แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีอธิบายของจริง สถานการณ์ชีวิต(งาน) โดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ สถานการณ์จริงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ Christina และ Gleb มีจำนวนแสตมป์เท่ากัน x = y Christina มีแสตมป์มากกว่า Gleb 6 ดวง x + 6 = y x - 6 = y x + y= 6 Gleb มีแสตมป์มากกว่า Christina 4 เท่า 4x = y x = y 4y:x=4

ผู้ปฏิบัติงานคนแรกทำงานให้เสร็จใน t ชั่วโมง และคนที่สองทำงานเดียวกันให้เสร็จใน v ชั่วโมง ในขณะที่ผู้ปฏิบัติงานคนแรกทำงานมากกว่าคนที่สอง 3 ชั่วโมง

แอปเปิ้ลสามกิโลกรัมมีราคาเท่ากับลูกแพร์สองกิโลกรัม ในขณะเดียวกัน เป็นที่ทราบกันดีว่าแอปเปิ้ล 1 กิโลกรัมมีราคา x r. และลูกแพร์ 1 กิโลกรัมมีราคา x r เอ็กซ์ อาร์ ที่แม่น้ำ

ราคาของน้ำส้มเขียวหวานหนึ่งแก้วคือ p. และน้ำองุ่นหนึ่งแก้วคือ b p. เป็นที่ทราบกันว่าน้ำองุ่น 5 แก้วมีราคาเท่ากับน้ำส้มเขียวหวาน 6 แก้ว

นักปั่นจักรยานที่มีความเร็ว v 1 และผู้ขับขี่รถจักรยานยนต์ที่มีความเร็ว v 2 ออกจากจุด A และ B พร้อมกันและพบกันหลังจาก t ชั่วโมง

รถที่มีความเร็ว v 1 และบัสที่มีความเร็ว v 2 v1v1 v2v2 จุดซ้าย A พร้อมกันในทิศทางตรงกันข้าม A เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม v = v 1 + v 2

จากจุด A รถยนต์และรถบรรทุกเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกันพร้อมกันด้วยความเร็ว x กม./ชม. และ y กม./ชม. ตามลำดับ X km/h Y km/ht การเคลื่อนที่ในทิศทางเดียว v = x-y

นักปั่นออกจากจุด A ในเวลาเดียวกัน จากจุด B ซึ่งอยู่ห่างออกไป 30 กม. ในทิศทางของนักปั่น คนเดินเท้าก็เลี้ยวซ้ายไปทางเดียวกันด้วยความเร็ว x กม./ชม. เป็นที่ทราบกันว่านักปั่นไล่ตามคนเดินถนนหลังจากผ่านไป 30 กม. x กม./ชม

12 ในการแก้ปัญหาด้วยวิธีพีชคณิต การให้เหตุผลแบ่งออกเป็นสามขั้นตอน: การร่างขึ้น การรวบรวมทางคณิตศาสตร์แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ โมเดล; ทำงานกับ งานทางคณิตศาสตร์ด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (การแก้สมการ) แบบจำลอง (การแก้สมการ) คำตอบสำหรับคำถามของปัญหา ตอบคำถามของงาน ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

งานส่วนใหญ่ของชีวิตได้รับการแก้ไขเป็น สมการพีชคณิต: นำพวกเขาไปสู่ สายตาธรรมดา, เช่น. เพื่อรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เป็นเอกภาพ วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ช่วยให้เมื่อแก้ตรีโกณมิติ, เลขชี้กำลัง, สมการลอการิทึมและอสมการ ไปที่การรวบรวมแบบจำลองเดียวที่เรียบง่ายกว่า: สมการกำลังสองหรืออสมการ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ 4 x + 2 x + 1 - 24 = 0.

วิธีการแก้.

1. ด่านแรก การวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

สังเกตว่า 4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x \u003d (2 x) 2 และ 2 x + 1 \u003d 2 2 x เขียนใหม่ สมการที่กำหนดตามแบบ (2 x) 2 + 2 2 x - 24 = 0.

มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะแนะนำตัวแปรใหม่: y = 2เอ็กซ์ ; จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ 2 + 2y - 24 = 0 ได้รวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แล้ว นี่คือสมการกำลังสอง 2. ขั้นตอนที่สอง ทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว โดยการแก้สมการกำลังสอง 2 + 2y - 24 = 0 เทียบกับ y เราพบ: y 1 = 4, y 2 = -6

3. ขั้นตอนที่สาม คำตอบสำหรับคำถามปัญหา

เนื่องจาก y = 2 x ดังนั้นเราต้องแก้สมการสองสมการ: 2 x = 4; 2 x = -6

จากสมการแรก เราพบ: x = 2; สมการที่สองไม่มีรากเนื่องจากสำหรับค่าใด ๆ ของ x ความไม่เท่าเทียมกัน 2 x > 0

คำตอบ: 2.

