เมทริกซ์วิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง โฮชิน คันริ

หลักสูตรที่ 1 คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น, เราเรียน เมทริกซ์และการดำเนินการขั้นพื้นฐานกับพวกเขา ที่นี่เราจัดระบบการดำเนินการหลักที่สามารถทำได้ด้วยเมทริกซ์ จะเริ่มต้นกับเมทริกซ์ได้อย่างไร? แน่นอน จากคำจำกัดความที่ง่ายที่สุด แนวคิดพื้นฐาน และการดำเนินการที่ง่ายที่สุด เรารับรองกับคุณว่าทุกคนที่อุทิศเวลาให้กับพวกเขาอย่างน้อยจะเข้าใจเมทริกซ์!

นิยามเมทริกซ์

เมทริกซ์เป็นตารางองค์ประกอบสี่เหลี่ยม ถ้า ภาษาธรรมดา- ตารางตัวเลข

เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ ด้วยตัวอักษรละติน. ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ก เมทริกซ์ ข และอื่น ๆ เมทริกซ์อาจมีขนาดต่างกัน: สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์แถวและเมทริกซ์คอลัมน์ที่เรียกว่าเวกเตอร์ ขนาดของเมทริกซ์ถูกกำหนดโดยจำนวนแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่นลองเขียน เมทริกซ์สี่เหลี่ยมขนาด ม บน น , ที่ไหน ม คือจำนวนบรรทัด และ น คือจำนวนคอลัมน์

องค์ประกอบที่ ฉัน=เจ (a11, a22, .. ) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และเรียกว่าเส้นทแยงมุม

เมทริกซ์ทำอะไรได้บ้าง? เพิ่ม/ลบ, คูณด้วยตัวเลข, ทวีคูณกันเอง, ย้าย. ตอนนี้เกี่ยวกับการดำเนินการพื้นฐานเหล่านี้ในเมทริกซ์ตามลำดับ

การดำเนินการบวกและการลบเมทริกซ์

เราเตือนคุณทันทีว่าคุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น ผลลัพธ์คือเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน การเพิ่ม (หรือการลบ) เมทริกซ์เป็นเรื่องง่าย - เพียงเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง . ลองมาเป็นตัวอย่าง ลองบวกสองเมทริกซ์ A และ B ขนาดสองคูณสอง

การลบดำเนินการโดยการเปรียบเทียบโดยใช้เครื่องหมายตรงกันข้ามเท่านั้น

เมทริกซ์ใด ๆ สามารถคูณด้วยจำนวนใดก็ได้ เพื่อทำสิ่งนี้, คุณต้องคูณด้วยจำนวนนี้แต่ละองค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น ลองคูณเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรกด้วยเลข 5:

การดำเนินการคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ทั้งหมดไม่สามารถคูณกันได้ ตัวอย่างเช่น เรามีเมทริกซ์สองตัว - A และ B สามารถคูณกันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ผลลัพธ์ในแถวที่ i และ คอลัมน์ j-th, จะ เท่ากับผลรวมผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้องใน ผม-th บรรทัดปัจจัยที่หนึ่งและคอลัมน์ที่ j ของวินาที. เพื่อให้เข้าใจอัลกอริทึมนี้ ลองเขียนวิธีการคูณเมทริกซ์กำลังสอง:

และตัวอย่างด้วยจำนวนจริง มาคูณเมทริกซ์กัน:

การดำเนินการย้ายเมทริกซ์

การขนย้ายเมทริกซ์เป็นการดำเนินการที่มีการสลับแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เราย้ายเมทริกซ์ A จากตัวอย่างแรก:

เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์

ดีเทอร์มีแนนต์ โอ้ ดีเทอร์มิแนนต์ เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้น เมื่อมีคนเข้ามาด้วย สมการเชิงเส้นและเบื้องหลังนั้น เราต้องคิดค้นดีเทอร์มีแนนต์ ในท้ายที่สุด มันก็ขึ้นอยู่กับคุณแล้วที่จะจัดการกับสิ่งเหล่านี้ ดังนั้นการผลักดันครั้งสุดท้าย!

