นตอนเบื้องต้นในการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค วิธีการวิเคราะห์สำหรับการค้นหารากของสมการไม่เชิงเส้นนั้นมีอยู่สำหรับแต่ละสมการเท่านั้น ตัวอย่างเช่น a b c ตามกฎแล้วจะใช้วิธีการโดยประมาณเพื่อค้นหาราก สมการไม่เชิงเส้นสามารถมีได้สองประเภท: พีชคณิตและอดิศัย สมการในรูปแบบ a b c เรียกว่า พีชคณิต สมการในรูปแบบ s (อดิศัย เนื่องจากมีฟังก์ชันอดิศัย ซึ่งรวมถึง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ x s(, cos(, tg(, ctg(, ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e, ฟังก์ชันลอการิทึม lg(, l(. ในกรณีทั่วไป สมการไม่เชิงเส้นที่มีสมการที่ไม่รู้จักจะมีรูปแบบ F (. (รากของสมการคือจำนวนจริงหรือจำนวนจินตภาพใดๆ ที่แปลง (เป็นจำนวนเฉพาะ)

22 รากแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน: ระยะแรกคือการแยกของรากนั่นคือ การหาส่วนที่ประกอบด้วยรากสมการหนึ่งตัว การปรับแต่งครั้งที่สองของค่ารากในส่วนที่พบด้วยความแม่นยำที่กำหนด หากฟังก์ชัน F (ต่อเนื่องและเข้าที่ส่วนท้ายของส่วน สัญญาณที่แตกต่างกัน, เช่น. F (ก* F(ข วิธีทางที่แตกต่าง.. รวบรวมตารางค่าของฟังก์ชัน y F(ในส่วนที่เลือกของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ ในการแยกรูท จำเป็นที่ส่วนท้ายของส่วนที่เลือก ฟังก์ชันจะมีสัญญาณต่างกันและเป็นโมโนโทนิก คุณสามารถใช้เงื่อนไขของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเป็นค่าคงที่ได้ จากฟังก์ชัน F ที่กำหนด ค้นหา F (และคำนวณค่าของมันที่ส่วนท้ายของส่วนถ้า F (a * F (b, ฟังก์ชัน F (ซ้ำซากจำเจ .. สร้างกราฟของฟังก์ชัน y F (ในส่วนการเปลี่ยนแปลงจุดตัดของกราฟกับแกน o จะทำให้เราได้รากของสมการ สำหรับการชี้แจงรากเพิ่มเติมให้ใช้ บริเวณใกล้เคียงของรูทและแสดงถึงพวกเขา .. สมการ F (แทนที่เทียบเท่ากับมัน F (F (, สร้างสองกราฟ y F (และ y F (. abscissa ของจุดตัดของกราฟเหล่านี้ที่ฉายบนแกนจะให้ เราส่วนที่อยู่ภายในซึ่งมีรากของสมการอยู่ F (.. วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้น .. วิธีแบ่งครึ่ง (วิธีการแบ่งครึ่ง) ภารกิจ ค้นหาคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น F (ด้วยความแม่นยำ วิธีการมีดังนี้: อันเป็นผลมาจาก การหารของรูตจะพบเซ็กเมนต์ซึ่งมีค่าที่ต้องการของรูต ในการประมาณเริ่มต้นของรูทเราใช้ค่า c o \u003d (b + a / ต่อไปเราจะศึกษาค่าของ F (ที่ส่วนท้ายของส่วนและ . อันที่ส่วนท้ายซึ่ง F (รับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ มีรูตที่ต้องการ ดังนั้นจึงถือเป็นส่วนใหม่ (ดูรูปที่นี่รูทอยู่ในส่วน

23 ก. จากนั้นเราแบ่งส่วนผลลัพธ์ออกเป็นครึ่งหนึ่งและตรวจสอบสัญญาณอีกครั้ง F (a, F (b, F (c. รูปที่. ตอนนี้เราพบรูทบนเซ็กเมนต์แล้ว จากนั้นเราจะพบ c กับ c เป็นต้น กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกระทั่ง F (กลายเป็นน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด: F (c. สูตรการทำงานสำหรับการค้นหารูตมีรูปแบบ cc c จำนวนการวนซ้ำในวิธีนี้ขึ้นอยู่กับความแม่นยำที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและความยาวของส่วนและไม่ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชัน F (วิธีนี้ช้า มาบรรจบกันเสมอคุณจะได้วิธีแก้ปัญหาด้วยความแม่นยำที่กำหนดซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริทึมของวิธีการแบ่งส่วนจะแสดงในรูปที่ส่วนที่เป็นรากของสมการ ด้วยราก ของสมการ จำนวนการวนซ้ำ F (- ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่สอดคล้องกัน ... วิธีคอร์ด งาน ค้นหารากของสมการ F (ด้วยความแม่นยำ ให้เรามีส่วนท้ายซึ่ง F (เปลี่ยนเครื่องหมายโดยที่ F (เป็นฟังก์ชันเสียงเดียว ให้ F (a, F (ข. ในรูป ปัญหาในการหารูตด้วยวิธีคอร์ดจะแสดงเป็นกราฟ จุดใดๆ ของเซ็กเมนต์สามารถเป็นจุดแรกได้ การประมาณค่าของราก มาเชื่อมจุด A และ B ด้วยเส้นตรงกันเถอะ , เช่น. มาทำคอร์ดกันเถอะ ดังนั้นเราจึงได้ b ซึ่งเป็นค่าประมาณของราก

24 ลองใช้สมการของเส้นดินสอที่ผ่านจุด B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b. คอร์ดต้องผ่านจุด A(a, F(a , เช่น F( a F(b k. ab เขียนสมการของเส้น F(a F(b y F(b (b. ab เริ่มอินพุต a, b, =, ε คำนวณ F (a = + c a b F (c b = c F (c No No F(c* F(a Yes Yes Output c, a = c End รูปที่ 4

25 5 รูป เส้นที่ลากตัดแกน x (((b a b b F a F b F y ค้นหา x เมื่อ y \u003d ((((, ((((b F a F b ab F b b b F a F b a b F b นอกจากนี้ เปรียบเทียบสัญญาณของ F ( b และ F(b) ค้นหาส่วนใหม่ เชื่อมต่อจุด A และ B ด้วยคอร์ดใหม่ จากนั้นหาค่าประมาณใหม่ของราก กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนถึง F(b น้อยกว่าจำนวน: (b F. เมื่อแก้ด้วยวิธีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะสูญเสียราก สูตรการทำงานของวิธีคอร์ด: b b b b F a F b a b F b b หรือ (((( โดยที่ b คือจุดเริ่มต้นของส่วน และ จุดสิ้นสุด (จุด a ได้รับการแก้ไขจุดสิ้นสุดของฟังก์ชันเครื่องหมาย (F ตรงกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง (F. แผนภาพบล็อกของอัลกอริทึมของวิธีการคอร์ดแสดงในรูปที่ 4 โดยที่ส่วนที่ รากของสมการตั้งอยู่ b คือรากของสมการ จำนวนการวนซ้ำ F(b คือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่สอดคล้องกัน

