การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์จัดประเภทด้วยเหตุผลที่แตกต่างกัน

ตามวัตถุประสงค์พวกเขาจะแบ่งออกเป็น:

ทฤษฎีและการวิเคราะห์ - ในการศึกษาคุณสมบัติและรูปแบบทั่วไป

ประยุกต์ใช้ - ในการแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจเฉพาะ (แบบจำลองการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ การพยากรณ์ การจัดการ)

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์สามารถใช้ในการศึกษาแง่มุมต่างๆ ของการผลิตและแต่ละส่วนได้

ตามประเด็นสำคัญที่ศึกษาโดยกระบวนการทางเศรษฐกิจ แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

แบบจำลองการผลิตโดยทั่วไปและระบบย่อย - อุตสาหกรรม ภูมิภาค ฯลฯ

ความซับซ้อนของรูปแบบการผลิต การบริโภค การสร้างและการกระจายรายได้ ทรัพยากรแรงงาน การกำหนดราคา ความสัมพันธ์ทางการเงิน ฯลฯ

ตามการจำแนกประเภททั่วไปของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ พวกเขาจะแบ่งออกเป็น:

การทำงาน;

โครงสร้าง;

โครงสร้างและการทำงาน

การใช้แบบจำลองโครงสร้างในการวิจัยในระดับเศรษฐกิจมีความสมเหตุสมผลโดยการเชื่อมโยงระหว่างระบบย่อย โดยทั่วไปในกรณีนี้คือแบบจำลองของความสัมพันธ์ระหว่างภาคส่วน

แบบจำลองการทำงานมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านกฎระเบียบทางเศรษฐกิจ โดยทั่วไปในกรณีนี้คือแบบจำลองพฤติกรรมผู้บริโภคในแง่ของความสัมพันธ์ระหว่างสินค้าและเงิน

สามารถนำเสนอวัตถุเดียวและวัตถุเดียวกันในรูปแบบของแบบจำลองโครงสร้างและการใช้งานได้ในเวลาเดียวกัน ตัวอย่างเช่น แบบจำลองโครงสร้างใช้เพื่อวางแผนระบบอุตสาหกรรมที่แยกจากกัน และใช้แบบจำลองการทำงานในระดับเศรษฐกิจ

2. ความแตกต่างระหว่างแบบจำลองเชิงพรรณนาและเชิงบรรทัดฐานถูกเปิดเผยเมื่อพิจารณาถึงโครงสร้างและลักษณะการใช้งาน

แบบจำลองเชิงพรรณนาให้คำตอบสำหรับคำถาม: “สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร” หรือ “สิ่งนี้มีแนวโน้มที่จะพัฒนาต่อไปได้อย่างไร” นั่นคือพวกเขาอธิบายข้อเท็จจริงที่สังเกตหรือทำนายความเป็นไปได้ของข้อเท็จจริงใด ๆ

วัตถุประสงค์ของแนวทางเชิงพรรณนาคือการระบุเชิงประจักษ์ของการพึ่งพาต่างๆ ในระบบเศรษฐกิจ นี่อาจเป็นการสร้างรูปแบบทางสถิติของพฤติกรรมทางเศรษฐกิจของกลุ่มสังคม การศึกษาแนวทางที่น่าจะเป็นของการพัฒนากระบวนการใดๆ ภายใต้สภาวะที่ไม่เปลี่ยนแปลงหรือโดยไม่ได้รับอิทธิพลจากภายนอก และการศึกษาอื่นๆ ตัวอย่างที่นี่คือโมเดลความต้องการของผู้บริโภคที่สร้างขึ้นจากการประมวลผลข้อมูลทางสถิติ

แบบจำลองเชิงบรรทัดฐานได้รับการยอมรับในการตอบคำถาม: "มันควรจะเป็นเช่นไร" นั่นคือพวกเขาบอกเป็นนัยถึงกิจกรรมที่มีจุดประสงค์ ตัวอย่างทั่วไปคือแบบจำลองการวางแผนที่เหมาะสมที่สุด

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์สามารถเป็นได้ทั้งเชิงพรรณนาและเชิงบรรทัดฐาน ดังนั้น แบบจำลองดุลยภาพระหว่างภาคจึงเป็นคำอธิบาย หากใช้ในการวิเคราะห์สัดส่วนของช่วงเวลาที่ผ่านมา และเป็นบรรทัดฐานในการคำนวณตัวเลือกที่สมดุลสำหรับการพัฒนาเศรษฐกิจ

3. สัญญาณของแบบจำลองเชิงพรรณนาและเชิงบรรทัดฐานจะรวมกันหากแบบจำลองเชิงบรรทัดฐานของโครงสร้างที่ซับซ้อนรวมบล็อกที่แยกจากกันซึ่งเป็นแบบจำลองเชิงพรรณนาส่วนตัว ดังนั้น โมเดลระหว่างภาคส่วนอาจรวมถึงฟังก์ชันความต้องการของผู้บริโภคที่สะท้อนพฤติกรรมของผู้บริโภคเมื่อรายได้เปลี่ยนแปลง

วิธีการบรรยายใช้กันอย่างแพร่หลายในการสร้างแบบจำลองการจำลอง

โดยธรรมชาติของการค้นพบความสัมพันธ์แบบเหตุและผล มีแบบจำลองและแบบจำลองที่กำหนดอย่างเข้มงวดซึ่งรวมถึงองค์ประกอบของการสุ่มและความไม่แน่นอน จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างความไม่แน่นอนตามกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็นและความไม่แน่นอนที่อยู่นอกเหนือการบังคับใช้กฎหมายนี้ ความไม่แน่นอนประเภทที่สองทำให้เกิดปัญหาใหญ่ในการสร้างแบบจำลอง

4. ตามวิธีการสะท้อนปัจจัยด้านเวลา แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

คงที่;

พลวัต.

ในรูปแบบคงที่ กฎหมายทั้งหมดของเศรษฐกิจหมายถึงช่วงเวลาหนึ่งหรือช่วงเวลาหนึ่ง

โมเดลไดนามิกแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป

ตามความยาวของช่วงเวลา แบบจำลองระยะสั้น (สูงสุดหนึ่งปี) ระยะกลาง (สูงสุด 5 ปี) ระยะยาว (5 ปีหรือมากกว่า) การคาดการณ์และการวางแผนมีความโดดเด่น การไหลของเวลาในแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง

แบบจำลองปรากฏการณ์ทางเศรษฐศาสตร์แตกต่างกันในรูปแบบของการพึ่งพาทางคณิตศาสตร์

คลาสของตัวแบบเชิงเส้นจะสะดวกที่สุดสำหรับการวิเคราะห์และการคำนวณ แต่มีการพึ่งพาในระบบเศรษฐกิจต่อไปนี้ ซึ่งไม่ใช่เชิงเส้น:

ประสิทธิภาพของการใช้ทรัพยากรในขณะที่เพิ่มการผลิต

การเปลี่ยนแปลงความต้องการและการบริโภคของประชากรด้วยการผลิตที่เพิ่มขึ้น

การเปลี่ยนแปลงความต้องการและการบริโภคของประชากรที่มีรายได้เพิ่มขึ้น เป็นต้น

ตามอัตราส่วนของตัวแปรภายนอกและภายนอกที่รวมอยู่ในแบบจำลอง พวกเขาสามารถแบ่งออกเป็นเปิดและปิด

