ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

1 บทนำ

ให้ห่างไกล ครั้งประวัติศาสตร์มนุษย์ต้องค่อยๆ เข้าใจไม่เพียงแต่ศิลปะแห่งการนับเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจการวัดด้วย เมื่อสร้างเครื่องมือที่ง่ายที่สุด สร้างบ้าน หาอาหาร จำเป็นต้องวัดระยะทาง จากนั้นจึงวัดพื้นที่ ภาชนะบรรจุ มวล เวลา บรรพบุรุษของเรามีส่วนสูงเพียงแขนและขาเท่านั้น ถ้าคนกำลังนับ

ถ้าเขาใช้นิ้วมือและนิ้วเท้า ก็ใช้แขนและขาของเขาในการวัดระยะทาง

ทุกวันนี้เราคำนวณเป็นเมตร เซนติเมตร กิโลเมตร ฯลฯ แบบไม่ต้องคิดเลย สะดวกดี ระบบแบบครบวงจรการวัดเหมาะกับเกือบทุกคน แต่แน่นอนว่ามันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป เริ่มตั้งแต่สมัยโบราณของลัทธินอกรีต จนถึงศตวรรษที่ 19 บรรพบุรุษของเราใช้หน่วยวัดและหน่วยอื่นๆ เรามักจะได้ยินคำว่า นิ้ว เข้าใจ แต่เราไม่รู้ว่าคำนี้แปลเป็นหน่วยความยาวที่คุ้นเคยได้มากน้อยเพียงใด

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก:ฉันเริ่มสนใจการวัดความยาวที่ "ผิดปกติ" ซึ่งถูกกล่าวถึงซ้ำแล้วซ้ำอีก งานวรรณกรรม(นิ้วในงานของ H.H. Andersen เข้าใจในภาษารัสเซีย นิทานพื้นบ้านฯลฯ) และฉันตัดสินใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับมาตรการเหล่านี้ และสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบการวัดแบบเก่าและใหม่

วัตถุประสงค์ของการศึกษา:ศึกษา มาตรการโบราณความยาวเปรียบเทียบกับระบบการวัดใหม่

สมมติฐาน:ปัจจุบันใช้หน่วยวัดความยาวแบบโบราณได้แม่นยำและสมบูรณ์แบบเพียงใด?

หัวข้อการวิจัย:การวัดความยาวแบบรัสเซียโบราณ

งาน:

ทำความคุ้นเคยกับระบบการวัดที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ - สร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบการวัดแบบเก่าและระบบใหม่

ติดตามภาพสะท้อนของมาตรการเก่าๆ ในนิทานพื้นบ้านของรัสเซีย

วิธีการวิจัย:

การวิเคราะห์วรรณกรรมที่ใช้;- งานภาคปฏิบัติ(การวัดระยะทาง ส่วนสูง ส่วนสูง ความยาว เป็นหน่วยโบราณ)

ค้นหาข้อมูลบนอินเทอร์เน็ตทั่วโลก

ปรึกษากับผู้เชี่ยวชาญในสาขาคณิตศาสตร์

2. ส่วนหลัก

ตั้งแต่สมัยโบราณ การวัดความยาวและน้ำหนักเป็นเรื่องของบุคคลมาโดยตลอด: เขาสามารถยืดแขนได้ไกลแค่ไหน, เขายกไหล่ได้มากแค่ไหน เป็นต้น

ระบบการวัดความยาวของรัสเซียโบราณประกอบด้วยการวัดพื้นฐานดังต่อไปนี้: verst, fathom, arshin, ข้อศอก, span และ vershok

2.1อาร์ชิน

Arshin เป็นหน่วยวัดความยาวของรัสเซียโบราณ (จากคำภาษาเปอร์เซีย "arsh" - "ข้อศอก") ซึ่งเท่ากับ 71 ซม. วัดจากนิ้วกลางถึงไหล่ จึงเป็นที่มาของคำว่า “Measure by your own yardstick” อาร์ชินแบ่งออกเป็น 16 เวอร์โชก เมื่อพวกเขาพูดถึงความสูงของบุคคล พวกเขาระบุเพียงจำนวนเวอร์โชกที่เขาเกิน 2 อาร์ชิน ดังนั้นคำว่า "ชายสูง 12 นิ้ว" หมายความว่าความสูงของเขาคือ 2 อาร์ชิน 12 นิ้วนั่นคือ 196 ซม. 3 อาร์ชินเป็นหนึ่งวา อาร์ชินยังเป็นชื่อที่มอบให้กับไม้บรรทัดวัด ซึ่งมักจะใช้การแบ่งใน vershoks

