คำนิยาม:จุด x0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน (หรือค่าต่ำสุด) ในพื้นที่ ถ้าในบริเวณใกล้เคียงของจุด x0 ฟังก์ชันใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (หรือน้อยที่สุด) เช่น สำหรับ x ทั้งหมดจากพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x0 เงื่อนไข f(x) f(x0) (หรือ f(x) f(x0)) เป็นที่น่าพอใจ

จุดสูงหรือต่ำในท้องถิ่นรวมกัน ชื่อสามัญ- จุดปลายสุดของฟังก์ชัน

โปรดทราบว่าที่จุดสุดขั้วเฉพาะที่ ฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะในบางภูมิภาคเท่านั้น มีหลายกรณีที่, ตามค่าของ уmaxуmin .

เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของส่วนปลายท้องถิ่นของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท . หากฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x) มีปลายสุดที่จุด x0 เมื่อถึงจุดนี้ อนุพันธ์อันดับแรกจะเป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง กล่าวคือ สุดโต่งท้องถิ่นเกิดขึ้นที่จุดวิกฤตประเภทแรก

ที่จุดสุดขั้วในพื้นที่ แทนเจนต์ขนานกับแกน 0x หรือมีแทนเจนต์สองเส้น (ดูรูป) โปรดทราบว่าจุดวิกฤตเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับสุดโต่งในพื้นที่ เอ็กซ์ตรีมท้องถิ่นจะเกิดขึ้นที่จุดวิกฤตประเภทแรกเท่านั้น แต่ไม่ใช่จุดวิกฤตทั้งหมดที่มีจุดวิกฤตในพื้นที่

ตัวอย่างเช่น พาราโบลาลูกบาศก์ y = x3 มีจุดวิกฤต x0=0 ซึ่งอนุพันธ์ y/(0)=0 แต่จุดวิกฤต x0=0 ไม่ใช่จุดสุดโต่ง แต่มีจุดเปลี่ยนในนั้น (ดูด้านล่าง)

เกณฑ์ที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของส่วนปลายท้องถิ่นของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท . ถ้าเมื่ออาร์กิวเมนต์ผ่านจุดวิกฤตของประเภทแรกจากซ้ายไปขวาอนุพันธ์อันดับแรก y / (x)

เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-" จากนั้นฟังก์ชันต่อเนื่อง y(x) ที่จุดวิกฤตนี้มี สูงสุดในท้องถิ่น;

เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" จากนั้นฟังก์ชันต่อเนื่อง y(x) จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่ที่จุดวิกฤตินี้

ไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วไม่มีส่วนปลายที่จุดวิกฤตนี้มีจุดเปลี่ยน

สำหรับค่าสูงสุดในพื้นที่ พื้นที่ของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (y/0) จะถูกแทนที่ด้วยพื้นที่ของฟังก์ชันที่ลดลง (y/0) สำหรับค่าต่ำสุดในพื้นที่ พื้นที่ของฟังก์ชันการลดลง (y/0) จะถูกแทนที่ด้วยพื้นที่ของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (y/0)

ตัวอย่าง: ตรวจสอบฟังก์ชัน y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 สำหรับความซ้ำซากจำเจ สุดขั้ว และสร้างกราฟของฟังก์ชัน

ให้เราหาจุดวิกฤตของประเภทแรกโดยกำหนดอนุพันธ์ (y/) และเท่ากับศูนย์: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

เราจะตัดสินใจ ไตรนามสี่เหลี่ยมใช้การเลือกปฏิบัติ:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1

2) ให้เราแบ่งแกนตัวเลขตามจุดวิกฤตเป็น 3 ส่วน แล้วกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ (y/) ในแกนนั้น จากสัญญาณเหล่านี้ เราพบพื้นที่ของการทำงานที่ซ้ำซากจำเจ (เพิ่มขึ้นและลดลง) และโดยการเปลี่ยนสัญญาณ เราจะกำหนดจุดของส่วนปลายเฉพาะที่ (สูงสุดและต่ำสุด)

ผลการศึกษานำเสนอในรูปแบบของตารางซึ่งสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

