มันเรียกว่าลอการิทึม คุณสมบัติของลอการิทึมและตัวอย่างการแก้ปัญหา

นิพจน์ลอการิทึม ตัวอย่างการแก้โจทย์ ในบทความนี้ เราจะดูปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้ลอการิทึม งานถามคำถามในการค้นหาความหมายของสำนวน ควรสังเกตว่าแนวคิดของลอการิทึมถูกใช้ในงานหลายอย่างและการทำความเข้าใจความหมายของมันเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง สำหรับการสอบ Unified State จะใช้ลอการิทึมในการแก้สมการ ปัญหาที่ประยุกต์ในงานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาฟังก์ชั่นด้วย

ให้เรายกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความหมายของลอการิทึม:

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

คุณสมบัติของลอการิทึมที่ต้องจำไว้เสมอ:

*ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของผลหาร (เศษส่วน) เท่ากับความแตกต่างระหว่างลอการิทึมของปัจจัย

* * *

*ลอการิทึมของดีกรี เท่ากับสินค้าเลขชี้กำลังด้วยลอการิทึมของฐาน

* * *

*การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

* * *

คุณสมบัติเพิ่มเติม:

* * *

การคำนวณลอการิทึมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง

เรามาแสดงรายการบางส่วนกัน:

สาระสำคัญ ของทรัพย์สินนี้อยู่ในความจริงที่ว่าเมื่อโอนตัวเศษไปยังตัวส่วนและในทางกลับกันเครื่องหมายของเลขชี้กำลังจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น:

ข้อพิสูจน์จากคุณสมบัตินี้:

* * *

เมื่อยกกำลังเป็นกำลัง ฐานจะยังคงเท่าเดิม แต่เลขยกกำลังจะถูกคูณ

* * *

อย่างที่คุณเห็น แนวคิดของลอการิทึมนั้นเรียบง่าย สิ่งสำคัญคือสิ่งที่จำเป็น แนวปฏิบัติที่ดีซึ่งให้ทักษะบางอย่าง แน่นอนว่าต้องมีความรู้เรื่องสูตรด้วย หากทักษะในการแปลงลอการิทึมเบื้องต้นยังไม่ได้รับการพัฒนาให้ทำการแก้ไข งานง่ายๆมันง่ายที่จะทำผิดพลาด

ฝึกฝน แก้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ก่อน จากนั้นจึงไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ในอนาคต ฉันจะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าลอการิทึม "น่าเกลียด" ได้รับการแก้ไขอย่างไร สิ่งเหล่านี้จะไม่ปรากฏในการสอบ Unified State แต่เป็นที่สนใจ อย่าพลาด!

นั่นคือทั้งหมด! ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

ตามมาจากคำจำกัดความของมัน แล้วก็ลอการิทึมของจำนวนนั้น ขขึ้นอยู่กับ กถูกกำหนดให้เป็นเลขยกกำลังที่ต้องยกจำนวนขึ้น กเพื่อรับหมายเลข ข(ลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับจำนวนบวกเท่านั้น)

จากสูตรนี้จึงเป็นไปตามการคำนวณ x=ล็อก ก ขเทียบเท่ากับการแก้สมการ ก x =ขตัวอย่างเช่น, บันทึก 2 8 = 3เพราะ 8 = 2 3 - การกำหนดลอการิทึมทำให้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า ข=คแล้วตามด้วยลอการิทึมของตัวเลข ขขึ้นอยู่กับ กเท่ากับ กับ- เป็นที่ชัดเจนว่าหัวข้อลอการิทึมมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อเรื่องกำลังของตัวเลข

ด้วยลอการิทึมเช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถทำได้ การดำเนินการบวก ลบและเปลี่ยนแปลงในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาทั้งหมด จึงมีการใช้กฎพิเศษของตัวเองซึ่งเรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

การบวกและการลบลอการิทึม

ลองเอาลอการิทึมสองตัวมาด้วย ในบริเวณเดียวกัน: เข้าสู่ระบบ xและ เข้าสู่ระบบ y- จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะดำเนินการบวกและการลบ:

บันทึก x+ บันทึก a y= บันทึก a (x·y);

บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x:y)

เข้าสู่ระบบ(x 1 . x 2 . x 3 ... เอ็กซ์เค) = เข้าสู่ระบบ x 1 + เข้าสู่ระบบ x 2 + เข้าสู่ระบบ x 3 + ... + เข้าสู่ระบบ x k.