26 .. วิธีของนิวตัน (วิธีสัมผัส) 5 ซึ่งแสดง โซลูชันกราฟิกงาน แทนเจนต์ของฟังก์ชันดึงมาจากจุด A จุดตัดกันของแกนสัมผัสกับแกน Ox คือค่าประมาณแรกของรากในรูปที่ 5 ถูกทำเครื่องหมายเป็น จากจุด a เราวาดเส้นตรงตั้งฉากกับแกน x จุดตัดของเส้นนี้กับฟังก์ชันจะแสดงด้วย A เป็นต้น เริ่ม Input b, = b b b = + F (b ใช่ ไม่ใช่ ผลลัพธ์ b, จบรูปที่ 4 เขียนสมการของเส้นสัมผัส F (: y-y =k(-, y=, F(a โดยที่ k F(a, a , F (a F(a y F(a. a a. F(a y F a F(a (. (. 6

27 รูป 5 เริ่มอินพุต a, = a a a = + F (a ใช่ ไม่ใช่ เอาต์พุต a, จบรูปที่ 6 สูตรการทำงานของวิธีสัมผัส: F(a a a, F(a a a a,... 7

28 กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนกระทั่ง F (น้อยกว่าจำนวนที่กำหนด: F (ก. เมื่อทำงานกับวิธีนี้ รากอาจหายไป แต่ด้วยการประยุกต์ใช้วิธีที่ถูกต้อง มันจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว การวนซ้ำ 4-5 ครั้งจะให้ ข้อผิดพลาด -5 ยังใช้เพื่อชี้แจงค่าของราก ผังงานของอัลกอริทึมของวิธีแทนเจนต์แสดงในรูปที่ 6 โดยที่ a คือรากของสมการ จำนวนการวนซ้ำ F(a คือ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่สอดคล้องกัน (ด้วยความแม่นยำที่กำหนด ในกรณีนี้จะใช้วิธีการแทนเจนต์และคอร์ดพร้อมกัน วิธีการไปที่รูทนั้นเกิดจากสองด้าน พิจารณาสี่กรณีที่สอดคล้องกับ ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สัญญาณ F (และ F (. จากกราฟที่แสดงในรูปที่ 7 วิธีการคอร์ดจะถูกนำมาใช้จากด้านเว้า และวิธีสัมผัสกันจากด้านนูนของกราฟ รูปที่ 7 การใช้ทั้งสองวิธีร่วมกันจะให้ค่า การประมาณค่าที่มากเกินไปและไม่เพียงพอ เมื่อใช้วิธีนี้ เราถือว่า F (, F ( และ F (ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ ) และ F (และ F ( คงเครื่องหมายไว้ เป็นที่ทราบกันดีว่าการอนุรักษ์เครื่องหมาย 8

29 y F (ระบุความเป็นโมโนโทนิกของ F ( และคงเครื่องหมายของ y F ไว้ (หมายความว่าความนูนของเส้นโค้ง y F (สำหรับ [ a, b ] ทั้งหมดมีทิศทางเดียวกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เราแสดงว่า โดยและจุดสิ้นสุดของส่วน ซึ่งสัญญาณ F (และ F (ตรงกัน กรณีที่เป็นไปได้ ให้พิจารณากรณีแรก ให้ F (a* F(b และ F (* F (, เช่น สัญญาณของ อนุพันธ์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สองตรงกัน เมื่อแก้สมการ การวนซ้ำแต่ละครั้งจะเป็นดังนี้: จากจุด ให้วาดคอร์ดที่ต่อส่วนโค้ง AB และวาดเส้นสัมผัสกับส่วนโค้งเพื่อให้จุดตัดกันของเส้นสัมผัสกับ x -แกนอยู่ในส่วน... คอร์ดบนกราฟตัดแกน x ที่จุด b ซึ่งอยู่ระหว่างจุด b และรากที่ต้องการ และเส้นสัมผัสกับส่วนโค้งที่จุด A ตัดแกน x ที่จุด a ซึ่งอยู่ระหว่างจุด a และรากที่ต้องการของสมการ (รูปที่ 8 ค่าที่ได้รับของ a และ b ให้การประมาณใหม่แก่ราก ให้เราใส่สูตรการคำนวณสำหรับ a + และ b + ที่ได้ ในย่อหน้า .. และ .. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a)) กระบวนการหา a + และ b + ดำเนินต่อไป จนกระทั่งหนึ่งใน เงื่อนไขต่อไปนี้: a b ความแม่นยำที่ระบุอยู่ที่ไหน ฉ; (b หรือ F(a F a b รูปที่ 8 9

30 การปัดเศษทั้งหมดในการคำนวณควรทำโดยให้ห่างจากราก บนมะเดื่อ 9 เป็นบล็อกไดอะแกรม วิธีการรวมกันคอร์ดและแทนเจนต์ จำนวนการวนซ้ำอยู่ที่ไหน a, b ค่าประมาณราก; F(a F(b ค่าฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด เริ่ม Input a, b, = a a b b b c a b = + F (c ไม่ ใช่ เอาต์พุต c, End Fig วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย (วิธีการประมาณต่อเนื่อง) เพื่อใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายสำหรับการแก้ปัญหา ของสมการไม่เชิงเส้น F(= จำเป็นต้องแปลงเป็น ชนิดต่อไป: (. (การแปลงนี้ (การนำสมการไปอยู่ในรูปที่สะดวกในการวนซ้ำ) สามารถทำได้หลายวิธี บางส่วนจะกล่าวถึงด้านล่าง ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันวนซ้ำ

31 เราเลือกค่าโดยประมาณของรากด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง (x และแทนค่านั้นทางด้านขวาของสมการ ( เราได้ค่าของ x (x ตอนนี้เราแทนค่า x ทางด้านขวา (((ของสมการ ( ((, เรามี x (x. ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปอย่างไม่มีกำหนด, เราได้รับลำดับของการประมาณราก, คำนวณโดยสูตร (((,. (หากมีขีดจำกัดของลำดับที่สร้างขึ้น (x lm, ดังนั้น, ผ่าน ถึงขีด จำกัด ของความเท่าเทียมกัน (และสมมติว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง เราได้รับความเท่าเทียมกัน x (x (4 ซึ่งหมายความว่า x คือสมการรูต ( วิธีนี้ทำให้สามารถตีความทางเรขาคณิตอย่างง่ายได้ เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y \u003d และ y \u003d (, (รูปที่, a และ, b. รากของสมการ y \u003d (คือ abscissa ของจุดตัดของเส้นโค้ง y \u003d (โดยเส้นตรง y \u003d ใช้เป็นจุดเริ่มต้น จุดโดยพลการ , สร้าง สายหัก. abscissas ของจุดยอดของเส้นหักนี้เป็นค่าประมาณต่อเนื่องของราก จะเห็นได้จากตัวเลขว่าถ้า "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>จากนั้นการประมาณแบบต่อเนื่องจะรวมเข้ากับรูทแบบจำเจ a ข รูปที่