• 1. ในช่วง y /(-10) 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน (เครื่องหมายของอนุพันธ์ y ประมาณจากจุดควบคุม x = -10 ที่ถ่ายในช่วงเวลานี้)
• 2. ในช่วงเวลา (-5; -1) y /(-2) 0 ฟังก์ชันจะลดลงแบบโมโนโทน (เครื่องหมายของอนุพันธ์ y ถูกประมาณจากจุดควบคุม x = -2 ที่ถ่ายในช่วงเวลานี้)
• 3. ในช่วงเวลา y /(0) 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน (เครื่องหมายของอนุพันธ์ y ประมาณจากจุดควบคุม x = 0 ที่ถ่ายในช่วงเวลานี้)
• 4. เมื่อผ่านจุดวิกฤต x1k \u003d -5 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-" ดังนั้นจุดนี้จึงเป็นจุดสูงสุดในพื้นที่
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. เมื่อผ่านจุดวิกฤต x2k \u003d -1 อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" ดังนั้นจุดนี้จึงเป็นจุดต่ำสุดในพื้นที่
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16)

x -5 (-5 ; -1) -1

3) เราจะสร้างกราฟตามผลการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณเพิ่มเติมของค่าของฟังก์ชันที่จุดควบคุม:

อาคาร ระบบสี่เหลี่ยมพิกัดออกซี;

แสดงพิกัดสูงสุด (-5; 16) และจุดต่ำสุด (-1; -16)

ในการปรับแต่งกราฟ เราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดควบคุม โดยเลือกค่าไปทางซ้ายและขวาของจุดสูงสุดและต่ำสุด และภายในช่วงกลาง เช่น y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) และ (0;-9) - จุดควบคุมที่คำนวณซึ่งถูกวางแผนเพื่อสร้างกราฟ

เราแสดงกราฟในรูปของเส้นโค้งที่มีส่วนนูนขึ้นที่จุดสูงสุดและนูนลงมาที่จุดต่ำสุดและผ่านจุดควบคุมที่คำนวณได้

คะแนนสูงสุดและต่ำสุด

จุดที่ใช้เวลาที่ใหญ่ที่สุดหรือ ค่าที่น้อยที่สุดในขอบเขตของคำจำกัดความ; จุดดังกล่าวเรียกว่า ยังคะแนนสูงสุดสัมบูรณ์หรือต่ำสุดสัมบูรณ์ ถ้า f ถูกกำหนดบนทอพอโลยี ช่องว่าง X จากนั้นจุด x 0เรียกว่า จุดสูงสุดของท้องถิ่น (ขั้นต่ำท้องถิ่น) หากมีจุดดังกล่าวอยู่ x 0ว่าการจำกัดหน้าที่ในการพิจารณาย่านนี้นั้น ประเด็น x 0คือจุดสูงสุด (ต่ำสุด) สัมบูรณ์ แยกแยะประเด็นของค่าสูงสุดที่เข้มงวดและไม่เข้มงวด (mini m u m a) (ทั้งแบบสัมบูรณ์และแบบท้องถิ่น) ตัวอย่างเช่น จุดที่เรียกว่า จุดสูงสุดของฟังก์ชัน f ที่ไม่เข้มงวด (เข้มงวด) ถ้ามีอยู่บริเวณใกล้เคียงของจุดดังกล่าว x 0ซึ่งมีไว้เพื่อทุกคน (ตามลำดับ f(x) x0). )/

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในโดเมนที่มีมิติจำกัด ในแง่ของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มีเงื่อนไขและเกณฑ์สำหรับจุดที่กำหนดให้เป็นจุดสูงสุด (ต่ำสุด) เฉพาะที่ ให้ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดในพื้นที่ใกล้เคียงของกล่อง x 0 ของแกนจริง ถ้า x 0 -จุดสูงสุดในพื้นที่ที่ไม่เข้มงวด (ขั้นต่ำ) และ ณ จุดนี้ f"( x0), แล้วมันก็เท่ากับศูนย์

ถ้าฟังก์ชันที่กำหนด f สามารถหาอนุพันธ์ได้ในย่านใกล้เคียงของจุด x 0 ,ยกเว้นบางทีสำหรับจุดนี้เองที่ต่อเนื่องและอนุพันธ์ f" ในแต่ละด้านของจุด x0รักษาเครื่องหมายคงที่ในละแวกนี้ดังนั้นเพื่อ x0เป็นจุดสูงสุดของท้องถิ่นที่เข้มงวด (ขั้นต่ำท้องถิ่น) มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบนั่นคือ f "(x)> 0 ที่ x<.x0และ f"(x)<0 при x>x0(ตามลำดับจากลบเป็นบวก: ฉ"(X) <0 ที่ x<x0และ f"(x)>0 เมื่อ x>x 0). อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่สำหรับทุกฟังก์ชันที่สามารถแยกความแตกต่างได้ในย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง x 0 ,เราสามารถพูดถึงการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ . "

ถ้าฟังก์ชัน f มีที่จุด x 0 tอนุพันธ์ นอกจากนี้ เพื่อที่จะ x 0เป็นจุดสูงสุดของท้องถิ่นอย่างเคร่งครัด มันจำเป็นและเพียงพอที่ τ เป็นคู่ และ f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

ให้ฟังก์ชัน f( x 1 ..., x p] ถูกกำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียง n- มิติของจุดหนึ่งและสามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนี้ ถ้า x (0) เป็นจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ในพื้นที่ที่ไม่เข้มงวด ฟังก์ชัน f ณ จุดนี้จะเท่ากับศูนย์ เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันถึงศูนย์ ณ จุดนี้ของอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของลำดับที่ 1 ของฟังก์ชัน f หากฟังก์ชันมีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องลำดับที่ 2 ที่ x(0) อนุพันธ์อันดับที่ 1 ทั้งหมดจะหายไปที่ x(0) และอนุพันธ์อันดับที่ 2 ที่ x(0) เป็นรูปทรงกำลังสองลบ (บวก) ดังนั้น x(0) จะเป็น จุดสูงสุดของท้องถิ่นเข้มงวด (ขั้นต่ำ) เงื่อนไขเป็นที่รู้จักสำหรับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล M. และ M. T. เมื่อมีการกำหนดข้อจำกัดบางประการสำหรับการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์: สมการข้อจำกัดจะเป็นไปตามเงื่อนไข เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชันจริงซึ่งมีมากกว่า โครงสร้างที่ซับซ้อนมีการศึกษาในสาขาคณิตศาสตร์พิเศษเช่นใน การวิเคราะห์นูน การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (ดูสิ่งนี้ด้วย การขยายสูงสุดและ การลดขนาดฟังก์ชัน). ศึกษาฟังก์ชัน M. และ m.t. ที่กำหนดไว้บนท่อร่วมใน แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลงโดยทั่วไปและ M. และ m.t. สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในพื้นที่ฟังก์ชัน เช่น สำหรับฟังก์ชัน ใน แคลคูลัสผันแปรนอกจากนี้ยังมี วิธีการต่างๆการหาค่าประมาณเชิงตัวเลขของ M. และ m. t.

ไฟ: I l and n V. A. , Poznya to E. G. , Basics การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 3, ตอนที่ 1, ม., 1971; KudryavtsevL. L.D. Kudryavtsev.

สารานุกรมคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต. ไอ.เอ็ม.วิโนกราดอฟ 2520-2528.

ดูว่า "จุดสูงสุดและจุดต่ำสุด" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

หลักการสูงสุดของ Pontryagin แบบไม่ต่อเนื่องสำหรับกระบวนการควบคุมที่ไม่ต่อเนื่องตามเวลา สำหรับกระบวนการดังกล่าว M. p. อาจไม่พอใจแม้ว่าสำหรับอะนาล็อกต่อเนื่องซึ่งได้มาจากการเปลี่ยนตัวดำเนินการความแตกต่างที่แน่นอนด้วยตัวดำเนินการที่แตกต่างกัน ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทแสดงหนึ่งของ คุณสมบัติพื้นฐานโมดูลการวิเคราะห์ ฟังก์ชั่น. ให้ f(z) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ปกติหรือโฮโลมอร์ฟิคของตัวแปร p-complex ในโดเมน D ของช่องว่างจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ค่าคงที่ M. m. s. ใน ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและตามค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันที่ใช้ค่าจริง จุดของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เป็นปัญหาซึ่งใช้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเรียกว่า ตามลำดับจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ดูค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของจุด... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ความหมาย ฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (ดูคะแนนสูงสุดและต่ำสุด) คำว่า เล ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

อินดิเคเตอร์- (ตัวบ่งชี้) ตัวบ่งชี้คือ ระบบข้อมูล, สาร, อุปกรณ์, อุปกรณ์ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ใด ๆ ตัวบ่งชี้ของแผนภูมิตลาดสกุลเงิน Forex มันคืออะไรและดาวน์โหลดได้จากที่ไหน? คำอธิบายของตัวบ่งชี้ MACD ... ... สารานุกรมของนักลงทุน