กิน รุ่นที่แตกต่างกันที่มาของการวัดความยาวอาร์ชิน บางทีในขั้นต้น "อาร์ชิน" แสดงถึงความยาวของก้าวของมนุษย์ (ประมาณเจ็ดสิบเซนติเมตรเมื่อเดินบนที่ราบด้วยความเร็วเฉลี่ย) และเป็นค่าฐานสำหรับการวัดขนาดใหญ่อื่น ๆ ในการกำหนดความยาวระยะทาง (ความลึก, verst) ราก "AR" ในคำว่า a r sh i n - in ภาษารัสเซียเก่า(และที่ใกล้เคียง) หมายถึง "EARTH" "พื้นผิวโลก" และบ่งชี้ว่าการวัดนี้สามารถใช้ในการกำหนดความยาวของเส้นทางที่เดินเท้าได้ มีอีกชื่อหนึ่งสำหรับการวัด STEP นี้

พ่อค้าตามกฎแล้วเมื่อขายสินค้าให้วัดด้วยอาร์ชิน (ไม้บรรทัด) หรือวัดอย่างรวดเร็ว "จากไหล่" เพื่อหลีกเลี่ยงไม่ให้มีขนาดใหญ่เกินไป

เจ้าหน้าที่ได้แนะนำ "อาร์ชินอย่างเป็นทางการ" ตามมาตรฐานซึ่งเป็นไม้บรรทัดไม้ที่มีปลายโลหะและมีเครื่องหมายสถานะตรึงอยู่ที่ปลาย STEP - ความยาวเฉลี่ยของก้าวของมนุษย์ = 71 ซม. หนึ่งในการวัดความยาวที่เก่าแก่ที่สุด

“ พ่อค้าทุกคนวัดด้วยอาร์ชินของเขาเอง” - เกี่ยวกับบุคคลที่ตัดสินทุกสิ่งด้วยตัวเองตามความสนใจของตนเอง พ่อค้าแต่ละคนวัดด้วยความสูง 71 ซม. ของเขาเอง

2.2. Verst

Versta - จากคำว่า Vert ซึ่งเป็นมาตรการวัดการเดินทางของรัสเซียแบบเก่า (นั่นคือ ชื่อต้น- ""สนาม""). เดิมคำนี้หมายถึงระยะทางที่เดินทางจากคันไถหนึ่งไปยังอีกคันหนึ่งระหว่างการไถ ทั้งสองชื่อนี้ใช้คู่ขนานกันมานานแล้วเป็นคำพ้องความหมาย แหล่งอ้างอิงที่รู้จักใน แหล่งที่เป็นลายลักษณ์อักษรศตวรรษที่ 11 ในต้นฉบับของศตวรรษที่ 15 มีบันทึกว่า “ทุ่งนากว้าง 7 ร้อยวา 50 วา” (ยาว 750 วา) ก่อนที่ซาร์อเล็กซี่ มิคาอิโลวิช 1 คำจะถือว่า 1,000 ห่าม ภายใต้พระเจ้าปีเตอร์มหาราช หนึ่งคำมีค่าเท่ากับ 500 ห่าม ในแง่สมัยใหม่ - 213.36 X 500 = 1,066.8 ม. "Verstoy" เรียกอีกอย่างว่าหลักไมล์บนถนน

ขอบเขตไมล์- (จากคำว่า ขอบเขต - เส้นขอบ การถือครองที่ดินในรูปแบบของแถบแคบ) เป็นหน่วยวัดรัสเซียเก่าที่มีขนาดเท่ากับสอง versts ลึก 1,000 ฟาทอม (2.16 กม.) ถูกใช้อย่างกว้างขวางเป็นการวัดขอบเขต โดยปกติเมื่อกำหนดทุ่งหญ้ารอบๆ เมืองใหญ่ๆและในเขตชานเมืองของรัสเซียโดยเฉพาะในไซบีเรีย - และเพื่อวัดระยะทางระหว่างพื้นที่ที่มีประชากร

