ขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์ เครื่องคิดเลขออนไลน์ การแก้ขีดจำกัด

สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้วิธีค้นหาขีดจำกัด เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในบทความนี้ เราจะไม่เจาะลึกทฤษฎีนี้ แต่ครูมักจะบรรยายในการบรรยาย ดังนั้นควรจด "ทฤษฎีที่น่าเบื่อ" ลงในสมุดบันทึกของคุณ หากไม่เป็นเช่นนั้น คุณสามารถอ่านหนังสือเรียนที่ยืมมาจากห้องสมุดได้ สถาบันการศึกษาหรือบนแหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ตอื่น ๆ

ดังนั้นแนวคิดเรื่องลิมิตจึงค่อนข้างสำคัญในการเรียนหลักสูตรนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นโดยเฉพาะเมื่อคุณต้องเผชิญกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์และเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างลิมิตกับอินทิกรัล ในเนื้อหาปัจจุบันเราจะพิจารณา ตัวอย่างง่ายๆตลอดจนแนวทางแก้ไขเหล่านั้น

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

สารละลาย

ก) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ ผู้คนมักจะส่งข้อจำกัดเหล่านี้มาให้เราพร้อมกับคำร้องขอให้ช่วยแก้ไข เราตัดสินใจที่จะเน้นพวกเขา ตัวอย่างแยกต่างหากและอธิบายว่าขีดจำกัดเหล่านี้เพียงแค่ต้องจำไว้ตามกฎ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะจัดให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

จะทำอย่างไรกับความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

ตัวอย่างที่ 3

แก้ $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

สารละลาย

เช่นเคย เราเริ่มต้นด้วยการแทนที่ค่า $ x $ ลงในนิพจน์ใต้เครื่องหมายจำกัด $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ อะไรต่อไปตอนนี้? สุดท้ายจะเกิดอะไรขึ้น? เนื่องจากนี่คือความไม่แน่นอน จึงยังไม่ใช่คำตอบและเราจึงคำนวณต่อไป เนื่องจากเรามีพหุนามในตัวเศษ เราจะแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรที่ทุกคนในโรงเรียนคุ้นเคย $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ คุณจำได้ไหม? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้ไปข้างหน้าและใช้มันกับเพลง :) เราพบว่าตัวเศษ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ เราดำเนินการแก้ไขต่อไปโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงข้างต้น: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

คำตอบ

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

ลองผลักดันขีดจำกัดในสองตัวอย่างสุดท้ายให้เป็นค่าอนันต์และพิจารณาความไม่แน่นอน: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณ $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

สารละลาย

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ จะทำอย่างไร? ฉันควรทำอย่างไร? อย่าตื่นตระหนก เพราะสิ่งที่เป็นไปไม่ได้นั้นเป็นไปได้ จำเป็นต้องลบ x ทั้งในเศษและส่วนออก แล้วจึงลดค่าลง หลังจากนั้นให้ลองคำนวณขีดจำกัดดู มาลองกัน... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ เมื่อใช้คำจำกัดความจากตัวอย่างที่ 2 และแทนค่าอนันต์ด้วย x เราจะได้: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

คำตอบ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณขีดจำกัด

ดังนั้น เรามาสรุปตัวอย่างโดยย่อและสร้างอัลกอริทึมสำหรับแก้ไขขีดจำกัด:

1. แทนจุด x ลงในนิพจน์ที่อยู่หลังเครื่องหมายจำกัด หากได้รับจำนวนหรืออนันต์ที่แน่นอน ขีดจำกัดก็จะได้รับการแก้ไขโดยสมบูรณ์ มิฉะนั้น เรามีความไม่แน่นอน: "ศูนย์หารด้วยศูนย์" หรือ "อนันต์หารด้วยอนันต์" และไปยังจุดถัดไปของคำแนะนำ
2. เพื่อกำจัดความไม่แน่นอนของ "ศูนย์หารด้วยศูนย์" คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน ลดสิ่งที่คล้ายกัน แทนจุด x ลงในนิพจน์ใต้เครื่องหมายจำกัด
3. หากความไม่แน่นอนคือ “อนันต์หารด้วยอนันต์” เราก็จะดึงทั้งเศษและส่วน x ออกมาให้อยู่ในระดับที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เราย่อ X ให้สั้นลง เราแทนที่ค่าของ x จากใต้ขีด จำกัด ลงในนิพจน์ที่เหลือ

