อนุญาต หลี่- ปริภูมิเชิงเส้นโดยพลการ a ผม Î หลี่เป็นองค์ประกอบ (เวกเตอร์)

คำจำกัดความ 3.3.1.การแสดงออก , ที่ไหน , - จำนวนจริงตามอำเภอใจ เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น เวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a น.

ถ้าเวกเตอร์ R = แล้วพวกเขากล่าวว่า R สลายตัวเป็นเวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a น.

คำจำกัดความ 3.3.2ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เรียกว่า ไม่สำคัญ, หากในบรรดาตัวเลขมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ มิฉะนั้นจะเรียกชุดค่าผสมเชิงเส้น ไม่สำคัญ.

คำจำกัดความ 3.3.3 . เวกเตอร์ a 1 , 2 ,…, a นจะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของพวกเขาเช่นนั้น

= 0 .

คำจำกัดความ 3.3.4. เวกเตอร์ a 1 ,a 2 ,…, a นเรียกว่าอิสระเชิงเส้นถ้าความเท่าเทียมกัน = 0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขทั้งหมด l 1, l 2,…, l nเป็นศูนย์พร้อมกัน

โปรดทราบว่าองค์ประกอบใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a 1 ถือได้ว่าเป็นระบบอิสระเชิงเส้น เนื่องจากความเท่าเทียมกัน l 1 = 0 ได้ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น l= 0.

ทฤษฎีบท 3.3.1.เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น a 1 , a 2 ,…, a นคือความเป็นไปได้ที่จะสลายองค์ประกอบเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในส่วนที่เหลือ

การพิสูจน์. ความต้องการ. ให้องค์ประกอบ a 1 , a 2 ,…, a นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น หมายความว่า = 0 และอย่างน้อยหนึ่งตัวเลข l 1, l 2,…, l nแตกต่างจากศูนย์ เพื่อความแน่นอน l 1 ¹ 0. แล้ว

เช่น องค์ประกอบ a 1 ถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบ a 2 , a 3 , …, a น.

ความเพียงพอ ให้องค์ประกอบ a 1 ถูกย่อยสลายเป็นองค์ประกอบ a 2 , a 3 , …, a นเช่น 1 = . แล้ว = 0 ดังนั้นจึงเป็นการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของเวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a นเท่ากับ 0 ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น .

ทฤษฎีบท 3.3.2. ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ a 1 , 2 ,…, a นศูนย์ แล้วเวกเตอร์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

การพิสูจน์ . อนุญาต เอ น= 0 แล้ว = 0 ซึ่งหมายถึงการพึ่งพาเชิงเส้นขององค์ประกอบที่ระบุ

ทฤษฎีบท 3.3.3. ถ้าในหมู่ n เวกเตอร์ใด ๆ p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

การพิสูจน์. ให้เพื่อความชัดเจนองค์ประกอบ a 1 , a 2 ,…, a พีขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ซึ่งหมายความว่ามีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเช่นนั้น = 0 . ความเท่าเทียมกันที่ระบุจะยังคงอยู่หากเราเพิ่มองค์ประกอบลงในทั้งสองส่วน แล้ว + = 0 ในขณะที่อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข l 1, l 2,…, lpแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ข้อพิสูจน์ 3.3.1.ถ้าองค์ประกอบ n ตัวเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น k ใดๆ ของพวกมันจะเป็นอิสระเชิงเส้น (k< n).

ทฤษฎีบท 3.3.4. ถ้าเวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a น- 1 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น และองค์ประกอบต่างๆ a 1 , a 2 ,…, a น- 1 , แ n ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น แล้วเวกเตอร์เอ n สามารถย่อยสลายเป็นเวกเตอร์ได้ a 1 , a 2 ,…, a น- 1 .

การพิสูจน์.เนื่องจากโดยเงื่อนไข a 1 , a 2 ,…, อา น- 1 , แ น ขึ้นกับเชิงเส้น แล้วมีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของพวกมัน = 0 , และ (มิฉะนั้น เวกเตอร์ a 1 , a 2 ,…, a น-หนึ่ง). แต่แล้วเวกเตอร์

,

คิวอีดี

ภารกิจที่ 1ค้นหาว่าระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ระบบของเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ของระบบ คอลัมน์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์

.

วิธีการแก้.ให้ผลรวมเชิงเส้น เท่ากับศูนย์ เมื่อเขียนความเท่าเทียมกันนี้เป็นพิกัด เราได้ระบบสมการต่อไปนี้:

.

ระบบสมการดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยม เธอมีทางออกเดียว . ดังนั้นเวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ภารกิจที่ 2ค้นหาว่าระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

.

วิธีการแก้.เวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ดูปัญหาที่ 1) ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ . ค่าสัมประสิทธิ์การขยายเวกเตอร์ ถูกกำหนดจากระบบสมการ

.

ระบบนี้เหมือนกับระบบสามเหลี่ยม มีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร

ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น. เมทริกซ์เช่นในปัญหาที่ 1 เรียกว่า สามเหลี่ยม และในปัญหาที่ 2 – ก้าวสามเหลี่ยม . คำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นั้นแก้ไขได้ง่าย ๆ ถ้าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมแบบขั้นบันได หากเมทริกซ์ไม่มีรูปแบบพิเศษ ให้ใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้น การรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคอลัมน์ สามารถลดรูปสามเหลี่ยมขั้นบันไดได้

การแปลงสตริงเบื้องต้นเมทริกซ์ (EPS) เรียกว่าการดำเนินการต่อไปนี้บนเมทริกซ์:

1) การเปลี่ยนแปลงของเส้น;

2) การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มสตริงอื่นให้กับสตริงคูณด้วยจำนวนที่ต้องการ

ภารกิจที่ 3ค้นหาระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดและคำนวณอันดับของระบบเวกเตอร์

.

วิธีการแก้.ให้เราลดเมทริกซ์ของระบบด้วยความช่วยเหลือของ EPS ให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมขั้นบันได เพื่ออธิบายขั้นตอน บรรทัดที่มีจำนวนของเมทริกซ์ที่จะแปลงจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ คอลัมน์หลังลูกศรแสดงการดำเนินการที่จะดำเนินการในแถวของเมทริกซ์ที่แปลงแล้วเพื่อให้ได้แถวของเมทริกซ์ใหม่

.

เห็นได้ชัดว่า สองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ผลลัพธ์เป็นอิสระเชิงเส้น คอลัมน์ที่สามคือการรวมกันเชิงเส้น และคอลัมน์ที่สี่ไม่ขึ้นอยู่กับสองคอลัมน์แรก เวกเตอร์ เรียกว่าเป็นพื้นฐาน พวกมันสร้างระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ และอันดับของระบบคือสาม

พื้นฐานพิกัด

ภารกิจที่ 4ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตที่มีพิกัดตรงตามเงื่อนไข .

วิธีการแก้. ชุดนี้เป็นเครื่องบินที่ผ่านจุดกำเนิด พื้นฐานโดยพลการบนเครื่องบินประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลิเนียร์สองตัว พิกัดของเวกเตอร์ในเกณฑ์ที่เลือกถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ เมื่อคุณสามารถหาพื้นฐานได้จากพิกัด

พิกัด ช่องว่างไม่ใช่พิกัดบนระนาบเนื่องจากสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกเขาไม่เป็นอิสระ ตัวแปรอิสระและ (เรียกว่าอิสระ) จะกำหนดเวกเตอร์บนระนาบอย่างเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงสามารถเลือกเป็นพิกัดใน แล้วพื้นฐาน ประกอบด้วยเวกเตอร์นอนอยู่และสอดคล้องกับชุดของตัวแปรอิสระ และ , นั่นคือ .