จาก ทฤษฎีบทผลหารลอการิทึมสามารถรับคุณสมบัติของลอการิทึมได้อีกหนึ่งรายการ เป็นความรู้ทั่วไปที่บันทึก ก 1= 0 ดังนั้น

บันทึก ก 1 /ข= บันทึก ก 1 - บันทึก ข= - บันทึก ข.

ซึ่งหมายความว่ามีความเท่าเทียมกัน:

บันทึก a 1 / b = - บันทึก a b

ลอการิทึมของจำนวนกลับกันสองตัวด้วยเหตุผลเดียวกันจะแตกต่างกันโดยสัญญาณเท่านั้น ดังนั้น:

บันทึก 3 9= - บันทึก 3 1/9 ; บันทึก 5 1/125 = -บันทึก 5 125

1.1. การกำหนดเลขชี้กำลังสำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N ครั้ง

1.2. ระดับศูนย์

ตามคำนิยาม เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่ากำลัง 0 ของจำนวนใดๆ คือ 1:

1.3. ระดับลบ

X -N = 1/X N

1.4. พลังเศษส่วน, ราก

X 1/N = N รากของ X

ตัวอย่างเช่น: X 1/2 = √X

1.5. สูตรเพิ่มพลัง

X (N+M) = XN *XM

1.6.สูตรการลบยกกำลัง

X (N-M) = X N /X M

1.7. สูตรคูณพลัง

X N*M = (X N) ม

1.8. สูตรการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง

(X/Y) N = X N /Y N

2. หมายเลข จ.

ค่าของตัวเลข e เท่ากับขีดจำกัดต่อไปนี้:

E = ลิม(1+1/N) โดยที่ N → ∞

ด้วยความแม่นยำ 17 หลัก ตัวเลข e คือ 2.71828182845904512

3. ความเท่าเทียมกันของออยเลอร์

ความเท่าเทียมกันนี้เกี่ยวข้องกับตัวเลขห้าตัวที่เล่น บทบาทพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์: 0, 1, จำนวน e, จำนวน pi, หน่วยจินตภาพ

อี (i*pi) + 1 = 0

4. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp(x)

ประสบการณ์(x) = อีเอ็กซ์

5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีคุณสมบัติที่น่าทึ่ง: อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเท่ากับฟังก์ชันเลขชี้กำลังนั่นเอง:

(ประสบการณ์(x))" = ประสบการณ์(x)

6. ลอการิทึม.

6.1. คำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึม

ถ้า x = b y ลอการิทึมจะเป็นฟังก์ชัน

Y = บันทึก ข(x)

ลอการิทึมแสดงให้เห็นว่าตัวเลขต้องยกกำลังเท่าใด - ฐานของลอการิทึม (b) เพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด (X) ฟังก์ชันลอการิทึมถูกกำหนดไว้สำหรับ X ที่มากกว่าศูนย์

ตัวอย่างเช่น: บันทึก 10 (100) = 2

6.2. ลอการิทึมทศนิยม

นี่คือลอการิทึมของฐาน 10:

Y = บันทึก 10 (x) .

แสดงโดย Log(x): Log(x) = Log 10 (x)

ตัวอย่างของการใช้ลอการิทึมฐานสิบคือเดซิเบล

6.3. เดซิเบล

รายการจะถูกเน้นในหน้าเดซิเบลแยกต่างหาก

6.4. ลอการิทึมไบนารี

นี่คือลอการิทึมฐาน 2:

Y = บันทึก 2 (x)

เขียนแทนด้วย Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. ลอการิทึมธรรมชาติ

นี่คือลอการิทึมของฐาน e:

Y = บันทึก อี (x) .

เขียนแทนด้วย Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
ลอการิทึมธรรมชาติ - ฟังก์ชันผกผันไปยังฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp(X)

6.6. จุดลักษณะ

โลกา(1) = 0
บันทึก a (a) = 1

6.7. สูตรลอการิทึมผลิตภัณฑ์

บันทึก a (x*y) = บันทึก a (x)+บันทึก a (y)

6.8. สูตรลอการิทึมของผลหาร

บันทึก a (x/y) = บันทึก a (x)-บันทึก a (y)

6.9. ลอการิทึมของสูตรยกกำลัง

บันทึก a (x y) = y*บันทึก a (x)

6.10. สูตรการแปลงเป็นลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

บันทึก b (x) = (บันทึก a (x))/บันทึก a (b)

ตัวอย่าง:

บันทึก 2 (8) = บันทึก 10 (8)/บันทึก 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. สูตรที่เป็นประโยชน์ในชีวิต