ตัวอย่างที่ 2 ปัญหาในการค้นหาที่ใหญ่ที่สุดและ ค่าที่น้อยที่สุดปริมาณ

รถถังที่ดูเหมือน ลูกบาศก์มีฐานสี่เหลี่ยม บรรจุน้ำได้ 500 ลิตร พื้นที่ผิวของถัง (ไม่มีฝา) ด้านใดของฐานจะเล็กที่สุด

วิธีการแก้. ขั้นตอนแรก การวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1) ค่าที่เหมาะสมที่สุด (O.V.) - พื้นที่ผิวถัง เนื่องจากปัญหาจำเป็นต้องค้นหาว่าพื้นที่นี้จะเล็กที่สุดเมื่อใด กำหนด O. V. ด้วยตัวอักษร S

2) พื้นที่ผิวขึ้นอยู่กับการวัดของลูกบาศก์ เราประกาศด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ทำหน้าที่เป็นฐานของรถถังเป็นตัวแปรอิสระ (N.P.) ให้แสดงเป็น x ชัดเจนว่า x > 0 ไม่มีข้อจำกัดอื่น ดังนั้น 0

3) ถ้าถังบรรจุน้ำได้ 500 ลิตรปริมาตร V ของถังจะเท่ากับ 500 dm 3 . ถ้า h คือความสูงของถัง แล้ว V = x 2 h มาจากไหนเราจึงพบว่า h=พื้นผิวของถังประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x และสี่เหลี่ยมสี่ด้านที่มีด้าน x และ. วิธี,

ส \u003d x 2 + 4 x \u003d x 2 +

ดังนั้น S = X 2 + โดยที่ x € (0; + ) (เราพิจารณาว่า V = 500)

ได้มีการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

ระยะที่สอง ทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว

ในขั้นตอนนี้ สำหรับฟังก์ชัน S = x 2 + โดยที่ x € (0; + )

คุณต้องหา / ว่าจ้าง สิ่งนี้ต้องการอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

S" \u003d 2x -;

ส" = .

ในช่วงเวลา (0; +oo) จุดวิกฤตไม่ แต่ จุดที่นิ่งหนึ่งเดียวเท่านั้น: S" = 0 ที่ x = 10

โปรดทราบว่าสำหรับ x 10 ความไม่เท่าเทียมกัน S "> 0 เป็นที่น่าพอใจ ดังนั้น x \u003d 10 จึงเป็นจุดที่อยู่นิ่งเพียงจุดเดียวและเป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด ดังนั้น ตามทฤษฎีบทจากวรรค 1 ที่ จุดนี้ฟังก์ชันถึงค่าที่น้อยที่สุด

ขั้นตอนที่สาม คำตอบสำหรับคำถามปัญหา

โจทย์ถามว่าควรวางด้านใดของฐานเพื่อให้ถังมีพื้นผิวที่เล็กที่สุด เราพบว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งทำหน้าที่เป็นฐานของรถถังดังกล่าวคือ 10 dm

คำตอบ: 10 น.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดง่ายๆ และสำคัญมาก เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับชีวิตจริง

การพูด ภาษาธรรมดา, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือ คำอธิบายทางคณิตศาสตร์สถานการณ์ใดๆและนั่นแหล่ะ แบบจำลองสามารถเป็นแบบพื้นฐานหรือซับซ้อนมากก็ได้ สภาพเป็นอย่างไร รุ่นอะไร)

แต่อย่างใด (ฉันทำซ้ำ - แต่อย่างใด!) กรณีที่คุณต้องคำนวณบางอย่างและคำนวณ - เรามีส่วนร่วม การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์. แม้ว่าเราจะไม่รู้ก็ตาม)

P \u003d 2 CB + 3 CB

บันทึกนี้จะเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของค่าใช้จ่ายในการซื้อของเรา โมเดลไม่คำนึงถึงสีของบรรจุภัณฑ์ วันหมดอายุ ความสุภาพของพนักงานเก็บเงิน ฯลฯ นั่นเป็นเหตุผลที่เธอ แบบอย่าง,ไม่ใช่การซื้อจริง แต่ค่าใช้จ่ายเช่น สิ่งที่เราต้องการ- เราจะรู้แน่นอน ถ้ารุ่นถูกต้องแน่นอน

การจินตนาการว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คืออะไรนั้นมีประโยชน์ แต่นั่นยังไม่เพียงพอ สิ่งที่สำคัญที่สุดคือสามารถสร้างโมเดลเหล่านี้ได้

การรวบรวม (การสร้าง) แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

การรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หมายถึงการแปลเงื่อนไขของปัญหาเป็น แบบฟอร์มทางคณิตศาสตร์. เหล่านั้น. เปลี่ยนคำให้เป็นสมการ สูตร อสมการ ฯลฯ ยิ่งกว่านั้นให้หมุนเพื่อให้คณิตศาสตร์นี้สอดคล้องกันอย่างเคร่งครัด รหัสแหล่งที่มา. มิฉะนั้น เราจะลงเอยด้วยแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่นที่เราไม่รู้จัก)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณต้องการ

มีงานจำนวนไม่สิ้นสุดในโลก จึงขอเสนอให้ชัดเจน คำแนะนำทีละขั้นตอนในการวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ใดๆงานเป็นไปไม่ได้

แต่มีสามประเด็นหลักที่คุณต้องให้ความสนใจ

1. ในงานใด ๆ มีข้อความแปลกพอสมควร) ตามกฎแล้วข้อความนี้มี ข้อมูลที่ชัดเจนและเปิดเผยตัวเลข ค่า ฯลฯ