งาน 5.ค้นหาฐานและพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้จากชุดของเวกเตอร์ทั้งหมดในช่องว่าง ซึ่งพิกัดคี่มีค่าเท่ากัน

วิธีการแก้. เราเลือกในปัญหาก่อนหน้า พิกัดในอวกาศ .

เพราะ แล้วตัวแปรอิสระ กำหนดเวกเตอร์โดยเฉพาะจากและดังนั้นจึงเป็นพิกัด พื้นฐานที่สอดคล้องกันประกอบด้วยเวกเตอร์

ภารกิจที่ 6ค้นหาฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดของแบบฟอร์ม , ที่ไหน เป็นตัวเลขโดยพลการ

วิธีการแก้. แต่ละเมทริกซ์จากสามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันดังนี้:

ความสัมพันธ์นี้คือการขยายตัวของเวกเตอร์จากในแง่ของฐาน
พร้อมพิกัด .

ภารกิจที่ 7หาขนาดและฐานของสแปนเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

.

วิธีการแก้.เมื่อใช้ EPS เราแปลงเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์ระบบเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได

.

คอลัมน์ ของเมทริกซ์สุดท้ายเป็นอิสระเชิงเส้น และคอลัมน์ จะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านพวกมัน ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นพื้นฐาน , และ .

ความคิดเห็น. พื้นฐานใน เลือกอย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ ยังเป็นฐาน .

แนะนำโดยเรา การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ทำให้สามารถสร้างนิพจน์ต่างๆ ได้สำหรับ ปริมาณเวกเตอร์และแปลงโดยใช้คุณสมบัติที่ตั้งไว้สำหรับการดำเนินการเหล่านี้

ตามชุดเวกเตอร์ที่กำหนด a 1 , ..., และ n คุณสามารถเขียนนิพจน์ของแบบฟอร์ม

โดยที่ 1 , ... และ n เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ นิพจน์นี้เรียกว่า การรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ 1 , ..., น . ตัวเลข α ผม , ผม = 1, n , are ค่าสัมประสิทธิ์การรวมเชิงเส้น. เซตของเวกเตอร์เรียกอีกอย่างว่า ระบบเวกเตอร์.

ในการเชื่อมต่อกับแนวคิดที่แนะนำของการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ปัญหาเกิดขึ้นจากการอธิบายเซตของเวกเตอร์ที่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ที่กำหนด a 1 , ..., a n . นอกจากนี้ คำถามเกี่ยวกับเงื่อนไขภายใต้การแสดงของเวกเตอร์ในรูปแบบของการรวมเชิงเส้น และเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนดังกล่าว เป็นเรื่องธรรมชาติ

คำจำกัดความ 2.1.เวกเตอร์ a 1 , ..., และ n ถูกเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น, หากมีเซตของสัมประสิทธิ์ดังกล่าว α 1 , ... , α n that

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

และอย่างน้อยหนึ่งในค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ไม่เป็นศูนย์ หากไม่มีชุดสัมประสิทธิ์ที่ระบุเวกเตอร์จะเรียกว่า อิสระเชิงเส้น.

ถ้า α 1 = ... = α n = 0, เห็นได้ชัดว่า α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 เมื่อนึกถึงสิ่งนี้ เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์ a 1 , ..., และ n เป็นอิสระเชิงเส้นถ้าตามมาจากความเท่าเทียมกัน (2.2) ที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมด α 1 , ... , α n เท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้อธิบายว่าทำไมแนวคิดใหม่จึงเรียกว่าคำว่า "การพึ่งพาอาศัยกัน" (หรือ "ความเป็นอิสระ") และให้เกณฑ์ง่ายๆ สำหรับการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 2.1.เพื่อให้เวกเตอร์ a 1 , ..., และ n , n > 1 พึ่งพาเชิงเส้น จึงจำเป็นและเพียงพอที่หนึ่งในนั้นจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของอีกตัวหนึ่ง

◄ ความจำเป็น สมมติว่าเวกเตอร์ a 1 , ... และ n ขึ้นอยู่กับเส้นตรง ตามคำจำกัดความ 2.1 ของการพึ่งพาเชิงเส้นตรง ในความเท่าเทียมกัน (2.2) มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งค่าทางด้านซ้าย ตัวอย่างเช่น α 1 . ปล่อยให้เทอมแรกทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน เราย้ายที่เหลือไปทางด้านขวา เปลี่ยนสัญญาณตามปกติ หารความเท่าเทียมกันผลลัพธ์ด้วย α 1 เราจะได้

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

เหล่านั้น. การแสดงเวกเตอร์ a 1 เป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือ a 2 , ... และ n

ความเพียงพอ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์แรก a 1 สามารถแสดงเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือได้: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . โอนเงื่อนไขทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้าย เราจะได้ 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, เช่น การรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a 1 , ..., และ n พร้อมสัมประสิทธิ์ α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n เท่ากับ เวกเตอร์ศูนย์ในการรวมกันเชิงเส้นนี้ สัมประสิทธิ์บางตัวไม่เท่ากับศูนย์ ตามคำจำกัดความ 2.1 เวกเตอร์ a 1 , ..., และ n ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

คำจำกัดความและเกณฑ์ของการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นถูกกำหนดขึ้นในลักษณะที่บ่งบอกถึงการมีอยู่ของเวกเตอร์สองตัวหรือมากกว่า อย่างไรก็ตาม เรายังสามารถพูดถึงการพึ่งพาอาศัยเชิงเส้นของเวกเตอร์หนึ่งตัวได้อีกด้วย เพื่อให้ตระหนักถึงความเป็นไปได้นี้ แทนที่จะเป็น "เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น" เราต้องพูดว่า "ระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น" เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่านิพจน์ "ระบบของเวกเตอร์หนึ่งขึ้นอยู่กับเชิงเส้น" หมายความว่าเวกเตอร์เดี่ยวนี้เป็นศูนย์ (มีค่าสัมประสิทธิ์เพียงตัวเดียวในชุดค่าผสมเชิงเส้นและต้องไม่เท่ากับศูนย์)

แนวคิดของการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย การตีความนี้ชี้แจงโดยสามข้อความต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.เวกเตอร์สองตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อพวกมัน คอลลิเนียร์

◄ หากเวกเตอร์ a และ b ขึ้นกับเชิงเส้น ดังนั้นหนึ่งในนั้น ตัวอย่างเช่น a จะถูกแสดงผ่านอีกอันหนึ่ง นั่นคือ a = λb สำหรับจำนวนจริงบางจำนวน λ ตามคำจำกัดความ 1.7 ผลงานเวกเตอร์ด้วยจำนวน, เวกเตอร์ a และ b เป็นเส้นคอลิเนียร์

