กระบวนการมาร์คอฟเรียกว่าโมเดลมุมมอง กระบวนการมาร์คอฟนิ่ง

และเงื่อนไขและ 2 ( ที,เอ็กซ์) = 0.

ให้ tt เป็นช่วงเวลาที่ถึงขอบเขตเป็นครั้งแรก ดีดีภูมิภาค วิถีกระบวนการ จากนั้นภายใต้เงื่อนไขบางประการ ฟังก์ชัน

เป็นไปตามสมการ

และรับค่า cp บนเซต

คำตอบของปัญหาค่าขอบเขตที่ 1 สำหรับพาราโบลาเชิงเส้นทั่วไป สมการลำดับที่ 2

ภายใต้สมมติฐานที่ค่อนข้างทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ในกรณีที่ L และฟังก์ชัน ส, ฉไม่ต้องพึ่ง ส,การแทนค่าที่คล้ายกับ (9) ก็เป็นไปได้เช่นกันสำหรับการแก้วงรีเชิงเส้น สมการ แม่นยำยิ่งขึ้นคือฟังก์ชัน

ภายใต้สมมติฐานบางอย่างมีปัญหา

ในกรณีที่ตัวดำเนินการ L เสื่อม (del b( ส, x) = 0 ).หรือ ดีดียังไม่ “ดี” เพียงพอ ค่าขอบเขตอาจไม่ได้รับการยอมรับจากฟังก์ชัน (9), (10) ที่แต่ละจุดหรือทั้งชุด แนวคิดของจุดขอบเขตปกติสำหรับตัวดำเนินการ ลมีการตีความความน่าจะเป็น ที่จุดปกติของขอบเขต ค่าขอบเขตจะได้มาจากฟังก์ชัน (9), (10) การแก้ปัญหา (8), (11) ช่วยให้เราสามารถศึกษาคุณสมบัติของกระบวนการแพร่กระจายและหน้าที่ของมันได้

มีวิธีการสร้าง MP ที่ไม่ต้องใช้การสร้างคำตอบของสมการ (6), (7) เป็นต้น วิธี สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มการเปลี่ยนแปลงการวัดอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน เป็นต้น กรณีนี้เมื่อประกอบกับสูตร (9) (10) ทำให้เราสามารถสร้างและศึกษาคุณสมบัติของปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการ (8) ได้อย่างน่าจะเป็น ตลอดจนคุณสมบัติของการแก้ของ รูปไข่ที่สอดคล้องกัน สมการ

เนื่องจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มนั้นไม่ไวต่อความเสื่อมของเมทริกซ์ b( ส, x), ที่วิธีความน่าจะเป็นถูกนำมาใช้เพื่อสร้างคำตอบเพื่อลดสมการเชิงอนุพันธ์วงรีและพาราโบลา การขยายหลักการหาค่าเฉลี่ยของ N. M. Krylov และ N. N. Bogolyubov ไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มทำให้เป็นไปได้โดยใช้ (9) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์วงรีและพาราโบลา ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหายาก ๆ ในการศึกษาคุณสมบัติของการแก้สมการประเภทนี้ด้วยพารามิเตอร์ขนาดเล็กที่อนุพันธ์สูงสุดโดยใช้การพิจารณาความน่าจะเป็น การแก้โจทย์ค่าขอบเขตที่ 2 ของสมการ (6) ก็มีความหมายความน่าจะเป็นเช่นกัน การกำหนดปัญหาค่าขอบเขตสำหรับโดเมนที่ไม่มีขอบเขตนั้นมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการเกิดซ้ำของกระบวนการแพร่กระจายที่สอดคล้องกัน

ในกรณีของกระบวนการที่เป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา (L ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ s) วิธีแก้สมการที่เป็นบวกจนถึงค่าคงที่การคูณจะเกิดขึ้นพร้อมกันภายใต้สมมติฐานบางอย่างกับความหนาแน่นของการกระจายแบบคงที่ของ MP ข้อพิจารณาเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็กลายเป็น จะมีประโยชน์เมื่อพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตของพาราโบลาแบบไม่เชิงเส้น สมการ ร. 3. คาสมินสกี้

สว่าง: Markov A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society of Kazan University", 2449, เล่ม 15, ลำดับ 4, หน้า 135-56; V a s he l i e r L., "Ann. วิทยาศาสตร์. Ecole norm, super.", 1900, v. 17 น. 21-86; Kolmogorov A.N. , "คณิตศาสตร์แอน", 2474, Bd 104, S. 415-458; มาตุภูมิ แปล - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 2481 ศตวรรษ 5, น. 5-41; Zhun Kai-lai, โซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน, ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2507; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, น. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., “ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์” 1956 เล่ม 1 ศตวรรษ 1, น. 149-55; Xant J.-A. กระบวนการและศักยภาพของมาร์คอฟ ทรานส์ จากภาษาอังกฤษ ม. 2505; D e l l a s he r i K. ความจุและ กระบวนการสุ่ม, ทรานส์ จากฝรั่งเศส ม. 2518; Dynkin E.V. รากฐานของทฤษฎี กระบวนการมาร์คอฟ, ม. , 2502; เขา กระบวนการ Markov, M. , 1963; G และ h man I. I., S k or o x o d A. V., ทฤษฎีกระบวนการสุ่ม, เล่ม 2, M. , 1973; Freidlin M.I. ในหนังสือ: ผลลัพธ์ของวิทยาศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น, . - เชิงทฤษฎี พ.ศ. 2509 ม. 2510 หน้า 7-58; X a sminskiy R. 3., “ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์” 1963 เล่ม 8 ใน