โมเดลต้องมีตัวแปรภายในอย่างน้อยหนึ่งตัว ดังนั้นจึงไม่มีโมเดลแบบเปิดโดยสิ้นเชิง แบบจำลองที่ไม่รวมตัวแปรภายนอก (ปิด) นั้นหายากมาก - การก่อสร้างต้องใช้สิ่งที่เป็นนามธรรมอย่างสมบูรณ์จาก "สภาพแวดล้อม" นั่นคือระบบเศรษฐกิจที่แท้จริงที่หยาบกร้านซึ่งมีความเชื่อมโยงภายนอกอยู่เสมอ

โดยพื้นฐานแล้วโมเดลต่างกันในระดับการเปิดกว้าง (ปิด)

สำหรับโมเดลระดับธุรกิจ การแบ่งส่วนเป็นสิ่งสำคัญ รวมและรายละเอียด

ขึ้นอยู่กับว่าแบบจำลองทางเศรษฐกิจรวมปัจจัยและเงื่อนไขเชิงพื้นที่หรือไม่ แบบจำลองเชิงพื้นที่และแบบจุดจะมีความแตกต่างกัน

ด้วยการเติบโตของความสำเร็จในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ ปัญหาในการจำแนกแบบจำลองที่ประยุกต์ใช้กลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมากขึ้น นอกจากการเกิดขึ้นของแบบจำลองประเภทใหม่ (โดยเฉพาะแบบผสม) และพื้นที่ใหม่สำหรับการจัดประเภทแล้ว กระบวนการของการรวมแบบจำลองประเภทต่าง ๆ เข้ากับการสร้างแบบจำลองที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นก็กำลังเกิดขึ้น

พิจารณาแนวคิด: “โมเดล การจำแนกแบบจำลอง” จากมุมมองทางวิทยาศาสตร์

การจำแนกประเภท

ปัจจุบันมีการแบ่งกลุ่มแยกกัน การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ที่ตั้งใจไว้:

• ประเภททฤษฎีและการวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาลักษณะทั่วไปและรูปแบบ
• แบบจำลองประยุกต์ที่มุ่งแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจบางอย่าง ซึ่งรวมถึงแบบจำลองการคาดการณ์ การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ การจัดการ

การจำแนกประเภทของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์นั้นสัมพันธ์กับขอบเขตของการใช้งานจริงด้วย

โมเดลดังกล่าวแบ่งออกเป็นกลุ่มตามเนื้อหาของปัญหา:

• รูปแบบการผลิตโดยทั่วไป
• ตัวเลือกส่วนบุคคลสำหรับภูมิภาค ระบบย่อย อุตสาหกรรม
• ความซับซ้อนของแบบจำลองการบริโภค การผลิต การกระจายและการก่อตัวของทรัพยากรแรงงาน รายได้ ความสัมพันธ์ทางการเงิน

การจำแนกแบบจำลองของกลุ่มเหล่านี้แสดงถึงการจัดสรรระบบย่อยโครงสร้าง

เมื่อทำการวิจัยในระดับเศรษฐกิจ แบบจำลองโครงสร้างจะอธิบายโดยความสัมพันธ์ของระบบย่อยแต่ละระบบ โมเดลของระบบ intersectoral สามารถแยกแยะได้เป็นตัวเลือกทั่วไป

ตัวเลือกการทำงานใช้สำหรับการควบคุมทางเศรษฐกิจของความสัมพันธ์ระหว่างสินค้าและเงิน วัตถุหนึ่งและวัตถุเดียวกันสามารถนำเสนอในรูปแบบของการทำงาน รูปแบบโครงสร้างได้ในเวลาเดียวกัน

การใช้แบบจำลองโครงสร้างในการวิจัยในระดับเศรษฐกิจมีความสมเหตุสมผลโดยการเชื่อมโยงระหว่างระบบย่อย โดยทั่วไปในกรณีนี้คือแบบจำลองของความสัมพันธ์ระหว่างภาคส่วน

แบบจำลองการทำงานมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านกฎระเบียบทางเศรษฐกิจ โดยทั่วไปในกรณีนี้คือแบบจำลองพฤติกรรมผู้บริโภคในแง่ของความสัมพันธ์ระหว่างสินค้าและเงิน

ความแตกต่างระหว่างรุ่น

มาวิเคราะห์รุ่นต่างๆกัน การจำแนกประเภทของแบบจำลองที่ใช้ในระบบเศรษฐกิจในปัจจุบันเกี่ยวข้องกับการจัดสรรตัวเลือกเชิงบรรทัดฐานและเชิงพรรณนา การใช้แบบจำลองเชิงพรรณนา ทำให้สามารถอธิบายข้อเท็จจริงที่วิเคราะห์ได้ เพื่อทำนายความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของข้อเท็จจริงบางอย่าง

วัตถุประสงค์ของการรณรงค์เชิงพรรณนา

มันเกี่ยวข้องกับการระบุเชิงประจักษ์ของการพึ่งพาต่าง ๆ ในเศรษฐกิจสมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น มีการกำหนดความสม่ำเสมอทางสถิติของกลุ่มสังคมต่างๆ วิธีการที่เป็นไปได้ในการพัฒนากระบวนการบางอย่างภายใต้สภาวะคงที่หรือไม่ได้รับอิทธิพลจากภายนอก จากผลลัพธ์ที่ได้จากการสำรวจทางสังคมวิทยา สามารถสร้างแบบจำลองความต้องการของผู้บริโภคได้

โมเดลการกำกับดูแล

ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เป็นไปได้ที่จะดำเนินกิจกรรมอย่างมีจุดมุ่งหมาย ตัวอย่างคือรูปแบบการจัดกำหนดการที่เหมาะสมที่สุด

อาจเป็นได้ทั้งเชิงบรรทัดฐานและเชิงพรรณนา หากใช้แบบจำลองในการวิเคราะห์สัดส่วนของช่วงเวลาที่ผ่านมาจะเป็นการพรรณนา เมื่อคำนวณด้วยวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการพัฒนาเศรษฐกิจมันเป็นบรรทัดฐาน

คุณสมบัติของรุ่น

การจัดประเภทของแบบจำลองเกี่ยวข้องกับการพิจารณาหน้าที่แต่ละส่วนที่ช่วยชี้แจงประเด็นที่ขัดแย้งให้กระจ่าง วิธีการพรรณนาพบการกระจายสูงสุดในแบบจำลองการจำลอง

ขึ้นอยู่กับธรรมชาติของการค้นพบความสัมพันธ์แบบเหตุและผล มีการจัดประเภทของแบบจำลองเป็นตัวเลือก ซึ่งรวมถึงองค์ประกอบแต่ละส่วนของความไม่แน่นอนและการสุ่ม ตลอดจนแบบจำลองที่กำหนดอย่างเข้มงวด สิ่งสำคัญคือต้องแยกความแตกต่างระหว่างความไม่แน่นอนซึ่งอยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นและความไม่แน่นอนซึ่งอยู่เหนือขอบเขตของกฎหมาย

การแบ่งรุ่นตามวิธีการสะท้อนปัจจัยเวลา

มันควรจะจำแนกแบบจำลองตามปัจจัยนี้เป็นประเภทไดนามิกและแบบคงที่ แบบจำลองคงที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาความสม่ำเสมอทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวเลือกแบบไดนามิกมีลักษณะเฉพาะตามการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป อนุญาตให้จำแนกประเภทของรุ่นตามตัวเลือกต่อไปนี้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับระยะเวลาการใช้งาน:

• ระยะสั้นระยะเวลาไม่เกินหนึ่งปี
• ระยะกลาง คำนวณเป็นระยะเวลาหนึ่งถึงห้าปี
• ระยะยาว คำนวณเป็นระยะเวลามากกว่าห้าปี

อนุญาตให้ทำการเปลี่ยนแปลงในกระบวนการใช้แบบจำลองทั้งนี้ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของโครงการ

ตามรูปแบบของการพึ่งพาทางคณิตศาสตร์

พื้นฐานสำหรับการจำแนกแบบจำลองคือรูปแบบของการพึ่งพาทางคณิตศาสตร์ที่เลือกไว้สำหรับการทำงาน ส่วนใหญ่ใช้คลาสของตัวแบบเชิงเส้นในการคำนวณและวิเคราะห์ พิจารณาประเภทแบบจำลองทางเศรษฐกิจ การจำแนกแบบจำลองประเภทนี้ช่วยในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของการบริโภคและความต้องการของประชากรในกรณีที่รายได้วัสดุเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ยังวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงความต้องการของประชากรในกรณีที่มีการผลิตเพิ่มขึ้น และประเมินประสิทธิผลของการใช้ทรัพยากรในสถานการณ์เฉพาะ

ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของตัวแปรภายในและภายนอกที่รวมอยู่ในแบบจำลอง การจำแนกประเภทของแบบจำลองเหล่านี้เป็นระบบปิดและระบบเปิดจะถูกนำไปใช้

โมเดลใดๆ ต้องมีตัวแปรภายในอย่างน้อยหนึ่งตัวแปร ดังนั้นจึงเป็นปัญหามากในการค้นหาระบบเปิดโดยสมบูรณ์ โมเดลที่ไม่รวมตัวแปรภายนอก (ตัวแปรปิด) ก็ไม่ใช่เรื่องแปลกในทางปฏิบัติเช่นกัน ในการสร้างความแตกต่างดังกล่าว จำเป็นต้องสรุปจากสิ่งแวดล้อมโดยสมบูรณ์ เพื่อให้ระบบเศรษฐกิจที่แท้จริงมีความสัมพันธ์กันอย่างหยาบกระด้างอย่างรุนแรง

เมื่อความสำเร็จของการวิจัยทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์เพิ่มขึ้น การจำแนกแบบจำลองและระบบจะซับซ้อนมากขึ้น ปัจจุบันมีการใช้แบบผสมรวมถึงการออกแบบแบบจำลองที่ซับซ้อน ยังไม่มีการจัดประเภทแบบรวมของแบบจำลองข้อมูล ในเวลาเดียวกัน สามารถบันทึกพารามิเตอร์ได้ประมาณ 10 พารามิเตอร์ ตามประเภทของแบบจำลองที่จัดตำแหน่งไว้

ประเภทรุ่น

แบบจำลองโมโนกราฟิกหรือวาจาเกี่ยวข้องกับคำอธิบายของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ บ่อยครั้งที่เรากำลังพูดถึงกฎ กฎหมาย ทฤษฎีบท หรือพารามิเตอร์หลายตัวรวมกัน

โมเดลกราฟิกถูกวาดขึ้นในรูปแบบของภาพวาด แผนที่ทางภูมิศาสตร์ รูปภาพ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ระหว่างความต้องการของผู้บริโภคกับต้นทุนผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้โดยใช้แกนพิกัด กราฟแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทั้งสอง

แบบจำลองจริงหรือทางกายภาพถูกสร้างขึ้นสำหรับวัตถุที่ยังไม่มีอยู่จริง

ระดับของการรวมตัวของวัตถุ

มีการจัดประเภทของแบบจำลองข้อมูลบนพื้นฐานนี้เป็น:

• ท้องถิ่นด้วยความช่วยเหลือในการวิเคราะห์และคาดการณ์ตัวบ่งชี้บางอย่างของการพัฒนาอุตสาหกรรม
• เกี่ยวกับเศรษฐศาสตร์จุลภาคซึ่งมีไว้สำหรับการวิเคราะห์โครงสร้างการผลิตอย่างจริงจัง
• เศรษฐกิจมหภาคจากการศึกษาเศรษฐกิจ

นอกจากนี้ยังมีการจำแนกแบบจำลองการจัดการสำหรับประเภทเศรษฐกิจมหภาคแยกต่างหาก พวกมันแบ่งออกเป็นตัวเลือกหนึ่ง สอง หลายส่วน

ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการสร้างและการใช้งาน ตัวเลือกต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• กำหนดผลได้ชัดเจน;
• สุ่มซึ่งเกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ที่น่าจะเป็น

ในระบบเศรษฐกิจสมัยใหม่ แบบจำลองดุลยภาพมีความโดดเด่น ซึ่งสะท้อนถึงความต้องการในการจับคู่ฐานทรัพยากรและการประยุกต์ใช้ พวกเขาเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์หมากรุกสี่เหลี่ยม

นอกจากนี้ยังมีประเภทเศรษฐมิติสำหรับการประเมินว่าใช้วิธีใดของสถิติทางคณิตศาสตร์ โมเดลดังกล่าวแสดงถึงการพัฒนาตัวบ่งชี้หลักของระบบเศรษฐกิจที่สร้างขึ้นผ่านแนวโน้มระยะยาว (แนวโน้ม) เป็นที่ต้องการในการวิเคราะห์และคาดการณ์สถานการณ์ทางเศรษฐกิจบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลทางสถิติที่แท้จริง

แบบจำลองการปรับให้เหมาะสมทำให้สามารถเลือกรูปแบบการผลิต การบริโภค หรือการกระจายทรัพยากรที่เหมาะสมที่สุดจากตัวเลือกอื่นๆ (ที่เป็นไปได้) การใช้ทรัพยากรที่มีอยู่อย่างจำกัดในสถานการณ์ดังกล่าวจะเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการบรรลุเป้าหมาย

สมมติว่ามีส่วนร่วมในโครงการไม่เพียง แต่จากผู้เชี่ยวชาญเท่านั้น แต่ยังรวมถึงซอฟต์แวร์เฉพาะทางคอมพิวเตอร์ด้วย ฐานข้อมูลผู้เชี่ยวชาญที่เป็นผลลัพธ์มีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้ปัญหาหนึ่งงานหรือมากกว่าโดยการจำลองกิจกรรมของมนุษย์

โมเดลเครือข่ายคือชุดของการดำเนินการและเหตุการณ์ที่เชื่อมต่อถึงกันในเวลา ส่วนใหญ่แล้ว โมเดลดังกล่าวมีไว้สำหรับการดำเนินงานตามลำดับเพื่อให้ได้เวลาขั้นต่ำสำหรับโครงการ

ขึ้นอยู่กับประเภทของเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เลือก แบบจำลองมีความโดดเด่น:

• เมทริกซ์;
• สหสัมพันธ์-ถดถอย;
• เครือข่าย;
• การจัดการสินค้าคงคลัง;
• บริการมวลชน

ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

กระบวนการนี้มีจุดประสงค์โดยขึ้นอยู่กับโปรแกรมการดำเนินการทางตรรกะบางอย่าง ในขั้นตอนหลักของการสร้างแบบจำลองดังกล่าวได้แก่:

• การกำหนดปัญหาเศรษฐกิจและการวิเคราะห์เชิงคุณภาพ
• การพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
• การเตรียมข้อมูลเบื้องต้น
• การแก้ปัญหาเชิงตัวเลข
• การวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้รับการใช้งาน

