อสมการเชิงเส้น ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง

จากรูปแบบ ax 2 + bx + 0 0 โดยที่ (แทนที่จะเป็นเครื่องหมาย > อาจเป็นเครื่องหมายอสมการอื่นๆ ได้) เรามีข้อเท็จจริงทางทฤษฎีทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมดังกล่าว ดังที่เราจะได้เห็นกันในตอนนี้

ตัวอย่างที่ 1- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) x 2 - 2x - 3 >0; ข) x 2 - 2x - 3< 0;
ค) x 2 - 2x - 3 > 0; ง) x 2 - 2x - 3< 0.
สารละลาย,

ก) พิจารณาพาราโบลา y = x 2 - 2x - 3 ดังแสดงในรูปที่ 1 117.

การแก้อสมการ x 2 - 2x - 3 > 0 หมายถึงการตอบคำถามว่าค่า x พิกัดของจุดพาราโบลาเป็นค่าบวกเท่าใด

เราสังเกตว่า y > 0 เช่น กราฟของฟังก์ชันอยู่เหนือแกน x ที่ x< -1 или при х > 3.

ซึ่งหมายความว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนั้นเป็นประเด็นที่เปิดกว้างทั้งหมด คาน(- 00 , - 1) รวมถึงทุกจุดของลำแสงเปิด (3, +00)

การใช้เครื่องหมาย U (เครื่องหมายสำหรับการรวมเซต) สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้: (-00, - 1) U (3, +00) อย่างไรก็ตาม สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้: x< - 1; х > 3.

b) อสมการ x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: กำหนดการตั้งอยู่ใต้แกน x ถ้า -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) อสมการ x 2 - 2x - 3 > 0 แตกต่างจากอสมการ x 2 - 2x - 3 > 0 โดยที่คำตอบจะต้องมีรากของสมการ x 2 - 2x - 3 = 0 เช่น คะแนน x = - 1

และ x = 3 ดังนั้น คำตอบของอสมการแบบไม่เข้มงวดนี้คือจุดทั้งหมดของรังสี (-00, - 1) เช่นเดียวกับจุดทั้งหมดของรังสี

นักคณิตศาสตร์เชิงปฏิบัติมักจะพูดแบบนี้: ทำไมเราต้องสร้างกราฟพาราโบลาของฟังก์ชันกำลังสองอย่างระมัดระวังเมื่อแก้อสมการ ax 2 + bx + c > 0

y = ax 2 + bx + c (ดังตัวอย่างที่ 1)? การสร้างแผนผังกราฟซึ่งคุณเพียงแค่ต้องค้นหาก็เพียงพอแล้ว รากตรีโกณมิติกำลังสอง (จุดตัดของพาราโบลากับแกน x) และพิจารณาว่ากิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นหรือลง แบบร่างนี้จะให้การตีความวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันด้วยภาพ

ตัวอย่างที่ 2แก้อสมการ - 2x 2 + 3x + 9< 0.
สารละลาย.

1) ค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง - 2x 2 + 3x + 9: x 1 = 3; x 2 = - 1.5

2) พาราโบลาซึ่งทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน y = -2x 2 + 3x + 9 ตัดกันแกน x ที่จุดที่ 3 และ - 1.5 และกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลงด้านล่าง เนื่องจากจุดสูงสุดสูงสุด ค่าสัมประสิทธิ์- จำนวนลบ - 2. ในรูป. 118 แสดงภาพร่างของกราฟ

3) การใช้รูป 118 เราสรุปว่า:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
คำตอบ: x< -1,5; х > 3.

ตัวอย่างที่ 3แก้อสมการ 4x 2 - 4x + 1< 0.
สารละลาย.

1) จากสมการ 4x 2 - 4x + 1 = 0 เราพบ .

2) ตรีโกณมิติกำลังสองมีรากเดียว นี่หมายความว่าพาราโบลาที่ทำหน้าที่เป็นกราฟของตรีโกณมิติกำลังสองไม่ได้ตัดแกน x แต่แตะมันที่จุด กิ่งก้านของพาราโบลาหงายขึ้น (รูปที่ 119)

3) การใช้แบบจำลองทางเรขาคณิตที่แสดงในรูปที่ 1 119 เราพิสูจน์ว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดนั้นตรงจุดเท่านั้น เนื่องจากสำหรับค่าอื่น ๆ ทั้งหมดของ x พิกัดของกราฟจะเป็นค่าบวก
คำตอบ: .
คุณอาจสังเกตเห็นว่าอันที่จริงแล้ว ในตัวอย่างที่ 1, 2, 3 นั้นมีความเฉพาะเจาะจงมาก อัลกอริทึมคำตอบของอสมการกำลังสอง, มาทำรูปแบบกันดีกว่า.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสอง ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c< 0)

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง แต่รากก็อาจไม่มีแล้วเราจะทำอย่างไร? ดังนั้นอัลกอริธึมจึงใช้ไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเราต้องคิดแตกต่างออกไป กุญแจสำคัญในการโต้แย้งเหล่านี้ได้รับจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า D< 0, а >0 จากนั้นอสมการ ax 2 + bx + c > 0 จะคงไว้สำหรับ x ทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม อสมการขวาน 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
การพิสูจน์. กำหนดการ ฟังก์ชั่น y = ax 2 + bx + c คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้น (ตั้งแต่ a > 0) และไม่ได้ตัดแกน x เนื่องจากตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีรากตามเงื่อนไข กราฟจะแสดงในรูป 120. เราจะเห็นว่าสำหรับ x ทั้งหมด กราฟจะอยู่เหนือแกน x ซึ่งหมายความว่าสำหรับ x ทั้งหมด อสมการ ax 2 + bx + c > 0 คงอยู่ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 ไม่มีทางแก้