มักมีปัญหาในการแปลงปริมาตรเป็นพื้นที่หรือความยาวและ ปัญหาผกผัน- การแปลงพื้นที่เป็นปริมาตร ตัวอย่างเช่น ไม้กระดานขายเป็นลูกบาศก์ (ลูกบาศก์เมตร) และเราจำเป็นต้องคำนวณว่าไม้กระดานในปริมาตรหนึ่งจะครอบคลุมพื้นที่ผนังได้เท่าใด ดูการคำนวณไม้ จำนวนไม้ในลูกบาศก์ หรือหากทราบขนาดผนังต้องคำนวณจำนวนอิฐดูการคำนวณอิฐ

อนุญาตให้ใช้เนื้อหาของไซต์โดยมีการติดตั้งลิงก์ที่ใช้งานไปยังแหล่งที่มา

คำแนะนำ

เขียนสิ่งที่ให้มา นิพจน์ลอการิทึม- หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมเป็น 10 สัญกรณ์ของมันจะสั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b คือ ลอการิทึมทศนิยม- หากลอการิทึมมีตัวเลข e เป็นฐาน ให้เขียนนิพจน์: ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ- เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของค่าใดๆ คือกำลังที่ต้องยกเลขฐานขึ้นเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อค้นหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชันแล้วบวกผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง แล้วบวกอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สองคูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"*v +วี"*คุณ;

ในการที่จะหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันนั้น จำเป็นต้องลบผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหารด้วยผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันของเงินปันผล แล้วหาร ทั้งหมดนี้ด้วยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อนก็จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) แล้วก็ y"(x)=y"(u)*v"(x)

ด้วยการใช้ผลลัพธ์ที่ได้ข้างต้น คุณสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้เกือบทุกฟังก์ชัน ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีปัญหาเกี่ยวกับการคำนวณอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งด้วย ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) ถูกกำหนดไว้ คุณจะต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)

2) คำนวณค่าของฟังก์ชันเป็น จุดที่กำหนดย"(1)=8*อี^0=8

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์ของค่าคงที่

แล้วความแตกต่างคืออะไร? ir สมการตรรกยะจากเหตุผล? หากตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมาย รากที่สองจากนั้นสมการจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีการหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีสร้างทั้งสองด้าน สมการเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำจัดป้ายนั้นออก วิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยากในทางเทคนิค แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการคือ v(2x-5)=v(4x-7) ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ 2x-5=4x-7 การแก้สมการดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก x=1. แต่จะไม่ให้หมายเลข 1 สมการ- ทำไม แทนค่าหนึ่งลงในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล กล่าวคือ ค่านี้ไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้น สมการที่กำหนดไม่มีราก

ดังนั้นสมการไร้เหตุผลจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองทั้งสองข้าง และเมื่อแก้สมการได้แล้วก็ต้องตัดออก รากภายนอก- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

พิจารณาอีกอันหนึ่ง
2х+vх-3=0
แน่นอนว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกับสมการก่อนหน้า ย้ายสารประกอบ สมการซึ่งไม่มีรากที่สองใน ด้านขวาแล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการตรรกยะและรากที่เกิดขึ้น แต่ยังอีกอันที่หรูหรากว่าอีกด้วย ป้อนตัวแปรใหม่ vх=y. ดังนั้น คุณจะได้สมการในรูปแบบ 2y2+y-3=0 นั่นก็คือ ตามปกติ สมการกำลังสอง- ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ต่อไปแก้สอง สมการ vх=1; วх=-3/2. สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมตรวจสอบรากด้วย

การแก้ไขตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์จนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ดังนั้นด้วยความช่วยเหลือที่ง่ายที่สุด การดำเนินการทางคณิตศาสตร์งานที่ทำอยู่จะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้อง

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณพีชคณิตแบบย่อ (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง), ผลต่างของกำลังสอง, ผลรวม (ผลต่าง), ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีอีกมากมายและ สูตรตรีโกณมิติซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคืออัตลักษณ์ที่เหมือนกัน

อันที่จริง กำลังสองของผลรวมของสองเทอมจะเท่ากับกำลังสองของบวกตัวแรก ผลิตภัณฑ์คู่อันแรกถึงอันที่สองและบวกกำลังสองของอันที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+ 2ab+ข^2 .