ในบทความนี้ คุณได้เรียนรู้พื้นฐานของการแก้ไขขีดจำกัดที่มักใช้ในหลักสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- แน่นอนว่านี่ไม่ใช่ปัญหาทุกประเภทที่ผู้ตรวจสอบเสนอ แต่เป็นเพียงข้อจำกัดที่ง่ายที่สุดเท่านั้น เราจะพูดถึงงานประเภทอื่นๆ ในบทความต่อๆ ไป แต่ก่อนอื่นคุณต้องเรียนรู้บทเรียนนี้ก่อนจึงจะก้าวไปข้างหน้าได้ เรามาคุยกันว่าต้องทำอย่างไรถ้ามีราก องศา ศึกษาฟังก์ชันเทียบเท่าที่มีขนาดจิ๋ว ขีดจำกัดที่ยอดเยี่ยมกฎของโลปิตาล

หากคุณไม่สามารถเข้าใจขีดจำกัดของตัวเองได้ ก็อย่าตกใจ เรายินดีให้ความช่วยเหลือเสมอ!

ความไม่แน่นอนของประเภทและสายพันธุ์เป็นความไม่แน่นอนที่พบบ่อยที่สุดซึ่งจำเป็นต้องเปิดเผยเมื่อแก้ไขขีดจำกัด

ที่สุดปัญหาขีดจำกัดที่นักเรียนพบประกอบด้วยความไม่แน่นอนดังกล่าวอย่างชัดเจน เพื่อเปิดเผยหรือแม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอน มีเทคนิคประดิษฐ์หลายอย่างในการเปลี่ยนประเภทของการแสดงออกภายใต้เครื่องหมายจำกัด เทคนิคเหล่านี้มีดังต่อไปนี้: การหารพจน์ของทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของตัวแปร การคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตและการแยกตัวประกอบเพื่อการลดลงในภายหลังโดยใช้วิธีแก้ปัญหา สมการกำลังสองและสูตรคูณแบบย่อ

ความไม่แน่นอนของสายพันธุ์

ตัวอย่างที่ 1

nเท่ากับ 2 ดังนั้นเราจึงหารเทอมทั้งเศษและส่วนด้วยเทอมโดย:

.

แสดงความคิดเห็นทางด้านขวาของนิพจน์ ลูกศรและตัวเลขบ่งชี้ว่าเศษส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นอย่างไรหลังจากการแทนที่ nหมายถึงอนันต์ ดังเช่นในตัวอย่างที่ 2 ระดับ nตัวส่วนมีมากกว่าตัวเศษ ส่งผลให้เศษส่วนทั้งหมดมีแนวโน้มที่จะมีขนาดเล็กมากหรือ "เล็กมาก"

เราได้รับคำตอบ: ขีดจำกัดของฟังก์ชันนี้กับตัวแปรที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์จะเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 2 .

สารละลาย. นี่คือพลังสูงสุดของตัวแปร xเท่ากับ 1. ดังนั้นเราจึงหารเทอมทั้งเศษและส่วนด้วยเทอม x:

.

ความเห็นเกี่ยวกับความคืบหน้าของการตัดสินใจ ในตัวเศษเราขับ "x" ใต้รากของระดับที่สาม และเพื่อให้ระดับเดิม (1) ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เราจึงกำหนดระดับเดียวกันกับราก นั่นคือ 3 ไม่มีลูกศรหรือตัวเลขเพิ่มเติม ในรายการนี้ ดังนั้นให้ลองทำในใจ แต่โดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ให้พิจารณาว่านิพจน์ในตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นอย่างไรหลังจากแทนที่ค่าอนันต์แทนที่จะเป็น "x"

เราได้รับคำตอบ: ขีดจำกัดของฟังก์ชันนี้กับตัวแปรที่มีแนวโน้มเป็นอนันต์จะเท่ากับศูนย์

ความไม่แน่นอนของสายพันธุ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นพบความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. ตัวเศษคือผลต่างของลูกบาศก์ ลองแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรคูณแบบย่อจากรายวิชานี้ คณิตศาสตร์ของโรงเรียน:

ตัวส่วนประกอบด้วยตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งเราจะแยกตัวประกอบโดยการแก้สมการกำลังสอง (เป็นลิงก์ไปยังการแก้สมการกำลังสองอีกครั้ง):

ลองเขียนนิพจน์ที่ได้รับจากการแปลงและค้นหาขีด จำกัด ของฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 4ปลดล็อกความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลหารไม่สามารถใช้ได้กับที่นี่ เนื่องจาก

ดังนั้นเราจึงแปลงเศษส่วนให้เหมือนกัน: คูณทั้งเศษและส่วนด้วยคอนจูเกตทวินามกับตัวส่วน และลดด้วย x+1. ตามข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 1 เราได้นิพจน์มา ซึ่งเราจะพบขีดจำกัดที่ต้องการ:

ตัวอย่างที่ 5ปลดล็อกความไม่แน่นอนและค้นหาขีดจำกัด

สารละลาย. การทดแทนค่าโดยตรง x= 0 โวลต์ ฟังก์ชันที่กำหนดทำให้เกิดความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หากต้องการเปิดมันมาทำกัน การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์และในที่สุดเราก็ได้ขีดจำกัดที่ต้องการ:

ตัวอย่างที่ 6คำนวณ

สารละลาย:ลองใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดกัน

คำตอบ: 11

ตัวอย่างที่ 7คำนวณ

สารละลาย:ในตัวอย่างนี้ ขีดจำกัดของทั้งเศษและส่วนเท่ากับ 0:

; - เราได้รับแล้ว ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของผลหารได้

ขอให้เราแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนเพื่อลดเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่มีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงใช้ทฤษฎีบท 3 ได้

สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรีโกณมิติในตัวเศษเราขยายตามสูตร โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นรากของตรีโกณมิติ เมื่อแยกตัวประกอบและตัวส่วนแล้วให้ลดเศษส่วนลง (x-2) แล้วใช้ทฤษฎีบทที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มที่จะมีค่าอนันต์ ดังนั้นเมื่อใช้ทฤษฎีบท 3 โดยตรง เราจะได้นิพจน์ ซึ่งแสดงถึงความไม่แน่นอน เพื่อกำจัดความไม่แน่นอนประเภทนี้ คุณควรหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์ ใน ในตัวอย่างนี้จำเป็นต้องหารด้วย เอ็กซ์:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 9คำนวณ

สารละลาย: x3:

คำตอบ: 2

ตัวอย่างที่ 10คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ลองหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือ x5:

=

ตัวเศษของเศษส่วนมีแนวโน้มเป็น 1 ตัวส่วนมีแนวโน้มเป็น 0 ดังนั้นเศษส่วนจึงมีแนวโน้มเป็นอนันต์

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11คำนวณ

สารละลาย:เมื่อตัวเศษและส่วนมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ลองหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของอาร์กิวเมนต์นั่นคือ x7:

คำตอบ: 0

อนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) เทียบกับอาร์กิวเมนต์ xเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้น y ต่อการเพิ่มขึ้นของ x ของอาร์กิวเมนต์ x เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์: หากขีดจำกัดนี้มีจำกัด แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ย = ฉ(x)บอกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x หากมีขีดจำกัดนี้ แสดงว่าฟังก์ชันนั้น ย = ฉ(x)มีอนุพันธ์อนันต์ที่จุด x

อนุพันธ์พื้นฐาน ฟังก์ชั่นเบื้องต้น:

1. (ต่อ)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

กฎของความแตกต่าง:

ก)

วี)

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย:หากพบอนุพันธ์ของเทอมที่สองโดยใช้กฎการหาอนุพันธ์ของเศษส่วน เทอมแรกจะเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่งอนุพันธ์ของเทอมนี้พบได้จากสูตร:

, ที่ไหน , แล้ว

เมื่อแก้สูตรต่อไปนี้จะใช้: 1,2,10,a,c,d

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 21ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย:ทั้งสองเงื่อนไข - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน, โดยที่อันแรก , , และอันที่สอง , จากนั้น

คำตอบ:

การใช้งานอนุพันธ์

1. ความเร็วและความเร่ง

ให้ฟังก์ชัน s(t) อธิบาย ตำแหน่งวัตถุในระบบพิกัดบางระบบ ณ เวลา t จากนั้นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน s(t) จะเกิดขึ้นทันที ความเร็ววัตถุ:
v=s′=f′(t)
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน s(t) แสดงถึงค่าที่เกิดขึ้นทันที การเร่งความเร็ววัตถุ:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. สมการแทนเจนต์
y−y0=f′(x0)(x−x0),
โดยที่ (x0,y0) คือพิกัดของจุดสัมผัสกัน f′(x0) คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุดสัมผัสกัน

3. สมการปกติ
y−y0=−1f′(x0)(x−x0)

โดยที่ (x0,y0) คือพิกัดของจุดที่เส้นปกติถูกวาดออกมา f′(x0) คือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนี้

4. ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด
ถ้า f′(x0)>0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นที่จุด x0 ในรูปด้านล่าง ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นเป็น x x2.
ถ้า f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1ถ้า f′(x0)=0 หรืออนุพันธ์ไม่มีอยู่ เกณฑ์นี้จะไม่อนุญาตให้เรากำหนดลักษณะของความน่าเบื่อของฟังก์ชันที่จุด x0