ทีนี้ให้เวกเตอร์ a กับ b ขนานกัน หากทั้งคู่เป็นศูนย์ ก็เห็นได้ชัดว่าพวกมันพึ่งพาเชิงเส้น เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ให้หนึ่งในเวกเตอร์เหล่านี้ไม่เท่ากับ 0 เช่น เวกเตอร์ b แทนด้วย λ อัตราส่วนของความยาวของเวกเตอร์: λ = |а|/|b|. เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถเป็น ทิศทางเดียวหรือ ทิศตรงข้าม. ในกรณีหลัง เราเปลี่ยนเครื่องหมายของ λ จากนั้นตรวจสอบคำจำกัดความ 1.7 เราจะเห็นว่า a = λb ตามทฤษฎีบท 2.1 เวกเตอร์ a และ b นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

หมายเหตุ 2.1.ในกรณีของเวกเตอร์สองตัว โดยคำนึงถึงเกณฑ์ของการพึ่งพาเชิงเส้น ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถถูกจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: เวกเตอร์สองตัวเป็นเส้นขนานก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งแสดงเป็นผลคูณของอีกตัวหนึ่งด้วยตัวเลข นี่เป็นเกณฑ์ที่สะดวกสำหรับการ collinearity ของเวกเตอร์สองตัว

ทฤษฎีบท 2.3เวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อพวกมัน coplanar.

◄ ถ้าเวกเตอร์สามตัว a, b, c ขึ้นกับเส้นตรง ดังนั้น ตามทฤษฎีบท 2.1 หนึ่งในนั้น ตัวอย่างเช่น a คือผลรวมเชิงเส้นของอีกตัวหนึ่ง: a = βb + γс ขอให้เรารวมจุดกำเนิดของเวกเตอร์ b และ c ที่จุด A จากนั้นเวกเตอร์ βb, γc จะมีจุดกำเนิดร่วมที่จุด A และ สี่เหลี่ยมด้านขนานปกครองผลรวมของพวกเขาเหล่านั้น. เวกเตอร์ a จะเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้น A และ จบซึ่งเป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์รวม ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน นั่นคือ พวกมันเป็นระนาบเดียวกัน

ให้เวกเตอร์ a, b, c เป็นระนาบเดียวกัน หากเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ ก็เห็นได้ชัดว่ามันจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของอีกตัวหนึ่ง แค่เอาสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของผลรวมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ก็พอ ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ทั้งสามไม่เป็นศูนย์ เข้ากันได้ เริ่มเวกเตอร์เหล่านี้ที่จุดร่วม O ให้จุดสิ้นสุดของพวกมันคือจุด A, B, C ตามลำดับ (รูปที่ 2.1) ลากเส้นผ่านจุด C ขนานกับเส้นที่ผ่านคู่ของจุด O, A และ O, B. แสดงว่าจุดตัดเป็น A" และ B" เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน OA"CB" ดังนั้น OC" = OA" + OB " . Vector OA" และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a= OA เป็นแบบ collinear และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาค่าแรกได้โดยการคูณวินาทีด้วยจำนวนจริง α:OA" = αOA ในทำนองเดียวกัน OB" = βOB , β ∈ R. เป็นผลให้เราได้รับที่ OC" = α OA + βOB นั่นคือเวกเตอร์ c เป็นการผสมผสานเชิงเส้นของเวกเตอร์ a และ b ตามทฤษฎีบท 2.1 เวกเตอร์ a, b, c นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 2.4.เวกเตอร์สี่ตัวใดๆ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

◄ การพิสูจน์เป็นไปตามรูปแบบเดียวกับในทฤษฎีบท 2.3 พิจารณาเวกเตอร์สี่ตัว a, b, c และ d โดยพลการ ถ้าเวกเตอร์หนึ่งในสี่ตัวเป็นศูนย์ หรือมีเวกเตอร์คอลลิเนียร์อยู่สองตัวในนั้น หรือเวกเตอร์สามในสี่ตัวเป็นระนาบเดียวกัน เวกเตอร์สี่ตัวนี้จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์ a และ b เป็น collinear เราก็สามารถเขียนผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน αa + βb = 0 ด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วเพิ่มเวกเตอร์ที่เหลืออีกสองตัวลงในชุดค่าผสมนี้ โดยให้ค่าศูนย์เป็นค่าสัมประสิทธิ์ เราได้ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สี่ตัวเท่ากับ 0 ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าในบรรดาเวกเตอร์สี่ตัวที่เลือกนั้น ไม่มีเวกเตอร์ที่เป็นค่าว่าง ไม่มีสองตัวที่เป็นเส้นตรง และไม่มีสามตัวที่เป็นระนาบระนาบ เราเลือกจุด O เป็นจุดเริ่มต้นทั่วไป จากนั้น จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a, b, c, d จะเป็นบางจุด A, B, C, D (รูปที่ 2.2) ผ่านจุด D เราวาดระนาบสามระนาบขนานกับระนาบ ОВС, OCA, OAB และให้ A", B", С" เป็นจุดตัดของระนาบเหล่านี้ด้วยเส้น OA, OB, OS ตามลำดับ เราได้รับ Parallepiped OA"C"B"C" B"DA" และเวกเตอร์ a, b, c อยู่บนขอบของมันที่ออกมาจากจุดยอด O เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยม OC"DC" เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น OD = OC" + OC " ในทางกลับกัน ส่วน OS" เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแนวทแยง OA"C"B" ดังนั้น OC" = OA" + OB" และ OD = OA" + OB" + OC"

ยังคงต้องสังเกตว่าคู่ของเวกเตอร์ OA ≠ 0 และ OA" , OB ≠ 0 และ OB" , OC ≠ 0 และ OC" เป็น collinear ดังนั้น เราสามารถเลือกสัมประสิทธิ์ α, β, γ เพื่อให้ OA" = αOA , OB" = βOB และ OC" = γOC ในที่สุด เราก็ได้ OD = αOA + βOB + γOC ดังนั้น เวกเตอร์ OD จะแสดงในรูปของเวกเตอร์สามตัวที่เหลือ และเวกเตอร์ทั้งสี่ตามทฤษฎีบท 2.1 นั้นขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เชิงเส้น

ระบบของเวกเตอร์เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีตัวเลขดังกล่าว ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งแตกต่างจากศูนย์ แสดงว่าความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

หากความเท่าเทียมกันนี้คงอยู่ก็ต่อเมื่อ all แล้วระบบของเวกเตอร์จะถูกเรียกว่า อิสระเชิงเส้น.

ทฤษฎีบท.ระบบของเวกเตอร์จะ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น

ตัวอย่าง 1พหุนาม เป็นการรวมเชิงเส้นของพหุนาม https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24"> พหุนามประกอบด้วยระบบอิสระเชิงเส้นตั้งแต่ https พหุนาม: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">

ตัวอย่าง 2ระบบเมทริกซ์ , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> มีความเป็นอิสระเชิงเส้นเนื่องจากการรวมกันเชิงเส้นเท่ากับ เมทริกซ์ศูนย์เฉพาะเมื่อ https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

วิธีการแก้.

เขียนชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

เท่ากับพิกัดชื่อเดียวกันของเวกเตอร์ที่เท่ากันเราได้รับ https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ในที่สุดเราก็ได้

และ

ระบบมีคำตอบที่ไม่ซ้ำแบบใคร ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้นระบบของเวกเตอร์นี้จึงเป็นอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 4เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น อะไรจะเป็นระบบของเวกเตอร์

ก);

ข)?