ตัวกำหนดคือ ลักษณะที่เป็นตัวเลขตารางเมทริกซ์ซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสองที่ง่ายที่สุด คุณต้องคำนวณความแตกต่างระหว่างผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง ซึ่งก็คือ ประกอบด้วยองค์ประกอบหนึ่ง เท่ากับองค์ประกอบนี้

เกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์เป็นสามคูณสาม? สิ่งนี้ยากกว่า แต่ก็สามารถทำได้

สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักและผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมโดยมีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งผลคูณขององค์ประกอบ ของเส้นทแยงมุมทุติยภูมิและผลคูณขององค์ประกอบที่วางอยู่บนสามเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกับเส้นทแยงมุมทุติยภูมิจะถูกลบออก

โชคดีที่ในทางปฏิบัติแทบจะไม่จำเป็นต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่

เราได้พิจารณาการดำเนินการพื้นฐานของเมทริกซ์แล้ว แน่นอนใน ชีวิตจริงอาจไม่เคยแม้แต่จะพบเจอคำใบ้ของ ระบบเมทริกซ์สมการหรือในทางกลับกัน - เพื่อเผชิญหน้าอีกมากมาย กรณีที่ยากเมื่อคุณต้องหัวแตกจริงๆ สำหรับกรณีดังกล่าวมีบริการนักเรียนมืออาชีพ ขอความช่วยเหลือ, รับคุณภาพและ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสนุกกับความสำเร็จทางวิชาการและเวลาว่าง

สมการเมทริกซ์เป็นสมการของรูปแบบ

ก ⋅ เอ็กซ์ = ข

เอ็กซ์ ⋅ ก = ข ,

ที่ไหน กและ ข- เมทริกซ์ที่รู้จัก เอ็กซ์ - เมทริกซ์ที่ไม่รู้จักที่จะพบ

จะแก้สมการเมทริกซ์ในกรณีแรกได้อย่างไร? ในการแก้สมการเมทริกซ์ของฟอร์ม ก ⋅ เอ็กซ์ = ข ทั้งสองส่วนควรคูณด้วยส่วนผกผันของ กเมทริกซ์ด้านซ้าย:

ตามนิยามของเมทริกซ์ผกผัน ผลคูณของเมทริกซ์ผกผันและเมทริกซ์ดั้งเดิมที่กำหนดจะเท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์: ดังนั้น

.

เพราะ อี - เมทริกซ์เอกลักษณ์, ที่ อี ⋅ เอ็กซ์ = เอ็กซ์ . เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์เท่ากับผลคูณของเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ กไปทางซ้ายบนเมทริกซ์ ข :

จะแก้สมการเมทริกซ์ในกรณีที่สองได้อย่างไร? กำหนดสมการ

เอ็กซ์ ⋅ ก = ข ,

นั่นคือหนึ่งในผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์และเมทริกซ์ที่รู้จัก กเมทริกซ์ กอยู่ทางขวา คุณต้องทำคล้ายๆ กัน แต่เปลี่ยนทิศทางการคูณด้วยเมทริกซ์ การผกผันของเมทริกซ์ กและคูณเมทริกซ์ ขด้านขวาของเธอ:

,

อย่างที่คุณเห็น มันสำคัญมากที่จะคูณเมทริกซ์ผกผันจากด้านไหน . กลับไป กเมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ ขจากด้านที่เมทริกซ์ กคูณด้วยเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์. นั่นคือจากด้านที่ผลิตภัณฑ์ที่มีเมทริกซ์ที่ไม่รู้จักมีเมทริกซ์อยู่ ก .

จะแก้สมการเมทริกซ์ในกรณีที่สามได้อย่างไร? มีหลายกรณีที่เมทริกซ์ที่ไม่รู้จักอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ เอ็กซ์อยู่ระหว่างผลคูณของเมทริกซ์สามตัว จากนั้นเมทริกซ์ที่ทราบจากด้านขวาของสมการควรคูณทางด้านซ้ายด้วยเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ด้านบน ผลิตภัณฑ์ของสามเมทริกซ์อยู่ทางซ้าย และทางขวาของเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ที่อยู่ทางขวา ดังนั้น โดยการแก้สมการเมทริกซ์

ก ⋅ เอ็กซ์ ⋅ ข = ค ,

เป็น

.

การแก้สมการเมทริกซ์: ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการเมทริกซ์

.