เมื่อวางปัญหาทางเศรษฐกิจ จำเป็นต้องกำหนดสาระสำคัญของปัญหาให้ชัดเจน สังเกตคุณลักษณะและพารามิเตอร์ที่สำคัญของวัตถุจำลอง วิเคราะห์ความสัมพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบเพื่ออธิบายการพัฒนาและพฤติกรรมของวัตถุที่กำลังพิจารณา

เมื่อพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ระหว่างสมการ ความไม่เท่าเทียมกัน และฟังก์ชันจะถูกเปิดเผย ประการแรกกำหนดประเภทของแบบจำลองการวิเคราะห์ความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้ในปัญหาเฉพาะและรายการพารามิเตอร์และตัวแปรเฉพาะจะถูกสร้างขึ้น เมื่อพิจารณาวัตถุที่ซับซ้อน แบบจำลองหลายมิติจะถูกสร้างขึ้นเพื่อให้แต่ละลักษณะมีลักษณะเฉพาะของวัตถุ

บทสรุป

ปัจจุบันยังไม่มีแนวคิดของโมเดลแยกจากกัน การจัดประเภทแบบจำลองมีเงื่อนไข แต่ไม่ได้ลดความเกี่ยวข้อง

การคำนวณสถานะความเค้น-ความเครียดของลำแสง

ดำเนินการโดย กศน. 6-Sm-1 Melnikov R.V.

หัวหน้า Semenov A.A.

เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

บทนำ…………………………………………………………………………………………………………………….2

1. การจำแนกตัวแบบทางคณิตศาสตร์…………………………………………………3

2. วิธี Ritz……………………………………………………………………………………………..……5

3. การคำนวณสถานะความเค้น-ความเครียดของคาน………….…….7

3.1. การคำนวณปัญหาความยืดหยุ่นเชิงเส้นของคานเหล็ก…………….…….7

3.2. การคำนวณปัญหาความยืดหยุ่นไม่เชิงเส้นของคานเหล็ก……….…..9

3.3. การคำนวณปัญหาความยืดหยุ่นเชิงเส้นของคานคอนกรีต………….…….12

3.4. การคำนวณปัญหาการคืบของคานคอนกรีต………………………….13

บทสรุป………………………………………………………………………………………………..………………….15

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว……………………………………………………………….16

บทนำ

ด้วยการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ วิธีการใหม่สำหรับการศึกษาเชิงทฤษฎีของกระบวนการที่ซับซ้อน เช่น ศึกษาปัญหาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์

สาระสำคัญของการทดลองทางคอมพิวเตอร์คือการรวบรวมแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการหรือปรากฏการณ์ที่กำลังศึกษาอยู่ ซึ่งเป็นสมการทางคณิตศาสตร์บางส่วน จากนั้นจึงพัฒนาอัลกอริธึมการคำนวณเพื่อแก้สมการเหล่านี้ รวบรวมโปรแกรมคอมพิวเตอร์และตัวเลือกเฉพาะสำหรับสถานะของ วัตถุจะถูกคำนวณเมื่อพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการเปลี่ยนไป ที่. พื้นฐานสำหรับการศึกษาวัตถุต่าง ๆ คือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการทำงาน

วัตถุประสงค์ของหลักสูตรคือการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการเสียรูปขององค์ประกอบของโครงสร้างอาคาร การสร้างระเบียบวิธีศึกษาสถานะความเค้น-ความเครียดของคานเหล็กและคอนกรีต

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของความเป็นจริง ซึ่งเป็นหนึ่งในตัวแปรของแบบจำลองในฐานะระบบ การศึกษาซึ่งช่วยให้ได้รับข้อมูลเกี่ยวกับระบบอื่น

กระบวนการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สามารถจำแนกได้ตามคุณสมบัติหลักหลายประการ

1. โมเดลคงที่และไดนามิก

โมเดลจะเรียกว่า static หากค่าของเอาต์พุตขึ้นอยู่กับค่าของอินพุตในเวลาเดียวกัน ในโมเดลไดนามิก ค่าเอาต์พุตอาจขึ้นอยู่กับกระบวนการอินพุตที่ผ่านมาทั้งหมด สำหรับโมเดลไดนามิก หัวข้อของการศึกษาคือการเปลี่ยนแปลงของวัตถุที่กำลังศึกษาในเวลา

2. ตัวแบบกำหนดและความน่าจะเป็น

หากตัวแบบทางคณิตศาสตร์รวมตัวแปรสุ่มที่เชื่อฟังกฎสถิติ ก็จะเรียกว่าความน่าจะเป็นหรือสุ่ม แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีส่วนประกอบแบบสุ่มเรียกว่าดีเทอร์มีนิสติก

3. รุ่นที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

ค่าสามารถเป็นสองประเภท - ไม่ต่อเนื่อง กล่าวคือ รับค่าส่วนบุคคล อนุญาตการนับตามธรรมชาติ และต่อเนื่อง รับค่าทั้งหมดจากช่วงเวลาหนึ่ง กรณีแบบผสมก็เป็นไปได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อค่าทำงานเป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง และต่อเนื่องกันในอีกช่วงหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจเป็นแบบแยกส่วน ต่อเนื่อง หรือแบบผสมก็ได้ จำเป็นต้องคำนึงถึงความเป็นไปได้ของการใช้อุปกรณ์ที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และวิธีการศึกษา

4. โมเดลเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น

การพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นของปริมาณหนึ่งไปอีกปริมาณหนึ่งคือสัดส่วนของการเพิ่มขึ้น นั่นคือ การพึ่งพาของรูปแบบ y=ax+b ซึ่งเราได้รับ △y=a△x แนวความคิดของตัวแบบเชิงเส้นก็ถูกกำหนดเช่นเดียวกัน หากโมเดลนั้นถือเป็นตัวแปลงซึ่งแต่ละอินพุตจะสอดคล้องกับเอาต์พุตบางส่วน จากนั้นโมเดลจะเรียกว่าเส้นตรงหากหลักการของการทับซ้อนอยู่ในนั้นคือ เมื่อเพิ่มอินพุต เอาต์พุตจะถูกเพิ่ม เมื่อคูณอินพุตด้วยตัวเลขใดๆ เอาต์พุตจะถูกคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน การใช้หลักการทับซ้อน ไม่ใช่เรื่องยาก เมื่อพบวิธีแก้ปัญหาในทุกกรณี เพื่อสร้างโซลูชันในสถานการณ์ทั่วไปมากขึ้น ดังนั้นคุณสมบัติเชิงคุณภาพของกรณีทั่วไปสามารถตัดสินได้จากคุณสมบัติของกรณีใดกรณีหนึ่ง - ความแตกต่างระหว่างโซลูชันทั้งสองนี้เป็นเพียงเชิงปริมาณเท่านั้น

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือความเป็นสากล แก่นแท้ของมันอยู่ที่ว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกันสามารถอธิบายกระบวนการที่มีลักษณะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ เทคนิคและวิธีการเดียวกันในการสร้างและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมกับปัญหาต่างๆ

อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหาดังกล่าวจำเป็นต้องมีการรวมระบบที่ซับซ้อนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วนและเกี่ยวข้องกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีนัยสำคัญ ดังนั้น เมื่อแก้ปัญหาโดยตรง มักจะใช้วิธีการโดยประมาณ เช่น วิธีการโดยตรงของปัญหาการแปรผัน (วิธี Ritz) เช่นเดียวกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