การพิสูจน์. กราฟของฟังก์ชัน y = ax 2 + bx +c เป็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ลง (เนื่องจาก a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

ตัวอย่างที่ 4- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) 2x 2 - x + 4 >0; ข) -x 2 + 3x - 8 >0

a) ค้นหาการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง 2x 2 - x + 4 เราได้ D = (-1) 2 - 4 2 4 = - 31< 0.
ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของตรีโกณมิติ (หมายเลข 2) เป็นบวก

ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับ x ทั้งหมดที่มีอสมการ 2x 2 - x + 4 > 0 อยู่ นั่นคือ วิธีแก้ของอสมการที่ให้มาคือผลรวม (-00, + 00)

b) ค้นหาการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง - x 2 + 3x - 8 เราได้ D = 32 - 4 (- 1) (- 8) = - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

คำตอบ: ก) (-00, + 00); b) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะแนะนำวิธีการให้เหตุผลอีกวิธีหนึ่งที่ใช้ในการแก้อสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 5แก้อสมการ 3x 2 - 10x + 3< 0.
สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง 3x 2 - 10x + 3 กัน รากของตรีโกณมิติคือตัวเลข 3 และ ดังนั้นเมื่อใช้ ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2) เราจะได้ 3x 2 - 10x + 3 = 3(x - 3) ( x - )
ให้เราทำเครื่องหมายรากของตรีโกณมิติบนเส้นจำนวน: 3 และ (รูปที่ 122)

ให้ x > 3; จากนั้น x-3>0 และ x->0 ดังนั้นผลคูณ 3(x - 3)(x - ) จึงเป็นค่าบวก ต่อไปให้< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0 ดังนั้น ผลคูณ 3(x-3)(x-) จึงเป็นลบ สุดท้าย ให้ x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) เป็นบวก

เมื่อสรุปเหตุผลเราได้ข้อสรุป: สัญญาณของสี่เหลี่ยมตรีโกณมิติ 3x 2 - 10x + 3 เปลี่ยนไปดังแสดงในรูป 122. เราสนใจว่า x ตรีโกณมิติกำลังสองใช้ค่าลบอะไร จากรูป 122 เราสรุป: สี่เหลี่ยมตรีโกณมิติ 3x 2 - 10x + 3 รับค่าลบสำหรับค่าใด ๆ ของ x จากช่วงเวลา (, 3)
ตอบ (, 3) หรือ< х < 3.

ความคิดเห็น วิธีการให้เหตุผลที่เราใช้ในตัวอย่างที่ 5 มักเรียกว่าวิธีการเป็นช่วง (หรือวิธีการเป็นช่วง) มีการใช้อย่างแข็งขันในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อแก้โจทย์ มีเหตุผลความไม่เท่าเทียมกัน ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เราจะศึกษาวิธีช่วงเวลาโดยละเอียด

ตัวอย่างที่ 6- ค่าของพารามิเตอร์ p คือสมการกำลังสอง x 2 - 5x + p 2 = 0:
ก) มีสองรากที่แตกต่างกัน

b) มีหนึ่งรูต;

c) ไม่มีรากเหรอ?

สารละลาย. จำนวนรากของสมการกำลังสองขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของการแยกแยะ D ในกรณีนี้ เราจะพบว่า D = 25 - 4p 2

ก) สมการกำลังสองมีรากที่แตกต่างกันสองราก ถ้า D>0 ปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ปัญหาอสมการ 25 - 4р 2 > 0 ลองคูณทั้งสองข้างของอสมการนี้ด้วย -1 (อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของ ความไม่เท่าเทียมกัน) เราได้รับอสมการที่เท่ากัน 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

สัญญาณของนิพจน์ 4(p - 2.5) (p + 2.5) แสดงในรูปที่ 1 123.

เราสรุปได้ว่าอสมการ 4(p - 2.5)(p + 2.5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

ข) สมการกำลังสองมีหนึ่งรูทถ้า D - 0
ตามที่เรากำหนดไว้ข้างต้น D = 0 ที่ p = 2.5 หรือ p = -2.5

สำหรับค่าเหล่านี้ของพารามิเตอร์ p นั้นสมการกำลังสองนี้มีเพียงรากเดียวเท่านั้น

c) สมการกำลังสองไม่มีรากถ้า D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

เราได้ 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2.5)(p + 2.5)>0 ดังนั้น (ดูรูปที่ 123) p< -2,5; р >2.5. สำหรับค่าเหล่านี้ของพารามิเตอร์ p สมการกำลังสองนี้ไม่มีราก

คำตอบ: ก) ที่ p (-2.5, 2.5);

b) ที่ p = 2.5 หรือ = -2.5;
ค) ที่หน้า< - 2,5 или р > 2,5.

มอร์ดโควิช เอ.จี. พีชคณิต- ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน - ฉบับที่ 3 แก้ไขใหม่ - อ.: Mnemosyne, 2544. - 223 หน้า: ป่วย.