32 เมื่อใช้ การวนซ้ำอย่างง่ายประเด็นหลักคือการเลือกฟังก์ชัน y = (, เทียบเท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม รูปแสดงตัวอย่างเมื่อเงื่อนไขสำหรับการสิ้นสุดของกระบวนการวนซ้ำ y เป็นที่พอใจในขั้นตอนแรกของกระบวนการวนซ้ำ เช่น เป็นไปตาม จากนี้ x คือค่าโดยประมาณของรูทที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม รูปที่ แสดงว่าไม่เป็นความจริงเพราะวิธีแก้ปัญหาคือ สำหรับวิธีการวนซ้ำ เราควรเลือกฟังก์ชัน (เพื่อให้ "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 ถ้า (q, แล้วก็ (y (q. ตัวอย่าง นำสมการไปอยู่ในรูปที่เหมาะสมในการแก้โดยการวนซ้ำอย่างง่ายในช่วง [,8; ] ลองบวก x ไปทางขวาและซ้าย จะได้: ตรวจสอบการลู่เข้า เงื่อนไข: ((; (สำหรับ x [,8; ] เงื่อนไขการบรรจบกันไม่เป็นที่พอใจ สมการเวอร์ชันอื่น: ตรวจสอบเงื่อนไขการบรรจบกัน: ((; (4 สำหรับ x [,8; ] เงื่อนไขการบรรจบกันคือ ไม่พอใจ เนื่องจากไม่มีสมการใดที่เรานำเสนอตรงตามเงื่อนไขการบรรจบกันดังนั้นวิธีการที่อธิบายไว้จึงใช้ได้: มันยากที่จะนำไปใช้หรือจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการคุณสามารถใช้เคล็ดลับต่อไปนี้ให้สมการที่มีสมการเดียว รับรูท สมมติว่าในส่วน [c; d] อนุพันธ์ f ของฟังก์ชัน F นั้นต่อเนื่องไม่เท่ากับค่าคงที่และรับค่าของเครื่องหมายเดียวกัน เราจะถือว่า f (, เนื่องจากมิฉะนั้นเรา สามารถ พิจารณาสมการที่สมมูล: f (. ให้เราแนะนำสัญกรณ์: m m m f (, M ma f (, k และ q -. [ c; d ] [ c; d ] M M

34 เห็นได้ชัดว่า q ให้เราแทนที่สมการสมมูลด้วยสมการที่เทียบเท่ากับสมการนั้น k f (และแสดงว่าสำหรับฟังก์ชัน g(k f (on) มีเงื่อนไขการลู่เข้า สำหรับ [ c, d] เศษส่วนของอสมการ เราได้รับอสมการ: f (m q, M M ดังนั้น จึงตามด้วย g(k f (q สำหรับทั้งหมด [ c, d] ตัวอย่าง ลดสมการ l ให้อยู่ในรูปที่เหมาะสมสำหรับการแก้โดยการวนซ้ำอย่างง่ายในช่วง [,4;, 7] เนื่องจากเงื่อนไขการลู่เข้าไม่ใช่ พอใจ เราใช้วิธีที่สองในการลดสมการ: f (; f (,4,4,4,7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99 ; m m f (m,99 ; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44; สมการ l เป็นรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับแก้โดยการวนซ้ำอย่างง่ายในช่วง [,7;,]..

35 เนื่องจากเงื่อนไขการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ เราจึงใช้วิธีลดสมการที่สอง: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, m m f (m, 4; M ma f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 เหมาะสำหรับการแก้ด้วยวิธีวนซ้ำอย่างง่ายในช่วง [,;,7] เนื่องจากเงื่อนไขการลู่เข้า ไม่พอใจ เราใช้วิธีที่สองในการลดสมการ: e.7 5.5;.7;5

36 m m k M f (M ma f (5.5,; m.7; M 5.5; m.7 q.9. M 5.5) บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริทึมของวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายแสดงในรูปที่ c คือ รากของสมการ จำนวนการวนซ้ำ F(c คือค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่สอดคล้องกัน เริ่มอินพุต c, = (c c = = + F (c ใช่ ไม่ใช่ เอาต์พุต c จบรูปที่ 6

37 . งานควบคุม แก้สมการกับสมการที่ไม่รู้จักโดยวิธีพิจารณา.. l.. cos. ล. 4. cos 5. cos 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg,5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e.. 5. e 4(

38 7. จ 4. 8.,9 วิ. 9. อี 4.ส. 4. จ 4.,58 น. 4. ส. 46.คอส. 47.ctg. 48.s จ. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5 , (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, (e. (จ. 8. จ... 8

39 คำถามควบคุม วิธีหารครึ่ง. เหตุใดวิธีนี้จึงถือเป็นวิธีที่เชื่อถือได้ในการแก้สมการไม่เชิงเส้น ข้อเสียของวิธีนี้คืออะไร? จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขการบรรจบกันของวิธีการพิจารณาเสมอหรือไม่? อะไรอธิบายความได้เปรียบของการใช้วิธีผสมผสาน โดยเฉพาะวิธีคอร์ดและแทนเจนต์ 4. เงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย 5. เงื่อนไขการยุติกระบวนการวนซ้ำที่ใช้ในโปรแกรม 6. ตั้งชื่อขั้นตอนของการกำหนดรากโดยประมาณ 7. รากหรือคำตอบของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นคืออะไร? 8. ให้การตีความทางเรขาคณิตของวิธีการแบ่งส่วน 9. จุดสิ้นสุดของคอร์ดใดที่ได้รับการแก้ไขเมื่อใช้วิธีคอร์ด?. ค่าประมาณแรกที่ถูกเลือกในวิธีของนิวตันเป็นอย่างไร เขียนอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาด้วยวิธีคอร์ด วิธีแบ่งครึ่ง เหตุใดวิธีนี้จึงถือเป็นวิธีที่เชื่อถือได้ในการแก้สมการไม่เชิงเส้น ข้อเสียของวิธีนี้คืออะไร? จำเป็นต้องตรวจสอบเงื่อนไขการบรรจบกันของวิธีการพิจารณาเสมอหรือไม่? 4. อะไรอธิบายความได้เปรียบของการใช้วิธีผสมผสาน โดยเฉพาะวิธีคอร์ดและแทนเจนต์ 5. เงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย? 6. เงื่อนไขการยุติกระบวนการวนซ้ำที่ใช้ในโปรแกรม? 7. ตั้งชื่อขั้นตอนของการกำหนดรากโดยประมาณ 8. รากหรือคำตอบของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้นคืออะไร? 9. ให้การตีความทางเรขาคณิตของวิธีการแบ่งครึ่ง. ส่วนท้ายของคอร์ดใดที่ได้รับการแก้ไขเมื่อใช้วิธีคอร์ด ค่าประมาณแรกที่ถูกเลือกในวิธีของนิวตันเป็นอย่างไร เขียนอัลกอริทึมสำหรับแก้ปัญหาด้วยวิธีคอร์ด เก้า

40 งานห้องปฏิบัติการ สูตรการประมาณค่าของลากรองจ์ บทนำ การประมาณค่าเป็นกรณีเฉพาะของปัญหาการประมาณค่าของฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง เราจะพูดถึงการประมาณฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ปัญหาการแก้ไขเกิดขึ้นในทางปฏิบัติของวิศวกรในกรณีต่อไปนี้: การแก้ไขข้อมูลแบบตาราง การได้รับการพึ่งพาการวิเคราะห์จากข้อมูลการทดลอง การแทนที่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนในการคำนวณด้วยการขึ้นต่อกันที่ง่ายกว่า ความแตกต่างโดยประมาณและการรวม; คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อคำนวณค่าของฟังก์ชันที่กำหนดในตาราง ณ จุดที่ไม่ตรงกับโหนดโดยใช้สูตรการแก้ไข Lagrange ลำดับของงาน เพื่อศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎี.. สร้างโปรแกรมสำหรับแก้ปัญหา, ดีบั๊ก.. แก้ปัญหาเวอร์ชันที่กำหนดของงานควบคุม 4. รวบรวมรายงานที่มีงาน รายการโปรแกรม ค่าฟังก์ชันที่คำนวณได้ 5. ปกป้องงานในห้องปฏิบัติการ คำชี้แจงปัญหา ฟังก์ชันเริ่มต้น y \u003d F (กำหนดในส่วนในรูปแบบของตารางที่มีโหนดที่มีระยะห่างไม่เท่ากัน (ต้นทุน x + x หากต้องการวิเคราะห์ฟังก์ชันนี้โดยใช้สูตรการแก้ไข จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขที่ว่าฟังก์ชันดั้งเดิมและฟังก์ชัน φ (x ที่แทนที่ฟังก์ชันนั้น) ต้องตรงกันที่โหนด นั่นคือ จำเป็นต้องปฏิบัติตามเงื่อนไข F(= φ (, โดยที่ ì =,. (เราแทน ฟังก์ชัน y = F( เป็นพหุนามของดีกรี n: L (x = a + a x + a x a p x. (4