คำนี้มีความหมายอื่น ดู สุดขั้ว (ความหมาย) สุดโต่ง (ละตินสุดโต่งสุดโต่ง) ในวิชาคณิตศาสตร์คือค่าสูงสุดหรือ ค่าต่ำสุดทำหน้าที่ในชุดที่กำหนด จุดที่ถึงจุดสุดโต่งคือ ... ... Wikipedia

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาแนวคิดของอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียลและวิธีที่สามารถประยุกต์ใช้กับการศึกษาฟังก์ชันได้ สารบัญ 1 แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ... Wikipedia

เล็มนิสเคทและกลเม็ดของเบอร์นูลลีคือเส้นโค้งพีชคณิตของระนาบ กำหนดเป็น สถานที่ทางเรขาคณิตคะแนน ผลิตภัณฑ์ ... Wikipedia

ความแตกต่าง- (Divergence) Divergence เป็นตัวบ่งชี้ กลยุทธ์การซื้อขายด้วย MACD divergence Contents Contents ส่วนที่ 1 บน หมวดที่ 2. ความแตกต่างอย่างไร Divergence เป็นคำที่ใช้ในทางเศรษฐศาสตร์ หมายถึง การเคลื่อนไหวไปตามไดเวอร์เจนซ์ ... ... สารานุกรมของนักลงทุน

ฟังก์ชันเปลี่ยนใน บางจุดและถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของการเพิ่มฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในการค้นหาให้ใช้ตารางอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x3 จะเท่ากับ y' = x2

ให้อนุพันธ์นี้เท่ากับศูนย์ (in กรณีนี้ x2=0).

ค้นหาค่าของตัวแปรที่กำหนด ค่าเหล่านี้จะเป็นค่าที่อนุพันธ์นี้จะเท่ากับ 0 ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ตัวเลขที่กำหนดเองในนิพจน์แทน x ซึ่งนิพจน์ทั้งหมดจะกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

ใช้ค่าที่ได้รับบนเส้นพิกัดและคำนวณเครื่องหมายของอนุพันธ์สำหรับแต่ละค่าที่ได้รับ จุดถูกทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดซึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้น ในการคำนวณค่าในช่วงเวลา ให้แทนที่ค่าที่ต้องการซึ่งตรงกับเกณฑ์ ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันก่อนหน้าจนถึงช่วง -1 คุณสามารถเลือกค่า -2 ได้ สำหรับ -1 ถึง 1 คุณสามารถเลือก 0 และสำหรับค่าที่มากกว่า 1 ให้เลือก 2 แทนที่ตัวเลขเหล่านี้ในอนุพันธ์แล้วหาเครื่องหมายของอนุพันธ์ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ที่มี x = -2 จะเท่ากับ -0.24 นั่นคือ ลบและจะมีเครื่องหมายลบในช่วงเวลานี้ ถ้า x=0 ค่าจะเท่ากับ 2 และเครื่องหมายจะถูกวางบนช่วงเวลานี้ ถ้า x=1 อนุพันธ์จะเท่ากับ -0.24 และใส่เครื่องหมายลบ

ถ้าเมื่อผ่านจุดบนเส้นพิกัด อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก แล้วนี่คือจุดต่ำสุด และหากจากบวกเป็นลบ นี่จะเป็นจุดสูงสุด

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในการหาอนุพันธ์มีบริการออนไลน์ที่คำนวณ ค่าที่ต้องการและส่งออกผลลัพธ์ ในเว็บไซต์ดังกล่าว คุณสามารถค้นหาอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อได้สูงสุด 5 รายการ

ที่มา:

• หนึ่งในบริการคำนวณอนุพันธ์
• จุดสูงสุดของฟังก์ชัน

จุดสูงสุดของฟังก์ชันพร้อมกับจุดต่ำสุดเรียกว่าจุดสุดขั้ว เมื่อถึงจุดเหล่านี้ ฟังก์ชันจะเปลี่ยนพฤติกรรม สุดขีดถูกกำหนดบนจำกัด ช่วงตัวเลขและอยู่ในท้องถิ่นเสมอ

คำแนะนำ

กระบวนการในการค้นหา extrema ในพื้นที่เรียกว่าฟังก์ชันและดำเนินการโดยการวิเคราะห์อนุพันธ์ที่หนึ่งและที่สองของฟังก์ชัน ก่อนเริ่มเรียน ตรวจสอบให้แน่ใจว่า ช่วงเวลาที่กำหนดค่าอาร์กิวเมนต์เป็นของ ค่าที่อนุญาต. ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชัน F=1/x ค่าของอาร์กิวเมนต์ x=0 ไม่ถูกต้อง หรือสำหรับฟังก์ชัน Y=tg(x) อาร์กิวเมนต์ไม่สามารถมีค่า x=90°