2. ในงานใดๆที่มี ข้อมูลที่ซ่อนอยู่นี่คือข้อความที่ถือว่ามีความรู้เพิ่มเติมอยู่ในหัว หากไม่มีพวกเขา - ไม่มีอะไร นอกจากนี้ข้อมูลทางคณิตศาสตร์มักถูกซ่อนอยู่เบื้องหลัง ด้วยคำพูดง่ายๆและ ... หลุดลอยไป

3. ในงานใด ๆ จะต้องมีการให้ การสื่อสารระหว่างข้อมูลการเชื่อมต่อนี้สามารถระบุเป็นข้อความที่ชัดเจน (บางอย่างเท่ากับบางอย่าง) หรืออาจซ่อนอยู่หลังคำง่ายๆ แต่ข้อเท็จจริงที่เรียบง่ายและชัดเจนมักถูกมองข้าม และไม่มีการรวบรวมโมเดลแต่อย่างใด

ฉันต้องบอกทันทีว่าในการใช้สามประเด็นนี้ จะต้องอ่านปัญหา (และอย่างระมัดระวัง!) หลายครั้ง สิ่งปกติ

และตอนนี้ - ตัวอย่าง

เริ่มจากปัญหาง่ายๆ:

Petrovich กลับมาจากการตกปลาและนำเสนอสิ่งที่จับได้กับครอบครัวของเขาอย่างภาคภูมิใจ เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดปรากฎว่ามีปลา 8 ตัวมาจาก ทะเลทางตอนเหนือ 20% ของปลาทั้งหมดมาจากทางใต้และไม่มีปลาตัวเดียวจากแม่น้ำในท้องถิ่นที่ Petrovich ตกปลา Petrovich ซื้อปลากี่ตัวในร้านขายอาหารทะเล

คำเหล่านี้ทั้งหมดจะต้องกลายเป็นสมการบางประเภท ในการทำเช่นนี้ฉันทำซ้ำ สร้างความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลทั้งหมดของปัญหา

จะเริ่มต้นที่ไหน? ขั้นแรก เราจะดึงข้อมูลทั้งหมดจากงาน เริ่มกันตามลำดับ:

เรามาโฟกัสที่จุดแรกกัน

ที่นี่คืออะไร ชัดเจนข้อมูลทางคณิตศาสตร์? 8 ปลาและ 20% ไม่มากแต่เราไม่ต้องการมาก)

ให้ความสนใจกับประเด็นที่สอง

กำลังมองหา แอบแฝงข้อมูล. เธออยู่นี่. นี่คือคำเหล่านี้: "20% ของปลาทั้งหมด" ที่นี่คุณต้องเข้าใจว่าเปอร์เซ็นต์คืออะไรและคำนวณอย่างไร มิฉะนั้นงานจะไม่ได้รับการแก้ไข นี่คือ ข้อมูลเพิ่มเติมซึ่งควรจะอยู่ในหัว

นอกจากนี้ยังมีที่นี่ ทางคณิตศาสตร์ข้อมูลที่มองไม่เห็นอย่างสมบูรณ์ มัน คำถามงาน: "ซื้อปลามากี่ตัว...เป็นตัวเลขด้วย และหากไม่มีก็จะไม่มีการรวบรวมแบบจำลอง ดังนั้นให้เราแสดงตัวเลขนี้ด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์".เรายังไม่รู้ว่าอะไร เท่ากับ xแต่สัญกรณ์ดังกล่าวจะมีประโยชน์มากสำหรับเรา สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่ต้องใช้สำหรับ x และวิธีจัดการกับมัน โปรดดูบทเรียน วิธีแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ลองเขียนทันที:

x ชิ้น - ทั้งหมดปลา.

ในปัญหาของเรา ปลาทางใต้จะได้รับเป็นเปอร์เซ็นต์ เราต้องแปลมันเป็นชิ้นๆ เพื่ออะไร? แล้วอะไรอยู่ใน ใดๆงานของแบบจำลองควรเป็น ในปริมาณที่เท่ากันชิ้น - ทุกอย่างเป็นชิ้น ๆ ถ้าเราได้รับ สมมติว่าชั่วโมงและนาที เราแปลทุกอย่างเป็นสิ่งเดียว - อาจเป็นเพียงชั่วโมงหรือนาทีเท่านั้น มันไม่สำคัญอะไร มันสำคัญที่จะ ค่าทั้งหมดเหมือนกัน

กลับไปที่การเปิดเผย ใครก็ตามที่ไม่รู้ว่าเปอร์เซ็นต์คืออะไรจะไม่เปิดเผยใช่ ... และใครจะรู้เขาจะบอกทันทีว่าดอกเบี้ยมาจากที่นี่ จำนวนทั้งหมดมีปลาให้ เราไม่ทราบหมายเลขนี้ จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น!