บท Kolomenskaya- "ชายร่างใหญ่" - ชื่อที่ตลกขบขันมาก ชายสูง- ย้อนกลับไปในสมัยของซาร์อเล็กเซ มิคาอิโลวิช ผู้ทรงครองราชย์ระหว่างปี 1545 ถึง 1576 เขาสั่งให้วางเสาที่มีพยุหะอยู่ด้านบนไปตามถนนที่ทอดจากด่านหน้า Kaluga ของมอสโกไปยังพระราชวังฤดูร้อนในหมู่บ้าน Kolomenskoye ในระยะห่าง 700 ความลึกจากกัน ความสูงของแต่ละคนอยู่ที่ประมาณสองฟาทอม (4 เมตร)

“ จากคำพูดสู่การกระทำ - ทั้งไมล์” - นั่นคือสิ่งที่พวกเขาพูดเพื่อให้คนคุยโม้

ทำด้วยการกระทำ ไม่ใช่ด้วยคำพูด จากคำสู่การกระทำ - 1.067 กม.

2.3. ข้อศอก

ข้อศอก- เดิมที มาตรการรัสเซียเก่าความยาวซึ่งทราบกันดีอยู่แล้วในศตวรรษที่ 11 เท่ากับความยาวของแขนตั้งแต่นิ้วถึงศอกเป็นเส้นตรง ขนาดนี้ วัดที่เก่าแก่ที่สุดความยาวโดย แหล่งที่มาที่แตกต่างกันอยู่ระหว่าง 38 ถึง 47 ซม. ตั้งแต่ศตวรรษที่ 16 ก็ค่อยๆถูกแทนที่ด้วยอาร์ชินและในศตวรรษที่ 19 ก็แทบจะไม่ได้ใช้เลย ค่าศอกรัสเซียเก่าที่ 10.25-10.5 vershoks (โดยเฉลี่ยประมาณ 46-47 ซม.) ได้มาจากการเปรียบเทียบการวัดในวิหารเยรูซาเลมที่ทำโดยเจ้าอาวาสดาเนียลและการวัดในภายหลังในขนาดเดียวกันในสำเนาที่ถูกต้องของสิ่งนี้ วัดในวิหารหลักของอารามนิวเยรูซาเลมบนแม่น้ำอิสตรา (ศตวรรษที่ 17) ใช้ในการเกษตรกรรมเมื่อจำเป็นต้องวัดความยาวของเส้นด้ายขนสัตว์หรือเชือกป่านทำเอง (ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวพันรอบข้อศอก) ศอกถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้าขายเป็นมาตรการที่สะดวกเป็นพิเศษ ในการขายปลีกผ้าใบ ผ้า และผ้าลินิน ใช้หน่วยวัดหลักเป็นศอก ในการค้าส่งขนาดใหญ่ ผ้าลินิน ผ้า ฯลฯ มีลักษณะเป็น “ไปรษณีย์” ชิ้นใหญ่ ซึ่งมีความยาวเท่ากับ เวลาที่ต่างกันและในสถานที่ต่าง ๆ ก็มีตั้งแต่ 30 ถึง 60 ศอก (ในสถานที่ค้าขายมาตรการเหล่านี้มีความหมายเฉพาะเจาะจงและชัดเจน)

“ ข้อศอกอยู่ใกล้ แต่คุณจะไม่กัด” - เกี่ยวกับงานง่ายๆ แต่ไม่ได้ผล

2.4. เวอร์โชก

เวอร์โชก—หน่วยวัดเก่าของรัสเซีย เดิมเท่ากับความยาวของพรรคหลักของนิ้วชี้ คำนี้มาจาก "ยอด" นั่นคือหน่อหน่อ - ก้านที่โผล่ออกมาจากพื้นดิน หน่วยวัดนิ้วสมัยใหม่จะอยู่ที่ประมาณ 4.45 ซม.

vershok เท่ากับ 1/16 ของอาร์ชิน 1/4 ของหนึ่งในสี่ ใน วรรณกรรม XVIIวี. นอกจากนี้ยังมีเศษส่วนของนิ้ว - ครึ่งนิ้วและหนึ่งในสี่ของนิ้ว