ก ⋅ เอ็กซ์ = ข กและเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์เมทริกซ์ ก ข กก .

ก :

.

ก :

.

ก :

ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่จะหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ ก :

.

ในที่สุดเราก็พบเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก:

แก้สมการเมทริกซ์ด้วยตัวคุณเองแล้วดูคำตอบ

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการเมทริกซ์

.

สารละลาย. สมการนี้มีแบบฟอร์ม เอ็กซ์ ⋅ ก = ข นั่นคือในผลคูณของเมทริกซ์ กและเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์เมทริกซ์ ก ขกับเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ กก .

ก่อนอื่นเราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก :

.

ลองหาส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของเมทริกซ์กัน ก :

มาทำเมทริกซ์กัน การเพิ่มเกี่ยวกับพีชคณิต:

.

การสลับเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต เราพบว่าเมทริกซ์ที่ผันกับเมทริกซ์ ก :

ก :

.

ค้นหาเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก:

จนถึงตอนนี้ เราได้แก้สมการด้วยเมทริกซ์ของลำดับที่สอง และตอนนี้ก็ถึงคราวของเมทริกซ์ของลำดับที่สาม

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการเมทริกซ์

.

สารละลาย. นี่คือสมการประเภทแรก: ก ⋅ เอ็กซ์ = ข นั่นคือในผลคูณของเมทริกซ์ กและเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์เมทริกซ์ กอยู่ทางซ้าย จึงควรหาผลเฉลยในรูป คือ เมทริกซ์ที่ไม่ทราบค่าเท่ากับผลคูณของเมทริกซ์ ขกับเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ กซ้าย. ค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ ก .

ก่อนอื่นเราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก :

ลองหาส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของเมทริกซ์กัน ก :

มาสร้างเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตกันเถอะ:

การสลับเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต เราพบว่าเมทริกซ์ที่ผันกับเมทริกซ์ ก :

.

การหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ ก, และเราทำได้อย่างง่ายดาย, เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ กเท่ากับหนึ่ง:

.

ค้นหาเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก:

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการเมทริกซ์

.

สารละลาย. สมการนี้มีรูปแบบ เอ็กซ์ ⋅ ก = ข นั่นคือในผลคูณของเมทริกซ์ กและเมทริกซ์ที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์เมทริกซ์ กอยู่ด้านขวา จึงควรหาผลเฉลยในรูป คือ เมทริกซ์ที่ไม่ทราบค่าเท่ากับผลคูณของเมทริกซ์ ขกับเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ กด้านขวา. ค้นหาเมทริกซ์ผกผันกับเมทริกซ์ ก .

ก่อนอื่นเราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก :

ลองหาส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของเมทริกซ์กัน ก :

มาสร้างเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิตกันเถอะ:

.

การสลับเมทริกซ์ของการบวกพีชคณิต เราพบว่าเมทริกซ์ที่ผันกับเมทริกซ์ ก .

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาดม× นเรียกว่าครบองค์ มตัวเลขที่จัดอยู่ในตารางสี่เหลี่ยมของ มเส้นและ นคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถเขียนแทนด้วยหนึ่ง ตัวพิมพ์ใหญ่, ตัวอย่างเช่น, กหรือ ใน.

ใน ปริทัศน์ขนาดเมทริกซ์ ม× นเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบกันเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์. สะดวกในการจัดหาองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยสองดัชนี ไอจ: ตัวแรกระบุหมายเลขแถว และตัวที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากจำนวนแถวในเมทริกซ์เท่ากับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียกว่า สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ในการสั่งซื้อเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ที่สองคือกำลังสอง - ลำดับของมันคือ 3 และเมทริกซ์ที่สี่ - ลำดับของมันคือ 1

เมทริกซ์ที่จำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์เรียกว่า เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า. ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีแถวเดียว เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งคอลัมน์ เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียงแค่ 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคือเส้นทแยงมุมที่ลากจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่าง

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมดใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า รูปสามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบในแนวทแยงหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น หรือ.

