รูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก

คำนิยาม. รูปแบบกำลังสองจาก นไม่รู้จักเรียกว่า บวกแน่นอนหากอันดับของมันเท่ากับดัชนีความเฉื่อยบวกและเท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จัก

ทฤษฎีบท.รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอนถ้าใช้ค่าบวกกับชุดค่าตัวแปรใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

การพิสูจน์.ให้รูปกำลังสองเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมของนิรนาม

กลับมาเป็นปกติ

.

สำหรับชุดค่าตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข แตกต่างจากศูนย์คือ . ความจำเป็นของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สมมติว่ารูปสมการกำลังสองใช้ค่าบวกกับชุดตัวแปรใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แต่ดัชนีความเฉื่อยเป็นค่าบวก โดยการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมของนิรนาม

มาทำให้เป็นปกติกันเถอะ โดยไม่สูญเสียความเป็นนัยทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าในรูปแบบปกตินี้ กำลังสองของตัวแปรสุดท้ายไม่อยู่หรือป้อนด้วยเครื่องหมายลบ กล่าวคือ , ที่ไหน หรือ . สมมติว่าเป็นชุดค่าตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ ได้จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในระบบนี้ จำนวนของสมการจะเท่ากับจำนวนตัวแปรและดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทของแครมเมอร์ ระบบมีโซลูชันที่ไม่เหมือนใคร และไม่ใช่ศูนย์ สำหรับชุดนี้ ขัดแย้งกับสภาพ เรามาถึงข้อขัดแย้งกับสมมติฐานซึ่งพิสูจน์ความเพียงพอของทฤษฎีบท

เมื่อใช้เกณฑ์นี้ จะไม่สามารถระบุได้จากสัมประสิทธิ์ว่ารูปแบบกำลังสองเป็นค่าแน่นอนที่เป็นบวกหรือไม่ คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากทฤษฎีบทอื่น สำหรับสูตรที่เรานำเสนอแนวคิดเพิ่มเติมอีกหนึ่งแนวคิด Principal Diagonal Matrix Minorsเป็นผู้เยาว์ที่อยู่ที่มุมซ้ายบน:

, , , … , .

ทฤษฎีบท.รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อผู้เยาว์ในแนวทแยงหลักทั้งหมดเป็นค่าบวก

การพิสูจน์เราจะดำเนินการโดยวิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์กับจำนวน นตัวแปรรูปกำลังสอง ฉ.

สมมติฐานของการเหนี่ยวนำสมมติว่าสำหรับรูปกำลังสองที่มีตัวแปรน้อยกว่า นคำสั่งถูกต้อง

พิจารณารูปแบบกำลังสองจาก นตัวแปร รวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดที่มี . พจน์ที่เหลือสร้างรูปแบบกำลังสองในตัวแปร โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ ข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับมัน

สมมติว่ารูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอน จากนั้นรูปแบบกำลังสองก็เป็นค่าบวกแน่นอน หากเราคิดว่านี่ไม่ใช่กรณี แสดงว่ามีชุดค่าตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์ , ซึ่ง และในทำนองเดียวกัน ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่ารูปแบบกำลังสองเป็นบวกแน่นอน ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ ตัวรองในแนวทแยงหลักทั้งหมดของรูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวก กล่าวคือ ผู้เยาว์หลักคนแรกทั้งหมดของรูปแบบกำลังสอง ฉเป็นบวก หลักรองสุดท้ายของรูปแบบกำลังสอง – เป็นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของมัน ดีเทอร์มีแนนต์นี้เป็นค่าบวก เนื่องจากเครื่องหมายตรงกับเครื่องหมายของเมทริกซ์ในรูปแบบปกติ นั่นคือ ด้วยเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์เอกลักษณ์

ให้ผู้เยาว์หลักในแนวทแยงทั้งหมดของรูปกำลังสองเป็นค่าบวก จากนั้น ตัวรองในแนวทแยงหลักทั้งหมดของรูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกจากความเท่าเทียมกัน . โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ รูปแบบกำลังสองมีความแน่นอนในเชิงบวก ดังนั้นจึงมีการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมของตัวแปรที่ลดรูปแบบให้อยู่ในรูปของผลรวมของกำลังสองของตัวแปรใหม่ การแปลงเชิงเส้นนี้สามารถขยายเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อมสภาพของตัวแปรทั้งหมดโดยการตั้งค่า รูปสมการกำลังสองจะลดลงโดยการแปลงนี้เป็นรูปแบบ

รูปทรงสี่เหลี่ยม
ความสำคัญของแบบฟอร์ม เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์

คำคุณศัพท์ "สี่เหลี่ยม" แนะนำทันทีว่าบางสิ่งที่นี่เชื่อมต่อกับกำลังสอง (ดีกรีที่สอง) และในไม่ช้าเราจะรู้ว่า "บางสิ่ง" นี้และรูปแบบคืออะไร เปิดออกมาทันที :)

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนใหม่ของฉัน และเป็นการอุ่นเครื่องทันที เราจะดูรูปร่างลายทาง เชิงเส้น. รูปแบบเชิงเส้น ตัวแปรเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันพหุนามดีกรีที่ 1:

- ตัวเลขเฉพาะบางตัว * (เราคิดว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นแตกต่างจากศูนย์)และเป็นตัวแปรที่สามารถรับค่าได้ตามใจชอบ

* ในหัวข้อนี้เราจะพิจารณาเท่านั้น ตัวเลขจริง .