กระบวนการมาร์คอฟ- กระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง X(t) ซึ่งสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้จำนวน 2 จำนวน คือ ความน่าจะเป็น P(x,t) ที่ตัวแปรสุ่ม x(t) ณ เวลา t เท่ากับ x และความน่าจะเป็น P(x2, t2½x1t1) นั่น... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

กระบวนการมาร์คอฟ- กระบวนการสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง X(t) ซึ่งสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้จำนวน 2 จำนวน คือ ความน่าจะเป็น P(x,t) ที่ตัวแปรสุ่ม x(t) ณ เวลา t เท่ากับ x และความน่าจะเป็น P(x2) , t2? x1t1) ว่าถ้า x ที่ t = t1... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

กระบวนการสุ่มชนิดพิเศษที่สำคัญ ตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟคือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีซึ่งความน่าจะเป็นของการสลายตัวของอะตอมที่กำหนดในช่วงเวลาสั้น ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกระบวนการของกระบวนการในช่วงก่อนหน้า.... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ - Markovo ดำเนินการสถานะ T sritis automatika atitikmenys: engl กระบวนการมาร์คอฟ มาร์คอฟโปรเซส, ม. รัสเซีย. กระบวนการมาร์คอฟ, ม.; กระบวนการมาร์คอฟ, m pranc. ประมวลผล markovien, ม … Automatikos สิ้นสุด žodynas

กระบวนการมาร์คอฟ- Markovo vyksmas สถานะ T sritis fizika atitikmenys: engl กระบวนการมาร์คอฟ; กระบวนการมาร์โคเวียน vok มาร์โคฟ โพรเซส, ม.; มาร์โควเชอร์ โปรเซส, ม. รัสเซีย. กระบวนการมาร์คอฟ, ม.; กระบวนการมาร์คอฟ, m pranc. โปรเซสเดอมาร์กอฟ, ม.; processus marcovien, m;… … Fizikos สิ้นสุด žodynas

กระบวนการสุ่มชนิดพิเศษที่สำคัญ ตัวอย่างของกระบวนการมาร์คอฟคือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีซึ่งความน่าจะเป็นของการสลายตัวของอะตอมที่กำหนดในช่วงเวลาสั้น ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกระบวนการของกระบวนการในช่วงก่อนหน้า.... ... พจนานุกรมสารานุกรม

กระบวนการสุ่มชนิดพิเศษที่สำคัญ (ดูกระบวนการสุ่ม) ที่มี ความสำคัญอย่างยิ่งในการประยุกต์ทฤษฎีความน่าจะเป็นกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยีสาขาต่างๆ ตัวอย่างของกระบวนการแม่เหล็กคือการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี… … สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

การค้นพบที่โดดเด่นในสาขาคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นในปี 1906 โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย A.A. มาร์คอฟ.

สมมติฐานเกี่ยวกับธรรมชาติของปัวซองในกระแสคำขอและการกระจายเวลาบริการแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลนั้นมีคุณค่าเนื่องจากอนุญาตให้นำไปประยุกต์ในทางทฤษฎีได้ กำลังเข้าคิวเครื่องมือของกระบวนการสุ่มที่เรียกว่ามาร์คอฟ

กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบทางกายภาพเรียกว่ากระบวนการมาร์คอฟ (หรือกระบวนการที่ไม่มีผลกระทบ) หากความน่าจะเป็นของสถานะใด ๆ ของระบบในอนาคตขึ้นอยู่กับสถานะของระบบในขณะปัจจุบันเท่านั้นและทำ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าระบบมาถึงสถานะนี้ได้อย่างไร

ลองพิจารณาตัวอย่างเบื้องต้นของกระบวนการสุ่มของมาร์คอฟ จุดเคลื่อนที่แบบสุ่มไปตามแกนแอบซิสซา ในขณะนั้น จุดนั้นอยู่ที่จุดกำเนิดและคงอยู่ตรงนั้นเป็นเวลาหนึ่งวินาที วินาทีต่อมา มีการโยนเหรียญ ถ้าแขนเสื้อหลุดออกไป จุดจะเคลื่อนไปทางขวาหนึ่งหน่วยความยาว ถ้าตัวเลขเคลื่อนไปทางซ้าย วินาทีต่อมา เหรียญถูกโยนอีกครั้งและมีการเคลื่อนไหวแบบสุ่มแบบเดียวกัน ฯลฯ กระบวนการเปลี่ยนตำแหน่งของจุด (หรืออย่างที่พวกเขาพูดว่า "เดิน") เป็นกระบวนการสุ่มที่มีเวลาไม่ต่อเนื่องและเซตที่นับได้ ของรัฐ

แผนภาพของการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้สำหรับกระบวนการนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 19.7.1.