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชัน Y นั้นหาอนุพันธ์ได้ทุกอย่าง ส่วนที่กำหนด. หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของ Y" แน่นอน ก่อนถึงจุดสูงสุดของโลคัล ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อผ่านค่าสูงสุด ฟังก์ชันจะลดลง อนุพันธ์อันดับแรกในวิธีของมันเอง ความหมายทางกายภาพกำหนดลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ตราบใดที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อัตราของกระบวนการนี้เป็นค่าบวก เมื่อผ่านค่าสูงสุดในพื้นที่ ฟังก์ชันจะเริ่มลดลง และอัตราของกระบวนการเปลี่ยนฟังก์ชันจะกลายเป็นลบ การเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันถึงศูนย์เกิดขึ้นที่จุดสูงสุดของท้องถิ่น

>> สุดขีด

ฟังก์ชั่นสุดขั้ว

คำนิยาม สุดโต่ง

การทำงาน y = f(x) เรียกว่า เพิ่มขึ้น (ข้างแรม) ในช่วงเวลาหนึ่งถ้าสำหรับ x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >ฉ(x2)).

หากฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล y \u003d f (x) ในส่วนเพิ่มขึ้น (ลดลง) แสดงว่าอนุพันธ์ของมันในส่วนนี้ f " (x )> 0

(ฉ"(x)< 0).

Dot x เกี่ยวกับ เรียกว่า จุดสูงสุดในท้องถิ่น (ขั้นต่ำ) ของฟังก์ชัน f (x ) หากมีบริเวณใกล้เคียงของจุด x o, สำหรับทุกจุดที่อสมการ f (x)≤ ฉ (x o) (f (x)≥ ฉ (x o )).

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่า จุดสุดขีดและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดเหล่านี้คือ สุดขีด

จุดสุดขีด

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสุดขั้ว . ถ้าชี้ x เกี่ยวกับ เป็นจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน f (x) จากนั้น f " (x o ) = 0 หรือ f(x o ) ไม่มีอยู่ จุดดังกล่าวเรียกว่า วิกฤต,โดยที่ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่จุดวิกฤต ควรค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชันในจุดวิกฤต

อันดับแรก สภาพที่เพียงพอ. อนุญาต x เกี่ยวกับ - จุดวิกฤต ถ้าฉ" (x ) เมื่อผ่านจุด x เกี่ยวกับ เปลี่ยนเครื่องหมายบวกเป็นลบแล้วตรงจุด x oฟังก์ชั่นมีค่าสูงสุดมิฉะนั้นจะมีค่าต่ำสุด ถ้าอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุดวิกฤติแล้วที่จุด x เกี่ยวกับ ไม่มีสุดโต่ง

เงื่อนไขที่สองเพียงพอ ให้ฟังก์ชัน f(x) มี
ฉ" (x ) ใกล้กับจุด x เกี่ยวกับ และอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดนั้น x o. ถ้าฉ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oคือจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชัน f(x) ถ้า =0 ต้องใช้เงื่อนไขที่เพียงพอก่อนหรือเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขที่สูงกว่า

ในส่วนของฟังก์ชัน y \u003d f (x) สามารถไปถึงค่าที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุดได้ทั้งที่จุดวิกฤตหรือที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

ตัวอย่าง 3.22

วิธีการแก้.เพราะ ฉ " (

ภารกิจในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 3.23 เอ

วิธีการแก้. xและ y y
0 ≤ x≤
> 0 ในขณะที่ x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ฟังก์ชั่น ตร.. หน่วย).

ตัวอย่าง 3.24พี ≈

วิธีการแก้. pp
เอส"
R = 2, H = 16/4 = 4

ตัวอย่าง 3.22ค้นหาส่วนสุดโต่งของฟังก์ชัน f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14

วิธีการแก้.เพราะ ฉ " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3) จากนั้นจุดวิกฤตของฟังก์ชัน x 1 \u003d 2 และ x 2 \u003d 3 จุดสุดขั้วเท่านั้น คะแนน เนื่องจากเมื่อผ่านจุด x 1 \u003d 2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ จากนั้น ณ จุดนี้ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด เมื่อผ่านจุด x 2 \u003d 3 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก ดังนั้น ณ จุด x 2 \u003d 3 ฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุด การคำนวณค่าของฟังก์ชันเป็นคะแนน
x 1 = 2 และ x 2 = 3 เราพบ extrema ของฟังก์ชัน: สูงสุด f (2) = 14 และต่ำสุด f (3) = 13