41 สำหรับสิ่งนี้ เราใช้พหุนาม ซึ่งแต่ละโหนดที่จุด x = x (= รับค่า y= และที่โหนดอื่นๆ ทั้งหมด =, =, = -, = +, = เปลี่ยน y เป็นศูนย์ y=y =y = =- , + = =y =. รูปที่, j; P (, j. รูปนี้แสดงพหุนาม เนื่องจากพหุนามที่ต้องการเปลี่ยนเป็น at จุด,... จึงมีรูปแบบ PC C (โดยที่ C คือ ค่าคงที่ ค่าสัมประสิทธิ์สามารถพบได้ที่ =, ตั้งแต่ P, C, (4 โดยที่ C. (5 แทน (5 ใน (, เราได้ P. (6 องศาของพหุนามคือ n เลขของจุดขึ้นต้นด้วย และ ลงท้ายด้วย n ในขณะที่จุด -th หลุดออกไป พหุนามที่เป็นผลลัพธ์จะแทนฟังก์ชันดั้งเดิม y \u003d F (เพียงจุดเดียวเท่านั้น ในการแสดงฟังก์ชันแบบตารางทั้งหมดของพหุนามดังกล่าว คุณจะต้องมีรายการ L 4 P y (7

42 4. กรณีพิเศษของพหุนามลากรองจ์ พิจารณากรณีพิเศษของพหุนามลากรองจ์สำหรับ n=; n=; พี=. สำหรับ n= ตารางฟังก์ชันเดิมจะมีลักษณะดังนี้: y y จากนั้นตามสูตร (7 เรามี y y y P y P L สำหรับกรณี n = : y y y. y y y P y P y P L สำหรับกรณี n=: y y y y P y P y P y P L y y.y y ลองยกตัวอย่างที่ชัดเจน: ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยตารางของค่า: คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด5

43 ค่าฟังก์ชัน y= l x 4 5 y= l,69,986,86,694 ใช้สามค่าแรกเป็นโหนดการแก้ไข เราได้รับ: L (=((-(-4/(-(-4.69+((- (- 4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-,589 +,7 -,47; L (,5=,9. L เราสร้างพหุนามของ ระดับที่สามของสี่โหนด : ,9,86,94,6849; , L,99.,69,986,89 สำหรับการเปรียบเทียบ เราชี้ให้เห็นว่าในตารางสี่หลัก ค่า l,5 =,99.. การประมาณข้อผิดพลาด พหุนาม Lagrange ที่สร้างขึ้นเกิดขึ้นพร้อมกับฟังก์ชันดั้งเดิม F ที่จุดอื่นๆ ทั้งหมด L(แสดงถึงฟังก์ชัน F(ในช่วงเวลาโดยประมาณ เราเขียนสูตรที่ใช้ในการประมาณค่าข้อผิดพลาดโดยปราศจากรากศัพท์: f R f (L(, (8! โดยที่ R คือพจน์ที่เหลือหรือข้อผิดพลาด f (+ i อนุพันธ์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ในขณะที่เราถือว่า F(ในส่วน a b ของการเปลี่ยนแปลงใน x จะมีอนุพันธ์ของ a, b ทั้งหมดจนถึง (รวมลำดับที่ +-th; จุดที่ให้ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ของพหุนาม,. ; องศา 4

44 รูป 44

45 ลองประมาณข้อผิดพลาดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยตาราง เลือกระดับของพหุนาม n = ให้ฟังก์ชัน y= l ให้เราหาอนุพันธ์อันดับสาม y"=/; y""= /, y"""=/ แน่นอน ค่าสูงสุดของ y""" จะได้รับที่ =: y"""=/ =/4 R (,5 (,5 (,5 4) X Y X Y X Y.5.54.5 8.6579.5.8678.45.946.55 4.8, 8.99.887.46 9.6.6 6.598.5 7.9589.5.7788.47 8.945 .65 8.4747, 7.8489.78 .7 4.447.5 7.65.5.74688.49 7.75 4.5.4 7.96.4.67.5 6.8 44, 7.45 6.8485.45.6768.5 5.984.85 46.99.5 6.6659.5.555.5.5.5.9484.9 49.44.555.555.555.5 95 5.954.6 6.9658.6.5488.54.997 =.5 =, =.7 =.455 =.9 =.6 =.58 =, X Y X Y X Y X Y.4 -.4476.4 4.556.5 4.487 .9984.5 -.597.45 4.55.6 4.95.6.9595.6 -.7446.5 4.455.7 5.479.965.7 -.896.55 4.5684.8 6.496.6.87695, 8 -.5.6 4.6744.9 6.6859.8468.9 -.779.65 4.798 .775.4 -, 4598.75 5.49, 9.5.6.744.4 -.599.8 5.7744, 9.974.4.749.4 -.77.85 5.6.4.46.68547=,45=,6=, 55 =,7 =,47 =,84 =, 8 =,45 45

46 9 x y x y x y.8 5.654.68.45.88855.5.644.85 5.4669.6.7644.4.889599.76.9 5.64.9.45.8967.5.967 4.4776, 4.87.57.445 8947.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467, 4.6855.4.857.455.896677.55.45688.5 =,46 =,7 =,7 =,5 =,457 =, X Y X Y, X Y X Y,5,5,5,5,7,5 4-6,94647,7,4499,6,89,44-7, 8945 5.8655.9.59.7.8.54-7.67 7.776.59774.8.5.64-7.8678 9.446.6587.9.697.74-7.5445.66977.5.74 4.86 7.75.77648.7.769 4.498.94-7.8666 5.999.9.86 4.458.4-8.56 7.7558.8474 4.4586.4-8.46 9.449.885 4.4.486.4-8.898.489 =,48 =,68 =,46 =,46 = ,87 = 4, =,5 = 9, X Y X Y X Y X Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688, 95.67884.48 -.8 -.99.7 -.474.69.49 -.947 -.796 -.9987.5.6546.5 -.8768.4 -.79.9 --, 96.6754.5 -.84.7 -.69.45 -.88.5.696759.5 -.7444 -.584.5 -.486.77685.5 -.6788 - 5.57 - .74.5.784.54 -.66.6 -.4858.6 -.6664.75847.55 -.5489.9 -.4464.69 -.8.5.7777.56 -.4846 -.49 x =,6 x =,9 x =,475 x =,64 x =,66 x =, x =,55 9 x =, 46

