สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์เชิงเส้นของอันดับสอง การสร้างวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของเส้นตรงที่เป็นเนื้อเดียวกัน

สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
, ที่ไหน และ คำตอบเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้

รูปแบบทั่วไปของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ขึ้นอยู่กับรากของสมการคุณลักษณะ
.

รากของลักษณะ สมการ	ดู วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ราก และ ถูกต้องและหลากหลาย
ราก == ถูกต้องและเหมือนกันทุกประการ
รากที่ซับซ้อน ,

ตัวอย่าง

ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์เชิงเส้นของอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่:

1)

วิธีการแก้:
.

เมื่อแก้ไขแล้วเราจะพบราก
,
ถูกต้องและแตกต่าง ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:
.

2)

วิธีการแก้: มาสร้างสมการคุณลักษณะกันเถอะ:
.

เมื่อแก้ไขแล้วเราจะพบราก

ถูกต้องและเหมือนกันทุกประการ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:
.

3)

วิธีการแก้: มาสร้างสมการคุณลักษณะกันเถอะ:
.

เมื่อแก้ไขแล้วเราจะพบราก
ซับซ้อน. ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์อันดับสองที่ไม่เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่มีแบบฟอร์ม

ที่ไหน
. (1)

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธ์มีรูปแบบ
, ที่ไหน
เป็นคำตอบเฉพาะของสมการนี้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการที่สอดคล้องกัน สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน, เช่น. สมการ

ประเภทของโซลูชันส่วนตัว
สมการเอกพันธ์(1) ขึ้นอยู่กับด้านขวา
:

ส่วนขวา	โซลูชันส่วนตัว
– พหุนามดีกรี	, ที่ไหน คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะเท่ากับศูนย์
	, ที่ไหน = เป็นรากของสมการคุณลักษณะ
	ที่ไหน - ตัวเลข, เท่ากับจำนวนราก สมการคุณลักษณะประจวบเหมาะ .
	ที่ไหน คือจำนวนรากของสมการลักษณะเฉพาะที่เกิดขึ้น .

พิจารณาด้านขวามือประเภทต่างๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:

1.
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน . จากนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
สามารถค้นหาได้ในรูปแบบ
, ที่ไหน

, ก คือจำนวนรากของสมการคุณลักษณะเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
.

วิธีการแก้:

.

B) เนื่องจากด้านขวาของสมการเป็นพหุนามของดีกรีที่ 1 และไม่มีรากของสมการคุณลักษณะ
ไม่เท่ากับศูนย์ (
) จากนั้นเราจะมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบที่ และ เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก ความแตกต่างสองครั้ง
และทดแทน
,
และ
ลงในสมการเดิม เราพบว่า

การเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากัน ทั้งสองข้างของสมการ
,
เราพบว่า
,
. ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ สมการที่กำหนดมีแบบฟอร์ม
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

2. อนุญาต ส่วนขวามีแบบฟอร์ม
พหุนามของดีกรีอยู่ที่ไหน . จากนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
สามารถค้นหาได้ในรูปแบบ
, ที่ไหน
เป็นพหุนามดีกรีเดียวกับ
, ก - ตัวเลขระบุว่ากี่ครั้ง เป็นรากของสมการคุณลักษณะ

ตัวอย่าง

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
.

วิธีการแก้:

A) ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
. ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการคุณลักษณะ
. มาหารากของสมการสุดท้ายกัน
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์จึงมีรูปแบบ
.

สมการคุณลักษณะ

, ที่ไหน เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่า ความแตกต่างสองครั้ง
และทดแทน
,
และ
ลงในสมการเดิม เราพบว่า ที่ไหน
, นั่นคือ
หรือ
.

ดังนั้นคำตอบเฉพาะของสมการนี้มีรูปแบบ
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
.

3. ให้ด้านขวาดูเหมือนว่า ที่ไหน
และ - ตัวเลขที่กำหนด จากนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ
สามารถค้นหาในรูปแบบที่ และ เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก และ เป็นจำนวนที่เท่ากับจำนวนรากของสมการคุณลักษณะที่เกิดขึ้น
. ถ้าอยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน
รวมอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน
หรือ
จากนั้นใน
ควรป้อนเสมอ ทั้งสองฟังก์ชั่น.

