จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมายออนไลน์ ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์
− อาจารย์ ดัมบัดเซ วี.เอ.
จากโรงเรียน 162 ของเขต Kirov แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก
กลุ่ม VKontakte ของเรา
แอปพลิเคชั่นมือถือ:
(ที่ไหน x ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว) ค้นหาความเร็ว (เป็น m/s) ในขณะนั้น ที= 9 วิ
ที่ ที= 9 วินาที เรามี:
ทำไมเราถึงละเลข 17 ออกจากสมการเดิม?
หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิม
ไม่มีเลข 17 ในอนุพันธ์
ทำไมต้องหาอนุพันธ์?
ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา
ปัญหาขอให้คุณค้นหาความเร็ว
x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว) จงหาความเร็วเป็น (m/s) ในขณะนั้น ที= 6 วิ
มาดูกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน:
(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16 ไม่ใช่ 20
จำขั้นตอน
ตั้งแต่เมื่อใดจึงควรบวกมากกว่าการลบ?
การคูณมีลำดับความสำคัญมากกว่าการบวกและการลบ จำไว้นะเด็กๆ ตัวอย่างโรงเรียน: 2 + 2 · 2. ฉันขอเตือนคุณว่านี่ไม่ใช่ 8 อย่างที่บางคนคิด แต่เป็น 6
คุณไม่เข้าใจคำตอบของแขก
1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.
ทุกอย่างถูกต้องแล้ว ทำคณิตศาสตร์เพื่อตัวคุณเอง
2) การคูณ/หาร (ขึ้นอยู่กับลำดับของสมการ อะไรเกิดก่อนแก้ก่อน)
3) การบวก/การลบ (ในทำนองเดียวกันขึ้นอยู่กับลำดับในตัวอย่าง)
การคูณ = การหาร การบวก = การลบ =>
ไม่ใช่ 54 - (36+2) แต่ 54-36+2 = 54+2-36 = 20
ก่อนอื่นสำหรับคุณ - Sergei Batkovich ประการที่สอง คุณเข้าใจสิ่งที่คุณต้องการจะพูดและกับใครหรือไม่? ฉันไม่เข้าใจคุณ
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ (โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาทีที่วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนที่) จงหาความเร็วเป็น (m/s) ที่เวลา s
ลองหากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็ว: m/s เมื่อเรามี:
บทเรียนในหัวข้อ: "กฎแห่งความแตกต่าง" ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11
ส่วน:คณิตศาสตร์
ประเภทบทเรียน: ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
- ทางการศึกษา:
- พูดคุยและจัดระบบเนื้อหาในหัวข้อการค้นหาอนุพันธ์
- รวบรวมกฎแห่งความแตกต่าง
- เปิดโปลีเทคนิคสำหรับนักศึกษา ค่าที่ใช้หัวข้อ;
- การพัฒนา:
- ควบคุมการได้มาซึ่งความรู้และทักษะ
- พัฒนาและปรับปรุงความสามารถในการประยุกต์ความรู้ในสถานการณ์ที่เปลี่ยนแปลง
- พัฒนาวัฒนธรรมการพูดและความสามารถในการสรุปและสรุป
- ทางการศึกษา:
- พัฒนากระบวนการรับรู้
- เพื่อปลูกฝังให้นักเรียนมีความแม่นยำในการออกแบบและความมุ่งมั่น
อุปกรณ์:
- เครื่องฉายเหนือศีรษะ, จอภาพ;
- การ์ด;
- คอมพิวเตอร์;
- โต๊ะ;
- งานที่แตกต่างในรูปแบบการนำเสนอมัลติมีเดีย
I. ตรวจการบ้าน
1. ฟังรายงานของนักเรียนเกี่ยวกับตัวอย่างการใช้อนุพันธ์
2. พิจารณาตัวอย่างการใช้อนุพันธ์ในสาขาฟิสิกส์ เคมี วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ที่นักศึกษาเสนอ
ครั้งที่สอง อัพเดทความรู้.
ครู:
- กำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- การดำเนินการใดเรียกว่าการสร้างความแตกต่าง?
- กฎความแตกต่างใดที่ใช้ในการคำนวณอนุพันธ์? (เชิญชวนนักศึกษาเชิญมาเป็นคณะกรรมการ).
- อนุพันธ์ของผลรวม;
- อนุพันธ์ของงาน
- อนุพันธ์ที่มีตัวประกอบคงที่
- อนุพันธ์ของผลหาร;
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
- ยกตัวอย่าง ปัญหาที่ประยุกต์นำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุพันธ์
ปัญหาเฉพาะจำนวนหนึ่งจากวิทยาศาสตร์สาขาต่างๆ
ภารกิจที่ 1ร่างกายเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t) เขียนสูตรหาความเร็วและความเร่งของวัตถุ ณ เวลา t
ภารกิจที่ 2รัศมีของวงกลม R แปรผันตามกฎ R = 4 + 2t 2 กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงพื้นที่ วีโมเมนต์ t = 2 วิ รัศมีของวงกลมวัดเป็นเซนติเมตร คำตอบ: 603 ซม. 2 /วินาที
ภารกิจที่ 3จุดวัตถุที่มีมวล 5 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
ส(เสื้อ) = 2t+ ที่ไหน ส- ระยะทางเป็นเมตร ที– เวลาเป็นวินาที จงหาแรงที่กระทำต่อจุดในขณะนั้น เสื้อ = 4 วิ.