ให้เราแสดงให้เห็นว่ากระบวนการนี้คือมาร์โคเวียน อันที่จริง ลองจินตนาการว่า ณ จุดหนึ่ง ระบบจะอยู่ในสถานะหนึ่งหน่วยทางด้านขวาของจุดกำเนิด ตำแหน่งที่เป็นไปได้ของจุดหลังจากหน่วยเวลาจะมีความน่าจะเป็น 1/2 และ 1/2 ผ่านสองหน่วย - , , โดยมีความน่าจะเป็น 1/4, ½, 1/4 และอื่นๆ แน่นอนว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นอยู่ ณ จุดใดในขณะนั้นเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นไปถึงจุดนั้นได้อย่างไร

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง มีอุปกรณ์ทางเทคนิคประกอบด้วยองค์ประกอบ (ชิ้นส่วน) ประเภทและมีความทนทานต่างกัน องค์ประกอบเหล่านี้อาจล้มเหลวในเวลาสุ่มและแยกจากกัน การทำงานที่เหมาะสมของแต่ละองค์ประกอบเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งต่อการทำงานของอุปกรณ์โดยรวม เวลาดำเนินการที่ปราศจากความล้มเหลวขององค์ประกอบเป็นตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎเลขชี้กำลัง สำหรับองค์ประกอบประเภทและพารามิเตอร์ของกฎหมายนี้มีความแตกต่างและเท่ากับและตามลำดับ ในกรณีที่อุปกรณ์ขัดข้อง จะมีการดำเนินการตามมาตรการทันทีเพื่อระบุสาเหตุและองค์ประกอบที่ผิดพลาดที่ตรวจพบจะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบใหม่ทันที เวลาที่จำเป็นในการกู้คืน (ซ่อมแซม) อุปกรณ์จะได้รับการกระจายตามกฎเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์ (หากองค์ประกอบประเภท ) และ (หากองค์ประกอบประเภท ) ล้มเหลว

ในตัวอย่างนี้ กระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นในระบบเป็นกระบวนการมาร์คอฟที่มีเวลาต่อเนื่องและชุดสถานะที่มีขอบเขตจำกัด:

ทุกองค์ประกอบใช้งานได้ดี ระบบใช้งานได้

องค์ประกอบประเภทมีข้อบกพร่อง ระบบกำลังซ่อมแซม

องค์ประกอบประเภทมีข้อบกพร่อง ระบบกำลังได้รับการซ่อมแซม

แผนภาพของการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้จะแสดงในรูป 19.7.2.

แท้จริงแล้วกระบวนการนี้มีคุณสมบัติของมาร์คอฟ ตัวอย่างเช่น ในขณะนี้ระบบอยู่ในสถานะ (ใช้งานได้) เนื่องจากเวลาการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบเป็นตัวบ่งชี้ ช่วงเวลาแห่งความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในอนาคตจึงไม่ขึ้นอยู่กับระยะเวลาในการทำงาน (เมื่อส่งมอบ) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ในอนาคตระบบจะยังคงอยู่ในสถานะหรือปล่อยทิ้งไว้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ "ยุคก่อนประวัติศาสตร์" ของกระบวนการ ให้เราสมมติว่าในขณะนี้ระบบอยู่ในสถานะ (องค์ประกอบประเภทมีข้อบกพร่อง) เนื่องจากเวลาในการซ่อมแซมยังเป็นตัวบ่งชี้ ความน่าจะเป็นในการซ่อมแซมให้เสร็จสิ้นในเวลาใดๆ หลังจากนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าการซ่อมแซมเริ่มต้นเมื่อใดและเมื่อใดที่มีการส่งมอบส่วนประกอบ (ที่สามารถซ่อมบำรุงได้) ที่เหลือ ดังนั้นกระบวนการนี้คือมาร์โคเวียน

โปรดทราบว่าการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของเวลาการทำงานขององค์ประกอบและการกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของเวลาในการซ่อมแซมเป็นเงื่อนไขที่สำคัญ โดยที่กระบวนการนี้จะไม่ใช่ Markovian อันที่จริง ให้เราสมมติว่าเวลาของการดำเนินการที่เหมาะสมขององค์ประกอบนั้นไม่ได้กระจายตามกฎเลขชี้กำลัง แต่เป็นไปตามกฎอื่นบางข้อ - ตัวอย่างเช่นตามกฎความหนาแน่นสม่ำเสมอในพื้นที่ ซึ่งหมายความว่าแต่ละองค์ประกอบรับประกันว่าจะทำงานได้ในช่วงระยะเวลาหนึ่ง และในส่วนต่อจากนี้ไปอาจล้มเหลวได้ทุกเมื่อโดยมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเท่ากัน สมมติว่า ณ จุดใดจุดหนึ่งองค์ประกอบทำงานอย่างถูกต้อง แน่นอนว่า ความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบจะล้มเหลว ณ จุดใดจุดหนึ่งในอนาคตขึ้นอยู่กับระยะเวลาในการติดตั้งองค์ประกอบนั้น กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับประวัติก่อนหน้า และกระบวนการจะไม่ใช่ Markovian

สถานการณ์จะคล้ายกับเวลาในการซ่อม หากไม่ได้บ่งชี้และองค์ประกอบกำลังได้รับการซ่อมแซมในขณะนี้เวลาในการซ่อมแซมที่เหลือจะขึ้นอยู่กับว่าเริ่มต้นเมื่อใด กระบวนการนี้จะไม่ใช่ Markovian อีกครั้ง

โดยทั่วไป การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลมีบทบาทพิเศษในทฤษฎีกระบวนการสุ่มของมาร์คอฟที่มีเวลาต่อเนื่องกัน เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าในกระบวนการ Markov ที่อยู่กับที่ เวลาที่ระบบยังคงอยู่ในสถานะใดๆ จะถูกกระจายตามกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลเสมอ (โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ในสถานะนี้ โดยทั่วไป) อันที่จริง ให้เราสมมติว่าในขณะนี้ระบบอยู่ในสถานะและอยู่ในระบบมาระยะหนึ่งแล้ว ตามคำจำกัดความของกระบวนการมาร์คอฟ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ในอนาคตไม่ได้ขึ้นอยู่กับประวัติศาสตร์ที่ผ่านมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นที่ระบบจะออกจากสถานะภายในเวลาที่กำหนดไม่ควรขึ้นอยู่กับระยะเวลาที่ระบบใช้ไปแล้วในสถานะนั้น ด้วยเหตุนี้ เวลาที่ระบบยังคงอยู่ในสถานะจึงต้องกระจายตามกฎเลขชี้กำลัง