จำนวนปลาทั้งหมด (เป็นชิ้น ๆ !) ไม่ได้ไร้ประโยชน์ด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์"กำหนด. การนับปลาทางใต้เป็นชิ้นๆ จะใช้ไม่ได้ แต่เราจะเขียนลงไปได้ไหม แบบนี้:

0.2 x ชิ้น - จำนวนปลาจากทะเลทางใต้

ตอนนี้เราได้ดาวน์โหลดข้อมูลทั้งหมดจากงานแล้ว ทั้งชัดเจนและซ่อนเร้น

ให้ความสนใจกับประเด็นที่สาม

กำลังมองหา การเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ระหว่างข้อมูลงาน การเชื่อมต่อนี้ง่ายมากจนหลายคนไม่สังเกตเห็น... สิ่งนี้มักเกิดขึ้น ที่นี่มีประโยชน์เพียงแค่จดข้อมูลที่รวบรวมไว้เป็นกลุ่มและดูว่าอะไรเป็นอะไร

เรามีอะไร? มี 8 ชิ้นปลาเหนือ, 0.2 x ชิ้น- ปลาปักษ์ใต้และ x ปลา- ทั้งหมด. เป็นไปได้ไหมที่จะเชื่อมโยงข้อมูลนี้เข้าด้วยกัน? ใช่ ง่าย! จำนวนปลาทั้งหมด เท่ากับรวมภาคใต้และภาคเหนือ! ใครจะคิด ... ) ดังนั้นเราจึงเขียน:

x = 8 + 0.2x

นี่จะเป็นสมการ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาของเรา

โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่ได้ขอให้พับอะไร!เราเองที่นึกไม่ออกว่าผลรวมของปลาทางใต้และทางเหนือจะให้จำนวนทั้งหมดแก่เรา สิ่งนี้ชัดเจนมากจนมองข้ามความสนใจไป แต่หากไม่มีหลักฐานนี้ ก็จะไม่สามารถรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้ แบบนี้.

ตอนนี้คุณสามารถใช้พลังทั้งหมดของคณิตศาสตร์เพื่อแก้สมการนี้ได้) นี่คือสิ่งที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้รับการออกแบบมา เราแก้สมการเชิงเส้นนี้และได้คำตอบ

ตอบ: x=10

ลองสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาอื่น:

Petrovich ถูกถาม: "คุณมีเงินเท่าไหร่" Petrovich ร้องไห้และตอบว่า: "ใช่ นิดหน่อย ถ้าฉันใช้เงินไปครึ่งหนึ่งและที่เหลืออีกครึ่งหนึ่งฉันจะเหลือเงินเพียงถุงเดียว ... " Petrovich มีเงินเท่าไหร่?

อีกครั้ง เราทำงานทีละจุด

1. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ชัดเจน คุณจะไม่พบทันที! ข้อมูลที่ชัดเจนคือ หนึ่งถุงเงิน. มีอีกครึ่งหนึ่ง... เราจะมาไล่เรียงกันในย่อหน้าที่สอง

2. เรากำลังมองหาข้อมูลที่ซ่อนอยู่ นี่คือครึ่งหนึ่ง อะไร ไม่ค่อยชัดเจน กำลังมองหาเพิ่มเติม มีปัญหาอื่น: "เปโตรวิชมีเงินเท่าไหร่"ระบุจำนวนเงินตามตัวอักษร "เอ็กซ์":

เอ็กซ์- เงินทั้งหมด

และอ่านปัญหาอีกครั้ง. รู้แล้วว่าเปโตรวิช เอ็กซ์ของเงิน. นี่คือที่แบ่งครึ่งทำงาน! เราเขียน:

0.5 เท่า- ครึ่งหนึ่งของเงินทั้งหมด

ส่วนที่เหลือจะเป็นครึ่งหนึ่งเช่น 0.5 เท่าและครึ่งหนึ่งของครึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

0.5 0.5 x = 0.25x- ส่วนที่เหลืออีกครึ่งหนึ่ง

ตอนนี้ข้อมูลที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดถูกเปิดเผยและบันทึกไว้

3. เรากำลังมองหาการเชื่อมต่อระหว่างข้อมูลที่บันทึกไว้ ที่นี่คุณสามารถอ่านความทุกข์ทรมานของ Petrovich และเขียนทางคณิตศาสตร์ได้):

ถ้าฉันใช้เงินครึ่งหนึ่งของทั้งหมด...

ลองเขียนขั้นตอนนี้ เงินทั้งหมด - เอ็กซ์ครึ่ง - 0.5 เท่า. การใช้จ่ายคือการออกไป วลีกลายเป็น:

x - 0.5 x

และอีกครึ่งหนึ่งที่เหลือ...

ลบอีกครึ่งหนึ่งของส่วนที่เหลือ:

x - 0.5 x - 0.25 x

แล้วเงินถุงเดียวก็จะอยู่กับฉัน ...