คำว่า "VERSHOK" เป็นที่คุ้นเคยสำหรับทุกคน - เป็นคำที่สั้นและไม่มีนัยสำคัญ

เมื่อกำหนดความสูงของบุคคลหรือสัตว์ การนับจะดำเนินการหลังจากอาร์ชินสองตัว (บังคับสำหรับผู้ใหญ่ปกติ): หากว่ากันว่าบุคคลที่วัดได้มีความสูง 10 เวอร์โชกนั่นหมายความว่าเขาเป็น 2 อาร์ชิน 10 เวอร์โชก นั่นคือ 187 ซม. มีคำพูดเกี่ยวกับบุคคล เด็กที่ยังไม่บรรลุนิติภาวะยังบอกอยู่ว่า: “หม้ออยู่ห่างออกไปสองนิ้ว” สองนิ้วคือประมาณ 9 ซม. ไม่มีคนที่สูงขนาดนั้นซึ่งหมายถึง 2 อาร์ชินและ 2 นิ้ว ห่างจากหม้อ 2 นิ้ว 151.14 ซม. แปลว่าคนตัวเตี้ย

2.5. เข้าใจ

เข้าใจ- หนึ่งในการวัดความยาวที่พบบ่อยที่สุดใน Rus' มีจุดประสงค์ที่แตกต่างกันมากกว่าสิบหยั่งรู้ (และขนาดตามลำดับ)

การวัดความยาวโบราณนี้ถูกกล่าวถึงโดย Nestor ในปี 1017 ชื่อ เข้าใจ มาจากคำกริยาถึง (เอื้อม) - เอื้อมมือไปได้ไกลแค่ไหน เพื่อกำหนดความหมายของหยั่งรู้ของรัสเซียโบราณ การค้นพบหินที่แกะสลักไว้มีบทบาทสำคัญในการพิจารณา ตัวอักษรสลาฟจารึก: “ในฤดูร้อนปี 6576 (1,068) ข้อหา 6 วัน เจ้าชายเกลบวัดได้... 10,000 และ 4,000 ฟาทอม” จากการเปรียบเทียบผลลัพธ์นี้กับการวัดของนักภูมิประเทศจะได้ค่าหยั่งรู้ที่ 151.4 ซม. ผลลัพธ์ของการวัดวัดและมูลค่าของการวัดพื้นบ้านของรัสเซียใกล้เคียงกับค่านี้ มีเชือกวัดที่หยั่งได้และ "พับ" ไม้ซึ่งใช้ในการวัดระยะทางและในการก่อสร้าง

หยั่งรู้ง่ายๆ- ระยะห่างระหว่าง นิ้วหัวแม่มือยืดออกใน ฝั่งตรงข้ามมือมนุษย์ (เท่ากับประมาณ 152 ซม.)

มาชญาหทัย- ระยะห่างระหว่างปลายนิ้วกลางของมือที่เหยียดออกของบุคคลที่มีความสูงเฉลี่ยประมาณ 1.76 ม.

หยั่งรู้เฉียง- (เดิมเรียกว่า "เอียง") ระยะห่างจากนิ้วเท้าของเท้าขวา (ซ้าย) คนยืนไปจนถึงปลายนิ้วที่ยื่นออกไปในแนวทแยง

แขนซ้าย (ขวา) (เท่ากับประมาณ 216 ซม.) ใช้ในวลี: "เขามีหยั่งรู้ที่ไหล่" (ความหมาย - ฮีโร่, ยักษ์)

หยั่งรู้หลากหลาย

ตำรวจหญิง - 284.8 ซม.

โบสถ์ - 186.4 ซม.

พื้นบ้าน - 176.0 ซม.

ก่ออิฐ - 159.7 ซม.

เรียบง่าย - 150.8 ซม.

ยิ่งใหญ่ - 244.0 ซม.

กรีก - 230.4 ซม.

ก้น - 217.6 ซม.

รอยัล - 197.4 ซม.