ความช่วยเหลือสำหรับเด็กนักเรียนออนไลน์ คณิตศาสตร์สำหรับการดาวน์โหลดชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ปฏิทินและการวางแผนเฉพาะเรื่อง

อสมการเรียกว่าเชิงเส้นด้านซ้ายและด้านขวาเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเทียบกับปริมาณที่ไม่ทราบ ซึ่งรวมถึงความไม่เท่าเทียมกัน เช่น:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) อสมการที่เข้มงวด: ขวาน +b>0หรือ ขวาน+ข<0

2) อสมการที่ไม่เข้มงวด: ขวาน +b≤0หรือ ขวาน+ข≫ 0

มาวิเคราะห์งานนี้กัน- ด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 7 ซม. ด้านอีกด้านจะต้องยาวเป็นเท่าใดจึงทำให้เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมด้านขนานมากกว่า 44 ซม.

ปล่อยให้ด้านที่ต้องการเป็น เอ็กซ์ซม. ในกรณีนี้ เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแสดงด้วย (14 + 2x) ซม. อสมการ 14 + 2x > 44 เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าเราแทนที่ตัวแปรในอสมการนี้ เอ็กซ์ตัวอย่างเช่น บนเลข 16 เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 14 + 32 > 44 ในกรณีนี้ พวกเขาบอกว่าเลข 16 เป็นวิธีแก้สมการของอสมการ 14 + 2x > 44

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันตั้งชื่อค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง

ดังนั้นแต่ละตัวเลขคือ 15.1; 20;73 เป็นคำตอบของอสมการ 14 + 2x > 44 แต่ตัวอย่าง 10 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการสร้างวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การกำหนดสูตรการแก้อสมการจะคล้ายกับการกำหนดรากของสมการ แต่ถึงกระนั้นก็ไม่ใช่ธรรมเนียมที่จะต้องระบุถึง "ต้นตอของความไม่เท่าเทียมกัน"

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขช่วยให้เราแก้สมการได้ ในทำนองเดียวกันคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลขจะช่วยแก้อสมการได้

เมื่อแก้สมการ เราจะเปลี่ยนเป็นสมการอื่นที่ง่ายกว่า แต่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันก็พบได้ในลักษณะเดียวกัน เมื่อเปลี่ยนสมการให้เป็นสมการที่เทียบเท่ากัน พวกเขาใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการโอนเทอมจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง และเกี่ยวกับการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน เมื่อแก้อสมการ มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างสมการกับสมการ ซึ่งอยู่ที่ความจริงที่ว่าการแก้สมการใดๆ สามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่สมการดั้งเดิม ในความไม่เท่าเทียมกัน วิธีนี้ขาดหายไป เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนที่วิธีแก้ปัญหาจำนวนนับไม่ถ้วนให้เป็นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม จึงมีแนวคิดที่สำคัญคือลูกศรเหล่านี้<=>เป็นเครื่องหมายของการแปลงที่เทียบเท่าหรือเทียบเท่า เรียกว่าการเปลี่ยนแปลง เทียบเท่า,หรือ เทียบเท่าหากไม่เปลี่ยนชุดการแก้ปัญหา

กฎที่คล้ายกันในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

หากเราย้ายพจน์ใดๆ จากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่ง โดยแทนที่เครื่องหมายด้วยคำที่ตรงกันข้าม เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันที่เทียบเท่ากับอันนี้

หากอสมการทั้งสองด้านคูณ (หาร) ด้วยจำนวนบวกเท่ากัน เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับค่านี้

หากอสมการทั้งสองข้างถูกคูณ (หาร) ด้วยจำนวนลบเดียวกัน โดยแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยอันตรงข้าม เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับอันที่กำหนด

การใช้สิ่งเหล่านี้ กฎให้เราคำนวณอสมการต่อไปนี้

1) มาวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันกัน 2x - 5 > 9.

นี้ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเราจะหาแนวทางแก้ไขและหารือเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐาน

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 ถูกย้ายไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม) จากนั้นเราหารทุกอย่างด้วย 2 แล้วเราก็ได้ x > 7- ให้เราพลอตเซตของคำตอบบนแกน x

เราได้รับลำแสงที่มีทิศทางบวก เราสังเกตชุดของการแก้ปัญหาทั้งในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน x > 7หรือในรูปของช่วง x(7; ∞) ข้อใดคือวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของอสมการนี้? ตัวอย่างเช่น, x = 10เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับอสมการนี้ x = 12- นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับอสมการนี้ด้วย

มีวิธีแก้ไขบางส่วนอยู่มากมาย แต่งานของเราคือค้นหาวิธีแก้ไขทั้งหมด และมักจะมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน

มาจัดเรียงกัน ตัวอย่างที่ 2:

2) แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 4a - 11 > ก + 13.

มาแก้กัน: กย้ายไปด้านหนึ่ง 11 ย้ายไปอีกด้านหนึ่ง เราได้ 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 ความไม่เท่าเทียมกันก็มีรูปแบบ ก<8 .

4a - 11 > ก + 13<=>3ก< 24 <=>ก< 8 .

มาโชว์ชุดด้วย ก< 8 แต่อยู่บนแกนแล้ว ก.

เราอาจเขียนคำตอบในรูปของอสมการ a< 8, либо ก(-∞;8), 8 เปิดไม่ติด

หลังจากได้รับข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกับตัวแปรแล้ว เราก็ไปยังคำถามที่ต้องแก้ไข เราจะวิเคราะห์คำตอบของอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียวและวิธีการแก้ไขทั้งหมดด้วยอัลกอริธึมและตัวอย่าง จะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

อสมการเชิงเส้นคืออะไร?