วิธีการแก้.

ก)เขียนชุดค่าผสมเชิงเส้นและให้เท่ากับศูนย์

โดยใช้คุณสมบัติของการดำเนินการกับเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้น เราเขียนความเท่าเทียมกันสุดท้ายในรูปแบบ

เนื่องจากเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น สัมประสิทธิ์ของจึงต้องเท่ากับศูนย์ นั่นคือ นั่นคือ gif" width="12" height="23 src=">

ระบบผลลัพธ์ของสมการมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยที่ไม่เหมือนใคร .

ตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน (*) ดำเนินการเฉพาะที่ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – อิสระเชิงเส้น

ข)สร้างความเท่าเทียมกัน https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ใช้เหตุผลที่คล้ายกันเราได้รับ

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีเกาส์ เราจะได้

หรือ

ระบบสุดท้ายมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src="> ดังนั้นจึงไม่มี ศูนย์ชุดของสัมประสิทธิ์ที่ความเท่าเทียมกัน (**) . ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 5ระบบเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น และระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

ในความเท่าเทียมกัน (***) . แท้จริงแล้ว สำหรับ ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

จากความสัมพันธ์ (***) เราได้รับ หรือ หมายถึง .

รับ

งานสำหรับโซลูชันอิสระ (ในห้องเรียน)

1. ระบบที่มีเวกเตอร์ศูนย์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

2. ระบบเวกเตอร์เดียว เอ, ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นก็ต่อเมื่อ, a=0.

3. ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัวนั้นขึ้นอยู่กับเส้นตรงถ้าหากเวกเตอร์นั้นเป็นสัดส่วน (นั่นคือหนึ่งในนั้นได้มาจากอีกตัวหนึ่งโดยการคูณด้วยตัวเลข)

4. หากเวกเตอร์ถูกเพิ่มไปยังระบบที่ขึ้นกับเชิงเส้น ก็จะได้ระบบที่ขึ้นกับเชิงเส้น

5. ถ้าเวกเตอร์ถูกลบออกจากระบบอิสระเชิงเส้น ระบบที่เป็นผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้น

6. ถ้าระบบ สอิสระเชิงเส้น แต่ขึ้นกับเวกเตอร์เป็นเส้นตรงเมื่อเพิ่มเวกเตอร์ ขแล้วเวกเตอร์ ขแสดงเชิงเส้นในรูปของเวกเตอร์ของระบบ ส.

ค).ระบบของเมทริกซ์ , , ในพื้นที่ของเมทริกซ์ของลำดับที่สอง

10. ให้ระบบของเวกเตอร์ กขคปริภูมิเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น พิสูจน์ความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ต่อไปนี้:

ก)a+ข, ข, ค.

ข)a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–หมายเลขโดยพลการ

ค).a+ข, ค+ค, ข+ค.

11. อนุญาต กขคเป็นเวกเตอร์สามตัวในระนาบที่ใช้สร้างรูปสามเหลี่ยมได้ เวกเตอร์เหล่านี้จะพึ่งพาเชิงเส้นหรือไม่?

12. ให้เวกเตอร์สองตัว a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). รับเวกเตอร์ 4D อีกสองตัว a3 และa4เพื่อให้ระบบ a1,a2,a3,a4เป็นอิสระเชิงเส้น .

การพึ่งพาอาศัยเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์
พื้นฐานของเวกเตอร์ ระบบพิกัดสัมพันธ์

มีรถเข็นที่มีช็อคโกแลตอยู่ในกลุ่มผู้ชม และวันนี้ผู้เยี่ยมชมแต่ละคนจะได้รับคู่หวาน - เรขาคณิตวิเคราะห์พร้อมพีชคณิตเชิงเส้น บทความนี้จะกล่าวถึงสองส่วนของคณิตศาสตร์ชั้นสูงในคราวเดียว และเราจะมาดูกันว่าพวกเขาเข้ากันได้อย่างไรในกระดาษห่อเดียว หยุดพักกิน Twix! ... ประณามการโต้เถียงเรื่องไร้สาระ แม้ว่าโอเคฉันจะไม่ทำคะแนน แต่สุดท้ายแล้ว ควรมีทัศนคติที่ดีในการเรียน

การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์, ความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์, พื้นฐานเวกเตอร์และคำศัพท์อื่นๆ ไม่เพียงแต่มีการตีความทางเรขาคณิต แต่เหนือสิ่งอื่นใด ความหมายเกี่ยวกับพีชคณิต แนวคิดของ "เวกเตอร์" จากมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้นนั้นห่างไกลจากเวกเตอร์ "ธรรมดา" ที่เราสามารถพรรณนาได้บนระนาบหรือในอวกาศ ไม่ต้องไปหาหลักฐานที่ไหนไกล ลองวาดเวกเตอร์ของสเปซห้ามิติ . หรือเวกเตอร์สภาพอากาศที่ฉันเพิ่งไปที่ Gismeteo: - อุณหภูมิและความกดอากาศตามลำดับ แน่นอนว่าตัวอย่างไม่ถูกต้องจากมุมมองของคุณสมบัติของเวคเตอร์สเปซ แต่ถึงกระนั้น ไม่มีใครห้ามไม่ให้ฟอร์แมตพารามิเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์ ลมหายใจแห่งฤดูใบไม้ร่วง...

ไม่ ฉันจะไม่ทำให้คุณเบื่อกับทฤษฎี ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้น ภารกิจคือ เข้าใจคำจำกัดความและทฤษฎีบท เงื่อนไขใหม่ (การพึ่งพาเชิงเส้น ความเป็นอิสระ การรวมกันเชิงเส้น พื้นฐาน ฯลฯ) ใช้ได้กับเวกเตอร์ทั้งหมดจากมุมมองของพีชคณิต แต่ตัวอย่างจะได้รับทางเรขาคณิต ดังนั้น ทุกอย่างจึงเรียบง่าย เข้าถึงได้ และเป็นภาพ นอกจากปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว เราจะพิจารณางานทั่วไปของพีชคณิตด้วย เพื่อให้เชี่ยวชาญในเนื้อหา ขอแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับบทเรียนต่างๆ เวกเตอร์สำหรับหุ่นและ วิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์?

การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์ระนาบ
พื้นฐานเครื่องบินและระบบพิกัดที่สัมพันธ์กัน

พิจารณาระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ (แค่โต๊ะ โต๊ะข้างเตียง พื้น เพดาน อะไรก็ได้ที่คุณชอบ) งานจะประกอบด้วยการดำเนินการต่อไปนี้:

1) เลือกเครื่องบินพื้นฐาน. กล่าวโดยคร่าว ๆ โต๊ะมีความยาวและความกว้าง ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์สองเวกเตอร์จะต้องสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งไม่เพียงพออย่างชัดเจน เวกเตอร์สามตัวมากเกินไป

2) ขึ้นอยู่กับพื้นฐานที่เลือก กำหนดระบบพิกัด(พิกัดกริด) เพื่อกำหนดพิกัดให้กับรายการทั้งหมดบนโต๊ะ

ไม่ต้องแปลกใจในตอนแรกคำอธิบายจะอยู่ในมือ ยิ่งไปกว่านั้นสำหรับคุณ กรุณาวาง นิ้วชี้ของมือซ้ายที่ขอบโต๊ะเพื่อให้เขามองไปที่จอภาพ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ตอนนี้วาง นิ้วก้อยของมือขวาบนขอบโต๊ะในลักษณะเดียวกัน - เพื่อให้ตรงไปที่หน้าจอมอนิเตอร์ นี่จะเป็นเวกเตอร์ ยิ้ม คุณดูดีมาก! สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับเวกเตอร์? เวกเตอร์ข้อมูล collinear, ซึ่งหมายความว่า เชิงเส้นแสดงผ่านกันและกัน:
, ดี, หรือในทางกลับกัน: โดยที่จำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์คือ

คุณสามารถดูภาพการกระทำนี้ได้ในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นโดยที่ฉันอธิบายกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

นิ้วของคุณจะวางรากฐานบนระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าไม่ เวกเตอร์คอลลิเนียร์เดินทางไปมาใน ตามลำพังทิศทางในขณะที่ระนาบมีความยาวและความกว้าง

เวกเตอร์ดังกล่าวเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.