เมทริกซ์แนวทแยงซึ่งรายการในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การกระทำบนเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์. สองเมทริกซ์ กและ ขจะเท่ากันถ้ามีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน และองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกันเท่ากัน ไอจ = ข. ดังนั้นหาก และ , ที่ เอ=บี, ถ้า ก 11 = ข 11, ก 12 = ข 12, ก 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

การขนย้าย. พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ นคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ ขจาก นเส้นและ มคอลัมน์ โดยแต่ละแถวเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) ดังนั้นหาก , ที่ .

เมทริกซ์นี้ ขเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนจาก กถึง B การขนย้าย.

ดังนั้น การขนย้ายคือการกลับบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ ก, มักจะแสดง ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและสามารถเขียนทรานสโพสได้เป็น

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ย้ายไปที่ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ให้เมทริกซ์ กและ ขประกอบด้วยจำนวนบรรทัดและ หมายเลขเดียวกันคอลัมน์เช่น มี ขนาดเดียวกัน. จากนั้นเพื่อเพิ่มเมทริกซ์ กและ ขต้องการองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ ขยืนอยู่ที่เดิม ดังนั้นผลรวมของสองเมทริกซ์ กและ ขเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ ตัวอย่างเช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสลับที่ เอ+บี=บี+เอและเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขในการคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคต้องการแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนั้น ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ ขบรรลุความเท่าเทียมกัน:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของปัจจัยเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณเฉพาะเมทริกซ์ที่มีจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (เช่น ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) งานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ ขเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ C=ABซึ่งมีส่วนประกอบดังนี้

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 ตั้งแต่วันที่ 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในคอลัมน์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้ และองค์ประกอบอื่น ๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้โดยใช้ผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกโดยคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไป ถ้าเราคูณเมทริกซ์ A = (เอจ)ขนาด ม× นเป็นเมทริกซ์ B = (บิจ)ขนาด น× หน้าแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× หน้าซึ่งมีการคำนวณองค์ประกอบดังนี้: องค์ประกอบ ซี ไอเจได้มาจากผลคูณขององค์ประกอบ ฉันแถวที่ th ของเมทริกซ์ กในองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เจคอลัมน์ที่ -th ของเมทริกซ์ ขและผลรวมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณสามารถคูณเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกันได้เสมอ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น ตารางขึ้น

กรณีสำคัญอีกกรณีหนึ่งคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์-คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์คอลัมน์แรกต้องเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์ของลำดับที่หนึ่ง (เช่น องค์ประกอบหนึ่ง) จริงหรือ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้นสิ่งเหล่านี้ ตัวอย่างง่ายๆแสดงว่าโดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์ไม่ได้สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ∙B ≠ B∙A . ดังนั้นเมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการกระจาย เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=AC+BC.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบว่าเมื่อคูณเมทริกซ์กำลังสอง กกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ อีในลำดับเดียวกัน เราได้รับเมทริกซ์อีกครั้ง ก, นอกจากนี้ AE=EA=เอ.

อาจสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสงสัยต่อไปนี้ ดังที่ทราบแล้ว ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น เช่น ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , ที่

.

แนวคิดของผู้กำหนด

ให้กำหนดเมทริกซ์อันดับสอง - เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ตัวกำหนดอันดับสองที่ตรงกับเมทริกซ์นี้คือตัวเลขที่ได้ดังนี้: ก 11 ก 22 – ก 12 ก 21.

ดีเทอร์มีแนนต์แสดงด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น ในการหาดีเทอร์มิแนนต์อันดับสอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบตามแนวทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ของลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์กำลังสองที่กำหนดของลำดับที่สาม เป็นตัวเลขที่แสดงและได้ดังนี้:

.

ดังนั้น สูตรนี้ให้การขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์อันดับสามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11 , 12 , 13และลดการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อันดับสอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดของปัจจัยสี่ ห้า ฯลฯ คำสั่งซื้อ ลดลำดับโดยขยายเหนือองค์ประกอบของแถวที่ 1 ในขณะที่เครื่องหมาย "+" และ "-" สำหรับคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้นจึงไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางของตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

, 2008.