47 4 X Y X Y X Y X Y.7 -.7896 5.5.964.4 -.788.789 -.98.8 -.7445 5.969.5 -.498.79 -.978.9 -.5.94585, 6 -.65.79 -.98 -.6696 5.9555.7 -.9945.79 -.997 -.6659 5.5.9658.8 -.96758.79 -.957 -.595 5 .97456.9 -.946.794 -.97 -.5664 5.5.98949.4 -.969.795 -.977.4 -.596 5.4.995.4 -.896.796 - 947.5 -.547 5, 45.468.4 -.8675.797 -.9497.6 -.4945 5.5.6.4 -.8497.798 -.9557 =.79 x = 5.6 x =. 5 x = 5.48 x =.44 x =. X Y X Y X Y X Y 75 4.5.5 7.65.7488.9 5.6.8 44.7.4 7.96.5 .74688.95 5.9.85 46.99.45 6.8485.4.67, 5.664.9 49.44.5 6.6659.45.6768.5 4.946.95 5.954.5.55.5.5.5.55.55.5 4.54.598.6 6.9658.55.57695.5 4.76 4.5 57.975.65 6.55.6.5488.4.685 4.6.4.7 5.8558.65.546.5 4.59 4.5 6.44.75 5.6558.7.7.7.49655555 .6=, x=.98=4 ,7 x =,7 x =,74 x =,7 9 X Y X Y X Y X Y,7 5.479.4.88959.6.7644.6 6.598.8 6.496.45.896.9.65 8.474.9 6 .6859.4. 8966.6.67.7 4.447, 7.89.45.8968.75 4.5, 8.66.44.8969.6.66.8 44.7, 9.5.445.8947, 57.85 46.99, 9.974.45.89569.6.677.9 49.4.4.465 7.4.857.95 5.95.5.85.46.89765.46.9959 4.54.598.6.467.465.8986.5.4579 4.5 57.97=.74x=.46x=.8x= .6 =, x =, 46 x =, 5 x = 4.47

48 4 5 6 x y x y x y.5 7.9589.5.7788.47 8.945.99, 7.6489.748.48 8.746.885.5 7.65.5.7468.49 7.4, 6755.4 7.96.4.67.5 6.6.5555.455.455.455.455. .5.665.5.9484.4.55 6.9986.55, 57695.5.558, -.584.6 6.9658.6.5488.54.997.4 -.555.65 6.55.65.54.55 9.647.6- -.445.7 5.8558.5,7,8,49658 ,69 =,6 x =,7 x =,465 x =, =,67 x =,67 x =,557 x =, X Y X Y X Y X Y,99, - .46 6.68.7.486:8.885, -.5885 6.5.5.9. 985.5.6755.4 -.774 6.7.448.69.7.555.6 -.8569 6.9.5784.67.9 .5.8 -.94 7.79.5.87.4 -.99 7.854.7.79 -.584 -.998 7.5.98.9.466.5 - 555.4 -.45 7.7.988.7 -.445.6 -.489 7.9.9989.98.9 -.69.8 -.5 8.5.5.85 x =.7 =.8 x =, =.7 x = 6, = 7.6 x =,75 =, X Y X Y X Y X Y 45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55,6,57, 64,58,655,59,6696,6,684,6, 79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74,9,75, 96,77,9696,78,989,79,4, 8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9,6,9, 9.49.94.69 x=.48 x=.48 x =.5 x=.5 x=.87 x=.9 x=.9 x=.9 48

49 X Y X Y X Y X Y 7456.8.7.84.7.8949.44, 957.75.96.78.989.55.4.8.96.8.94.78.85.8.88.97.4 4.96 .4 4.787.9.6.9.49.5 4.567.5 4.98.6.95 5.9 x=,49 x=,5 x=,75 x=, 7 x \u003d,9 x \u003d,95 x \u003d,6 x \u003d, X Y X Y XY X Y .7966, 4.9.7.644.8.95.8.986, 4.457 9.78.9.554.9.7, 4.97.89.6.4 5.466.966.69.86.5 .546.5645.6 6.6947.7.78.758.7 7.46.9.6.4.9477.4.9697 x=.8 x=, x=.59 x=.55 x=, x= , x =,8 x =, X Y X Y X Y X Y 8.947.97.75.474.98 8.4.8546.4.744.95.867.4.9 8.6.744.5.75.5.66.6.85 8.8.5849 .6 4.96.5.59.8.6967 9.4.7 4.9 55.545 9.9.8 5.8.75.78.64 9.4.48.9 6.859.95.4, 4.699 9.6 -.74, 8.5.65.6 -.9 9.8 -.665, 9.6.5.954.8 -.7, -.544.648.55.78 x=, x=8, 5 x =.5 x =.78 =.66 = 9.9 =.4 =.45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y.7 X.8 Y X.5.5 Y 4, X -.7568 Y.5 X.5 Y 84.8.54.55.5666.4.6.666.9 4 .65 -.876 8.4747. 6.6485 8.99.9.64.4596.6846.4.7.7586.9 4.4.7 -.956 4.447.7.5.77 7.9589, 74.78.894.44.8.888.947 4.6.75 -.997 4.5.8.965 7.6489.84 8 -.996 44.7.9.5 .49 7.65.94.847.48.75.887 5.85 -.68 46.99.4.97 7.96.4.669.79.5.56.8776 5.9 -.5 49.44.45.54 6.8485.4.4 4.58.45.45.45.45.45.5 67 5.954.5.576 6.6659.5.4 4.487.585.54.6984.8577 5.6 4, -.54 54.598 .55.78 6.9986.6.4 4.95.7786.56.4.94.847 5.8 4.5 -.4 57.4 575.4. x =, 54.865 4, x = 4, 6.4.65 x =, 56.55 x =, 55.55 x =, 4.5 x =, 655 5.7 x =, 6.7 =, 46 =, 57 = 4.7 =, X Y X Y X Y X Y.46 9.6. 6.959.6 4.95.45 4.55.47 8.945.96.7 5.479.5 4.455.48 8.746.6.8769.8 6.496.55 4.5684, 49 7.846.9 6.6859.6 4.6744.5 6.6.5.877, 7.846.9 6.6859.6 4.6744.5 6.6.5.877, 7.4.88 7.4.89 775, 8.66.7 4.96.5.9484.6.744, 9.5, 75 5.49.5.558.4.74, 9.974.8 5.7744.54.997.46.6854.4.85 5.6.55 9.647.5.6579.5.85.9 5.6 x =.55 =,6 x =.55 ,66 x =,465 =,7 =,57 =,57 =, X Y X Y X Y X Y 5,44774,765,56,478,6,848,4855,796,57,4745,7,964,5,5745,67,58,46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,45,5868,4 , 5669 x =, 59 =, 7 x =, 5 x =, 56 =, 6 =, 87 =, 44 =, 7 5