ตัวอย่าง

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

วิธีการแก้:

A) ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน
. ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการคุณลักษณะ
. มาหารากของสมการสุดท้ายกัน
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์จึงมีรูปแบบ
.

B) เนื่องจากด้านขวาของสมการเป็นฟังก์ชัน
แล้วจำนวนควบคุมของสมการนี้ มันไม่ตรงกับราก
สมการคุณลักษณะ
. จากนั้นเราจะมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในแบบฟอร์ม

ที่ไหน และ เป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก เราได้รับความแตกต่างสองครั้ง การทดแทน
,
และ
ลงในสมการเดิม เราพบว่า

.

เราได้รับ

.

เราเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่
และ
ทางด้านขวาและด้านซ้ายของสมการตามลำดับ เราได้รับระบบ
. การแก้ปัญหาเราพบ
,
.

ดังนั้น คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมจึงมีรูปแบบ

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เดิมมีรูปแบบ

สมการ

โดยที่และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองแบบไม่เอกพันธ์ ฟังก์ชันและคือค่าสัมประสิทธิ์ของมัน หากอยู่ในช่วงเวลานี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

และเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์อันดับสอง ถ้าสมการ (**) มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันและเป็นสมการ (*) ก็จะเรียกว่าสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (*)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ให้ในสมการเชิงเส้น

ฉัน - ถาวร จำนวนจริง.

เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการในรูปแบบของฟังก์ชัน , จริง หรือ อยู่ที่ไหน จำนวนเชิงซ้อนที่จะถูกกำหนด ความแตกต่างด้วยความเคารพ เราได้รับ:

แทนที่ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราได้รับ:

ดังนั้น โดยคำนึงถึงว่า เรามี:

สมการนี้เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ สมการคุณลักษณะยังทำให้สามารถหา นี่คือสมการดีกรีสอง มันจึงมีสองราก เรามาแทนพวกมันด้วย และ . เป็นไปได้สามกรณี:

1) รากเป็นจริงและแตกต่างกัน ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการคือ:

ตัวอย่างที่ 1

2) รากเป็นจริงและเท่ากัน ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการคือ:

ตัวอย่าง2

เข้าสู่หน้านี้ในขณะที่พยายามแก้ปัญหาในการสอบหรือไม่? หากคุณยังสอบไม่ผ่าน - ครั้งหน้า ให้นัดหมายล่วงหน้าที่เว็บไซต์เกี่ยวกับ Online Help in Higher Mathematics

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ:

คำตอบของสมการคุณลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม:

3) รากที่ซับซ้อน ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการคือ:

ตัวอย่างที่ 3

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ:

คำตอบของสมการคุณลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม:

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองแบบไม่เอกพันธ์

ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการอันดับสองเชิงเส้นเอกพันธ์เชิงเส้นบางประเภทที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

โดยที่และเป็นจำนวนจริงคงที่ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่รู้จักในช่วงเวลา ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าว จำเป็นต้องรู้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะ ลองพิจารณาบางกรณี:

เรากำลังมองหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

ถ้า 0 เป็นรากเดียวของสมการคุณลักษณะ

ถ้า 0 เป็นรากคู่ของสมการคุณลักษณะ

สถานการณ์จะคล้ายกันหากเป็นพหุนามของระดับโดยพลการ

ตัวอย่างที่ 4

เราแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์:

ให้เราหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการความแตกต่างแบบเอกพันธ์:

แทนที่อนุพันธ์ที่พบในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราได้รับ:

โซลูชันเฉพาะที่ต้องการ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม:

เราค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนคือ

แทนที่และเข้าไปในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราได้รับเอกลักษณ์ ซึ่งเราหาค่าสัมประสิทธิ์ได้

ถ้า เป็นรากของสมการคุณลักษณะ เราจะมองหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมในรูปแบบ เมื่อเป็นรากเดียว และ เมื่อเป็นรากคู่

ตัวอย่างที่ 5

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันคือ:

ให้เราหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์:

ในกรณีนี้ เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบของทวินามตรีโกณมิติ:

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

แทนที่และเข้าไปในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราได้รับเอกลักษณ์ซึ่งเราพบค่าสัมประสิทธิ์

สมการเหล่านี้เป็นตัวกำหนดสัมประสิทธิ์ และยกเว้นในกรณีที่ (หรือเมื่อใดที่เป็นรากของสมการคุณลักษณะ) ในกรณีหลังนี้ เรามองหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง6

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันคือ:

ให้เราค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการความแตกต่างที่ไม่เอกพันธ์กัน

แทนที่ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม เราได้รับ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม:

การบรรจบกันของอนุกรมจำนวน
มีการให้คำจำกัดความของการลู่เข้าของอนุกรมและพิจารณาปัญหาสำหรับการศึกษาการลู่เข้าโดยละเอียด ชุดหมายเลข- เกณฑ์การเปรียบเทียบ, เกณฑ์การบรรจบกันของ d'Alembert, เกณฑ์การบรรจบกันของ Cauchy และเกณฑ์การบรรจบกันของ Cauchy⁡

การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไขของอนุกรม
หน้านี้เกี่ยวข้องกับอนุกรมสลับ การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขและสัมบูรณ์ การทดสอบการบรรจบกันของไลบ์นิซสำหรับอนุกรมสลับ - ประกอบด้วย ทฤษฎีโดยย่อในหัวข้อและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ในที่นี้ เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ลากรองจ์เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธ์ คำอธิบายโดยละเอียดวิธีการแก้สมการของคำสั่งโดยพลการนี้มีกำหนดไว้ในหน้านี้
คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่าโดยวิธีลากรองจ์ >>> .

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่วิธีการแปรผันของค่าคงที่ Lagrange:
(1)

วิธีการแก้

ขั้นแรก เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์:
(2)

นี่คือสมการอันดับสอง

เราแก้สมการกำลังสอง:
.
หลายรูท: . ระบบพื้นฐานคำตอบของสมการ (2) มีรูปแบบ:
(3) .
ดังนั้นเราจึงได้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (2):
(4) .

เราเปลี่ยนค่าคงที่ C 1 และซี 2 . นั่นคือ เราแทนที่ค่าคงที่และใน (4) ด้วยฟังก์ชัน:
.
เรากำลังมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (1) ในรูปแบบ:
(5) .

เราพบอนุพันธ์:
.
เราเชื่อมต่อฟังก์ชันและสมการ:
(6) .
แล้ว
.

เราพบอนุพันธ์อันดับสอง:
.
เราแทนที่ลงในสมการเดิม (1):
(1) ;



.
เนื่องจากและเป็นไปตามสมการเอกพันธ์ (2) ผลรวมของพจน์ในแต่ละคอลัมน์ของสามแถวสุดท้ายจะเป็นศูนย์ และสมการก่อนหน้าจะกลายเป็น:
(7) .
ที่นี่ .

เมื่อรวมกับสมการ (6) เราได้ระบบสมการสำหรับกำหนดฟังก์ชันและ:
(6) :
(7) .

การแก้ระบบสมการ

เราแก้ระบบสมการ (6-7) มาเขียนนิพจน์สำหรับฟังก์ชันและ:
.
เราพบอนุพันธ์ของพวกมัน:
;
.

เราแก้ระบบสมการ (6-7) โดยวิธีแครมเมอร์ เราคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์ของระบบ:

.
ตามสูตรของ Cramer เราพบ:
;
.

ดังนั้นเราจึงพบอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
;
.
มารวมเข้าด้วยกัน (ดูวิธีการรวมราก) ทำการเปลี่ยนตัว
; ; ; .

.
.

;
.

ตอบ

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ลากรองจ์:
(8)

วิธีการแก้

ขั้นตอนที่ 1 คำตอบของสมการเอกพันธ์

เราแก้สมการอนุพันธ์เอกพันธ์:

(9)
หาทางออกในรูปแบบ เราสร้างสมการคุณลักษณะ:

สมการนี้มีรากที่ซับซ้อน:
.
ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาที่สอดคล้องกับรากเหล่านี้มีรูปแบบ:
(10) .
คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ (9):
(11) .

