ลอการิทึมของ 1,000 ถึงฐาน 0 5 ลอการิทึมคืออะไร

คำนิยาม

ลอการิทึมทศนิยมเรียกว่าลอการิทึมฐาน 10:

Title="แสดงผลโดย QuickLaTeX.com">!}

ลอการิทึมนี้เป็นคำตอบของสมการเลขชี้กำลัง บางครั้ง (โดยเฉพาะในวรรณคดีต่างประเทศ) ลอการิทึมทศนิยมยังถูกกำหนดให้เป็น แม้ว่าการกำหนดสองตัวแรกจะมีอยู่ในลอการิทึมธรรมชาติก็ตาม

ตารางลอการิทึมทศนิยมชุดแรกได้รับการตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เฮนรี บริกส์ (ค.ศ. 1561-1630) ในปี ค.ศ. 1617 (ดังนั้น นักวิทยาศาสตร์ต่างชาติจึงมักเรียกลอการิทึมฐานสิบว่าบริกส์) แต่ตารางเหล่านี้มีข้อผิดพลาด อ้างอิงจากตาราง (1783) ของ Georg Barthalomew Vega นักคณิตศาสตร์ชาวสโลวีเนียและออสเตรีย (Juri Veha หรือ Vehovec, 1754-1802) ในปี 1857 นักดาราศาสตร์และนักสำรวจชาวเยอรมัน Karl Bremiker (1804-1877) ได้ตีพิมพ์ฉบับพิมพ์ครั้งแรกโดยไม่มีข้อผิดพลาด ด้วยการมีส่วนร่วมของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียและอาจารย์ Leonty Filippovich Magnitsky (Telyatin หรือ Telyashin, 1669-1739) ตารางลอการิทึมชุดแรกจึงถูกตีพิมพ์ในรัสเซียในปี 1703 ลอการิทึมทศนิยมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณ

คุณสมบัติของลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมนี้มีคุณสมบัติทั้งหมดที่มีอยู่ในลอการิทึมจนถึงฐานใดก็ได้:

1. ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

5. .

7. การเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่:

ฟังก์ชันลอการิทึมทศนิยมเป็นฟังก์ชัน กราฟของเส้นโค้งนี้มักเรียกว่า ลอการิทึม.

คุณสมบัติของฟังก์ชัน y=lg x

1) ขอบเขตคำจำกัดความ: .

2) ความหมายหลายประการ: .

3) ฟังก์ชั่นทั่วไป

4) ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่แบบคาบ

5) กราฟของฟังก์ชันตัดแกน x ที่จุด

6) ช่วงเวลาของความสม่ำเสมอของเครื่องหมาย: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} นั่นสำหรับ

พวกเขามักจะใช้หมายเลขสิบ ลอการิทึมของตัวเลขที่มีฐานสิบเรียกว่า ทศนิยม- เมื่อทำการคำนวณโดยใช้ลอการิทึมทศนิยม เป็นเรื่องปกติที่จะดำเนินการโดยใช้เครื่องหมาย แอลจี, ไม่ บันทึก- ในกรณีนี้จะไม่ระบุหมายเลขสิบซึ่งกำหนดฐาน ใช่ เรามาแทนที่กันเถอะ บันทึก 10 105เพื่อให้ง่ายขึ้น แอลจี105- ก บันทึก 10 2บน แอลจี2.

สำหรับ ลอการิทึมทศนิยมคุณลักษณะแบบเดียวกับที่ลอการิทึมมีฐานที่มากกว่าหนึ่งนั้นเป็นเรื่องปกติ กล่าวคือ ลอการิทึมทศนิยมมีลักษณะเฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น ลอการิทึมฐานสิบของตัวเลขที่มากกว่า 1 ถือเป็นค่าบวก และลอการิทึมของตัวเลขที่น้อยกว่า 1 ถือเป็นค่าลบ ของจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัว จำนวนที่มากกว่านั้นเทียบเท่ากับลอการิทึมทศนิยมที่มากกว่า เป็นต้น นอกจากนี้ ลอการิทึมฐานสิบยังมีคุณลักษณะเฉพาะและลักษณะเฉพาะ ซึ่งอธิบายว่าทำไมจึงสบายใจที่จะเลือกใช้เลขสิบเป็นฐานของลอการิทึม