ในกรณีที่กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบทางกายภาพที่มีชุดสถานะที่นับได้และเวลาต่อเนื่องคือมาร์โคเวียน กระบวนการนี้สามารถอธิบายได้โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ซึ่งฟังก์ชันที่ไม่รู้จักคือความน่าจะเป็นของรัฐ เราจะสาธิตการรวบรวมและการแก้สมการดังกล่าวในตัวอย่างต่อไปนี้โดยใช้ตัวอย่างระบบการจัดคิวอย่างง่าย

ภายใต้ กระบวนการสุ่มเข้าใจการเปลี่ยนแปลงในเวลาของสถานะของระบบกายภาพบางอย่างในลักษณะสุ่มที่ไม่รู้จักมาก่อน โดยที่ โดยระบบทางกายภาพที่เราหมายถึงอุปกรณ์ทางเทคนิค กลุ่มอุปกรณ์ องค์กร อุตสาหกรรม ระบบชีวภาพ ฯลฯ

กระบวนการสุ่มการไหลในระบบเรียกว่า มาร์คอฟสกี้ – หากในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง ลักษณะความน่าจะเป็นของกระบวนการ ต่อไปในอนาคต (t > ) ขึ้นอยู่กับสถานะ ณ เวลาที่กำหนดเท่านั้น ( ปัจจุบัน ) และไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าระบบจะเข้าสู่สถานะนี้เมื่อใดและอย่างไร ในอดีต .(เช่น เครื่องนับไกเกอร์ที่บันทึกจำนวนอนุภาคจักรวาล)

กระบวนการมาร์คอฟมักจะแบ่งออกเป็น 3 ประเภท:

1. ห่วงโซ่มาร์คอฟ – กระบวนการที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง (เช่น สามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) และเวลาที่พิจารณาก็แยกจากกันเช่นกัน (เช่น กระบวนการสามารถเปลี่ยนสถานะได้เฉพาะในบางจุดของเวลาเท่านั้น) กระบวนการดังกล่าวดำเนินไป (เปลี่ยนแปลง) เป็นขั้นตอน (กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นวัฏจักร)

2. กระบวนการมาร์คอฟแบบไม่ต่อเนื่อง – ชุดของสถานะไม่ต่อเนื่อง (สามารถระบุได้) และเวลาเป็นแบบต่อเนื่อง (เปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง - เมื่อใดก็ได้)

3. กระบวนการมาร์คอฟต่อเนื่อง – เซตของสถานะและเวลามีความต่อเนื่องกัน

ในทางปฏิบัติมักไม่พบกระบวนการมาร์คอฟในรูปแบบบริสุทธิ์ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งจำเป็นต้องจัดการกับกระบวนการที่สามารถละเลยอิทธิพลของยุคก่อนประวัติศาสตร์ได้ นอกจากนี้หากพารามิเตอร์ทั้งหมดจาก "อดีต" ซึ่งขึ้นอยู่กับ "อนาคต" รวมอยู่ในสถานะของระบบใน "ปัจจุบัน" ก็ถือได้ว่าเป็น Markovian เช่นกัน อย่างไรก็ตามสิ่งนี้มักจะนำไปสู่การเพิ่มขึ้นอย่างมากในจำนวนตัวแปรที่นำมาพิจารณาและไม่สามารถรับวิธีแก้ไขปัญหาได้

ในการวิจัยการดำเนินงานที่เรียกว่า กระบวนการสุ่มมาร์คอฟที่มีสถานะแยกกันและเวลาต่อเนื่องกัน.

กระบวนการนี้เรียกว่า กระบวนการที่มีสถานะแยกกัน, หากสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมด , ,... สามารถแสดงรายการ (กำหนดหมายเลขใหม่) ล่วงหน้าได้ ระบบจะเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกือบจะในทันที—แบบก้าวกระโดด

กระบวนการนี้เรียกว่า กระบวนการเวลาต่อเนื่องหากช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งสามารถรับค่าสุ่มใด ๆ บนแกนเวลาได้

ตัวอย่างเช่น : อุปกรณ์ทางเทคนิค S ประกอบด้วยสองโหนด ซึ่งแต่ละรายการสามารถล้มเหลวได้ในเวลาสุ่ม ( ปฏิเสธ). หลังจากนี้จะเริ่มซ่อมแซมเครื่องทันที ( การกู้คืน) ซึ่งจะดำเนินต่อไปในช่วงเวลาสุ่ม

สถานะของระบบต่อไปนี้เป็นไปได้:

ทั้งสองโหนดกำลังทำงาน

หน่วยแรกกำลังซ่อมแซม ส่วนหน่วยที่สองกำลังทำงานอยู่

– หน่วยที่สองกำลังซ่อมแซม หน่วยแรกกำลังทำงาน

ทั้งสองหน่วยกำลังได้รับการซ่อมแซม

การเปลี่ยนแปลงของระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเกิดขึ้นในช่วงเวลาสุ่มๆ เกือบจะในทันที สามารถแสดงสถานะของระบบและการเชื่อมต่อระหว่างกันได้อย่างสะดวก กราฟสถานะ .