อ้างอิง: คำว่า "เชิงเส้น", "เชิงเส้น" หมายถึงความจริงที่ว่าไม่มีกำลังสอง ลูกบาศก์ ยกกำลังอื่น ลอการิทึม ไซน์ ฯลฯ ในสมการทางคณิตศาสตร์ นิพจน์ มีเพียงนิพจน์เชิงเส้น (ระดับที่ 1) และการอ้างอิงเท่านั้น

เวกเตอร์ระนาบสองลำ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้าหากพวกมันเป็น collinear.

ไขว้นิ้วของคุณบนโต๊ะเพื่อให้มีมุมระหว่างกัน ยกเว้น 0 หรือ 180 องศา เวกเตอร์ระนาบสองลำเชิงเส้น ไม่พึ่งพิงได้ก็ต่อเมื่อไม่ใช่ collinear. ดังนั้นพื้นฐานจะได้รับ ไม่จำเป็นต้องอายที่พื้นฐานกลายเป็น "เฉียง" กับเวกเตอร์ไม่ตั้งฉากที่มีความยาวต่างกัน ในไม่ช้าเราจะเห็นว่าไม่เพียง แต่มุม 90 องศาเท่านั้นที่เหมาะสำหรับการก่อสร้างและไม่เพียง แต่เวกเตอร์หน่วยที่มีความยาวเท่ากัน

ใดๆเครื่องบินเวกเตอร์ ทางเดียวเท่านั้นขยายในแง่ของพื้นฐาน:
, ซึ่งเป็นจำนวนจริง . เรียกเลขหมาย พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้

พวกเขายังกล่าวอีกว่า เวกเตอร์นำเสนอในรูปแบบ ชุดค่าผสมเชิงเส้นพื้นฐานเวกเตอร์. กล่าวคือ นิพจน์เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์พื้นฐานหรือ ชุดค่าผสมเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์ถูกขยายโดยพื้นฐานออร์โธนอร์มัลของระนาบ หรือเราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์นั้นถูกแทนด้วยผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

มากำหนดสูตรกัน คำจำกัดความพื้นฐานอย่างเป็นทางการ: พื้นฐานเครื่องบินเป็นคู่ของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่เชิงเส้น) , โดยที่ ใดๆเวกเตอร์ระนาบคือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐาน

จุดสำคัญของคำจำกัดความคือความจริงที่ว่าเวกเตอร์นั้นถูกนำมาใช้ ในลำดับที่แน่นอน. ฐาน นี่เป็นสองฐานที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! อย่างที่พวกเขาพูดกันว่านิ้วก้อยของมือซ้ายไม่สามารถย้ายไปยังตำแหน่งของนิ้วก้อยของมือขวาได้

เราหาพื้นฐานได้แล้ว แต่ยังไม่เพียงพอที่จะกำหนดตารางพิกัดและกำหนดพิกัดให้กับแต่ละรายการบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ของคุณ ทำไมไม่พอ? เวกเตอร์มีอิสระและเดินไปทั่วระนาบทั้งหมด ดังนั้นคุณจะกำหนดพิกัดให้กับจุดตารางสกปรกเล็ก ๆ ที่เหลือจากวันหยุดสุดสัปดาห์ได้อย่างไร? จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้น และจุดอ้างอิงดังกล่าวเป็นจุดที่ทุกคนคุ้นเคย - ที่มาของพิกัด ทำความเข้าใจกับระบบพิกัด:

ฉันจะเริ่มต้นด้วยระบบ "โรงเรียน" อยู่ในบทเรียนเบื้องต้นแล้ว เวกเตอร์สำหรับหุ่นฉันเน้นถึงความแตกต่างบางอย่างระหว่างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมกับพื้นฐานออร์โธนอร์มอล นี่คือภาพมาตรฐาน:

เมื่อพูดถึง ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมส่วนใหญ่มักจะหมายถึงจุดกำเนิดแกนพิกัดและมาตราส่วนตามแกน ลองพิมพ์ "ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม" ในเครื่องมือค้นหาแล้วคุณจะพบว่าแหล่งข้อมูลมากมายจะบอกคุณเกี่ยวกับแกนพิกัดที่คุ้นเคยตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 และวิธีการพล็อตจุดบนระนาบ

ในอีกทางหนึ่ง มีคนรู้สึกว่าระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถกำหนดได้ดีในแง่ของพื้นฐานทางออร์โธปกติ และเกือบจะเป็น ถ้อยคำมีลักษณะดังนี้:

ต้นทาง, และ orthonormalชุดพื้นฐาน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนของระนาบ . นั่นคือระบบพิกัดสี่เหลี่ยม อย่างแน่นอนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์มุมฉากจุดเดียวและสองหน่วย นั่นคือเหตุผลที่ คุณเห็นภาพวาดที่ฉันให้ไว้ข้างต้น - ในปัญหาทางเรขาคณิต ทั้งเวกเตอร์และแกนพิกัดมักถูกวาด (แต่ไม่เสมอไป)

ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจว่าด้วยความช่วยเหลือของจุด (ต้นทาง) และพื้นฐานทางออร์โธนอมอล จุดใดๆ ของเครื่องบินและเวกเตอร์ใดๆ ของเครื่องบินสามารถกำหนดพิกัดได้ พูดเปรียบเปรย "ทุกอย่างบนเครื่องบินสามารถนับได้"

เวกเตอร์พิกัดต้องเป็นหน่วยหรือไม่? ไม่ พวกมันสามารถมีความยาวไม่เป็นศูนย์ได้ตามอำเภอใจ พิจารณาจุดหนึ่งและเวกเตอร์มุมฉากสองเส้นที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ตามอำเภอใจ:

พื้นฐานดังกล่าวเรียกว่า มุมฉาก. จุดกำเนิดของพิกัดด้วยเวกเตอร์กำหนดตารางพิกัด และจุดใดๆ ของระนาบ เวกเตอร์ใดๆ ก็มีพิกัดของตัวเองตามเกณฑ์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่นหรือ. ความไม่สะดวกที่เห็นได้ชัดคือเวกเตอร์พิกัด โดยทั่วไปมีความยาวต่างกันนอกเหนือจากความสามัคคี หากความยาวเท่ากับหนึ่งก็จะได้ค่าพื้นฐานทางออร์โธนิกตามปกติ