51 X Y X Y X Y X Y .7554.6.75.6.55.7.864.7.6.7.864.7.847.8.9896.8.8.9896.8 4.57.9.77.9.66.9.77.9 4 ,57 x =, 55 =, 65 x =, 8 x =, 6 = , 7 =, 57 =, 87 =, 8 คำถามควบคุม. คำศัพท์: การประมาณ การประมาณค่า การอนุมาน หมายถึงอะไร?. การวัดความใกล้เคียง (การเบี่ยงเบนของสองฟังก์ชัน.. เขียนสูตรการประมาณค่าสำหรับตาราง: a พร้อมขั้นตอนตัวแปร b พร้อมขั้นตอนคงที่ 4. ผลต่างจำกัด จะคำนวณได้อย่างไร 5. ผลต่างที่ถูกหาร จะคำนวณอย่างไร 6. เขียน ฟังก์ชันที่ระบุในตารางในรูปแบบการวิเคราะห์โดยใช้สูตรการประมาณค่า X - Y เขียนกรณีพิเศษของสูตรของนิวตันสำหรับ n=, n= 8 เขียนกรณีพิเศษของสูตรของลากรองจ์สำหรับ n=, n=, n= 9 วิธีประมาณค่าความผิดพลาด ของสูตรการแก้ไข Lagrange.. คำนวณผลต่างจำกัดของคำสั่งต่างๆ: 5

52 . สร้างพหุนามการแก้ไข Lagrange สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเป็นตาราง y = nx: เขียนฟังก์ชันในรูปแบบการวิเคราะห์โดยใช้ผลต่างที่ถูกหารสำหรับสิ่งนี้: 4. คุณจะกำหนดระดับที่ดีที่สุดของพหุนามที่จะประมาณค่าได้อย่างไร? 5. เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดระดับของพหุนามโดยประมาณระหว่างการประมาณ? 6. ค้นหาพหุนามที่มีดีกรีน้อยที่สุดซึ่งใช้ค่าที่กำหนด ณ จุดที่กำหนด ย,45,4,6 4,5,4 5,65 ฟังก์ชั่นนี้. ย 4 6 5

53 งานในห้องปฏิบัติการ 4. วิธีกำลังสองน้อยที่สุด วัตถุประสงค์ของงาน: เพื่อเลือกประเภทของการพึ่งพาและกำหนดพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของฟังก์ชันที่กำหนดแบบตารางโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด ลำดับของงาน ทำความคุ้นเคยกับรายละเอียดของงานในห้องปฏิบัติการสำหรับตัวแปรที่กำหนด ให้พิจารณา: ประเภทของการพึ่งพาอาศัยกัน b พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สร้างรายงาน 4. ตอบคำถามเพื่อความปลอดภัย 5. ปกป้องงานในห้องปฏิบัติการ คำอธิบายของวิธีการ ให้ผลการทดลองในตารางของฟังก์ชันบางอย่าง F(y y y y จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันในรูปแบบ y = F(ซึ่ง ณ จุดนั้น ใช้ค่าที่ใกล้เคียงกับ ค่าตาราง y,y,y สูตรดังกล่าวเรียกว่าสูตรเอมพิริคัลหรือสมการถดถอย y บน ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันประมาณหรือประมาณ ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันประมาณนี้มีดังต่อไปนี้ ตามตาราง พล็อตจุดของฟังก์ชัน F ถูกสร้างขึ้นตามประเภทของฟังก์ชันการประมาณที่ตั้งไว้ ในฐานะฟังก์ชันการประมาณ y \u003d F (ขึ้นอยู่กับ ฟังก์ชันต่อไปนี้มักใช้ขึ้นอยู่กับลักษณะของแผนการกระจาย: y =a+b; y=a +b+c; y=a m ; y=b a ; y=a+b s; y=a l+b; y=/(a+ b; y=a/+b; y= /(a+b, y=a e m ; โดยที่ a, b, c, m เป็นค่าคงที่ ทางเลือกของฟังก์ชันการประมาณไม่ใช่อัลกอริทึม

54 ฟังก์ชัน proximation ถูกพบโดยการแจงนับ คุณสามารถใช้วิธีจัดตำแหน่งได้ ดังนั้นหากมีการกำหนดรูปแบบของฟังก์ชันการประมาณ ปัญหาจะลดลงเป็นการค้นหาค่าของพารามิเตอร์ สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดซึ่งมีสาระสำคัญดังนี้ กำหนดให้ต้องหาฟังก์ชันประมาณ เช่น มีพารามิเตอร์สามตัว: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (สำหรับ (โดยที่ = จากตาราง ฟังก์ชันนี้จะรับค่า =F(, a,b,c) แตกต่างจากที่กำหนดน้อยกว่า (ค่าตาราง นั่นคือ ความแตกต่างควรอยู่ใกล้ศูนย์ ดังนั้น ผลรวมของผลต่างกำลังสองของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน F (และ y F a , b, c Фa, bc, ควรใช้ค่าต่ำสุดด้วย ดังนั้น ปัญหาจึงลดลงเหลือการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน Ф(a, b, c. เราใช้เงื่อนไขสุดขั้วที่จำเป็น: Ф, a Ф, b Ф, c หรือ y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c 54 a b c ,b,c เห็นได้ชัดว่าค่าของฟังก์ชันที่พบ F(,a,b,c ที่จุดจะแตกต่างจากค่าตาราง y,y,y. ค่าของความแตกต่าง y F, a, b , c, โดยที่ =,.. , เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนของค่า y เหล่านี้จากค่าที่คำนวณโดยสูตร อี (. ผลรวมของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง (ควรมีค่าน้อยที่สุด โปรดทราบว่าในการประมาณหลายๆ ค่าสำหรับฟังก์ชันตารางเดียวกัน ค่าที่ดีที่สุดคือค่าที่มีค่ามากที่สุด

55 คือค่าที่ต่ำกว่า ในกรณีของเรา ฟังก์ชันการประมาณขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สามตัว แต่การเปลี่ยนแปลงจำนวนพารามิเตอร์จะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงจำนวนของสมการระบบเท่านั้น ( และสาระสำคัญของวิธีการจะยังคงเหมือนเดิม ให้เราพิจารณากรณีเฉพาะของ การหาฟังก์ชันการประมาณ.. ฟังก์ชันเชิงเส้น จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันการประมาณในรูปของฟังก์ชันเชิงเส้น: ,a,b = a + b เนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนเกี่ยวกับพารามิเตอร์ a และ b:, a, b F b, a, b จากนั้นระบบ (จะอยู่ในรูปแบบ: F a, y a b, y a b หลังจากการแปลงอย่างง่าย มันสามารถนำไปสู่รูปแบบ: y a b, (а y a b. หลังจากแก้ไขระบบแล้ว เราได้รับ ค่าของพารามิเตอร์ a และ b และดังนั้น รูปแบบเฉพาะของฟังก์ชันการประมาณ F(,a,b = a+b ตัวอย่าง ค้นหาฟังก์ชันการประมาณในรูปของพหุนามเชิงเส้น F( ,a, b = a+b y 66.7 7, 76, 8.6 85.7 9.9 99.4.6 5 = , = =8,, = 54.8, = 46 เราแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสำหรับ a และ b เราได้ =.87 b = 9 ประมาณ ฟังก์ชันมอดูเลตมีรูปแบบ F(,a,b =,87+9, 55