และมีความเท่าเทียมกัน! หลังจากลบทั้งหมดแล้ว จะเหลือเงินหนึ่งถุง:

x - 0.5 x - 0.25x \u003d 1

นี่ไง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์! นี่เป็นสมการเชิงเส้นอีกครั้ง เราแก้แล้ว เราได้:

คำถามเพื่อการพิจารณา สี่คืออะไร? รูเบิล ดอลลาร์ หยวน? และในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เรามีหน่วยเงินอะไรบ้าง? ในกระเป๋า!ดังนั้นสี่ ถุงเงินของเปโตรวิช ก็ไม่เลวเหมือนกัน)

แน่นอนว่างานนั้นเป็นระดับประถมศึกษา นี่เป็นการจับภาพสาระสำคัญของการวาดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ ในบางงาน อาจมีข้อมูลจำนวนมากที่สับสนได้ง่าย ซึ่งมักเกิดขึ้นในลักษณะที่เรียกว่า งานด้านความสามารถ วิธีดึงเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ออกจากกองคำและตัวเลขแสดงพร้อมตัวอย่าง

อีกหนึ่งหมายเหตุ ในปัญหาของโรงเรียนคลาสสิก (ท่อเติมสระ เรือกำลังแล่นไปที่ไหนสักแห่ง ฯลฯ) ตามกฎแล้ว ข้อมูลทั้งหมดจะถูกเลือกอย่างระมัดระวัง มีกฎสองข้อ:
- มีข้อมูลเพียงพอในปัญหาในการแก้ปัญหา
- ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมในงาน

นี่เป็นคำใบ้ หากมีค่าที่ไม่ได้ใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาว่ามีข้อผิดพลาดหรือไม่ หากมีข้อมูลไม่เพียงพอในทางใดทางหนึ่ง เป็นไปได้มากว่าไม่ได้เปิดเผยและบันทึกข้อมูลที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด

ในความสามารถและอื่นๆ งานชีวิตกฎเหล่านี้ไม่ได้ถูกบังคับใช้อย่างเคร่งครัด ฉันไม่มีคำใบ้ แต่ปัญหาดังกล่าวก็สามารถแก้ไขได้เช่นกัน เว้นแต่จะฝึกแบบคลาสสิก)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ระดับแรก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ OGE และการสอบ Unified State (2019)

แนวคิดของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ลองนึกภาพเครื่องบิน: ปีก, ลำตัว, หาง, ทั้งหมดนี้รวมกัน - เครื่องบินทั้งลำที่ใหญ่โตมหึมา และคุณสามารถสร้างแบบจำลองเครื่องบินได้ ขนาดเล็ก แต่ทุกอย่างเหมือนจริง ปีกแบบเดียวกัน ฯลฯ แต่มีขนาดกะทัดรัด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ก็เช่นกัน มี งานข้อความยุ่งยาก ดูได้ อ่านได้ แต่ไม่ค่อยเข้าใจ และยิ่งแก้ไม่ชัดเจน แต่ถ้าเราสร้างแบบจำลองเล็กๆ ขึ้นมา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จากงานทางวาจาขนาดใหญ่ล่ะ คณิตศาสตร์หมายถึงอะไร? ดังนั้น ใช้กฎและกฎของสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ สร้างข้อความใหม่ให้เป็นการแสดงที่ถูกต้องตามตรรกะโดยใช้ตัวเลขและเครื่องหมายเลขคณิต ดังนั้น, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นตัวแทนของสถานการณ์จริงโดยใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์

มาเริ่มกันง่ายๆ: หมายเลข จำนวนมากขึ้นบน. เราจำเป็นต้องจดโดยไม่ต้องใช้คำ เพียงแค่ภาษาของคณิตศาสตร์ หากมากกว่านั้นปรากฎว่าถ้าเราลบออกความแตกต่างของตัวเลขเหล่านี้จะยังคงเท่ากัน เหล่านั้น. หรือ. มีสาระสำคัญ?

ตอนนี้มันซับซ้อนมากขึ้น ตอนนี้จะมีข้อความที่คุณควรลองนำเสนอในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ จนกว่าคุณจะอ่านว่าฉันจะทำได้อย่างไร ลองด้วยตัวเอง! มีสี่ตัวเลข: , และ. งานศิลปะและ งานศิลปะเพิ่มเติมและสองครั้ง

เกิดอะไรขึ้น

ในรูปแบบของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้

เหล่านั้น. ผลิตภัณฑ์เกี่ยวข้องกับสองต่อหนึ่ง แต่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีก:

โอเค เปิด ตัวอย่างง่ายๆคุณได้รับส่วนสำคัญฉันเดา มาดูงานที่เต็มเปี่ยมซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ด้วย! นี่คือภารกิจ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ภารกิจที่ 1

หลังฝนตก ระดับน้ำในบ่อน้ำอาจสูงขึ้น เด็กชายวัดเวลาที่ก้อนกรวดเล็กๆ ตกลงไปในบ่อน้ำและคำนวณระยะทางถึงน้ำโดยใช้สูตร ระยะทางเป็นเมตรโดยที่และเวลาตกเป็นวินาที ก่อนที่ฝนจะตก เวลาที่ก้อนกรวดตกลงมาคือ s หลังฝนตกต้องเพิ่มระดับน้ำอีกเท่าใดเวลาที่วัดได้จึงเปลี่ยนเป็น s แสดงคำตอบของคุณเป็นเมตร

โอ้พระเจ้า! สูตรไหน ดีอย่างไร เกิดอะไรขึ้น ทำอย่างไร? ฉันอ่านใจคุณออกไหม ผ่อนคลาย ในงานประเภทนี้ เงื่อนไขยิ่งแย่ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือในงานนี้ คุณสนใจในสูตรและความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร และความหมายทั้งหมดนี้ในกรณีส่วนใหญ่ไม่สำคัญมากนัก คุณเห็นว่ามีประโยชน์อะไรที่นี่? ผมเองเห็น. หลักการของการแก้ปัญหาเหล่านี้มีดังนี้: คุณใช้ปริมาณที่ทราบทั้งหมดและแทนที่แต่บางครั้งคุณต้องคิด!