วิธีริทซ์

วิธี Ritz เป็นวิธีการโดยตรงในการหาวิธีแก้ปัญหาค่าขอบเขตโดยประมาณในแคลคูลัสของการแปรผัน

วิธีการนี้จัดให้มีการเลือกฟังก์ชันการทดสอบ ซึ่งควรลดฟังก์ชันบางอย่างให้เหลือน้อยที่สุด ในรูปแบบของการซ้อนทับของฟังก์ชันที่ทราบซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต ในกรณีนี้ ปัญหาจะลดลงเหลือเพียงการหาค่าสัมประสิทธิ์การทับซ้อนที่ไม่รู้จัก ตัวดำเนินการเชิงพื้นที่ในสมการตัวดำเนินการที่อธิบายปัญหาค่าขอบเขตต้องเป็นเส้นตรง สมมาตร และแน่นอนเป็นบวก

วิธีการของ Ritz ช่วยให้สามารถค้นหาฟังก์ชันการกระจัดที่ไม่รู้จักได้จากสภาวะของค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพลังงานความเครียดทั้งหมด

พิจารณาการทำงานของพลังงาน:

จำเป็นต้องหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (3.1) เช่น การหาฟังก์ชัน ยู(x, y), วี(x, y) , w(x, y) ให้ในบางพื้นที่ ดี= {0 ≤ x≤ เอ; 0 ≤ y≤ ข) เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นเนื้อเดียวกันบนขอบเขต Γ ซึ่งฟังก์ชัน (1) มีค่าต่ำสุด เราจะค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณในแบบฟอร์ม:

u(x,y)=u N = ,

v(x,y)=v N = ,

w(x,y)=w N= .

เพื่อหลีกเลี่ยงสองดัชนี เราแสดงการเคลื่อนไหวดังนี้:

ที่นี่ ยู(ฉัน), วี(ฉัน), W(ฉัน) เป็นพารามิเตอร์ตัวเลขที่ไม่รู้จัก X 1(ฉัน), X 2(ฉัน), X 3(ฉัน) เป็นที่รู้จักของฟังก์ชันการประมาณของตัวแปร x, สะใจที่ x= 0, x= เอกำหนดเงื่อนไขขอบเขต Y 1(ฉัน), Y 2(ฉัน), Y 3(ฉัน) เป็นที่รู้จักของฟังก์ชันการประมาณของตัวแปร y, สะใจที่ y= 0, y= ขกำหนดเงื่อนไขขอบเขต ฟังก์ชั่น X 1(ฉัน) − X 3(ฉัน) , Y 1(ฉัน) − Y 3(ฉัน) เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน

การแทนที่ (2) เป็น (1) และการรวมจากฟังก์ชันที่รู้จัก เราลดฟังก์ชัน (1) เป็นฟังก์ชัน:

J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)

พารามิเตอร์ ยู(ฉัน), วี(ฉัน), W(ฉัน), ฉัน=1,…,นู๋.

เพื่อให้ฟังก์ชัน (3.3) มีค่าต่ำสุด อนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับตัวแปร ยู(l),วี(l),W(l), l=1,.., นู๋ต้องหายไป:

ระบบ (4) เป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเกาส์ พบค่าพารามิเตอร์ ยู(ฉัน), วี(ฉัน), W(ฉัน) ถูกแทนที่ด้วยส่วนขยาย (2) และเราได้รับวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ การมีอยู่ของการทำงานขั้นต่ำของพลังงานความเครียดรวมขององค์ประกอบของโครงสร้างอาคาร (แท่ง, แผ่น, เปลือก) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นการลดความซับซ้อนของสถานการณ์จริง และเป็นนามธรรม วัตถุอธิบายอย่างเป็นทางการ การศึกษาซึ่งเป็นไปได้ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ

พิจารณา การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น:

1. ขึ้นอยู่กับลักษณะของคุณสมบัติของวัตถุที่แสดง:

· การทำงาน;

· โครงสร้าง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันออกแบบมาเพื่อแสดงข้อมูล ทางกายภาพ กระบวนการชั่วคราวที่เกิดขึ้นในอุปกรณ์ปฏิบัติการ ในกระบวนการทางเทคโนโลยี ฯลฯ

ทางนี้, โมเดลการทำงาน- แสดงกระบวนการทำงานของวัตถุ มักจะอยู่ในรูปของระบบสมการ

แบบจำลองโครงสร้าง- สามารถใช้รูปแบบของเมทริกซ์ กราฟ รายการเวกเตอร์ และแสดงตำแหน่งสัมพัทธ์ขององค์ประกอบในอวกาศ แบบจำลองเหล่านี้มักใช้ในกรณีที่ปัญหาของการสังเคราะห์โครงสร้างสามารถกำหนดและแก้ไขได้ โดยแยกจากกระบวนการทางกายภาพในวัตถุ สะท้อนถึงคุณสมบัติโครงสร้างของวัตถุที่ออกแบบ

เพื่อให้ได้วัตถุจำลองแบบคงที่ สามารถใช้กลุ่มของเมธอดได้ เรียกว่า แบบจำลองแผนผัง - นี่คือวิธีการวิเคราะห์ รวมถึงการแสดงภาพการทำงานของระบบด้วยกราฟิก ตัวอย่างเช่น โฟลว์ชาร์ต ไดอะแกรม ไดอะแกรมการทำงานแบบมัลติฟังก์ชั่น และโฟลว์ชาร์ต

2. ตามวิธีการรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชัน:

· ทฤษฎี;

· เป็นทางการ;

· เชิงประจักษ์

ทฤษฎีได้จากการศึกษากฎทางกายภาพ โครงสร้างของสมการและพารามิเตอร์ของแบบจำลองมีการตีความทางกายภาพบางอย่าง

เป็นทางการได้มาจากการแสดงคุณสมบัติของวัตถุแบบจำลองในสภาพแวดล้อมภายนอกเช่น พิจารณาวัตถุว่าเป็น "กล่องดำ" ไซเบอร์เนติก

วิธีการตามทฤษฎีทำให้ได้โมเดลที่เป็นสากลมากขึ้น ใช้ได้กับพารามิเตอร์ภายนอกที่หลากหลายขึ้น

เป็นทางการ -มีความแม่นยำมากขึ้น ณ จุดในพื้นที่พารามิเตอร์ที่ทำการวัด

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ถูกสร้างขึ้นจากการทดลอง (ศึกษาลักษณะภายนอกของคุณสมบัติของวัตถุโดยการวัดพารามิเตอร์ที่อินพุตและเอาต์พุต) และประมวลผลผลลัพธ์โดยใช้วิธีสถิติทางคณิตศาสตร์

3. ขึ้นอยู่กับความเป็นเส้นตรงและความไม่เชิงเส้นของสมการ:

· เชิงเส้น;

· ไม่เชิงเส้น.