5. เอ็กซ์ตรีมเฉพาะที่ของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน f(x) มี สูงสุดในท้องถิ่นที่จุด x1 หากมีย่านใกล้เคียงของจุด x1 โดยที่ x ทั้งหมดจากย่านนี้จะมีอสมการ f(x1)≥f(x) อยู่
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน f(x) มี ขั้นต่ำในท้องถิ่นที่จุด x2 หากมีย่านใกล้เคียงของจุด x2 โดยที่ x ทั้งหมดจากย่านนี้จะมีอสมการ f(x2)≤f(x) อยู่

6. จุดวิกฤติ
จุด x0 คือ จุดวิกฤติฟังก์ชัน f(x) ถ้าอนุพันธ์ f′(x0) ในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง

7. สัญญาณแรกที่เพียงพอของการมีอยู่ของสุดขั้ว
ถ้าฟังก์ชัน f(x) เพิ่มขึ้น (f′(x)>0) สำหรับ x ทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่ง (a,x1] และลดลง (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) สำหรับ x ทั้งหมดจากช่วง $

$ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

$ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไข ให้กำหนดประเภทของปัญหาของคุณ

พิมพ์ 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอนดังกล่าว จำเป็นต้องคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยคอนจูเกตของนิพจน์ที่มีราก

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาลิมิตด้วยราก $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$

สารละลาย

แทนที่ $ x \to 4 $ ลงในฟังก์ชัน sublimit: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ เราได้ค่าความไม่แน่นอน $ [\frac(0)(0)] $ ลองคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตกัน เนื่องจากมีรูต: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ การใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ เราจะลดขีดจำกัดให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ เราเปิดวงเล็บในตัวส่วนและทำให้ง่ายขึ้น: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ ลองลดฟังก์ชันในขีด จำกัด ลง $ x-4 $ เรามี: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

พิมพ์ 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

ลิมิตที่มีรากประเภทนี้ เมื่อ $ x \to \infty $ ต้องคำนวณแตกต่างออกไป ไม่เหมือนกรณีก่อนหน้า มีความจำเป็นต้องกำหนดกำลังที่สูงกว่าของนิพจน์ตัวเศษและตัวส่วน จากนั้นนำค่าสูงสุดของสององศาออกจากวงเล็บแล้วย่อให้สั้นลง

พิมพ์ 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

ขีดจำกัดประเภทนี้มักเกิดขึ้นในงานสอบเพิ่มเติม ท้ายที่สุดแล้ว นักเรียนมักจะคำนวณขีดจำกัดประเภทนี้ไม่ถูกต้อง จะแก้ไขลิมิตด้วยรูทประเภทนี้ได้อย่างไร? มันง่ายมาก จำเป็นต้องคูณและหารฟังก์ชันในขีด จำกัด ด้วยนิพจน์คอนจูเกต

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณขีดจำกัดราก $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$

สารละลาย

สำหรับ $ x \to \infty $ ในขีดจำกัดที่เราเห็น: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ หลังจากการคูณและหารด้วยคอนจูเกตแล้ว เราจะได้ขีดจำกัด: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ มาลดรูปตัวเศษโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ หลังจากเปิดวงเล็บและทำให้ง่ายขึ้น เราจะได้: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ อีกครั้งเราแทนที่ $ x \to \infty $ ลงในขีดจำกัดแล้วคำนวณ: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$

คำตอบ

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

\begin(สมการ) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(สมการ)

ตัวอย่างหมายเลข 4

หา $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ และ $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$ จากนั้นเรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0)(0)$ เพื่อกำจัดความไม่ลงตัวที่ทำให้เกิดความไม่แน่นอนนี้ คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตกับตัวเศษ จะไม่ช่วยตรงนี้ เนื่องจากการคูณด้วย $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ จะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

อย่างที่คุณเห็น การคูณดังกล่าวไม่ได้ช่วยเราจากผลต่างของราก ซึ่งทำให้เกิดความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$ คุณต้องคูณด้วยนิพจน์อื่น นิพจน์นี้ต้องเป็นเช่นนั้นหลังจากคูณแล้ว ผลต่างของรากที่สามก็หายไป แต่รูทคิวบ์สามารถ "ลบออก" ได้ด้วยยกกำลังที่สามเท่านั้น ดังนั้นคุณจึงจำเป็นต้องใช้ . เมื่อแทน $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ ไปทางด้านขวาของสูตร เราจะได้:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. -

ดังนั้น หลังจากคูณด้วย $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ ความแตกต่างใน รากลูกบาศก์หายไป มันคือนิพจน์ $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ ที่จะคอนจูเกต ไปยังนิพจน์ $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$ ลองกลับไปที่ขีดจำกัดของเราแล้วคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์ผันกับตัวเศษ $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\ถึง 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\right)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))((16-x^2)\left(\sqrt((5x -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\ถึง 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \right)) $$

