พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่:
(1) .
สามารถรับวิธีแก้ปัญหาได้โดยทำตามนี้ วิธีการทั่วไปการลดคำสั่งซื้อ

อย่างไรก็ตาม การรับระบบพื้นฐานทันทีนั้นง่ายกว่า nโซลูชันที่เป็นอิสระเชิงเส้นและสร้างโซลูชันทั่วไปตามนั้น ในกรณีนี้ ขั้นตอนการแก้ปัญหาทั้งหมดจะลดลงเหลือขั้นตอนต่อไปนี้

เรากำลังหาคำตอบของสมการ (1) ในรูปแบบ เราได้รับ สมการลักษณะเฉพาะ :
(2) .
มันมีไม่มีราก เราแก้สมการ (2) และค้นหารากของมัน จากนั้นสมการคุณลักษณะ (2) สามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:
(3) .
แต่ละรูตสอดคล้องกับหนึ่งในคำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการ (1) ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม (1) จะมีรูปแบบดังนี้
(4) .

รากที่แท้จริง

ลองพิจารณาถึงรากที่แท้จริง. ปล่อยให้รากเป็นโสด นั่นคือปัจจัยจะเข้าสู่สมการคุณลักษณะ (3) เพียงครั้งเดียว จากนั้นรูตนี้จะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหา
.

อนุญาต เป็นผลหลายรากของการคูณ p นั่นคือ
. ในกรณีนี้ ตัวคูณคือ p คูณ:
.
รากหลายค่า (เท่ากัน) เหล่านี้สอดคล้องกับ p คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการดั้งเดิม (1):
; ; ; ...; .

รากที่ซับซ้อน

พิจารณารากที่ซับซ้อน. ให้เราแสดงรากที่ซับซ้อนในแง่ของส่วนจริงและจินตภาพ:
.
เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของต้นฉบับเป็นจริง ดังนั้นนอกจากรากแล้ว ยังมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนอีกด้วย
.

ปล่อยให้รากที่ซับซ้อนมีหลายตัว จากนั้นรากคู่หนึ่งจะสอดคล้องกับคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัว:
; .

อนุญาต เป็นรากที่ซับซ้อนหลายตัวของ p จากนั้นค่าคอนจูเกตเชิงซ้อนยังเป็นรากของสมการคุณลักษณะของการคูณ p และตัวคูณจะเข้าสู่ p ครั้ง:
.
นี้ 2pรากสอดคล้องกัน 2pโซลูชันอิสระเชิงเส้น:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

หลังจาก ระบบพื้นฐานพบวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระเชิงเส้น และเราได้คำตอบทั่วไป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ:
.

สารละลาย

.
มาแปลงมันกันเถอะ:
;
;
.

ลองดูที่รากของสมการนี้ เราได้รากที่ซับซ้อนสี่ประการของการคูณ 2:
; .
สอดคล้องกับคำตอบอิสระเชิงเส้นสี่ข้อของสมการดั้งเดิม:
; ; ; .

เรามีรากจริงสามตัวของตัวคูณ 3 ด้วย:
.
สอดคล้องกับโซลูชันอิสระเชิงเส้นสามตัว:
; ; .

ผลเฉลยทั่วไปของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบดังนี้:
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ

สารละลาย

เรากำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบ เราเขียนสมการคุณลักษณะ:
.
การแก้สมการกำลังสอง
.

เรามีรากที่ซับซ้อนสองอัน:
.
สอดคล้องกับโซลูชันเชิงเส้นตรงสองโซลูชัน:
.
คำตอบทั่วไปของสมการ:
.

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = ฉ(x) ,

ที่ไหน ยคือฟังก์ชันที่จะหา และ พี(x) , ถาม(x) และ ฉ(x) - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) .

ถ้าด้านขวาของสมการเป็นศูนย์ ( ฉ(x) = 0) จากนั้นจึงเรียกสมการ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น . ภาคปฏิบัติของบทเรียนนี้จะเน้นไปที่สมการดังกล่าวเป็นหลัก หากด้านขวาของสมการไม่เท่ากับศูนย์ ( ฉ(x) ≠ 0) จากนั้นสมการนี้เรียกว่า .