ตามคำแนะนำแรกของฉัน และแทนค่าที่ทราบทั้งหมดลงในสมการ เราได้รับ:

ฉันเองที่เปลี่ยนเวลาเป็นครั้งที่สองและพบความสูงที่ก้อนหินปลิวไปต่อหน้าฝน และตอนนี้เราต้องนับหลังฝนตกและค้นหาความแตกต่าง!

ฟังคำแนะนำที่สองแล้วลองคิดดู คำถามระบุว่า "หลังฝนตกต้องเพิ่มระดับน้ำเท่าใดเพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป s" คุณต้องคิดออกทันที ดีมาก หลังฝนตก ระดับน้ำสูงขึ้น ซึ่งหมายความว่าเวลาที่หินจะตกลงสู่ระดับน้ำจะน้อยลง และนี่คือวลีที่หรูหรา "เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป" ตามความหมายเฉพาะ: เวลาตกไม่เพิ่มขึ้น แต่ลดลงตามวินาทีที่ระบุ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของการโยนหลังฝนตก เราแค่ต้องลบ c ออกจากเวลาเริ่มต้น c และเราจะได้สมการสำหรับความสูงที่หินจะลอยหลังฝนตก:

และสุดท้าย หากต้องการทราบว่าระดับน้ำควรเพิ่มขึ้นเท่าใดหลังฝนตก เพื่อให้เวลาที่วัดได้เปลี่ยนไป s คุณเพียงแค่ต้องลบวินาทีออกจากความสูงแรกของการตก!

เราได้คำตอบ: ต่อเมตร

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน ที่สำคัญที่สุด อย่ากังวลมากเกินไปเกี่ยวกับจุดที่เข้าใจยากและบางครั้ง สมการที่ซับซ้อนในเงื่อนไขที่มาจากมันและทุกอย่างในนั้นหมายถึงอะไร เอาคำพูดของฉันไปใช้ สมการเหล่านี้ส่วนใหญ่นำมาจากฟิสิกส์ และไวลด์นั้นแย่กว่าในพีชคณิต บางครั้งสำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่างานเหล่านี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อข่มขู่นักเรียนในการสอบอย่างมากมาย สูตรที่ซับซ้อนและเงื่อนไข และในกรณีส่วนใหญ่แทบไม่ต้องใช้ความรู้เลย เพียงอ่านเงื่อนไขอย่างระมัดระวังและแทนที่ค่าที่ทราบในสูตร!

นี่เป็นงานอื่นที่ไม่ใช่ฟิสิกส์อีกต่อไป แต่มาจากโลก ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องมีความรู้ด้านวิทยาศาสตร์นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ก็ตาม

ภารกิจที่ 2

การพึ่งพาปริมาณความต้องการ (หน่วยต่อเดือน) สำหรับผลิตภัณฑ์ขององค์กรผูกขาดในราคา (พันรูเบิล) กำหนดโดยสูตร

รายได้ต่อเดือนของ บริษัท (เป็นพันรูเบิล) คำนวณโดยใช้สูตร กำหนดราคาสูงสุดที่รายได้ต่อเดือนจะอยู่ที่อย่างน้อยหนึ่งพันรูเบิล ให้คำตอบเป็นพันรูเบิล

เดาว่าฉันจะทำอะไรตอนนี้? ใช่ ฉันจะเริ่มแทนที่สิ่งที่เรารู้ แต่อีกครั้ง คุณยังต้องคิดอีกเล็กน้อย เริ่มจากจุดสิ้นสุดเราต้องหาที่ มีเท่ากับบางตัว เราหาอย่างอื่นที่มันเท่ากัน และมันเท่ากัน แล้วเราจะเขียนมันลงไป อย่างที่คุณเห็น ฉันไม่ได้สนใจความหมายของปริมาณเหล่านี้เป็นพิเศษ ฉันแค่ดูจากเงื่อนไข อะไรเท่ากับอะไร นั่นคือสิ่งที่คุณต้องทำ กลับไปที่งานคุณมีอยู่แล้ว แต่อย่างที่คุณจำได้จากสมการเดียวที่มีสองตัวแปรไม่พบเลย จะทำอย่างไร? ใช่ เรายังมีอนุภาคที่ยังไม่ได้ใช้ในสภาพ ที่นี่มีสองสมการและสองตัวแปรอยู่แล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้สามารถหาตัวแปรทั้งสองได้แล้ว - เยี่ยมมาก!

คุณสามารถแก้ไขระบบดังกล่าวได้หรือไม่?