ก่อนที่จะตรวจสอบคุณสมบัติเหล่านี้ ให้เราทำความคุ้นเคยกับสูตรต่อไปนี้ก่อน

ส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึมทศนิยมของตัวเลข กเรียกว่า ลักษณะเฉพาะและเศษส่วนก็คือ แมนทิสซาลอการิทึมนี้

ลักษณะของลอการิทึมฐานสิบของตัวเลข กถูกระบุเป็น และแมนทิสซาเป็น (lg ก}.

สมมุติว่า log 2 data 0.3010 ตามนั้น = 0, (log 2) data 0.3010

ในทำนองเดียวกันสำหรับบันทึก 543.1 µ2.7349 ดังนั้น = 2, (บันทึก 543.1)µ 0.7349

การคำนวณลอการิทึมทศนิยมของจำนวนบวกจากตารางมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย

คุณลักษณะเฉพาะของลอการิทึมทศนิยม

เครื่องหมายแรกของลอการิทึมฐานสิบจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบซึ่งแสดงด้วยหนึ่งตามด้วยศูนย์จะเป็นจำนวนเต็มบวกเท่ากับจำนวนศูนย์ในบันทึกของหมายเลขที่เลือก .

ลองเอาบันทึก 100 = 2, บันทึก 1 00000 = 5 กัน

โดยทั่วไปแล้วหาก

ที่ ก= 10n ซึ่งเราได้รับ

lg a = lg 10 n = n lg 10 =n.

สัญญาณที่สองลอการิทึมสิบของทศนิยมบวกซึ่งแสดงเป็นค่าที่มีศูนย์นำหน้าคือ - n, ที่ไหน n- จำนวนศูนย์ในการเป็นตัวแทนของตัวเลขนี้โดยคำนึงถึงจำนวนเต็มเป็นศูนย์

ลองพิจารณาดู , บันทึก 0.001 = - 3 บันทึก 0.000001 = -6

โดยทั่วไปแล้วหาก

,

ที่ ก= 10-n และปรากฎว่า

lga= แอลจี 10n =-n บันทึก 10 =-n

สัญญาณที่สามลักษณะของลอการิทึมทศนิยมของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่มากกว่า 1 จะเท่ากับจำนวนหลักในส่วนจำนวนเต็มของจำนวนนี้โดยไม่รวมหนึ่ง

มาวิเคราะห์คุณสมบัตินี้: 1) ลักษณะของลอการิทึม lg 75.631 เท่ากับ 1

แท้จริงแล้ว 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

แอลจี 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

สืบเนื่องมาจากเรื่องนี้

บันทึก 75.631 = 1 +b,

การเลื่อนจุดทศนิยมในเศษส่วนทศนิยมไปทางขวาหรือซ้ายเทียบเท่ากับการดำเนินการคูณเศษส่วนนี้ด้วยกำลัง 10 ด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม n(บวกหรือลบ) ดังนั้น เมื่อจุดทศนิยมในเศษส่วนทศนิยมบวกเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวา แมนทิสซาของลอการิทึมทศนิยมของเศษส่วนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้น (บันทึก 0.0053) = (บันทึก 0.53) = (บันทึก 0.0000053)

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก นี้สามารถเห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ จริงๆ แล้ว นิยามของลอการิทึม:

ฐานลอการิทึมของ x คือกำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้ x

สัญลักษณ์: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่แท้จริง

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:

[คำบรรยายภาพ]

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น

เราเข้าใจคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังเท่าใดจึงจะได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข โดยไม่จำเป็นต้องทราบ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนปัญหาได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้เรามาดูรูปแบบทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. เราได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

[คำบรรยายภาพ]

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. เราได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. เราได้รับคำตอบ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

1. ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
2. จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ และหากไม่สามารถรวบรวมตัวประกอบดังกล่าวเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันได้ จำนวนเดิมก็ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดสังเกตด้วยว่าจำนวนเฉพาะนั้นมักจะเป็นกำลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ เรากำลังพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้