ขั้นตอนที่ 2 การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ - การแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชัน

ตอนนี้เราเปลี่ยนค่าคงที่ C 1 และซี 2 . นั่นคือ เราแทนที่ค่าคงที่ใน (11) ด้วยฟังก์ชัน:
.
เรากำลังมองหาคำตอบของสมการดั้งเดิม (8) ในรูปแบบ:
(12) .

นอกจากนี้แนวทางการแก้ปัญหายังเหมือนกับในตัวอย่างที่ 1 เรามาถึง ระบบต่อไปสมการสำหรับกำหนดฟังก์ชันและ:
(13) :
(14) .
ที่นี่ .

การแก้ระบบสมการ

มาแก้ระบบนี้กันเถอะ ลองเขียนนิพจน์ของฟังก์ชันและ:
.
จากตารางอนุพันธ์เราพบ:
;
.

เราแก้ระบบสมการ (13-14) โดยวิธีแครมเมอร์ ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ของระบบ:

.
ตามสูตรของ Cramer เราพบ:
;
.

.
ตั้งแต่ เครื่องหมายโมดูลัสใต้เครื่องหมายลอการิทึมสามารถละเว้นได้ คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย:
.
แล้ว
.

คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม:


.

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส

สถาบันเกษตร"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

หลักเกณฑ์

ในการศึกษาหัวข้อ "สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง" โดยนักศึกษาแผนกบัญชีของรูปแบบการศึกษาทางไปรษณีย์ (NISPO)

กอร์กี, 2013

เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์

ลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ค่าสัมประสิทธิ์

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูปแบบ

เหล่านั้น. สมการที่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ในระดับแรกเท่านั้น และไม่มีผลิตภัณฑ์ของสมการ ในสมการนี้ และ
เป็นตัวเลขและฟังก์ชัน
ให้เป็นบางช่วง
.

ถ้า ก
ในช่วงเวลา
จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

, (2)

และโทร เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น . มิฉะนั้นจะเรียกว่าสมการ (1) เชิงเส้นไม่เป็นเนื้อเดียวกัน .

พิจารณาฟังก์ชันที่ซับซ้อน

, (3)

ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นจริง. ถ้าฟังก์ชัน (3) เป็นคำตอบที่ซับซ้อนของสมการ (2) แสดงว่าเป็นส่วนจริง
และส่วนจินตภาพ
โซลูชั่น
แยกกันเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เดียวกัน ดังนั้นทุกๆ โซลูชั่นที่สมบูรณ์สมการ (2) สร้างคำตอบจริงสองคำตอบของสมการนี้

โซลูชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นมีคุณสมบัติ:

ถ้า ก เป็นคำตอบของสมการ (2) แล้วฟังก์ชัน
, ที่ไหน จาก- ค่าคงที่โดยพลการจะเป็นคำตอบของสมการ (2)

ถ้า ก และ เป็นคำตอบของสมการ (2) แล้วฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2);

ถ้า ก และ เป็นคำตอบของสมการ (2) แล้วผลรวมเชิงเส้น
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) โดยที่ และ
เป็นค่าคงที่โดยพลการ

ฟังก์ชั่น
และ
เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในช่วงเวลา
หากมีตัวเลขดังกล่าว และ
ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ซึ่งในช่วงเวลานี้ความเท่าเทียมกัน

ถ้าความเสมอภาค (4) เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ
และ
แล้วฟังก์ชั่น
และ
เรียกว่า อิสระเชิงเส้น ในช่วงเวลา
.

ตัวอย่างที่ 1 . ฟังก์ชั่น
และ
ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นเนื่องจาก
ตามเส้นจำนวนทั้งหมด ในตัวอย่างนี้
.

ตัวอย่างที่ 2 . ฟังก์ชั่น
และ
เป็นอิสระเชิงเส้นในทุกช่วงตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน
เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ และ
, และ
.