เราแก้โดยการแทนที่ เราได้แสดงมันแล้ว ซึ่งหมายความว่าเราจะแทนมันลงในสมการแรกและทำให้มันเป็นสมการแรก

ปรากฎว่านี่คือสมการกำลังสอง: , เราแก้, รากเป็นแบบนี้ ในงานนั้นจำเป็นต้องค้นหาราคาสูงสุดที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดที่เราคำนึงถึงเมื่อเรารวบรวมระบบ โอ้ ปรากฎว่านั่นคือราคา เยี่ยมมากเราพบราคา: และ ราคาสูงสุด, คุณพูด? โอเค ใหญ่ที่สุดในนั้น เราเขียนตอบกลับไป แล้วมันยากไหม? ฉันคิดว่าไม่ และคุณไม่จำเป็นต้องเจาะลึกมากเกินไป!

และนี่คือฟิสิกส์ที่น่าสะพรึงกลัวสำหรับคุณ หรือมากกว่านั้นคือปัญหาอื่น:

ภารกิจที่ 3

เพื่อกำหนดอุณหภูมิที่มีประสิทธิภาพของดาวฤกษ์ กฎของสเตฟาน–โบลต์ซมันน์ถูกใช้ โดยที่พลังการแผ่รังสีของดาวอยู่ที่ไหน ค่าคงที่ คือพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์ และอุณหภูมิ เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นที่ผิวของดาวฤกษ์บางดวงมีค่าเท่ากันและพลังของการแผ่รังสีเท่ากับ W จงหาอุณหภูมิของดาวดวงนี้มีหน่วยเป็นองศาเคลวิน

ชัดเจนตรงไหน? ใช่ เงื่อนไขบอกว่าอะไรเท่ากับอะไร ก่อนหน้านี้ฉันแนะนำให้แทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดทันที แต่ที่นี่จะเป็นการดีกว่าที่จะแสดงการค้นหาที่ไม่รู้จักก่อน ดูว่าทุกอย่างง่ายเพียงใด: มีสูตรและเป็นที่รู้จักในนั้นและ (นี่คือตัวอักษรกรีก "sigma" โดยทั่วไปแล้วนักฟิสิกส์ชอบตัวอักษรกรีกและคุ้นเคยกับมัน) ไม่ทราบอุณหภูมิ มาแสดงในรูปแบบของสูตร จะทำอย่างไรฉันหวังว่าคุณจะรู้ การมอบหมายดังกล่าวสำหรับ GIA ในเกรด 9 มักจะให้:

ตอนนี้ยังคงแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรทางด้านขวาและทำให้ง่ายขึ้น:

นี่คือคำตอบ: องศาเคลวิน! และช่างเป็นงานที่แย่มาก!

เรายังคงทรมานปัญหาในวิชาฟิสิกส์ต่อไป

ภารกิจที่ 4

ความสูงเหนือพื้นของลูกบอลที่โยนขึ้นจะเปลี่ยนไปตามกฎหมาย โดยความสูงเป็นเมตร คือเวลาเป็นวินาทีที่ผ่านไปนับตั้งแต่การโยน ลูกบอลจะอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรกี่วินาที?

นั่นคือสมการทั้งหมด แต่ที่นี่จำเป็นต้องกำหนดว่าลูกบอลอยู่ที่ความสูงอย่างน้อยสามเมตรซึ่งหมายถึงความสูงเท่าใด เรากำลังจะทำอะไร? ความไม่เท่าเทียมกัน ใช่! เรามีฟังก์ชันที่อธิบายว่าลูกบอลบินอย่างไร ซึ่งความสูงเท่ากันในหน่วยเมตร เราต้องการความสูง วิธี

และตอนนี้คุณแค่แก้อสมการ ที่สำคัญที่สุด อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการจากมากกว่าหรือเท่ากับน้อยกว่าหรือเท่ากับเมื่อคุณคูณด้วยอสมการทั้งสองส่วนเพื่อกำจัดลบที่อยู่ข้างหน้า

นี่คือราก เราสร้างช่วงเวลาสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน:

เราสนใจช่วงเวลาที่เครื่องหมายลบอยู่ เนื่องจากอสมการอยู่ตรงนั้น ค่าลบนี่คือจากถึงทั้งสองรวม และตอนนี้เราเปิดสมองและคิดอย่างรอบคอบ: สำหรับความไม่เท่าเทียมกันเราใช้สมการที่อธิบายถึงการบินของลูกบอล มันบินไปตามพาราโบลาเช่น มันบินขึ้นถึงจุดสูงสุดและตกจะเข้าใจได้อย่างไรว่าความสูงอย่างน้อยเมตรจะยาวแค่ไหน? เราพบจุดเปลี่ยน 2 จุดคือ ช่วงเวลาที่มันทะยานขึ้นเหนือเมตรและช่วงเวลาที่มันถึงจุดเดียวกันในขณะที่ตกลงมา จุดทั้งสองนี้จะแสดงในรูปแบบของเราในรูปแบบของเวลา นั่นคือ เรารู้ว่าวินาทีใดของเที่ยวบินที่มันเข้ามาในเขตที่เราสนใจ (สูงกว่าเมตร) และออกจากมัน (ตกลงต่ำกว่าเครื่องหมายเมตร) เขาอยู่ในโซนนี้กี่วินาที? มีเหตุผลที่เราใช้เวลาในการออกจากโซนและลบออกจากเวลาที่เข้าสู่โซนนี้ ดังนั้น: - เขาอยู่ในโซนเหนือเมตรมากนี่คือคำตอบ

คุณโชคดีมากที่ตัวอย่างส่วนใหญ่ในหัวข้อนี้สามารถนำมาจากหมวดหมู่ของปัญหาในวิชาฟิสิกส์ ดังนั้นให้จับอีกอันหนึ่ง มันเป็นอันสุดท้าย ผลักดันตัวเอง เหลือน้อยมาก!