4. ขึ้นอยู่กับชุดของโดเมนและค่าของตัวแปรรุ่นมี:

· ต่อเนื่อง

· ไม่ต่อเนื่อง (โดเมนของคำจำกัดความและค่าต่อเนื่อง)

· ต่อเนื่อง-ไม่ต่อเนื่อง (โดเมนของคำจำกัดความต่อเนื่องและโดเมนของค่าไม่ต่อเนื่อง) โมเดลเหล่านี้บางครั้งเรียกว่า quantized;

· ไม่ต่อเนื่อง-ต่อเนื่อง (โดเมนของคำจำกัดความไม่ต่อเนื่องและโดเมนของค่าต่อเนื่อง) โมเดลเหล่านี้เรียกว่าไม่ต่อเนื่อง

· ดิจิทัล (โดเมนของความหมายและค่าไม่ต่อเนื่องกัน)

5. ตามรูปแบบของการเชื่อมโยงระหว่างผลลัพธ์ พารามิเตอร์ภายในและภายนอก:

· อัลกอริธึม;

· วิเคราะห์;

· ตัวเลข

อัลกอริทึมเรียกว่า โมเดลที่นำเสนอในรูปแบบของอัลกอริธึมที่อธิบายลำดับของการดำเนินการตีความอย่างไม่น่าสงสัยซึ่งดำเนินการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อัลกอริทึมแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์เอาต์พุตกับพารามิเตอร์อินพุตและพารามิเตอร์ภายในในรูปแบบของอัลกอริทึม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์คำอธิบายที่เป็นทางการของวัตถุ (ปรากฏการณ์, กระบวนการ) เรียกว่าซึ่งเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนของพารามิเตอร์เอาต์พุตเป็นฟังก์ชันของอินพุตและพารามิเตอร์ภายใน

การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับคำอธิบายทางอ้อมของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลองโดยใช้ชุดของสูตรทางคณิตศาสตร์ ภาษาคำอธิบายเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยกลุ่มองค์ประกอบทางความหมายหลักดังต่อไปนี้: เกณฑ์ (เกณฑ์), ไม่ทราบข้อมูล, ข้อมูล, การดำเนินการทางคณิตศาสตร์, ข้อจำกัด ลักษณะเฉพาะที่สำคัญที่สุดของตัวแบบวิเคราะห์คือตัวแบบไม่มีโครงสร้างเหมือนกับวัตถุที่เป็นแบบจำลอง ความคล้ายคลึงกันของโครงสร้างที่นี่หมายถึงความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งขององค์ประกอบและการเชื่อมโยงของแบบจำลองกับองค์ประกอบและการเชื่อมโยงของวัตถุแบบจำลอง แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยแบบจำลองที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของเครื่องมือการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ สหสัมพันธ์ การวิเคราะห์การถดถอย แบบจำลองการวิเคราะห์มักเป็นโครงสร้างที่สามารถวิเคราะห์และแก้ไขทางคณิตศาสตร์ได้ ดังนั้น หากใช้เครื่องมือของการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ โมเดลโดยทั่วไปจะประกอบด้วยฟังก์ชันวัตถุประสงค์และระบบข้อจำกัดของตัวแปร ตามกฎแล้วฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะแสดงลักษณะของวัตถุ (ระบบ) ที่ต้องคำนวณหรือปรับให้เหมาะสม โดยเฉพาะประสิทธิภาพของระบบเทคโนโลยี ตัวแปรแสดงลักษณะทางเทคนิคของอ็อบเจ็กต์ (ระบบ) รวมถึงตัวแปร ข้อจำกัด - ค่าขีดจำกัดที่อนุญาต

แบบจำลองการวิเคราะห์เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาของกระบวนการเพิ่มประสิทธิภาพที่เกิดขึ้นในระบบเทคโนโลยี รวมถึงการเพิ่มประสิทธิภาพและการคำนวณลักษณะของระบบเทคโนโลยีด้วยกันเอง

จุดสำคัญคือมิติของแบบจำลองการวิเคราะห์เฉพาะ บ่อยครั้งสำหรับระบบเทคโนโลยีจริง (สายการผลิตอัตโนมัติ ระบบการผลิตที่ยืดหยุ่น) ขนาดของแบบจำลองการวิเคราะห์นั้นใหญ่มากจนการได้รับโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดกลายเป็นเรื่องยากมากจากมุมมองของการคำนวณ ในกรณีนี้จะใช้เทคนิคต่างๆ เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพในการคำนวณ หนึ่งในนั้นเกี่ยวข้องกับการแบ่งปัญหาของมิติสูงออกเป็นงานย่อยที่มีมิติที่เล็กกว่า ดังนั้นการแก้ปัญหาย่อยโดยอัตโนมัติในลำดับที่แน่นอนจะช่วยแก้ปัญหาหลักได้ ในกรณีนี้ ปัญหาเกิดขึ้นในการจัดปฏิสัมพันธ์ของงานย่อยซึ่งไม่ง่ายเสมอไป อีกเทคนิคหนึ่งเกี่ยวข้องกับการลดความแม่นยำในการคำนวณ เนื่องจากสามารถลดเวลาในการแก้ปัญหาได้

แบบจำลองการวิเคราะห์สามารถตรวจสอบได้โดยวิธีการดังต่อไปนี้:

· การวิเคราะห์ เมื่อพวกเขาพยายามที่จะได้รับการอ้างอิงสำหรับลักษณะที่ต้องการในรูปแบบทั่วไป;

· ตัวเลข เมื่อพวกเขาพยายามหาผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขด้วยข้อมูลเริ่มต้นเฉพาะ

· เชิงคุณภาพ เมื่อมีวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบที่ชัดเจน คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติบางอย่างของโซลูชันได้ (ประเมินความเสถียรของโซลูชัน)

อย่างไรก็ตาม การสร้างแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ให้ผลลัพธ์ที่ดีในกรณีของระบบที่ค่อนข้างง่าย ในกรณีของระบบที่ซับซ้อน จำเป็นต้องมีการลดความซับซ้อนอย่างมีนัยสำคัญของแบบจำลองดั้งเดิมเพื่อศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของระบบอย่างน้อยที่สุด วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์โดยประมาณ และกำหนดค่าประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น ใช้วิธีอื่น เช่น แบบจำลองการจำลอง

โมเดลตัวเลขมีลักษณะเฉพาะโดยอาศัยรูปแบบดังกล่าวซึ่งอนุญาตเฉพาะโซลูชันที่ได้จากวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจงและพารามิเตอร์เชิงปริมาณของแบบจำลอง

6. ขึ้นอยู่กับว่าสมการแบบจำลองคำนึงถึงความเฉื่อยของกระบวนการในวัตถุหรือไม่:

· พลวัต หรือ แบบจำลองเฉื่อย(เขียนเป็นสมการเชิงอนุพันธ์หรืออนุพันธ์จำนวนเต็มหรือระบบสมการ) ;

· คงที่ หรือ โมเดลที่ไม่เฉื่อย(เขียนเป็นสมการพีชคณิตหรือระบบสมการพีชคณิต).

7. ขึ้นอยู่กับการมีหรือไม่มีความไม่แน่นอนและประเภทของความไม่แน่นอน ตัวแบบได้แก่:

· กำหนดขึ้น e (ไม่มีความไม่แน่นอน);

· สุ่ม (มีความไม่แน่นอนอยู่ในรูปแบบของตัวแปรสุ่มหรือกระบวนการที่อธิบายโดยวิธีทางสถิติในรูปแบบของกฎหมายหรือฟังก์ชันการแจกแจง ตลอดจนลักษณะเชิงตัวเลข)

· คลุมเครือ (เพื่ออธิบายความไม่แน่นอน ใช้เครื่องมือของทฤษฎีเซตคลุมเครือ);

· รวมกัน (มีความไม่แน่นอนทั้งสองแบบ).