นี่เป็นครั้งแรกในรัสเซีย คู่มือการปฏิบัติสำหรับการแนะนำ Hoshin Kanri หนึ่งในที่สุด ระบบที่มีประสิทธิภาพการพัฒนากลยุทธ์และปรับใช้แผนภายในบริษัท การพัฒนากลยุทธ์ของบริษัทไม่ใช่เรื่องง่าย แต่การนำมันไปใช้นั้นยากยิ่งกว่า ท้ายที่สุดจำเป็นต้องเปลี่ยนเป็นแผนการปฏิบัติงานเฉพาะสำหรับพนักงานแต่ละคน ทำอย่างไร? Toyota, Bridgestone และ Komatsu ใช้เทคนิค Hoshin kanri และหนังสือเล่มนี้เป็นคู่มือเชิงปฏิบัติเล่มแรกในประเทศของเราเกี่ยวกับการนำแนวคิดนี้ไปปฏิบัติ หนังสือมาพร้อมกับ วัสดุเพิ่มเติมวี ในรูปแบบอิเล็กทรอนิกส์. วัสดุประกอบด้วย โต๊ะว่างเอกสารและคำแนะนำในการกรอกข้อมูลซึ่งทีมงาน hoshin จะต้องดำเนินการเมื่อทำงาน เนื้อหาทั้งหมดถูกโพสต์บนเว็บไซต์www.icss.ac.ru/books ในหน้าหนังสือ "Hoshin kanri: วิธีทำให้กลยุทธ์ได้ผล"

โฮชินคันริคืออะไร

Hoshin kanri อาจมีความหมายอย่างมากต่อองค์กร เป็นทั้งวิธีการวางแผนเชิงกลยุทธ์และเครื่องมือในการจัดการ โครงการที่ซับซ้อนและระบบการจัดการคุณภาพที่คำนึงถึงความต้องการและความปรารถนาของผู้บริโภคในการพัฒนาผลิตภัณฑ์ใหม่ และ ระบบปฏิบัติการบริษัทที่ให้ผลกำไรเติบโตอย่างแข็งแกร่ง นอกจากนี้ยังเป็นวิธีการจัดการข้ามสายงานและการรวมห่วงโซ่อุปทานในกระบวนการผลิตแบบลีน แต่เหนือสิ่งอื่นใด hoshin kanri เป็นวิธีการหนึ่ง การเรียนรู้ขององค์กรและ ระบบการสร้างทรัพยากรที่แข่งขันได้.

บน ญี่ปุ่นอักษรอียิปต์โบราณในคำว่า "kanry" หมายถึง ควบคุม, ควบคุม. อักษรอียิปต์โบราณในคำว่า "โฮชิน" สามารถแปลได้ว่า ทิศทางและ เข็มส่องแสงและทั้งหมดรวมกันเป็น เข็มทิศ. ตามกฎแล้วอักษรอียิปต์โบราณเหล่านี้แปลว่า นโยบายดังนั้นคุณมักจะเห็นคำแปลของ hoshin kanri: การจัดการนโยบายหรือการปรับใช้นโยบาย สำหรับผู้อ่านที่ใช้ภาษาอังกฤษส่วนใหญ่คำว่า นโยบายทำให้เกิดการเชื่อมโยงกับโลกของระบบราชการทันที ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเรียนรู้ขององค์กร ดังนั้น เพื่อจุดประสงค์ของคู่มือนี้ เราจะใช้คำศัพท์ภาษาญี่ปุ่นดั้งเดิมคือ hoshin kanri

Hoshin Kanri Basics - การทดลองแบบฝัง, X-Matrix และการสร้างทีม

ในบทนี้ เราจะสำรวจพื้นฐานของ hoshin kanri ใน ตารางที่ 1-1 (ตอนที่ 1 ตอนที่ 2)ได้รับ "แผนที่ถนน" - แบบแผนแบ่งเป็นระยะของ hoshin kanri ( สำรวจ - วางแผน - ทำ - ตรวจสอบ - ลงมือทำ) ซึ่งคณะทำงาน (หรือทีม) ต่างๆ จะยึดถือปฏิบัติ งานปฏิบัติสำหรับการแนะนำของ hoshin kanri ตามที่ระบุไว้ในบทนำ คู่มือนี้มีโครงสร้างตามวงจร PDCA ( วางแผน - ทำ - ตรวจสอบ - ลงมือทำ) และตรรกะเบื้องหลังกระบวนการแบบเป็นขั้นเป็นตอนของโฮชินคันริ ในระหว่างขั้นตอนการสำรวจ ทีมจะดำเนินการ งานบางอย่างก่อนดำเนินการ วงจร PDCAภายในโฮชินคันริ ที่เวที "วางแผน"กลยุทธ์หรือลำดับการทดลองได้รับการพัฒนา มีการคัดเลือกและจัดตั้งทีม และมอบหมายความรับผิดชอบให้กับทีมวางแผนและดำเนินการทั้งสี่ทีม ที่เวที "ทำ"ในกระบวนการจัดการโครงการและการจัดฝึกอบรมสำหรับบุคลากร ผู้นำได้รับการฝึกอบรมและดำเนินการตามแผนพัฒนา เวที "ตรวจสอบ"เกี่ยวข้องกับองค์กรในการติดตามและประเมินผลอย่างสม่ำเสมอ เวที "อิทธิพล"มีเป้าหมายเพื่อให้โฮชินคันริเป็นส่วนหนึ่งของวัฒนธรรมองค์กรผ่านการสร้างมาตรฐานและการปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