เราเคยเจอคำว่า "เนื้อเดียวกัน" ในบทเรียนเกี่ยวกับ .แล้ว ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นและในกรณีนี้ก็หมายความว่าพหุนามไม่มีค่าคงที่เพิ่ม

ตัวอย่างเช่น: – รูปแบบเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว

ตอนนี้รูปร่างเป็นกำลังสอง รูปสี่เหลี่ยม ตัวแปรเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันพหุนามดีกรีที่ 2, แต่ละเทอมซึ่งมีกำลังสองของตัวแปรหรือ สองเท่าผลคูณของตัวแปร ตัวอย่างเช่น รูปแบบกำลังสองของตัวแปรสองตัวมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

ความสนใจ!นี่เป็นรายการมาตรฐาน และคุณไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไรในนั้น! แม้จะมีรูปลักษณ์ที่ "แย่มาก" แต่ทุกอย่างก็ง่ายที่นี่ - ตัวห้อยสองตัวของสัญญาณคงที่ซึ่งตัวแปรจะรวมอยู่ในคำหนึ่งหรืออีกคำหนึ่ง:
– คำนี้มีผลิตภัณฑ์และ (สี่เหลี่ยม);
- นี่คืองาน;
- และนี่คือผลงาน

- ฉันคาดหวังความผิดพลาดอย่างร้ายแรงทันทีที่พวกเขาสูญเสีย "ลบ" ของสัมประสิทธิ์ โดยไม่ทราบว่ามันหมายถึงคำ:

บางครั้งมีการออกแบบในรุ่น "โรงเรียน" ในจิตวิญญาณ แต่บางครั้งเท่านั้น อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าค่าคงที่ที่นี่ไม่ได้บอกอะไรเราเลย ดังนั้นจึงเป็นการยากกว่าที่จะจำ "สัญกรณ์ง่าย" ยิ่งเมื่อมีตัวแปรมากขึ้น

และรูปสมการกำลังสองของตัวแปรสามตัวมีหกเทอมอยู่แล้ว:

... เหตุใดตัวคูณ "สอง" จึงอยู่ในเงื่อนไข "ผสม" สะดวกและเร็ว ๆ นี้จะกลายเป็นที่ชัดเจนว่าทำไม

อย่างไรก็ตามเราจะเขียนสูตรทั่วไปซึ่งสะดวกในการจัดเรียงด้วย "แผ่นงาน":

- ศึกษาแต่ละบรรทัดอย่างระมัดระวัง - ไม่มีอะไรผิด!

รูปแบบกำลังสองประกอบด้วยเทอมที่มีตัวแปรกำลังสองและเทอมกับผลคูณของพวกมัน (ซม. สูตรผสมของชุดค่าผสม) . ไม่มีอย่างอื่น - ไม่มี "เหงา x" และไม่มีค่าคงที่เพิ่ม (แล้วคุณจะไม่ได้รูปกำลังสอง แต่ ต่างกันพหุนามดีกรีที่ 2)

สัญกรณ์เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง

ขึ้นอยู่กับค่า แบบฟอร์มที่พิจารณาสามารถใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ และเช่นเดียวกันกับรูปแบบเชิงเส้นใด ๆ - หากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เป็นศูนย์ก็อาจกลายเป็นค่าบวกหรือค่าลบ (ขึ้นอยู่กับค่า ตามค่า)

แบบฟอร์มนี้เรียกว่า สลับกัน. และถ้าทุกอย่างโปร่งใสด้วยรูปแบบเชิงเส้น สิ่งต่างๆ ก็น่าสนใจมากขึ้นด้วยรูปแบบกำลังสอง:

ค่อนข้างชัดเจนว่าแบบฟอร์มนี้สามารถรับค่าของเครื่องหมายใด ๆ ได้ดังนั้น รูปแบบกำลังสองยังสามารถสลับกันได้.

อาจไม่ใช่:

– เสมอ เว้นแต่ทั้งคู่จะเท่ากับศูนย์

- สำหรับใครก็ได้ เวกเตอร์ยกเว้นศูนย์

และโดยทั่วไปแล้ว,ถ้ามี ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ , , จากนั้นรูปแบบกำลังสองเรียกว่า บวกแน่นอน; ถ้า - แล้ว ลบแน่นอน.