คำตอบ:เอ็น.
ภารกิจที่ 4มู่เล่ที่เบรกไว้จะหมุนไปด้านหลัง ทีสที่มุม 3t - 0.1t 2 (rad) หา:
ก) ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของมู่เล่ ณ เวลา เสื้อ = 7
กับ;
b) มู่เล่จะหยุดในเวลาใด
คำตอบ:ก) 2.86; ข) 150 วิ
ตัวอย่างของการใช้อนุพันธ์อาจรวมถึงปัญหาในการค้นหา: ความจุความร้อนจำเพาะสสารของร่างกายที่กำหนด ความหนาแน่นเชิงเส้นและพลังงานจลน์ของร่างกาย ฯลฯ
ที่สาม ปฏิบัติงานที่แตกต่างกัน
ผู้ที่ต้องการทำงานระดับ "A" ให้สำเร็จ ให้นั่งที่คอมพิวเตอร์และทำแบบทดสอบด้วยคำตอบที่ตั้งโปรแกรมไว้ - แอปพลิเคชัน. )
1. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 = 3
2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = xe x ที่จุด x 0 = 1
1) 2e;
2) อี;
3) 1 + อี;
4) 2 + อี
3. แก้สมการ f / (x) = 0 ถ้า f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1)
1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.
4. คำนวณ f/(1) ถ้า f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x)
5. จงหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) ที่จุด t0 = 1
6. จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ: S(t) = t 3 – 3t 2. เลือกสูตรที่ระบุความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดนี้ ณ เวลา t
1) เสื้อ 2 – 2t;
2) 3 ครั้ง 2 – 3 ครั้ง;
3) 3 ครั้ง 2 – 6 ตัน;
4) เสื้อ 3 + 6t
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
การประยุกต์อนุพันธ์ทางฟิสิกส์ เทคโนโลยี ชีววิทยา ชีวิต
การนำเสนอสำหรับบทเรียน
ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม
ประเภทบทเรียน:บูรณาการ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:ศึกษาบางแง่มุมของการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ใน พื้นที่ต่างๆฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา
งาน:ขยายขอบเขตอันไกลโพ้นและ กิจกรรมการเรียนรู้นักเรียน การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะและสามารถนำความรู้ไปประยุกต์ใช้
การสนับสนุนด้านเทคนิค: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ- คอมพิวเตอร์และดิสก์
I. ช่วงเวลาขององค์กร
ครั้งที่สอง การตั้งเป้าหมายบทเรียน
– ฉันอยากจะดำเนินบทเรียนภายใต้คำขวัญของ Alexey Nikolaevich Krylov นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตและผู้สร้างเรือ: “ทฤษฎีที่ปราศจากการปฏิบัติถือว่าตายแล้วหรือไร้ประโยชน์ การฝึกฝนโดยไม่มีทฤษฎีนั้นเป็นไปไม่ได้หรือเป็นหายนะ”
– มาทบทวนแนวคิดพื้นฐานและตอบคำถาม:
– บอกคำจำกัดความพื้นฐานของอนุพันธ์ให้ฉันฟังหน่อยสิ?
– คุณรู้อะไรเกี่ยวกับอนุพันธ์ (คุณสมบัติ, ทฤษฎีบท)?
– คุณรู้ตัวอย่างปัญหาการใช้อนุพันธ์ในฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ และชีววิทยาบ้างไหม?