การสร้างวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของเส้นตรงที่เป็นเนื้อเดียวกัน

สมการ

ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการ (2) คุณต้องหาคำตอบที่ไม่เป็นอิสระเชิงเส้นสองคำตอบ และ . การผสมผสานเชิงเส้นของโซลูชันเหล่านี้
, ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่โดยพลการและจะให้คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2) จะถูกค้นหาในแบบฟอร์ม

, (5)

ที่ไหน - จำนวนหนึ่ง แล้ว
,
. ให้เราแทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสมการ (2):

หรือ
.

เพราะ
, แล้ว
. ดังนั้นฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ถ้า จะตอบสนองสมการ

. (6)

เรียกว่าสมการ (6) สมการคุณลักษณะ สำหรับสมการ (2) สมการนี้เป็นสมการกำลังสองเกี่ยวกับพีชคณิต

อนุญาต และ เป็นรากของสมการนี้ อาจเป็นได้ทั้งจริงและแตกต่าง หรือซับซ้อน หรือจริงและเท่ากัน ลองพิจารณากรณีเหล่านี้

ปล่อยให้ราก และ สมการคุณลักษณะเป็นจริงและแตกต่างกัน จากนั้นคำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
. คำตอบเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากความเท่าเทียมกัน
สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ
, และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

,

ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่โดยพลการ

ตัวอย่างที่ 3
.

วิธีการแก้ . สมการคุณลักษณะสำหรับส่วนต่างนี้จะเป็น
. แก้ปัญหาได้ สมการกำลังสองค้นหารากของมัน
และ
. ฟังก์ชั่น
และ
เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ
.

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าการแสดงออกของรูปแบบ
, ที่ไหน และ เป็นจำนวนจริง และ
เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ถ้า ก
จากนั้นหมายเลข
เรียกว่าจินตนาการล้วนๆ ถ้า
จากนั้นหมายเลข
ถูกระบุด้วยจำนวนจริง .

ตัวเลข เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และ - ส่วนจินตภาพ หากจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนแตกต่างกันเฉพาะในสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพก็จะเรียกว่าคอนจูเกต:
,
.

ตัวอย่างที่ 4 . แก้สมการกำลังสอง
.

วิธีการแก้ . สมการจำแนก
. แล้ว. เช่นเดียวกัน,
. ดังนั้น สมการกำลังสองนี้จึงผันรากที่ซับซ้อน

ให้รากของสมการคุณลักษณะซับซ้อน เช่น
,
, ที่ไหน
. คำตอบของสมการ (2) สามารถเขียนได้เป็น
,
หรือ
,
. ตามสูตรของออยเลอร์

,
.

แล้ว ,. อย่างที่ทราบกันดีว่า ถ้าฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น คำตอบของสมการนี้จะเป็นทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้ ดังนั้น คำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
. ตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน

สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ
และ
แล้วคำตอบเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่โดยพลการ

ตัวอย่างที่ 5 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีการแก้ . สมการ
เป็นลักษณะเฉพาะสำหรับส่วนต่างที่กำหนด เราแก้ปัญหาและรับรากที่ซับซ้อน
,
. ฟังก์ชั่น
และ
เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ

ให้รากของสมการคุณลักษณะเป็นจริงและเท่ากัน เช่น
. จากนั้นคำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
. คำตอบเหล่านี้เป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากนิพจน์สามารถมีค่าเท่ากันเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อ
และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ
.

ตัวอย่างที่ 6 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีการแก้ . สมการลักษณะเฉพาะ
มีรากเท่ากัน
. ในกรณีนี้ คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชัน
และ
. วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ
.

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองแบบไม่เอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

และด้านขวาพิเศษ

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (1) เท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไป
สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะใดๆ
สมการเอกพันธ์:
.

ในบางกรณี คำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เอกพันธ์สามารถหาได้จากรูปทางด้านขวา
สมการ (1) ลองพิจารณากรณีที่เป็นไปได้

เหล่านั้น. ทางด้านขวาของสมการเอกพันธ์คือพหุนามดีกรี ม. ถ้า ก
ไม่ได้เป็นรากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาผลเฉลยของสมการเอกพันธ์ในรูปของพหุนามดีกรี ม, เช่น.