ปัญหาได้รับการแก้ไขในทางปฏิบัติ เหลือเพียงคำนึงว่า $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (ดู) นอกจากนี้ $4x-16=4(x-4)$ ดังนั้นเราจึงเขียนขีดจำกัดสุดท้ายใหม่ในรูปแบบนี้:

$$ \lim_(x\ถึง 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =\lim_(x\ถึง 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ ขวา))=\\ =-4\cdot\lim_(x\ถึง 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \right))=-\ frac(1)(24) -

คำตอบ: $\lim_(x\ถึง 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง (ตัวอย่างที่ 5) ในส่วนนี้ซึ่งเกี่ยวข้อง โดยพื้นฐานแล้ว รูปแบบการแก้ปัญหาไม่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ยกเว้นว่านิพจน์คอนจูเกตจะมีโครงสร้างที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม เป็นที่น่าสังเกตว่าในการคำนวณและการทดสอบมาตรฐาน มักจะมีปัญหา เช่น นิพจน์ที่มีรากที่สามถูกวางไว้ในตัวเศษ และนิพจน์ที่มีรากที่สองจะถูกวางไว้ในตัวส่วน ในกรณีนี้ คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์คอนจูเกตต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณขีดจำกัด $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ มีความไม่แน่นอนของรูปแบบ $\frac(0) (0 )$ การคูณจะมีลักษณะดังนี้:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\ถึง 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\right)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\right))(\left(\sqrt(x+1)-3\right)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\right)\cdot\ ซ้าย(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\right))(\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\right))= \lim_(x \ถึง 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2) -

การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่นำมาใช้ข้างต้นได้มีการพูดคุยกันไปแล้วก่อนหน้านี้ ดังนั้นผมจึงเชื่อว่าไม่มีความคลุมเครือเป็นพิเศษในที่นี้ อย่างไรก็ตาม หากวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่คล้ายกันของคุณทำให้เกิดคำถาม โปรดเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในฟอรัม

ตัวอย่างหมายเลข 5

หา $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ และ $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$ เราก็จะได้ด้วยความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$. เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอนนี้เราใช้ นิพจน์คอนจูเกตของตัวเศษมีรูปแบบ

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

การคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วน $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ ด้วยนิพจน์คอนจูเกตข้างต้น เราจะได้:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\ถึง 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\ถึง 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\right))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right)) $$

เนื่องจาก $5x-10=5\cdot(x-2)$ และ $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (ดู) , ที่:

$$ \lim_(x\ถึง 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ =\lim_(x\ถึง 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\right))=\\ \lim_(x\ถึง 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\right))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\right))=\frac(5)(384) -

คำตอบ: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

ตัวอย่างหมายเลข 6

หา $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$

เนื่องจาก $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ และ $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ แล้ว เรากำลังเผชิญกับความไม่แน่นอน $\frac(0)(0)$ ในสถานการณ์เช่นนี้ เมื่อนิพจน์ใต้รากเหมือนกัน คุณสามารถใช้วิธีแทนที่ได้ จำเป็นต้องแทนที่นิพจน์ใต้รูท (เช่น $3x-5$) โดยการแนะนำตัวแปรใหม่บางตัว อย่างไรก็ตาม การใช้ตัวอักษรใหม่เพียงอย่างเดียวจะไม่ช่วยอะไร ลองนึกภาพว่าเราเพียงแค่แทนที่นิพจน์ $3x-5$ ด้วยตัวอักษร $t$ จากนั้นเศษส่วนที่ต่ำกว่าขีดจำกัดจะกลายเป็น: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$ ความไร้เหตุผลไม่ได้หายไปไหน แต่มีการเปลี่ยนแปลงไปบ้างเท่านั้น ซึ่งไม่ได้ทำให้งานง่ายขึ้นแต่อย่างใด

ควรจำไว้ว่ามีเพียงระดับเดียวเท่านั้นที่สามารถกำจัดรากได้ แต่คุณควรจะใช้ระดับไหนกันแน่? คำถามนี้ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย เพราะเรามีสองราก หนึ่งคือรากที่ห้าและอีกอันคือรากที่สาม ระดับควรจะเป็นเช่นการกำจัดรากทั้งสองพร้อมกัน! เราต้องการจำนวนธรรมชาติที่หารด้วย $3$ และ $5$ พร้อมกัน ตัวเลขดังกล่าวมีจำนวนอนันต์ แต่ตัวเลขที่น้อยที่สุดคือ $15$ พวกเขาเรียกเขาว่า ตัวคูณร่วมน้อยหมายเลข $3$ และ $5$ และการแทนที่ควรเป็นดังนี้: $t^(15)=3x-5$ ดูว่าการแทนที่นี้ทำอะไรกับราก