ในปัญหาเราจำเป็นต้องแก้สมการ ย"" :

ย"" = −พี(x)ย" − ถาม(x)ย + ฉ(x) .

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ปัญหาคอชี่ .

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองและผลเฉลยของมัน

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง:

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = 0 .

ถ้า ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการนี้ ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

1) ย1 (x) + ย 2 (x) - ยังเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วย

2) ไซ1 (x) , ที่ไหน ค- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คงที่) ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

จากข้อความทั้งสองนี้จึงเป็นไปตามฟังก์ชัน

ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x)

ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

คำถามที่ยุติธรรมเกิดขึ้น: นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง นั่นคือวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าที่ต่างกัน ค1 และ ค2 เป็นไปได้ไหมที่จะได้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ?

คำตอบสำหรับคำถามนี้คืออาจจะ แต่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ นี้ เงื่อนไขว่าคุณสมบัติใดที่โซลูชั่นเฉพาะควรมี ย1 (x) และ ย2 (x) .

และเงื่อนไขนี้เรียกว่าเงื่อนไข ความเป็นอิสระเชิงเส้นโซลูชั่นส่วนตัว

ทฤษฎีบท. การทำงาน ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x) เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นตรง (ถ้ามีฟังก์ชัน) ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นอิสระเชิงเส้น

คำนิยาม. ฟังก์ชั่น ย1 (x) และ ย2 (x) เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้าอัตราส่วนของพวกมันมีค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์:

ย1 (x)/ย 2 (x) = เค ; เค = ค่าคงที่ ; เค ≠ 0 .

อย่างไรก็ตาม การพิจารณาตามคำนิยามว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่นั้นมักจะต้องใช้ความพยายามอย่างมาก มีวิธีสร้างความเป็นอิสระเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ว(x) :

หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าคำตอบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น . ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski เป็นศูนย์ แสดงว่าคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สารละลาย. เราอินทิเกรตสองครั้ง และอย่างที่เห็นง่าย เพื่อให้ความแตกต่างระหว่างอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะต้องเชื่อมโยงกับเลขชี้กำลังซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับตัวมันเอง นั่นคือ คำตอบบางส่วนคือ และ

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์วรอนสกี้

ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคำตอบเหล่านี้จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการนี้สามารถเขียนได้เป็น

.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: ทฤษฎีและการปฏิบัติ

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พาย" + คิว = 0 ,

ที่ไหน พีและ ถาม- ค่าคงที่

ความจริงที่ว่านี่คือสมการอันดับสองนั้นถูกระบุโดยการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ต้องการ และความสม่ำเสมอของมันถูกระบุด้วยศูนย์ทางด้านขวา ค่าที่กล่าวไปแล้วข้างต้นเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ถึง แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ คุณต้องแก้สมการที่เรียกว่าสมการคุณลักษณะของแบบฟอร์มก่อน

เค² + หน้า + ถาม = 0 ,

ซึ่งอย่างที่เห็นคือสมการกำลังสองธรรมดา

ขึ้นอยู่กับการแก้สมการคุณลักษณะ มีสามตัวเลือกที่เป็นไปได้ คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งตอนนี้เราจะวิเคราะห์ เพื่อความแน่นอนโดยสมบูรณ์ เราจะถือว่าคำตอบเฉพาะทั้งหมดได้รับการทดสอบโดยดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski แล้ว และค่านี้จะไม่เท่ากับศูนย์ในทุกกรณี อย่างไรก็ตามผู้สงสัยสามารถตรวจสอบได้ด้วยตนเอง

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีอยู่จริงและชัดเจน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง, . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการลักษณะเฉพาะมีรูปแบบ มีราก เป็นจริงและชัดเจน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

.

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีจริงและเท่ากัน

นั่นคือ, . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะ มันมี รากที่เท่ากัน. ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะมีรากที่เท่ากัน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

สถาบันการศึกษา "รัฐเบลารุส"

สถาบันเกษตรกรรม"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

แนวทาง

เพื่อศึกษาหัวข้อ “สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 2” โดยนักศึกษาคณะบัญชีศึกษาการติดต่อสื่อสาร (NISPO)

กอร์กี, 2013

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

ลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ค่าสัมประสิทธิ์

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป

เหล่านั้น. สมการที่มีฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ของมันเพียงระดับแรกเท่านั้นและไม่มีผลคูณของมัน ในสมการนี้ และ
- ตัวเลขบางตัวและฟังก์ชัน
ให้ไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง
.