และทุกอย่างจะดี แต่ความชัดเจนของรูปแบบกำลังสองจะมองเห็นได้ในตัวอย่างง่ายๆ เท่านั้น และการมองเห็นนี้หายไปพร้อมกับความซับซ้อนเล็กน้อย:
– ?

บางคนอาจคิดว่าแบบฟอร์มมีการกำหนดในเชิงบวก แต่จริง ๆ แล้วเป็นเช่นนั้น? ทันใดนั้นมีค่าที่มันน้อยกว่าศูนย์?

ในบัญชีนี้มี ทฤษฎีบท: ถ้าทุกคน ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ของรูปกำลังสองมีค่าเป็นบวก * แล้วมันถูกกำหนดในเชิงบวก ถ้าทั้งหมดเป็นลบ มันก็เป็นลบ

* ได้รับการพิสูจน์ในทางทฤษฎีว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์สมมาตรจริง ถูกต้อง

มาเขียนเมทริกซ์ของแบบฟอร์มด้านบนกัน:
และจากสมการ มาหาเธอกัน ค่าลักษณะเฉพาะ:

เราแก้ปัญหาเก่าที่ดี สมการกำลังสอง:

ดังนั้นรูปแบบ มีการกำหนดในเชิงบวก กล่าวคือ สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมากกว่าศูนย์

วิธีการที่พิจารณาดูเหมือนจะใช้งานได้ แต่มีหนึ่งใหญ่ แต่ สำหรับเมทริกซ์ "สามคูณสาม" การมองหาค่าลักษณะเฉพาะเป็นงานที่ยาวและไม่เป็นที่พอใจ มีความเป็นไปได้สูงที่คุณจะได้พหุนามของดีกรีที่ 3 กับรากอตรรกยะ

จะเป็นอย่างไร? มีวิธีที่ง่ายกว่านั้น!

เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์

ไม่ ไม่ใช่ซิลเวสเตอร์ สตอลโลน :) ก่อนอื่น ให้ฉันเตือนคุณว่าอะไร ผู้เยาว์เชิงมุมเมทริกซ์ มัน ตัวกำหนด ซึ่ง "เติบโต" จากมุมบนซ้าย:

และอันสุดท้ายเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์พอดี

ที่จริงแล้วตอนนี้ เกณฑ์:

1) กำหนดรูปแบบกำลังสอง ในแง่บวกถ้าและเฉพาะในกรณีที่ผู้เยาว์เชิงมุมทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์:

2) กำหนดรูปแบบกำลังสอง เชิงลบถ้าและเฉพาะในกรณีที่ผู้เยาว์เชิงมุมสลับกันในเครื่องหมาย ในขณะที่ผู้เยาว์ที่ 1 มีค่าน้อยกว่าศูนย์: , , ถ้าเป็นคู่ หรือ , ถ้า เป็นคี่

ถ้าผู้เยาว์เชิงมุมอย่างน้อยหนึ่งคนมีเครื่องหมายตรงข้าม แสดงว่ารูป สลับสัญญาณ. หากผู้เยาว์เชิงมุมเป็นเครื่องหมาย "นั้น" แต่มีเลขศูนย์อยู่ในนั้น นี่เป็นกรณีพิเศษ ซึ่งฉันจะวิเคราะห์ในภายหลังเล็กน้อย หลังจากที่เราคลิกตัวอย่างทั่วไปเพิ่มเติม

ให้เราวิเคราะห์ตัวรองเชิงมุมของเมทริกซ์ :

และสิ่งนี้บอกเราทันทีว่าแบบฟอร์มไม่ได้ถูกกำหนดในเชิงลบ

บทสรุป: มุมรองทั้งหมดมีค่ามากกว่าศูนย์ ดังนั้น รูปร่าง กำหนดในเชิงบวก

มีความแตกต่างกับวิธีค่าลักษณะเฉพาะหรือไม่? ;)

เราเขียนเมทริกซ์รูปร่างจาก ตัวอย่าง 1:

เล็กน้อยเชิงมุมแรกและที่สอง ดังนั้นจึงเป็นไปตามรูปแบบที่มีการสลับสัญญาณ กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับค่า สามารถรับได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ชัดเจนมาก

ใช้แบบฟอร์มและเมทริกซ์ของมันจาก ตัวอย่าง 2:

ที่นี่เลยโดยปราศจากความเข้าใจที่ไม่เข้าใจ แต่ด้วยเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ เราไม่สนใจ:
ดังนั้นรูปแบบจึงไม่เป็นลบอย่างแน่นอน

และไม่เป็นบวกอย่างแน่นอน (เพราะมุมรองทั้งหมดต้องเป็นค่าบวก).

บทสรุป: รูปร่างสลับกัน

ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบรูปแบบกำลังสองสำหรับความชัดเจนของเครื่องหมาย

ก)

ในตัวอย่างเหล่านี้ ทุกอย่างราบรื่น (ดูส่วนท้ายของบทเรียน) แต่ที่จริงแล้ว เพื่อทำงานดังกล่าวให้สำเร็จ เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์อาจไม่เพียงพอ.