มีการใช้หยั่งรู้ก่อนที่จะมีการแนะนำระบบการวัดแบบเมตริก

2.6. ช่วง

ช่วง- หนึ่งในการวัดความยาวที่เก่าแก่ที่สุด สะดวกเพราะทุกคนก็ถือติดตัวไปด้วยเหมือนข้อศอกและฝ่ามือ ช่วงคือระยะห่างระหว่างปลายนิ้วหัวแม่มือกางกับนิ้วชี้ (หรือนิ้วกลาง) สูง 17.78 ซม. มีความโดดเด่น: ช่วงเล็ก ช่วงใหญ่ และช่วงตีลังกา

“อย่ายอมแพ้แม้แต่นิดเดียว” - อย่ายอมแพ้แม้แต่สิ่งเล็กๆ น้อยๆ อย่ายอมแพ้แม้แต่ 27 ซม.

“ เจ็ดช่วงที่หน้าผาก” - ประมาณมาก คนฉลาด, 189 ซม. ที่หน้าผาก.

ช่วงขนาดใหญ่- ระยะห่างระหว่างปลาย นิ้วหัวแม่มือและนิ้วก้อย (22-23 ซม.)

ช่วงตีลังกา -โดยเพิ่มข้อนิ้วชี้ 2 ข้อ 27-31 ซม.

ช่วงเล็ก -ระยะห่างระหว่างปลายนิ้วหัวแม่มือที่ยื่นออกไปและนิ้วชี้

2.7 ปาล์ม

ปาล์ม -ในการวัดระยะทางเล็ก ๆ ให้ใช้ฝ่ามือ - นี่คือความกว้างของมือ ฝ่ามือเท่ากับ 1/6 ของศอก (หกศอกฝ่ามือ)

2.8 นิ้ว

นิ้ว -หน่วยวัดระยะทางและความยาวที่ไม่ใช่หน่วยเมตริกในระบบการวัดบางระบบ เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่า เดิมทีนิ้วถูกกำหนดให้เป็นความกว้างของนิ้วหัวแม่มือ นอกจากนี้อีกการเชื่อมต่อนิ้วด้วย ยาวสามเมล็ดข้าวบาร์เลย์แห้ง นำมาจากส่วนกลางของหูแล้ววางประกบปลายอีกด้านหนึ่ง คำว่านิ้วถูกนำมาใช้ในภาษารัสเซียโดยปีเตอร์คนแรกเมื่อต้นศตวรรษที่สิบแปด ความยาวนิ้วประมาณ 25.3 มม. หลังจากที่สหภาพโซเวียตเปลี่ยนมาใช้ระบบเมตริก นิ้วก็ถูกใช้ในขอบเขตที่จำกัด: ลำกล้องปืนใหญ่ "สามนิ้ว" บางอันเป็นปืนลำกล้อง 76.2 มม. และอาวุธเล็ก "สามแถว" 2 อันคือ 7.62 มม. ความยาวเล็บ, ความหนาของบอร์ด; เส้นผ่านศูนย์กลางของเกลียวท่อ ฯลฯ

2.9 ระบบสากลหน่วย

ในปี พ.ศ. 2503 XI CGPM ได้นำมาตรฐานที่ได้รับชื่อ "ระบบหน่วยสากล" มาใช้เป็นครั้งแรก และสร้างตัวย่อสากลสำหรับระบบนี้ "SI" หน่วยพื้นฐานในนั้นคือ เมตร กิโลกรัม วินาที แอมแปร์ องศาเคลวิน และแคนเดลา

เมื่อวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2506 GOST 9867-61 “ ระบบหน่วยระหว่างประเทศ” SI ได้รับการแนะนำในสหภาพโซเวียตตามที่ต้องการในทุกสาขาวิทยาศาสตร์เทคโนโลยีและ เศรษฐกิจของประเทศตลอดจนเมื่อมีการสอน

สรุป: ผมเชื่อว่าหน่วยวัดทั้งหมดที่ผมศึกษามาควรถอนออกจากการหมุนเวียนโดยเร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพราะว่าหน่วยวัดใดที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน เพราะ “ ระบบนี้การวัด" ไม่ได้สมบูรณ์แบบ เนื่องจากแต่ละคนมีความสูงและขนาดของตนเอง จึงชัดเจนว่าระบบการวัดดังกล่าวไม่สะดวกเพียงใด ดังนั้นเมื่อเวลาผ่านไปผู้คนจึงเปลี่ยนมาใช้ระบบเมตริก: หลังจากนั้นเมตรเดซิเมตรเซนติเมตรก็ไม่ขึ้นอยู่กับ