รัฐ

การเปลี่ยนผ่าน

ไม่มีการเปลี่ยนแปลงเพราะว่า ความล้มเหลวและการฟื้นฟูองค์ประกอบเกิดขึ้นอย่างอิสระและสุ่ม และความน่าจะเป็นของความล้มเหลว (การกู้คืน) ของทั้งสององค์ประกอบพร้อมกันนั้นน้อยมากและสามารถละเลยได้

หากกระแสเหตุการณ์ทั้งหมดถ่ายโอนระบบ สจากรัฐสู่รัฐ - โปรโตซัว, ที่ กระบวนการ,ไหลอยู่ในระบบดังกล่าว จะเป็นมาร์คอฟสกี้. นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการไหลที่ง่ายที่สุดไม่มีผลที่ตามมานั่นคือ ในนั้น "อนาคต" ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ "อดีต" และนอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติของความธรรมดา - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปพร้อมกันนั้นมีน้อยมากนั่นคือการเปลี่ยนจากสถานะเป็น รัฐโดยไม่ผ่านรัฐกลางหลายแห่งเป็นไปไม่ได้

เพื่อความชัดเจนบนกราฟสถานะ จะสะดวกในการระบุที่ลูกศรการเปลี่ยนแปลงแต่ละอันถึงความเข้มของการไหลของเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐตามลูกศรที่กำหนด ( -ความเข้มของการไหลของเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากสถานะ วี. กราฟดังกล่าวเรียกว่า ทำเครื่องหมาย

คุณสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการนี้ได้โดยใช้กราฟสถานะระบบที่มีป้ายกำกับ

ให้เราพิจารณาการเปลี่ยนผ่านของระบบจากสถานะหนึ่งไปเป็นสถานะก่อนหน้าหรือสถานะถัดมา ส่วนของกราฟสถานะในกรณีนี้จะมีลักษณะดังนี้:

ให้ระบบในขณะนั้น ทีอยู่ในสภาพ

ให้เราแสดงว่า (t)- ความน่าจะเป็นของสถานะ i-th ของระบบ– ความน่าจะเป็นที่ระบบ ณ เวลานั้น ทีอยู่ในสภาพ ตลอดเวลา t = 1 เป็นจริง

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นในขณะนั้น t+∆t ระบบจะเข้า. อาจเป็นในกรณีต่อไปนี้:

1) และไม่ปล่อยไว้ในช่วงเวลา ∆ t ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลา ∆t ไม่ได้เกิดขึ้นเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบไปสู่สถานะ (โฟลว์ที่มีความเข้มข้น) หรือเหตุการณ์ที่ถ่ายโอนไปยังสถานะ (โฟลว์ที่มีความเข้มข้น) ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นของค่านี้สำหรับ ∆t เล็กน้อย

ด้วยกฎเอ็กซ์โปเนนเชียลของการกระจายเวลาระหว่างสองความต้องการที่อยู่ใกล้เคียง ซึ่งสอดคล้องกับโฟลว์ที่ง่ายที่สุดของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา ∆ ไม่มีข้อกำหนดเดียวจะเกิดขึ้นในโฟลว์ที่มีความเข้มข้น แล 1จะเท่ากัน

การขยายฟังก์ชัน f(t) ให้เป็นอนุกรม Taylor (t>0) ที่เราได้รับ (สำหรับ t=∆t)

ฉ(∆t)=f(0)+ (0)* ∆t + *∆ + *∆ +…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +..." 1-l*∆t ที่ ∆t®0

ในทำนองเดียวกัน เราได้กระแสที่มีความเข้มข้น แลมบ์ 2 .

ความน่าจะเป็นที่ในช่วงเวลา ∆t (ที่ ∆t®0) จะไม่มีข้อกำหนดใดที่จะเท่ากัน

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

1 - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + bpm

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ระบบไม่ออกจากสถานะในช่วงเวลา ∆t จะเท่ากับ

พี( / )=1 – ( + )* ∆ต

2) ระบบอยู่ในสถานะ S i -1 และสำหรับเวลา ผ่านเข้าสู่สถานะ S i . นั่นคือมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นในโฟลว์ที่มีความเข้มข้น ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้จะเท่ากันสำหรับการไหลที่ง่ายที่สุดที่มีความเข้มข้น λ จะ

ในกรณีของเรา ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะเท่ากับ

3)ระบบอยู่ในสถานะ และในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t ก็เปลี่ยนไปสู่สถานะ . ความน่าจะเป็นนี้จะเป็น

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ระบบ ณ เวลา (t+∆t) จะอยู่ในสถานะ S i เท่ากับ

ให้เราลบ P i (t) จากทั้งสองข้าง หารด้วย ∆t และผ่านไปยังลิมิต ที่ ∆t→0 เราจะได้

เราได้รับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงในความน่าจะเป็นของสถานะของระบบเป็นฟังก์ชันของเวลาโดยการแทนที่ค่าที่สอดคล้องกันของความเข้มของการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการ โคลโมโกรอฟ-แชปแมน สำหรับกระบวนการมาร์คอฟแบบแยกส่วน

ถามไปแล้ว เงื่อนไขเริ่มต้น(ตัวอย่างเช่น P 0 (t=0)=1,P i (t=0)=0 i≠0) และเมื่อแก้ไขได้แล้ว เราจะได้นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นของสถานะของระบบที่เป็นฟังก์ชันของเวลา วิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ได้ค่อนข้างง่ายหากจำนวนสมการคือ ≤ 2.3 หากมีมากกว่านั้น สมการมักจะแก้เป็นตัวเลขบนคอมพิวเตอร์ (เช่น โดยวิธี Runge-Kutta)