ถ้า
ในช่วงเวลา
จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ

, (2)

และถูกเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น . มิฉะนั้นจะเรียกสมการ (1) เชิงเส้นไม่เหมือนกัน .

พิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน

, (3)

ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นที่แท้จริง. ถ้าฟังก์ชัน (3) เป็นคำตอบที่ซับซ้อนของสมการ (2) แสดงว่าเป็นส่วนจริง
และส่วนจินตภาพ
โซลูชั่น
แยกกันเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เดียวกัน ดังนั้นทุกสิ่งทุกอย่าง โซลูชั่นที่ครอบคลุมสมการ (2) สร้างคำตอบที่แท้จริงสองข้อให้กับสมการนี้

คำตอบของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ถ้า เป็นการแก้สมการ (2) แล้วจึงเป็นฟังก์ชัน
, ที่ไหน กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจจะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย

ถ้า และ มีวิธีแก้สมการ (2) ตามด้วยฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย

ถ้า และ มีวิธีแก้สมการ (2) จากนั้นจึงรวมเชิงเส้น
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ด้วย โดยที่ และ
– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ฟังก์ชั่น
และ
ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ในช่วงเวลา
ถ้ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ และ
ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน ซึ่งในช่วงเวลานี้มีความเท่าเทียมกัน

หากความเสมอภาค (4) เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อใด
และ
แล้วตามด้วยฟังก์ชัน
และ
ถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น ในช่วงเวลา
.

ตัวอย่างที่ 1 . ฟังก์ชั่น
และ
ขึ้นอยู่เชิงเส้นตรง เนื่องจาก
บนเส้นจำนวนทั้งหมด ในตัวอย่างนี้
.

ตัวอย่างที่ 2 . ฟังก์ชั่น
และ
มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงในช่วงเวลาใดๆ เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน
เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่เมื่อ
, และ
.

การก่อสร้าง วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น

สมการ

เพื่อที่จะหาคำตอบทั่วไปของสมการ (2) คุณต้องหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการสองตัว และ . ผลรวมเชิงเส้นของโซลูชันเหล่านี้
, ที่ไหน และ
เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ และจะให้คำตอบทั่วไปกับสมการเอกพันธ์เชิงเส้น

เราจะหาคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2) ในรูปแบบ

, (5)

ที่ไหน – จำนวนที่แน่นอน แล้ว
,
. ลองแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (2):

หรือ
.

เพราะ
, ที่
. ดังนั้นฟังก์ชัน
จะเป็นคำตอบของสมการ (2) ถ้า จะเป็นไปตามสมการ

. (6)

เรียกสมการ (6) สมการลักษณะเฉพาะ สำหรับสมการ (2) สมการนี้เป็นสมการกำลังสองพีชคณิต

อนุญาต และ มีรากของสมการนี้ สิ่งเหล่านี้อาจเป็นของจริงและแตกต่าง หรือซับซ้อน หรือของจริงและเท่าเทียมกัน ลองพิจารณากรณีเหล่านี้

ปล่อยให้ราก และ สมการคุณลักษณะมีจริงและชัดเจน จากนั้นคำตอบของสมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
. คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากมีความเท่าเทียมกัน
จะดำเนินการได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น
, และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

,

ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 3
.

สารละลาย . สมการคุณลักษณะสำหรับส่วนต่างนี้จะเป็น
. ตัดสินใจเรื่องนี้แล้ว สมการกำลังสองเรามาค้นหารากของมันกันดีกว่า
และ
. ฟังก์ชั่น
และ
เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
.

จำนวนเชิงซ้อน เรียกว่า การแสดงออกของรูป
, ที่ไหน และ - ตัวเลขจริง, ก
เรียกว่าหน่วยจินตภาพ ถ้า
แล้วตามด้วยหมายเลข
เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ ถ้า
แล้วตามด้วยหมายเลข
ถูกระบุด้วยจำนวนจริง .