ขั้นแรก คุณต้องกำหนดสมการเชิงเส้นและค้นหารูปแบบมาตรฐานของสมการและจะแตกต่างจากสมการอื่นๆ อย่างไร จากหลักสูตรของโรงเรียนเราพบว่าไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างความไม่เท่าเทียมกันจึงจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความหลายคำ

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว x คืออสมการในรูปแบบ a · x + b > 0 เมื่อใช้เครื่องหมายอสมการใดๆ แทน >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

คำจำกัดความ 2

อสมการ a x< c или a · x >c โดยที่ x เป็นตัวแปร และ a และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง เรียกว่า อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว.

เนื่องจากไม่มีการพูดถึงว่าสัมประสิทธิ์สามารถเท่ากับ 0 ได้หรือไม่ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดของรูปแบบ 0 x > c และ 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

ความแตกต่างคือ:

• สัญกรณ์ในรูปแบบ a · x + b > 0 ในอันแรก และ a · x > c – ในวินาที;
• การยอมรับค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับศูนย์, ≠ 0 - ในอันแรกและ a = 0 - ในวินาที

เชื่อกันว่าอสมการ a · x + b > 0 และ a · x > c เท่ากัน เนื่องจากได้มาโดยการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง การแก้ไขอสมการ 0 x + 5 > 0 จะนำไปสู่ความจริงที่ว่าจะต้องแก้ไข และกรณี a = 0 จะไม่ทำงาน

คำจำกัดความ 3

เชื่อกันว่าความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นในตัวแปร x ตัวหนึ่งคือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ก x + ข< 0 , a · x + b >0, ก x + ข ≤ 0และ มี x + ข ≥ 0โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง แทนที่จะเป็น x สามารถเป็นตัวเลขปกติได้

ตามกฎแล้ว เรามี 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 เรียกว่า ลดเป็นเชิงเส้นได้

วิธีแก้อสมการเชิงเส้น

วิธีหลักในการแก้ไขอสมการดังกล่าวคือการใช้การแปลงที่เท่ากันเพื่อค้นหาอสมการเบื้องต้น x< p (≤ , >, ≥) , p ซึ่งเป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง สำหรับ ≠ 0 และอยู่ในรูปแบบ a< p (≤ , >, ≥) สำหรับ = 0

ในการแก้ไขอสมการในตัวแปรตัวเดียว คุณสามารถใช้วิธีช่วงเวลาหรือแสดงค่าเป็นภาพก็ได้ สามารถใช้แยกกันได้

การใช้การแปลงที่เท่ากัน

เพื่อแก้อสมการเชิงเส้นในรูป a x + b< 0 (≤ , >, ≥) จำเป็นต้องใช้การแปลงอสมการที่เทียบเท่ากัน ค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นหรือไม่ใช่ศูนย์ก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองกรณี หากต้องการทราบว่าคุณต้องปฏิบัติตามโครงร่างที่ประกอบด้วย 3 ประเด็น: สาระสำคัญของกระบวนการ อัลกอริทึม และวิธีแก้ปัญหา

คำจำกัดความที่ 4

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น ก x + ข< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0

• เลข b จะถูกย้ายไปทางด้านขวาของอสมการโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามซึ่งจะทำให้เราได้ค่าเท่ากับ a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• อสมการทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยตัวเลขไม่เท่ากับ 0 ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อ a เป็นบวก เครื่องหมายจะยังคงอยู่ เมื่อ a เป็นลบ มันจะเปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมนี้เพื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แก้อสมการของรูปแบบ 3 x + 12 ≤ 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้มี a = 3 และ b = 12 ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ a ของ x ไม่เท่ากับศูนย์ ลองใช้อัลกอริธึมข้างต้นแล้วแก้ไข

มีความจำเป็นต้องย้ายภาคเรียนที่ 12 ไปยังส่วนอื่นของความไม่เท่าเทียมกันและเปลี่ยนป้ายด้านหน้า จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 3 x ≤ − 12 จำเป็นต้องหารทั้งสองส่วนด้วย 3 เครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนเนื่องจาก 3 เป็นจำนวนบวก เราได้สิ่งนั้น (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ซึ่งให้ผลลัพธ์ x ≤ − 4

อสมการของรูปแบบ x ≤ − 4 เทียบเท่ากัน นั่นคือ ผลเฉลยของ 3 x + 12 ≤ 0 คือจำนวนจริงใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 คำตอบเขียนเป็นอสมการ x ≤ − 4 หรือช่วงตัวเลขในรูปแบบ (− ∞, − 4]

อัลกอริธึมทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นเขียนดังนี้:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ - 4 .

คำตอบ: x ≤ − 4 หรือ (− ∞ , − 4 ]

ตัวอย่างที่ 2

ระบุคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดสำหรับอสมการ − 2, 7 · z > 0

สารละลาย

จากเงื่อนไขเราจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ a สำหรับ z เท่ากับ - 2.7 และ b ไม่มีอยู่อย่างชัดเจนหรือเท่ากับศูนย์ คุณไม่สามารถใช้ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมได้ แต่ไปยังขั้นตอนที่สองทันที

เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวเลข - 2, 7 เนื่องจากตัวเลขเป็นลบ จึงจำเป็นต้องกลับเครื่องหมายอสมการ นั่นคือเราได้สิ่งนั้น (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

ให้เราเขียนอัลกอริธึมทั้งหมดในรูปแบบย่อ:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

คำตอบ: z< 0 или (− ∞ , 0) .