ประเด็นคือมีกรณี "ขอบเขต" กล่าวคือ ถ้าสำหรับใด ๆ ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ แล้วกำหนดรูปร่าง ไม่เป็นลบ, ถ้า - แล้ว ไม่เป็นบวก. แบบฟอร์มเหล่านี้มี ไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ที่

ที่นี่คุณสามารถนำ "หีบเพลงปุ่ม" ดังกล่าว:

ไฮไลท์ สี่เหลี่ยมเต็มเราเห็นทันที ไม่เป็นลบ form: ยิ่งไปกว่านั้น มันจะเท่ากับศูนย์สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ที่มีพิกัดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น .

ตัวอย่าง "กระจก" ไม่เป็นบวกแบบฟอร์มบางอย่าง:

และตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ เพิ่มเติม:
– ในที่นี้ แบบฟอร์มมีค่าเท่ากับศูนย์สำหรับเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ เป็นจำนวนที่ต้องการ

จะเปิดเผยความไม่เป็นลบหรือไม่เป็นบวกของแบบฟอร์มได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้เราต้องการแนวคิด ผู้เยาว์รายใหญ่ เมทริกซ์ ตัวรองหลักคือองค์ประกอบรองที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่จุดตัดของแถวและคอลัมน์ที่มีตัวเลขเท่ากัน ดังนั้น เมทริกซ์จึงมีตัวรองหลักสองตัวในลำดับที่ 1:
(องค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1)
(องค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 2)

และรองอันดับสองรองลงมาคือ
- ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 2 และคอลัมน์ที่ 1, 2

เมทริกซ์ "สามคูณสาม" มีผู้เยาว์หลักเจ็ดคนและที่นี่คุณต้องโบกลูกหนูของคุณแล้ว:
- ผู้เยาว์สามคนของคำสั่งที่ 1
ผู้เยาว์สามคนของลำดับที่ 2:
- ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 2 และคอลัมน์ที่ 1, 2
- ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 1, 3 และคอลัมน์ที่ 1, 3
- ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวที่ 2, 3 และคอลัมน์ที่ 2, 3
และลำดับรองที่สาม:
- ประกอบด้วยองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1, 2, 3 และ 1, 2 และ 3
ออกกำลังกายเพื่อความเข้าใจ: จดผู้เยาว์หลักทั้งหมดของเมทริกซ์ .
เราตรวจสอบเมื่อสิ้นสุดบทเรียนและดำเนินการต่อ

เกณฑ์ชวาร์เซเน็กเกอร์:

1) กำหนดรูปแบบกำลังสองไม่เป็นศูนย์* ไม่เป็นลบก็ต่อเมื่อผู้เยาว์หลักทั้งหมดนั้น ไม่เป็นลบ(มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)

* รูปแบบกำลังสองศูนย์ (เสื่อม) มีค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์.

2) รูปแบบสมการกำลังสองที่ไม่ใช่ศูนย์พร้อมเมทริกซ์ที่กำหนดไว้ ไม่เป็นบวกถ้าหากว่า:
– ผู้เยาว์หลักของคำสั่งที่ 1 ไม่เป็นบวก(น้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์);
เป็นผู้เยาว์หลักของลำดับที่ 2 ไม่เป็นลบ;
– ผู้เยาว์หลักของคำสั่งที่ 3 ไม่เป็นบวก(เริ่มเปลี่ยนแล้ว);
…
– ผู้เยาว์รายใหญ่ของคำสั่งที่ ไม่เป็นบวก, ถ้าเป็นคี่หรือ ไม่เป็นลบ, ถ้าเท่ากัน.

หากผู้เยาว์อย่างน้อยหนึ่งคนมีเครื่องหมายตรงข้าม แบบฟอร์มจะเป็นแบบสลับสัญญาณ

ลองดูว่าเกณฑ์ทำงานอย่างไรในตัวอย่างข้างต้น:

มาสร้างเมทริกซ์รูปร่างกันและ ก่อนอื่นเลยมาคำนวณค่ามุมรองกัน - จะเป็นอย่างไรถ้ากำหนดเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

ค่าที่ได้รับไม่เป็นไปตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์อย่างไรก็ตามค่ารองที่สอง ไม่เป็นลบและทำให้จำเป็นต้องตรวจสอบเกณฑ์ที่ 2 (ในกรณีของเกณฑ์ที่ 2 จะไม่สำเร็จโดยอัตโนมัติ กล่าวคือ จะมีการสรุปผลทันทีเกี่ยวกับการสลับสัญญาณของแบบฟอร์ม).

ผู้เยาว์รายใหญ่ของคำสั่งที่ 1:
- เป็นบวก
ลำดับที่ 2 ผู้เยาว์รายใหญ่:
- ไม่เป็นลบ

ดังนั้น ผู้เยาว์รายใหญ่ทั้งหมดจึงไม่เป็นลบ ดังนั้นรูปแบบ ไม่เป็นลบ.