! บันทึก : ในฐานตั้งฉากและด้านล่างในฐานความคล้ายคลึงของระนาบและช่องว่างจะพิจารณาหน่วยตามแนวแกน เงื่อนไข. ตัวอย่างเช่น หนึ่งหน่วยบน abscissa มีขนาด 4 ซม. หนึ่งหน่วยบนพิกัดมี 2 ซม. ข้อมูลนี้เพียงพอที่จะแปลงพิกัด "ที่ไม่ได้มาตรฐาน" เป็น "เซนติเมตรปกติของเรา" หากจำเป็น

และคำถามที่สอง ซึ่งได้รับคำตอบแล้วจริงๆ - มุมระหว่างเวกเตอร์ฐานจำเป็นต้องเท่ากับ 90 องศาหรือไม่? ไม่! ตามที่นิยามไว้ เวกเตอร์พื้นฐานต้องเป็น ไม่ใช่คอลลิเนียร์เท่านั้น. ดังนั้น มุมสามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0 และ 180 องศา

จุดบนเครื่องบินที่เรียกว่า ต้นทาง, และ ไม่ใช่ collinearเวกเตอร์ , , ชุด ระบบพิกัดของระนาบ :

บางครั้งระบบพิกัดนี้เรียกว่า เฉียงระบบ. จุดและเวกเตอร์แสดงเป็นตัวอย่างในรูปวาด:

ตามที่คุณเข้าใจ ระบบพิกัดความสัมพันธ์นั้นสะดวกกว่า สูตรสำหรับความยาวของเวกเตอร์และเซ็กเมนต์ ซึ่งเราพิจารณาในส่วนที่สองของบทเรียนนั้นใช้ไม่ได้ผล เวกเตอร์สำหรับหุ่น,สูตรอร่อยมากมายที่เกี่ยวข้องกับ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์. แต่กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นใช้ได้จริง สูตรสำหรับการแบ่งส่วนในส่วนนี้ ตลอดจนปัญหาประเภทอื่นๆ ที่เราจะพิจารณาเร็วๆ นี้

และข้อสรุปก็คือว่า กรณีเฉพาะที่สะดวกที่สุดของระบบพิกัดความคล้ายคลึงกันคือระบบสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน ดังนั้นเธอเองจึงต้องถูกพบเห็นบ่อยที่สุด ... อย่างไรก็ตาม ทุกอย่างในชีวิตนี้เป็นญาติกัน - มีหลายสถานการณ์ที่เหมาะสมที่จะมีเอียง (หรืออื่น ๆ เช่น ขั้วโลก) ระบบพิกัด. ใช่และมนุษย์ระบบดังกล่าวอาจมีรสชาติ =)

มาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกัน ปัญหาทั้งหมดในบทเรียนนี้ใช้ได้กับทั้งระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและสำหรับกรณีทั่วไป ไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ สื่อทั้งหมดมีให้แม้กระทั่งเด็กนักเรียน

วิธีการกำหนด collinearity ของเวกเตอร์ระนาบ?

เรื่องธรรมดา. เพื่อให้เวกเตอร์ระนาบสองตัว เป็นแบบ collinear มีความจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดตามลำดับจะเป็นสัดส่วนกัน. โดยพื้นฐานแล้วนี่คือการปรับแต่งความสัมพันธ์ที่ชัดเจนโดยประสานกัน

ตัวอย่าง 1

a) ตรวจสอบว่าเวกเตอร์เป็น collinear หรือไม่ .
b) เวกเตอร์เป็นพื้นฐานหรือไม่? ?

วิธีการแก้:
ก) ค้นหาว่ามีเวกเตอร์อยู่หรือไม่ ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนเพื่อให้เกิดความเท่าเทียมกัน:

ฉันจะบอกคุณอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการใช้กฎเวอร์ชัน "foppish" ซึ่งใช้งานได้ดีในทางปฏิบัติ แนวคิดคือการวาดสัดส่วนทันทีและดูว่าถูกต้องหรือไม่:

มาสร้างสัดส่วนจากอัตราส่วนของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์กัน:

เราย่อ:
ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงเป็นสัดส่วน ดังนั้น

ความสัมพันธ์สามารถทำได้และในทางกลับกัน นี่เป็นตัวเลือกที่เทียบเท่า:

สำหรับการทดสอบตัวเอง เราสามารถใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเวกเตอร์คอลลิเนียร์แสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน ในกรณีนี้มีความเท่าเทียมกัน . สามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยง่ายผ่านการดำเนินการเบื้องต้นด้วยเวกเตอร์:

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวสร้างฐานถ้าพวกมันไม่อยู่ในแนวร่วม (เป็นอิสระเชิงเส้น) เราตรวจสอบเวกเตอร์เพื่อหาความสอดคล้องกัน . มาสร้างระบบกันเถอะ:

จากสมการแรกจะได้ว่า จากสมการที่สองจะได้ว่า ซึ่งหมายความว่า ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์จึงไม่เป็นสัดส่วน

บทสรุป: เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน

โซลูชันเวอร์ชันที่เรียบง่ายมีลักษณะดังนี้:

เขียนสัดส่วนจากพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ :
ดังนั้น เวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน

โดยปกติผู้ตรวจสอบจะไม่ปฏิเสธตัวเลือกนี้ แต่เกิดปัญหาขึ้นในกรณีที่พิกัดบางจุดมีค่าเท่ากับศูนย์ แบบนี้: . หรือเช่นนี้: . หรือเช่นนี้: . วิธีการทำงานผ่านสัดส่วนที่นี่? (จริงๆ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเรียกวิธีแก้ปัญหาแบบง่ายว่า "foppish"

ตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

ตัวอย่างความคิดสร้างสรรค์เล็กๆ สำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 2

ที่ค่าของพารามิเตอร์เวกเตอร์ จะ collinear?

ในสารละลายตัวอย่าง จะพบพารามิเตอร์ตามสัดส่วน

มีวิธีพีชคณิตที่สวยงามในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับ collinearity มาจัดระบบความรู้ของเราและเพิ่มเป็นจุดที่ห้า:

สำหรับเวกเตอร์ระนาบสองตัว ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ collinear;

+ 5) ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ไม่เป็นศูนย์.

ตามลำดับ ข้อความตรงข้ามต่อไปนี้เทียบเท่า:
1) เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น
2) เวกเตอร์ไม่เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์เป็น collinear;
4) เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน
+ 5) ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ เท่ากับศูนย์.

ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าในขณะนี้คุณเข้าใจข้อกำหนดและข้อความทั้งหมดที่พบแล้ว

มาดูประเด็นใหม่ที่ห้ากันดีกว่า: เวกเตอร์สองระนาบ เป็น collinear ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์:. ในการใช้คุณสมบัตินี้ แน่นอน คุณต้องสามารถ หาตัวกำหนด.