ภารกิจที่ 5

สำหรับองค์ประกอบความร้อนของอุปกรณ์บางอย่าง ได้รับการทดลองขึ้นอยู่กับอุณหภูมิตามเวลาการทำงาน:

เวลาเป็นนาทีอยู่ที่ไหน เป็นที่ทราบกันดีว่าที่อุณหภูมิขององค์ประกอบความร้อนเหนืออุปกรณ์อาจเสื่อมสภาพได้ดังนั้นจึงต้องปิดเครื่อง ค้นหาผ่านที่ เวลาที่ยาวนานที่สุดหลังจากเริ่มงานให้ปิดเครื่อง แสดงคำตอบของคุณในไม่กี่นาที

เราดำเนินการตามแผนการที่ดี ทุกอย่างที่ได้รับ เราเขียนออกมาก่อน:

ตอนนี้เราใช้สูตรและเทียบเป็นค่าอุณหภูมิที่อุปกรณ์สามารถให้ความร้อนได้มากที่สุดจนกว่าจะไหม้นั่นคือ:

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขแทนตัวอักษรตามที่ทราบ:

อย่างที่คุณเห็นมีการอธิบายอุณหภูมิระหว่างการทำงานของอุปกรณ์ สมการกำลังสองซึ่งหมายความว่ามันกระจายไปตามพาราโบลา เช่น อุปกรณ์ร้อนขึ้นจนถึงอุณหภูมิหนึ่งแล้วเย็นลง เราได้รับคำตอบ ดังนั้นระหว่างและระหว่างนาทีของการทำความร้อน อุณหภูมิจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง แต่ระหว่างและนาทีนั้นสูงกว่าขีดจำกัดด้วยซ้ำ!

ดังนั้นคุณต้องปิดอุปกรณ์หลังจากนั้นสักครู่

โมเดลทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

บ่อยครั้งที่มีการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในฟิสิกส์ เพราะท้ายที่สุดแล้ว คุณอาจต้องจำแบบจำลองมากมาย สูตรทางกายภาพ. และสูตรก็คือ การเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์สถานการณ์.

ใน OGE และการตรวจสอบ Unified State มีเพียงภารกิจในหัวข้อนี้เท่านั้น ใน USE (โปรไฟล์) นี่คืองานหมายเลข 11 (เดิมคือ B12) ใน OGE - งานหมายเลข 20

รูปแบบการแก้ปัญหานั้นชัดเจน:

1) จากข้อความของเงื่อนไขจำเป็นต้อง "แยก" ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ - สิ่งที่เราเขียนในปัญหาทางฟิสิกส์ภายใต้คำว่า "ให้" นี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เป็น:

• สูตร
• ปริมาณทางกายภาพที่ทราบ

นั่นคือตัวอักษรแต่ละตัวจากสูตรจะต้องกำหนดเป็นตัวเลข

2) นำปริมาณที่ทราบทั้งหมดมาแทนค่าลงในสูตร ค่าที่ไม่รู้จักยังคงเป็นตัวอักษร ตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องแก้สมการ (โดยปกติจะค่อนข้างง่าย) และคำตอบก็พร้อมแล้ว

หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางอย่างได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณก็อยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้เข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำว่า...มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือมันอาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบสำหรับการเข้าสู่สถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดสำหรับชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวใจคุณ แต่ฉันจะพูดอย่างหนึ่ง ...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับ นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะเปิดขึ้นต่อหน้าพวกเขามาก เป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

อะไรที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่น ๆ ในการสอบและจะ ... มีความสุขมากขึ้นในท้ายที่สุด?

จับมือคุณแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบ คุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และหากคุณยังแก้ไขไม่ได้ (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่ก็แก้ไขไม่ทัน

ก็เหมือนกับการเล่นกีฬา คุณต้องเล่นซ้ำหลายครั้งจึงจะชนะได้อย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยโซลูชั่น การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำอย่างแน่นอน

เพื่อให้ได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทช่วยสอนทั้ง 99 บทความ - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียน และสามารถเปิดเข้าถึงงานทั้งหมดและข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณเครื่องจำลอง "6,000 งานพร้อมคำตอบและคำตอบสำหรับแต่ละหัวข้อสำหรับทุกระดับของความซับซ้อน" มันเพียงพอที่จะรับมือกับปัญหาในหัวข้อใด ๆ

ในความเป็นจริงนี่เป็นมากกว่าโปรแกรมจำลอง - โปรแกรมการฝึกอบรมทั้งหมด หากจำเป็น คุณสามารถใช้งานได้ฟรี

การเข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของเว็บไซต์

สรุปแล้ว...

ถ้าคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” และ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!