ตัวอย่าง 3.23จำเป็นต้องสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมใกล้กับกำแพงหินเพื่อให้มีรั้วตาข่ายลวดสามด้านและติดกับผนังด้านที่สี่ สำหรับสิ่งนี้มี เอเมตรเชิงเส้นของกริด ไซต์จะมีพื้นที่ขนาดใหญ่ที่สุดในอัตราส่วนเท่าใด

วิธีการแก้.แสดงถึงด้านข้างของไซต์ผ่าน xและ y. พื้นที่ไซต์เท่ากับ S = xy อนุญาต yคือความยาวของด้านที่ติดกับผนัง จากนั้นตามเงื่อนไข ความเท่าเทียมกัน 2x + y = a จะต้องคงอยู่ ดังนั้น y = a - 2x และ S = x (a - 2x) โดยที่
0 ≤ x≤ a /2 (ความยาวและความกว้างของแพดไม่สามารถเป็นลบได้) S "= a - 4x, a - 4x = 0 สำหรับ x = a/4 ดังนั้น
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 เพราะว่า x = a /4 เป็นจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว ลองดูว่าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงหรือไม่เมื่อผ่านจุดนี้ สำหรับ x a /4 S "> 0 ในขณะที่ x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ฟังก์ชั่น S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (ตร.. หน่วย). เนื่องจาก S เป็นค่าต่อเนื่องและค่าที่จุดสิ้นสุดของ S(0) และ S(a / 2) มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นค่าที่พบจะเป็น มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น. ดังนั้น อัตราส่วนที่เหมาะสมที่สุดของไซต์ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาคือ y = 2x

ตัวอย่าง 3.24จำเป็นต้องสร้างถังทรงกระบอกปิดที่มีความจุ V=16พี ≈ 50 ม. 3 ขนาดของถังควรเป็นเท่าใด (รัศมี R และความสูง H) เพื่อที่จะใช้วัสดุในปริมาณน้อยที่สุดในการผลิต

วิธีการแก้.สี่เหลี่ยม เต็มพื้นผิวทรงกระบอกคือ S = 2พี อาร์(R+H). เราทราบปริมาตรของทรงกระบอก V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2 ดังนั้น S(R) = 2พี (R2+16/R). เราพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:
เอส"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2) เอส" (R) = 0 สำหรับ R 3 = 8 ดังนั้น
R = 2, H = 16/4 = 4

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. ว่ากันว่า $f$ has สูงสุดในท้องถิ่นที่จุด $x_(0) \in E$ ถ้ามีย่านใกล้เคียง $U$ ของจุด $x_(0)$ เพื่อให้ $x \in U$ ไม่เท่ากันทั้งหมด $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

ค่าสูงสุดในพื้นที่เรียกว่า เข้มงวด หากย่านใกล้เคียง $U$ สามารถเลือกได้ในลักษณะที่สำหรับ $x \in U$ ทั้งหมดแตกต่างจาก $x_(0)$ จะมี $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

คำนิยาม
ให้ $f$ เป็น ฟังก์ชันจริงในชุดเปิด $E \subset \mathbb(R)^(n)$ ว่ากันว่า $f$ has ขั้นต่ำในท้องถิ่นที่จุด $x_(0) \in E$ ถ้ามีย่านใกล้เคียง $U$ ของจุด $x_(0)$ เพื่อให้ $x \in U$ ไม่เท่ากันทั้งหมด $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

ค่าขั้นต่ำในท้องถิ่นจะเข้มงวดหากสามารถเลือก $U$ บริเวณใกล้เคียงได้ ดังนั้นสำหรับ $x \in U$ ทั้งหมดจะแตกต่างจาก $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\right)$.