การพิจารณาคำจำกัดความพื้นฐานของอนุพันธ์และเหตุผล (ตอบคำถามแรก):
อนุพันธ์ – หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องมีความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้อนุพันธ์ ความรู้ที่ดี วัสดุทางทฤษฎีความสามารถในการทำวิจัยในสถานการณ์ต่างๆ
ดังนั้นวันนี้ในบทเรียนเราจะรวบรวมและจัดระบบความรู้ที่ได้รับ พิจารณาและประเมินผลงานของแต่ละกลุ่ม และใช้ตัวอย่างปัญหาบางอย่าง เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ โดยใช้อนุพันธ์และ งานที่ไม่ได้มาตรฐานโดยใช้อนุพันธ์
ที่สาม คำอธิบายของวัสดุใหม่
1. กำลังไฟฟ้าชั่วขณะเป็นอนุพันธ์ของงานตามเวลา:
W = ลิม ΔA/Δt ΔA –เปลี่ยนงาน
2. หากวัตถุหมุนรอบแกน มุมของการหมุนจะเป็นฟังก์ชันของเวลา ที
แล้ว ความเร็วเชิงมุมเท่ากับ:
W = ลิม Δφ/Δt = φ׳(t) Δ ที → 0
3. ความแรงของกระแสเป็นอนุพันธ์ Ι = ลิม Δg/Δt = g′,ที่ไหน ก– ประจุไฟฟ้าบวกที่ถ่ายโอนผ่านหน้าตัดของตัวนำในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t
4. ให้ ∆Q– ปริมาณความร้อนที่ต้องใช้ในการเปลี่ยนอุณหภูมิ ∆tเวลาแล้ว ลิม ΔQ/Δt = Q′ = C –ความร้อนจำเพาะ
5. ปัญหาเกี่ยวกับอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี
ม(เสื้อ) – ม(t0) –ปริมาณของสารที่ทำปฏิกิริยาเมื่อเวลาผ่านไป t0ถึง ที
V= ลิม Δm/Δt = m Δt → 0
6. ให้ m เป็นมวล สารกัมมันตภาพรังสี- ความเร็ว การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี: V = ลิม Δm/Δt = m׳(t) Δt→0
ในรูปแบบที่แตกต่าง กฎการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีมีรูปแบบ: dN/dt = – แลง,ที่ไหน เอ็น– จำนวนนิวเคลียสที่ยังไม่สลายตัวตามเวลา ที
เมื่อรวมนิพจน์นี้เข้าด้วยกัน เราได้รับ: dN/N = – แลมบ์ดา ∫dN/N = – แลมบ์ดา lnN = – แลต + c, c = constที่ เสื้อ = 0จำนวนนิวเคลียสกัมมันตภาพรังสี ยังไม่มีข้อความ = N0จากที่นี่เรามี: ln N0 = คอนสตรัคเพราะฉะนั้น
n N = – แลต + ln N0
เสริมศักยภาพนิพจน์นี้ที่เราได้รับ:
– กฎการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีโดยที่ N0– จำนวนแกนในแต่ละครั้ง t0 = 0, ยังไม่มีข้อความ– จำนวนนิวเคลียสที่ไม่สลายตัวตามเวลา ที
7. ตามสมการการถ่ายเทความร้อนของนิวตัน อัตราการไหลของความร้อน dQ/dtเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่หน้าต่าง S และความแตกต่างของอุณหภูมิ ΔT ระหว่างกระจกด้านในและกระจกด้านนอก และสัดส่วนผกผันกับความหนาของกระจก d:
dQ/dt = A S/วัน ∆T
8. ปรากฏการณ์การแพร่กระจายคือกระบวนการสร้างการกระจายตัวแบบสมดุล
ภายในช่วงของความเข้มข้น การแพร่กระจายไปทางด้านข้างเพื่อปรับระดับความเข้มข้น
m = D ∆c/∆x c –ความเข้มข้น
ม. = ง ค׳x x –ประสานงาน ด –ค่าสัมประสิทธิ์การแพร่กระจาย
9. เป็นที่รู้กันว่าสนามไฟฟ้าก็กระตุ้นเช่นกัน ค่าไฟฟ้าหรือสนามแม่เหล็กที่มีแหล่งกำเนิดเดียวคือกระแสไฟฟ้า James Clark Maxwell แนะนำการแก้ไขกฎแม่เหล็กไฟฟ้าที่ค้นพบก่อนหน้าเขา: สนามแม่เหล็กเกิดขึ้นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเช่นกัน สนามไฟฟ้า- การแก้ไขที่ดูเหมือนเล็กน้อยมีผลกระทบมหาศาล: เป็นการแก้ไขใหม่ทั้งหมด วัตถุทางกายภาพ – คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า- แม็กซ์เวลล์เชี่ยวชาญ ซึ่งแตกต่างจากฟาราเดย์ที่คิดว่าการมีอยู่ของมันเป็นไปได้ ได้สมการของสนามไฟฟ้า:
∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t
การเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าทำให้เกิดการปรากฏ สนามแม่เหล็กณ จุดใดๆ ในอวกาศ หรืออีกนัยหนึ่ง อัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามไฟฟ้าจะกำหนดขนาดของสนามแม่เหล็ก ใต้ใหญ่ ไฟฟ้าช็อต– สนามแม่เหล็กที่มากขึ้น
IV. รวบรวมสิ่งที่ได้เรียนรู้มา
– คุณและฉันศึกษาอนุพันธ์และคุณสมบัติของมัน ฉันต้องการอ่านคำกล่าวเชิงปรัชญาของกิลเบิร์ตที่ว่า “ทุกคนมีทัศนคติที่แน่นอน เมื่อขอบฟ้านี้แคบลงจนเหลือน้อยที่สุด มันจะเปลี่ยนเป็นจุดหนึ่ง จากนั้นบุคคลนั้นก็บอกว่านี่คือมุมมองของเขา”
มาลองวัดมุมมองการประยุกต์ใช้อนุพันธ์กันดีกว่า!