รูปแบบทีละขั้นตอนของ hoshin kanri ยังระบุถึงความจำเป็นในการจัดตั้งทีมผู้เชี่ยวชาญ ซึ่งแต่ละคนควรรับผิดชอบการทดลองบางอย่าง จำเป็นต้องมีทีมหรือคณะทำงานหลายกลุ่ม ทีมแรกที่คุณต้องสร้างคือทีมโฮชิน โดยทั่วไปแล้ว ทีมโฮชินคือทีมผู้บริหารที่รับผิดชอบหน่วยธุรกิจเฉพาะ (ทั้งบริษัทหรือแผนกเดียว สาขา แบรนด์ สายผลิตภัณฑ์ แผนก ไซต์งาน หรือสายธารแห่งคุณค่า) เพื่อความสะดวก เราจะเรียกทีมผู้บริหารว่าทีมผู้บริหารโฮชิน หรือทีมโฮชิน ต่อมาในบทนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีการเลือกสมาชิกสำหรับทีมโฮชิน

ตามบริษัท ไซเบอร์นอตซ์ซึ่งตัวอย่างที่เราใช้เพื่ออธิบายกระบวนการโฮชิน เราจะถือว่าทีมผู้บริหารเป็นผู้รับผิดชอบสายธารแห่งคุณค่าโดยรวม ในความเป็นจริง คุณสามารถเลือกจุดเริ่มต้นใดก็ได้ที่เหมาะกับเงื่อนไขของคุณ ตัวอย่างเช่น ทีม hoshin อาจเป็นหุ้นส่วนของบริษัทไพรเวทอิควิตี้ซึ่งกำลังกำหนดกลยุทธ์เพื่อเพิ่มมูลค่าของการถือครอง หรือทีมโฮชินอาจจะเป็นตามที่อธิบายไว้ในหนังสือ Implementing Lean Management ผู้จัดการโรงงานและผู้ใต้บังคับบัญชาของเขาที่พัฒนาโปรแกรม TPM (Total Machine Maintenance) หรืออาจเป็นหัวหน้าแผนกซึ่งเป็นผู้ใต้บังคับบัญชาโดยตรง ซึ่งเป็นผู้กำหนดกลยุทธ์ในการปรับปรุงแผนก เมื่อใดก็ตามที่คุณตัดสินใจที่จะเริ่มกระบวนการ hoshin ทีมผู้บริหารของ hoshin ควรมีผู้มีส่วนได้ส่วนเสียหลัก ตัวแทนของหน่วยธุรกิจที่จะปรับใช้ hoshin หรือกลยุทธ์ที่ถูกสร้างขึ้นจะถูกนำไปใช้ ซึ่งหมายความว่าทีมต้องทำงานหลายหน้าที่ (นั่นคือรวมตัวแทนของแผนกตามหน้าที่ต่างๆ) หรือ - ดังตัวอย่างสายธารคุณค่าที่แสดงในกรณีศึกษา Cybernautx ของเรา - เป็นองค์กรระหว่างองค์กร (นั่นคือ รวมตัวแทนจากบริษัทต่างๆ)