ตัวอย่างที่ 3

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน - 5 x - 15 22 ≤ 0

สารละลาย

ตามเงื่อนไขเราจะเห็นว่าจำเป็นต้องแก้อสมการด้วยสัมประสิทธิ์ a สำหรับตัวแปร x ซึ่งเท่ากับ - 5 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ b ซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วน - 15 22 จำเป็นต้องแก้ไขอสมการโดยทำตามอัลกอริธึมนั่นคือ: ย้าย - 15 22 ไปยังส่วนอื่นที่มีเครื่องหมายตรงข้ามหารทั้งสองส่วนด้วย - 5 เปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการ:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

ในช่วงการเปลี่ยนภาพครั้งล่าสุดทางด้านขวา กฎสำหรับการหารตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกันจะใช้ 15 22: - 5 = - 15 22: 5 หลังจากนั้นเราหารเศษส่วนสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

คำตอบ: x ≥ - 3 22 และ [ - 3 22 + ∞)

ลองพิจารณากรณีที่ a = 0 การแสดงออกเชิงเส้นของรูปแบบ a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับการกำหนดแนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับค่า x ใด ๆ เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

เราจะพิจารณาการตัดสินทั้งหมดในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการเชิงเส้น 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

คำจำกัดความที่ 5

อสมการเชิงตัวเลขของรูปแบบ b< 0 (≤ , >, ≥) เป็นจริง ดังนั้นอสมการดั้งเดิมจะมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าใดๆ ก็ตาม และเป็นเท็จเมื่ออสมการดั้งเดิมไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการ 0 x + 7 > 0

สารละลาย

อสมการเชิงเส้นนี้ 0 x + 7 > 0 สามารถรับค่า x ใดๆ ก็ได้ จากนั้นเราจะได้อสมการในรูปแบบ 7 > 0 อสมการสุดท้ายถือเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าจำนวนใดๆ ก็สามารถเป็นคำตอบได้

คำตอบ: ช่วงเวลา (− ∞ , + ∞)

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาวิธีแก้อสมการ 0 x − 12, 7 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนตัวแปร x ของจำนวนใดๆ เราจะได้ว่าอสมการอยู่ในรูปแบบ − 12, 7 ≥ 0 มันไม่ถูกต้อง. นั่นคือ 0 x − 12, 7 ≥ 0 ไม่มีคำตอบ

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ลองพิจารณาแก้อสมการเชิงเส้นโดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่สามารถแก้ไขได้จาก 0 x + 0 > 0 และ 0 x + 0 ≥ 0

สารละลาย

เมื่อแทนที่ตัวเลขใดๆ แทน x เราจะได้ค่าอสมการสองรูปแบบคือ 0 > 0 และ 0 ≥ 0 อันแรกไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่า 0 x + 0 > 0 ไม่มีคำตอบ และ 0 x + 0 ≥ 0 มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด นั่นคือจำนวนใดๆ ก็ได้

คำตอบ: อสมการ 0 x + 0 > 0 ไม่มีทางแก้ แต่ 0 x + 0 ≥ 0 มีคำตอบ

วิธีการนี้จะกล่าวถึงในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน วิธีช่วงเวลาสามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทต่างๆ ได้ รวมถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วย

วิธีช่วงเวลาใช้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นเมื่อค่าของสัมประสิทธิ์ x ไม่เท่ากับ 0 มิฉะนั้นคุณจะต้องคำนวณโดยใช้วิธีอื่น

คำนิยาม 6

วิธีช่วงเวลาคือ:

• แนะนำฟังก์ชัน y = a · x + b ;
• ค้นหาศูนย์เพื่อแบ่งโดเมนของคำจำกัดความออกเป็นระยะ
• คำจำกัดความของสัญญาณสำหรับแนวคิดเกี่ยวกับช่วงเวลา

มาประกอบอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น a x + b กัน< 0 (≤ , >, ≥) สำหรับ ≠ 0 โดยใช้วิธีช่วงเวลา:

• ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน y = a · x + b เพื่อแก้สมการในรูปแบบ a · x + b = 0 ถ้า ≠ 0 แสดงว่าคำตอบจะเป็นรูตเดียวซึ่งจะใช้การกำหนด x 0
• การสร้างเส้นพิกัดด้วยรูปภาพของจุดที่มีพิกัด x 0 ในกรณีที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด จุดนั้นจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดที่ถูกเจาะ ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด จุดจะถูกทำเครื่องหมายไว้
• การกำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน y = a · x + b ในช่วงเวลานั้นจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดในช่วงเวลานั้น
• การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > หรือ ≥ บนเส้นพิกัด โดยเพิ่มการแรเงาในช่วงเวลาบวก< или ≤ над отрицательным промежутком.

ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้อสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 6

แก้อสมการ − 3 x + 12 > 0

สารละลาย

จากอัลกอริทึมคุณต้องหารากของสมการก่อน - 3 x + 12 = 0 เราได้รับสิ่งนั้น − 3 · x = − 12 , x = 4 จำเป็นต้องวาดเส้นพิกัดที่เราทำเครื่องหมายจุดที่ 4 จะโดนเจาะเพราะความไม่เท่าเทียมเข้มงวด พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

มีความจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณเป็นระยะ ในการกำหนดช่วงเวลา (− ∞, 4) จำเป็นต้องคำนวณฟังก์ชัน y = − 3 x + 12 ที่ x = 3 จากตรงนี้เราจะได้ว่า − 3 3 + 12 = 3 > 0 เครื่องหมายบนช่วงเวลาเป็นบวก

เรากำหนดเครื่องหมายจากช่วงเวลา (4, + ∞) จากนั้นแทนที่ค่า x = 5 เรามี − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

เราแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยเครื่องหมาย > และการแรเงาจะดำเนินการในช่วงเวลาที่เป็นบวก พิจารณาภาพวาดด้านล่าง

จากภาพวาดจะเห็นได้ชัดว่าสารละลายที่ต้องการมีรูปแบบ (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

คำตอบ: (− ∞ , 4) หรือ x< 4 .