ตัวเลข เรียกว่าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน และ - ส่วนจินตภาพ หากจำนวนเชิงซ้อนสองตัวต่างกันเพียงสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพเท่านั้น พวกมันจะถูกเรียกว่าคอนจูเกต:
,
.

ตัวอย่างที่ 4 . แก้สมการกำลังสอง
.

สารละลาย . สมการจำแนก
. แล้ว. เช่นเดียวกัน,
. ดังนั้นสมการกำลังสองนี้มีรากที่ซับซ้อนรวมกัน

ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อนเช่น
,
, ที่ไหน
. ผลเฉลยของสมการ (2) สามารถเขียนได้ในรูป
,
หรือ
,
. ตามสูตรของออยเลอร์

,
.

แล้ว ,. ดังที่ทราบกันดีว่า หากฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นคำตอบของสมการนี้จะเป็นทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพของฟังก์ชันนี้ ดังนั้นการแก้สมการ (2) จะเป็นฟังก์ชัน
และ
. ตั้งแต่ความเท่าเทียมกัน

สามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ
และ
แล้วคำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ

ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 5 . หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย . สมการ
เป็นลักษณะของส่วนต่างที่กำหนด มาแก้มันแล้วหารากที่ซับซ้อนกันดีกว่า
,
. ฟังก์ชั่น
และ
เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ:

ปล่อยให้รากของสมการคุณลักษณะเป็นจริงและเท่ากันนั่นคือ
. ดังนั้นคำตอบของสมการ (2) คือฟังก์ชัน
และ
. คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจากนิพจน์สามารถมีค่าเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น
และ
. ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (2) จึงมีรูปแบบ
.

ตัวอย่างที่ 6 . หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย . สมการคุณลักษณะ
มีรากเท่ากัน
. ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงได้
และ
. วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ
.

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

และด้านขวาพิเศษ

ผลเฉลยทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น (1) เท่ากับผลรวมของผลรวมของผลรวม
สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะใดๆ
สมการที่ไม่เหมือนกัน:
.

ในบางกรณี วิธีแก้สมการอินเอกจีนัสโดยเฉพาะสามารถหาได้ง่ายๆ โดยใช้รูปทางด้านขวามือ
สมการ (1) ลองดูกรณีที่เป็นไปได้

เหล่านั้น. ทางด้านขวาของสมการแบบไม่เอกพันธ์คือพหุนามของดีกรี ม. ถ้า
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปของพหุนามของดีกรี ม, เช่น.

ราคาต่อรอง
ถูกกำหนดไว้ในกระบวนการหาแนวทางแก้ไขโดยเฉพาะ

ถ้า
คือรากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 7 . หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย . สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับ สมการที่กำหนดเป็น
. สมการคุณลักษณะของมัน
มีราก
และ
. คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ
.

เพราะ
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จากนั้นเราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการอัญชันในรูปแบบของฟังก์ชัน
. ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน
,
และแทนที่มันลงในสมการนี้:

หรือ . ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ และสมาชิกฟรี:
หลังจากตัดสินใจแล้ว ระบบนี้, เราได้รับ
,
. จากนั้นคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่กำหนดจะเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันกับคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์:
.

อย่าให้มัน. สมการเอกพันธ์ดูเหมือน

ถ้า
ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ ดังนั้นควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ ถ้า
เป็นรากของสมการพหุคูณลักษณะเฉพาะ เค (เค=1 หรือ เค=2) ดังนั้นในกรณีนี้ วิธีแก้เฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะมีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 8 . หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย . สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ
. รากของมัน
,
. ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนในรูปแบบ
.

เนื่องจากเลข 3 ไม่ใช่รากของสมการคุณลักษณะ จึงควรหาคำตอบเฉพาะของสมการแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ
. มาหาอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งและที่สอง:

ลองแทนสมการเชิงอนุพันธ์:
+ +,
+,.

ให้เราเทียบสัมประสิทธิ์สำหรับ และสมาชิกฟรี:

จากที่นี่
,
. แล้วคำตอบเฉพาะของสมการนี้ก็จะมีรูปแบบ
และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

.