ก่อนจัดตั้งทีม บริษัทจำเป็นต้องศึกษาข้อมูลธุรกิจ

สภาพแวดล้อมเพื่อกำหนดปัญหาหรือปัญหาที่กลยุทธ์ควรระบุ การวิจัยที่จำเป็นสามารถทำได้โดยทีม hoshin หรือตามที่คุณเลือก สามารถมอบหมายหน้าที่นี้ให้กับผู้เชี่ยวชาญเฉพาะทางได้ (ในหนังสือของเรา ทีม hoshin ทำการวิจัย) หลังจากการวิเคราะห์เสร็จสิ้น ทีม hoshin จะพัฒนากลยุทธ์และสร้าง X-matrix เพื่อให้บริษัทสามารถนำเสนอกลยุทธ์ทางธุรกิจในรูปแบบการทดลอง รวมถึงการทดลอง hoshin ทั้งเจ็ด เพื่อแก้ปัญหาหรืองานที่ระบุ เมื่อพัฒนากลยุทธ์ ทีมโฮชินจะกำหนดกลยุทธ์ทุกอย่าง องค์ประกอบที่สำคัญรวมถึงการทดลองโฮชินครั้งแรกจากทั้งหมดเจ็ดครั้งตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง

การทดลอง Hoshin Kanri เจ็ดครั้ง

ผลลัพธ์สุดท้ายของการใช้กลยุทธ์ไม่เป็นที่รู้จักสำหรับทุกคนล่วงหน้า (และนี่ กลยุทธ์คล้ายกับ สมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลยุทธ์แบบไดนามิกที่เกี่ยวข้องกับการปรับปรุงการดำเนินธุรกิจของคุณ หากต้องการทราบว่าเกิดอะไรขึ้น คุณต้องดำเนินการ ในบริบทการวิจัยนี้ แผนของคุณจะกลายเป็น "การทดลอง" "การทดลอง" เหล่านี้ดำเนินการภายใต้สภาวะควบคุม เวิร์กโฟลว์ที่เป็นมาตรฐานอนุญาตให้ผู้จัดการแต่ละคนและพนักงานแต่ละคนมีส่วนร่วมในกระบวนการ hoshin kanri เพื่อทดสอบสมมติฐาน เช่น ความเป็นไปได้ของกลยุทธ์ที่บริษัทของคุณเลือก

การทดลอง Hoshin kanri ดำเนินการโดยเครือข่ายของคณะทำงาน ซึ่งรวมถึงผู้จัดการระดับสูง ผู้จัดการระดับกลาง และ - โดยไม่ล้มเหลวในขั้นตอน "ทำ" - บุคลากรที่ทำงานทั้งหมด การทดลองแต่ละครั้งของวงจร PDCA ในระบบ hoshin kanri มีหน้าที่ของตัวเอง ซึ่งขึ้นอยู่กับระยะเวลาของการทดลองนี้และความสัมพันธ์อย่างไรกับ เป้าหมายร่วมกันองค์กร โดยทั่วไป ยิ่งวงจรยาวเท่าใด ระดับความรับผิดชอบในลำดับชั้นการจัดการก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น กระบวนการของ hoshin kanri ไม่มีที่สิ้นสุด วงจรการปรับปรุงเชิงกลยุทธ์จะเกิดขึ้นซ้ำปีละครั้ง บริษัทบน ชั้นต้นการเปลี่ยนแปลงที่เพิ่งเริ่มใช้ Lean หรือ Six Sigma รอบแรกอาจใช้เวลาถึง 18 เดือนจึงจะเสร็จสมบูรณ์ และบริษัทต่างๆ ที่ก้าวไปตามเส้นทางนี้อย่างรวดเร็วสามารถทำซ้ำวงจรปีละสองครั้งเพื่อเร่งการเรียนรู้ขององค์กร

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ทีมโฮชินมีหน้าที่รับผิดชอบในการดำเนินการทดลองสามรายการแรกในระบบโฮชิน ที่เวที "วางแผน"ทีมโฮชินจะช่วยจัดรูปแบบและกระจายความรับผิดชอบสำหรับการทดลองสี่ครั้งล่าสุดให้กับทีมประเภทอื่นๆ อีกสามประเภท ซึ่งแต่ละประเภทจะมีชุดงานของตัวเองสำหรับแต่ละรอบ "วางแผน - ทำ - ตรวจสอบ - ลงมือทำ". จะมีการสร้างทีมยุทธวิธีหลายทีม - ประมาณหนึ่งทีมสำหรับสมาชิกแต่ละคนของทีมโฮชิน ทีมปฏิบัติการหลายทีม และทีมปฏิบัติการจำนวนมากขึ้น ในตอนท้ายของขั้นตอน "วางแผน"คุณจะสามารถมีส่วนร่วมกับผู้จัดการทุกคนในกระบวนการโฮชิน สุดท้ายที่เวที "ทำ"โดยการจัดตั้งทีมนักแสดง คุณจะได้รับการมีส่วนร่วมในกระบวนการโฮชินของทีมงานทั้งหมดในทุกระดับองค์กรในบริษัทของคุณ