จากความสูงของบุคคล

2.10.ส่วนที่ใช้งานได้จริง

Verst

ฉันคำนวณระยะทางจากบ้านไปโรงเรียนเป็นไมล์

เวอร์โชก

ฉันตัดสินใจวัดความยาวของหนังสือให้เป็นค่าเฉลี่ย ได้รับการยอมรับการกำหนดนิ้วและด้วยผลการวัด

อาร์ชิน

ฉันวัดอาร์ชินของสมาชิกในครอบครัวของฉัน

ฉันวัดความสูงของสมาชิกในครอบครัวด้วยปทัฏฐาน

เข้าใจ

ฉันวัดความเข้าใจที่เรียบง่ายและเฉียงของสมาชิกในครอบครัว

ฉันวัดความยาวของห้องของฉันเป็นหน่วยหนึ่ง

ข้อศอก

ฉันวัดความยาวศอกของสมาชิกในครอบครัวทุกคน

ฉันวัดความสูงของสมาชิกในครอบครัวด้วยข้อศอก

ช่วง

ฉันวัดความสูงของเปียโนด้วยการกำหนดค่าเฉลี่ยที่ยอมรับและช่วงของฉัน

ปาล์ม

ฉันวัดความยาวของเปียโนด้วยฝ่ามือโดยใช้เครื่องหมายเฉลี่ยและด้วยฝ่ามือ

นิ้ว

ฉันวัดความสูงของกระจกเป็นนิ้วและความกว้างของนิ้วหัวแม่มือด้วย

3.บทสรุป

ในระหว่างงานของฉัน ฉันค้นพบว่าการวัดความยาวแบบโบราณมีอยู่ในสมัยโบราณอย่างไร และเปรียบเทียบกับระบบการวัดแบบใหม่ ในระหว่างการวิจัย ฉันพบว่าระยะทางจากบ้านไปโรงเรียนคือระยะทางเท่าไร ก้าว ฝ่ามือ ช่วงข้อศอกของสมาชิกทุกคนในครอบครัว ความยาวเป็นหนึ่งในคนแรก แนวคิดทางเรขาคณิต, เข้ามาโดยบุคคล การวัดความยาวครั้งแรกเป็นไปตามธรรมชาติและง่ายที่สุด Elbow, arshin, span, step - มาตรการเหล่านี้อยู่กับคุณเสมอ แต่เนื่องจากไม่ถูกต้อง คนละคนหน่วยเหล่านี้แตกต่างกัน และแม้จะไม่ได้ใช้มาตรการเหล่านี้เหมือนเมื่อก่อน แต่ก็ยังสะท้อนให้เห็นในนิทานพื้นบ้านและยังคงใช้มาจนทุกวันนี้สะท้อนถึงภูมิปัญญาของประชาชน

เมื่อสิ้นสุดงาน ฉันรู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งกับงานที่ทำเป็นครั้งแรกภายใต้คำแนะนำของครูและผู้ปกครอง และฉันหวังว่างานนี้จะออกมาดีสำหรับฉัน

4.วรรณกรรม

ดาล วี.ไอ. สุภาษิตของชาวรัสเซีย M. , "Astrel", 2551

ลักษณะระเบียบวิธีของการเรียนคณิตศาสตร์ มาตรการรัสเซียโบราณ Subbotina A.A. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 MBOU "โรงเรียนมัธยม Ilyinskaya หมายเลข 1" เขต Ilyinsky, Elena Borisovna Putilova ครูสอนคณิตศาสตร์ประเภทแรก ระดับการใช้งาน, 2015.

3. http:// rusprawda.info การวัดความยาวของรัสเซียโบราณ

4. http://philolog.petrusu.ru/dahl/html/texst.hlm.-ตำรางานโดย Vladimir Ivanovich Dahl

5. http://ru.wikipedia.org ระบบหน่วยการวัด - Wikipedia

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) ของพวกเขา คุณสมบัติพื้นฐานนำเสนอในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	ย= บาป x	ย= เพราะ x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ ย ≤ 1	-1 ≤ ย ≤ 1
เพิ่มขึ้น
จากมากไปน้อย
แม็กซิมา, y = 1
ขั้นต่ำ, y = - 1
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย= 0	ย= 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

- - การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

พิกัด xจุดที่วางอยู่บนวงกลมจะเท่ากับ cos(θ) และพิกัด ยสอดคล้องกับ sin(θ) โดยที่ θ คือขนาดของมุม

• หากคุณพบว่ามันยากที่จะจำกฎนี้ เพียงจำไว้ว่าในคู่ (cos; sin) “ไซน์จะมาทีหลัง”
• กฎนี้สามารถได้มาโดยการพิจารณา สามเหลี่ยมมุมฉากและคำจำกัดความของข้อมูล ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(ไซน์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนความยาวของด้านตรงข้าม และโคไซน์เท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก)

เขียนพิกัดของจุดสี่จุดบนวงกลม "วงกลมหน่วย" คือวงกลมที่มีรัศมี เท่ากับหนึ่ง- ใช้สิ่งนี้เพื่อกำหนดพิกัด xและ ยที่จุดตัดสี่จุดของแกนพิกัดกับวงกลม เพื่อความชัดเจนข้างต้น เราได้กำหนดจุดเหล่านี้เป็น "ตะวันออก" "เหนือ" "ตะวันตก" และ "ใต้" แม้ว่าจะไม่ได้ตั้งชื่อไว้ก็ตาม

• “ทิศตะวันออก” ตรงกับจุดที่มีพิกัด (1; 0) .
• “ทิศเหนือ” ตรงกับจุดที่มีพิกัด (0; 1) .
• “ทิศตะวันตก” ตรงกับจุดที่มีพิกัด (-1; 0) .
• “ทิศใต้” ตรงกับจุดที่มีพิกัด (0; -1) .
• ซึ่งคล้ายกับกราฟปกติ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องจดจำค่าเหล่านี้ เพียงจำหลักการพื้นฐานไว้

จำพิกัดของจุดในจตุภาคแรกจตุภาคแรกจะอยู่ที่มุมขวาบนของวงกลมซึ่งมีพิกัดอยู่ xและ ยยอมรับ ค่าบวก- นี่เป็นพิกัดเดียวที่คุณต้องจำ:

• จุด π / 6 มีพิกัด () ;
• จุด π / 4 มีพิกัด () ;
• จุด π / 3 มีพิกัด () ;
• โปรดทราบว่าตัวเศษรับค่าเพียงสามค่าเท่านั้น หากคุณเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวก (จากซ้ายไปขวาตามแนวแกน xและจากล่างขึ้นบนตามแนวแกน ย) ตัวเศษรับค่า 1 → √2 → √3

วาดเส้นตรงและกำหนดพิกัดของจุดตัดกับวงกลมหากคุณวาดเส้นแนวนอนและแนวตั้งตรงจากจุดหนึ่งในจตุภาค จุดที่สองของจุดตัดกันของเส้นเหล่านี้กับวงกลมจะมีพิกัด xและ ยมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถวาดเส้นแนวนอนและแนวตั้งจากจุดของจตุภาคแรกและกำหนดจุดตัดกันด้วยวงกลมที่มีพิกัดเดียวกัน แต่ในขณะเดียวกันก็เว้นที่ว่างทางด้านซ้ายสำหรับเครื่องหมายที่ถูกต้อง ("+" หรือ "-").

• ตัวอย่างเช่น เราสามารถวาดเส้นแนวนอนระหว่างจุด π/3 ถึง 2π/3 เนื่องจากจุดแรกมีพิกัด ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))) พิกัดของจุดที่สองจะเป็น (? 1 2 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))) โดยที่แทนที่จะเป็นเครื่องหมาย "+" หรือ "-" จะมีเครื่องหมายคำถามอยู่
• ใช้วิธีการที่ง่ายที่สุด: ให้ความสนใจกับตัวส่วนของพิกัดของจุดเป็นเรเดียน จุดทุกจุดที่มีตัวส่วน 3 มีเท่ากัน ค่าสัมบูรณ์พิกัด เช่นเดียวกับคะแนนที่มีตัวส่วน 4 และ 6

ในการกำหนดเครื่องหมายของพิกัดให้ใช้กฎสมมาตรมีหลายวิธีในการพิจารณาว่าจะวางเครื่องหมาย "-" ไว้ที่ใด:

• จำกฎพื้นฐานสำหรับแผนภูมิปกติ แกน xลบทางด้านซ้ายและบวกทางด้านขวา แกน ยค่าลบจากด้านล่างและค่าบวกจากด้านบน
• เริ่มจากจตุภาคแรกแล้วลากเส้นไปยังจุดอื่นๆ หากเส้นตัดผ่านแกน ย,ประสานงาน xจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมัน หากเส้นตัดผ่านแกน xสัญลักษณ์พิกัดจะเปลี่ยนไป ย;
• โปรดจำไว้ว่าในจตุภาคแรก ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นบวก ในจตุภาคที่สอง มีเพียงไซน์เท่านั้นที่เป็นบวก ในจตุภาคที่สาม เฉพาะแทนเจนต์เท่านั้นที่เป็นบวก และในจตุภาคที่สี่ มีเพียงโคไซน์เท่านั้นที่เป็นบวก
• ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีใดก็ตาม คุณควรได้รับ (+,+) ในจตุภาคแรก (-,+) ในจตุภาคที่สอง (-,-) ในจตุภาคที่สาม และ (+,-) ในจตุภาคที่สี่

ตรวจสอบว่าคุณทำผิดพลาดหรือไม่ด้านล่างคือ รายการทั้งหมดพิกัดจุด “พิเศษ” (ยกเว้นจุดสี่จุดบน แกนประสานงาน) หากคุณเคลื่อนที่ไปตามวงกลมหน่วยทวนเข็มนาฬิกา โปรดจำไว้ว่าในการกำหนดค่าทั้งหมดนี้ ก็เพียงพอที่จะจำพิกัดของจุดในจตุภาคแรกเท่านั้น:

• จตุภาคแรก: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• จตุภาคที่สอง: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• จตุภาคที่สาม: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• จตุภาคที่สี่: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก- ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อระบุ รากที่สอง- หากต้องการระบุเศษส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์ "/"

ดูเพิ่มเติมวัสดุที่มีประโยชน์:

สำหรับ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ค้นหาที่จุดตัดของเส้นที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรามองหาคอลัมน์ที่มีส่วนหัวของไซน์ (ไซน์) และค้นหาจุดตัดของคอลัมน์ตารางนี้มีแถว "30 องศา" ที่จุดตัดของพวกเขาเราจะอ่านผลลัพธ์ - ครึ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราก็พบว่า โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ไซน์ (ไซน์) และแถว 60 องศาที่เราพบ ค่าบาป 60 = √3/2) เป็นต้น ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ ก็พบในลักษณะเดียวกัน

ไซน์พาย, โคไซน์พาย, แทนเจนต์พาย และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางด้านล่างของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็น ให้ไว้เป็นเรเดียน- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลข pi แสดงถึงการพึ่งพาเส้นรอบวงอย่างชัดเจน การวัดระดับมุม. ดังนั้น ไพ เรเดียน จึงเท่ากับ 180 องศา

จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็นรูปพาย (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ปี่.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้นไซน์ของพายจึงเหมือนกับไซน์ของ 180 องศาและเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้นโคไซน์ของพายจึงเหมือนกับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ pi จึงเหมือนกับแทนเจนต์ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าทั่วไป)

ค่ามุม α (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน (ผ่านพี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	กะรัต (โคแทนเจนต์)	วินาที (ตัด)	โคเซค (โคซีแคนต์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	พาย/12			2 - √3	2 + √3
30	พาย/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	พาย/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	พาย/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการระบุเส้นประแทนค่าฟังก์ชัน (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) หมายความว่าเมื่อใด มูลค่าที่กำหนดฟังก์ชันนี้ไม่มีการวัดระดับของมุม ค่าที่แน่นอน- หากไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์ว่างเปล่า หมายความว่าเรายังไม่ได้เข้าไป ค่าที่ต้องการ- เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้สอบถามเข้ามาหาเราและเสริมตารางด้วยค่าใหม่ แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ ปัญหา.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมยอดนิยม
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข “ตามตาราง Bradis”)

มุม α ค่า (องศา)	ค่ามุม α ในหน่วยเรเดียน	บาป (ไซน์)	คอส (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	CTG (โคแทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

บทความนี้ประกอบด้วย ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์- ขั้นแรกเราจะจัดทำตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πเรเดียน). หลังจากนี้เราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดย V. M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
• แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 หน้า: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2