วิธีลากรองจ์ของการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ

วิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจสามารถนำไปใช้กับสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ ก็ได้ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ โดยไม่คำนึงถึงประเภทของด้านขวามือ วิธีนี้ช่วยให้คุณหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ได้เสมอ ถ้าทราบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

อนุญาต
และ
เป็นคำตอบของสมการที่เป็นอิสระเชิงเส้น (2) แล้วคำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ
, ที่ไหน และ
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ สาระสำคัญของวิธีการเปลี่ยนค่าคงที่ตามอำเภอใจก็คือการหาคำตอบทั่วไปของสมการ (1) ในรูปแบบ

ที่ไหน
และ
- ฟังก์ชั่นใหม่ที่ไม่รู้จักที่จำเป็นต้องค้นหา เนื่องจากมีฟังก์ชันที่ไม่รู้จักสองฟังก์ชัน ในการค้นหาจึงจำเป็นต้องมีสมการสองฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันเหล่านี้ สมการทั้งสองนี้ประกอบกันเป็นระบบ

ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเทียบกับ
และ
. เราพบว่าการแก้ปัญหาระบบนี้
และ
. เราพบว่าเมื่อรวมทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ

และ
.

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน (9) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (1)

ตัวอย่างที่ 9 . หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์
.

สารละลาย. สมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดคือ
. รากของมันมีความซับซ้อน
,
. เพราะ
และ
, ที่
,
และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์มีรูปแบบ จากนั้นเราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์นี้ในรูปแบบโดยที่
และ
- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก

ระบบสมการในการค้นหาฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเหล่านี้มีรูปแบบ

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราจะพบ
,
. แล้ว

,
. ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ ซึ่งได้มาจากวิธีลากรองจ์

คำถามเพื่อการควบคุมความรู้ด้วยตนเอง

สมการเชิงอนุพันธ์ข้อใดเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นใดเรียกว่าเอกพันธ์และสมการไม่เอกพันธ์

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

สมการใดที่เรียกว่าคุณลักษณะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นและได้มาอย่างไร

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ต่างกันของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นในรูปแบบใดคือค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่เขียนในกรณีนี้ รากที่เท่ากันสมการคุณลักษณะ?

วิธีแก้ทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เขียนในกรณีของรากที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะในรูปแบบใด

คำตอบทั่วไปของสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้นเขียนอย่างไร?

ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ค้นหาว่ารากของสมการคุณลักษณะต่างกันและไม่เท่ากับศูนย์และด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?

ในรูปแบบใดที่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการอินเอกจีนัสเชิงเส้นที่ต้องการว่ามีศูนย์หนึ่งตัวในหมู่รากของสมการคุณลักษณะและด้านขวาของสมการคือพหุนามของดีกรี ม?

สาระสำคัญของวิธีการของลากรองจ์คืออะไร?

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 2

§1. วิธีการลดลำดับของสมการ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 มีรูปแบบ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( หรือ Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2) ปัญหาคอชี่สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

ดังนั้นสมการลำดับที่ 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. ในการแก้มัน เราได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม ขึ้นอยู่กับค่าคงที่สองตัว: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">.gif" width="76" height="25 src=">.

สารละลาย.

เนื่องจากสมการดั้งเดิมไม่มีอาร์กิวเมนต์อย่างชัดเจน https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" ความสูง="38 src=">.

ตั้งแต่ที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= " >.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 2 มีรูปแบบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" ความสูง="25 src=">..gif" width="150" height="25 src=">.

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" ความสูง= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.

3. ลำดับของกำลังจะลดลงหากสามารถแปลงให้เป็นรูปแบบที่สมการทั้งสองข้างกลายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ตาม https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" ความกว้าง = "282" ความสูง = "25 src = ">, (2.1)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> – ฟังก์ชั่นที่ระบุต่อเนื่องในช่วงเวลาที่ต้องการหาคำตอบ สมมติว่า a0(x) ≠ 0 เราจะหาร (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

ให้เรายอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์ว่า (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height = "25 src="> จากนั้นสมการ (2.2) จะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน และสมการ (2.2) จะเรียกว่าไม่มีลักษณะเป็นเนื้อเดียวกัน

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2

คำนิยาม.การรวมฟังก์ชันเชิงเส้น https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)