ค่าสูงสุดในท้องถิ่นผสมผสานแนวคิดของค่าต่ำสุดในท้องถิ่นและค่าสูงสุดของท้องถิ่น

ทฤษฎีบท ( เงื่อนไขที่จำเป็นสุดขั้วของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล)
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจริงในชุดเปิด $E \subset \mathbb(R)^(n)$ หาก ณ จุด $x_(0) \in E$ ฟังก์ชัน $f$ มีโลคัลเอ็กซ์ตรีม ณ จุดนี้ด้วย ดังนั้น $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0 $$ ความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ ดิฟเฟอเรนเชียลเท่ากับความจริงที่ว่าทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

ในกรณีหนึ่งมิติ นี่คือ . แสดงว่า $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ โดยที่ $h$ คือ เวกเตอร์โดยพลการ. ฟังก์ชัน $\phi$ ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าโมดูโลขนาดเล็กที่เพียงพอของ $t$ ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยความเคารพ มันสามารถหาอนุพันธ์ได้ และ $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$
ให้ $f$ มีค่าสูงสุดในเครื่องที่ x $0$ ดังนั้น ฟังก์ชัน $\phi$ ที่ $t = 0$ มีค่าสูงสุดในเครื่อง และตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ $(\phi)' \left(0\right)=0$
ดังนั้นเราจึงได้ $df \left(x_(0)\right) = 0$ นั่นคือ ฟังก์ชั่น $f$ ที่จุด $x_(0)$ เท่ากับศูนย์บนเวกเตอร์ $h$ ใดๆ

คำนิยาม
จุดที่ส่วนต่างมีค่าเท่ากับศูนย์ กล่าวคือ ซึ่งอนุพันธ์บางส่วนทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่าคงที่ จุดวิกฤต ฟังก์ชัน $f$ คือจุดที่ $f$ ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หรือมีค่าเท่ากับศูนย์ หากจุดหยุดนิ่ง แสดงว่ายังไม่เป็นไปตามที่ฟังก์ชันมีจุดสิ้นสุด ณ จุดนี้

ตัวอย่าง 1
ให้ $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. จากนั้น $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$ ดังนั้น $\left(0,0\right)$ is จุดนิ่งแต่ ณ จุดนี้ ฟังก์ชันไม่มีส่วนปลาย อันที่จริง $f \left(0,0\right) = 0$ แต่ง่ายที่จะเห็นว่าในย่านใด ๆ ของจุด $\left(0,0\right)$ ฟังก์ชันใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ

ตัวอย่าง 2
ฟังก์ชัน $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ มีจุดกำเนิดของพิกัดเป็นจุดคงที่ แต่ชัดเจนว่า ณ จุดนี้ไม่มีจุดสิ้นสุด

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับสุดโต่ง).
ให้ฟังก์ชัน $f$ สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเป็นสองเท่าในชุดเปิด $E \subset \mathbb(R)^(n)$ ให้ $x_(0) \in E$ เป็นจุดนิ่งและ $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ แล้ว

1. ถ้า $Q_(x_(0))$ คือ ดังนั้นฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $x_(0)$ มีโลคัลเอ็กซ์ตรีม กล่าวคือ ค่าต่ำสุดถ้าแบบฟอร์มเป็นค่าบวกแน่นอน และค่าสูงสุดถ้าแบบฟอร์มคือ เชิงลบแน่นอน;
2. ถ้า รูปสี่เหลี่ยม$Q_(x_(0))$ ไม่ได้ถูกกำหนด ดังนั้นฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $x_(0)$ ไม่มีส่วนปลาย

ให้ใช้การขยายตามสูตรเทย์เลอร์ (12.7 น. 292) . เมื่อพิจารณาว่าอนุพันธ์อันดับ 1 บางส่วนที่จุด $x_(0)$ เท่ากับศูนย์ เราจะได้ $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ บางส่วน x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ โดยที่ $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ และ $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ สำหรับ $h \rightarrow 0$ แล้ว ส่วนขวาเป็นค่าบวกสำหรับเวกเตอร์ $h$ ใดๆ ที่มีความยาวน้อยเพียงพอ
ดังนั้นเราจึงได้ข้อสรุปว่าในละแวกใกล้เคียงของจุด $x_(0)$ ความไม่เท่าเทียมกัน $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ เป็นที่พอใจหากเพียง $ x \neq x_ (0)$ (เราใส่ $x=x_(0)+h$\right) ซึ่งหมายความว่า ณ จุด $x_(0)$ ฟังก์ชันจะมีค่าต่ำสุดที่เข้มงวด ดังนั้นส่วนแรกของทฤษฎีบทของเราจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
สมมุติว่า $Q_(x_(0))$ is แบบไม่มีกำหนด. แล้วมีเวกเตอร์ $h_(1)$, $h_(2)$ ที่ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. จากนั้นเราจะได้ $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ สำหรับ $t>0$ ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ ด้านขวาคือ เชิงบวก. ซึ่งหมายความว่าในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด $x_(0)$ ฟังก์ชัน $f$ รับค่า ​​$f \left(x\right)$ มากกว่า $f \left(x_(0)\right)$
ในทำนองเดียวกัน เราได้รับว่าในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด $x_(0)$ ฟังก์ชัน $f$ ใช้ค่าน้อยกว่า $f \left(x_(0)\right)$ สิ่งนี้ เมื่อรวมกับฟังก์ชันก่อนหน้า หมายความว่าฟังก์ชัน $f$ ไม่มีส่วนปลายที่จุด $x_(0)$