ทฤษฎีขีดจำกัดเป็นหนึ่งในสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คำถามในการแก้ไขขีดจำกัดนั้นค่อนข้างกว้างขวาง เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ไขขีดจำกัดประเภทต่างๆ มีความแตกต่างและลูกเล่นมากมายที่ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขข้อ จำกัด นี้หรือข้อนั้นได้ อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงพยายามทำความเข้าใจข้อจำกัดประเภทหลักๆ ที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ

เริ่มจากแนวคิดเรื่องขีดจำกัดกันก่อน แต่ก่อนอื่น ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์โดยย่อ ในศตวรรษที่ 19 ชาวฝรั่งเศสชื่อ Augustin Louis Cauchy เป็นผู้วางรากฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และให้คำจำกัดความที่เข้มงวด โดยเฉพาะคำจำกัดความของขีดจำกัด ต้องบอกว่า Cauchy คนเดียวกันนี้เคยเป็นและจะอยู่ในฝันร้ายของนักศึกษาภาควิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทุกคนเนื่องจากเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากและแต่ละทฤษฎีก็น่าขยะแขยงมากกว่าทฤษฎีอื่น ในเรื่องนี้ เราจะไม่พิจารณาคำจำกัดความที่เข้มงวดของขีดจำกัด แต่จะพยายามทำสองสิ่ง:

1. ทำความเข้าใจว่าขีดจำกัดคืออะไร
2. เรียนรู้ที่จะแก้ไขขีดจำกัดประเภทหลักๆ

ฉันขอโทษสำหรับคำอธิบายที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือวัสดุจะต้องเข้าใจได้แม้กระทั่งกาน้ำชา ซึ่งอันที่จริงแล้วคือเป้าหมายของโครงการ

แล้วขีดจำกัดคืออะไรล่ะ?

และเป็นเพียงตัวอย่างว่าทำไมคุณย่าขนดก....

ขีดจำกัดใด ๆ ประกอบด้วยสามส่วน:

1) ไอคอนขีดจำกัดที่รู้จักกันดี
2) รายการภายใต้ไอคอนขีดจำกัด ในกรณีนี้ ข้อความเขียนว่า “X มีแนวโน้มเป็นหนึ่ง” บ่อยที่สุด - แน่นอนแม้ว่าในทางปฏิบัติแทนที่จะเป็น "X" จะมีตัวแปรอื่นอยู่ก็ตาม ในทางปฏิบัติ สถานที่หนึ่งสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ รวมถึงค่าอนันต์ ()
3) ฟังก์ชั่นภายใต้เครื่องหมายจำกัด ในกรณีนี้

การบันทึกนั้นเอง อ่านได้ดังนี้: “ขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะรวมเป็นหนึ่งเดียว”

ลองดูคำถามสำคัญถัดไป - นิพจน์ "x" หมายถึงอะไร? มุ่งมั่นถึงหนึ่ง"? และคำว่า “มุ่งมั่น” หมายความว่าอย่างไร?
แนวคิดเรื่องขีดจำกัดก็คือแนวคิด กล่าวคือ พลวัต- มาสร้างลำดับกัน: อันดับแรก จากนั้น , , …, , ….
นั่นคือสำนวน "x" มุ่งมั่นหนึ่ง” ควรเข้าใจดังนี้: “x” รับค่าอย่างสม่ำเสมอ ซึ่งเข้าใกล้ความสามัคคีอย่างไม่สิ้นสุดและเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมๆ กัน.

จะแก้ตัวอย่างข้างต้นได้อย่างไร? จากที่กล่าวมาข้างต้น คุณเพียงแค่ต้องแทนที่อันใดอันหนึ่งลงในฟังก์ชันใต้เครื่องหมายจำกัด:

ดังนั้นกฎข้อแรก: เมื่อได้รับขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนตัวเลขเข้ากับฟังก์ชัน.

เราได้พิจารณาขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดแล้ว แต่สิ่งเหล่านี้ก็เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเช่นกัน และไม่บ่อยนัก!