ลองเขียนรูปแบบเมทริกซ์ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ไม่พอใจ แต่เราก็ไม่ได้รับเครื่องหมายตรงกันข้าม (เพราะทั้งคู่มีค่าน้อยกว่าศูนย์) ดังนั้นเราจึงตรวจสอบการปฏิบัติตามเกณฑ์ของการไม่ลบ / ไม่บวก ผู้เยาว์รายใหญ่ของคำสั่งที่ 1:
- ไม่เป็นบวก
ลำดับที่ 2 ผู้เยาว์รายใหญ่:
- ไม่เป็นลบ

ดังนั้น ตามเกณฑ์ชวาร์เซเน็กเกอร์ (จุดที่ 2) รูปแบบจะถูกกำหนดแบบไม่บวก

ตอนนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาที่น่าสนุกยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบรูปแบบกำลังสองเพื่อหาความแน่นอนของเครื่องหมาย

แบบฟอร์มนี้ตกแต่งด้วยลำดับ "อัลฟา" ซึ่งสามารถเท่ากับจำนวนจริงใดๆ แต่มันจะสนุกมากขึ้นเท่านั้น ตัดสินใจ.

อย่างแรก ให้เขียนเมทริกซ์ของรูปแบบลงไป หลายคนอาจเคยดัดแปลงมาในรูปแบบปากเปล่า: on เส้นทแยงมุมหลักเราใส่สัมประสิทธิ์ที่ช่องสี่เหลี่ยมและที่ตำแหน่งสมมาตร - ค่าสัมประสิทธิ์ครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์ "ผสม" ที่เกี่ยวข้อง:

มาคำนวณค่ามุมรองกัน:

ฉันจะขยายดีเทอร์มีแนนต์ที่สามตามบรรทัดที่ 3:

รูปแบบกำลังสองคือพหุนามเอกพันธ์ของดีกรีที่ 2 ในหลายตัวแปร

รูปแบบกำลังสองในตัวแปรประกอบด้วยเงื่อนไขสองประเภท: กำลังสองของตัวแปรและผลคูณของคู่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์บางอย่าง เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนรูปแบบกำลังสองในรูปแบบของแผนภาพต่อไปนี้:

คู่คำที่คล้ายกันเขียนด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกัน ดังนั้นแต่ละคู่จึงเป็นครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์ที่สอดคล้องกันของตัวแปร ดังนั้นรูปแบบกำลังสองแต่ละรูปจึงสัมพันธ์กับเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ซึ่งสมมาตร

นอกจากนี้ยังสะดวกในการแสดงรูปแบบกำลังสองในสัญกรณ์เมทริกซ์ต่อไปนี้ ระบุ X คอลัมน์ของตัวแปรโดย X - แถว นั่นคือ เมทริกซ์ที่ย้ายด้วย X จากนั้น

รูปแบบกำลังสองพบได้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้

ในทฤษฎีจำนวนและผลึกศาสตร์ รูปแบบกำลังสองได้รับการพิจารณาภายใต้สมมติฐานที่ว่าตัวแปรรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น ในเรขาคณิตวิเคราะห์ รูปแบบกำลังสองเป็นส่วนหนึ่งของสมการของเส้นโค้ง (หรือพื้นผิว) ของลำดับ ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ รูปกำลังสองดูเหมือนจะแสดงพลังงานจลน์ของระบบในแง่ขององค์ประกอบของความเร็วทั่วไป ฯลฯ แต่นอกจากนี้ การศึกษารูปแบบกำลังสองยังจำเป็นในการวิเคราะห์เมื่อศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ในคำถามสำหรับวิธีแก้ปัญหาซึ่งเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องค้นหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดในบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนดนั้นเบี่ยงเบนไปจากฟังก์ชันเชิงเส้นที่ใกล้เคียงกันอย่างไร ตัวอย่างของปัญหาประเภทนี้คือการศึกษาฟังก์ชันค่าสูงสุดและต่ำสุด

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาในการสำรวจค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวที่มีอนุพันธ์ย่อยบางส่วนอย่างต่อเนื่องตามลำดับ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดที่จะกำหนดค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันคือความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์ของอนุพันธ์ย่อยของคำสั่ง ณ จุดนั้น สมมติว่าตรงตามเงื่อนไขนี้ เราให้ตัวแปร x และ y เพิ่มขึ้นทีละน้อยและ k และพิจารณาการเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน ตามสูตร Taylor การเพิ่มขึ้นนี้ขึ้นไปถึงลำดับที่สูงกว่าเล็กน้อยจะเท่ากับรูปแบบกำลังสองโดยที่ค่าของวินาทีคือ อนุพันธ์ที่คำนวณ ณ จุด หากรูปแบบกำลังสองนี้เป็นค่าบวกสำหรับค่าทั้งหมดของและ k (ยกเว้นฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดที่จุดหนึ่ง หากเป็นค่าลบ แสดงว่ามีค่าสูงสุด สุดท้าย หากรูปร่างใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ จะไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด ศึกษาหน้าที่ของตัวแปรจำนวนมากในลักษณะเดียวกัน