56 . ฟังก์ชันกำลังสอง จำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันการประมาณในรูปของฟังก์ชันกำลังสอง: F(,a,b,c = a +b+c เนื่องจากอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์ a, b และ c ตามลำดับ , เท่ากัน: F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ: y a b c, y a b c, y a b c F(,a ,b,c=a +b+c 4. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันยกกำลังและค่าของฟังก์ชันเป็นค่าบวก เราจะใช้ลอการิทึมของการเท่ากัน (: lf = la + ml ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ u = l; A = m; B = la แล้ว lf จะเป็นฟังก์ชันของ u: Ф (u, A, B = Au + B ดังนั้น การหาพารามิเตอร์ ฟังก์ชั่นพลังงานเราลดการค้นหาพารามิเตอร์ ฟังก์ชันเชิงเส้น. ดังนั้นแนวทางแก้ไขปัญหาเพิ่มเติมจะคล้ายกับกรณีแรก เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันФ (u, A, B สำหรับพารามิเตอร์ A, B: Ф a u, Фจากนั้นระบบ (จะอยู่ในรูปแบบ: b u y A u B u, y Au B. 56

การบรรยาย3. 3. วิธีการของนิวตัน (แทนเจนต์ ลองตั้งค่าประมาณเริ่มต้น [, b] และทำให้ฟังก์ชันเป็นเส้นตรง f (ในละแวกใกล้เคียงโดยใช้ส่วนของอนุกรมเทย์เลอร์ f (= f (+ f "((-. (5) แทน สมการ (เราแก้

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งชาติยูเครน "Kharkiv POLYTECHNICAL INSTITUTE" แนวทางการทำงานในห้องปฏิบัติการ "การคำนวณรากของสมการอดิศัย"

คำตอบของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น สมการเชิงพีชคณิตหรือสมการอดิศัยไม่สามารถแก้ได้อย่างแน่นอนเสมอไป แนวคิดของความแม่นยำของคำตอบหมายถึง:) ความเป็นไปได้ในการเขียน "สูตรที่แน่นอน" หรือมากกว่านั้น

หัวข้อ 4. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น -1- หัวข้อที่ 4. คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น 4.0. คำชี้แจงปัญหา ปัญหาในการหารากของสมการไม่เชิงเส้นในรูปแบบ y=f() มักพบในทางวิทยาศาสตร์

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นและระบบของสมการไม่เชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นของแบบฟอร์ม คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการเชิงพีชคณิตไม่เชิงเส้นหรือสมการเหนือธรรมชาติ คือการหาค่า

Saratov National Research State University ตั้งชื่อตาม N.G. Chernyshevsky" A.I. Zinina V.I. Kopnina วิธีการเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น บทช่วยสอน Saratov

คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการไม่เชิงเส้น คำตอบของสมการไม่เชิงเส้นในรูปแบบ คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงพีชคณิตไม่เชิงเส้นหรือสมการเหนือธรรมชาติ f =) ประกอบด้วยการหาค่าต่างๆ

ห้องปฏิบัติการในหัวข้อ "หัวข้อ .. วิธีการแก้สมการไม่เชิงเส้น" ไปที่หัวข้อ หัวข้อ. Ogl... คำถามเพื่อการศึกษา. โจทย์ปัญหาการแก้สมการเชิงตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น ขั้นตอนของตัวเลข

บทที่ 9 3. วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้น การกำหนดสูตรของปัญหา ให้สมการไม่เชิงเส้น (0, (3.1) โดยที่ (ฟังก์ชันกำหนดและต่อเนื่องในบางช่วงเวลา ในบางกรณี

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "VORONEZH STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY" ภาควิชาสารสนเทศและวิธีการ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐแห่งสหพันธรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "การวิจัยแห่งชาติ TOMSK POLYTECHNICAL

สถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐสำหรับการอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษา "Vladimir Aviation Mechanical College" คำแนะนำวิธีการสำหรับห้องปฏิบัติการในวินัย NUMERICAL

คำชี้แจงปัญหา วิธีแบ่งส่วน วิธีคอร์ด (วิธีส่วนสัด 4 วิธีนิวตัน (วิธีแทนเจนต์ 5 วิธีวนซ้ำ (วิธีประมาณต่อเนื่อง) คำชี้แจงปัญหา กำหนดให้

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาวิชาชีพแห่งรัฐ Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics TUSUR Department

2 วิธีการแก้สมการเชิงตัวเลข 2.1 การจำแนกประเภทของสมการ ระบบและวิธีการแก้ปัญหา สมการและระบบสมการแบ่งออกเป็น 1) พีชคณิต: สมการเรียกว่า พีชคณิต ถ้าเกิน

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันเทคโนโลยีแห่งรัฐปีเตอร์สเบิร์ก (มหาวิทยาลัยเทคนิค) ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ M.V. Lukina วิธีการคำนวณโดยประมาณ

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY คณะคณิตศาสตร์ประยุกต์ของกระบวนการควบคุม A. P. IVANOV เวิร์กช็อปเกี่ยวกับวิธีเชิงตัวเลข หลักเกณฑ์วิธีการของนิวตัน เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2013

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Ukhta State Technical University แนวทางการคำนวณทางคณิตศาสตร์และ เอกสารการทดสอบ UHTA 6 UDC.6 7. LBC. ฉัน 7

คำแนะนำเชิงระเบียบวิธีสำหรับการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการในสาขาวิชา "วิทยาการคอมพิวเตอร์" ภาคการศึกษาที่ 3 NOVOSIBIRSK 008 กระทรวงวิทยาศาสตร์และการศึกษาแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันเทคโนโลยีโนโวซีบีร์สค์แห่งรัฐมอสโก

แนวทางของ A. P. Ivanov หัวข้อที่ 4: วิธีของนิวตันในการแก้สมการไม่เชิงเส้นและระบบสมการ คณะ PM PU St. Petersburg State University 2007 สารบัญ 1. การแก้สมการสเกลาร์................ ......... ........

1 Lagrange พหุนาม ให้ค่าของฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก (x i = 01 x [ a b] i i i) ได้จากการทดลอง

คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น -1- คำตอบที่เป็นตัวเลขของสมการไม่เชิงเส้น 0 คำชี้แจงปัญหา ปัญหาในการหารากของสมการไม่เชิงเส้นในรูปแบบ y=f() มักพบในการวิจัยทางวิทยาศาสตร์

งานสำหรับชั้นเรียนภาคปฏิบัติในวินัย "คณิตศาสตร์เชิงคำนวณ" บทเรียนเชิงปฏิบัติในหัวข้อทฤษฎีข้อผิดพลาด คำถามทดสอบ กำหนดการทดลองทางคอมพิวเตอร์ วาดไดอะแกรม

เครื่องมือประเมินผลสำหรับการติดตามความคืบหน้าในปัจจุบันการรับรองระดับกลางตามผลการเรียนรู้ระเบียบวินัยและการสนับสนุนด้านการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับงานอิสระของนักเรียน 1 งานการคำนวณ ตัวแปร

การบรรยาย 2. การแก้สมการไม่เชิงเส้น. คำชี้แจงปัญหา: ค้นหาค่าปัจจัยข้อผิดพลาดของเครื่องมือ σ เมื่อทำการวัดพิกัดเชิงภูมิศาสตร์จากสมการ: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 ค่า δ = 0.186, υ = 4.18,

บทเรียน วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณของสมการไม่เชิงเส้น การแยกราก ให้สมการ f () 0, () โดยที่ฟังก์ชัน f () C[ a; นิยาม ตัวเลขเรียกว่ารากของสมการ () หรือศูนย์ของฟังก์ชัน f () ถ้า

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเพนซา วิธีเชิงตัวเลขของพีชคณิตเชิงเส้น แนวทางการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการ PENZA 7