เพื่อให้เข้าใจวิธีการแสดงภาพกราฟิก จำเป็นต้องพิจารณาอสมการเชิงเส้น 4 รายการเป็นตัวอย่าง: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 และ 0, 5 x − 1 ≥ 0 คำตอบของพวกเขาจะเป็นค่าของ x< 2 , x ≤ 2 , x >2 และ x ≥ 2 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาพลอตฟังก์ชันเชิงเส้น y = 0, 5 x − 1 ที่แสดงด้านล่าง

เป็นที่ชัดเจนว่า

คำนิยาม 7

• การแก้อสมการ 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 x − 1 ≤ 0 ถือเป็นช่วงที่ฟังก์ชัน y = 0, 5 x − 1 ต่ำกว่า O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 > 0 ถือเป็นช่วงเวลา ฟังก์ชันจะอยู่เหนือ O x;
• วิธีแก้ปัญหา 0, 5 · x − 1 ≥ 0 ถือเป็นช่วงที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

จุดสำคัญของการแก้ไขอสมการเชิงกราฟิกคือการหาช่วงเวลาที่ต้องแสดงบนกราฟ ในกรณีนี้ เราพบว่าด้านซ้ายมี y = a · x + b และด้านขวามี y = 0 และเกิดขึ้นพร้อมกับ O x

คำจำกัดความ 8

กราฟของฟังก์ชัน y = a x + b ถูกพล็อต:

• ขณะแก้อสมการ a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b ≤ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่ใต้แกน O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน
• เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน a · x + b > 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟแสดงอยู่เหนือ O x;
• เมื่อแก้อสมการ a · x + b ≥ 0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่กราฟอยู่เหนือ O x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 7

แก้อสมการ - 5 · x - 3 > 0 โดยใช้กราฟ

สารละลาย

จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น - 5 · x - 3 > 0 เส้นนี้ลดลงเพราะสัมประสิทธิ์ของ x เป็นลบ ในการกำหนดพิกัดของจุดตัดกับ O x - 5 · x - 3 > 0 เราได้รับค่า - 3 5 ลองพรรณนามันแบบกราฟิก

การแก้ไขอสมการด้วยเครื่องหมาย > คุณต้องสนใจช่วงที่อยู่เหนือ O x ให้เราเน้นส่วนที่ต้องการของเครื่องบินด้วยสีแดงแล้วรับสิ่งนั้น

ช่องว่างที่ต้องการคือส่วน O x สีแดง ซึ่งหมายความว่าเลขเรย์เปิด - ∞ , - 3 5 จะเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน หากตามเงื่อนไขเรามีความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวด ค่าของจุด - 3 5 ก็เป็นวิธีแก้อสมการเช่นกัน และมันจะตรงกับ O x

คำตอบ: - ∞ , - 3 5 หรือ x< - 3 5 .

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกจะใช้เมื่อด้านซ้ายสอดคล้องกับฟังก์ชัน y = 0 x + b นั่นคือ y = b จากนั้นเส้นตรงจะขนานกับ O x หรือบังเอิญที่ b = 0 กรณีเหล่านี้แสดงว่าอสมการอาจไม่มีคำตอบ หรือคำตอบอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดจากอสมการ 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

สารละลาย

การแทนค่า y = 0 x + 7 คือ y = 7 จากนั้นระนาบพิกัดจะมีเส้นขนานกับ O x และอยู่เหนือ O x ได้ 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

กราฟของฟังก์ชัน y = 0 x + 0 ถือเป็น y = 0 นั่นคือเส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับ O x ซึ่งหมายความว่าอสมการ 0 x + 0 ≥ 0 มีวิธีแก้ปัญหามากมาย

คำตอบ: อสมการที่สองมีคำตอบสำหรับค่า x ใดๆ

อสมการที่ลดลงเป็นเส้นตรง

การแก้อสมการสามารถลดลงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น ซึ่งเรียกว่าอสมการที่ลดเป็นเชิงเส้น

ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการพิจารณาในหลักสูตรของโรงเรียน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของการแก้ไขความไม่เท่าเทียม ซึ่งนำไปสู่การเปิดวงเล็บและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาว่า 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x

อสมการที่ให้ไว้ข้างต้นจะถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นเสมอ หลังจากนั้นจึงเปิดวงเล็บและให้คำที่คล้ายกันย้ายจากส่วนต่าง ๆ เปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

เมื่อลดอสมการ 5 − 2 x > 0 ให้เป็นเชิงเส้น เราจะแทนมันในลักษณะที่มีรูปแบบ − 2 x + 5 > 0 และเพื่อลดวินาทีที่สอง เราได้ 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . จำเป็นต้องเปิดวงเล็บ นำคำที่คล้ายกัน ย้ายคำศัพท์ทั้งหมดไปทางซ้าย และนำคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดูเหมือนว่านี้:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