อัตราต่อรอง
ถูกกำหนดในกระบวนการหาทางออกโดยเฉพาะ

ถ้า
เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เอกพันธ์ในรูป

ตัวอย่างที่ 7 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีการแก้ . สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับสมการนี้คือ
. สมการคุณลักษณะของมัน
มีราก
และ
. คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ
.

เพราะ
ไม่ได้เป็นรากของสมการลักษณะเฉพาะ จากนั้นเราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ในรูปของฟังก์ชัน
. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
,
และแทนค่าลงในสมการนี้:

หรือ . เทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่ และสมาชิกฟรี:
กำลังตัดสินใจ ระบบนี้, เราได้รับ
,
. จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์นี้จะเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์:
.

ให้สมการเอกพันธ์มีรูปแบบ

ถ้า ก
ไม่ใช่รากของสมการลักษณะเฉพาะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ในรูป ถ้า
เป็นรากของสมการการคูณลักษณะเฉพาะ เค (เค=1 หรือ เค=2) ในกรณีนี้ คำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 8 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีการแก้ . สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ
. รากของมัน
,
. ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนเป็น
.

เนื่องจากเลข 3 ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้น จึงควรหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เอกพันธ์ในรูป
. มาหาอนุพันธ์ของคำสั่งที่หนึ่งและสอง:,

แทนลงในสมการเชิงอนุพันธ์:
+ +,
+,.

เทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่ และสมาชิกฟรี:

จากที่นี่
,
. จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการนี้มีรูปแบบ
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

.

วิธี Lagrange ของการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการ

วิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการสามารถนำไปใช้กับสมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ โดยไม่คำนึงถึงรูปแบบของด้านขวา วิธีนี้ทำให้สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ได้เสมอ หากทราบผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

อนุญาต
และ
เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการ (2) จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
, ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่โดยพลการ สาระสำคัญของวิธีการแปรผันของค่าคงที่โดยพลการคือการหาคำตอบทั่วไปของสมการ (1) ในรูปแบบ

ที่ไหน
และ
- พบคุณสมบัติใหม่ที่ไม่รู้จัก เนื่องจากมีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักสองฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องใช้สองสมการที่มีฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อค้นหา สมการทั้งสองนี้รวมกันเป็นระบบ

ซึ่งเป็นระบบพีชคณิตเชิงเส้นของสมการที่เกี่ยวกับ
และ
. เราพบการแก้ปัญหาระบบนี้
และ
. เราพบการรวมทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ

และ
.

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้ใน (9) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธ์ (1)

ตัวอย่างที่ 9 . ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

วิธีการแก้. สมการคุณลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดคือ
. รากของมันซับซ้อน
,
. เพราะ
และ
, แล้ว
,
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการที่ไม่เอกพันธ์นี้จะถูกค้นหาในรูปแบบที่
และ
- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก

ระบบสมการสำหรับค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเหล่านี้มีรูปแบบ

เราพบการแก้ปัญหาระบบนี้
,
. แล้ว

,
. ให้เราแทนที่นิพจน์ที่ได้รับลงในสูตรการแก้ปัญหาทั่วไป:

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จากวิธีลากรองจ์

คำถามสำหรับการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นข้อใดเรียกว่าเอกพันธ์ และสมการใดเรียกว่าไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

คุณสมบัติของสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นคืออะไร?

สมการใดที่เรียกว่าคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและได้มาอย่างไร?

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในรูปแบบใดที่เขียนในกรณีของรากที่แตกต่างกันของสมการคุณลักษณะ

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่ในรูปแบบใดที่เขียนในกรณี รากเท่ากันสมการลักษณะ?

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากเชิงซ้อนของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นเขียนอย่างไร

คำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบใดที่หาค่าได้หากรากของสมการคุณลักษณะแตกต่างกันและไม่เท่ากับศูนย์ และด้านขวาของสมการคือพหุนามดีกรี ม?

คำตอบเฉพาะของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์ในรูปแบบใดที่ค้นหาว่ารากของสมการคุณลักษณะมีศูนย์หนึ่งศูนย์หรือไม่ และด้านขวาของสมการคือพหุนามดีกรี ม?

สาระสำคัญของวิธี Lagrange คืออะไร?