เนื้อเรื่องของ "ใบไม้"(การใช้อนุพันธ์ทางชีววิทยา ฟิสิกส์ ชีวิต)
พิจารณาการล้มเป็น การเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอขึ้นอยู่กับเวลา
ดังนั้น: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)
(การสำรวจทางทฤษฎี: ความรู้สึกทางกลอนุพันธ์)
1. การแก้ปัญหา
แก้ไขปัญหาด้วยตัวเอง
2. F = ma F = mV′ F = mS″
ให้เราเขียนกฎ II ของ Porton และคำนึงถึงความหมายเชิงกลของอนุพันธ์แล้วเราเขียนมันใหม่ในรูปแบบ: F = mV′ F = mS″
เนื้อเรื่องของ "Wolves, Gophers"
กลับไปที่สมการ: พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ของการเติบโตและการลดลงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล: F = ม่า F = เอ็มวี’ F = มิลลิวินาที"
การแก้ปัญหามากมายในวิชาฟิสิกส์ ชีววิทยาทางเทคนิค และ สังคมศาสตร์ลดปัญหาการหาฟังก์ชัน ฉ"(x) = กิโลฟ(x)เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ โดยที่ เค = ค่าคงที่ .
สูตรของมนุษย์
บุคคลมีขนาดใหญ่กว่าอะตอมหลายเท่าในขณะที่เขาเล็กกว่าดวงดาว:
มันเป็นไปตามนั้น
นี่คือสูตรที่กำหนดสถานที่ของมนุษย์ในจักรวาล ขนาดของบุคคลแสดงถึงสัดส่วนเฉลี่ยของดาวฤกษ์และอะตอม
ฉันอยากจะจบบทเรียนด้วยคำพูดของ Lobachevsky: “คณิตศาสตร์ไม่มีสาขาเดียวไม่ว่ามันจะเป็นนามธรรมแค่ไหนก็ตาม ซึ่งสักวันหนึ่งจะไม่สามารถใช้ได้กับปรากฏการณ์ของโลกแห่งความเป็นจริง”
วี- คำตอบของตัวเลขจากคอลเลกชัน:
การแก้ปัญหาอย่างอิสระบนกระดาน การวิเคราะห์โดยรวมของการแก้ปัญหา:
№ 1 จงหาความเร็วของการเคลื่อนที่ จุดวัสดุเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 3 ถ้าการเคลื่อนที่ของจุดกำหนดโดยสมการ s = t^2 –11t + 30
№ 2 จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ s = 6t – t^2 ความเร็วจะเป็นศูนย์ในช่วงเวลาใด?
№ 3 วัตถุสองชิ้นเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง: วัตถุหนึ่งตามกฎ s = t^3 – t^2 – 27t และอีกวัตถุหนึ่งตามกฎ s = t^2 + 1 จงหาช่วงเวลาที่ความเร็วของวัตถุเหล่านี้เท่ากัน .
№ 4 สำหรับรถที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 30 เมตรต่อวินาที ระยะเบรกถูกกำหนดโดยสูตร s(t) = 30t-16t^2 โดยที่ s(t) คือระยะทางเป็นเมตร t คือเวลาในการเบรกเป็นวินาที . เบรกใช้เวลานานเท่าไหร่? หยุดเต็มรถยนต์? ที่ ระยะทางจะไปรถตั้งแต่เบรกจนหยุดสนิท?
№5 วัตถุที่มีมวล 8 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ s = 2t^2+ 3t – 1 จงหา พลังงานจลน์ body (mv^2/2) 3 วินาทีหลังจากเริ่มเคลื่อนไหว
สารละลาย: ลองหาความเร็วของการเคลื่อนไหวของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง:
วี = ดีเอส / ดีที = 4t + 3
ลองคำนวณความเร็วของร่างกาย ณ เวลา t = 3:
โวลต์ เสื้อ=3 = 4 * 3 + 3=15 (เมตร/วินาที)
ให้เราพิจารณาพลังงานจลน์ของร่างกาย ณ เวลา t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (เจ)
№6 ค้นหาพลังงานจลน์ของร่างกาย 4 วินาทีหลังจากเริ่มเคลื่อนไหว หากมวลคือ 25 กิโลกรัม และกฎการเคลื่อนที่มีรูปแบบ s = 3t^2- 1
№7
วัตถุที่มีมวล 30 กิโลกรัม เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ s = 4t^2 + t พิสูจน์ว่าการเคลื่อนที่ของร่างกายเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงคงที่
สารละลาย: เรามี s’ = 8t + 1, s” = 8 ดังนั้น a(t) = 8 (m/s^2) กล่าวคือ ตามกฎการเคลื่อนที่ที่กำหนด ร่างกายจะเคลื่อนที่ด้วย ความเร่งคงที่ 8 ม./วินาที^2. นอกจากนี้เนื่องจากมวลของร่างกายคงที่ (30 กก.) ดังนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตัน แรงที่กระทำต่อมัน F = ma = 30 * 8 = 240 (H) ก็เป็นค่าคงที่เช่นกัน
№8 วัตถุที่มีน้ำหนัก 3 กิโลกรัมจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ s(t) = t^3 – 3t^2 + 2 จงหาแรงที่กระทำต่อร่างกายที่เวลา t = 4 วินาที
№9 จุดวัสดุเคลื่อนที่ตามกฎ s = 2t^3 – 6t^2 + 4t จงหาความเร่งเมื่อสิ้นสุดวินาทีที่ 3
วี- การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์:
อนุพันธ์ในวิชาคณิตศาสตร์แสดงให้เห็น นิพจน์ตัวเลขระดับการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่อยู่ในจุดเดียวกันภายใต้อิทธิพลของเงื่อนไขที่แตกต่างกัน
สูตรอนุพันธ์มีขึ้นตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 Tartagli นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวอิตาลีพิจารณาและพัฒนาคำถามว่าระยะการบินของกระสุนปืนขึ้นอยู่กับความเอียงของปืนมากน้อยเพียงใดจึงนำไปใช้ในงานของเขา
สูตรอนุพันธ์มักพบในผลงานของนักคณิตศาสตร์ชื่อดังแห่งศตวรรษที่ 17 ถูกใช้โดยนิวตันและไลบ์นิซ
นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังกาลิเลโอกาลิเลอีอุทิศบทความทั้งหมดเกี่ยวกับบทบาทของอนุพันธ์ในวิชาคณิตศาสตร์ จากนั้นอนุพันธ์และการนำเสนอต่าง ๆ พร้อมการประยุกต์ใช้ก็เริ่มพบได้ในผลงานของเดส์การตส์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Roberval และชาวอังกฤษ Gregory ผู้มีความคิดเช่น L'Hopital, Bernoulli, Langrange และคนอื่นๆ มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการศึกษาอนุพันธ์
1. พล็อตกราฟและตรวจสอบฟังก์ชัน:
วิธีแก้ไขปัญหานี้:
ช่วงเวลาแห่งการผ่อนคลาย
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว- การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในวิชาฟิสิกส์:
เมื่อศึกษากระบวนการและปรากฏการณ์บางอย่างงานในการกำหนดความเร็วของกระบวนการเหล่านี้มักเกิดขึ้น การแก้ปัญหานำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ซึ่งเป็นแนวคิดหลัก แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์.
วิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ถูกสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 17 และ 18 ชื่อของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่สองคน - I. Newton และ G.V. - เกี่ยวข้องกับการเกิดขึ้นของวิธีนี้ ไลบ์นิซ.
นิวตันค้นพบแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับความเร็วการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ ในขณะนี้เวลา (ความเร็วทันที)
ในวิชาฟิสิกส์อนุพันธ์ส่วนใหญ่จะใช้เพื่อคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือ ค่าต่ำสุดปริมาณใดๆ
№1 พลังงานศักย์ คุณสนามของอนุภาคซึ่งมีอีกอนุภาคหนึ่งซึ่งมีรูปแบบเดียวกันทุกประการ: U = มี/ร 2 – บี/อาร์, ที่ไหน กและ ข- ค่าคงที่บวก ร- ระยะห่างระหว่างอนุภาค ค้นหา: ก) ค่า ร0สอดคล้องกับตำแหน่งสมดุลของอนุภาค b) ค้นหาว่าสถานการณ์นี้มีเสถียรภาพหรือไม่ วี) เอฟแม็กซ์มูลค่าของแรงดึงดูด d) วาดกราฟการพึ่งพาโดยประมาณ คุณ(r)และ ฉ(ร).
วิธีแก้ไขปัญหานี้: เพื่อกำหนด ร0สอดคล้องกับตำแหน่งสมดุลของอนุภาคที่เราศึกษา ฉ = คุณ(r)ถึงขีดสุด
โดยใช้การเชื่อมต่อระหว่าง พลังงานศักย์สาขา
คุณและ เอฟ, แล้ว F = – dU/ดรเราได้รับ F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0;
ในเวลาเดียวกัน ร = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b- เรากำหนดความสมดุลที่เสถียรหรือไม่เสถียรโดยใช้เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt) ) 2
พิจารณากรณีที่ทรายหกออกจากแท่นที่เต็มไป
การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในช่วงเวลาสั้นๆ:
Δ พี = (M – µ(t + Δ เสื้อ))(ยู+ Δ คุณ) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ ที
เทอม ∆ มตธคือแรงกระตุ้นของปริมาณทรายที่ไหลออกจากแท่นในช่วงเวลา Δ ทีแล้ว:
Δ พี = มΔ คุณ – มตΔ คุณ – Δ มทΔ คุณ = เอฟΔ ที
หารด้วย Δ ทีและก้าวไปสู่ขีดจำกัด Δ ที → 0
(M – µt)du/dt = F
หรือ a1= du/dt= F/(M – µt)
คำตอบ: ก = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)
8. งานอิสระ:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
เส้นตรง y = 2x สัมผัสกับฟังก์ชัน: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3 ค้นหาจุดหักล้างของจุดสัมผัส
ทรงเครื่อง- สรุปบทเรียน:
– บทเรียนนี้เน้นคำถามอะไรบ้าง?
– คุณเรียนรู้อะไรในบทเรียน?
– สรุปข้อเท็จจริงทางทฤษฎีอะไรบ้างในบทเรียน?