เราจะตัดสินใจตัวอย่างที่ 1 ในวิธีที่สอง:

ก) คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
เวกเตอร์เหล่านี้จึงขนานกัน

b) เวกเตอร์ระนาบสองตัวสร้างฐานถ้าพวกมันไม่อยู่ในแนวร่วม (เป็นอิสระเชิงเส้น) ให้เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
ดังนั้นเวกเตอร์จึงเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐาน

ตอบ:ก) , ข) แบบฟอร์ม

มันดูกะทัดรัดและสวยกว่าโซลูชันที่มีสัดส่วนมากกว่ามาก

ด้วยความช่วยเหลือของวัสดุที่พิจารณา มันเป็นไปได้ที่จะสร้างไม่เพียงแต่ collinearity ของเวกเตอร์ แต่ยังเพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเซ็กเมนต์, เส้นตรง พิจารณาปัญหาสองสามข้อเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 3

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์: ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาดในปัญหา เนื่องจากการแก้ปัญหาจะเป็นการวิเคราะห์ล้วนๆ จำคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
สี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยม โดยด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่

จึงต้องพิสูจน์ว่า
1) ความขนานของด้านตรงข้ามและ;
2) ความขนานของด้านตรงข้าม และ .

เราพิสูจน์:

1) ค้นหาเวกเตอร์:

2) ค้นหาเวกเตอร์:

ผลลัพธ์คือเวกเตอร์เดียวกัน (“ตามโรงเรียน” - เวกเตอร์ที่เท่ากัน) Collinearity ค่อนข้างชัดเจน แต่จะดีกว่าถ้าตัดสินใจอย่างถูกต้องด้วยการจัดเตรียม คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :
เวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็น collinear และ .

บทสรุป: ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนานกัน ดังนั้นมันจึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ คิวอีดี.

ตัวเลขที่ดีและแตกต่างกันมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 4

จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจะได้รับ พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู

สำหรับการกำหนดการพิสูจน์ที่เข้มงวดยิ่งขึ้น แน่นอนว่าเป็นการดีกว่าที่จะได้คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ก็เพียงพอที่จะจำได้ว่าหน้าตาเป็นอย่างไร

นี่เป็นงานสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์เมื่อสิ้นสุดบทเรียน

และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะเคลื่อนตัวจากเครื่องบินสู่อวกาศอย่างช้าๆ:

จะกำหนด collinearity ของเวกเตอร์อวกาศได้อย่างไร?

กฎมีความคล้ายคลึงกันมาก สำหรับเวกเตอร์อวกาศสองตัวที่จะวางแนวร่วม มันจำเป็นและเพียงพอที่พิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมันจะเป็นสัดส่วนกับ.

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นแบบ collinear หรือไม่:

ก) ;
ข)
ใน)

วิธีการแก้:
ก) ตรวจสอบว่ามีค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนสำหรับพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หรือไม่:

ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่สัมพันธ์กัน

"แบบง่าย" ถูกสร้างขึ้นโดยการตรวจสอบสัดส่วน ในกรณีนี้:
– พิกัดที่สอดคล้องกันไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ไม่ใช่แนวร่วม

ตอบ:เวกเตอร์ไม่ใช่ collinear

b-c) สิ่งเหล่านี้เป็นจุดสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ ลองใช้ในสองวิธี

มีวิธีการตรวจสอบเวกเตอร์เชิงพื้นที่สำหรับ collinearity และผ่านดีเทอร์มีแนนต์อันดับสาม วิธีนี้ครอบคลุมในบทความ ผลคูณของเวกเตอร์.

ในทำนองเดียวกันกับกรณีเครื่องบิน เครื่องมือที่พิจารณาแล้วสามารถใช้เพื่อศึกษาความขนานของส่วนเชิงพื้นที่และเส้นตรง

ยินดีต้อนรับสู่ส่วนที่สอง:

การพึ่งพาอาศัยเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์อวกาศสามมิติ
พื้นฐานเชิงพื้นที่และระบบพิกัดสัมพันธ์

ความสม่ำเสมอหลายอย่างที่เราพิจารณาบนเครื่องบินจะใช้ได้สำหรับพื้นที่เช่นกัน ฉันพยายามย่อบทสรุปของทฤษฎีให้น้อยที่สุด เนื่องจากการแบ่งปันข้อมูลของสิงโตถูกเคี้ยวไปแล้ว อย่างไรก็ตาม เราขอแนะนำให้คุณอ่านส่วนเกริ่นนำอย่างรอบคอบ เนื่องจากจะมีคำศัพท์และแนวคิดใหม่ๆ ปรากฏขึ้น

ตอนนี้ แทนที่จะเป็นระนาบของโต๊ะคอมพิวเตอร์ เรามาตรวจสอบพื้นที่สามมิติกัน ขั้นแรก มาสร้างพื้นฐานกันก่อน ตอนนี้มีคนอยู่ในบ้าน มีคนอยู่กลางแจ้ง แต่ไม่ว่ายังไง เราไม่สามารถหลีกหนีจากสามมิติได้ นั่นคือ ความกว้าง ความยาว และความสูง ดังนั้นเวกเตอร์เชิงพื้นที่สามตัวจึงจำเป็นในการสร้างฐาน เวกเตอร์หนึ่งหรือสองตัวไม่เพียงพอ ตัวที่สี่นั้นไม่จำเป็น

และเราอุ่นนิ้วอีกครั้ง กรุณายกมือขึ้นและกางออกในทิศทางต่างๆ นิ้วโป้ง นิ้วชี้ และนิ้วกลาง. พวกนี้จะเป็นเวกเตอร์ พวกมันมองไปในทิศทางต่างกัน มีความยาวต่างกัน และมีมุมระหว่างพวกมันต่างกัน ขอแสดงความยินดีพื้นฐานของพื้นที่สามมิติพร้อมแล้ว! อีกอย่าง คุณไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งนี้ให้ครูดู ไม่ว่าคุณจะบิดนิ้วอย่างไร แต่คุณไม่สามารถหลีกหนีจากคำจำกัดความได้ =)

ต่อไปเราจะถามคำถามสำคัญว่า เวกเตอร์สามตัวใดเป็นฐานของปริภูมิสามมิติหรือไม่? กรุณากดสามนิ้วให้แน่นบนโต๊ะคอมพิวเตอร์ เกิดอะไรขึ้น เวกเตอร์สามตัวอยู่ในระนาบเดียวกัน และถ้าพูดคร่าวๆ เราสูญเสียหนึ่งในการวัด - ความสูง เวกเตอร์ดังกล่าวคือ coplanarและค่อนข้างชัดเจนว่าไม่ได้สร้างพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ

ควรสังเกตว่าเวกเตอร์ระนาบเดียวกันไม่จำเป็นต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน พวกมันสามารถอยู่ในระนาบคู่ขนานได้ (อย่าใช้นิ้วของคุณทำสิ่งนี้ มีเพียง Salvador Dali เท่านั้นที่หลุดออกมาแบบนั้น =))

คำนิยาม: เวกเตอร์เรียกว่า coplanarหากมีระนาบที่ขนานกัน มีเหตุผลที่จะเพิ่มว่าหากไม่มีระนาบดังกล่าวเวกเตอร์จะไม่เป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์ระนาบระนาบสามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นเสมอนั่นคือ พวกมันแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกัน เพื่อความเรียบง่าย ลองนึกภาพอีกครั้งว่าพวกเขาอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการแรก เวกเตอร์ไม่ได้เป็นเพียงระนาบระนาบเท่านั้น แต่ยังสามารถเป็นแนวร่วมได้ จากนั้นเวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงออกผ่านเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ ในกรณีที่สอง ตัวอย่างเช่น ถ้าเวกเตอร์ไม่ใช่ collinear เวกเตอร์ที่สามจะแสดงผ่านพวกมันด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำ: (และเหตุใดจึงเดาได้ง่ายจากเนื้อหาในส่วนที่แล้ว)