ในกรณีทั่วไป ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่เพียงขึ้นอยู่กับธรรมชาติของวัตถุจริงเท่านั้น แต่ยังขึ้นกับงานที่สร้างขึ้นและความแม่นยำของโซลูชันด้วย

แบบจำลองประเภทหลักที่แสดงในรูปที่ 2.5

พิจารณาการจำแนกประเภทอื่นของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การจำแนกประเภทนี้ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความสามารถในการควบคุมของวัตถุควบคุม เราจะแบ่ง MM ทั้งหมดออกเป็นสี่กลุ่มตามเงื่อนไข1. แบบจำลองการคาดการณ์ (แบบจำลองการคำนวณที่ไม่มีการควบคุม) สามารถแบ่งออกเป็น คงที่และ พลวัตวัตถุประสงค์หลักของแบบจำลองเหล่านี้: รู้สถานะเริ่มต้นและข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมที่ขอบเขต เพื่อคาดการณ์เกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบในเวลาและพื้นที่ แบบจำลองดังกล่าวสามารถสุ่มได้เช่นกัน ตามกฎ แบบจำลองการคาดการณ์อธิบายโดยสมการพีชคณิต เหนือธรรมชาติ ดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัล สมการส่วนต่างจำนวนเต็มและอสมการ ตัวอย่าง ได้แก่ แบบจำลองการกระจายความร้อน สนามไฟฟ้า จลนพลศาสตร์เคมี อุทกพลศาสตร์ อากาศพลศาสตร์ ฯลฯ 2. โมเดลการเพิ่มประสิทธิภาพ โมเดลเหล่านี้ยังสามารถแบ่งออกเป็น คงที่และ พลวัต.แบบจำลองคงที่ใช้ในระดับการออกแบบของระบบเทคโนโลยีต่างๆ ไดนามิก - ทั้งในระดับการออกแบบและส่วนใหญ่ เพื่อการควบคุมที่เหมาะสมของกระบวนการต่างๆ - เทคโนโลยี เศรษฐกิจ ฯลฯ ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพมีสองทิศทาง อันแรกได้แก่ งานที่กำหนดขึ้น. ข้อมูลอินพุตทั้งหมดสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์ ทิศทางที่สอง หมายถึง กระบวนการสุ่ม. ในงานเหล่านี้ พารามิเตอร์บางตัวสุ่มหรือมีองค์ประกอบของความไม่แน่นอน ปัญหาการปรับให้เหมาะสมหลายอย่างสำหรับอุปกรณ์อัตโนมัติ เช่น มีพารามิเตอร์ในรูปแบบของเสียงสุ่มที่มีลักษณะความน่าจะเป็นบางอย่าง วิธีการหา extremum ของฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากที่มีข้อจำกัดต่างๆ มักเรียกว่าวิธีการโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ ปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่สำคัญ ในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ มีการแยกส่วนหลักดังต่อไปนี้· การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น . ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เป็นแบบเส้นตรง และชุดที่ต้องการหาฟังก์ชันวัตถุประสงค์สุดขั้วนั้นกำหนดโดยระบบของความเสมอภาคเชิงเส้นและความไม่เท่าเทียมกัน· การเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น . ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือข้อจำกัดที่ไม่เป็นเชิงเส้นและไม่เป็นเชิงเส้น· การเขียนโปรแกรมนูน . ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือชุดนูนและนูนซึ่งแก้ปัญหาส่วนปลายได้· การเขียนโปรแกรมกำลังสอง . ฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือกำลังสองและข้อจำกัดเป็นแบบเส้นตรง· ปัญหาหลายด้าน ปัญหาที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีความสุดโต่งเฉพาะที่หลายอย่าง งานดังกล่าวดูเหมือนจะเป็นปัญหามาก· การเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม ในปัญหาดังกล่าว เงื่อนไขจำนวนเต็มถูกกำหนดให้กับตัวแปร

ข้าว. 4.8. การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ตามกฎแล้ว วิธีการวิเคราะห์แบบคลาสสิกเพื่อค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวไม่สามารถใช้ได้กับปัญหาการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ โมเดลของทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเป็นหนึ่งในรูปแบบที่สำคัญที่สุดในแบบจำลองการปรับให้เหมาะสมที่สุด ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดหมายถึงหนึ่งในทฤษฎีที่มีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติที่สำคัญ ส่วนใหญ่สำหรับการควบคุมกระบวนการที่เหมาะสมที่สุด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมมีสามประเภท· รุ่นแยกของการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ตามเนื้อผ้า โมเดลดังกล่าวเรียกว่าโมเดลการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก เนื่องจากวิธีการหลักในการแก้ปัญหาดังกล่าวคือวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกของ Bellman· แบบจำลองต่อเนื่องของการควบคุมระบบที่เหมาะสมที่สุดด้วยพารามิเตอร์แบบก้อน (อธิบายโดยสมการในอนุพันธ์ทั่วไป)· แบบจำลองต่อเนื่องของการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบที่มีพารามิเตอร์แบบกระจาย (อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน)3. โมเดลไซเบอร์เนติก (เกม) โมเดลไซเบอร์เนติกใช้ในการวิเคราะห์สถานการณ์ความขัดแย้ง สันนิษฐานว่ากระบวนการไดนามิกถูกกำหนดโดยอาสาสมัครหลายคนที่มีพารามิเตอร์การควบคุมหลายอย่าง กลุ่มวิชาทั้งหมดที่มีความสนใจของตนเองเกี่ยวข้องกับระบบไซเบอร์เนติกส์ 4. การจำลอง . แบบจำลองประเภทข้างต้นไม่ครอบคลุมสถานการณ์ที่แตกต่างกันจำนวนมาก ซึ่งสามารถกำหนดรูปแบบได้อย่างสมบูรณ์ เพื่อศึกษากระบวนการดังกล่าว จำเป็นต้องรวมการเชื่อมโยง "ชีวภาพ" ที่ใช้งานได้ ซึ่งเป็นบุคคลเข้าไว้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ในสถานการณ์เช่นนี้ การจำลองจะใช้วิธีการของความเชี่ยวชาญและขั้นตอนข้อมูล

การสร้างแบบจำลองแนวคิดทั่วไป

งานของแบบจำลองคือการศึกษาวัตถุหรือกระบวนการที่ซับซ้อนในแบบจำลองทางกายภาพหรือทางคณิตศาสตร์ จุดประสงค์ของการสร้างแบบจำลองคือการหาวิธีแก้ปัญหาทางเทคนิคที่เหมาะสมที่สุด (ดีที่สุดตามเกณฑ์บางประการ) ประเภทการสร้างแบบจำลอง:

Ø ทางกายภาพ;

Ø ทางคณิตศาสตร์

Ø กราฟิก (เรขาคณิต)

เมื่อสร้างแบบจำลองคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของระบบภายใต้การศึกษาจะถูกแทนที่ด้วยความเข้มงวด แต่ลดความซับซ้อนลงเมื่อเทียบกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติดั้งเดิมสูตรทางวิทยาศาสตร์ - แบบจำลอง แบบจำลองให้ความเป็นไปได้ของคำอธิบายที่แม่นยำและการทำนายพฤติกรรมของระบบ แต่เฉพาะในพื้นที่ที่จำกัดของแอปพลิเคชันเท่านั้น - ในขณะที่การทำให้เข้าใจง่ายเบื้องต้นเหล่านั้นบนพื้นฐานของการสร้างแบบจำลองนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น เมื่อจำลองการบินของดาวเทียมรอบโลก ผนังของมันถือได้ว่าเป็นของแข็งอย่างยิ่ง และเมื่อจำลองการชนกันของดาวเทียมดวงเดียวกันด้วยไมโครอุกกาบาต แม้แต่เหล็กแข็งพิเศษก็สามารถอธิบายได้ด้วยความแม่นยำสูงมากว่าเป็นของเหลวอัดตัวในอุดมคติ . นี่คือลักษณะที่ขัดแย้งกันของการสร้างแบบจำลอง - ความแม่นยำของมันทำให้มีชีวิตโดยพื้นฐานที่ไม่ถูกต้องโดยสังเขปที่สำคัญของพวกเขาซึ่งเหมาะสมเฉพาะในบางพื้นที่ของปรากฏการณ์แบบจำลองของระบบจริง