– งานใดที่ถือว่ายากที่สุด? ทำไม
อ้างอิง:
- Amelkin V.V., Sadovsky A.P. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์และสมการเชิงอนุพันธ์ – มินสค์: บัณฑิตวิทยาลัย, 1982. – 272 น.
- อเมลคิน วี.วี.สมการเชิงอนุพันธ์ในการประยุกต์ อ.: วิทยาศาสตร์. กองบรรณาธิการหลักของวรรณคดีกายภาพและคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2530 – 160 น.
- เอรูกิน เอ็น.พี.หนังสือที่จะอ่าน หลักสูตรทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์- – มินสค์: วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 1979 – 744 หน้า
- .นิตยสาร "ศักยภาพ" พฤศจิกายน 2550 ฉบับที่ 11
- “พีชคณิตและหลักการวิเคราะห์” ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 S.M. นิโคลสกี้, เอ็ม.เค. Potapov และคนอื่น ๆ
- “พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” N.Ya. วิเลนคิน และคณะ
- "คณิตศาสตร์" V.T. ลิซิชคิน, I.L. โซโลเวจิค, 1991
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ งาน!
ความหมายทางกายภาพอนุพันธ์ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มของปัญหาในการแก้ปัญหาซึ่งต้องใช้ความรู้และความเข้าใจในความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีปัญหาในเรื่องกฎการเคลื่อนที่ จุดใดจุดหนึ่ง(วัตถุ), แสดงโดยสมการและคุณจำเป็นต้องค้นหาความเร็วของมันในช่วงเวลาหนึ่งของการเคลื่อนไหว หรือเวลาที่วัตถุจะได้ความเร็วที่กำหนดหลังจากนั้น งานนั้นง่ายมากสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียว ดังนั้น:
ให้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุชี้ x (t) ไปตาม แกนพิกัดโดยที่ x คือพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ t คือเวลา
ความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา นี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์
ในทำนองเดียวกัน ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา:
ดังนั้นความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว นี่อาจเป็นความเร็วของการเคลื่อนไหว อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ (เช่น การเจริญเติบโตของแบคทีเรีย) ความเร็วของการทำงาน (และอื่นๆ มีปัญหาที่ประยุกต์ใช้มากมาย)
นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ (คุณต้องรู้เช่นเดียวกับตารางสูตรคูณ) และกฎการแยกส่วน โดยเฉพาะในการแก้ปัญหาที่ระบุ จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์หกตัวแรก (ดูตาราง):
x (เสื้อ) = เสื้อ 2 – 7t – 20
โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 5 วินาที
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว (ความเร็วของการเคลื่อนที่ อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ ความเร็วของงาน ฯลฯ)
มาดูกฎของการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 6t 2 – 48t + 17 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 9 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 6 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 3 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28
โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 6 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
มาดูกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน:
เพื่อที่จะค้นหาในช่วงเวลาใด ทีความเร็วคือ 3 m/s จำเป็นต้องแก้สมการ:
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = t 2 – 13t + 23 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 3 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x (t) = (1/3) เสื้อ 3 – 3t 2 – 5t + 3
ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 2 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
ฉันต้องการทราบว่าคุณไม่ควรมุ่งเน้นเฉพาะงานประเภทนี้ในการสอบ Unified State พวกเขาอาจแนะนำปัญหาที่ตรงกันข้ามกับที่นำเสนอโดยไม่คาดคิดโดยสิ้นเชิง เมื่อให้กฎการเปลี่ยนแปลงความเร็วมาและคำถามจะเกี่ยวกับการค้นหากฎการเคลื่อนที่
คำแนะนำ: ในกรณีนี้ คุณต้องค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันความเร็ว (นี่เป็นปัญหาขั้นตอนเดียวด้วย) หากคุณต้องการค้นหาระยะทางที่เดินทาง ณ จุดหนึ่งของเวลา คุณต้องแทนเวลาลงในสมการผลลัพธ์และคำนวณระยะทาง อย่างไรก็ตาม เราจะวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวด้วย อย่าพลาด! ขอให้โชคดี!
matematikalegko.ru
พีชคณิตและจุดเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2552
หน้าที่ 094.