ให้มีเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n

เรียกว่าเมทริกซ์ A -1 เมทริกซ์ผกผันเกี่ยวกับเมทริกซ์ A ถ้า A * A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดอยู่ในแนวทแยงหลักโดยผ่านจากทางซ้าย มุมบนที่มุมล่างขวาคือค่าหนึ่งและค่าที่เหลือคือศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่ สำหรับ เมทริกซ์สี่เหลี่ยม เหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน

ทฤษฎีบทเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่เมทริกซ์จะไม่เสื่อมสภาพ

เรียกว่าเมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) ไม่เสื่อมถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่า อันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้มีอยู่ เมทริกซ์ผกผันมีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับขนาดของมัน เช่น r = น.

อัลกอริทึมสำหรับหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ลงในตารางเพื่อแก้ระบบสมการโดยวิธี Gauss และทางด้านขวา (แทนที่ส่วนที่ถูกต้องของสมการ) กำหนดเมทริกซ์ E ให้กับมัน
2. การใช้การแปลงแบบจอร์แดน นำเมทริกซ์ A ไปยังเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดียว ในกรณีนี้จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E พร้อมกัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E ภายใต้เมทริกซ์ A ของตารางเดิม
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ใน ตารางล่าสุดใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่างที่ 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้หาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และทางด้านขวาเรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E โดยใช้การแปลงของจอร์แดน เราลดเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณแสดงในตาราง 31.1

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A ดั้งเดิมและเมทริกซ์ผกผัน A -1

จากการคูณเมทริกซ์จะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

คำตอบ:

คำตอบของสมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์สามารถมีลักษณะดังนี้:

AX = B, XA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C จะได้รับเมทริกซ์ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

แก้สมการเมทริกซ์ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างเช่น หากต้องการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางด้านซ้าย

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่นๆ จะถูกแก้ไขในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ AX = B ถ้า

สารละลาย: เนื่องจากอินเวอร์สของเมทริกซ์เท่ากัน (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

พวกเขายังพบแอปพลิเคชันร่วมกับคนอื่นๆ เมทริกซ์เมธอด . วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับพีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์-เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและหลายมิติ ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจ. บ่อยครั้งที่วิธีการเหล่านี้ใช้เมื่อจำเป็นต้องเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกกำลังก่อร่างสร้างระบบ ตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจและบนพื้นฐานของเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้นจะถูกรวบรวมซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละบรรทัด (ผม = 1,2,....,n)และตามกราฟแนวตั้ง - จำนวนตัวบ่งชี้ (ญ = 1,2,....,ม).

ในขั้นตอนที่สองสำหรับแต่ละคอลัมน์แนวตั้งจะมีการเปิดเผยค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวบ่งชี้ซึ่งใช้เป็นหน่วย

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่แสดงในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วย ค่าสูงสุดและเมทริกซ์ถูกสร้างขึ้น ค่าสัมประสิทธิ์มาตรฐาน.

ในขั้นตอนที่สามส่วนประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกยกกำลังสอง หากมีความสำคัญต่างกันตัวบ่งชี้แต่ละตัวของเมทริกซ์จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่แน่นอน เค. ค่าของหลังถูกกำหนดโดยผู้เชี่ยวชาญ

ในครั้งสุดท้าย ขั้นตอนที่สี่พบค่านิยมการให้คะแนน อาร์เจจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มหรือลด

ควรใช้เมธอดเมทริกซ์ข้างต้น เช่น เมื่อใด การวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงการลงทุนต่าง ๆ เช่นเดียวกับการประเมินตัวบ่งชี้ประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจอื่น ๆ ขององค์กร