สิ่งนี้นำไปสู่การแก้สมการเชิงเส้น

อสมการเหล่านี้ถือเป็นเชิงเส้น เนื่องจากมีหลักการแก้ปัญหาเดียวกัน หลังจากนั้นจึงสามารถลดอสมการเหล่านี้ให้เป็นอสมการเบื้องต้นได้

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้จำเป็นต้องลดให้เป็นแบบเส้นตรง ควรจะทำเช่นนี้:

คำนิยาม 9

• วงเล็บเปิด
• รวบรวมตัวแปรทางด้านซ้ายและตัวเลขทางด้านขวา
• ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน
• หารทั้งสองข้างด้วยสัมประสิทธิ์ของ x

ตัวอย่างที่ 9

แก้อสมการ 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1

สารละลาย

เราเปิดวงเล็บแล้วเราจะได้ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 หลังจากลดพจน์ที่คล้ายกันแล้ว เราก็จะได้ 6 x + 15 ≤ 6 x − 17 หลังจากย้ายพจน์จากซ้ายไปขวา เราจะพบว่า 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0 ดังนั้นจึงมีความไม่เท่ากันของรูปแบบ 32 ≤ 0 จากที่ได้จากการคำนวณ 0 x + 32 ≤ 0 จะเห็นได้ว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดโดยเงื่อนไขไม่มีทางแก้ไขได้

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เป็นที่น่าสังเกตว่ามีความไม่เท่าเทียมกันประเภทอื่น ๆ อีกมากมายที่สามารถลดลงเป็นเชิงเส้นหรือความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่แสดงข้างต้น ตัวอย่างเช่น 5 2 x − 1 ≥ 1 เป็นสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ลดขนาดลงจนได้คำตอบในรูปแบบเชิงเส้น 2 x − 1 ≥ 0 กรณีเหล่านี้จะได้รับการพิจารณาเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ดูเพิ่มเติมที่ การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก รูปแบบ Canonical ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ระบบข้อจำกัดสำหรับปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสองตัว:
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ เอฟ = ค 1 x + ค 2 ยซึ่งจำเป็นต้องขยายให้ใหญ่สุด

มาตอบคำถามกัน: ตัวเลขคู่ใด ( x; ย) เป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน กล่าวคือ พวกมันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างไปพร้อมๆ กันหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกหมายความว่าอย่างไร
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอะไรคือคำตอบของอสมการเชิงเส้นหนึ่งค่ากับค่าไม่ทราบสองตัว
การแก้อสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวหมายถึงการกำหนดค่าที่ไม่ทราบค่าคู่ทั้งหมดซึ่งมีความไม่เท่าเทียมกันอยู่
ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกัน 3 x – 5ย≥ 42 คู่ที่ตอบสนอง ( x , ย) : (100, 2); (3, –10) ฯลฯ ภารกิจคือค้นหาคู่ดังกล่าวทั้งหมด
ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ขวาน + โดย≤ ค, ขวาน + โดย≥ ค- ตรง ขวาน + โดย = คแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งเพื่อให้พิกัดของจุดหนึ่งในนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + โดย >คและความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ ขวาน + +โดย <ค.
จริงๆ เรามาจับประเด็นเรื่องการประสานงานกันดีกว่า x = x 0 ; แล้วมีจุดนอนอยู่บนเส้นและมีฝี x 0 มีลำดับ

ปล่อยให้มั่นใจ ก< 0, ข>0, ค>0. ทุกจุดมีแอบซิสซา x 0 นอนอยู่เหนือ ป(เช่น จุด ม), มี คุณเอ็ม>ย 0 และทุกจุดที่อยู่ต่ำกว่าจุด ป, กับแอบซิสซา x 0 มี ใช่<ย 0 . เนื่องจาก x 0 เป็นจุดใดก็ได้ โดยจะมีจุดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงเสมอ ขวาน+ โดย > คก่อตัวเป็นระนาบครึ่งและอีกด้านหนึ่ง - ชี้ไปที่ ขวาน + โดย< ค.

รูปที่ 1

เครื่องหมายอสมการในครึ่งระนาบขึ้นอยู่กับตัวเลข ก, ข , ค.
นี่แสดงถึงวิธีการต่อไปนี้สำหรับการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบกราฟิกในตัวแปรสองตัว ในการแก้ปัญหาระบบที่คุณต้องการ:

1. สำหรับอสมการแต่ละอย่าง ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการนี้
2. สร้างเส้นตรงที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยสมการ
3. สำหรับแต่ละเส้น ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้นและแทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง แล้วครึ่งหนึ่งของระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม หากอสมการเป็นเท็จ แสดงว่าครึ่งระนาบที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นตรงคือเซตของคำตอบสำหรับอสมการนี้
4. ในการแก้ปัญหาระบบอสมการนั้นจำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้น ระบบความไม่เท่าเทียมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นจะบอกว่าระบบมีความสม่ำเสมอ
อาจมีคำตอบจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่มีขอบเขตก็ได้

ลองดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบแบบกราฟิก:
x + คุณ – 1 ≤ 0;
–2เอ็กซ์ – 2ย + 5 ≤ 0.