หนังสือเรียน:
เวอร์ชัน OCR ของหน้าจากหนังสือเรียน (ข้อความของหน้าที่อยู่เหนือ):
ดังที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ของย่อหน้านี้งาน ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:
1. ถ้า ณ การเคลื่อนไหวตรงเส้นทางที่เคลื่อนที่ผ่านจุดหนึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลา t กล่าวคือ s = f(t) จากนั้นความเร็วของจุดคืออนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา กล่าวคือ v(t) =
ข้อเท็จจริงนี้เป็นการแสดงออกถึงความหมายเชิงกลของอนุพันธ์
2. ถ้า ณ จุด x 0 แทนเจนต์ถูกลากไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = f (jc) ดังนั้นตัวเลข f"(xo) คือแทนเจนต์ของมุม a ระหว่างแทนเจนต์นี้กับทิศทางบวกของแกน Ox เช่น /"(x 0) =
ทกา. มุมนี้เรียกว่ามุมแทนเจนต์
ข้อเท็จจริงนี้แสดงให้เห็น ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์
ตัวอย่างที่ 3 ลองหาแทนเจนต์ของมุมเอียงของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5jc 2 - 2x + 4 ที่จุดที่มี abscissa x = 0
ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 ที่จุดใดก็ได้ x โดยใช้ความเท่าเทียมกัน (2):
0.5 2 x - 2 = เจซี - 2
ลองคำนวณมูลค่าของอนุพันธ์นี้ที่จุด x = 0:
ดังนั้น tga = -2 กราฟ x ของฟังก์ชัน y = /(jc) และแทนเจนต์ของกราฟที่จุดที่มี abscissa jc = 0 แสดงในรูปที่ 95
4.1 ให้จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ s = t 2 หา:
a) การเพิ่มเวลา D£ ในช่วงเวลาจาก t x = 1 ถึง £ 2 - 2;
b) การเพิ่มขึ้นของเส้นทางในช่วงเวลาตั้งแต่ t x = 1 ถึง t 2 = 2;
วี) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาตั้งแต่ t x = 1 ถึง t 2 = 2
4.2 ในงาน 4.1 ค้นหา:
b) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาจาก t ถึง t + At;
วี) ความเร็วทันทีในเวลา เสื้อ;
d) ความเร็วขณะนั้น ณ เวลา t = 1
4.3 ให้จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย:
1) ส = 3t + 5; 2) ส = เสื้อ 2 - บาท
ก) การเพิ่มขึ้นของเส้นทาง As ในช่วงเวลาตั้งแต่ t ถึง t + At;
หนังสือเรียน:พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 11: ทางการศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin] - ฉบับที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2552. - 464 หน้า: ป่วย.
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ การสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มของปัญหาในการแก้ปัญหาซึ่งต้องใช้ความรู้และความเข้าใจในความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีปัญหาคือให้กฎการเคลื่อนที่ของจุด (วัตถุ) จุดใดจุดหนึ่งแสดงเป็นสมการ และจำเป็นต้องค้นหาความเร็ว ณ จุดใดจุดหนึ่งในช่วงเวลาของการเคลื่อนที่หรือเวลาหลังจากนั้นวัตถุ จะได้รับความเร็วที่กำหนดงานนั้นง่ายมากสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียว ดังนั้น:
ให้กฎการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุ x (t) ตามแนวแกนพิกัด โดยที่ x คือพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่ t คือเวลา
ความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา นี่คือความหมายเชิงกลของอนุพันธ์
ในทำนองเดียวกัน ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา:
ดังนั้นความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว นี่อาจเป็นความเร็วของการเคลื่อนไหว อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ (เช่น การเจริญเติบโตของแบคทีเรีย) ความเร็วของการทำงาน (และอื่นๆ มีปัญหาที่ประยุกต์ใช้มากมาย)
นอกจากนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ (คุณต้องรู้เช่นเดียวกับตารางสูตรคูณ) และกฎการแยกส่วน โดยเฉพาะในการแก้ปัญหาที่ระบุ จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์หกตัวแรก (ดูตาราง):
พิจารณางาน:
x (เสื้อ) = เสื้อ 2 – 7t – 20
โดยที่ x t คือเวลาเป็นวินาทีที่วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 5 วินาที
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือความเร็ว (ความเร็วของการเคลื่อนที่ อัตราการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ ความเร็วของงาน ฯลฯ)
มาดูกฎของการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s
ที่ t = 5 เรามี:
คำตอบ: 3
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 6t 2 – 48t + 17 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 9 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = 0.5t 3 – 3t 2 + 2t โดยที่ xที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 6 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตรที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t = 3 วินาที
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28
โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 6 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
มาดูกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วกัน:
เพื่อที่จะค้นหาในช่วงเวลาใดทีความเร็วคือ 3 m/s จำเป็นต้องแก้สมการ:
คำตอบ: 3
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x (t) = t 2 – 13t + 23 โดยที่ x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 3 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย
x (t) = (1/3) เสื้อ 3 – 3t 2 – 5t + 3
ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตร ที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว ความเร็วของมันเท่ากับ 2 เมตร/วินาที ณ จุดใด (เป็นวินาที)
ฉันต้องการทราบว่าคุณไม่ควรมุ่งเน้นเฉพาะงานประเภทนี้ในการสอบ Unified State พวกเขาอาจแนะนำปัญหาที่ตรงกันข้ามกับที่นำเสนอโดยไม่คาดคิดโดยสิ้นเชิง เมื่อให้กฎการเปลี่ยนแปลงความเร็วมาและคำถามจะเกี่ยวกับการค้นหากฎการเคลื่อนที่
คำแนะนำ: ในกรณีนี้ คุณต้องค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันความเร็ว (นี่เป็นปัญหาขั้นตอนเดียวด้วย) หากคุณต้องการค้นหาระยะทางที่เดินทาง ณ จุดหนึ่งของเวลา คุณต้องแทนเวลาลงในสมการผลลัพธ์และคำนวณระยะทาง อย่างไรก็ตาม เราจะวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวด้วย อย่าพลาด!ขอให้โชคดี!
ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh
ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก
จุดเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมาย ส = เสื้อ 4 +2t (S -เป็นเมตร ที-ในไม่กี่วินาที) ค้นหาความเร่งเฉลี่ยในช่วงเวลาระหว่างช่วงเวลาต่างๆ เสื้อ 1 = 5 วิ เสื้อ 2 = 7 วิรวมถึงการเร่งความเร็วที่แท้จริงในขณะนั้น ที 3 = 6 วิ
สารละลาย.
1. ค้นหาความเร็วของจุดซึ่งเป็นอนุพันธ์ของเส้นทาง S เทียบกับเวลา เสื้อเหล่านั้น.
2. แทนที่ค่าของ t t 1 = 5 s และ t 2 = 7 s เราพบความเร็ว:
โวลต์ 1 = 4 5 3 + 2 = 502 เมตร/วินาที; โวลต์ 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 เมตร/วินาที
3. หาความเร็วที่เพิ่มขึ้น ΔV ตามเวลา Δt = 7 - 5 =2 วินาที:
ΔV = วี 2 - วี 1= 1374 - 502 = 872 เมตรต่อวินาที
4. ดังนั้น ความเร่งเฉลี่ยของจุดจะเท่ากับ
5. เพื่อกำหนด ความหมายที่แท้จริงความเร่งของจุด เราจะหาอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา:
6. ทดแทนแทน ทีค่า t 3 = 6 วินาที เราจะได้ความเร่ง ณ จุดนี้
aav =12-6 3 =432 เมตร/วินาที 2
การเคลื่อนไหวแบบโค้งที่ การเคลื่อนไหวโค้งความเร็วของจุดจะเปลี่ยนขนาดและทิศทาง
ลองจินตนาการถึงจุดหนึ่ง เอ็มซึ่งในช่วงเวลา Δt เคลื่อนตัวไปตามบางส่วน วิถีโค้ง,ได้เลื่อนตำแหน่ง ม.1(รูปที่ 6)
เวกเตอร์การเพิ่มความเร็ว (เปลี่ยน) ΔV จะ
สำหรับ หากต้องการหาเวกเตอร์ ΔV ให้เลื่อนเวกเตอร์ V 1 ไปยังจุดนั้น มและสร้างสามเหลี่ยมความเร็ว ลองหาเวกเตอร์ของการเร่งความเร็วเฉลี่ย:
เวกเตอร์ พุธขนานกับเวกเตอร์ ΔV เนื่องจากหารเวกเตอร์ด้วย ปริมาณสเกลาร์ทิศทางของเวกเตอร์ไม่เปลี่ยนแปลง เวกเตอร์ความเร่งที่แท้จริงคือขีดจำกัดที่อัตราส่วนของเวกเตอร์ความเร็วต่อช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน Δt มีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวคือ
ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของเวกเตอร์
ดังนั้น, ความเร่งที่แท้จริงของจุดระหว่างการเคลื่อนที่เชิงโค้งจะเท่ากับอนุพันธ์ของเวกเตอร์เทียบกับความเร็ว
จากรูป 6 เป็นที่ชัดเจนว่า เวกเตอร์ความเร่งในระหว่างการเคลื่อนที่โค้งจะมุ่งตรงไปยังความเว้าของวิถีเสมอ
เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ความเร่งจะถูกแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบตามวิถีการเคลื่อนที่: ตามแนวแทนเจนต์ เรียกว่า ความเร่งในวงสัมผัส (วงสัมผัส) กและตามแนวปกติเรียกว่าความเร่งปกติ a n (รูปที่ 7)
ในกรณีนี้ความเร่งรวมจะเท่ากับ
ความเร่งในวงโคจรเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางเดียวกับความเร็วของจุดหรือตรงข้ามกับจุดนั้น มันแสดงลักษณะของการเปลี่ยนแปลงความเร็วและถูกกำหนดโดยสูตรตามนั้น
ความเร่งปกติจะตั้งฉากกับทิศทางของความเร็วของจุด และค่าตัวเลขจะถูกกำหนดโดยสูตร
ที่ไหนร - รัศมีความโค้งของวิถี ณ จุดที่พิจารณา
เนื่องจากความเร่งในวงสัมผัสและความเร่งปกติตั้งฉากกัน ดังนั้น ค่าของความเร่งรวมจึงถูกกำหนดโดยสูตร
และทิศทางของมัน
ถ้า จากนั้นเวกเตอร์ความเร่งและความเร็วในวงสัมผัสจะถูกมุ่งไปในทิศทางเดียวและการเคลื่อนที่จะถูกเร่ง
ถ้า จากนั้นเวกเตอร์ความเร่งวงโคจรจะมีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ความเร็ว และการเคลื่อนที่จะช้า
เวกเตอร์ การเร่งความเร็วปกติมุ่งตรงไปยังศูนย์กลางของความโค้งเสมอ ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าศูนย์กลางของศูนย์กลาง