จากนั้นการรวมกันเชิงเส้นของพวกเขา https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> ใน (2.3) และแสดงว่าผลลัพธ์คือตัวตน:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

เนื่องจากฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นวิธีแก้สมการ (2.3) ดังนั้นแต่ละวงเล็บใน สมการสุดท้ายเหมือนกันคือศูนย์ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ข้อพิสูจน์ 1.ตามมาจากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - วิธีแก้สมการ (2. .gif" width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นในบางช่วงเวลา หากไม่มีฟังก์ชันใดที่สามารถแสดงเป็นเชิงเส้นได้ การรวมกันของสิ่งอื่นทั้งหมด

ในกรณีของสองฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height ="47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับฟังก์ชันอิสระเชิงเส้นสองตัวไม่สามารถเท่ากับศูนย์เท่ากันได้

ให้ https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> เป็นไปตามสมการ (2..gif" width="42" height="25 src = "> – วิธีแก้สมการ (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ได้รับข้อมูลประจำตัว ดังนั้น

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src="> ซึ่งเป็นตัวกำหนดสำหรับการแก้สมการอิสระเชิงเส้นของสมการ (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> ปัจจัยทั้งสองทางด้านขวาของสูตร (3.2) ไม่ใช่ศูนย์

§4 โครงสร้างของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของโหนดลำดับที่ 2

ทฤษฎีบท.หาก https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการ (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">เป็นคำตอบของสมการ (2.3) ตามมาจากทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของคำตอบของโหนดลำดับที่ 2.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

ค่าคงที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> จากระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของ ระบบนี้คือ https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src="> ตามย่อหน้าก่อนหน้า ผลเฉลยทั่วไปของ Lod ลำดับที่ 2 จะกำหนดได้อย่างง่ายดายหากทราบผลเฉลยบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ วิธีการง่ายๆ สำหรับการค้นหาคำตอบบางส่วนของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ที่แนะนำโดย L. Euler..gif" width="25" height="26 src="> เราจะได้ สมการพีชคณิตซึ่งเรียกว่าคุณลักษณะ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (5.1) สำหรับค่า k เหล่านั้นเท่านั้น ที่เป็นรากของสมการคุณลักษณะ (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src="> มาตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้เป็นไปตามสมการ (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> แทนการแทนที่นิพจน์เหล่านี้ เข้าไปในสมการ (5.1) เราได้

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, เพราะ..gif" width="137" height="26 src= ">.

โซลูชันเฉพาะ https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> มีความเป็นอิสระเชิงเส้น เนื่องจาก..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" ความสูง = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

วงเล็บทั้งสองข้างทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้จะเท่ากันกับ zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> คือ การแก้สมการ (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> จะมีลักษณะดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

แสดงเป็นผลรวมของโซลูชันทั่วไป https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

และวิธีแก้ปัญหาเฉพาะใด ๆ https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> จะเป็นคำตอบของสมการ (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x) ความเท่าเทียมกันนี้เป็นเอกลักษณ์ เพราะว่า..gif" width="128" height="25 src="> f(x) ดังนั้น.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> เป็นคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการนี้ ดังนั้น:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> และปัจจัยดังกล่าว ตามที่เราเห็นข้างต้น ไม่ใช่ศูนย์..gif" width="19" height="25 src="> จากระบบ ของสมการ (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> จะแก้สมการ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> ลงในสมการ (6.5) เราได้

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> สมการ (7.1) ในกรณีที่ด้านขวา f(x) มี ชนิดพิเศษ. วิธีนี้เรียกว่าวิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนและประกอบด้วยการเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยขึ้นอยู่กับประเภทของ f(x) ทางขวามือ พิจารณาทางด้านขวามือของแบบฟอร์มต่อไปนี้:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> สามารถเป็นศูนย์ได้ ให้เราระบุแบบฟอร์มที่ต้องดำเนินการแก้ไขปัญหาเฉพาะในกรณีนี้

ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

สารละลาย.

สำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= ">

เราย่อทั้งสองส่วนให้สั้นลงเป็น https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> ทางด้านซ้ายและ ชิ้นส่วนที่ถูกต้องความเท่าเทียมกัน

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

จากระบบสมการผลลัพธ์ เราพบ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป สมการที่กำหนดมี:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

สารละลาย.