ตัวอย่างที่มีอนันต์:

ลองคิดดูว่ามันคืออะไร? นี่เป็นกรณีที่มันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด กล่าวคือ อันดับแรก จากนั้น จากนั้น ต่อไป และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

เกิดอะไรขึ้นกับฟังก์ชั่นในเวลานี้?
, , , …

ดังนั้น: ถ้า ฟังก์ชันนี้มีแนวโน้มที่จะลบอนันต์:

พูดคร่าวๆ ตามกฎข้อแรกของเรา แทนที่จะเป็น "X" เราจะแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชันแล้วได้คำตอบ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่มีอนันต์:

อีกครั้งเราเริ่มเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ และดูที่พฤติกรรมของฟังก์ชัน:

สรุป: เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด:

และอีกตัวอย่างหนึ่ง:

โปรดลองวิเคราะห์สิ่งต่อไปนี้ด้วยตนเองและจดจำประเภทขีดจำกัดที่ง่ายที่สุด:

, , , , , , , , ,
หากมีข้อสงสัยก็สามารถหยิบเครื่องคิดเลขมาฝึกเล่นได้นิดหน่อย
ในกรณีที่ ให้ลองสร้างลำดับ , , . ถ้า แล้ว , , .

หมายเหตุ: พูดอย่างเคร่งครัด วิธีการสร้างลำดับของตัวเลขหลายจำนวนนี้ไม่ถูกต้อง แต่สำหรับการทำความเข้าใจตัวอย่างที่ง่ายที่สุดก็ค่อนข้างเหมาะสม

ให้ความสนใจกับสิ่งต่อไปนี้ด้วย แม้ว่าจะมีการกำหนดขีดจำกัดไว้ด้วยตัวเลขจำนวนมากที่ด้านบน หรือแม้แต่จำนวนล้านก็ตาม: มันก็เหมือนเดิมทั้งหมด เนื่องจากไม่ช้าก็เร็ว "X" จะได้รับค่าขนาดมหึมาซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับพวกมันแล้วนับล้านจะกลายเป็นจุลินทรีย์จริง

สิ่งที่คุณต้องจำและทำความเข้าใจจากข้างต้น?

1) เมื่อกำหนดขีดจำกัดใดๆ ขั้นแรกเราเพียงพยายามแทนที่ตัวเลขลงในฟังก์ชัน

2) คุณต้องเข้าใจและแก้ไขขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดทันที เช่น . ฯลฯ

ตอนนี้เราจะพิจารณากลุ่มของขีดจำกัดเมื่อ และฟังก์ชันเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม

ตัวอย่าง:

คำนวณขีดจำกัด

ตามกฎของเรา เราจะพยายามแทนที่ค่าอนันต์ในฟังก์ชัน เราได้อะไรจากด้านบน? อินฟินิตี้. และเกิดอะไรขึ้นด้านล่าง? อนันต์อีกด้วย ดังนั้นเราจึงมีสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ บางคนอาจคิดว่า และคำตอบก็พร้อมแล้ว แต่ในกรณีทั่วไป มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเลย และจำเป็นต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาบางอย่าง ซึ่งเราจะพิจารณาในตอนนี้

จะแก้ข้อจำกัดประเภทนี้ได้อย่างไร?

ขั้นแรกเราดูที่ตัวเศษและค้นหากำลังสูงสุด:

กำลังนำในตัวเศษคือสอง

ตอนนี้เราดูที่ตัวส่วนและพบว่ามันมีพลังสูงสุดด้วย:

ระดับสูงสุดของตัวส่วนคือสอง

จากนั้นเราเลือกกำลังสูงสุดของทั้งเศษและส่วน: ในตัวอย่างนี้ พวกมันเท่ากันและเท่ากับสอง

ดังนั้น วิธีการแก้มีดังนี้ เพื่อที่จะเปิดเผยความไม่แน่นอนจึงจำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุด

นี่คือคำตอบ ไม่ใช่อนันต์เลย

อะไรคือสิ่งสำคัญขั้นพื้นฐานในการออกแบบการตัดสินใจ?

ขั้นแรก เราระบุถึงความไม่แน่นอน (ถ้ามี)

ประการที่สอง ขอแนะนำให้ขัดจังหวะการแก้ปัญหาเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง ฉันมักจะใช้เครื่องหมายนี้ มันไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ แต่หมายความว่าการแก้ปัญหาถูกขัดจังหวะเพื่อขอคำอธิบายระดับกลาง

ประการที่สาม แนะนำให้ทำเครื่องหมายสิ่งที่กำลังดำเนินไปในขอบเขตจำกัด เมื่อวาดรูปด้วยมือจะสะดวกกว่าถ้าทำเช่นนี้:

ควรใช้ดินสอธรรมดาสำหรับจดบันทึก

แน่นอนว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำอะไรเลย แต่บางทีครูอาจชี้ให้เห็นข้อบกพร่องในการแก้ปัญหาหรือเริ่มถามคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับงานที่ได้รับมอบหมาย คุณต้องการมันไหม?

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาขีดจำกัด
อีกครั้งในตัวเศษและส่วนที่เราพบในระดับสูงสุด:

ระดับสูงสุดในตัวเศษ: 3
ระดับสูงสุดในตัวส่วน: 4
เลือก ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดค่าในกรณีนี้คือสี่
ตามอัลกอริทึมของเรา เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน เราจะหารทั้งเศษและส่วนด้วย
งานที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาขีดจำกัด
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวเศษ: 2
ระดับสูงสุดของ “X” ในตัวส่วน: 1 (เขียนเป็นได้)
เพื่อเปิดเผยความไม่แน่นอน จำเป็นต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วย วิธีแก้ปัญหาสุดท้ายอาจมีลักษณะดังนี้:

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

สัญกรณ์ไม่ได้หมายถึงการหารด้วยศูนย์ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) แต่เป็นการหารด้วยจำนวนที่น้อยมาก

ดังนั้นด้วยการเปิดเผยความไม่แน่นอนของสายพันธุ์ เราอาจสามารถทำได้ หมายเลขสุดท้าย, ศูนย์หรืออนันต์

ข้อจำกัดด้วยความไม่แน่นอนของประเภทและวิธีการแก้ไข

ขีดจำกัดกลุ่มถัดไปค่อนข้างคล้ายกับขีดจำกัดที่เพิ่งพิจารณา: ตัวเศษและตัวส่วนประกอบด้วยพหุนาม แต่ "x" ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์อีกต่อไป แต่ จำนวนจำกัด.

ตัวอย่างที่ 4

แก้ขีดจำกัด
ก่อนอื่น เรามาลองแทน -1 ลงในเศษส่วนกันก่อน:

ในกรณีนี้จะได้รับสิ่งที่เรียกว่าความไม่แน่นอน

กฎทั่วไป: ถ้าตัวเศษและส่วนมีพหุนามและมีรูปแบบไม่แน่นอนก็ให้เปิดเผย คุณต้องแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน.

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ บ่อยครั้งคุณจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองและ/หรือใช้สูตรการคูณแบบย่อ หากสิ่งเหล่านี้ถูกลืมไปเยี่ยมชมเพจ สูตรทางคณิตศาสตร์และตารางและอ่านสื่อการสอน สูตรเด็ดสำหรับคอร์สคณิตศาสตร์โรงเรียน- อย่างไรก็ตาม เป็นการดีที่สุดที่จะพิมพ์ออกมา ต้องใช้บ่อยมากและข้อมูลจะถูกดูดซึมจากกระดาษได้ดีกว่า

เอาล่ะ มาแก้ขีดจำกัดของเรากันดีกว่า

แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน

ในการที่จะแยกตัวเศษออกจากตัวเศษ คุณต้องแก้สมการกำลังสอง:

ขั้นแรกเราค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ:

และรากที่สองของมัน: .

ถ้าค่าการแบ่งแยกมีขนาดใหญ่ เช่น 361 เราจะใช้เครื่องคิดเลข ฟังก์ชันการแยกรากที่สองจะอยู่บนเครื่องคิดเลขที่ง่ายที่สุด

- หากไม่ได้แยกรากออกทั้งหมด (ได้เลขเศษส่วนที่มีเครื่องหมายจุลภาค) มีโอกาสมากที่การคำนวณการแบ่งแยกนั้นไม่ถูกต้องหรือมีการพิมพ์ผิดในงาน

ต่อไปเราจะค้นหาราก:

ดังนั้น:

ทั้งหมด. ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ

ตัวส่วน ตัวส่วนเป็นปัจจัยที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว และไม่มีวิธีใดที่จะทำให้มันง่ายขึ้นได้

เห็นได้ชัดว่าสามารถย่อเป็น:

ตอนนี้เราแทน -1 ลงในนิพจน์ที่ยังอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัด:

โดยปกติแล้วในการทดสอบ การทดสอบ หรือการสอบ วิธีแก้ปัญหาไม่เคยมีการอธิบายรายละเอียดดังกล่าวเลย ในเวอร์ชันสุดท้าย การออกแบบควรมีลักษณะดังนี้:

ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ.

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณขีดจำกัด

ขั้นแรก เวอร์ชัน "เสร็จสิ้น" ของโซลูชัน

ลองแยกตัวเศษและส่วนออก.

เศษ:
ตัวส่วน:



,

อะไรคือสิ่งสำคัญในตัวอย่างนี้?
ประการแรก คุณต้องมีความเข้าใจเป็นอย่างดีว่าตัวเศษถูกเปิดเผยได้อย่างไร ขั้นแรกเราเอา 2 ตัวออกจากวงเล็บ แล้วจึงใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง นี่คือสูตรที่คุณต้องรู้และดู