ในทฤษฎีกระบวนการสุ่ม พิสูจน์แล้ว , อะไร ถ้าหมายเลข n สถานะของระบบ แน่นอน และจากแต่ละอันก็เป็นไปได้ (สำหรับ หมายเลขสุดท้ายขั้นตอน) ไปที่อื่น แล้วมีขีดจำกัด ซึ่งความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นเมื่อใด เสื้อ→ . ความน่าจะเป็นดังกล่าวเรียกว่า ความน่าจะเป็นสุดท้าย รัฐและสภาวะคงตัวก็คือ โหมดนิ่ง การทำงานของระบบ

เนื่องจากอยู่ในโหมดนิ่งทุกอย่าง ดังนั้น ทุกอย่าง =0 ด้วยการทำให้ด้านซ้ายของระบบสมการเท่ากับ 0 และเสริมด้วยสมการ =1 เราจะได้ระบบเชิงเส้น สมการพีชคณิตการแก้ปัญหาซึ่งเราจะค้นหาค่าของความน่าจะเป็นสุดท้าย

ตัวอย่าง. ให้อัตราความล้มเหลวและอัตราการฟื้นตัวขององค์ประกอบในระบบของเราเป็นดังนี้:

ความล้มเหลว 1el:

2เอล:

ซ่อมแซม 1el:

2เอล:

ป 0 +พี 1 +พี 2 +พี 3 =1

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)ป 1 +1P 0 +3P 3

0=-(1+3)ป 2 +2P 0 +2P 3

0=-(2+3)ป 3 +2P 1 +1P 2

หลังจากตัดสินใจแล้ว ระบบนี้, เราได้รับ

พี 0 =6/15=0.4; พี 1 =3/15=0.2; พี 2 =4/15=0.27; พี 3 =2/15ñ0.13

เหล่านั้น. วี รัฐนิ่งระบบโดยเฉลี่ย

40% อยู่ในสถานะ S 0 (ทั้งสองโหนดใช้งานได้)

20% - ในสภาพ S 1 (หน่วยที่ 1 กำลังซ่อมแซม หน่วยที่ 2 ใช้งานได้)

27% - ในสภาพ S 2 (หน่วยไฟฟ้าตัวที่ 2 กำลังซ่อมแซม ตัวที่ 1 อยู่ในสภาพใช้งานได้)

13% - ในสภาพ S 3 - ทั้งสองเครื่องอยู่ระหว่างการซ่อมแซม

การรู้ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายจะช่วยให้ได้ ประเมินประสิทธิภาพโดยเฉลี่ยของระบบและปริมาณงานของบริการซ่อม

ให้ระบบอยู่ในสถานะ S 0 สร้างรายได้ 8 หน่วยธรรมดา ต่อหน่วยเวลา ในสถานะ S 1 - รายได้ 3 หน่วยธรรมดา ในสถานะ S 2 - รายได้ 5 ในสถานะ S 3 - รายได้ = 0

ราคา การซ่อมแซม ต่อหน่วยเวลาสำหรับองค์ประกอบ 1- 1(S 1, S 3) หน่วยทั่วไป, องค์ประกอบ 2- (S 2, S 3) 2 หน่วยทั่วไป จากนั้นในโหมดนิ่ง:

รายได้ของระบบต่อหน่วยเวลาจะเป็น:

W ต่อ =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8·0.4+3·0.2+5·0.27+0·0.13=5.15 หน่วยทั่วไป

ค่าซ่อมในหน่วย เวลา:

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0·0.4+1·0.2+2·0.27+3·0.13=1.39 หน่วยทั่วไป

กำไรต่อหน่วยเวลา

W= W หายใจออก -W ซ่อมแซม =5.15-1.39= 3.76 หน่วยธรรมดา

ด้วยการใช้ค่าใช้จ่ายบางอย่าง คุณสามารถเปลี่ยนความเข้ม แลมบ์ และ μ และตามประสิทธิภาพของระบบได้ ความเป็นไปได้ของค่าใช้จ่ายดังกล่าวสามารถประเมินได้โดยการคำนวณ P i ใหม่ และตัวชี้วัดประสิทธิภาพของระบบ

กระบวนการสุ่มคือชุดหรือตระกูล ตัวแปรสุ่มซึ่งค่าจะถูกจัดทำดัชนีโดยพารามิเตอร์เวลา เช่น จำนวนนักเรียนในห้องเรียน ความดันบรรยากาศหรืออุณหภูมิในหอประชุมนี้ตามฟังก์ชันของเวลาเป็นกระบวนการสุ่ม

กระบวนการสุ่มถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบสุ่มที่ซับซ้อนในฐานะแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอของการทำงานของระบบดังกล่าว

แนวคิดพื้นฐานสำหรับกระบวนการสุ่มคือแนวคิด สถานะกระบวนการและ การเปลี่ยนแปลงจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง

ค่าของตัวแปรที่อธิบายกระบวนการสุ่มในเวลาที่กำหนดเรียกว่า เงื่อนไขสุ่มกระบวนการ. กระบวนการสุ่มทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งหากค่าของตัวแปรที่กำหนดสถานะหนึ่งเปลี่ยนเป็นค่าที่กำหนดสถานะอื่น

จำนวนสถานะที่เป็นไปได้ (พื้นที่สถานะ) ของกระบวนการสุ่มสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด หากจำนวนสถานะที่เป็นไปได้มีจำกัดหรือนับได้ (สามารถกำหนดสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้ หมายเลขซีเรียล) จากนั้นจึงเรียกกระบวนการสุ่ม กระบวนการที่มีสถานะแยกกัน. ตัวอย่างเช่น จำนวนลูกค้าในร้านค้า จำนวนลูกค้าในธนาคารในระหว่างวัน อธิบายโดยกระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกัน

หากตัวแปรที่อธิบายกระบวนการสุ่มสามารถรับค่าใด ๆ จากช่วงเวลาที่ต่อเนื่องอันมีขอบเขตหรืออนันต์ ดังนั้น จำนวนสถานะจึงนับไม่ได้ กระบวนการสุ่มจึงถูกเรียกว่า กระบวนการที่มีสถานะต่อเนื่อง. ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิอากาศในระหว่างวันเป็นกระบวนการสุ่มที่มีสถานะต่อเนื่อง

กระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกันมีลักษณะเฉพาะคือการเปลี่ยนอย่างกะทันหันจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง ในขณะที่ในกระบวนการที่มีสถานะต่อเนื่อง การเปลี่ยนจะราบรื่น นอกจากนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะกระบวนการที่มีสถานะแยกกันเท่านั้น ซึ่งมักเรียกว่า ห่วงโซ่.

ให้เราแสดงโดย ก(ที) เป็นกระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกันและค่าที่เป็นไปได้ ก(ที), เช่น. สถานะที่เป็นไปได้ของวงจร - ผ่านสัญลักษณ์ อี 0 , อี 1 , อี 2 , … . บางครั้งตัวเลข 0, 1, 2,... จากอนุกรมธรรมชาติถูกนำมาใช้เพื่อแสดงถึงสถานะที่ไม่ต่อเนื่องกัน

กระบวนการสุ่ม ก(ที) ถูกเรียก กระบวนการกับไม่ต่อเนื่องเวลาหากกระบวนการเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่งเป็นไปได้เฉพาะในช่วงเวลาที่กำหนดไว้ล่วงหน้าอย่างเคร่งครัดเท่านั้น ที 0 , ที 1 , ที 2 , … . หากการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเป็นไปได้ ณ จุดที่ไม่ทราบมาก่อน กระบวนการสุ่มจะถูกเรียก กระบวนการด้วยความต่อเนื่องเวลา. ในกรณีแรก เห็นได้ชัดว่าช่วงเวลาระหว่างการเปลี่ยนผ่านนั้นถูกกำหนดไว้ และในช่วงที่สองจะเป็นตัวแปรสุ่ม

กระบวนการแบบไม่ต่อเนื่องเวลาเกิดขึ้นเมื่อโครงสร้างของระบบที่อธิบายโดยกระบวนการนี้ทำให้สถานะของระบบสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะ ณ จุดที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเท่านั้น หรือเมื่อสันนิษฐานว่าเพื่ออธิบายกระบวนการ (ระบบ) ก็เพียงพอที่จะ รู้จักรัฐในบางช่วงเวลา จากนั้นช่วงเวลาเหล่านี้สามารถนับได้ และเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับรัฐได้ อี ฉันในช่วงเวลาหนึ่ง ที ฉัน .

กระบวนการสุ่มที่มีสถานะแยกกันสามารถแสดงเป็นกราฟของการเปลี่ยนผ่าน (หรือสถานะ) ซึ่งจุดยอดสอดคล้องกับสถานะ และส่วนโค้งเชิงสอดคล้องกับการเปลี่ยนจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง ถ้ามาจากรัฐ อี ฉันสามารถเปลี่ยนไปสู่สถานะเดียวได้ อี เจจากนั้นข้อเท็จจริงนี้จะสะท้อนให้เห็นบนกราฟการเปลี่ยนแปลงโดยส่วนโค้งที่พุ่งจากจุดยอด อี ฉันไปด้านบน อี เจ(รูปที่ 1 ก) การเปลี่ยนจากรัฐหนึ่งไปยังอีกหลายๆ รัฐและจากหลายรัฐไปยังรัฐเดียวจะสะท้อนให้เห็นในกราฟการเปลี่ยนแปลง ดังแสดงในรูปที่ 1, b และ 1, c

ระบบคิวมีลักษณะเป็นกระบวนการสุ่ม การศึกษากระบวนการสุ่มที่เกิดขึ้นในระบบและการแสดงออกทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นเรื่องของทฤษฎีการเข้าคิว

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของระบบคิวจะอำนวยความสะดวกอย่างมากหากกระบวนการสุ่มของการดำเนินการนี้เกิดขึ้น มาร์คอฟสกี้. กระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบเรียกว่ามาร์โคเวียน ถ้าความน่าจะเป็นของสถานะใด ๆ ของระบบในอนาคตจะขึ้นอยู่กับสถานะของระบบในขณะนั้นเท่านั้น ช่วงเวลานี้และไม่ขึ้นอยู่กับว่าระบบมาถึงสถานะนี้ได้อย่างไร เมื่อค้นคว้า ระบบเศรษฐกิจกระบวนการสุ่มมาร์คอฟที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องมีการใช้กันอย่างแพร่หลายมากที่สุด

กระบวนการสุ่มเรียกว่า กระบวนการที่มีสถานะแยกกัน หากสามารถระบุสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดไว้ล่วงหน้าและกระบวนการนั้นประกอบด้วยความจริงที่ว่าในบางครั้งระบบจะข้ามจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง

กระบวนการสุ่มเรียกว่า กระบวนการที่มีสถานะต่อเนื่อง หากมีลักษณะเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ราบรื่นและค่อยเป็นค่อยไปจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง

นอกจากนี้เรายังสามารถแยกแยะกระบวนการมาร์คอฟได้ด้วย ไม่ต่อเนื่อง และ เวลาต่อเนื่อง ในกรณีแรก การเปลี่ยนระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งสามารถทำได้ในช่วงเวลาที่กำหนดไว้ล่วงหน้าอย่างเคร่งครัดเท่านั้น ในกรณีที่สอง การเปลี่ยนระบบจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่งเป็นไปได้ในช่วงเวลาสุ่มที่ไม่ทราบมาก่อน หากความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงไม่ขึ้นอยู่กับเวลา กระบวนการมาร์คอฟจะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกัน

ในการศึกษาระบบคิว กระบวนการมาร์คอฟแบบสุ่มที่มีสถานะไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่องมีความสำคัญอย่างยิ่ง

การศึกษากระบวนการมาร์คอฟขึ้นอยู่กับการศึกษาเมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลง () แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ดังกล่าว (โฟลว์เหตุการณ์) แสดงถึงความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากสถานะที่กำหนด (ตรงกับแถว) ไปยังสถานะถัดไป (ตรงกับคอลัมน์) เมทริกซ์นี้ให้การเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ทั้งหมด ชุดที่ให้มารัฐ ดังนั้น กระบวนการที่สามารถอธิบายและสร้างแบบจำลองโดยใช้เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจะต้องขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของสถานะใดสถานะหนึ่งบนสถานะก่อนหน้าทันที ก็เป็นเช่นนี้แล. ห่วงโซ่มาร์คอฟ ในกรณีนี้ ลูกโซ่มาร์คอฟลำดับที่หนึ่งเป็นกระบวนการที่แต่ละสถานะเฉพาะขึ้นอยู่กับสถานะก่อนหน้าเท่านั้น ห่วงโซ่มาร์คอฟของลำดับที่สองและสูงกว่านั้นเป็นกระบวนการที่ สถานะปัจจุบันขึ้นอยู่กับสองรายการก่อนหน้าขึ้นไป

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างเมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงสองตัวอย่าง

เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านสามารถแสดงด้วยกราฟสถานะการเปลี่ยน ดังแสดงในรูป

ตัวอย่าง

บริษัทผลิตสินค้าที่ทำให้ตลาดอิ่มตัว หากองค์กรทำกำไร (P) จากการขายสินค้าในเดือนปัจจุบัน ความน่าจะเป็น 0.7 องค์กรจะได้รับกำไรในเดือนหน้า และความน่าจะเป็น 0.3 - ขาดทุน หากในเดือนปัจจุบันองค์กรได้รับผลขาดทุน (L) ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 ในเดือนหน้าองค์กรจะได้รับผลกำไรและความน่าจะเป็น 0.6 - การสูญเสีย (ได้รับค่าประมาณความน่าจะเป็นจากผลการสำรวจ ของผู้เชี่ยวชาญ) คำนวณประมาณการความน่าจะเป็นในการรับกำไรจากการขายสินค้าหลังจากดำเนินการสองเดือนขององค์กร

ในรูปแบบเมทริกซ์ ข้อมูลนี้จะแสดงดังต่อไปนี้ (สอดคล้องกับตัวอย่างเมทริกซ์ 1):

ทำซ้ำครั้งแรก – การสร้างเมทริกซ์ของการเปลี่ยนผ่านสองขั้นตอน

หากบริษัททำกำไรในเดือนปัจจุบัน ความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรอีกครั้งในเดือนหน้าจะเท่ากับ

หากบริษัททำกำไรได้ในเดือนปัจจุบัน ความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนในเดือนหน้าจะเท่ากับ

หากบริษัทขาดทุนในเดือนปัจจุบัน ความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรในเดือนหน้าจะเท่ากับ

หากบริษัทขาดทุนในเดือนปัจจุบัน ความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนอีกครั้งในเดือนหน้าจะเท่ากับ

จากการคำนวณเราได้รับเมทริกซ์ของการเปลี่ยนสองขั้นตอน:

ผลลัพธ์ที่ได้คือการคูณเมทริกซ์ t ต่อเมทริกซ์โดยมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากัน:

เพื่อดำเนินการตามขั้นตอนเหล่านี้ใน สภาพแวดล้อมของ Excelคุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

• 1) สร้างเมทริกซ์;
• 2) เรียกใช้ฟังก์ชัน MULTIPLE;
• 3) ระบุอาร์เรย์แรก - เมทริกซ์;
• 4) ระบุอาร์เรย์ที่สอง (เมทริกซ์เดียวกันหรืออื่น ๆ );
• 5) ตกลง;
• 6) เลือกโซนของเมทริกซ์ใหม่
• 7) F2;
• 8) Ctrl+Shift+Enter;
• 9) รับเมทริกซ์ใหม่

ทำซ้ำครั้งที่สอง – การสร้างเมทริกซ์ของการเปลี่ยนผ่านสามขั้นตอน ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้รับกำไรหรือขาดทุนในขั้นตอนถัดไปจะถูกคำนวณ และเมทริกซ์ของการเปลี่ยนผ่านสามขั้นตอนจะถูกคำนวณ โดยมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ดังนั้นในอีกสองเดือนข้างหน้าของการดำเนินงานขององค์กรความน่าจะเป็นที่จะทำกำไรจากการเปิดตัวผลิตภัณฑ์จึงสูงกว่าความน่าจะเป็นที่จะขาดทุน แต่ควรสังเกตด้วยว่าโอกาสทำกำไรลดลง บริษัทจึงจำเป็นต้องพัฒนาผลิตภัณฑ์ใหม่ทดแทนผลิตภัณฑ์ที่ผลิต