• พิจารณาสมการ x+y–1=0 และ –2x–2y+5=0 ที่สอดคล้องกับอสมการ
• มาสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้กัน

รูปที่ 2

ให้เรานิยามระนาบครึ่งที่กำหนดโดยอสมการ ลองใช้จุดใดก็ได้, ให้ (0; 0) ลองพิจารณาดู x+ คุณ– 1 0 แทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ซึ่งหมายความว่าในระนาบครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ x + ย – 1 ≤ 0 เช่น ระนาบครึ่งระนาบที่อยู่ต่ำกว่าเส้นคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก แทนที่จุดนี้ (0; 0) ลงในวินาทีเราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 เช่น ในระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ –2 x – 2ย+ 5≥ 0 และเราถูกถามว่าอยู่ที่ไหน –2 x – 2ยดังนั้น + 5 ≤ 0 ดังนั้นในอีกครึ่งระนาบ - ในระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง
ลองหาจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบทั้งสองนี้กัน เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันที่ใดเลย ซึ่งหมายความว่าระบบของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาคำตอบแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

รูปที่ 3
1. ลองเขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง
x + 2ย– 2 = 0

x	2	0
ย	0	1

ย – x – 1 = 0

x	0	2
ย	1	3

ย + 2 = 0;
ย = –2.
2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2ย– 2 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น ย –x– 1 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น ย+ 2 ≥ 0 ในระนาบครึ่งระนาบเหนือเส้นตรง
3. จุดตัดของระนาบครึ่งทั้งสามนี้จะเป็นพื้นที่ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การค้นหาจุดยอดของภูมิภาคเป็นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่เรื่องยาก


ดังนั้น, ก(–3; –2), ใน(0; 1), กับ(6; –2).

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งไม่จำกัดโดเมนโซลูชันผลลัพธ์ของระบบ

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์

ก่อนที่จะแก้อสมการ คุณต้องมีความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการเสียก่อน

ไม่สำคัญว่าอสมการจะเข้มงวด () หรือไม่เข้มงวด (≤, ≥) ขั้นตอนแรกคือการแก้สมการโดยแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยความเท่าเทียมกัน (=)

ให้เราอธิบายว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงอะไร?

หลังจากศึกษาสมการแล้ว นักเรียนจะมีภาพต่อไปนี้ในหัว: เขาจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเพื่อให้สมการทั้งสองข้างใช้ค่าเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้ค้นหาจุดทั้งหมดที่มีความเท่าเทียมกัน ทุกอย่างถูกต้อง!

เมื่อเราพูดถึงความไม่เท่าเทียมกัน เราหมายถึงการค้นหาช่วงเวลา (ส่วน) ที่ความไม่เท่าเทียมกันมีอยู่ หากมีตัวแปรสองตัวในอสมการ ผลเฉลยจะไม่ใช่ช่วงเวลาอีกต่อไป แต่จะเป็นบางพื้นที่บนระนาบ ลองเดาด้วยตัวคุณเองว่าอะไรคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสามตัว?

จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?

วิธีสากลในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นวิธีการของช่วงเวลา (หรือที่เรียกว่าวิธีการของช่วงเวลา) ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดช่วงเวลาทั้งหมดภายในขอบเขตที่จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด

ในกรณีนี้นี่ไม่ใช่ประเด็น คุณต้องแก้สมการที่เกี่ยวข้องและหารากของมัน ตามด้วยการกำหนดวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้บนแกนจำนวน โดยไม่ต้องคำนึงถึงประเภทของอสมการ

จะเขียนวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร?

เมื่อคุณได้กำหนดช่วงเวลาของการแก้ปัญหาสำหรับอสมการแล้ว คุณต้องเขียนวิธีแก้ปัญหาให้ถูกต้องด้วยตัวมันเอง มีความแตกต่างที่สำคัญ - ขอบเขตของช่วงเวลารวมอยู่ในการแก้ปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ หากการแก้สมการเป็นไปตาม ODZ และอสมการไม่เข้มงวด ขอบเขตของช่วงจะรวมอยู่ในคำตอบของอสมการด้วย มิฉะนั้นไม่มี

เมื่อพิจารณาแต่ละช่วงเวลา วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอาจเป็นช่วงนั้นเอง หรือช่วงครึ่งเวลา (เมื่อขอบเขตใดขอบเขตหนึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน) หรือส่วน - ช่วงเวลาร่วมกับขอบเขตของมัน

จุดสำคัญ

อย่าคิดว่าเฉพาะช่วงเวลา ครึ่งช่วง และเซ็กเมนต์เท่านั้นที่จะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันได้ ไม่ วิธีแก้ปัญหาอาจรวมถึงประเด็นต่างๆ ด้วย

ตัวอย่างเช่น อสมการ |x|≤0 มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียว นั่นคือจุด 0

และอสมการ |x|

ทำไมคุณถึงต้องใช้เครื่องคำนวณอสมการ?

เครื่องคำนวณอสมการจะให้คำตอบสุดท้ายที่ถูกต้อง ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีภาพประกอบของแกนตัวเลขหรือระนาบมาให้ มองเห็นได้ว่าจะรวมขอบเขตของช่วงเวลาไว้ในโซลูชันหรือไม่ - จุดต่างๆ จะแสดงเป็นแรเงาหรือแบบเจาะทะลุ

ด้วยเครื่องคำนวณอสมการออนไลน์ คุณสามารถตรวจสอบว่าคุณพบรากของสมการถูกต้องหรือไม่ ทำเครื่องหมายไว้บนแกนตัวเลข และตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขอสมการในช่วงเวลา (และขอบเขต) หรือไม่

หากคำตอบของคุณแตกต่างจากคำตอบของเครื่องคิดเลข คุณจะต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณอีกครั้งและระบุข้อผิดพลาดอย่างแน่นอน