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: เวกเตอร์ที่ไม่ใช่แนวระนาบสามตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้นเสมอนั่นคือพวกเขาไม่ได้แสดงออกผ่านกันและกัน และแน่นอน มีเพียงเวกเตอร์ดังกล่าวเท่านั้นที่สามารถสร้างฐานของสเปซสามมิติได้

คำนิยาม: พื้นฐานของพื้นที่สามมิติเรียกว่าเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่โคพลานาร์) สามตัว ดำเนินการในลำดับที่แน่นอนในขณะที่เวกเตอร์ใด ๆ ของช่องว่าง ทางเดียวเท่านั้นขยายในฐานที่กำหนด โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ในฐานที่กำหนด

เพื่อเป็นการเตือนความจำ คุณยังสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์แสดงเป็น ชุดค่าผสมเชิงเส้นเวกเตอร์พื้นฐาน

แนวคิดของระบบพิกัดถูกนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับกรณีเครื่องบิน จุดหนึ่งและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสามจุดใดๆ ก็เพียงพอแล้ว:

ต้นทาง, และ ไม่ใช่ coplanarเวกเตอร์ , ดำเนินการในลำดับที่แน่นอน, ชุด แนบระบบพิกัดของพื้นที่สามมิติ :

แน่นอนว่ากริดพิกัดนั้น "เฉียง" และไม่สะดวก แต่อย่างไรก็ตาม ระบบพิกัดที่สร้างขึ้นช่วยให้เราสามารถ อย่างแน่นอนกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ใดๆ และพิกัดของจุดใดๆ ในอวกาศ คล้ายกับระนาบ ในระบบพิกัดสัมพัทธ์ของอวกาศ บางสูตรที่ฉันได้กล่าวไปแล้วจะไม่ทำงาน

กรณีพิเศษที่คุ้นเคยและสะดวกที่สุดของระบบพิกัดความสัมพันธ์ที่ทุกคนคาดเดาได้คือ ระบบพิกัดพื้นที่สี่เหลี่ยม:

ชี้ไปที่ช่องว่างที่เรียกว่า ต้นทาง, และ orthonormalชุดพื้นฐาน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนของอวกาศ . ภาพที่คุ้นเคย:

ก่อนดำเนินการปฏิบัติงานจริง เราจะจัดระบบข้อมูลอีกครั้ง:

สำหรับเวกเตอร์ช่องว่างสามตัว ข้อความต่อไปนี้จะเท่ากัน:
1) เวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น
2) เวกเตอร์เป็นพื้นฐาน
3) เวกเตอร์ไม่ใช่ coplanar;
4) เวกเตอร์ไม่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงผ่านกันและกันได้
5) ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ แตกต่างจากศูนย์

ฉันคิดว่าข้อความตรงข้ามเป็นที่เข้าใจ

การพึ่งพาเชิงเส้น / ความเป็นอิสระของเวกเตอร์อวกาศนั้นได้รับการตรวจสอบตามธรรมเนียมโดยใช้ดีเทอร์มีแนนต์ (ข้อ 5) งานปฏิบัติที่เหลือจะมีลักษณะเชิงพีชคณิตเด่นชัด ได้เวลาแขวนแท่งทรงเรขาคณิตบนตะปูแล้วควงไม้เบสบอลพีชคณิตเชิงเส้น:

เวกเตอร์สามช่องว่างเป็นระนาบระนาบก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์: .

ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่ความแตกต่างทางเทคนิคเล็กน้อย: พิกัดของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ไม่เพียง แต่ในคอลัมน์ แต่ยังอยู่ในแถว (ค่าของดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้ - ดูคุณสมบัติของดีเทอร์มีแนนต์) แต่มันจะดีกว่ามากในคอลัมน์ เพราะมันมีประโยชน์มากกว่าสำหรับการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติบางอย่าง

สำหรับผู้อ่านที่ลืมวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไปบ้างแล้ว หรือบางทีอาจใช้ไม่ได้ผลเลย ฉันขอแนะนำบทเรียนที่เก่าแก่ที่สุดเรื่องหนึ่งของฉัน: วิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์?

ตัวอย่างที่ 6

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่สามมิติหรือไม่:

วิธีการแก้: อันที่จริง การแก้ปัญหาทั้งหมดมาจากการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

ก) คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ (ดีเทอร์มีแนนต์ขยายในบรรทัดแรก):

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ไม่ใช่ระนาบระนาบ) และเป็นพื้นฐานของพื้นที่สามมิติ

ตอบ: เวกเตอร์เหล่านี้เป็นพื้นฐาน

b) นี่คือประเด็นสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ คำตอบที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

นอกจากนี้ยังมีงานสร้างสรรค์:

ตัวอย่าง 7

ค่าพารามิเตอร์จะเป็นค่าใดของเวกเตอร์ coplanar?

วิธีการแก้: เวกเตอร์เป็นระนาบระนาบก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์:

โดยพื้นฐานแล้ว จำเป็นต้องแก้สมการด้วยดีเทอร์มีแนนต์ เราบินเป็นศูนย์เหมือนว่าวเป็น jerboas - เป็นการทำกำไรมากที่สุดในการเปิดดีเทอร์มีแนนต์ในบรรทัดที่สองและกำจัด minuses ทันที:

เราทำการลดความซับซ้อนเพิ่มเติมและลดสสารเป็นสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

ตอบ: ที่

ง่ายที่จะตรวจสอบที่นี่ สำหรับสิ่งนี้ คุณต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นดีเทอร์มีแนนต์ดั้งเดิม และทำให้แน่ใจว่า โดยเปิดใหม่

โดยสรุป มาลองพิจารณาปัญหาทั่วไปอีกข้อหนึ่ง ซึ่งมีลักษณะเชิงพีชคณิตมากกว่าและรวมอยู่ในหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้นตามธรรมเนียมแล้ว เป็นเรื่องปกติที่สมควรแยกหัวข้อ:

พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ 3 ตัวเป็นฐานของปริภูมิสามมิติ
และหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ 4 ในเกณฑ์ที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 8

เวกเตอร์จะได้รับ แสดงว่าเวกเตอร์เป็นพื้นฐานของพื้นที่สามมิติและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ในฐานนี้

วิธีการแก้: มาจัดการเงื่อนไขกันก่อน ตามเงื่อนไข จะได้รับเวกเตอร์สี่ตัว และอย่างที่คุณเห็น พวกมันมีพิกัดอยู่แล้วในบางพื้นฐาน พื้นฐานคืออะไร - เราไม่สนใจ และสิ่งต่อไปนี้น่าสนใจ: เวกเตอร์สามตัวสามารถสร้างฐานใหม่ได้ และขั้นตอนแรกก็เหมือนกับวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่ 6 โดยสมบูรณ์ จำเป็นต้องตรวจสอบว่าเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นจริงหรือไม่:

คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ :

ดังนั้นเวกเตอร์จึงเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

! สำคัญ : พิกัดเวกเตอร์ อย่างจำเป็นเขียนลงไป เป็นคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่สตริง มิฉะนั้น จะเกิดความสับสนในอัลกอริธึมการแก้ปัญหาเพิ่มเติม