การศึกษารูปแบบกำลังสองส่วนใหญ่ประกอบด้วยการศึกษาปัญหาความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งชุดหรือชุดอื่น รูปแบบกำลังสองสองรูปแบบเรียกว่าเท่ากัน ถ้ารูปแบบใดรูปแบบหนึ่งสามารถแปลงเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้โดยใช้การแปลงแบบใดแบบหนึ่งของเซตที่กำหนด ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาความเท่าเทียมกันคือปัญหาการลดรูป กล่าวคือ แปลงเป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด

ในคำถามต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง จะพิจารณาชุดการแปลงตัวแปรต่างๆ ที่ยอมรับได้

ในคำถามของการวิเคราะห์ การแปลงตัวแปรที่ไม่ใช่เอกพจน์จะถูกนำไปใช้ สำหรับวัตถุประสงค์ของเรขาคณิตวิเคราะห์ การแปลงมุมฉากเป็นสิ่งที่น่าสนใจมากที่สุด กล่าวคือ การแปลงที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตัวแปรหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง ในที่สุด ในทฤษฎีจำนวนและในผลึกศาสตร์ จะพิจารณาการแปลงเชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับหนึ่ง

เราจะพิจารณาปัญหาสองข้อนี้: คำถามเรื่องการลดรูปกำลังสองให้อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุดโดยใช้การแปลงที่ไม่ใช่เอกพจน์ และคำถามเดียวกันสำหรับการแปลงมุมฉาก ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองถูกแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้นของตัวแปรอย่างไร

ให้ โดยที่ A คือเมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์รูปแบบ X คือคอลัมน์ของตัวแปร

ลองทำการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของตัวแปรโดยเขียนในรูปแบบย่อ ที่นี่ C หมายถึงเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของการแปลงนี้ X คือคอลัมน์ของตัวแปรใหม่ จากนั้นและด้วยเหตุนี้ ดังนั้นเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองที่แปลงแล้วคือ

เมทริกซ์จะกลายเป็นสมมาตรโดยอัตโนมัติ ซึ่งตรวจสอบได้ง่าย ดังนั้น ปัญหาของการลดรูปกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดจึงเท่ากับปัญหาของการลดเมทริกซ์สมมาตรให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดโดยการคูณมันจากด้านซ้ายและขวาโดยเมทริกซ์ทรานสโพสระหว่างกัน

รูปแบบกำลังสอง

รูปสี่เหลี่ยม f(x 1, x 2,..., x n) ของตัวแปร n เรียกว่า ผลรวม ซึ่งแต่ละพจน์นั้นอาจเป็นกำลังสองของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง หรือผลคูณของตัวแปรสองตัวแปรที่แตกต่างกัน นำมาด้วยสัมประสิทธิ์บางประการ: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji)

เมทริกซ์ A ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์เหล่านี้เรียกว่าเมทริกซ์รูปแบบกำลังสอง มันเสมอ สมมาตรเมทริกซ์ (เช่น เมทริกซ์สมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก a ij = a ji)

ในสัญกรณ์เมทริกซ์ รูปแบบกำลังสองมีรูปแบบ f(X) = X T AX โดยที่

อย่างแท้จริง

ตัวอย่างเช่น ลองเขียนรูปแบบกำลังสองในรูปแบบเมทริกซ์

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง องค์ประกอบในแนวทแยงเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่ช่องสี่เหลี่ยมของตัวแปร และองค์ประกอบที่เหลือจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของรูปแบบกำลังสอง นั่นเป็นเหตุผลที่

ให้คอลัมน์เมทริกซ์ของตัวแปร X ได้มาโดยการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพของคอลัมน์เมทริกซ์ Y นั่นคือ X = CY โดยที่ C เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เสื่อมของลำดับ n แล้วรูปกำลังสอง
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

ดังนั้นภายใต้การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพ C เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองจะมีรูปแบบดังนี้: A * = CT AC

ตัวอย่างเช่น ลองหารูปแบบกำลังสอง f(y 1, y 2) ที่ได้จากรูปแบบกำลังสอง f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 โดยการแปลงเชิงเส้น

รูปสมการกำลังสองเรียกว่า บัญญัติ(มันมี มุมมองที่เป็นที่ยอมรับ) ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของมัน a ij = 0 สำหรับ i ≠ j นั่นคือ
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

เมทริกซ์ของมันคือแนวทแยง

ทฤษฎีบท(ไม่ได้ให้หลักฐานที่นี่) รูปแบบกำลังสองใดๆ สามารถถูกลดขนาดเป็นรูปแบบบัญญัติได้โดยใช้การแปลงเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพ

ตัวอย่างเช่น ให้เราลดรูปแบบบัญญัติของรูปแบบกำลังสอง
ฉ (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3

ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นให้เลือกสี่เหลี่ยมเต็มสำหรับตัวแปร x 1:

ฉ (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3

ตอนนี้เราเลือกสี่เหลี่ยมเต็มสำหรับตัวแปร x 2:

ฉ (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2

จากนั้นการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เสื่อม y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 และ y 3 \u003d x 3 นำรูปแบบกำลังสองนี้มาสู่รูปแบบบัญญัติ f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

โปรดทราบว่ารูปแบบบัญญัติของรูปแบบกำลังสองถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ (รูปแบบกำลังสองเดียวกันสามารถลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติในรูปแบบต่างๆ) อย่างไรก็ตาม รูปแบบบัญญัติที่ได้มาจากวิธีการต่างๆ มีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเทอมที่มีค่าสัมประสิทธิ์บวก (ลบ) ของรูปแบบกำลังสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าแบบฟอร์มถูกลดขนาดลงในรูปแบบนี้อย่างไร (ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่พิจารณาแล้วจะมีค่าสัมประสิทธิ์ค่าลบสองตัวและค่าสัมประสิทธิ์บวกหนึ่งค่าเสมอ) คุณสมบัตินี้เรียกว่า กฎความเฉื่อยของรูปกำลังสอง.

ให้เราตรวจสอบสิ่งนี้โดยลดรูปสี่เหลี่ยมเดียวกันให้อยู่ในรูปแบบบัญญัติในรูปแบบที่ต่างออกไป มาเริ่มการแปลงด้วยตัวแปร x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((16) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 โดยที่ y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 และ y 3 = x 1 . ในที่นี้ สัมประสิทธิ์บวก 2 สำหรับ y 3 และสัมประสิทธิ์เชิงลบสองตัว (-3) สำหรับ y 1 และ y 2 (และใช้วิธีอื่น เราได้สัมประสิทธิ์บวก 2 สำหรับ y 1 และสัมประสิทธิ์เชิงลบสองตัว - (-5) สำหรับ y 2 และ (-1 /20) สำหรับปี 3)

ควรสังเกตด้วยว่าอันดับของเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองเรียกว่า ยศของรูปสมการกำลังสองเท่ากับจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของรูปแบบบัญญัติและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น

รูปแบบกำลังสอง f(X) เรียกว่า ในแง่บวก (เชิงลบ) แน่ใจหากค่าทั้งหมดของตัวแปรไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันจะเป็นค่าบวก กล่าวคือ f(X) > 0 (ติดลบ คือ
ฉ(X)< 0).

ตัวอย่างเช่น รูปแบบกำลังสอง f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 เป็นค่าบวกแน่นอนเพราะ คือผลรวมของกำลังสองและรูปแบบกำลังสอง f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 เป็นค่าลบแน่นอนเพราะ แสดงว่าสามารถแสดงเป็น f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2

ในสถานการณ์เชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ การสร้างความแน่นอนของเครื่องหมายของรูปแบบกำลังสองค่อนข้างยาก ดังนั้นจึงใช้หนึ่งในทฤษฎีบทต่อไปนี้สำหรับสิ่งนี้ (เรากำหนดมันโดยไม่มีการพิสูจน์)

ทฤษฎีบท. รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวก (ค่าลบ) เฉพาะในกรณีที่ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นค่าบวก (ค่าลบ)

ทฤษฎีบท (เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์). รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อตัวรองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์ของแบบฟอร์มนี้เป็นค่าบวก

วิชาเอก (มุม) ผู้เยาว์ลำดับที่ k ของเมทริกซ์ A ของลำดับที่ n เรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย k แถวและคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A ()

โปรดทราบว่าสำหรับรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนลบ เครื่องหมายของผู้เยาว์หลักจะสลับกัน และอันดับรองลงมาอันดับแรกต้องเป็นค่าลบ

ตัวอย่างเช่น เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสอง f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 สำหรับการกำหนดเครื่องหมาย

= (2 - ลิตร)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ดังนั้นรูปแบบกำลังสองจึงเป็นค่าบวกแน่นอน

วิธีที่ 2 ผู้เยาว์หลักของลำดับแรกของเมทริกซ์ AD 1 = a 11 = 2 > 0 ผู้เยาว์หลักของลำดับที่สอง D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0 ดังนั้น ตามเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ รูปแบบกำลังสองเป็นค่าบวกแน่นอน

เราตรวจสอบรูปแบบกำลังสองอื่นสำหรับการกำหนดเครื่องหมาย f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2

วิธีที่ 1 มาสร้างเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง А = . สมการคุณลักษณะจะมีรูปแบบ = (-2 - ลิตร)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ดังนั้นรูปแบบกำลังสองจึงเป็นค่าลบแน่นอน

ในส่วนนี้เราจะเน้นที่รูปแบบกำลังสองที่เป็นบวกพิเศษแต่มีความสำคัญ

คำจำกัดความ 3 รูปแบบกำลังสองที่แท้จริงเรียกว่า non-negative (non-positive) หากมีค่าจริงของตัวแปร