สมการคุณลักษณะที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src="> สุดท้าย เรามี การแสดงออกครั้งต่อไปสำหรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> ยอดเยี่ยม จากศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในกรณีนี้

ก) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> เป็นรากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ (5..gif" ความกว้าง = "229 " ความสูง = "25 src = ">,

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

สารละลาย.

รากของสมการคุณลักษณะสำหรับสมการ https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.

ทางด้านขวาของสมการที่ให้ไว้ในตัวอย่างที่ 3 มีรูปแบบพิเศษ: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

เพื่อกำหนด https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > และแทนที่มันลงในสมการที่กำหนด:

อ้างอิงคำที่คล้ายกันโดยเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

คำตอบทั่วไปขั้นสุดท้ายของสมการที่กำหนดคือ: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> ตามลำดับ และหนึ่งในพหุนามเหล่านี้อาจเท่ากับศูนย์ ให้เราระบุประเภทของวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในกรณีทั่วไปนี้ .

ก) ถ้าเป็นตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

โดยที่ https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) หากตัวเลข https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ lndu จะมีลักษณะดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. ในนิพจน์ (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

ตัวอย่างที่ 4ระบุประเภทของคำตอบเฉพาะสำหรับสมการ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ Lodu มีรูปแบบ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

ค่าสัมประสิทธิ์เพิ่มเติม https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > มีวิธีแก้เฉพาะสำหรับสมการที่มีด้านขวา f1(x) และการเปลี่ยนแปลง" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">การเปลี่ยนแปลงของค่าคงที่ตามอำเภอใจ (วิธีลากรองจ์)

การหาคำตอบเฉพาะของสมการโดยตรง ยกเว้นในกรณีของสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และมีเงื่อนไขอิสระพิเศษนั้นเป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นในการค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการมักจะใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งทำให้สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอหากทราบระบบพื้นฐานของการแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน . วิธีการนี้มีดังนี้

จากที่กล่าวไว้ข้างต้น วิธีแก้ทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือ:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ไม่ใช่ค่าคงที่ แต่มีฟังก์ชันบางอย่างของ f(x) ที่ยังไม่ทราบแน่ชัด . จะต้องนำมาจากช่วงเวลา ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่เป็นศูนย์ในทุกจุดของช่วงเวลา นั่นคือ ในพื้นที่ทั้งหมด - รากที่ซับซ้อนของสมการลักษณะเฉพาะ..gif" width="20" height="25 src="> คำตอบบางส่วนอิสระเชิงเส้นของแบบฟอร์ม:

ในสูตรการแก้ปัญหาทั่วไป รากนี้สอดคล้องกับนิพจน์ของแบบฟอร์ม

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เรามาพิจารณากันต่อไป สมการเชิงอนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร (หรือไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร) ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา. หลักการแก้ปัญหามากมายและ แนวคิดพื้นฐานดังนั้นตัวกระจายลำดับแรกจะขยายไปยังสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าโดยอัตโนมัติ มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจสมการลำดับที่หนึ่งก่อน.

ผู้อ่านหลายคนอาจมีอคติว่าการควบคุมระยะไกลของคำสั่งที่ 2, 3 และคำสั่งอื่น ๆ เป็นสิ่งที่ยากมากและไม่สามารถเข้าถึงได้ นี่เป็นสิ่งที่ผิด . เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาการแพร่กระจาย การสั่งซื้อสินค้าที่สูงขึ้นแทบจะไม่ซับซ้อนกว่า DE ลำดับที่ 1 "ธรรมดา". และในบางสถานที่ก็ง่ายกว่านั้นอีก เนื่องจากโซลูชันต่างๆ ใช้สื่อการสอนจากหลักสูตรของโรงเรียนอย่างจริงจัง

ที่นิยมมากที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง. สู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง อย่างจำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสองและ ไม่รวม

ควรสังเกตว่าทารกบางคน (และแม้แต่ทั้งหมดพร้อมกัน) อาจขาดหายไปจากสมการ สิ่งสำคัญคือพ่อต้องอยู่บ้าน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองดั้งเดิมที่สุดมีลักษณะดังนี้:

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามใน งานภาคปฏิบัติพบได้น้อยกว่ามากตามการสังเกตส่วนตัวของฉัน รัฐดูมาพวกเขาจะได้คะแนนเสียงประมาณ 3-4%

ถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม อย่างจำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสามและ ไม่รวมอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่า:

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้: – พ่ออยู่ที่บ้าน ลูก ๆ ทุกคนออกไปเดินเล่น

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 4, 5 และสูงกว่าได้ ในปัญหาในทางปฏิบัติระบบควบคุมดังกล่าวไม่ค่อยล้มเหลว แต่ฉันจะพยายามยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง

สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าซึ่งเสนอไว้ในปัญหาเชิงปฏิบัติสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก

1) กลุ่มแรก - สิ่งที่เรียกว่า สมการที่สามารถลดลงตามลำดับได้. มาเร็ว!

2) กลุ่มที่สอง – สมการเชิงเส้นคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่. ซึ่งเราจะเริ่มดูกันตอนนี้เลย

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ สมการดังกล่าวแบ่งออกเป็นสองประเภท: สมการเอกพันธ์และ สมการที่ไม่เหมือนกัน.

DE ลำดับที่สองที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่มันมี มุมมองถัดไป:
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ (ตัวเลข) และทางด้านขวา – อย่างเคร่งครัดศูนย์.

อย่างที่คุณเห็นไม่มีปัญหากับสมการเอกพันธ์โดยเฉพาะสิ่งสำคัญคือ แก้สมการกำลังสองให้ถูกต้อง.

บางครั้งอาจมีสมการเอกพันธ์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น สมการในรูปแบบ โดยที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าคงที่ที่แตกต่างจากความสามัคคี (และโดยธรรมชาติแล้วจะแตกต่างจากศูนย์) อัลกอริธึมการแก้ปัญหาไม่เปลี่ยนแปลงเลย คุณควรเขียนสมการคุณลักษณะอย่างใจเย็นและค้นหารากของมัน ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ จะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ เช่น จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนตามรูปแบบปกติ: .

ในบางกรณี เนื่องจากการพิมพ์ผิดในสภาพ รากที่ "ไม่ดี" อาจส่งผลให้บางอย่างเช่น . จะทำอย่างไรคำตอบจะต้องเขียนดังนี้:

ด้วย”สารเลว”คอนจูเกตที่มีรากซับซ้อนเช่น ไม่มีปัญหาเช่นกัน วิธีแก้ไขทั่วไป:

นั่นคือ, มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปอยู่แล้ว. เพราะสมการกำลังสองใดๆ มีสองราก

ในย่อหน้าสุดท้าย ตามที่ข้าพเจ้าสัญญาไว้ เราจะพิจารณาโดยสังเขป:

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า

ทุกอย่างคล้ายกันมาก

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสามมีรูปแบบดังนี้:
โดยที่ค่าคงที่
สำหรับสมการนี้ คุณต้องสร้างสมการคุณลักษณะและหารากของมันด้วย สมการคุณลักษณะตามที่หลายคนคาดเดามีลักษณะดังนี้:
, และมัน ถึงอย่างไรมันมี สามอย่างแน่นอนราก

ตัวอย่างเช่น รากทั้งหมดเป็นจริงและแตกต่าง: จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:

ถ้ารากหนึ่งมีจริง และอีกสองรากมีความซับซ้อน เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:

เป็นกรณีพิเศษเมื่อทั้งสามรากทวีคูณ (เหมือนกัน) ลองพิจารณา DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ง่ายที่สุดของลำดับที่ 3 กับพ่อที่โดดเดี่ยว: . สมการคุณลักษณะมีรากที่เป็นศูนย์ตรงกันสามตัว เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:

ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ ตัวอย่างเช่น มีหลายราก ดังนั้นคำตอบทั่วไปจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามเอกพันธ์

สารละลาย:มาเขียนและแก้สมการคุณลักษณะกัน:

, – ได้รับรากจริงหนึ่งรากและรากที่ซับซ้อนคอนจูเกตสองอัน

คำตอบ:การตัดสินใจร่วมกัน

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สี่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: โดยที่ ค่าคงที่