กระบวนการทำงานและโครงสร้างของระบบสามารถอธิบายได้โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และดำเนินการตามนั้น เพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับระบบจริง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์คือชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านี้ซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของระบบอย่างเพียงพอ วัตถุทางคณิตศาสตร์ - ตัวเลข ตัวแปร เมทริกซ์ ฯลฯ การเชื่อมต่อระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์ - สมการ อสมการ ฯลฯ การคำนวณทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประเภทพิเศษ

ระบบคือชุดขององค์ประกอบที่เชื่อมต่อซึ่งกันและกันตามธรรมชาติ ทำให้เกิดความสมบูรณ์เดียว ซึ่งบ่งชี้ถึงความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบเหล่านี้กับจุดประสงค์ของการทำงาน คุณสมบัติของระบบแตกต่างจากผลรวมของคุณสมบัติขององค์ประกอบ ตัวอย่าง: เครื่องจักร ¹ å (ชิ้นส่วน + ส่วนประกอบ); มนุษย์ ¹ å (สมอง + ตับ + กระดูกสันหลัง)

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ตามวิธีการวิเคราะห์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น การวิเคราะห์ อัลกอริธึม และการจำลอง

แบบจำลองการวิเคราะห์สามารถ:

1) เชิงคุณภาพ เมื่อธรรมชาติของการพึ่งพาพารามิเตอร์เอาต์พุตบนพารามิเตอร์อินพุต การมีอยู่ของโซลูชัน ฯลฯ จะถูกกำหนด ตัวอย่างเช่น แรงตัดจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามความเร็วที่เพิ่มขึ้น เป็นไปได้ไหมที่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่มากกว่าความเร็วแสง เป็นต้น การสร้างแบบจำลองดังกล่าวเป็นขั้นตอนที่จำเป็นในการศึกษาระบบที่ซับซ้อน

2) แบบจำลองการนับ (เชิงวิเคราะห์) เป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนระหว่างลักษณะอินพุต ลักษณะภายใน และผลลัพธ์ของระบบ โมเดลดังกล่าวเป็นที่นิยมมากกว่าเสมอ เนื่องจากโมเดลเหล่านี้มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการวิเคราะห์กฎของการทำงานของระบบ การปรับให้เหมาะสม ฯลฯ น่าเสียดายที่มันไม่สามารถทำได้เสมอไปและมีเพียงการทำให้ระบบง่ายขึ้นภายใต้การศึกษาเท่านั้น นอกเหนือจากแบบจำลองทางคอมพิวเตอร์ (เชิงวิเคราะห์) ที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของการทำความเข้าใจกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบ แบบจำลองเหล่านี้ยังสามารถสร้างแบบจำลองบนพื้นฐานของการวิเคราะห์ผลการทดลองด้วย "กล่องดำ" ตัวอย่างคือการพึ่งพาแรงตัดกับความเร็ว อัตราป้อน และระยะกินลึก

3) ตัวเลขเมื่อได้รับค่าตัวเลขของพารามิเตอร์เอาต์พุตสำหรับค่าอินพุตที่กำหนด ตัวอย่างคือการคำนวณองค์ประกอบไฟไนต์ ตัวแบบเชิงตัวเลขนั้นเป็นแบบสากล แต่ให้ผลลัพธ์เพียงบางส่วนเท่านั้น ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะสรุปผลโดยทั่วไป

แบบจำลองอัลกอริธึมถูกนำเสนอในรูปแบบของอัลกอริธึมการคำนวณ ต่างจากแบบจำลองเชิงวิเคราะห์ ความคืบหน้าในการคำนวณขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ระดับกลาง

การสร้างแบบจำลองการจำลองขึ้นอยู่กับคำอธิบายโดยตรงของวัตถุที่กำลังสร้างแบบจำลอง เมื่อสร้างแบบจำลองการจำลอง จะมีการอธิบายกฎการทำงานของแต่ละองค์ประกอบแยกจากกันและความสัมพันธ์ระหว่างกัน แตกต่างจากการวิเคราะห์ เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกันทางโครงสร้างระหว่างวัตถุกับแบบจำลอง ส่วนใหญ่มักใช้แบบจำลองการจำลองในการศึกษากระบวนการสุ่มที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น ช่องว่างจะถูกป้อนเข้าสู่อินพุตของโมเดลบรรทัดอัตโนมัติ (AL) ซึ่งจะมีขนาดที่มีการกระจายแบบสุ่ม ในขณะเดียวกัน โมเดลการประมวลผลของเครื่องจักร AL แต่ละเครื่องก็มีความอ่อนไหวต่อขนาดที่แท้จริงของชิ้นงาน หลังจาก "การประมวลผล" เสมือนจริงของช่องว่างหลายแสนชิ้น เป็นไปได้ที่จะพบการรวมกันของสถานการณ์ที่ AL จะหยุดและหลีกเลี่ยงแม้ในระหว่างการออกแบบ

ตามลักษณะการทำงานและประเภทของพารามิเตอร์ระบบ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ยังแบ่งออกเป็น

ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง

คงที่และไดนามิก

กำหนดและสุ่ม (ความน่าจะเป็น)

ในระบบต่อเนื่อง พารามิเตอร์จะค่อยๆ เปลี่ยนไป ในระบบที่ไม่ต่อเนื่อง - อย่างกะทันหันและหุนหันพลันแล่น ตัวอย่างเช่น ในรุ่นของเครื่องมือกลึง การสึกหรอเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง และการแตกหัก (การบิ่นของเม็ดมีด) เกิดขึ้นทันที - ไม่ต่อเนื่อง

ในแบบจำลองคงที่ พารามิเตอร์ทั้งหมดที่รวมอยู่ในแบบจำลองมีค่าคงที่ และพารามิเตอร์ที่คำนวณที่เอาต์พุตของระบบจะเปลี่ยนพร้อมกันกับการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ที่อินพุต แบบจำลองดังกล่าวอธิบายถึงระบบที่มีการเสื่อมสลายอย่างรวดเร็ว

โมเดลไดนามิกคำนึงถึงความเฉื่อยของระบบ เป็นผลให้การเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์เอาต์พุตล่าช้าหลังการเปลี่ยนแปลงในอินพุต โมเดลดังกล่าวอธิบายระบบจริงได้แม่นยำกว่า แต่จะนำไปใช้ได้ยากกว่า

ผลลัพธ์ของระบบที่กำหนดขึ้นถูกกำหนดโดยข้อมูลเข้าและสถานะปัจจุบันอย่างเฉพาะเจาะจง การเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มที่เป็นไปได้ในพารามิเตอร์ระบบหรือพารามิเตอร์อินพุตจะถูกละเลย ในทางตรงกันข้าม ในระบบสุ่ม จะพิจารณาลักษณะความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ของระบบซึ่งรับค่าสุ่มตามกฎหมายการแจกแจงบางส่วน