. (35)

ในกรณีนี้ เมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์เรียกว่า semidefinite บวก (negative semidefinite)

คำจำกัดความ 4 รูปแบบกำลังสองจริงเรียกว่า positive-definite (negative-definite) ถ้าค่าจริงใด ๆ ของตัวแปรที่ไม่เท่ากับศูนย์

. (36)

ในกรณีนี้ เมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่า positive definite (negative definite)

คลาสของรูปแบบ positive-definite (negative-definite) เป็นส่วนหนึ่งของคลาสของรูปแบบที่ไม่เป็นลบ (ตามลำดับ non-positive)

ให้รูปแบบที่ไม่เป็นลบ เราแสดงเป็นผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมอิสระ:

. (37)

ในการแสดงนี้ สี่เหลี่ยมทั้งหมดต้องเป็นค่าบวก:

. (38)

อันที่จริงหากมีสิ่งใด ก็สามารถเลือกค่าดังกล่าวได้ซึ่ง

แต่สำหรับค่าตัวแปรเหล่านี้ แบบฟอร์มจะมีค่าลบ ซึ่งเงื่อนไขเป็นไปไม่ได้ ในทางกลับกัน จาก (37) และ (38) เห็นได้ชัดว่ารูปแบบเป็นค่าบวก

ดังนั้นรูปแบบกำลังสองที่ไม่เป็นลบจึงมีลักษณะความเท่าเทียมกัน

ให้ตอนนี้เป็นรูปแบบที่แน่นอนในเชิงบวก แล้วก็รูปแบบที่ไม่เป็นลบด้วย ดังนั้นจึงสามารถแสดงในรูปแบบ (37) ซึ่งทั้งหมดเป็นค่าบวก ตามมาจากความแน่นอนเชิงบวกของรูปแบบที่ว่า อันที่จริง ในกรณีนี้ คุณสามารถเลือกค่าที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกันได้ ซึ่งทั้งหมดจะหายไป แต่แล้วโดยอาศัยอำนาจตาม (37) ที่ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข (36)

มันง่ายที่จะเห็นว่า ในทางกลับกัน ถ้าใน (37) และทั้งหมดเป็นค่าบวก แสดงว่าเป็นรูปแบบที่แน่นอนในเชิงบวก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รูปแบบที่ไม่เป็นลบจะเป็นค่าบวกแน่นอนก็ต่อเมื่อมันไม่ใช่เอกพจน์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เกณฑ์สำหรับความแน่นอนเชิงบวกของรูปแบบในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องพึงพอใจโดยสัมประสิทธิ์ของแบบฟอร์ม ในกรณีนี้ มีการใช้สัญกรณ์ที่พบในส่วนก่อนหน้าสำหรับตัวรองหลักที่ต่อเนื่องกันของเมทริกซ์:

.

ทฤษฎีบทที่ 3 เพื่อให้รูปสมการกำลังสองมีค่าแน่นอน จำเป็นและเพียงพอที่อสมการ

การพิสูจน์. ความเพียงพอของเงื่อนไข (39) เป็นไปตามโดยตรงจากสูตรจาโคบี (28) ความจำเป็นของเงื่อนไข (39) กำหนดไว้ดังนี้ จากความแน่นอนเชิงบวกของแบบฟอร์มตามความแน่นอนเชิงบวกของรูปแบบ "ที่ถูกตัดทอน"

.

แต่แล้วรูปแบบเหล่านี้ทั้งหมดจะต้องไม่เป็นเอกพจน์เช่น

ตอนนี้เรามีโอกาสที่จะใช้สูตรจาโคบี (28) (สำหรับ ) เนื่องจากทางด้านขวาของสูตรนี้ ช่องสี่เหลี่ยมทั้งหมดต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น

นี่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (39) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เนื่องจากเมทริกซ์รองหลักใดๆ ที่มีการเรียงลำดับตัวแปรที่เหมาะสม สามารถวางไว้ที่มุมซ้ายบนได้ เราจึงได้

ผลที่ตามมา ในรูปแบบกำลังสองแน่นอนบวก ตัวรองหลักทั้งหมดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นบวก:

ความคิดเห็น จากการไม่ปฏิเสธของผู้เยาว์หลักที่ต่อเนื่องกัน

ไม่เป็นไปตามการไม่ปฏิเสธของแบบฟอร์ม แท้จริงแล้วรูปแบบ

,

นั้น , เป็นไปตามเงื่อนไข , แต่ไม่เป็นค่าลบ

แต่มีดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 4 เพื่อให้รูปแบบกำลังสองไม่เป็นลบ จำเป็นและเพียงพอที่ตัวรองที่สำคัญทั้งหมดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของมันคือไม่เป็นลบ:

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำรูปแบบเสริมที่ไม่เป็นบวกซึ่งจำเป็นและเพียงพอที่ความไม่เท่าเทียมกัน