Methods.doc วิธีการคำนวณโดยประมาณ หน้า 1 จาก 6 เงื่อนไขทั่วไปของปัญหา: ใช้วิธีการทางตัวเลขสองวิธี คำนวณค่าโดยประมาณของราก 1 ของสมการเชิงฟังก์ชันของรูปแบบ f()=0 สำหรับค่า N

20 บทเรียนภาคปฏิบัติ 3 การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วยวิธีวนซ้ำ ระยะเวลาของงาน - 2 ชั่วโมง วัตถุประสงค์ของงาน: การรวมความรู้เกี่ยวกับวิธีการวนซ้ำอย่างง่ายและ Gauss-Seidel

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Kostroma State มหาวิทยาลัยเทคโนโลยี IV Zemlyakova, O.B. Sadovskaya, A.S. Ilyukhina NUMERICAL METHODS แนะนำโดยกองบรรณาธิการและสำนักพิมพ์

บทที่สมการไม่เชิงเส้น แนวคิดและคำจำกัดความ. การกำหนดปัญหา การแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่เกิดขึ้นในส่วนต่างๆ

วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ วิธีแก้ปัญหา Cauchy... ปัญหา Cauchy สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหนึ่งสมการ เราถือว่าปัญหา Cauchy เป็นส่วนต่างหนึ่ง

1 คำตอบของสมการที่มีสมการที่ไม่รู้จัก สมการจะได้รับในรูปแบบ f(x)=0 โดยที่ f(x) คือฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปร x จำนวน x * เรียกว่ารูตหรือโซลูชัน สมการที่กำหนด, ถ้าเมื่อแทน x=x * ลงในสมการ

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย คณะมหาวิทยาลัยมาตรวิทยาแห่งรัฐมอสโก (MIIGAiK) แบบฟอร์มระยะไกลการเรียนรู้ ภายนอกโปรแกรมและการควบคุม

บทที่ 3 อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน การประยุกต์อนุกรมกำลัง การขยายฟังก์ชันเข้าสู่อนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน สำหรับการประยุกต์ สิ่งสำคัญคือต้องสามารถขยายฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นอนุกรมกำลังได้ ฟังก์ชันเหล่านั้น

การประมาณฟังก์ชัน ผลต่างเชิงตัวเลขและการรวม ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาปัญหาของการประมาณฟังก์ชันโดยใช้พหุนาม Lagrange และ Newton โดยใช้การแก้ไขแบบ spline

กระทรวงเกษตรแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณระดับอุดมศึกษาของสหพันธรัฐรัสเซีย "KUBAN State AGRARIAN UNIVERSITY"

ภาควิชาคณิตศาสตร์และองค์ประกอบสารสนเทศ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น คอมเพล็กซ์การฝึกอบรมและระเบียบวิธีสำหรับนักเรียนชั้น ปวช. ที่เรียนโดยใช้ เทคโนโลยีระยะไกลโมดูลแคลคูลัส รวบรวมโดย:

MODULE “การประยุกต์ใช้ความต่อเนื่องและอนุพันธ์ การประยุกต์อนุพันธ์ในการศึกษาฟังก์ชัน การประยุกต์ความต่อเนื่อง.. วิธีการของช่วง.. สัมผัสกับกราฟ. สูตรลากรองจ์. 4. การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

คำถามสำหรับการสอบรายวิชา วิธีการคำนวณพีชคณิตเชิงเส้น ปีที่ 2 ภาคเรียนที่ 3 อาจารย์: อาจารย์ ส.บ. Sorokin ตอนที่ 1. การวิเคราะห์เชิงตัวเลข หัวข้อ 1. วิธีการเกี่ยวกับพีชคณิตการแก้ไข 1. การกำหนด

งานห้องปฏิบัติการ วัตถุประสงค์ของงาน: รวบรวมทักษะในการทำงานขั้นพื้นฐาน โครงสร้างวากยสัมพันธ์ภาษา C และความสามารถในการจัดระเบียบลูปและการคำนวณ.. ส่วนทฤษฎี.. วิธีการแก้ปัญหา

ปาสคาล 13. คำตอบของสมการไม่เชิงเส้น สมการไม่เชิงเส้นสามารถแบ่งออกเป็น 2 คลาส - พีชคณิตและอดิศัย สมการเกี่ยวกับพีชคณิตเรียกว่าสมการที่มีพีชคณิตเท่านั้น

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย งบประมาณสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาวิชาชีพ "Tambov State Technical University"

กระทรวงการศึกษาและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐแห่งสหพันธรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "ULYANOVSK STATE TECHNICAL UNIVERSITY"

Rostov-on-Don 01 1 บทนำ คณิตศาสตร์ประยุกต์มีหลายทิศทางโดยมีจุดประสงค์หลัก

Ch อนุกรมกำลัง a a a อนุกรมของรูปแบบ a a a a () เรียกว่าอนุกรมกำลัง โดยที่ a เป็นค่าคงที่ เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของอนุกรม บางครั้ง อนุกรมกำลังของรูปแบบทั่วไปจะพิจารณา: a (a) a ( ก) ก (ก) () ที่ไหน

ภาควิชาคณิตศาสตร์และสารสนเทศ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษา HPE ที่เรียนโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล โมดูลที่ 4 การประยุกต์อนุพันธ์ รวบรวมโดย: รองศาสตราจารย์

) แนวคิดของ SLAE) กฎของแครมเมอร์สำหรับการแก้ SLAE) วิธี Gauss 4) อันดับของเมทริกซ์ ทฤษฎีบท Kronecker-Capelli 5) การแก้ปัญหาของ SLAE โดยการกลับด้านของเมทริกซ์ แนวคิดของเงื่อนไขของเมทริกซ์) แนวคิดของ SLAE O . ระบบ SLAE

วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการผลต่างสามัญ.. วิธีเชิงตัวเลขสำหรับแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์... ปัญหาเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหนึ่งสมการ เราพิจารณาปัญหา Cauchy

บทที่ 4 ทฤษฎีบทพื้นฐาน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์การเปิดเผยความไม่แน่นอน ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ปิแอร์ แฟร์มาต์ (6-665) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส) ถ้าฟังก์ชัน y f

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "Ural State University เช้า. Gorky" IONTS "สารสนเทศธุรกิจ"

วิธีการเชิงตัวเลขของการวิเคราะห์สำนักพิมพ์ GOU VPO TSTU กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาวิชาชีพ "Tambov State

กระทรวงคมนาคมแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย (Ministry of Transport of Russia) สำนักงานขนส่งทางอากาศแห่งสหพันธรัฐ (Rosaviatsiya) มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก การบินพลเรือน» อี

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย South Ural State University (NRU) สาขา SUSU (NRU) ใน Ust-Katav

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งรัสเซีย TOMSK STATE UNIVERSITY คณะวิทยาการสารสนเทศ โปรแกรมการทำงานสาขาวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ ทิศทางการศึกษา 010300 สารสนเทศและสารสนเทศพื้นฐาน

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาแห่งรัฐ Nizhny Novgorod State Technical University R.E. Alekseeva WORKSHOP บน

4 วิธีวนซ้ำเพื่อแก้ปัญหา SLAE วิธีวนซ้ำอย่างง่าย จำนวนมากสมการ วิธีการโดยตรงสำหรับการแก้ SLAE (ยกเว้นวิธีการกวาด) กลายเป็นเรื่องยากที่จะนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ สาเหตุหลักมาจาก