ลดความซับซ้อนทั้งสองอย่าง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำตามตำราเรียน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลจำกัดจำนวน ดังที่ทราบกันดีว่าทางแก้ อินทิกรัลที่แน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์ให้ค่าปริพันธ์ ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟ ตามหลักการนี้ อินทิกรัลหลักจะถูกสร้างขึ้น
กำหนดโดยรูปแบบของปริพันธ์ว่าปริพันธ์ของตารางใดที่เข้าได้ ในกรณีนี้- ไม่สามารถระบุสิ่งนี้ได้ทันทีเสมอไป บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้เฉพาะหลังจากการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้ปริพันธ์ง่ายขึ้น

วิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์เป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์มีพหุนามอยู่ ให้ลองใช้วิธีการแทนที่ตัวแปร เพื่อที่จะทำสิ่งนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของปริพันธ์ด้วยตัวแปรใหม่ ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า ให้กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม เมื่อสร้างความแตกต่างให้กับนิพจน์นี้ ให้ค้นหาส่วนต่างใหม่ใน ดังนั้นคุณจะได้รับ รูปลักษณ์ใหม่ของอินทิกรัลก่อนหน้า ใกล้หรือสอดคล้องกับอินทิกรัลตารางใดๆ

การแก้อินทิกรัลชนิดที่สอง

หากอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลชนิดที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎในการเปลี่ยนจากอินทิกรัลเหล่านี้เป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างออสโตรกราดสกี-เกาส์ กฎหมายนี้ช่วยให้คุณเคลื่อนตัวจากการไหลของโรเตอร์ไปบ้าง ฟังก์ชันเวกเตอร์ไปยังอินทิกรัลสามส่วนส่วนไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ที่กำหนด

การทดแทนขีดจำกัดการรวม

หลังจากค้นหาแอนติเดริเวทีฟแล้ว ก็จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการอินทิเกรต ขั้นแรกให้แทนค่า ขีด จำกัด บนเป็นนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้เลขจำนวนหนึ่ง จากนั้น ให้ลบจำนวนอื่นที่ได้รับจากขีดจำกัดล่างออกจากผลลัพธ์เป็นค่าแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในขีดจำกัดของการอินทิเกรตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อทำการแทนที่มันเข้าไป ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์มีความจำเป็นต้องไปให้ถึงขีด จำกัด และค้นหาว่าสำนวนนั้นมุ่งมั่นเพื่ออะไร
หากอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดของอินทิกรัลในเชิงเรขาคณิตเพื่อทำความเข้าใจวิธีประเมินอินทิกรัล อันที่จริง ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ขีดจำกัดของอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาตรที่อินทิกรัล

ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น

โดยมีเงื่อนไขว่า
,
,

จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมทศนิยม แทน
เขียน
.

ลอการิทึมถึงฐาน จ เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย

3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม

ปัจจัย
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข .

การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม

ตัวอย่างเช่น,

การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ

บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง

1. ข้อจำกัด

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx 0 สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.

ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.

ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน
.

เมื่อมุ่งมั่น
, การทำงาน ย มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด

ขีดจำกัด ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้

.

ขีดจำกัดจำนวนเงิน (ส่วนต่าง) จำนวนจำกัดฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้

ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์

,
, ที่ไหน

1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .

.

2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ให้เรามีหน้าที่
ต่อเนื่องในส่วนนี้
.

การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.

ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.

ค่าอาร์กิวเมนต์
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน

เพราะฉะนั้น, .

ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด

คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
โดยการโต้แย้ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สามารถกำหนดได้ดังนี้:

; ; ; .

คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง

2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์

ขอให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ

ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล จากตำแหน่งเริ่มต้น
.

หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง
เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ =- ความเร็วเฉลี่ยจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.

ดังนั้นคำจำกัดความ ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา

2.2. ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์

ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก
.

ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

ถ้า
แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.

เพราะฉะนั้น
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.

2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน

ฟังก์ชั่นพลังงาน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

2.4. กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ของ

อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

2.5. อนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
จึงสามารถแสดงออกมาเป็นรูปร่างได้

และ
โดยที่ตัวแปร ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล

ให้มีอยู่
, หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง
และปล่อยให้ ที่ ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์

,

แล้วเราก็สามารถเขียนได้

(1),

ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตั้งแต่เมื่อไหร่

คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย
เรามี:

ที่ไหน
- บีเอ็มวี ลำดับที่สูงขึ้น

ขนาด
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้

.

3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง

ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.

รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

.

แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนด

3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ

ถ้ามี
, แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร
.

อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:

.

ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง

.

.

3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง

ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
, ที่ไหน เอ็น – จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที – เวลา (วัน)

b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?

คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น

ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน

.

ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์

,

ลองพิจารณาว่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน

คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด