การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ภาคเรียนปีที่ 1 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

เอ.วี. กลาสโก

บรรยายการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

"ฟังก์ชันและขีดจำกัดเบื้องต้น"

มอสโก, MSTU N.E. บาวแมน

§1 สัญลักษณ์เชิงตรรกะ

เมื่อเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้สัญลักษณ์ตรรกะต่อไปนี้:

	ความหมาย	ความหมาย

		สำหรับใครก็ตาม สำหรับทุกคน สำหรับทุกคน (จาก

		มี, มี, มี (มีอยู่)

		ดึงดูดติดตาม (ดังนั้น)

		ในทำนองเดียวกันหากและหากเท่านั้น
		จำเป็นและเพียงพอ
ดังนั้น ถ้า A และ B เป็นข้อความใดๆ แล้ว

		ความหมาย



		A หรือ B (หรือ A หรือ B หรือทั้ง A และ B)






		สำหรับ x, A ใดๆ

		มี x ที่ A ถืออยู่

		จาก A ตามด้วย B (ถ้า A เป็นจริง B ก็เป็นจริง)
(ความหมาย)
		A เทียบเท่ากับ B, A จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ B เกิดขึ้นเท่านั้น
		สำหรับ B จำเป็นและเพียงพอสำหรับ A
	ความคิดเห็น “A B” หมายความว่า A เพียงพอสำหรับ B และ B จำเป็นสำหรับ A

ตัวอย่าง. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2))

บางครั้งเราจะใช้สัญลักษณ์พิเศษอื่น: A =df B

หมายความว่า A = B ตามคำจำกัดความ

§2 ฝูงชน. องค์ประกอบและส่วนประกอบของเซต

แนวคิดเรื่องชุดเป็นแนวคิดหลัก ไม่ได้นิยามผ่านแนวคิดที่ง่ายกว่า คำว่า: collection, family, set เป็นคำพ้องความหมาย

ตัวอย่างชุด: นักเรียนจำนวนมากในห้องเรียน, ครูในแผนกจำนวนมาก, รถยนต์หลายคันในลานจอดรถ ฯลฯ

แนวคิดหลักก็คือแนวคิดเช่นกัน องค์ประกอบชุดและความสัมพันธ์

ระหว่างองค์ประกอบของชุด

ตัวอย่าง. N คือเซตของจำนวนธรรมชาติ องค์ประกอบของมันคือตัวเลข 1,2,3,... ถ้า x และ y เป็นองค์ประกอบของ N ก็จะมีความสัมพันธ์แบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้: x=y, x คุณ

ให้เราตกลงที่จะแสดงชุดด้วยตัวพิมพ์ใหญ่: A, B, C, X, Y, … และองค์ประกอบด้วยตัวอักษรตัวพิมพ์เล็ก: a, b, c, x, y, …

ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบหรือชุดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่แทรกระหว่างตัวอักษร ตัวอย่างเช่น. ให้ A เป็นเซตบ้าง ดังนั้นความสัมพันธ์ a A หมายความว่า a เป็นสมาชิกของเซต A สัญกรณ์ a A หมายความว่า a ไม่ใช่สมาชิกของ A

ชุดสามารถระบุได้หลายวิธี 1. แสดงรายการองค์ประกอบต่างๆ

ตัวอย่างเช่น A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. การระบุคุณสมบัติขององค์ประกอบ ให้ A เป็นเซตของสมาชิกที่มีสมบัติ p สามารถเขียนเป็น: A=( a:p ) หรือ A=( ap )

ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) หมายความว่า A คือเซตของจำนวนจริงที่เป็นไปตามอสมการ x2 -1>0

ให้เราแนะนำคำจำกัดความที่สำคัญหลายประการ

Def. เซตหนึ่งเรียกว่าเซตจำกัดหากประกอบด้วยสมาชิกจำนวนจำกัด มิฉะนั้นจะเรียกว่าไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น ชุดของนักเรียนในห้องเรียนนั้นมีจำกัด แต่เซตของจำนวนธรรมชาติหรือเซตของจุดภายในเซ็กเมนต์นั้นไม่มีที่สิ้นสุด

Def. ชุดที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวเรียกว่าว่างเปล่าและถูกกำหนดไว้

Def. กล่าวกันว่าสองชุดจะเท่ากันหากประกอบด้วยชุดเดียวกัน

เหล่านั้น. แนวคิดของเซตไม่ได้หมายความถึงลำดับขององค์ประกอบโดยเฉพาะ Def. เซต X เรียกว่าสับเซตของเซต Y หากองค์ประกอบใดๆ ของเซต X เป็นองค์ประกอบของเซต Y (และโดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่องค์ประกอบใดๆ เลย)

องค์ประกอบของเซต Y คือองค์ประกอบของเซต X) สัญกรณ์ที่ใช้คือ: X Y

ตัวอย่างเช่น เซตของส้ม O เป็นสับเซตของเซตผลไม้ F: O F และเซตของจำนวนธรรมชาติ N ก็เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง R: N R

สัญลักษณ์ “ ” และ “ ” เรียกว่าสัญลักษณ์รวม แต่ละชุดถือเป็นชุดย่อยของตัวเอง เซตว่างเป็นสับเซตของเซตใดๆ

Def. สับเซต B ที่ไม่ว่างใดๆ ของเซต A ที่ไม่เท่ากับ A จะถูกเรียก

เซตย่อยของตัวเอง

§ 3. ไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์ การดำเนินการเบื้องต้นในชุด

เป็นการสะดวกที่จะแสดงฉากต่างๆ ในรูปแบบกราฟิก ในรูปแบบของพื้นที่บนเครื่องบิน สันนิษฐานว่าจุดของพื้นที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของเซต การแสดงเซตแบบกราฟิกดังกล่าวเรียกว่าไดอะแกรมออยเลอร์-เวนน์

ตัวอย่าง. A – นักเรียน MSTU จำนวนมาก B – นักเรียนจำนวนมากในกลุ่มผู้ชม ข้าว. 1 แสดงให้เห็นชัดเจนว่า A B

แผนภาพออยเลอร์-เวนน์สะดวกต่อการใช้เพื่อแสดงภาพระดับประถมศึกษา ตั้งค่าการดำเนินการ- การดำเนินงานหลักมีดังต่อไปนี้

ข้าว. 1. ตัวอย่างแผนภาพออยเลอร์-เวนน์

1. จุดตัด A B ของเซต A และ B คือเซต C ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของเซต A และ B พร้อมกัน:

C=AB =df ( z: (z A) (z B) )

(ในรูปที่ 2 เซต C แสดงด้วยพื้นที่แรเงา)

ข้าว. 2. จุดตัดของเซต

2. สหภาพ A B ของเซต A และ B คือเซต C ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ในเซต A หรือ B อย่างน้อยหนึ่งชุด

C=AB =df ( z: (z A) (z B) )

(ในรูปที่ 3 เซต C แสดงด้วยพื้นที่แรเงา)

ข้าว. 3. ยูเนี่ยนเซ็ต

ข้าว. 4. ความแตกต่างของชุด

3. ผลต่าง A\B ของเซต A และ B เรียกว่าเซต C ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของเซต A แต่ไม่ได้อยู่ในเซต B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(ในรูปที่ 4 เซต C แสดงด้วยพื้นที่แรเงาด้วยสีเหลือง)

§4 เซตของจำนวนจริง

เรามาสร้างเซตของจำนวนจริง R กัน โดยอันดับแรกให้พิจารณาก่อนว่า เซตของจำนวนธรรมชาติซึ่งเรากำหนดไว้ดังนี้ สมมติว่าตัวเลข n=1 เป็นองค์ประกอบแรก องค์ประกอบที่ตามมาแต่ละองค์ประกอบจะได้รับจากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการเพิ่มองค์ประกอบหนึ่ง:

ยังไม่มีข้อความ = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … )

ยังไม่มีข้อความ = ( -1, -2, -3, …, -n, … )

เซตของจำนวนเต็ม Zเรากำหนดให้มันเป็นการรวมกันของสามชุด: N, -N และชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว - ศูนย์:

เรากำหนดชุดของจำนวนตรรกยะเป็นชุดของความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนเต็ม:

Q = ( xx = ม/n; ม, n Z, n 0 )

เห็นได้ชัดว่า N Z Q

เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนเชิงเส้นจำกัดหรือเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดได้ ตัวเลขตรรกยะเพียงพอที่จะวัดปริมาณทั้งหมดที่เราอาจพบเมื่อศึกษาโลกรอบตัวเราหรือไม่? ในสมัยกรีกโบราณแสดงให้เห็นแล้วว่าไม่: ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขายาวหนึ่งอัน ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถจำกัดตัวเองให้อยู่แค่เซตของจำนวนตรรกยะได้ จำเป็นต้องขยายแนวคิดเรื่องจำนวน ส่วนขยายนี้ทำได้โดยการแนะนำ เซตของจำนวนอตรรกยะ J ซึ่งคิดได้ง่ายที่สุดว่าเป็นเซตของเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบทั้งหมด

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเรียกว่า

เซตของจำนวนจริง R: R =Q Y

บางครั้งเรายังพิจารณาชุดขยายของจำนวนจริง R อีกด้วย นั่นคือความเข้าใจ

สะดวกในการแสดงจำนวนจริงเป็นจุดบนเส้นจำนวน

Def. แกนตัวเลขคือเส้นตรงที่ใช้ระบุจุดเริ่มต้น สเกล และทิศทางของการอ้างอิง

การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งถูกสร้างขึ้นระหว่างจำนวนจริงและจุดบนแกนตัวเลข: จำนวนจริงใดๆ สอดคล้องกับจุดเดียวบนแกนจำนวนและในทางกลับกัน

สัจพจน์ของความสมบูรณ์ (ความต่อเนื่อง) ของเซตจำนวนจริง ไม่ว่าเซตที่ไม่ว่างใดๆ A= (a) R และ B= (b) R จะเป็นเช่นไรสำหรับ a และ b ใดๆ ที่ความไม่เท่าเทียมกันที่ a ≤ b มีอยู่ จะมีจำนวน cR โดยที่ ≤ c ≤ b (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 ภาพประกอบสัจพจน์ของความสมบูรณ์ของเซตจำนวนจริง

§5 ชุดตัวเลข ละแวกบ้าน.

Def. ชุดตัวเลขเซตย่อยใดๆ ของเซต R เรียกว่าเซตตัวเลขที่สำคัญที่สุด: N, Z, Q, J รวมถึง

ส่วน: (x R |a x b ),

ช่วงเวลา: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

ครึ่งช่วง: ( x R| a x b),

(x ร | x ข )

บทบาทที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีการเล่นโดยแนวคิดเรื่องบริเวณใกล้เคียงของจุดบนแกนจำนวน

Def. - ย่านใกล้เคียงของจุด x 0 คือช่วงความยาว 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด x 0 (รูปที่ 6):

คุณ (x 0 ) (x 0 ,x 0 )

ข้าว. 6. บริเวณใกล้เคียงของจุด

Def. การเจาะทะลุ - ย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่งคือย่านใกล้เคียงของจุดนี้

ซึ่งไม่รวมจุด x0 ไว้ (รูปที่ 7):

คุณ (x 0 ) คุณ (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 )

ข้าว. 7. เจาะบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง

Def. ด้านขวา -ย่านใกล้เคียงของจุด x0 เรียกว่าครึ่งช่วง

u (x 0 ) ช่วงของค่า: E= [-π/2,π/2 ]

ข้าว. 11. กราฟของฟังก์ชัน y อาร์คซิน x

ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ( องค์ประกอบของการแมป- ให้ D, E, M สามชุดได้รับ และให้ f: D→E, g: E→M แน่นอนว่า มีความเป็นไปได้ที่จะสร้างการแมปใหม่ h: D→M เรียกว่าองค์ประกอบของการแมป f และ g หรือฟังก์ชันที่ซับซ้อน (รูปที่ 12)

ฟังก์ชันเชิงซ้อนแสดงดังนี้: z =h(x)=g(f(x)) หรือ h = f o g

ข้าว. 12. ภาพประกอบแนวคิดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ฟังก์ชัน f (x) ถูกเรียก ฟังก์ชั่นภายในและฟังก์ชัน g (y)- ฟังก์ชั่นภายนอก.

1. ฟังก์ชันภายใน f(x)= x² ฟังก์ชันภายนอก g (y) sin y ฟังก์ชันเชิงซ้อน z= g(f(x))=sin(x²)

2. ตอนนี้มันกลับกัน ฟังก์ชันภายใน f (x)= sinx ฟังก์ชันภายนอก g (y) y 2 u=f(g(x))=บาป²(x)

คำถามสอบวิชา “วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” ปี 1 ภาคการศึกษาที่ 1

1. ฝูงชน. การดำเนินการขั้นพื้นฐานในชุด ช่องว่างเมตริกและเลขคณิต

2. ชุดตัวเลข ตั้งค่าบนเส้นจำนวน: ส่วน ช่วงเวลา ครึ่งแกน ย่านใกล้เคียง

3. คำจำกัดความของเซตที่มีขอบเขต ขอบเขตบนและล่างของชุดตัวเลข สมมุติฐานเกี่ยวกับขอบเขตบนและล่างของชุดตัวเลข

4. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันของแบร์นูลลีและคอชี

5. ความหมายของฟังก์ชัน กราฟฟังก์ชัน ฟังก์ชันคู่และคี่ ฟังก์ชันคาบ วิธีการระบุฟังก์ชัน

6. ขีดจำกัดความสม่ำเสมอ คุณสมบัติของลำดับมาบรรจบกัน

7. ลำดับที่จำกัด ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของลำดับ

8. ความหมายของลำดับโมโนโทนิก ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับลำดับเสียงเดียว

9. หมายเลข จ.

10. ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์ ข้อจำกัดด้านเดียว

11. ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด ขีดจำกัดของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของฟังก์ชัน

12. ทฤษฎีบทว่าด้วยเสถียรภาพของอสมการ ผ่านไปสู่ขีดจำกัดของความไม่เท่าเทียมกัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันสามฟังก์ชัน

13. ประการแรกและประการที่สองคือขีดจำกัดอันมหัศจรรย์

14. ฟังก์ชันขนาดใหญ่อนันต์และการเชื่อมต่อกับฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

15. การเปรียบเทียบฟังก์ชันอนันต์ คุณสมบัติของค่าจิ๋วที่เท่ากัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแทนที่ค่าจิ๋วด้วยค่าที่เท่ากัน ความเท่าเทียมกันขั้นพื้นฐาน

16. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง การดำเนินการที่มีฟังก์ชันต่อเนื่อง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันพื้นฐานขั้นพื้นฐาน

17. การจำแนกประเภทของจุดความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความหมายโดยความต่อเนื่อง

18. นิยามของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

19. ความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ ทฤษฎีบทของคอชีเกี่ยวกับการหายไปของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งและค่ากลางของฟังก์ชัน

20. คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเรื่องขอบเขตของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

21. ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิก ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันโมโนโทน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเซตของค่าของฟังก์ชันที่มีความซ้ำซากจำเจและต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง

22. ฟังก์ชันผกผัน กราฟของฟังก์ชันผกผัน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่และความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผัน

23. ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันและไฮเปอร์โบลิก

24. การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น

25. นิยามของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันหาอนุพันธ์

26. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการของแทนเจนต์และเส้นปกติกับกราฟของฟังก์ชัน

27. อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของสองฟังก์ชัน

28. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนและฟังก์ชันผกผัน

29. การหาอนุพันธ์ลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

30. ส่วนหลักของการเพิ่มฟังก์ชัน สูตรเชิงเส้นของฟังก์ชัน ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล

31. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน ความคงที่ของรูปร่างของส่วนต่าง

32. ทฤษฎีบทของโรล ลากรองจ์ และคอชีเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ สูตรการเพิ่มจำนวนจำกัด

33. การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในการเปิดเผยความไม่แน่นอนภายในขอบเขต กฎของโลปิตาล

34. คำจำกัดความของอนุพันธ์ลำดับที่ n กฎเกณฑ์ในการค้นหาอนุพันธ์ลำดับที่ n สูตรของไลบ์นิซ ส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

35. สูตรของเทย์เลอร์ที่มีเทอมที่เหลืออยู่ในรูปพีอาโน เงื่อนไขสารตกค้างในรูปแบบ Lagrange และ Cauchy

36. ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด จุดสุดขีด

37. ความนูนและความเว้าของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยน

38. การแบ่งคุณสมบัติที่ไม่มีที่สิ้นสุด เส้นกำกับ

39. โครงการสร้างกราฟของฟังก์ชัน

40. ความหมายของแอนติเดริเวทีฟ คุณสมบัติพื้นฐานของแอนติเดริเวทีฟ กฎการรวมที่ง่ายที่สุด ตารางปริพันธ์อย่างง่าย

41. การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรและสูตรการอินทิกรัลตามส่วนต่างๆ ในอินทิกรัลไม่จำกัด

42. บูรณาการการแสดงออกของแบบฟอร์ม e ax cos bx และ e ax sin bx โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

43. การบูรณาการเศษส่วน		โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ

	2 น
	2 น

44. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันตรรกยะ การอินทิเกรตของเศษส่วนอย่างง่าย

45. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันตรรกยะ การแยกเศษส่วนแท้ให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย

46. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันจำนวนตรรกยะ การรวมนิพจน์



	ร x ม

47. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันไม่ลงตัว บูรณาการการแสดงออกของรูปแบบ R x , ax 2 bx c . การเปลี่ยนตัวของออยเลอร์

48. บูรณาการการแสดงออกของแบบฟอร์ม

ax2 bx ค

2 บีเอ็กซ์ ค

49. อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันจำนวนตรรกยะ ปริพันธ์ของดิฟเฟอเรนเชียลทวินาม

50. การบูรณาการนิพจน์ตรีโกณมิติ การทดแทนตรีโกณมิติสากล

51. การอินทิเกรตของนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตรรกยะในกรณีที่อินทิกรัลเป็นเลขคี่เมื่อเทียบกับบาป x (หรือ cos x) หรือแม้กระทั่งเทียบกับ sin x และ cos x

52. การรวมนิพจน์บาป n x cos m x และบาป nx cos mx

53. การรวมนิพจน์ tg m x และ ctg m x

54. การรวมนิพจน์ R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 และ R x , x 2 a 2 โดยใช้การทดแทนตรีโกณมิติ

55. อินทิกรัลที่แน่นอน ปัญหาการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

56. ผลรวมอินทิกรัล ผลรวมของดาร์บูซ์ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขของการมีอยู่ของอินทิกรัลจำกัดเขต คลาสของฟังก์ชันอินทิเกรต

57. คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

58. อินทิกรัลจำกัดจำนวนเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบน สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

59. สูตรสำหรับการเปลี่ยนตัวแปรและสูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ ในอินทิกรัลจำกัดเขต

60. การประยุกต์แคลคูลัสอินทิกรัลกับเรขาคณิต ปริมาณของรูป ปริมาณของตัวเลขการหมุน

61. การประยุกต์แคลคูลัสอินทิกรัลกับเรขาคณิต พื้นที่ของรูปทรงแบน พื้นที่ของเซกเตอร์โค้ง ความยาวเส้นโค้ง.

62. คำจำกัดความของอินทิกรัลไม่เหมาะสมชนิดที่ 1 สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซสำหรับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมของชนิดที่หนึ่ง คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด

63. การบรรจบกันของอินทิกรัลเกินชนิดแรกสำหรับฟังก์ชันบวกทฤษฎีบทเปรียบเทียบที่ 1 และ 2

64. การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และแบบมีเงื่อนไขของอินทิกรัลเกินชนิดที่ 1 จากฟังก์ชันสลับกัน ทดสอบการบรรจบกันของอาเบลและดิริชเลต์

65. คำจำกัดความของอินทิกรัลเกินชนิดที่สอง สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ สำหรับอินทิกรัลเกินชนิดที่สอง

66. การเชื่อมต่ออินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมชนิดที่ 1 และ 2. อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมในแง่ของมูลค่าหลัก

หลักสูตรนี้มุ่งเป้าไปที่นักศึกษาระดับปริญญาตรีและปริญญาโทที่เชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ หรือวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ตลอดจนครูคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา และอาจารย์มหาวิทยาลัย นอกจากนี้ยังจะเป็นประโยชน์สำหรับเด็กนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์เชิงลึกอีกด้วย

โครงสร้างหลักสูตรเป็นแบบดั้งเดิม หลักสูตรนี้ครอบคลุมเนื้อหาคลาสสิกเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งศึกษาในปีแรกของมหาวิทยาลัยในภาคการศึกษาแรก เนื้อหาจะนำเสนอในส่วน "องค์ประกอบของทฤษฎีเซตและจำนวนจริง", "ทฤษฎีลำดับจำนวน", "ขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน", "ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน", "การประยุกต์ใช้ความสามารถในการหาอนุพันธ์" เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของเซต ให้คำจำกัดความของจำนวนจริงที่เข้มงวด และศึกษาคุณสมบัติของจำนวนจริง จากนั้นเราจะพูดถึงลำดับจำนวนและคุณสมบัติของมัน สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถพิจารณาแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันตัวเลขที่เด็กนักเรียนรู้จักกันดีในระดับใหม่ที่เข้มงวดยิ่งขึ้น เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องขีดจำกัดและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อภิปรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง และการประยุกต์เพื่อแก้ปัญหา

ในส่วนที่สองของหลักสูตร เราจะนิยามอนุพันธ์และความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง และศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาประยุกต์ที่สำคัญเช่นการคำนวณค่าฟังก์ชันโดยประมาณและการแก้สมการการคำนวณขีด จำกัด ศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันและการสร้างกราฟ

รูปแบบ

รูปแบบการเรียนเป็นแบบโต้ตอบ(ทางไกล)
ชั้นเรียนรายสัปดาห์จะรวมถึงการชมวิดีโอบรรยายเฉพาะเรื่องและทำข้อสอบให้เสร็จสิ้นด้วยการตรวจสอบผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ
องค์ประกอบที่สำคัญของการศึกษาวินัยคือการแก้ปัญหาทางคอมพิวเตอร์และการพิสูจน์อย่างเป็นอิสระ การแก้ปัญหาจะต้องมีเหตุผลที่ถูกต้องและสมเหตุสมผลซึ่งนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง (ในกรณีที่เกิดปัญหาทางการคำนวณ) หรือพิสูจน์ข้อความที่ต้องการอย่างสมบูรณ์ (สำหรับปัญหาทางทฤษฎี)

ความต้องการ

หลักสูตรนี้ออกแบบมาสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีชั้นปีที่ 1 จำเป็นต้องมีความรู้คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (เกรด 11)

โปรแกรมหลักสูตร

การบรรยายครั้งที่ 1องค์ประกอบของทฤษฎีเซต
การบรรยายครั้งที่ 2แนวคิดของจำนวนจริง ใบหน้าที่แน่นอนของชุดตัวเลข
การบรรยายครั้งที่ 3การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนจริง คุณสมบัติของจำนวนจริง
การบรรยายครั้งที่ 4ลำดับจำนวนและคุณสมบัติ
การบรรยายครั้งที่ 5ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ เกณฑ์ Cauchy สำหรับการลู่เข้าของลำดับ
การบรรยายครั้งที่ 6แนวคิดเรื่องฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นเล็กและใหญ่ไม่สิ้นสุด
การบรรยายครั้งที่ 7ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน การจำแนกประเภทของจุดพัก คุณสมบัติท้องถิ่นและระดับโลกของฟังก์ชันต่อเนื่อง
การบรรยายครั้งที่ 8ฟังก์ชั่นที่ซ้ำซากจำเจ ฟังก์ชันผกผัน
การบรรยายครั้งที่ 9ฟังก์ชันพื้นฐานที่ง่ายที่สุดและคุณสมบัติ: ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และกำลัง
บรรยายครั้งที่ 10.ฟังก์ชันตรีโกณมิติและตรีโกณมิติผกผัน ข้อจำกัดที่น่าทึ่ง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่สม่ำเสมอ
บรรยายครั้งที่ 11.แนวคิดเรื่องอนุพันธ์และอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ กฎของความแตกต่าง
บรรยายครั้งที่ 12.อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
บรรยายครั้งที่ 13.อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่สูงกว่า สูตรของไลบ์นิซ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยพารามิเตอร์
บรรยายครั้งที่ 14.คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ทฤษฎีบทของโรลส์และลากรองจ์
บรรยายครั้งที่ 15.ทฤษฎีบทของคอชี กฎข้อแรกของโลปิตาลในการเปิดเผยความไม่แน่นอน
บรรยายครั้งที่ 16.กฎข้อที่สองของโลปิตาลในการเปิดเผยความไม่แน่นอน สูตรของเทย์เลอร์ที่มีเทอมเศษอยู่ในรูปพีอาโน
บรรยายครั้งที่ 17.สูตรของเทย์เลอร์ที่มีเทอมที่เหลืออยู่ในรูปทั่วไป อยู่ในรูปลากรองจ์และคอชี การขยายตัวตามสูตร Maclaurin ของฟังก์ชันพื้นฐานหลัก การประยุกต์สูตรเทย์เลอร์
บรรยายครั้งที่ 18.เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน นูน
บรรยายครั้งที่ 19.จุดเปลี่ยน โครงร่างทั่วไปของการวิจัยฟังก์ชัน ตัวอย่างการพล็อตกราฟ

ผลการเรียนรู้

จากการเรียนรู้หลักสูตรนี้ นักเรียนจะเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ เซต จำนวน ลำดับ และฟังก์ชัน ทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของตนเอง และเรียนรู้การนำคุณสมบัติเหล่านี้ไปใช้ในการแก้ปัญหา

หลักสูตรนี้เป็นสตูดิโอบันทึกวิดีโอของครึ่งแรกของภาคการศึกษาแรกของการบรรยายเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบที่จัดไว้ที่มหาวิทยาลัยวิชาการ มากกว่า 4 โมดูล นักเรียนจะคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: ลำดับ ขีดจำกัด และความต่อเนื่อง เราจะจำกัดตัวเองไว้เพียงจำนวนจริงและฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวเท่านั้น การนำเสนอจะดำเนินการในระดับพื้นฐานโดยไม่มีการสรุปทั่วไปที่เป็นไปได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแนวคิดหลักของหลักฐาน แต่ทำให้การรับรู้มีความซับซ้อนอย่างมาก ข้อความทั้งหมด (ยกเว้นการให้เหตุผลอย่างเป็นทางการที่น่าเบื่อในช่วงเริ่มต้นของหลักสูตรและในคำจำกัดความของฟังก์ชันพื้นฐาน) จะได้รับการพิสูจน์อย่างเคร่งครัด การบันทึกวิดีโอจะมาพร้อมกับงานจำนวนมากเพื่อให้นักเรียนทำงานได้อย่างอิสระ

คอร์สนี้เหมาะกับใครบ้าง.

นักศึกษารุ่นน้องด้านเทคนิคพิเศษ

นักเรียนจะต้องมีความสามารถในการใช้หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเป็นอย่างดี กล่าวคือ คุณต้องรู้ว่ากราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานมีลักษณะอย่างไร รู้สูตรพื้นฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และลอการิทึม สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต และยังสามารถทำการแปลงพีชคณิตด้วยความเท่าเทียมกันและอสมการได้อย่างมั่นใจอีกด้วย สำหรับปัญหาหลายๆ ข้อ คุณจำเป็นต้องทราบคุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะด้วย

ปล่อยให้ตัวแปร x nรับลำดับของค่าที่ไม่สิ้นสุด

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

และกฎการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรก็เป็นที่รู้จัก x n, เช่น. สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติ nคุณสามารถระบุค่าที่เหมาะสมได้ x n- ดังนั้นจึงถือว่าตัวแปรนั้น x nเป็นฟังก์ชันของ n:

x n = ฉ(เอ็น)

ให้เรานิยามแนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ขีดจำกัดของลำดับหรือสิ่งที่เหมือนกันคือขีดจำกัดของตัวแปร x n, วิ่งไปตามลำดับ x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

คำนิยาม.จำนวนคงที่ กเรียกว่า ขีดจำกัดของลำดับ x 1 , x 2 , ..., x n , ... . หรือขีดจำกัดของตัวแปร x nถ้าจำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจ e ก็มีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น เอ็น(เช่น หมายเลข เอ็น) ว่าค่าทั้งหมดของตัวแปร x nเริ่มจาก x เอ็นแตกต่างจาก กมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าโดย e คำจำกัดความนี้เขียนโดยย่อดังนี้:

| x n - ก |< (2)

ต่อหน้าทุกคน n  เอ็นหรือสิ่งที่เหมือนกัน

การกำหนดขีดจำกัดของ Cauchy- จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a หากฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด a โดยมีข้อยกเว้นที่เป็นไปได้คือจุด a เอง และสำหรับทุก ๆ ε > 0 จะมีค่า δ > 0 ดังนั้นสำหรับทุก x เงื่อนไขที่เป็นไปตามเงื่อนไข |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

การกำหนดขีดจำกัดของ Heine- จำนวน A เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด a ถ้าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด a โดยมีข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของจุด a เอง และสำหรับลำดับใดๆ ในลักษณะที่ เมื่อบรรจบกับตัวเลข a ลำดับของค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันมาบรรจบกับตัวเลข A

ถ้าฟังก์ชัน f (x) มีลิมิตที่จุด a แสดงว่าลิมิตนี้มีค่าไม่ซ้ำกัน

ตัวเลข A 1 เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ทางด้านซ้ายที่จุด a ถ้าทุกๆ ε > 0 มี δ >

ตัวเลข A 2 เรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน f (x) ทางด้านขวาที่จุด a ถ้าสำหรับแต่ละ ε > 0 จะมี δ > 0 ซึ่งจะทำให้ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับทุกคน

ขีด จำกัด ทางด้านซ้ายจะแสดงด้วยขีด จำกัด ทางด้านขวา - ขีด จำกัด เหล่านี้เป็นลักษณะการทำงานของฟังก์ชันทางซ้ายและขวาของจุด a สิ่งเหล่านี้มักเรียกว่าข้อจำกัดทางเดียว ในการกำหนดขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับ x → 0 โดยปกติจะละศูนย์ตัวแรกไว้: และ ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน

ถ้าทุกๆ ε > 0 มี δ-บริเวณใกล้เคียงของจุด โดยที่ x ทุกตัวตรงตามเงื่อนไข |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε จากนั้นพวกเขาบอกว่าฟังก์ชัน f (x) มีขีดจำกัดไม่สิ้นสุดที่จุด a:

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงมีขีดจำกัดอนันต์ที่จุด x = 0 ขีดจำกัดเท่ากับ +∞ และ –∞ มักจะแยกแยะได้ ดังนั้น,

ถ้าทุกๆ ε > 0 มี δ > 0 ดังนั้นสำหรับทุก ๆ x > δ ความไม่เท่าเทียมกัน |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ของค่าสูงสุดที่แน่นอน

คำนิยาม:АR mR, m คือส่วนบน (ล่าง) ของ А ถ้า аА аm (аm)

คำนิยาม:เซต A ถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) ถ้ามี m อยู่โดยที่ aA, am (am) ยังคงอยู่

คำนิยาม: SupA=m ถ้า 1) m คือค่าสูงสุดของ A

2) ม’: ม’ m' ไม่ใช่ค่าสูงสุดของ A

InfA = n ถ้า 1) n คือค่าต่ำสุดของ A

2) n’: n’>n => n’ ไม่ใช่ค่าที่น้อยที่สุดของ A

คำนิยาม: SupA=m คือตัวเลขที่: 1)  aA am

2) >0 a  A โดยที่  a-

InfA = n คือตัวเลขที่: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A โดยที่ E a+

ทฤษฎีบท:เซตที่ไม่ว่างใดๆ AR ที่มีขอบเขตจากด้านบนจะมีค่าสูงสุดที่แน่นอนและเป็นค่าเฉพาะ

การพิสูจน์:

ลองสร้างเลข m บนเส้นจำนวนแล้วพิสูจน์ว่านี่คือค่าสูงสุดของ A

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - ขอบบนของ A

ส่วน [[m],[m]+1] - แบ่งออกเป็น 10 ส่วน

ม. 1 =สูงสุด:aA)]

ม. 2 = สูงสุด, ม. 1:aA)]

m k =สูงสุด,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - ขอบบน A

ขอให้เราพิสูจน์ว่า m=[m],m 1 ...m K คือค่าสูงสุดและมีค่าเฉพาะ:

เค: )