พิจารณา กรณีพิเศษของทฤษฎีบทนี้สำหรับฟังก์ชัน $f \left(x,y\right)$ ของสองตัวแปรที่กำหนดไว้ในละแวกใกล้เคียงของจุด $\left(x_(0),y_(0)\right)$ และมีอนุพันธ์ย่อยอย่างต่อเนื่อง ของคำสั่งแรกและคำสั่งที่สอง ให้ $\left(x_(0),y_(0)\right)$ เป็นจุดนิ่งและให้ $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) $$ จากนั้นทฤษฎีบทก่อนหน้าจะมีรูปแบบต่อไปนี้

ทฤษฎีบท
ให้ $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ แล้ว:

1. ถ้า $\Delta>0$ แสดงว่าฟังก์ชัน $f$ มีโลคัลเอ็กซ์ตรีมที่จุด $\left(x_(0),y_(0)\right)$ กล่าวคือ ขั้นต่ำถ้า $a_(11)> 0$ และสูงสุดถ้า $a_(11)<0$;
2. ถ้า $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

อัลกอริธึมในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว:

1. เราพบจุดนิ่ง
2. เราพบส่วนต่างของลำดับที่ 2 ที่จุดนิ่งทั้งหมด
3. โดยใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เราพิจารณาส่วนต่างอันดับสองที่จุดคงที่แต่ละจุด

1. ตรวจสอบฟังก์ชันที่ปลายสุด $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$
   วิธีการแก้

   ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่ 1: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ เขียนและแก้ระบบ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ จากสมการที่ 2 เราแสดง $x=4 \cdot y^(2)$ — แทนที่สมการที่ 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ ขวา )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ เป็นผลให้ได้คะแนนคงที่ 2 คะแนน:
   1) $y=0 \ลูกศรขวา x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   ให้เราตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขสุดขั้วที่เพียงพอ:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) สำหรับจุด $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) สำหรับจุด $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$ ดังนั้นจึงมีจุดสิ้นสุดที่ $M_(2)$ และตั้งแต่ $A_(2)>0 $ แล้วนี่คือขั้นต่ำ
   คำตอบ: จุด $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $f$
   

2. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับเอ็กซ์ตรีม $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$
   วิธีการแก้

   ค้นหาจุดคงที่: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   เขียนและแก้ระบบ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(กรณี) \ลูกศรขวา x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ เป็นจุดคงที่
   มาตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขสุดขั้วที่เพียงพอกัน: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   คำตอบ: ไม่มีความสุดโต่ง
   

จำกัดเวลา: 0

การนำทาง (หมายเลขงานเท่านั้น)

เสร็จสิ้น 0 จาก 4 งาน

ข้อมูล

ทำแบบทดสอบนี้เพื่อทดสอบความรู้ของคุณในหัวข้อที่คุณเพิ่งอ่าน Local Extrema of Functions of Many Variables

คุณเคยทำการทดสอบมาก่อนแล้ว คุณไม่สามารถเรียกใช้ได้อีก

กำลังโหลดการทดสอบ...

คุณต้องเข้าสู่ระบบหรือลงทะเบียนเพื่อเริ่มการทดสอบ

คุณต้องทำการทดสอบต่อไปนี้เพื่อเริ่มการทดสอบนี้:

ผลลัพธ์

คำตอบที่ถูกต้อง: 0 จาก 4

เวลาของคุณ:

หมดเวลา

คุณได้คะแนน 0 จาก 0 คะแนน (0 )

คะแนนของคุณถูกบันทึกไว้ในกระดานผู้นำ

1. พร้อมคำตอบ
2. เช็คเอาท์

งาน 1 จาก 4

1 .

จำนวนคะแนน: 1

ตรวจสอบฟังก์ชัน $f$ สำหรับ extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

อย่างถูกต้อง


ไม่ถูกต้อง


1. งาน 2 ของ 4

   2 .

   จำนวนคะแนน: 1

   ฟังก์ชัน $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$